MATEMATICA
FINANCEIRA
ESTATÍSTICA
BANCO
DO BRASIL
Prof Pacher

MATEMÁTICA FINANCEIRA
3

1
JUROS SIMPLES
↕
J=M-C
J = C.i.n
M
i
n
C
J
↕
M = C( 1 + i.n )
Aplicando-se R$ 100,00 a juros simples, à taxa nominal de 120%
ao ano, o montante em reais ao fim de 2 meses, será
Solução
i) Passe a taxa de ano para mês.
iaa=12.iam → 120%=12.iam → 120%/12=iam → iam=10% am
ii) Cálculo dos juros
J=C.i.n → J=100.0,10.2 → j=20
iii) Cálculo do montante
M=C+j → M=100+20 → M=120
Outra opção:
O montante pode ser calculado pela fórmula M = C(1 + i.n)

Dados que um teste pode conter.
Seja 12% ao ano a taxa nominal e com capitalização mensal,
determine a taxa equivalente (efetiva) anual.
Solução
i) Passar a taxa nominal para a unidade da taxa de capitalização.
Conversão proporcional (divisão ou multiplicação).
i.capitalização=i.nominal/12 → i.capitalização=12%/12 →
i.capitalização=1% am.
ii) Agora passe a taxa de capitalização para a unidade de tempo da
taxa equivalente. Conversão exponencial (“esqueleto”)
1 + iaa =(1 + iam )12 → 1 + iaa =(1 + 1% )12 → procure na tabela do
fator correspondente a (1+1%)12, que encontra-se na linha n=12 e
coluna i=1% → 1+iaa=1,1268 → iaa=0,1268 → iaa=0,1268.100%
→ iaa=12,68% aa.

2
JUROS COMPOSTOS
J = C((1+i) -1)
i equivalente ou efetiva
 Teste exemplo. Dados com valores para facilitar a memorização.
Teste exemplo. Dados com valores para facilitar a memorização.
n
CONVERSÕES IMPORTANTES ENTRE TAXAS
inominal
Passagem pela divisão ou multiplicação
icapitalização
Taxa usada na fórmula
Passagem pelo "esqueleto": 1 + i? =(1 + i? )?
4
RELAÇÃO ENTRE TRÊS TAXAS NOBRES
Observe que: irendimento=iaparente=ibruta
J=M-C
M
i
n
M = C(1 + i)
n
1+irendimento=(1+iinflação)(1+ireal)
Conhecidas duas taxas, podemos obter a terceira.
C
J
i = taxa de rendimento
 Teste exemplo. Dados com valores para facilitar a memorização.
 Teste exemplo. Dados com valores para facilitar a memorização.
Aplicando-se R$ 100,00 a juros compostos, à taxa nominal de 60%
ao ano, com capitalização bimestral, o montante em reais ao fim de
4 meses, será
Solução
i) Passar a taxa nominal (ano) para a taxa de capitalização (mês),
isto é, converta proporcionalmente de ano para mês.
i.capitalização=i.nominal/6 → i.capitalização=60%/6 →
i.capitalização=10% am.
ii) O prazo deve estar na unidade de tempo da capitalização
mencionada.
4 meses = 2 bimestres
iii) Cálculo do montante
M = C(1 + i)n
→ M = 100(1 +0,10)2 →
M = 100.1,102 → M = 100.1,21
→ M = 121,00
iv) Cálculo do juro
J=M-C → J=121-100 → J=21,00
Uma rentabilidade de 80% am, em um período em que a inflação
foi de 20% am, equivale a uma rentabilidade real de:
Solução
1+irendimento=(1+iinflação)(1+ireal) → 1+0,80=(1+0,20)(1+ireal) →
1,80=1,20(1+ireal) → 1,80/1,20=1+ireal → 1+ireal =1,80/1,20 →
1+ireal =1,50 → 1+ireal =1,50 → ireal =0,50.100% → ireal =50%
ao mês.
Obs.: Não acumule taxa pela adição.

5
TAXA ACUMULADA
1+iacumulada=(1+i1)(1+i2)(1+i3)(1+i4)...
 Teste exemplo. Dados com valores para facilitar a memorização.
Se em determinado período a inflação foi, respectivamente 10%;
15% e 20%, qual a inflação acumulada nesse prazo?
Solução
1+iacumulada=(1+i1)(1+i2)(1+i3)(1+i4) →
1+iacumulada=(1+10%)(1+15%)(1+20%) →
1+iacumulada=(1,10)(1,15)(1,20) → 1+iacumulada=1,518 →
iacumulada=0,518 → iacumulada=0,518.100% → iacumulada=51,8% ap
Obs.: Não acumule taxa pela adição.
www.unificado.com/concursos
3091-3955
3091-3951 ou
3091-3900
[email protected]
Facebook: UNIFICADO CONCURSOS
1
MATEMATICA
FINANCEIRA
ESTATÍSTICA
BANCO
DO BRASIL

Prof Pacher

6
DESCONTO COMERCIAL SIMPLES
A
Por fora
i
A
n
Dcs = N.i.n
N
D
D=N-A
= N(1 - i.n)
8
DESCONTO COMERCIAL COMPOSTO
i
Por fora
n
A=
A
N
Dcc = N - A
D
D=N-A
N( 1 - i )n
 Teste exemplo. Dados com valores para facilitar a memorização.
 Teste exemplo. Dados com valores para facilitar a memorização.
Uma duplicata é descontada 2 meses antes de seu vencimento
através de uma operação de desconto comercial simples a uma
taxa de 2% ao mês. O valor do desconto foi igual a R$ 4,00.
Calcule o valor atual.
Uma duplicata com valor nominal de R$ 100 é descontada 2
meses antes de seu vencimento através de uma operação de
desconto comercial composto a uma taxa de 2% ao mês.
Calcule o valor do desconto.
Solução
i) Obtenha o valor nominal do título para usar no item ii).
Desconto comercial simples
Dcs = N.i.n → 4 = N.2%.2 → 4/2%.2 = N → 4/0,02.2 = N
→ N=100
ii) Cálculo do valor atual.
D=N-A → A=N-D → A=100,00-4,00 → A=96,00
Solução
i) Obtenha o valor nominal do título para usar no item ii).
Desconto comercial composto
A=N(1-i)n → A=100(1-2%)2 → A=100(1-0,02)2 →
A=100.0,982 → N=100.0,98.0,98 → N=100.0,9604 →
N=96,04
ii) Cálculo do valor do desconto.
D=N-A → D=100,00-96,04 → D=3,96
Outra opção:
O valor atual pode ser calculado pela fórmula: A=N(1-i.n)


7
DESCONTO RACIONAL SIMPLES
A
Por dentro
i
N
n
Drs=N.i.n/(1 + i.n)
N
D
D=N-A
= A( 1 + i.n )
9
DESCONTO RACIONAL COMPOSTO
i
Por dentro
n
A
N
N
Drc = N - A
D
D=N-A
= A( 1 + i )n
 Teste exemplo. Dados com valores para facilitar a memorização.
 Teste exemplo. Dados com valores para facilitar a memorização.
Uma duplicata é descontada 2 meses antes de seu vencimento
através de uma operação de desconto racional simples a uma
taxa de 2% ao mês. O valor do desconto foi igual a R$ 4,00.
Calcule o valor atual.
Uma duplicata com valor nominal de R$ 100 é descontada 2
meses antes de seu vencimento através de uma operação de
desconto racional composto a uma taxa de 2% ao mês.
Calcule o valor do desconto.
Solução
i) Obtenha o valor nominal do título para usar no item ii).
Desconto racional simples
Drs = N.i.n/(1+i.n) → 4 = N.2%.2/(1+2%.2) →
4.(1+2%.2)/2%.2 = N → 4.(1+0,02.2)/0,02.2 = N
→
N= (4.0,96)/0,04 → N= 3,84/0,04 → N= 96,00
ii) Cálculo do valor atual.
D=N-A → A=N-D → A=96,00-4,00 → A=92,00
Solução
i) Obtenha o valor atual para usar no item ii).
Desconto racional composto
N=A(1+i)n → 100=A(1+2%)2 → 100=A(1+0,02)2 →
100=A.1,022 → 100=A.1,02.1,02 → 100=A.1,0404 →
100/1,0404=A → A=96,17
ii) Cálculo do valor do desconto.
D=N-A → D=100,00-96,17 → D=3,83
www.unificado.com/concursos
3091-3955
3091-3951 ou
3091-3900
[email protected]
Facebook: UNIFICADO CONCURSOS
2
MATEMATICA
FINANCEIRA
ESTATÍSTICA
BANCO
DO BRASIL
Prof Pacher
PARCELAMENTO - PRESTAÇÕES - SÉRIES DE PAGAMENTOS OU RECEBIMENTOS - DEPÓSITOS
Sempre a considerar que são iguais e sucessivas

RELAÇÃO ENTRE C, R e fator - POSTECIPADO
Expressão que dá
origem ao fator.
FRC(i,n)=i/(1-(1+i)-n)
Expressão que dá
origem ao fator.
FVA(i,n)=(1-(1+i)-n)/i
Postecipado
11
FRC(i, n).
C
=
R
.FVA(i, n)
12
Postecipado
Teste exemplo FVA. Dados com valores para facilitar a memorização.
Se for dada a tabela do fator FVA
Um artigo, cujo preço à vista é R$ 100,00, pode ser comprado a prazo com dois pagamentos
iguais: o primeiro um mês após a compra. Se os juros são de 10% ao mês, qual é o valor, em
reais, de cada pagamento?
Solução
Um mês após a compra é POSTECIPADO. A fórmula foi escolhida para usar o fator FVA.
i) C=R.FVA(i, n) → 100=R. FVA(10%, 2) → veja fator na tabela ao lado → 100=R. 1,7355 →
100/1,7355=R → R= 57,62
Teste exemplo FRC. Dados com valores para facilitar a memorização.
1
2
3
7%
0,9346
1,8080
2,6243
8%
0,9259
1,7833
2,5771
9%
0,9174
1,7591
2,5313
10%
0,9091
1,7355
2,4869
Orientação: Caso não seja dada a tabela de
fatores, devemos desenvolver os cálculos,
passo a passo, com uso da fórmula:
C=R. (1-(1+i)-n)/i
Se for dada a tabela do fator FRC
Um artigo, cujo preço à vista é R$ 100,00, pode ser comprado a prazo com dois pagamentos
iguais: o primeiro um mês após a compra. Se os juros são de 10% ao mês, qual é o valor, em
reais, de cada pagamento?
Solução
Um mês após a compra é POSTECIPADO. A fórmula foi escolhida para usar o fator FRC.
i) R=C.FRC(i, n) → R=100. FRC(10%, 2) → veja fator na tabela ao lado → R=100. 0,5762 →
R= 57,62
1
2
3
7%
1,0700
0,5531
0,3811
8%
1,0800
0,5608
0,3880
9%
1,0900
0,5685
0,3951
10%
1,1000
0,5762
0,4021
Orientação: Caso não seja dada a tabela de
fatores, devemos desenvolver os cálculos,
passo a passo, com uso da fórmula:
R=C. i/(1-(1+i)-n)

RELAÇÃO ENTRE M, R e fator - POSTECIPADO
Expressão que dá
origem ao fator.
FFC(i,n)=i/((1+i)n-1)
Expressão que dá
origem ao fator.
FAC(i,n)=((1+i)n-1)/i
Postecipado
13
FFC(i, n).
M
=
R
.FAC(i, n)
14
Postecipado
Teste exemplo FAC. Dados com valores para facilitar a memorização.
Se for dada a tabela do fator FAC
Aplica-se, mensalmente, R$ 100,00 durante 2 meses, no início de cada mês, à taxa composta de
10% a.m.. Qual o valor do montante?
Solução
Para aplicações use a forma ANTECIPADA. A fórmula foi escolhida para usar o fator FAC.
i) M=100. FAC(i, n) → M=100. FAC(10%, 2) → veja fator na tabela ao lado →
M=100. 2,1000. → M=210,00
3091-3955
3091-3951 ou
3091-3900
[email protected]
8%
1,0000
2,0800
3,2464
9%
1,0000
2,0900
3,2781
10%
1,0000
2,1000
3,3100
M=R. ((1+i)n-1)/i
Se for dada a tabela do fator FFC
Aplica-se, mensalmente, R$ 100,00 durante 2 meses, no início de cada mês, à taxa composta de
10% a.m.. Qual o valor do montante?
www.unificado.com/concursos
7%
1,0000
2,0700
3,2149
Orientação: Caso não seja dada a tabela de
fatores, devemos desenvolver os cálculos,
passo a passo, com uso da fórmula:
Teste exemplo FFC. Dados com valores para facilitar a memorização.
Solução
Um mês após a compra é POSTECIPADO. A fórmula foi escolhida para usar o fator FFC.
i) R=M.FFC(i, n) → 100=M. FFC(10%, 2) → veja fator na tabela ao lado →
100=M. 0,4762 → 100/0,4762=M → M= 210,00
1
2
3
1
2
3
7%
1,0000
0,4831
0,3111
8%
1,0000
0,4808
0,3080
9%
1,0000
0,4785
0,3051
10%
1,0000
0,4762
0,3021
Orientação: Caso não seja dada a tabela
de fatores, devemos desenvolver os
cálculos, passo a passo, com uso da
fórmula: R=M.i/((1+i)n-1)
Facebook: UNIFICADO CONCURSOS
3
MATEMATICA
FINANCEIRA
ESTATÍSTICA
BANCO
DO BRASIL
Prof Pacher

RELAÇÃO ENTRE C, R e fator - ANTECIPADO
Antecipado
15
FRC(i, n)/(1+i).
C
=
R
.FVA(i, n).(1+i)
16
Antecipado
Teste exemplo FVA. Dados com valores para facilitar a memorização.
Se for dada a tabela do fator FVA
Um artigo, cujo preço à vista é R$ 100,00, pode ser comprado a prazo com dois pagamentos
iguais: o primeiro no ato da compra e o segundo um mês após.. Se os juros são de 10% ao mês,
qual é o valor, em reais, de cada pagamento?
Solução
Um mês após a compra é ANTECIPADO. A fórmula foi escolhida para usar o fator FVA.
i) C=R.FVA(i, n).(1+i) → 100=R. FVA(10%, 2).(1+10%) → veja fator na tabela ao lado →
100=R. 1,7355.1,10 →
100=R. 1,90905 → 100/1,90905=R → R= 52,38
1
2
3
7%
0,9346
1,8080
2,6243
8%
0,9259
1,7833
2,5771
9%
0,9174
1,7591
2,5313
10%
0,9091
1,7355
2,4869
Orientação: Caso não seja dada a tabela
de fatores, devemos desenvolver os
cálculos, passo a passo, com uso da
fórmula:
C=R. (1-(1+i)-n).(1+i)/i
Teste exemplo FRC. Dados com valores para facilitar a memorização.
Se for dada a tabela do fator FRC
Um artigo, cujo preço à vista é R$ 100,00, pode ser comprado a prazo com dois pagamentos
iguais: o primeiro no ato da compra e o segundo um mês após. Se os juros são de 10% ao mês,
qual é o valor, em reais, de cada pagamento?
Solução
Um mês após a compra é ANTECIPADO. A fórmula foi escolhida para usar o fator FRC.
i) R=C.FRC(i, n)/(1+i) → R=100. FRC(10%, 2)/(1+10%) → veja fator na tabela ao lado →
R=100. 0,5762/1,10 → R=57,62/1,10 → R= 52,38
1
2
3
7%
1,0700
0,5531
0,3811
8%
1,0800
0,5608
0,3880
9%
1,0900
0,5685
0,3951
10%
1,1000
0,5762
0,4021
Orientação: Caso não seja dada a tabela
de fatores, devemos desenvolver os
cálculos, passo a passo, com uso da
fórmula: R=C. i/(1-(1+i)-n).(1+i)

RELAÇÃO ENTRE M, R e fator - ANTECIPADO
Antecipado
17
FFC(i, n)/(1+i).
M
=
R
.FAC(i, n).(1+i)
18
Antecipado
Teste exemplo FAC. Dados com valores para facilitar a memorização.
Se for dada a tabela do fator FAC
Aplica-se, mensalmente, R$ 100,00 durante 2 meses, no início de cada mês, à taxa
composta de 10% a.m.. Qual o valor do montante?
Solução
Para aplicações use a forma ANTECIPADA. A fórmula foi escolhida para usar o fator FAC.
i) M=100.FAC(i, n)(1+i) → M=100. FAC(10%, 2)(1+10%) → veja fator na tabela ao lado →
M=100. 2,1000.1,10 → M=231,00
3091-3955
3091-3951 ou
3091-3900
[email protected]
8%
1,0000
2,0800
3,2464
9%
1,0000
2,0900
3,2781
10%
1,0000
2,1000
3,3100
Se for dada a tabela do fator FFC
Aplica-se, mensalmente, R$ 100,00 durante 2 meses, no início de cada mês, à taxa
composta de 10% a.m.. Qual o valor do montante?
www.unificado.com/concursos
7%
1,0000
2,0700
3,2149
Orientação: Caso não seja dada a tabela
de fatores, devemos desenvolver os
cálculos, passo a passo, com uso da
fórmula: M=R. ((1+i)n-1).(1+i)/i
Teste exemplo FFC. Dados com valores para facilitar a memorização.
Solução
Um mês após a compra é POSTECIPADO. A fórmula foi escolhida para usar o fator FFC.
i) R=M.FFC(i, n)/(1+i) → 100=M. FFC(10%, 2)/(1+10%) → veja fator na tabela ao lado →
100=M. 0,4762/(1,10) → 100.1,10/0,4762=R → R= 231,00
1
2
3
1
2
3
7%
1,0000
0,4831
0,3111
8%
1,0000
0,4808
0,3080
9%
1,0000
0,4785
0,3051
10%
1,0000
0,4762
0,3021
Orientação: Caso não seja dada a tabela
de fatores, devemos desenvolver os
cálculos, passo a passo, com uso da
fórmula: R=M.i/((1+i)n-1).(1+i)
Facebook: UNIFICADO CONCURSOS
4
MATEMATICA
FINANCEIRA
ESTATÍSTICA
BANCO
DO BRASIL
Prof Pacher

19
SAC - SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE
Teste exemplo. Dados com valores para facilitar a memorização.
Dados que um teste pode conter.
Capital C=100,00, prazo n=2 meses, taxa i=10% am, capitalização mensal, sistema de amortização SAC, a primeira parcela paga somente
no final do primeiro período.
Para responder a qualquer pergunta, será necessário a montagem da planilha. Veja a planilha a seguir e observe como foi elaborada.
Planilha para o sistema SAC
n
0
1
2
2º passo
1º passo
3º passo
4º passo
Cálculo D
100,00
100,00-50,00=
50,00-50,00=
SD
Cálculo A
PA
100,00
----50,00 100,00/2= 50,00
0,00 100,00/2= 50,00
Cálculo J(10%)
J
--10,00
5,00
100.10%=
50.10%=
Cálculo R
50+10=
50+5=
R
--60,00
55,00

20
SAF - SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO FRANCÊS (OU PRICE)
Teste exemplo. Dados com valores para facilitar a memorização.
Dados que um teste pode conter.
Capital C=100,00, prazo n=2 meses, taxa i=10% am, capitalização mensal, sistema de amortização SAF ou SAPrice, a primeira parcela
paga somente no final do primeiro período.
Para responder a qualquer pergunta, será necessário a montagem da planilha. Veja a planilha a seguir e observe como foi elaborada.
n
0
1
2
Planilha para o sistema SAC
4º passo
3º passo
Cálculo D
SD
Cálculo A
100,00
100,00
100,00-47,62= 52,38 57,62-10,00=
52,38-52,38=
0
57,62-5,24=
PA
--47,62
52,38
2º passo
Cálculo J(10%)
100,00.10%=
52,38.10%=
1º passo
J
Cálculo R
--10,00 Veja (*)
5,24
Veja (*)
R
--57,62
57,62
Um dos procedimentos abaixo será necessário para calcular a parcela do SAF(Price)
Use este, se for dada a tabela de fatores FVA.
POSTECIPADO C=R.FVA(i, n) → 100=R.FVA(10%,2) → Procure o fator na tabela.
Se não for dada a tabela, substitua FVA(i, n) pela expressão (1-(1+i)-n)/i → (1-(1+0,10)-2)/0,10 → 1,7355. R=100/1,7355 → R=57,62
Use este, se for dada a tabela fatores FRC.
POSTECIPADO R=C.FRC(i, n) → R=100.FRC(10%, 2) → Procure o fator na tabela.
Se não for dada a tabela, substitua FRC(i, n) pela expressão i/(1-(1+i)-n) → 0,10/(1-(1+0,10)-2) → 0,5762. R=100.0,5762 → R=57,62

21
TAXA INTERNA DE RETORNO “TIR”
Taxa interna de retorno é a taxa que iguala as entradas e saídas na mesma data focal.
 Teste exemplo. Dados com valores para facilitar a memorização.
A tabela abaixo apresenta o fluxo de caixa de um certo projeto. Para que a taxa interna de retorno anual seja 10%, o valor de
x, em milhares de reais, deve ser
Período (anos)
Valor (milhares de reais)
0
-x
1
10
2
15
Solução
i) A partir do fluxo de caixa dado, escolha uma data focal. Em juros compostos, independe a escolha da data focal. Uma boa sugestão é
escolher a data foca mais a direita (ou a maior).
ii) Nesta resolução, tomamos como data focal o n=2, é a maior.
Período (anos)
O 15 já está na posição da data focal n=2.
Desloque 10 um passo até atingir a posição n=2.
Desloque x dois passo até atingir a posição n=2.
0
1
-x
10
x.(1+i)
2
15
10.(1+i)
x.(1+i).(1+i)
Se é positivo, é entrada.
Se é positivo, é entrada
Se é negativo, é saída
Iguale a soma das entradas com a soma das saídas.
15 + 10(1+i) = x.(1+i).(1+i) → 15 + 10(1+10%) = x.(1+10%).(1+10%) → 15 + 10.1,10 = x.1,10.1,10 → 15 + 11 = 1,21x →
26 = 1,21x → x=26/1,21 → x=21,49
www.unificado.com/concursos
3091-3955
3091-3951 ou
3091-3900
[email protected]
Facebook: UNIFICADO CONCURSOS
5
MATEMATICA
FINANCEIRA
ESTATÍSTICA
BANCO
DO BRASIL

-Divida ∑fi por 2, assim: 20/2=10.
-Na coluna de Fi, partindo de cima para
baixo, se o valor encontrado for IGUAL a
10, então a mediana é a média aritmética
entre o xi e o posterior x(i+1) de Fi=10.
(3+4)/2=3,5. Assim a Me=3,5.
1. DADOS AGRUPADOS
1.1.MÉDIA “x”
i
1
2
3
4
5
6
xi
2
3
4
5
6
7
fi
4
7
5
2
1
1
20
∑fi
xi.fi
8
21
20
10
6
7
72
∑xi.fi
1.5. VARIÂNCIA “s2”
2
2  (média - xi ) × fi
s =
f
i
1.6. DESVIO PADRÃO “s”
Li |─ Ls
10|─20
20|─30
30|─40
40|─50
50|─60
Total
i
1
2
3
4
5
(
 fi
2
Me = L i+

fi
13
21
23
16
7
80
∑fi
Fi
13
34
57
73
80
- F i-1)
×h
fi
80
(
2. DADOS
CLASSE
1.2. MODA “Mo”
PMi
15
25
35
45
55
A partir da linha de Fi=57, use os valores
∑fi=80, Li=30, fi=23, Fi-1 =34 e
h=Ls-Li=40-30=10. Substitua os dados na
fórmula que segue:
É a raiz quadrada da variância.
x ×f
i
i  x = 72  x = 3, 6
xi=
i
i
f
20
i
Prof Pacher
COM
INTERVALO
DE
Me = 30 +
- 34)
2
× 10
23
Me=32,608
i
1
2
3
4
5
6
xi
2
3
4
5
6
7
2.1.MÉDIA “x”
fi
4
7
5
2
1
1
i
1
2
3
4
5
Para obter a moda, vá até coluna de fi e
procure o maior valor. O xi dessa linha é a
moda. No caso da tabela acima, o maior
fi=7 e o correspondente xi=3, logo, a moda
é 3.
1.3. MEDIANA “Me”
i
1
2
3
4
5
6
xi
2
3
4
5
6
7
fi
4
7
5
2
1
1
20
Fi
4
11
16
18
19
20
Mediana é o termo central numa série de
dados organizados em ordem crescente ou
decrescente.
-Obtenha a coluna de dados acumulados Fi.
-Divida ∑fi por 2, assim: 20/2=10.
-Na coluna de Fi, partindo de cima para
baixo, pare no valor que é maior que 10,
resultado da divisão anterior. Essa é a linha
da mediana, logo, a mediana é o xi dessa
linha, Me=3.
CASO ESPECIAL PARA A
MEDIANA
1.4. MEDIANA
ESPECIAL.
“Me”
um
i
1
2
3
4
5
6
xi
2
3
4
5
6
7
www.unificado.com/concursos
3091-3955
fi
13
21
23
16
7
80
∑fi
PMi.fi
195
525
805
720
385
2630
∑PMi.fi
Obs. Se na coluna de Fi, partindo de cima
para baixo o valor Fi for igual ∑fi / 2, siga os
procedimentos do item 1.4.
2.4. VARIÂNCIA “s2”
2
2  (média - PMi ) × f i
s =
f
i
2.5. DESVIO PADRÃO “s”
É a raiz quadrada da variância.

3. DISTRIBUIÇÃO
PROBABILIDADE
xi
1
2
3
4
5
Para obter a moda, vá até coluna de fi e
procure o maior valor em fi.
i
1
2
3
4
5
Li |─ Ls
10|─20
20|─30
30|─40
40|─50
50|─60
Total
PMi
15
25
35
45
55
fi
13
21
23
16
7
80
∑fi
f(i-1)
fi
f(i+1)
(f i- f i-1)
x
i
xi
1
2
3
4
5
×h
(23 - 21)
× 10
(23 - 21) + (23 - 16)
2.3. MEDIANA “Me”
Mediana é o termo central numa série de
dados organizada em ordem crescente ou
decrescente.
-Obtenha a coluna de dados acumulados Fi.
-Divida ∑fi por 2, assim: 80/2=40.
-Na coluna de Fi, partindo de cima para
baixo, pare no valor que é maior que 40.
Essa é a linha da mediana.
3091-3900
fi
24
33
42
30
21
150
∑fi
P(x)
0,16
0,22
0,28
0,20
0,14
P(x) %
16%
22%
28%
20%
14%
xi.P(x)
0,16
0,44
0,84
0,80
0,70
2,94
∑ xi.P(x)
=  x  P(x )
i
i
3.2. PROBABILIDADE
(f i- f i-1) + (f i- f i+1)
Mo=32,222
3091-3951 ou
DE
-A media=∑ xi.P(x), seja a média=2,94.
A partir da linha de fi=23 (maior valor),
identifique os valores de: Li, fi, fi-1, fi+1 e h.
Onde Li é o limite inferior da classe em fi de
maior valor, em destaque na tabela acima e
h=Ls-Li=40-30=10.
Agora substitua os dados na fórmula que
segue:
Mo = L i+
DISCRETA
3.1. MÉDIA
2.2. MODA “Mo”
Mo = 30 +
Fi
4
10
15
18
19
20
PM
15
25
35
45
55
 PM  f
i
i
xi=
f
i
-PM é o ponto médio de cada classe, assim:
(Li+Ls)/2=PMi.
-A média é igual ∑PMi.fi / ∑fi, ou seja,
média=2630/80=32,875.
caso
Simulei modificando dados da tabela acima
para expor essa possibilidade
Caso especial
fi
4
6
5
3
1
1
20
∑fi
Li |─ Ls
10|─20
20|─30
30|─40
40|─50
50|─60
Total
[email protected]
fi
24
33
42
30
21
150
∑fi
P(x)
0,16
0,22
0,28
0,20
0,14
P(x) %
16%
22%
28%
20%
14%
xi.P(x)
0,16
0,44
0,84
0,80
0,70
2,94
∑ xi.P(x)
- A probabilidade é o valor P(x)% ou P(x)
correspondente ao xi solicitado.
-Da tabela a probabilidade de ser maior que
xi=3 é ser 4 e 5, que resulta em
(0,20+0,14)=0,34 ou 34%.
3.3. VARIÂNCIA “s2”
s
2
=  (média - x )
i
2
× P(x )
i
3.4. DESVIO PADRÃO “s”
É a raiz quadrada da variância.
Facebook: UNIFICADO CONCURSOS
6