Resolvido por Jorge Lagoa, tendo em atenção os Critérios de Classificação do Exame.
1.
Na escola da Rita, fez-se um estudo sobre o gosto dos alunos pela leitura.
Um inquérito realizado incluía a questão seguinte.
COTAÇÕES
«Quantos livros leste desde o início do ano lectivo?»
Percentagem de alunos da
turma da Rita
As respostas obtidas na turma da Rita, relativamente a esta pergunta, estão
representadas no gráfico de barras que se segue.
30
25
20
15
10
5
0
0
1
2
3
4
5
Número de livros lidos
Escolhendo, ao acaso, um aluno da turma da Rita, qual dos seguintes
acontecimentos é o mais provável?
… Ter lido menos do que um livro.
Significa que não leu livros (0 – zero): 20 %
5
Ter lido mais do que dois livros.
Significa que leu 3, 4 ou 5 livros: 12+20+24=56 %
… Ter lido menos do que três livros.
Significa que não leu livros ou que leu apenas 1 ou 2:
20+16+8=44 %
… Ter lido mais do que quatro livros.
Significa que leu 5 livros: 24 %
A transportar
2
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Transporte
2.
[
Considera o conjunto A = −1, +∞
[
2.1. Qual das quatro igualdades que se seguem é verdadeira?
…
 3

A = [ −1,1[ ∩  − , +∞  =[-1, 1[ F
 2

…
 1

A = [ −1,1[ ∩  − , +∞  =[-1/2, 1[ F
 2

…
5
−
 3

A = [ −1,1[ ∪  − , +∞  =[-3/2, +∞[ F
 2

 1

A = [ −1,1[ ∪  − , +∞  =[-1, +∞[ V
 2

3
2
-1
−
−
3
2
-1
−
-1
1
1
2
1
-1
1
1
2
1
2.2. Considera a seguinte inequação:
3+
1− x
≤4
2
Será A o conjunto solução desta inequação?
Justifica a tua resposta e apresenta todos os cálculos que efectuares.
1º Processo de resolução
3+
1− x
3 1− x 4
6 1− x 8
≤ ⇔ +
≤ ⇔ 6 +1− x ≤ 8 ⇔
≤4 ⇔ +
2
1
2
1
2
2
2
(2)
(2)
[
[
⇔ − x ≤ 8 − 6 − 1 ⇔ − x ≤ 1 ⇔ x ≥ −1 ⇒ C.S . = −1, +∞
R: A é o conjunto solução da inequação.
2º Processo de resolução
1 − ( −1)
1+1
2
= 3 + = 3 +1 = 4
2
2
2
1− x
À medida que x aumenta, 1-x diminui (ex.: 1-0=1; 1-1=0; 1-2=-1; etc.),
2
1− x
diminui e 3 +
também diminui, pelo que o resultado também diminuirá,
2
Para a situação limite, x = −1 , 3 +
= 3+
assim o resultado será sempre menor ou igual a 4, logo A é o conjunto
solução da inequação.
V.S.F.F.
A transportar
3
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Transporte
3.
Dois amigos, o Carlos e o João, participaram numa corrida de 800 metros.
Logo após o sinal de partida, o João estava à frente do Carlos, mas, ao fim
de algum tempo, o Carlos conseguiu ultrapassá-lo. Na parte final da corrida,
o João fez um sprint, ultrapassou o Carlos e cortou a meta em primeiro
lugar.
Os gráficos que se seguem representam a relação entre o tempo e a
distância percorrida, ao longo desta corrida, por cada um deles.
500
2,5
2,25
3.1. Quantos metros percorreu durante o primeiro minuto e meio da corrida?
Resposta O João percorreu 500 m.
3.2. Quanto tempo decorreu entre a chegada de cada um dos dois amigos à
meta?
Apresenta, na tua resposta, esse tempo expresso em segundos.
2,5-2,25=0,25 min, passando a segundos: 0,25x60=15 s
Resposta O tempo entre a chegada dos dois amigos foi de 15 s.
A transportar
4
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Transporte
4.
Pintaram-se as seis faces de um prisma quadrangular regular antes de o
cortar em cubos iguais, tal como se pode observar na figura.
2
3
1
4
Se escolheres, ao acaso, um desses cubos, qual é a probabilidade de o cubo
escolhido ter só duas faces pintadas?
Apresenta o resultado na forma de uma fracção irredutível.
Nº de casos possíveis = cubos do prisma = 12
Nº de casos favoráveis = cubos centrais = 4
P (ter 2 faces pintadas) =
4 1
=
12 3
V.S.F.F.
A transportar
5
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Transporte
5.
Uma tenda de circo (figura 1) está montada sobre uma armação.
A figura 2 representa uma parte dessa armação.
Figura 1
Figura 2
Os pontos A, B, C e D são alguns dos vértices de um polígono regular,
contido no plano do chão da tenda.
Os ferros representados pelos segmentos de recta [EA], [FB], [GC] e [HD]
têm todos o mesmo comprimento e estão colocados perpendicularmente ao
chão.
O mastro representado pelo segmento de recta [IJ] também está colocado
perpendicularmente ao chão. O ponto K pertence a esse segmento de recta.
5.1. Utilizando as letras da figura 2, indica:
5.1.1. uma recta paralela ao plano ABF.
Resposta IJ, GC ou HD são paralelas ao plano ABF
Obs.: A recta IJ também poderia ser identificada com as letras IK ou JK
5.1.2. um plano não perpendicular ao chão.
Resposta EFK ou FGK ou GHK ou EGK ou ABJ ou ...
A transportar
6
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Transporte
5.2. Um grupo de 20 crianças foi ao
circo.
Na tabela ao lado, podes
observar o preço dos bilhetes, em
euros.
Na compra dos
gastaram 235 €.
20
bilhetes,
IDADE
PREÇO
(por bilhete)
Até 10 anos
(inclusive)
10 €
Mais de 10 anos
15 €
Quantas crianças daquele grupo
tinham mais de 10 anos de idade?
Apresenta todos os cálculos que efectuares.
1º Processo de resolução
x – número de crianças com mais de 10 anos de idade
235 = x × 15 + ( 20 − x ) × 10 ⇔ 235 = 15 x + 200 − 10 x ⇔
⇔ 235 − 200 = 15 x − 10 x ⇔ 35 = 5 x ⇔
35
=x⇔7=x
5
R: No grupo de crianças que foi ao circo, existiam 7 com mais de 10 anos de
idade.
2º Processo de resolução
10 x 15 = 150 € e 10 x 10 = 100 € dá 150 + 100 = 250 €
Dado que dá um valor superior ao gasto na compra de bilhetes, o número de
alunos com mais de 10 anos de idade é menor que 10.
5 x 15 = 75 € e 15 x 10 = 150 €, dá 75 + 150 = 225 €
Dado que dá um valor inferior ao gasto na compra de bilhetes, o número de
alunos com mais de 10 anos de idade é maior que 5.
7 x 15 = 105 € e 13 x 10 = 130 €, dá 105 + 130 = 235 €
Dado que dá o valor gasto na compra de bilhetes, o número de alunos com
mais de 10 anos de idade é 7.
6.
Escreve um número irracional compreendido entre 4 e 5.
Resposta
Muitas raizes são números irracionais, por exemplo, poderá ser qualquer raiz
4 = 16 e 5 = 25 (que não são números irracionais), ou
seja, 17 , 18 , ..., 24 . Usando a raiz cúbica, poderia indicar uma entre
4 = 3 64 e 5 = 125 . Poderia ter ainda usado um outro valor irracional,
como 4,110100100010000... ou π + 1 .
quadrada entre
V.S.F.F.
A transportar
7
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Transporte
7.
Na figura está representado um decágono regular [ABCDEFGHIJ], inscrito
numa circunferência de centro O.
Os segmentos de recta [ID] e [HC] são diâmetros desta circunferência.
7.1. Após uma rotação de centro em O e de amplitude 144° (sentido contrário
ao dos ponteiros do relógio), o ponto A desloca-se para uma posição que,
antes da rotação, era ocupada por outro ponto. De que ponto se trata?
Uma circunferência tem 360° de arco. Dado o decágono ser regular, os lados
são iguais e os arcos contidos entre os seus vértices também, assim:
360° :10 = 36° . Os 144° correspondem a: 144° : 36° = 4 lados.
Resposta A desloca-se para a posição ocupada por G
7.2. Ao observar a figura, a Rita afirmou:
«A amplitude do ângulo CDI é igual à amplitude do ângulo CHI.»
Uma vez que a Rita não tinha transferidor, como é que ela poderá ter
chegado a esta conclusão?
Justifica a tua resposta.
1º Processo
)CHI e )CDI são ângulos inscritos no mesmo arco, pelo que as suas
amplitudes são iguais.
2º Processo
∩
∩
ˆ = 144 = 72° e CI = 144° ⇒ CHI
ˆ = 144 = 72°
CI = 144° ⇒ CDI
2
2
Ver outras resoluções possíveis na página 14.
A transportar
8
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Transporte
7.3. Com o auxílio de material de desenho, inscreve, na circunferência abaixo
desenhada, um triângulo equilátero.
O ponto que está marcado no interior da circunferência é o seu centro.
Não apagues as linhas auxiliares que traçares para construíres o
triângulo.
1º Processo
Ver outra resolução possível na página 15.
V.S.F.F.
A transportar
9
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Transporte
8.
2
Existem vários rectângulos, de dimensões diferentes, com 18 cm de área.
8.1. Completa a tabela que se segue, indicando em cm, o comprimento e a
largura de três rectângulos diferentes (A, B e C), com 18 cm2 de área.
Rectângulo A
Rectângulo B
Rectângulo C
Comprimento (cm)
4
18 : 0,5 = 36
1
Largura (cm)
18 : 4 = 4,5
0,5
18
Obs.: outras medidas possíveis para C seriam: 9x2, 6x3, 3x6, 2x9 ou 18x1.
8.2. Qual dos gráficos seguintes pode representar a relação entre a largura
(l) e o comprimento (c) de rectângulos com 18 cm2 de área?
… Gráfico A
… Gráfico B
5 Gráfico C
… GráficoD
l × c = 18 cm 2 corresponde a uma proporcionalidade inversa, pelo que o
gráfico deve ser uma curva hipérbole. Os gráficos A e B são rectas pelo que
não representam aquela relação. O gráfico D não apresenta a relação 18x1
pelo que também não representa a relação. Assim, o gráfico C terá de
representar a relação.
A transportar
10
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Transporte
9.
O acesso a uma das
entradas da escola da Rita é
feito por uma escada de
dois degraus iguais, cada
um deles com 10 cm de
altura.
Com o objectivo de facilitar
a entrada na escola a
pessoas com mobilidade
condicionada, foi construída
uma rampa.
Para respeitar a legislação em vigor, esta rampa foi construída de modo a
fazer com o solo um ângulo de 3°, como se pode ver no esquema que se
segue (o esquema não está à escala).
Determina, em metros, o comprimento, c, da rampa.
Indica o resultado arredondado às décimas e apresenta todos os cálculos
que efectuares.
Sempre que, nos cálculos intermédios, procederes a arredondamentos,
conserva quatro casas decimais.
1º Processo de resolução
c/2
10 cm
3°
sen 3° =
⇔c 10
c
⇔ 0, 0523 =
2
10
c
⇔ 0, 0523 ×
2
c
= 10 ⇔
2
10 × 2
382, 4092cm 3,8m
0, 0523
2º Processo de resolução
c
3°
20 cm
20
20
⇔ 0, 0523 =
⇔ 0, 0523 × c = 20 ⇔
c
c
20
⇔c 382, 4092cm 3,8m
0, 0523
sen 3° =
Ver outras resoluções possíveis na página 14.
V.S.F.F.
A transportar
11
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Transporte
10. Quatro amigos encontraram-se para resolver um problema de Matemática
que envolvia o cálculo do perímetro de um círculo com 10 cm de diâmetro.
Na tabela que se segue, está indicado o valor que cada um obteve para o
perímetro do círculo.
Rita
31,4 cm
Carlos
31,41 cm
João
31,42 cm
Sofia
31,43 cm
Qual dos quatro amigos obteve uma melhor aproximação do perímetro
daquele círculo?
…Rita
… Carlos
5 João
… Sofia
d = 10 cm ⇔ r = 5 cm
P = 2 ⋅ π ⋅ r 2 × 3,14159 × 5 = 31, 4159 cm
Arredondamento por defeito: 31,4159 - 31,41 = 0,0059
Arredondamento por excesso: 31,42 - 31,4159 = 0,0041
A melhor aproximação é a que tem menor erro, ou seja, 31,42 cm, a
medida indicada pelo João.
A transportar
12
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Transporte
11. Arrumaram-se três esferas iguais dentro de uma caixa cilindrica (figura 1).
Como se pode observar no esquema (figura 2):
•
a altura da caixa é igual ao triplo do diâmetro de uma esfera;
•
o raio da base do cilindro é igual ao raio de uma esfera.
Figura 1
Figura 2
Mostra que:
O volume da caixa que não é ocupado pelas esferas é igual a metade do
volume das três esferas.
(Nota: designa por r o raio de uma esfera.)
Pretende-se mostrar que:
Vc − 3 ⋅ Ve =
3 ⋅Ve
2
Como:
Ve =
4
⋅ π ⋅ r 3 e Vc = Ab ⋅ a = π ⋅ r 2 ⋅ 6 ⋅ r = 6 ⋅ π ⋅ r 3
3
Substituindo:
3 ⋅ 43 ⋅ π ⋅ r 3
4 ⋅π ⋅ r3
4
3
3
3
6 ⋅π ⋅ r − 3 ⋅ ⋅π ⋅ r =
⇔ 6 ⋅π ⋅ r − 4 ⋅π ⋅ r =
⇔
2
3
2
3
3
⇔ 2 ⋅π ⋅ r = 2 ⋅π ⋅ r
3
FIM
V.S.F.F.
A transportar
13
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Transporte
Estas duas páginas só devem ser utilizadas se quizeres completar ou emendar qualquer
resposta.
Caso as utilizes, não te esqueças de identificar claramente cada uma dessas respostas.
7.2
3º Processo
∩
∩
ˆ = 36° e IH = 36° ⇒ IOH
ˆ = 36° .
CD = 36° ⇒ COD
ˆ
ˆ = DCH
∆ [CDO ] e ∆ [ IHO ] são triângulos isósceles, logo CDI
ˆ = HID
ˆ .
IHC
e
Como a soma dos ângulos internos de um triângulo vale 180°:
ˆ + COD
ˆ = 180° ⇒ CDI
ˆ = 180° ⇒
ˆ + DCH
ˆ + CDI
ˆ + COD
CDI
ˆ + 36° = 180° ⇒ CDI
ˆ = 180° − 36° = 72°
⇒ 2 × CDI
2
ˆ = 180° ⇒ IHC
ˆ = 180° ⇒
ˆ + HID
ˆ + HOI
ˆ + IHC
ˆ + HOI
IHC
ˆ + 36° = 180° ⇒ IHC
ˆ = 180° − 36° = 72°
⇒ 2 × IHC
2
4º Processo
∩
∩
A arcos iguais correspondem cordas iguais: CD = IH ⇒ CD = IH .
São raios CO = DO = HO = IO .
[
]
[
]
Como os lados correspondentes de ∆ CDO e ∆ IHO são iguais então os
ˆ = CDI
ˆ .
triângulos são geometricamente iguais e CHI
9.
3º Processo de resolução
3°
20 cm
x
20
20
20
⇔x=
⇔x
381, 6227cm
tg 3°
0, 0524
x
c 2 = x 2 + 202 ⇔ c 2 = 381, 6227 2 + 202 = 145635,8852 + 400 = 146035,8852
tg 3° =
⇔ c = 146035,8852 382,1464cm 3,8m
4º, 5º e 6º Processos de resolução
20 cm = 0,2 m
Usar as resoluções anteriores com valores em metros. Por exemplo, o segundo
processo de resolução passa a ter a forma:
c
3°
sen 3° =
0,2 m
0, 2
0, 2
0, 2
⇔ 0, 0523 =
⇔ 0, 0523 × c = 0, 2 ⇔ c 3,8m
c
c
0, 0523
A transportar
14
Resolvido por Jorge Lagoa, tendo em atenção os Critérios de Classificação do Exame.
Transporte
7.3
2º Processo
Determinar a amplitude do ângulo ao centro: 360° : 3 = 120° .
Marcar um raio.
Medir e marcar os ângulos ao centro a partir dele.
Desenhar o polígono (triângulo) inscrito na circunferência.
Total
15