INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO
Universidade Técnica de Lisboa
ESTABILIDADE GLOBAL DE TABULEIROS
ATIRANTADOS
Roberto Ribeiro de Mendonça Feijóo
Dissertação para obtenção do Grau de Mestre em
Engenharia Civil
Júri
Presidente:
Doutor José Manuel Matos Noronha da Câmara
Orientador:
Doutor José Joaquim Costa Branco de Oliveira Pedro
Vogal:
Doutor Francisco Baptista Esteves Virtuoso
Outubro de 2011
ESTABILIDADE GLOBAL DE TABULEIROS
ATIRANTADOS
RESUMO
Neste trabalho realiza-se o estudo da estabilidade elástica global de tabuleiros atirantados. São
estudados os casos de instabilidade por flexão deste tipo de elementos, e a influência das
opções de concepção dos tabuleiros, torres e sistemas de atirantamento.
São apresentados os modelos adoptados para efectuar uma análise linear e não linear de
estabilidade, e definidas as origens da não linearidade associadas às pontes de tirantes,
identificando-se as que são consideradas no trabalho.
É apresentada a análise linear de estabilidade efectuada com um modelo baseado na analogia
entre um tabuleiro atirantado e uma viga-coluna sobre fundação elástica (BEF). Desenvolvese um método simplificado igualmente baseado no modelo de BEF. Comparam-se os
resultados obtidos com estes modelos com análises não lineares de estabilidade, efectuadas
utilizando os programa de elementos finitos SAP2000 e ANSYS.
Desenvolve-se o estudo da estabilidade à flexão do tabuleiro de uma ponte atirantada com
420 m de vão central. Avalia-se a influência de determinados aspectos da concepção na
estabilidade global da estrutura utilizando uma análise paramétrica de tabuleiros com maiores
vãos. Avalia-se a influência da geometria de aplicação das cargas, do sistema de suspensão,
da altura e geometria das torres, da rigidez de flexão do tabuleiro, da ligação entre o tabuleiro
e as torres e da existência de pilares intermédios nos vãos laterais, no valor da carga crítica.
i
ii
GLOBAL STABILITY OF CABLE-STAYED DECKS
ABSTRACT
The elastic global stability analysis of cable-stayed decks is considered in this research. The
bending instability in this type of elements is studied, as well as the influence of some specific
aspects in the design of the deck, towers and stays arrangement.
The linear and non-linear analysis models considered are presented, and the nonlinearities
associated to cable-stay bridges included in this research are defined.
The linear elastic stability of the deck is evaluated based on a model, using the analogy of a
beam on an elastic foundation (BEF). A simplified approach still using the BEF is developed.
To compare the results, geometrical non-linear elastic analysis made by the finite elements
software SAP2000 and ANSYS are used.
The bending stability analysis of a 420 m main span length deck is performed. The influence
of some design aspects in the global stability of the bridge are evaluated by a parametric study
that considers: The deck live load pattern; the stays arrangement; the towers height and
geometry; the stiffness of the deck; the connection between deck and towers; and the
intermediate pier on the lateral spans.
iii
iv
PALAVRAS CHAVE
KEYWORDS
Estabilidade elástica
Elastic Stability
Pontes de tirantes
Cable-stayed bridges
Análise linear
Linear analysis
Análise não-linear
Non-linear analysis
v
vi
AGRADECIMENTOS
Ao Professor José Oliveira Pedro desejo expressar o meu agradecimento pelo constante apoio
e disponibilidade ao longo deste trabalho, assim como pelos ensinamentos e gosto por este
tema que conseguiu transmitir.
Ao Engenheiro André Graça com quem tive oportunidade de partilhar dúvidas gostava de
agradecer a disponibilidade demonstrada e apoio concedido.
Quero agradecer aos meus amigos que me ajudaram, principalmente à Catarina Gonçalves, ao
Miguel Mendonça e ao Manuel Correia pela criteriosa revisão de texto.
Aos meu pais pelo apoio e paciência e aos meus irmãos pelo exemplo que são para mim,
gostava de deixar um agradecimento especial.
Este trabalho é dedicado à memória da “Meg”.
vii
viii
ÍNDICE DO TEXTO
1
INTRODUÇÃO
1.1
CONSIDERAÇÕES GERAIS ............................................................................................... 1
1.2
ESTABILIDADE DO TABULEIRO ...................................................................................... 2
1.3
COMPORTAMENTO NÃO LINEAR .................................................................................... 4
1.4
ANÁLISE DE ESTABILIDADE ........................................................................................... 5
1.5
OBJECTIVOS DO TRABALHO ........................................................................................... 6
1.6
ORGANIZAÇÃO DO TRABALHO ....................................................................................... 6
2
NOÇÕES GERAIS SOBRE PONTES DE TIRANTES
2.1
INTRODUÇÃO ............................................................................................................... 11
2.2
CONCEPÇÃO ESTRUTURAL ........................................................................................... 12
2.2.1
Configuração longitudinal .................................................................................. 12
2.2.2
Sistemas de atirantamento .................................................................................. 15
2.2.3
Geometria das torres ........................................................................................... 17
2.2.4
Configurações e materiais do tabuleiro .............................................................. 21
2.3
ESTABILIDADE LOCAL E GLOBAL ................................................................................. 25
2.3.1
Estabilidade local ................................................................................................ 25
2.3.2
Estabilidade global ............................................................................................. 27
2.4
EXEMPLO DE ESTUDO .................................................................................................. 28
2.4.1
Descrição geral da ponte Vasco da Gama e do modelo de 420 m ..................... 29
2.4.2
Características do modelo de 420 m ................................................................... 32
2.4.3
Características dos modelos com vão central superior a 420 m ......................... 33
2.4.4
Materiais ............................................................................................................. 33
2.4.5
Definição da sobrecarga e da carga permanente ................................................ 33
ix
3
ESTABILIDADE LINEAR DE TABULEIROS ATIRANTADOS:
ANALOGIA VIGA-COLUNA SOBRE FUNDAÇÃO ELÁSTICA
3.1
CONSIDERAÇÕES GERAIS .............................................................................................35
3.2
FORMULAÇÃO DO PROBLEMA ......................................................................................36
3.3
ESTABILIDADE DE UMA COLUNA SOBRE FUNDAÇÃO ELÁSTICA ....................................38
3.3.1
Estabilidade de uma viga-coluna sujeita a um esforço normal constante e
sobre fundação elástica com rigidez constante..................................................39
3.3.2
Estabilidade de uma coluna sujeita a um esforço normal variável e sobre
fundação elástica com rigidez constante ...........................................................47
3.3.3
Estabilidade de uma coluna sujeita a um esforço normal constante e sobre
fundação elástica com rigidez variável .............................................................51
3.3.4
Estabilidade de uma coluna sujeita a um esforço normal variável e sobre
fundação elástica com rigidez variável .............................................................54
3.4
ESTABILIDADE ELÁSTICA DE UM TABULEIRO ATIRANTADO: MÉTODO SIMPLIFICADO ...58
3.5
ANÁLISE LINEAR DE ESTABILIDADE CONSIDERANDO EXCENTRICIDADES INICIAIS ........62
3.6
CONCLUSÕES DA ANALOGIA VIGA-COLUNA SOBRE FUNDAÇÃO ELÁSTICA....................64
ESTABILIDADE NÃO LINEAR DE TABULEIROS
ATIRANTADOS
4
4.1
TIPOS DE ANÁLISES DE ESTABILIDADE E DETERMINAÇÃO DA CARGA CRÍTICA ..............65
4.2
MODIFICAÇÃO DO MODELO DE COLUNA SOBRE FUNDAÇÃO ELÁSTICA .........................72
4.2.1
Efeito dos tirantes de retenção para um carregamento apenas no vão
central ..................................................................................................................72
4.2.2
Verificação das hipóteses consideradas na modificação do modelo de
coluna sobre fundação elástica ............................................................................76
x
4.3
COMPARAÇÃO DOS RESULTADOS PARA UM TABULEIRO COM 420 M DE VÃO
CENTRAL ..................................................................................................................... 78
4.4
5
CONCLUSÃO ................................................................................................................ 79
ANÁLISE PARAMÉTRICA DE ESTABILIDADE
5.1
INTRODUÇÃO ............................................................................................................... 81
5.2
INFLUÊNCIA DO PROCESSO CONSTRUTIVO ................................................................... 81
5.3
INFLUÊNCIA DA GEOMETRIA DO CARREGAMENTO ....................................................... 85
5.3.1
Cargas críticas para as diferentes geometrias de carregamentos e diferentes
vãos...................................................................................................................... 86
5.3.2
Variação da carga crítica do tabuleiro de 420 m de vão central carregado
apenas no vão central .......................................................................................... 87
5.3.3
5.4
Resumo dos resultados ....................................................................................... 90
INFLUÊNCIA DO
SISTEMA DE SUSPENSÃO .................................................................... 90
5.4.1
Sistema de atirantamento em leque .................................................................... 92
5.4.2
Sistema de atirantamento em harpa .................................................................... 93
5.4.3
Resumo dos resultados ....................................................................................... 95
5.5
INFLUÊNCIA DA ALTURA DAS TORRES E DO ESPAÇAMENTO ENTRE TIRANTES .............. 95
5.5.1
Influência da altura das torres ............................................................................. 96
5.5.2
Influência do espaçamento entre tirantes............................................................ 98
5.5.3
Resumo dos resultados ....................................................................................... 99
5.6
INFLUÊNCIA DA RIGIDEZ DE FLEXÃO DO TABULEIRO ................................................. 100
5.7
INFLUÊNCIA DA RIGIDEZ DE FLEXÃO DAS TORRES...................................................... 102
5.8
INFLUÊNCIA DA GEOMETRIA DAS TORRES .................................................................. 103
5.8.1
Considerações prévias ...................................................................................... 103
5.8.2
Modelo tridimensional adoptado ...................................................................... 103
5.8.3
Resultados......................................................................................................... 105
xi
5.9
INFLUÊNCIA DA LIGAÇÃO DO TABULEIRO ÀS TORRES .................................................107
5.10 INFLUÊNCIA DOS PILARES INTERMÉDIOS NOS VÃOS LATERAIS....................................108
5.11 CONCLUSÃO...............................................................................................................109
6
CONCLUSÕES E DESENVOLVIMENTOS FUTUROS
6.1
PRINCIPAIS ASPECTOS DO TRABALHO DESENVOLVIDO ...............................................111
6.2
SÍNTESE DAS PRINCIPAIS CONCLUSÕES.......................................................................113
6.3
DESENVOLVIMENTOS FUTUROS..................................................................................116
ANEXOS
Anexo A
Características geométricas dos tirantes e das torres do modelo base ...........119
Anexo B
Forças de puxe e peso dos tirantes .................................................................123
Anexo C
Características geométricas dos tirantes para a suspensão em leque e em
harpa ..............................................................................................................127
REFERÊNCIAS ................................................................................................................... 131
xii
ÍNDICE DE FIGURAS
1. INTRODUÇÃO
Figura 1.1 - Ponte de Evripos (Grécia) com um tabuleiro em betão armado pré-esforçado
de 0.45 m de altura e um vão central de 215 m. ................................................. 3
Figura 1.2 - - Esbelteza do tabuleiro de pontes atirantadas mistasem função do vão
principal [6]......................................................................................................... 3
2. NOÇÕES GERAIS DE PONTES DE TIRANTES
Figura 2.1 - Funcionamento estrutural de uma ponte de tirantes. ............................................ 12
Figura 2.2 - Evolução do sistema de atirantamento do tabuleiro. ............................................ 13
Figura 2.3 - Suspensão central e lateral em pontes de tirantes. ................................................ 14
Figura 2.4 - Configurações do sistema de suspensão do tabuleiro: a) leque, b) semileque, e c) harpa. ............................................................................................... 15
Figura 2.5 - Configuração em leque - ponte Clark, EUA. ....................................................... 16
Figura 2.6 - Configuração em harpa - ponte Øresund, entre a Suécia e a Dinamarca. ............ 16
Figura 2.7 - Configuração em semi-leque - ponte Vasco da Gama, Lisboa............................. 16
Figura 2.8 - Fuste único vertical: ponte de Stonecutters - Hong-Kong. ................................... 18
Figura 2.9 - Forma da torre em pórtico transversal: ponte Vasco da Gama - Lisboa. ............. 19
Figura 2.10 - Forma da torre em pórtico longitudinal: ponte Neuwied - Alemanha. ............... 19
Figura 2.11 - Forma da torre em A: ponte Jindo - Coreia do Sul. ............................................ 19
Figura 2.12 - Forma da torre em Y invertido: ponte sobre o Rio Suir - Irlanda........................ 20
Figura 2.13 - Forma da torre em diamante: ponte Tatara - Japão. ........................................... 20
Figura 2.14 - Forma da torre em pirâmide: ponte Rion-Antirion - Grécia. .............................. 20
xiii
Figura 2.15 - Torres com formas particulares: ponte de La Unidad - México. ........................21
Figura 2.16 - Configurações possíveis do tabuleiro com suspensão central e rigidez de
torção elevada. ...................................................................................................22
Figura 2.17 - Configurações possíveis do tabuleiro com suspensão lateral e rigidez de
torção elevada. ...................................................................................................23
Figura 2.18 - Elementos básicos numa secção transversal mista do tipo bi-viga [6]. ..............23
Figura 2.19 - Secções transversais do tabuleiro atirantado em treliça. .....................................24
Figura 2.20 - Ancoragem dos tirantes no tabuleiro: (a) no alinhamento das vigas
principais; e (b) exteriores às vigas principais. .................................................24
Figura 2.21 - Instabilidade local da alma de uma viga: (a) instabilidade local como
coluna, (b) instabilidade local como placa e (c) instabilidade induzida
pelos banzos ......................................................................................................26
Figura 2.22 - Secção transversais: (a) ponte Vasco da Gama; e (b) modelo adoptado [5]. ......31
Figura 2.23 - Pormenor da viga longitudinal da secção transversal adoptada no modelo. .......31
Figura 2.24 - Modelo de cálculo e discretização adoptada [5].................................... .............32
3. ESTABILIDADE LINEAR DE TABULEIROS ATIRANTADOS: ANALOGIA VIGACOLUNA SOBRE FUNDAÇÃO ELÁSTICA
Figura 3.1 - Deformada de uma barra sujeita apenas a esforço axial. ......................................37
Figura 3.2 - Gráfico da variação do esforço normal (a verde) e da rigidez vertical
equivalente conferida pelos tirante (a azul), para uma carga distribuída
unitária q = 1 kN/m para metade de tabuleiro com 420 m de vão central e
suspensão lateral. .................................................................................................37
Figura 3.3 - Energia potencial (U 1 ) de deformação de uma barra com EI constante. ..............40
Figura 3.4 - Energia potencial (U 2 ) de deformação da fundação com rigidez β(x)=β 0
constante. .............................................................................................................41
Figura 3.5 - Energia potencial (V e1 ) da força axial aplicada. ....................................................42
xiv
Figura 3.6 - Energia potencial (V e2 ) da força vertical distribuída uniforme (q). ...................... 43
Figura 3.7 - Variação de N cr /N E com o número de semi-ondas (n) considerado e com o
parâmetro adimensional (μ), para uma coluna sobre fundação elástica de
rigidez constante e esforço normal igualmente constante ao longo do seu
comprimento........................................................................................................ 46
Figura 3.8 - Coluna sobre fundação elástica submetida a um esforço normal parabólico
do 2ºgrau.............................................................................................................. 48
Figura 3.9 - Diagrama de (N cr /N E ) para colunas sobre fundação elástica de rigidez
constante, submetidas a esforços normais com variações lineares e
parabólicas. .......................................................................................................... 50
Figura 3.10 - Relação f N (μ) entre a carga crítica de colunas sobre fundação elástica de
rigidez constante, submetidas a esforços normais com variações lineares e
parabólicas e a carga crítica de colunas equivalentes submetidas a esforços
normais constantes . ............................................................................................ 51
Figura 3.11 - Diagrama de (N cr /N E ) para colunas sobre fundação elástica de rigidez com
variações lineares e parabólicas, submetidas a esforços normais constantes. ..... 53
Figura 3.12 - Relação f β (μ) entre a carga crítica de colunas submetidas a esforços axiais
constantes, com fundação elástica de rigidez variável de forma linear e
parabólica, e a carga crítica de colunas equivalentes com rigidez de
fundação constante. ............................................................................................. 54
Figura 3.13 - Diagrama de (N cr /N E ) para colunas sobre fundação elástica de rigidez e
esforço normal variáveis ao longo do seu comprimento. .................................... 55
Figura 3.14 - Relação f βN (μ) entre a carga crítica de colunas submetidas a esforços
axiais variáveis com fundação elástica de rigidez variável, e a carga crítica
de colunas equivalentes com rigidez de fundação e esforço normal
constante. ............................................................................................................. 56
Figura 3.15 - Modelo de coluna sobre fundação elástica elaborado no programa de
elementos finitos SAP2000, considerando uma variação de esforço normal
e rigidez de fundação apresentados. .................................................................... 57
xv
Figura 3.16 - Coluna real e conceito de coluna equivalente, associado à hipótese
simplificativa de Klein. ........................................................................................59
Figura 3.17 - Variações ao longo de metade do vão central do tabuleiro de N(x) β(x) e
β(x)/N(x). ..............................................................................................................60
Figura 3.18 - Análise elástica linear executada para uma coluna sobre fundação elástica
com 420 m de comprimento: (a) sem excentricidade inicial; (b) com uma
excentricidade inicial ω o =L/180; e (c) com uma excentricidade inicial
ω o =L/15. ..............................................................................................................63
4. ESTABILIDADE NÃO LINEAR DE TABULEIROS ATIRANTADOS
Figura 4.1 - Tipos de equilíbrio após atingir-se a carga crítica numa estrutura com
instabilidade por bifurcação. ................................................................................65
Figura 4.2 - Trajectórias de carga-deslocamento numa análise elástica linear e não linear
de estabilidade. ....................................................................................................66
Figura 4.3 - Três trajectórias de carga-deslocamento possíveis numa análise não linear
de estabilidade. ....................................................................................................67
Figura 4.4 - Resultados para uma análise linear e não linear de estabilidade no programa
SAP2000, para o modelo com 420 m de vão central, para diferentes
tipologias de carregamento. .................................................................................69
Figura 4.5 - Diagramas de carga-deslocamento para as análises não lineares e lineares
de estabilidade apresentadas na Figura 4.4. .........................................................70
Figura 4.6 - Desenvolvimento dos deslocamentos nos nós 39, 41 e 43 para a análise não
linear efectuada quando apenas metade do vão central é carregada. ...................71
Figura 4.7 - Efeito dos tirantes de retenção na rigidez vertical conferida ao tabuleiro
quando apenas é carregado o vão central.............................................................73
Figura 4.8 - Variação da carga crítica (q cr ) com o vão central do tabuleiro, para um
carregamento apenas no vão central do tabuleiro, considerando o modelo
xvi
de coluna sobre fundação elástica e a hipótese de Klein, ambos com
rigidez da fundação modificada. ......................................................................... 75
Figura 4.9 - Comparação da rigidez da torre com a rigidez dos tirantes de retenção para
diferentes valores de EI da torre. ......................................................................... 76
Figura 4.10 - Relação entre o deslocamento horizontal no tabuleiro e vertical na torre
devido à rigidez conferida pelo tirante de retenção, considerando a
hipótese dos pequenos deslocamentos (a azul) ou não (a verde), assim
como o erro relativo entre estas abordagens (a vermelho). ................................. 77
Figura 4.11 - Modo de instabilidade elástica de um tabuleiro atirantado com 420 m de
vão central, para a sobrecarga aplicada ao longo de todo o tabuleiro. ................ 79
5. ANÁLISE PARAMÉTRICA DE ESTABILIDADE
Figura 5.1 - Fases do processo construtivo de uma ponte de tirantes pelo método dos
avanços sucessivos, de forma simétrica em relação às torres, simulada no
programa SAP2000. ............................................................................................. 83
Figura 5.2 - Geometria do carregamento considerado na análise da influência do
processo construtivo para a estabilidade do tabuleiro. ........................................ 84
Figura 5.3 - Diagrama de esforços normais iniciais instalados no tabuleiro para os casos
de inclusão (a azul) ou não (a verde) do processo construtivo na análise de
estabilidade. ......................................................................................................... 84
Figura 5.4 - Geometrias de carregamento consideradas para análise da influência deste
aspecto na estabilidade do tabuleiro: (a) carregamento em todo o tabuleiro;
(b) carregamento só no vão central; e (c) carregamento apenas em 50 % do
vão central. .......................................................................................................... 85
Figura 5.5 - Variação da carga crítica (q cr ) com o vão central do tabuleiro, para
diferentes geometrias de carregamento. .............................................................. 86
Figura 5.6 - Hipótese do tirante crítico para o caso de carregamentos excêntricos no
meio vão do tabuleiro. ......................................................................................... 88
xvii
Figura 5.7 - Geometrias de carregamentos que são abrangidas pela hipótese do tirante
crítico. ..................................................................................................................89
Figura 5.8 - Variação da carga crítica (q cr ) com percentagem do vão central carregada
no modelo de 420 m de vão central. ....................................................................89
Figura 5.9 - Variação do esforço normal e da rigidez vertical equivalente conferida
pelos tirantes, para uma carga distribuída unitária (q=1 kN/m) para metade
de tabuleiro com 420 m de vão central, consoante o tipo de sistema de
atirantamento. ......................................................................................................91
Figura 5.10 - Evolução do deslocamento a meio-vão com o carregamento do tabuleiro,
para o sistema de suspensão em leque (a verde), harpa (a azul) e semileque (a vermelho). ............................................................................................91
Figura 5.11 - Cargas críticas e modos de instabilidade associados aos vários de sistemas
de suspensão. .....................................................................................................92
Figura 5.12 - Variação do deslocamento a meio vão com o sucessivo carregamento do
tabuleiro, para o caso do sistema de suspensão em harpa. ................................93
Figura 5.13 - Variação do esforço normal no tabuleiro junto à torre e na secção crítica,
com o sucessivo carregamento do tabuleiro para o caso do sistema de
suspensão em harpa. ..........................................................................................94
Figura 5.14 - Configuração do tabuleiro da ponte com sistema de atirantamento em
harpa, para um carregamento que permite obter uma compressão junto à
torre semelhante à da hipótese de Klein. ...........................................................94
Figura 5.15 - Variação da carga crítica (q cr ) com o vão central do tabuleiro, para
diferentes alturas das torres e dois tipos de carregamentos. ..............................97
Figura 5.16 - Variação do esforço normal e da rigidez vertical elástica em metade do
tabuleiro com 420 m de vão central, quando submetido a uma carga
uniforme unitária, para diferentes alturas da torre. ...........................................97
Figura 5.17 - Variação da carga crítica (q cr ) com o vão central do tabuleiro, para
espaçamentos entre tirantes diferentes e dois tipos de carregamentos. .............98
xviii
Figura 5.18 - Variação da carga crítica (q cr ) com o vão central do tabuleiro, para
diferentes alturas da viga e submetido a um carregamento em todo o
tabuleiro. ......................................................................................................... 101
Figura 5.19 - Variação da carga crítica (q cr ) com o vão central do tabuleiro, para
diferentes alturas da viga e submetido a um carregamento apenas no vão
central. ............................................................................................................. 101
Figura 5.20- Variação da carga crítica (q cr ) com diferentes valores de rigidez de flexão
longitudinal das torres (EI torre ), para o modelo de 420 m de vão central
carregado ao longo de todo o tabuleiro. .......................................................... 103
Figura 5.21- Modelos tridimensionais adoptados para o estudo da influência da
geometria das torres na estabilidade do tabuleiro: (a) geometria das torres
em Y invertido; e (b) geometria das torres em A. ............................................ 104
Figura 5.22 - Geometrias consideradas para as torres (a i ) e corte longitudinal comum a
todas (b):(a 1 ) torre em pórtico transversal; (a 2 ) torre em Y invertido; e
(a 3 ) torre em A. ............................................................................................... 105
Figura 5.23 - Variação do deslocamento a meio vão com o sucessivo carregamento do
tabuleiro, para os casos de geometrias transversais das torres em pórtico
(a verde), em Y invertido (a azul) e em A (a vermelho). ................................ 106
Figura 5.24 - Modo de instabilidade do tabuleiro para o caso das torres com geometria
em Y invertido. ................................................................................................ 106
Figura 5.25 - Variação do deslocamento a meio vão com o sucessivo carregamento do
tabuleiro, para o caso do sistema de suspensão total e no caso de se
considerar o apoio do tabuleiro junto às torres. .............................................. 107
Figura 5.26 - Modos de instabilidade do tabuleiro com 420 m de vão central, para o caso
totalmente suspenso (a vermelho) e apoiado junto às torres (a azul). ............ 108
Figura 5.27 - Carga crítica em função do vão central do tabuleiro, para casos com e sem
apoios intermédios dos vãos laterais. .............................................................. 109
xix
xx
ÍNDICE DE QUADROS
3. ESTABILIDADE LINEAR DE TABULEIROS ATIRANTADOS: ANALOGIA VIGACOLUNA SOBRE FUNDAÇÃO ELÁSTICA
Quadro 3.1 - Valores de (N cr /N E ) e (L o /L) em função do parâmetro μ para uma coluna
sobre fundação elástica com esforço normal representado na Figura 3.8. .......... 49
Quadro 3.2 - Valores de (N cr /N E ) para uma coluna sobre fundação elástica de rigidez
variável sujeita a um esforço normal também variável como representado
na Figura 3.15. ..................................................................................................... 58
Quadro 3.3 - Comparação entre os valores das cargas críticas obtidas pelo método
simplificado (coluna equivalente) e por uma análise elástica linear de
estabilidade (coluna real). ................................................................................... 61
5. ANÁLISE PARAMÉTRICA DE ESTABILIDADE
Quadro 5.1 - Resultados obtidos para duas análises não-lineares de estabilidade, uma
considerando o processo construtivo e outra não. ............................................... 84
Quadro 5.2 - Rigidez de flexão do tabuleiro para cada uma das alturas de viga
analisadas. ......................................................................................................... 100
xxi
xxii
NOTAÇÃO
M A I Ú S C U L A S L AT I N A S
A
Área da secção transversal do tirante
E
Módulo de elasticidade
E co
Módulo de elasticidade tangente na origem do betão
Ee
Módulo de elasticidade do aço dos tirantes
Ea
Módulo de elasticidade do aço estrutural
F
Força concentrada
I, I y
Momento de Inércia de flexão (segundo o eixo y de maior inércia)
I torre
Momento de Inércia de flexão da torre (segundo o eixo prependicular ao plano da estrutura)
K
Constante de mola
K v,i
Rigidez vertical conferida por um tirante (i) ao tabuleiro
L
Vão de uma viga; Vão central do tabuleiro; Comprimento de um tirante
L0
Comprimento de encurvadura da viga-coluna
L1, L2
Vãos laterais do tabuleiro
L cr
Comprimento de encurvadura do tabuleiro
M
Momento flector
N
Esforço normal
N cr
Carga crítica de instabilidade elástica de uma coluna; Esforço normal crítico do tabuleiro
N cr ’
Esforço normal crítico do tabuleiro quando sujeito a um carregamento apenas no vão central
NE
Carga de Euler de uma coluna
Ni
Esforço normal no tabuleiro na ligação ao tirante i
N i,cr
Esforço normal na secção do tabuleiro junto ao tirante i quando é atingida a carga crítica
N máx,inicial Esforço normal máximo no tabuleiro depois de aplicada a carga permanente
No
Esforço normal máximo de uma coluna com distribuição variável ao longo do vão
N o,cr
Esforço normal crítico de uma coluna com distribuição de esforço normal variável ao longo do vão
P cr
Carga crítica associada a uma análise linear de estabilidade de uma coluna
PP
Peso próprio da ponte por unidade de comprimento
R
Raio de curvatura
Ri
Relação entre a rigidez vertical do tirante (K v,i ) e o esforço normal do tabuleiro (N i ) no tirante i
RCP
Restante carga permanente da ponte por unidade de comprimento
T
Força nos tirantes
∆T
Diferença de temperatura que simula o puxe dos tirantes no processo construtivo
U1
Energia potencial de deformação por flexão
U2
Energia de deformação elástica da fundação
V e1
Energia potencial da força axial aplicada
V e2
Energia potencial da força vertical distribuída uniformemente
δV
Variação da energia potencial total
xxiii
M I N Ú S C U L A S L AT I N A S
a
Espaçamento dos tirantes ao nível do tabuleiro
b
Ângulo
cp
Carga permanente do tabuleiro
f Ν (µ)
Função que relaciona o valor da carga crítica de uma coluna sobre fundação elástica com esforço
normal variável e rigidez constante com a coluna correspondente de esforço normal e rigidez constante
f β (µ)
Função que relaciona o valor da carga crítica de uma coluna sobre fundação elástica com esforço
constante e rigidez variável com a coluna correspondente de esforço normal e rigidez constante
f βΝ (µ) Função que relaciona o valor da carga crítica de uma coluna sobre fundação elástica com esforço
normal e rigidez variável com a coluna correspondente de esforço normal e rigidez constante
h
Altura de uma secção transversal; Altura da torre
l
Comprimento; Comprimento do tirante
lo
Comprimento inicial do tirante
n
Número de semi-ondas do modo de instabilidade
q
Carga distribuída
q cr
Carga distribuída crítica aplicada no tabuleiro
q cr ’
Carga distribuída crítica devido a um carregamento do tabuleiro apenas no tramo central
q cp
Carga distribuída associada à carga permanente da estrutura
q lim
Carga distribuída crítica aplicada no tabuleiro para o caso de uma instabilidade por ponto limite
sob
Sobrecarga uniforme no tabuleiro
x
Coordenada no plano (x,y)
y(x)
Deformada de uma viga no plano; Coordenada no plano (x,y)
MAIÚSCULAS GREGAS
Δ 1,v ,Δ 2,v Deslocamento vertical no tabuleiro (índice 1 associado à rigidez do tirante central; índice 2
associado ao deslocamento horizontal na torre)
Δ 2,h
Deslocamento horizontal na torre
MINÚSCULAS GREGAS
α
Ângulo; Ângulo formado por um tirante com o tabuleiro
β (x)
Rigidez elástica conferida pelos tirantes ao longo do tabuleiro; Rigidez elástica da fundação de uma
coluna sobre fundação elástica
β
i
βo
Rigidez elástica equivalente conferida pelos tirantes ao tabuleiro
Rigidez elástica máxima da fundação de uma coluna sobre fundação elástica com rigidez variável ao
longo do vão
xxiv
δ meio vão, inicial Deslocamento vertical do tabuleiro a meio vão depois de aplicada a carga permanente
δ V,i
Deslocamentos (vertical) de um nó (i) da estrutura
λ,λ 1 ,λ 2
Parâmetro de carga (índice 1 quando λ é aplicado ao conjunto {cp+sob} em todo o tabuleiro; índice 2
quando λ é apenas à {sob})
λ cr
Parâmetro de carga crítico
λu
Parâmetro de carga último associado à rotura por plastificação
µ
Parâmetro adimensional de uma coluna sobre fundação elástica
σ cr
Tensão crítica de estabilidade de placa
φ
Ângulo
ω
Excêntricidade de uma coluna relativamente à sua posição indeformada
ωo
Excêntricidade inicial de uma coluna relativamente à sua posição indeformada
ω o,cp
Excêntricidade inicial de uma coluna relativamente à sua posição indeformada devido à acção das
cargas permanentes
xxv
xxvi
CAPÍTULO 1 – INTRODUÇÃO
1
1.1
INTRODUÇÃO
CONSIDERAÇÕES GERAIS
As pontes de tirantes representam actualmente uma solução económica, eficiente e
esteticamente apelativa para pontes de vãos muito diversos. Para pequenos vãos este tipo
de estruturas competem com outros tipos de pontes quando é exigido uma grande esbelteza
ao nível do tabuleiro, nomeadamente em meios urbanos. Para vãos acima dos mil metros,
as pontes de tirantes competem actualmente com as pontes suspensas, estando em
construção uma ponte com um vão principal superior a 1 100 m [6].
As primeiras pontes suportadas por tirantes foram construídas no século dezanove. No
entanto, só a partir da segunda metade do século vinte houve um grande desenvolvimento
neste tipo de pontes, devido aos progressos nas áreas dos materiais, dos processos
construtivos, dos instrumentos e modelos de análise.
Os elementos estruturais que constituem uma ponte de tirantes (tabuleiro, torres e tirantes)
podem ter diversas configurações, o que permite que sejam utilizadas numa grande
variedade de vãos. Também ao nível dos materiais, no caso dos tabuleiros, é possível
tomar uma decisão tendo em conta as limitações da obra, uma vez que são possíveis as
seguintes opções: tabuleiros inteiramente em aço; tabuleiros de betão armado e préesforçado; ou com um tabuleiro misto aço-betão.
A opção entre as diversas configurações e materiais na concepção de uma ponte de tirantes
é condicionada por diversos factores. Os condicionantes estéticos e funcionais, assim como
o processo construtivo são fundamentais, uma vez que determinam a escolha do tipo de
tabuleiro, o número e dimensão dos vãos, a altura das torres, a configuração do sistema de
suspensão, entre outros aspectos.
1
ESTABILIDADE GLOBAL DE TABULEIROS ATIRANTADOS
1.2
ESTABILIDADE DO TABULEIRO
A superstrutura de uma ponte de tirantes é composta de forma simples por pilares/torres,
por tirantes e pelo tabuleiro. O funcionamento geral deste tipo de estruturas é o seguinte: o
tabuleiro é responsável por receber as cargas do tráfego; os tirantes transmitem estas cargas
às torres; e as torres por sua vez transmitem as mesmas às fundações. Os tirantes inclinados
ao desempenharem a sua função de conduzir as forças verticais do tabuleiro para as torres,
introduzem uma compressão no tabuleiro. Esta compressão, caso seja muito elevada e o
tabuleiro muito esbelto, pode produzir a instabilidade global do tabuleiro.
A construção de pontes de tirantes, com vãos e esbeltezas cada vez maiores, tem
caminhado em paralelo com os desenvolvimentos científicos nas áreas da análise estrutural
e dos materiais. Alguns exemplos de pontes deste tipo com esbelteza crescente (todas
rodoviárias com suspensão lateral e tabuleiro misto em aço-betão ou de betão armado),
ilustram bem os desafios que este tipo de estruturas foram superando ao longo dos anos:
− a ponte de Heer-Agimont (Bélgica, 1975), com 124 m de vão central e uma esbelteza
de 106;
− a ponte de Diepoldsau (Suíça, 1985), com 97 m de vão central e uma esbelteza de
176;
− a ponte de Annacis (Canadá, 1986), com 465 m de vão central e uma esbelteza de
210;
− a ponte de Rion-Antirion (Grécia, 2005), com 560 m de vão central e uma esbelteza
de 224;
− a ponte de Ting Kau (R.P. da China, 1998), com 448 m e 475 nos vãos centrais e uma
esbelteza de 271;
− a ponte de Evripos (Grécia, 1992), com 215 m de vão central e uma esbelteza de 478
(Figura 1.1).
O fenómeno de rotura por instabilidade global do tabuleiro foi até hoje objecto de pouca
atenção tanto por parte de projectistas como de investigadores, uma vez que os parâmetros
de carga (relativamente ao peso próprio da ponte) associados a este tipo de rotura são
normalmente superiores a seis, e de acordo com os estudos conhecidos são sempre
2
CAPÍTULO 1 – INTRODUÇÃO
superiores aos parâmetros de carga associados à rotura plástica do tabuleiro ou dos
tirantes[2;8;9]. Contudo, com o sucessivo aumento da esbelteza nas pontes de tirantes, este
fenómeno pode passar a ter uma maior relevância.
Figura 1.1 - Ponte de Evripos (Grécia) com um tabuleiro em betão armado pré-esforçado de 0.45 m de
altura e um vão central de 215 m.
O aumento da esbelteza das pontes atirantadas significa um tabuleiro de menores
dimensões relativamente ao maior vão. Esta diminuição do tabuleiro associado à
construção de pontes com vãos cada vez maiores (o que implica um nível de compressão
superior no tabuleiro) pode agravar o risco de instabilidade global do tabuleiro. A título de
exemplo apresenta-se na Figura 1.2 a esbelteza para tabuleiros atirantados mistos.
Figura 1.2 - Esbelteza do tabuleiro de pontes atirantadas mistasem função do vão principal [6].
3
ESTABILIDADE GLOBAL DE TABULEIROS ATIRANTADOS
Na primeira geração de pontes deste tipo, os tirantes encontravam-se bastante espaçados
entre si ao longo do tabuleiro. Os tirantes funcionavam como apoios intermédios e a
instabilidade do tabuleiro entre estes era controlada, com a carga crítica e o modo de
instabilidade a serem facilmente determinados. Devido aos pequenos vãos e tabuleiros
pouco flexíveis, raramente este tipo de rotura era condicionante. Com o início da
concepção de pontes com suspensão múltipla, i.e. tirantes pouco espaçados entre si, o
cálculo da carga crítica associado ao tabuleiro tornou-se mais complexo uma vez que os
modos de instabilidade já não eram tão simples. Contudo, o facto dos tirantes se
encontrarem muito próximo uns dos outros, permitiu desenvolver a analogia entre um
tabuleiro atirantado e uma viga-coluna sobre fundação elástica, fornecida pelos tirantes.
Este apoio conferido de forma quase contínua pelos tirantes permitiu, para as pontes
construídas, que o fenómeno da instabilidade do tabuleiro não fosse condicionante.
1.3
COMPORTAMENTO NÃO LINEAR
Devido aos grandes vãos e tabuleiros muito flexíveis o comportamento não linear das
pontes de tirantes para cargas estáticas é um dos aspectos mais importante do seu
dimensionamento. Este tipo de comportamento está presente em vários níveis numa ponte
deste género:
− Não linearidade geométrica do tabuleiro e das torres − Os tirantes inclinados
transmitem ao tabuleiro e às torres forças de compressão elevadas, que podem
produzir efeitos de segunda ordem significativos nestes elementos da estrutura,
quando o tabuleiro é submetido a deformações provocadas pelo tráfego rodoviário ou
ferroviário. Também durante o processo construtivo, como a deformabilidade das
torres e do tabuleiro é maior, a instalação dos tirantes pode produzir importantes
efeitos de segunda ordem na estrutura. Quanto mais flexível for o tabuleiro e maior o
vão da ponte, mais importância estes efeito geometricamente lineares têm.
− Não linearidade dos tirantes − Os tirantes deformam-se devido à acção do seu peso
próprio, em função do seu comprimento e tensão instalada. Este efeito é tido em
consideração através de um módulo de elasticidade equivalente para o tirante, e será
igual ou menor ao módulo de elasticidade do aço.
4
CAPÍTULO 1 – INTRODUÇÃO
− Não linearidade física dos materiais − Tanto o aço como o betão exibem um
comportamento marcadamente não linear, que deve ser tido em consideração quando
se efectua uma análise à rotura.
− Efeitos diferidos do betão − As tensões ou deformações impostas ao longo do tempo
resultantes dos efeitos de fluência e relaxação e retracção das peças de betão, dão
origem a redistribuições de esforços e aumento das deformações do tabuleiro e das
torres ao longo do tempo.
Todos estes aspectos, entre outros mais específicos de cada tipo de pontes como a não
linearidade física da conexão aço/betão para tabuleiros mistos e os efeitos do faseamento
construtivo, tem de ser tidos em conta na concepção de uma ponte de tirantes [2;3;15].
Contudo, para efeitos deste trabalho, os efeitos geometricamente não lineares associados
ao tabuleiro e às torres, são os únicos relevantes para uma análise elástica de estabilidade
global do tabuleiro, como referido nos números seguintes.
1.4
ANÁLISE DE ESTABILIDADE
Efectua-se neste trabalho uma avaliação da estabilidade dos tabuleiros atirantados. Tal
como é usual neste tipo de investigação, efectua-se uma análise elástica de estabilidade, em
que não se considera a não linearidade física dos materiais, e portanto não é considerada a
sua plastificação. Assim assume-se que mesmo para elevados níveis de carregamento o aço
e o betão funcionam sempre em regime elástico.
Considerando este tipo de análises de estabilidade, pode ser feita uma análise linear ou não
linear:
− Análise linear de estabilidade − considera-se a estrutura sempre inderfomada até se
dar a sua instabilidade. Analiticamente resume-se a um problema de valores e
vectores próprios, que nunca altera a matriz de rigidez da estrutura, uma vez que não
se considera a sua deformabilidade até ocorrer a sua instabilidade.
− Análise não linear de estabilidade – são consideradas as sucessivas posições de
equilíbrio da estrutura (resultante das suas deformações) à medida que é sujeita a
níveis de carga crescentes. Neste caso a matriz de rigidez elástica da estrutura vai
sendo reajustada tendo em conta a configuração deformada da estrutura, resultante
5
ESTABILIDADE GLOBAL DE TABULEIROS ATIRANTADOS
dos carregamentos. A instabilidade ocorre quando não é possível atingir o equilíbrio
para um dado incremento no carregamento.
Ao longo deste trabalho utilizam-se os dois tipos de análises de estabilidade.
1.5
OBJECTIVOS DO TRABALHO
Tendo em conta o problema da estabilidade de tabuleiros atirantados apresentada nos
pontos anteriores, identificam-se os seguintes objectivos principais do presente trabalho:
1) Desenvolvimento de um modelo que permita avaliar de forma aproximada a
estabilidade elástica de tabuleiros à flexão/compressão, recorrendo à analogia de
um tabuleiro atirantado como uma viga-coluna sobre fundação elástica.
2) Estudo paramétrico que permita obter conclusões relativamente à estabilidade de
tabuleiros atirantados tendo em conta os vários aspectos a considerar na sua
concepção e dimensionamento, nomeadamente: a configuração do sistema de
suspensão; a geometria e altura das torres; o espaçamento entre tirantes; e a
geometria do carregamento.
1.6
ORGANIZAÇÃO DO TRABALHO
O trabalho está organizado em seis capítulos, designadamente: a presente Introdução e um
capítulo final com a síntese das principais Conclusões do trabalho; e quatro capítulos sobre
os seguintes temas − (2) Noções Gerais Sobre Pontes de Tirantes, a (3) Estabilidade
Linear de Tabuleiros Atirantados: Analogia Viga-Coluna Sobre Fundação Elástica, a (4)
Estabilidade Não Linear de Tabuleiros Atirantados e (5) Análise Paramétrica de
Estabilidade.
No Capítulo 1 − Introdução − faz-se uma introdução geral ao tema das pontes de tirantes e
em particular ao problema da estabilidade dos seus tabuleiros para cargas estáticas. São
referidas as diversas fontes de não lineariedades associadas a este tipo de estruturas e
descritas de forma breve os tipos de análises de estabilidade realizadas ao longo do
6
CAPÍTULO 1 – INTRODUÇÃO
trabalho. São também definidos de forma clara os objectivos principais do trabalho e é
descrita a sua organização.
O Capítulo 2 − Noções Gerais Sobre Pontes de Tirantes − começa por uma descrição geral
sobre a concepção estrutural das pontes de tirantes, nomeadamente sobre: (1) as suas
possíveis configurações longitudinais; (2) tipo de sistemas de suspensão/atirantamento; (3)
geometria das torres; e (4) configurações e materiais do tabuleiro.
São referidas e descritas as não linearidades associadas a uma ponte de tirantes, assim
como quais são tidas em conta no desenvolvimento deste trabalho. Os conceitos de
estabilidade local e global também associados a este tipo de pontes são definidos.
Este capítulo é concluído com a descrição do exemplo de estudo usado para elaborar este
trabalho, onde é feita a comparação entre o modelo adoptado e a ponte Vasco da Gama e
apresentadas as características do modelo.
O Capítulo 3 − Estabilidade Linear de Tabuleiros Atirantados: Analogia Viga-Coluna
Sobre Fundação Elástica − apresenta em primeiro lugar a formulação do problema da
avaliação da estabilidade elástica global de um tabuleiro atirantado, com recurso a analogia
com uma viga-coluna sobre fundação elástica. O modelo analítico baseado numa análise
linear de estabilidade da coluna sobre fundação elástica é deduzido, e são apresentados os
resultados que se obtêm considerando diferentes variações de esforço normal e rigidez da
fundação ao longo da barra. Apresenta-se de seguida um método simplificado baseado
nesta analogia para estudar a estabilidade elástica global de tabuleiros atirantados.
Comparam-se os resultados obtidos com este método, com os obtidos através de modelos
numéricos de colunas sobre fundação elástica.
A introdução de uma imperfeição geométrica no modelo de coluna sobre fundação elástica
é analisada através de um modelo numérico, com o objectivo avaliar a influência do
comportamento de viga do tabuleiro numa análise linear de estabilidade.
No Capítulo 4 − Estabilidade Não Linear de Tabuleiros Atirantados − começa-se por
explicar os conceitos de análise linear e não linear de estabilidade, referindo exemplos de
7
ESTABILIDADE GLOBAL DE TABULEIROS ATIRANTADOS
alguns tipos de resultados possíveis de obter neste segundo tipo de análises e identificandose as suas dificuldades. São apresentadas as particularidades associadas às pontes de
tirantes que afectam a análise de estabilidade global. São apresentados e analisados os
resultados para diversas análises não lineares de estabilidade, cada uma associada a uma
geometria de carregamento diferente.
É proposta uma modificação do modelo da viga-coluna sobre fundação elástica com o
objectivo de conseguir uma melhor aproximação da carga crítica para um carregamento
apenas no vão central do tabuleiro. É apresentado o estudo da estabilidade do tabuleiro de
420 m de vão central descrito no Capítulo 2, comparando-se os resultados de: (1) um
modelo numérico baseado numa análise não linear de estabilidade; (2) um modelo de vigacoluna sobre fundação elástica; e (3) um método simplificado proposto por Klein [4].
O Capítulo 5 − Análise Paramétrica de Estabilidade − inicia-se pela análise da influência
da inclusão do processo construtivo numa análise não linear de estabilidade numa ponte de
tirantes.
São apresentado os resultados de várias análises lineares e não lineares de estabilidade
efectuadas, avaliando a influência de determinados aspectos relativos à concepção das
pontes de tirantes, na estabilidade global do seu tabuleiro. Efectua-se nomeadamente uma
análise paramétrica que permite avaliar a importância dos seguintes aspectos na
estabilidade global da estrutura: (1) geometria do carregamento; (2) tipo de sistema de
suspensão; (3) sistema de suspensão; (4) altura das torres; (5) espaçamento entre tirantes;
(6) rigidez de flexão do tabuleiro; (7) rigidez de flexão das torres; (8) geometria transversal
das torres; (9) ligação do tabuleiro às torres; e (10) existência de pilares intermédios nos
vãos laterais.
No Capítulo 6 − Conclusões e Desenvolvimentos Futuros − efectua-se uma síntese geral
das conclusões do trabalho desenvolvido e apresentam-se aspectos que justificam futuros
trabalhos.
O presente trabalho inclui ainda três anexos, organizados da forma seguinte:
8
CAPÍTULO 1 – INTRODUÇÃO
− Anexo A, inclui as características geométricas dos tirantes e as propriedades
geométricas do modelo apresentado no Capítulo 2.
− Anexo B, com dados referentes às forças nos tirantes, necessários para a simulação do
processo construtivo referido no Capítulo 5.
− Anexo C, com as características geométricas dos tirantes para os tipos de suspensão em
leque e em harpa.
9
ESTABILIDADE GLOBAL DE TABULEIROS ATIRANTADOS
10
CAPÍTULO 2 – NOÇÕES GERAIS SOBRE PONTES DE TIRANTES
2
2.1
NOÇÕES GERAIS SOBRE PONTES DE TIRANTES
INTRODUÇÃO
Nas últimas décadas o âmbito de aplicação das pontes de tirantes tem vindo
progressivamente a aumentar, sendo hoje em dia uma opção válida para diversos vãos. No
domínio das pontes de pequeno e médio vão, as soluções atirantadas constituem soluções
adequadas para ultrapassar problemas locais, tais como o caso de pontes urbanas, onde é
muitas vezes necessário recorrer a tabuleiros muito esbeltos e, não é possível posicionar
pilares intermédios definitivos ou mesmo provisórios durante o processo construtivo.
Nestas situações, uma ponte atirantada constitui uma solução adequada, de fácil e rápida
execução e boa qualidade estética [6].
No caso dos grandes vãos, as pontes de tirantes estão prestes a atingir o patamar dos
1100 m de vão principal, quando em 2012 a ponte de Russky Island na Rússia for
inaugurada com um vão de 1104 m. A concepção de pontes de grandes vãos tem sido
acompanhada pela redução da altura das secções transversais do tabuleiro, o que permite
uma economia de material e também uma redução da área de exposição ao vento. A
esbelteza do tabuleiro, definida como a relação entre o vão principal e altura da secção
principal, tem vindo progressivamente a aumentar, situando-se actualmente entre 100 e
300 [6].
A superstrutura de uma ponte de tirantes é composta basicamente por pilares/torres, por
tirantes e pelo tabuleiro. Todos este elementos estruturais podem ter numerosas
configurações, o que torna muito diversificadas as soluções possíveis. Esta característica
permite que as pontes atirantadas sejam utilizadas numa grande variedade de vãos, desde
de pequenos tabuleiros para a passagem de peões, até tabuleiros rodoviários e rodo-
11
ESTABILIDADE GLOBAL DE TABULEIROS ATIRANTADOS
ferroviários com grandes vãos. Neste capítulo apresentam-se as configurações mais
comuns para estes elementos, assim como os critérios gerais usuais na sua escolha.
As pontes de tirantes têm não linearidades associadas que são de dois tipos: físicas
(associadas ao comportamento não linear dos materiais) e geométricas (relacionadas com o
comportamento não linear da estrutura e dos seus elementos). Já os fenómenos de
instabilidade podem ser locais ou globais, sendo ambos referidos neste capítulo no
contexto das pontes atirantadas.
Por último, apresenta-se o modelo da ponte cujo estudo da estabilidade global do tabuleiro
é realizado nos próximos capítulos.
2.2
2.2.1
CONCEPÇÃO ESTRUTURAL
Configuração longitudinal
As pontes de tirantes são constituídas por três elementos estruturais principais: o tabuleiro;
as torres e pilares; e os tirantes. O sucesso deste tipo de estruturas pode, em grande medida,
ser atribuído ao eficiente e intuitivo funcionamento estrutural de cada um destes elementos:
o tabuleiro suporta as cargas permanentes e as sobrecargas, e transfere-as para os tirantes e
para os pilares, funcionando simultaneamente à flexão e à compressão; os tirantes
transferem as forças às torres; e estas, por sua vez, transmitem por compressão as forças às
fundações (Figura 2.1) [6].
torre
tirantes
tabuleiro
pilar
Tracção
Compressão
Figura 2.1 - Funcionamento estrutural de uma ponte de tirantes.
Inicialmente, as pontes de tirantes utilizavam poucos cabos inclinados, permitindo deste
modo vencer maiores vãos sem a necessidade de pilares intermédios (Figura 2.2 a e b). O
número reduzido de tirantes relativamente espaçados, requeria tabuleiros rígidos e tirantes
com grandes secções transversais [5;6].
12
CAPÍTULO 2 – NOÇÕES GERAIS SOBRE PONTES DE TIRANTES
A tendência de redução do peso próprio do tabuleiro, associada às evoluções tecnológicas
verificadas nos tirantes, bem como a possibilidade de utilizar potentes meios de cálculo,
tornaram viável, na década de sessenta, a concepção das primeiras pontes de tirantes com
suspensão múltipla (Figura 2.2 c). Nestas pontes utiliza-se um grande número de tirantes
com pequenos espaçamentos, o que permite um apoio aproximadamente contínuo do
tabuleiro [6]. Durante a construção, este sistema possibilita a utilização de menores
comprimentos do tabuleiro em consola, uma vez que a distância entre tirantes é pequena.
(a)
(b)
(c)
Figura 2.2 - Evolução do sistema de atirantamento do tabuleiro.
As soluções estruturais das pontes de tirantes são muito diversas, em especial para
pequenos e médios vãos. No entanto, uma tipologia tem sido quase sempre adoptada nas
pontes atirantadas com médios e grandes vãos. Esta tipologia, em linhas gerais,
caracteriza-se por uma estrutura de três vãos e duas torres, em que o tabuleiro é totalmente
de aço, de betão armado pré-esforçado, ou misto aço-betão (Figura 2.1 e Figura 2.2 c).
A relação dimensional entre o vão lateral e o vão central tem influência significativa na
variação de tensão dos últimos tirantes de retenção. A adopção de pilares intermédios,
apesar de ser uma opção do ponto vista estético e construtivo com menor qualidade (no
caso de uma construção por avanços sucessivos), atenua bastante estas variações de
tensões. Como pré-dimensionamento, é normal adoptarem-se vãos laterais com o
comprimento na ordem dos 0.40 a 0.50 do vão central [6].
13
ESTABILIDADE GLOBAL DE TABULEIROS ATIRANTADOS
A definição do número de planos de suspensão, da forma da secção transversal tipo do
tabuleiro e a geometria das torres, são três decisões que tem de ser tomadas em conjunto
uma vez que estão interligadas.
Em geral, adoptam-se um ou dois planos de suspensão (Figura 2.3 a e b), sendo raras as
pontes de tirantes com três planos de suspensão. Um único plano de suspensão (Figura 2.3
a) do ponto vista estético é a melhor opção, uma vez que não existe cruzamento entre
linhas de tirantes quando se observa uma obra deste tipo. A suspensão central é
normalmente apoiada ou monolítica com os pilares, para equilibrar a torção, uma vez que
este tipo de suspensão só equilibra as cargas verticais do tabuleiro. Os efeitos de torção
resultantes das sobrecargas assimétricas têm de ser equilibrados pelo tabuleiro, que será
por isso necessariamente fechado, do tipo “caixão” uni ou multicelular, o que representa
uma solução normalmente mais pesada [6].
(a)
(b)
Figura 2.3 - Suspensão central e lateral em pontes de tirantes.
Na quase totalidade das pontes de tirantes com vão acima dos 400 m têm sido adoptados
dois planos de suspensão. Neste grupo existem ainda dois tipos: adopção de dois planos de
suspensão verticais ou dois planos oblíquos. A suspensão lateral do tabuleiro permite
adoptar um tabuleiro muito mais esbelto e menos resistente à torção, uma vez que o
equilíbrio de cargas verticais é feito distribuindo as componentes simétricas pelos dois
planos de tirantes, e formando um binário para equilibrar as componentes assimétricas. As
diferenças entre suspensão lateral vertical ou oblíqua registam-se ao nível das torres, e no
funcionamento global da estrutura quando sujeita a forças horizontais transversais. A
opção de dois planos de suspensão verticais conduz em geral a torres formadas por dois
fustes verticais, muitas vezes ligados entre si para funcionarem em pórtico. No caso de se
adoptarem dois planos oblíquos, as torres são em forma de A ou Y invertido.
14
CAPÍTULO 2 – NOÇÕES GERAIS SOBRE PONTES DE TIRANTES
No caso da suspensão lateral é possível não apoiar o tabuleiro nas torres, mantendo-o
suspenso ao longo de todo o comprimento entre juntas de dilatação. Neste caso de
suspensão total a totalidade das cargas aplicadas ao tabuleiro são transmitidas pelos tirantes
às torres. Este tipo de concepção tem grandes vantagens estruturais, uma vez que apoios
rígidos nas torres dão origem a momentos flectores negativos muito superiores aos que se
desenvolvem nas secções de ancoragem dos tirantes. Outra vantagem deste tipo de sistema
de suspensão é o comportamento à acção sísmica, já que conduz a frequências próprias
longitudinais e transversais menores, uma vez que o tabuleiro se comporta neste caso
aproximadamente como um pêndulo suspenso pelos tirantes, o que reduz a acção sísmica
transmitida à infraestrutura. Uma das desvantagens da adopção deste tipo de solução, passa
pelo aumento da deformabilidade do tabuleiro, que pode ser impeditivo no caso de pontes
ferroviárias [6].
2.2.2
Sistemas de atirantamento
Existem três configurações do sistema de suspensão do tabuleiro: em leque; em semileque; e harpa (Figura 2.4 a, b e c respectivamente).
(a)
(b)
(c)
Figura 2.4 - Configurações do sistema de suspensão do tabuleiro: a) leque, b) semi-leque, e c) harpa.
15
ESTABILIDADE GLOBAL DE TABULEIROS ATIRANTADOS
O conceito de quanto maior o ângulo formado pelos tirantes com a horizontal, menor a
força instalada e menor a quantidade de aço total em tirantes, foi utilizado em diversas
pontes de tirantes de pequeno e médio vão, que escolheram uma configuração em leque,
com todos os tirantes a convergir no topo das torres (Figura 2.5). Este tipo de configuração
apresenta um único ponto de apoio conferido pelos tirantes no topo da torres, o que torna a
ancoragem complexa e aumenta o risco de instabilidade elástica das torres.
Figura 2.5 - Configuração em leque - ponte Clark, EUA.
Figura 2.6 - Configuração em harpa - ponte Øresund, entre a Suécia e a Dinamarca.
Figura 2.7 - Configuração em semi-leque - ponte Vasco da Gama, Lisboa.
16
CAPÍTULO 2 – NOÇÕES GERAIS SOBRE PONTES DE TIRANTES
Algumas das primeiras pontes de tirantes adoptaram uma configuração em harpa, em que
todos os tirantes são paralelos entre si (Figura 2.6). Trata-se de uma distribuição de tirantes
mais harmoniosa e que elimina os inconvenientes associados à concentração de tirantes no
topo da torre. No entanto, é uma solução pouco económica em termos de peso dos tirantes
quando as torres não tem grande altura [5].
Uma solução intermédia entre as duas anteriores consiste em distribuir os tirantes numa
zona mais alargada da parte superior da torre, de forma a ter espaço suficiente para
proceder à sua ancoragem, mas procurando que a inclinação dos tirantes com a horizontal
seja a maior possível. Esta configuração em semi-leque (Figura 2.7), também por vezes
designada por semi-harpa, representa portanto um compromisso entre as exigências
funcionais, económicas e estéticas de concepção. Este sistema tem vindo progressivamente
a ser o mais adoptado nas modernas pontes de tirantes. A escolha da configuração da
suspensão deve ter em conta a eficiência estrutural de cada um dos sistemas. Esta
eficiência pode ser avaliada pela rigidez vertical conferida pelos tirantes, e que determina a
maior ou menor deformabilidade do tabuleiro, e pela compressão horizontal introduzida
pelos tirantes no tabuleiro.
2.2.3
Geometria das torres
As torres são os elementos mais visíveis de uma ponte de tirantes. Assim a escolha da sua
geometria deve ter em atenção não só o seu funcionamento estrutural, como os aspectos
estéticos. Esta geometria depende dos seguintes aspectos:
− forma de suspensão do tabuleiro (central ou lateral);
− configuração do sistema de atirantamento (harpa, leque ou semi-leque);
− necessidade em apoiar o tabuleiro nas torres;
− espaço para ancoragem e tensionamento dos tirantes no interior das torres;
− funcionamento estrutural do tabuleiro (com três vãos, duas torres e tirantes de retenção,
ou com vãos múltiplos).
Embora as primeiras pontes de tirantes tenham utilizado torres em aço, a maioria
actualmente tem adoptado por torres em betão armado, já que este elemento estrutural tem
essencialmente compressões muito elevadas.
17
ESTABILIDADE GLOBAL DE TABULEIROS ATIRANTADOS
As torres das pontes de tirantes podem agrupar-se quanto à sua geometria da seguinte
forma [6]:
− Torres com fuste único vertical ou inclinado – são a forma mais simples, normalmente
associado à suspensão central do vão principal do tabuleiro (Figura 2.8);
− Torres com dois fustes (Figura 2.6);
− Torres em pórtico transversal – Os dois fustes são ligados entre si, como no caso da
ponte Vasco da Gama (Figura 2.9);
− Torres em pórtico longitudinal – por vezes devido ao desequilíbrio dos vãos atirantados
ou no caso de vãos múltiplos, é necessário utilizar torres com maior rigidez
longitudinal, para reduzir a deformabilidade dos tabuleiros (Figura 2.10);
− Em forma de A – solução constituída por dois fustes que se unem no topo, fazendo
com que a configuração dos tirantes seja sempre em leque (Figura 2.11);
− Em forma de Y invertido – este tipo de geometria ao contrário da anterior, possibilita
uma configuração dos tirantes em semi-leque (Figura 2.12);
− Em diamante e duplo diamante – esta forma das torres, permite reduzir bastante o
espaço necessário ao nível do terreno, relativamente às geometrias em A ou Y invertido
(Figura 2.13);
− Em pirâmide e outras formas particulares – as pontes de tirantes apresentam outros
tipos de configurações particulares, algumas por razões técnicas, mas a maioria resulta
de condicionamentos arquitectónicos (Figura 2.14 e Figura 2.15).
Figura 2.8 - Fuste único vertical: ponte de Stonecutters - Hong-Kong.
18
CAPÍTULO 2 – NOÇÕES GERAIS SOBRE PONTES DE TIRANTES
Figura 2.9 - Forma da torre em pórtico transversal: ponte Vasco da Gama - Lisboa.
Figura 2.10 - Forma da torre em pórtico longitudinal: ponte Neuwied - Alemanha.
Figura 2.11 - Forma da torre em A: ponte Jindo - Coreia do Sul.
19
ESTABILIDADE GLOBAL DE TABULEIROS ATIRANTADOS
Figura 2.12 - Forma da torre em Y invertido: ponte sobre o Rio Suir - Irlanda.
Figura 2.13 - Forma da torre em diamante: ponte Tatara - Japão.
Figura 2.14 - Forma da torre em pirâmide: ponte Rion-Antirion - Grécia.
20
CAPÍTULO 2 – NOÇÕES GERAIS SOBRE PONTES DE TIRANTES
Figura 2.15 - Torres com formas particulares: ponte de La Unidad - México.
2.2.4
Configurações e materiais do tabuleiro
No processo da concepção, a escolha da secção transversal do tabuleiro constitui um passo
muito importante. A definição da secção transversal define o peso próprio do tabuleiro, que
condiciona toda a estrutura da ponte.
Relativamente ao materiais, os tabuleiros podem ser de três tipos: totalmente em betão;
totalmente em aço; ou mistos aço-betão. Geralmente os primeiros apresentam o maior peso
próprio, sendo portanto os que conduzem a tabuleiros mais pesados. As soluções
totalmente em aço são as mais leves mas igualmente as mais caras, especialmente devido
aos custos de mão de obra. Por último, as soluções mistas são relativamente equilibradas,
tanto no que respeita ao seu peso como o nível do custo da mão de obra especializada
requerido para a sua construção.
A experiência tem mostrado que os tabuleiros rodoviários de betão são em geral
competitivos até vãos principais da ordem dos 400 m, acima dos quais os tabuleiro mistos
são preferíveis. Quando se adoptam vãos acima dos 600 a 700 m têm sido sempre
adoptados tabuleiros totalmente metálicos [6].
A suspensão múltipla permite adoptar tabuleiros mais esbeltos, tendo em conta que os
momentos flectores entre pontos de apoio, conferidos pelos tirantes, são pequenos. A
esbelteza do tabuleiro é entendida como a relação entre o comprimento do vão principal e a
altura do tabuleiro. A esbelteza tem vindo a aumentar nas pontes atirantadas modernas, em
21
ESTABILIDADE GLOBAL DE TABULEIROS ATIRANTADOS
conjunto com o comprimento do vão principal. Esta característica é fortemente
condicionada pela tipologia da secção transversal do tabuleiro. De uma forma geral, os
tipos de secção transversal do tabuleiro são os seguintes: em laje esbelta; em bi-viga de
betão armado pré-esforçado ou mista de alma cheia; em caixão de betão, metálico ou
misto; ou um tabuleiro em treliça.
A primeira decisão na concepção do tabuleiro, consiste em optar por suspensão lateral ou
central. A suspensão central requer um tabuleiro com maior rigidez à torção, normalmente
conseguida com uma secção em caixão (Figura 2.16). A suspensão lateral permite a
escolha de tabuleiros “abertos” do tipo bi-viga ou mesmo em laje esbelta, embora possam
também ser adoptados tabuleiros em caixão único com escoras ou em duplo caixão lateral.
Este tipo de suspensão permite também uma esbelteza maior da secção, tendo em conta
que o tabuleiro tem maior apoio dos tirantes.
No caso de tabuleiros com suspensão lateral podem também adoptar-se secções em caixão,
embora não seja absolutamente necessária uma rigidez de torção elevada, excepto em
pontes atirantadas com vãos extremamente longos. A Figura 2.17 apresenta configurações
possíveis do tabuleiro com suspensão lateral e ainda assim com rigidez de torção elevada.
Figura 2.16 - Configurações possíveis do tabuleiro com suspensão central e rigidez de torção elevada.
22
CAPÍTULO 2 – NOÇÕES GERAIS SOBRE PONTES DE TIRANTES
Figura 2.17 - Configurações possíveis do tabuleiro com suspensão lateral e rigidez de torção elevada.
No caso de não se optar pela solução em caixão para a secção transversal do tabuleiro, as
soluções em bi-viga são constituídas pelos seguintes elementos básicos: duas vigas
longitudinais em aço ou betão armado, ligadas por um conjunto de vigas transversais pelo
menos nos pontos de inserção dos tirantes, que formam uma grelha onde se apoia a laje
(Figura 2.18). Esta laje normalmente é de betão, o que garante uma boa plataforma para
colocação do betuminoso ou do balastro, com uma espessura entre os 0.20 e os 0.30 m.
Também é possível optar-se por uma laje mais leve em placa ortotrópica, formada por uma
chapa relativamente fina (tipicamente com 12 mm), reforçada longitudinalmente por
reforços abertos ou fechados.
Figura 2.18 - Elementos básicos numa secção transversal mista do tipo bi-viga [6].
As soluções em treliça são principalmente adequadas quando se pretende um tabuleiro leve
mas simultaneamente com pequena deformabilidade. Estes requisitos são usuais em pontes
ferroviárias ou rodo-ferroviárias e, nesses casos, adopta-se um tabuleiro com dois níveis,
colocando o tráfego ferroviário no interior da treliça no nível inferior, e o tráfego
rodoviário no nível superior (Figura 2.19).
23
ESTABILIDADE GLOBAL DE TABULEIROS ATIRANTADOS
Figura 2.19 - Secções transversais do tabuleiro atirantado em treliça.
Relativamente à ancoragem dos tirantes no tabuleiro, a solução mais simples consiste na
inserção directa da ancoragem nas vigas longitudinais de betão. Nas pontes atirantadas
metálicas ou mistas essa opção não é possível, identificando-se duas soluções alternativas:
1) Ancoragens dos tirantes no alinhamento das vigas principais (Figura 2.20 a).
2) Ancoragens dos tirantes exteriores ao alinhamento das vigas principais (Figura 2.20 b);
Ambas as soluções são possíveis, tendo cada uma as suas vantagens e desvantagens. No
segundo caso destaca-se o facto desta solução necessitar de carlingas transversais bastante
resistentes, para transferir as componentes verticais e horizontais das forças dos tirantes
para as vigas do tabuleiro. No primeiro caso, estas carlingas podem ser mais “ligeiras”.
(a) Ponte da Normandia (França)
(b) Ponte de Kolkäck (Suécia)
Figura 2.20 - Ancoragem dos tirantes no tabuleiro: (a) no alinhamento das vigas principais; e (b) exteriores
às vigas principais.
Outro aspecto a definir consiste no espaçamento entre tirantes ao nível do tabuleiro, o que
condiciona a esbelteza do tabuleiro e o número total de tirantes a ancorar em cada face da
torre. Quanto maior o espaçamento entre tirantes, menor o apoio do tabuleiro por parte
destes, e maiores os seus momentos-flectores. Deste modo interessa aproximar os tirantes
24
CAPÍTULO 2 – NOÇÕES GERAIS SOBRE PONTES DE TIRANTES
para reduzir os esforços no tabuleiro. Outros aspectos a ter em consideração na definição
do espaçamento entre tirantes são a largura do tabuleiro e o número de planos de
suspensão.
No caso de tabuleiros em laje esbelta de betão armado pré-esforçado, o espaçamento entre
tirantes é da ordem dos 4 m a 6 m. Nos tabuleiros de betão com maior inércia (tipo bi-viga
ou caixão), os tirantes encontram-se espaçados entre os 6 m e os 9 m. Nas pontes
atirantadas mistas, por se tratarem de soluções mais leves, este intervalo de valores sobe
para entre os 9 m e 16 m, e no caso dos tabuleiros metálicos mais leves ainda, os tirantes
têm um espaçamento entre os 15 m e os 20 m [6].
2.3
ESTABILIDADE LOCAL E GLOBAL
2.3.1
Estabilidade local
Os fenómenos de estabilidade local estão associados à encurvadura de placas ou colunas
quando sujeitos à compressão. No caso das pontes de tirantes, é ao nível dos tabuleiros
mistos e metálicos que estes fenómenos são relevantes, com a possibilidade das chapas
metálicas que constituem a secção transversal do tabuleiro, caso sejam de classe 4,
poderem instabilizar devido à compressão introduzida tanto pelos tirantes no tabuleiro
como também pelos momentos flectores existentes.
Num tabuleiro misto do tipo bi-viga, é principalmente nas almas das vigas, geralmente de
classe 3 ou 4, que este tipo de fenómenos são mais importantes, uma vez que os banzos são
normalmente de classe 1 ou 2, não ocorrendo problemas de instabilidade local, mesmo
quando sujeitos em toda a secção a tensões iguais à tensão de cedência. Para limitar os
problemas de instabilidade são normalmente colocados reforços verticais e horizontais nas
almas.
A instabilidade local da alma pode ocorrer quando comprimida com uma tensão inferior à
tensão de cedência. Este tipo de instabilidade local pode ser do tipo coluna comprimida, ou
como placa entre reforços, ou ainda como resultado da compressão vertical introduzida
pelas forças de desvio resultantes da flexão global dos banzos.
25
ESTABILIDADE GLOBAL DE TABULEIROS ATIRANTADOS
A instabilidade local da alma como coluna comprimida é, em geral, o fenómeno mais
condicionante no dimensionamento de vigas de alma cheia fortemente comprimidas. O
comprimento de encurvadura da coluna equivalente associada à alma está directamente
relacionado com a distância entre carlingas ou reforços verticais (no caso de existirem num
maior número de secções) (Figura 2.21 a). Para melhorar o comportamento da alma em
relação a este tipo de instabilidade local, pode se optar por: uma menor distância entre
reforços verticais, que faz diminuir o comprimento de encurvadura da alma; e/ou colocar
reforços longitudinais na alma, que aumentam a área equivalente da alma enquanto coluna
[5].
Secção C-C
espaçamento
das carlingas
espaçamento
das carlingas
espaçamento das
carlingas
(a) Instabilidade local como coluna
Secção B-B
(b) Instabilidade local como placa
Secção A-A
web breathing
F
(c) Instabilidade induzida pelos banzos – “flange induced buckling”
Figura 2.21 - Instabilidade local da alma de uma viga: (a) instabilidade local como coluna, (b) instabilidade
local como placa e (c) instabilidade induzida pelos banzos
26
CAPÍTULO 2 – NOÇÕES GERAIS SOBRE PONTES DE TIRANTES
A fim de se evitar uma instabilidade local como placa, é normal a utilização de reforços
longitudinais para reduzir os comprimentos “livres” dos painéis da alma (Figura 2.21 b).
Na situação das vigas dos tabuleiros atirantados mistos, considera-se que para cada um dos
sub-painéis entre reforços o diagrama de tensões, associadas à compressão, é praticamente
uniforme. Trata-se da situação mais desfavorável mas com grande probabilidade de
ocorrer.
A instabilidade local devido à compressão vertical introduzida pelas forças de desvio
resultantes da flexão global dos banzos, é normalmente o fenómeno menos condicionante
no dimensionamento das vigas. O Eurocódigo 3 – Parte 1-5 apresenta uma fórmula que
limita a esbelteza da alma por forma a não ter de se considerar este efeito. Desta
instabilidade local ao nível da alma, resulta uma deformação da mesma designada por
“web breathing” devido à sua forma (Figura 2.21 c) [5].
Os fenómenos de estabilidade local não são considerados neste trabalho, uma vez que o
objectivo consiste em estudar a estabilidade global do tabuleiro. Considera-se assim que a
carga crítica associada a este tipo de fenómenos é sempre superior à obtida para
instabilidade do tabuleiro, o que tem que ser avaliado caso a caso tendo em conta os
reforços adoptados na direcção longitudinal e vertical.
2.3.2
Estabilidade global
Os fenómenos de instabilidade global numa ponte de tirantes podem acontecer nos seus
elementos estruturais comprimidos, nomeadamente nas torres ou no tabuleiro.
As torres são elementos muito esbeltos, aos quais está associada uma compressão elevada,
resultante das cargas absorvidas pelo tabuleiro e transmitidas pelos tirantes. Por este
motivo, a verificação do comportamento destes elementos deve ser feito considerando
esforços de segunda ordem. Como na direcção longitudinal a parte superior das torres é
estabilizada pelos tirantes, a direcção transversal é normalmente condicionante na
verificação de segurança relativamente à instabilidade estrutural das torres.
A configuração do sistema de atirantamento, assim como a geometria da torre, são os
principais factores que influenciam a estabilidade da torre. O efeito das excentricidades
27
ESTABILIDADE GLOBAL DE TABULEIROS ATIRANTADOS
acidentais e de segunda ordem são máximos no caso de um atirantamento em leque numa
torre de fuste único. Neste caso as forças transmitidas pelos tirantes concentram-se todas
no topo da torre, ao contrário do que acontece num atirantamento do tipo em harpa ou
semi-leque. Também no caso de uma configuração em leque, os pontos de apoio
fornecidos pelos tirantes ao longo da altura da torre concentram-se no mesmo local,
enquanto que para as outras configurações, estes são distribuídos por um comprimento
maior ao longo da torre, o que permite um melhor comportamento estrutural.
Relativamente à geometria das torres, as soluções com melhor comportamento estrutural
são as torres em pórtico transversal e também as torres em forma de A, uma vez que
apresentam uma elevada rigidez transversal. No caso das torres em forma de A é necessário
ter atenção à relação entre a altura total da torre e a sua largura (h/b), porque caso seja
muito baixa, induzem-se compressões muito altas nos fustes.
O tabuleiro de uma ponte atirantada está sujeito a grandes compressões transmitidas pelos
tirantes, que ao mesmo tempo conferem um apoio vertical. O fenómeno de instabilidade do
tabuleiro atirantado pode ser comparado ao de uma coluna sobre fundação elástica, com os
tirantes a desempenharem tanto o papel de “acção” sobre o tabuleiro como de “resistência”
à instabilidade uma vez que fornecem igualmente a fundação elástica. Quanto mais esbelto
for o tabuleiro e menos inclinados forem os tirantes, maior é o risco de poder ocorrer a sua
instabilidade.
2.4
EXEMPLO DE ESTUDO
Considera-se de interesse efectuar o estudo da tipologia que tem sido mais adoptada,
particularmente nas pontes com médio e grandes vãos. Esta tipologia, em linhas gerais,
caracteriza-se por uma estrutura de três vãos e duas torres, em que o tabuleiro é constituído
por uma grelha metálica com duas vigas longitudinais principais ligadas por vigas
transversais igualmente espaçadas entre si, sobre a qual se apoia uma laje de betão armado
de espessura constante.
Considera-se como referência, para o modelo base de 420 m de vão central, a ponte
atirantada Vasco da Gama. Designa-se este modelo de 420 m de vão central como “modelo
base”, uma vez que o estudo da estabilidade que irá ser feito analisa outros modelos que
são essencialmente variações deste. As principais diferenças entre o modelo e esta ponte,
28
CAPÍTULO 2 – NOÇÕES GERAIS SOBRE PONTES DE TIRANTES
devem-se ao facto desta ser uma solução com um tabuleiro em betão armado préesforçado, enquanto que a solução do modelo considera tabuleiro misto.
Adopta-se como caso de estudo o modelo de 420 m adoptado por Oliveira Pedro num
trabalho de investigação apresentado em 2007 [5]. Desenvolveu-se este modelo com novas
geometrias de carregamento, geometrias de torres e arranjos dos tirantes.
2.4.1
Descrição geral da ponte Vasco da Gama e do modelo de 420 m
A solução construída da ponte Vasco da Gama consiste num tabuleiro em betão armado
pré-esforçado, com 420 m de vão central, vãos laterais de 194.7 m e um comprimento total
de 829 m. Nos vãos laterais existem três pilares intermédios, que dividem estes vãos em
troços de 62.0m, 70.68 m e 72.0 m. Estas mesmas dimensões são as consideradas no
modelo de 420 m (Figura 2.24), com uma pequena diferença nos vãos laterais, cujos troços
são de 60.125 m e 72.1875 m para os dois interiores.
A repartição de vãos na ponte Vasco da Gama corresponde à solução clássica, na qual os
vãos laterais são ligeiramente inferiores a metade do vão central (entre 0.45 e 0.475 do vão
central), de forma a concentrar na extremidade do tabuleiro os tirantes de retenção. Estes
tirantes estabilizam o topo das torres e, em consequência, diminuem a deformabilidade do
vão principal.
As torres são em forma de H, têm 150 m de altura, com 95 m acima do nível do tabuleiro.
Existe apenas uma travessa a ligar os dois fustes da torre, 23.5 m acima do tabuleiro,
imediatamente antes do início da ancoragem dos tirantes. No caso do modelo adoptado, a
torre tem igualmente 150 m de altura, mas neste caso com 100 m acima do nível do
tabuleiro.
A relação entre a altura das torres e o vão central (igual a 0.226), encontra-se igualmente
dentro do intervalo de valores que é característico das pontes de tirantes com suspensão em
semi-leque (entre 0.20 e 0.25), como é o caso.
29
ESTABILIDADE GLOBAL DE TABULEIROS ATIRANTADOS
O tabuleiro apoia-se nos pilares mas não nas torres. A ligação do tabuleiro às torres é
executada unicamente com aparelhos oleodinâmicos, que limitam os deslocamentos
horizontais, longitudinais e transversais, durante a eventual ocorrência de um sismo, e
permitem os deslocamentos lentos e sazonais, resultantes das variações térmicas e dos
efeitos diferidos da retracção e da fluência do tabuleiro. Também no modelo base não se
considera a ligação entre o tabuleiro e as torres.
A suspensão do tabuleiro é lateral e constituída por dois planos verticais de 4 vezes 24
tirantes, espaçados de 8.835 m na ligação ao tabuleiro. Para o modelo considerado, opta-se
pelo mesmo tipo de suspensão e por um espaçamento de 13.125 m, que implica uma
solução constituída por planos verticais de 4 vezes 16 tirantes. O espaçamento adoptado
para o modelo é superior ao da ponte Vasco da Gama, porque uma solução mista, por ser
mais leve, em geral, adopta uma distância entre tirantes superiores em relação ao caso de
uma solução em betão [5].
Na ponte Vasco da Gama o tabuleiro de betão armado pré-esforçado é constituído por duas
vigas longitudinais laterais com 2.6 m de altura e, uma laje de espessura uniforme igual a
0.25 m, apoiada nas vigas longitudinais e em vigas transversais metálicas espaçadas de
4.425 m (Figura 2.22 a). Como nas grandes pontes atirantadas mistas, tem sido quase
sempre adoptada uma secção transversal composta por uma grelha metálica (constituída
por duas vigas longitudinais principais, colocadas aproximadamente nos limites laterais da
secção e, ligadas entre si por vigas transversais igualmente espaçadas), sobre o qual se
apoia uma laje de betão armado de espessura também constante, escolhe-se esta tipologia
no presente trabalho para o tabuleiro misto (Figura 2.22 b) [5].
A Figura 2.22 torna claro que a solução mista mantém muitas das características da
solução em betão armado pré-esforçado. A Figura 2.23 apresenta as dimensões da viga
longitudinal considerada no modelo.
30
CAPÍTULO 2 – NOÇÕES GERAIS SOBRE PONTES DE TIRANTES
Figura 2.22 - Secção transversais: (a) ponte Vasco da Gama; e (b) modelo adoptado [5].
Figura 2.23 - Pormenor da viga longitudinal da secção transversal adoptada no modelo [5].
31
ESTABILIDADE GLOBAL DE TABULEIROS ATIRANTADOS
2.4.2
Características do modelo de 420 m
O modelo considerado para este trabalho simula metade do tabuleiro atirantado.
Considerando as características já mencionadas anteriormente no que respeita à geometria
Figura 2.24 - Modelo de cálculo e discretização adoptada [5].
do modelo, na Figura 2.24 apresenta-se a discretização do modelo.
32
CAPÍTULO 2 – NOÇÕES GERAIS SOBRE PONTES DE TIRANTES
As características geométricas dos tirantes, assim como propriedades geométricas dos
elementos que constituem as torres, estão definidas nos Anexo A. Relativamente ao
tabuleiro, este é simulado através de um elemento de barra único com o mesmo momento
de inércia de metade do tabuleiro misto apresentado anteriormente, que neste caso é
0.3089 m4 considerando uma secção homogénea com módulo de elasticidade do aço (E a ).
2.4.3
Características dos modelos com vão central superior a 420 m
Para além do modelo base com 420 m de vão central, são também considerados mais
quatro modelos com os seguintes vãos: 577.5 m; 735 m; 892.5 m e 1050 m. Todos foram
construídos a partir do modelo inicial com menor vão, e as suas principais diferenças são o
número de tirantes considerados. Associado a este maior número de tirantes está o aumento
da altura das torres, com o espaçamento entre tirantes a permanecer o mesmo tanto ao nível
das torres como do tabuleiro. Cada novo tirante adicionado têm uma área 1.5 cm2 superior
à do tirante anterior. Em qualquer um dos modelos o tabuleiro considerado é sempre o
mesmo, assim como o número de apoios intermédios nos vãos laterais.
2.4.4
Materiais
Numa análise elástica de estabilidade o único parâmetro necessário definir para os
materiais é o seu módulo de elasticidade, uma vez que se admite um comportamento linear
dos mesmos. No caso do aço estrutural o módulo de elasticidade é de E a =210 GPa e para o
aço dos tirantes o valor é de E e = 195 GPa. Para o betão que constitui as torres, considerase o módulo de elasticidade tangente de E co = 36 GPa que corresponde ao módulo de
elasticidade médio de um betão C45/55.
2.4.5
Definição da sobrecarga e da carga permanente
Tanto a sobrecarga como a carga permanente são introduzidas neste modelo através de
cargas
distribuídas de forma uniforme ao longo do tabuleiro. No caso da carga
permanente, esta encontra-se distribuída ao longo de todo o tabuleiro, como uma carga de
171 kN/m. No caso da sobrecarga rodoviária apresenta um valor de 54 kN/m [5]. Estes
carregamentos referem-se a metade do tabuleiro.
33
ESTABILIDADE GLOBAL DE TABULEIROS ATIRANTADOS
34
CAPÍTULO 3 – ESTABILIDADE LINEAR DE TABULEIROS ATIRANTADOS:
ANALOGIA VIGA-COLUNA SOBRE FUNDAÇÃO ELÁSTICA
3
ESTABILIDADE LINEAR DE TABULEIROS ATIRANTADOS:
ANALOGIA VIGA-COLUNA SOBRE FUNDAÇÃO ELÁSTICA
3.1
CONSIDERAÇÕES GERAIS
O estudo da estabilidade elástica global de um tabuleiro atirantado pode ser feito
considerando a analogia com uma viga-coluna sobre fundação elástica. Trata-se de uma
viga-coluna, uma vez que está sujeita a um carregamento vertical associado às cargas no
tabuleiro e, simultaneamente, a um carregamento axial devido à componente horizontal das
forças instaladas nos tirantes. A fundação elástica é fornecida pela componente vertical
transmitida ao tabuleiro pelos tirantes.
Nos pontos seguintes apresentam-se a determinação das cargas críticas de viga-coluna
sobre fundação elástica, de acordo com a formulação apresentada por Timoshenko [13],
desde o caso mais simples de um esforço axial e rigidez de fundação constantes ao longo
da barra, até ao caso mais complexo, no qual se inserem as pontes de tirantes onde tanto o
esforço axial como a rigidez da fundação são variáveis. Obtém-se as cargas críticas para
diversas distribuições de esforços axiais e rigidezes de fundação, através de uma análise
elástica linear de estabilidade com recurso ao método de Rayleigh-Ritz [13], sendo os
resultados comparados com valores obtidos por Timoshenko [13] e através de modelos
numéricos analisados com o software de cálculo SAP2000. Por último, é apresentada e
verificada a hipótese de Klein [4], que permite adoptar uma metodologia simplificada para
o estudo da estabilidade elástica em tabuleiros atirantados, utilizando a analogia de uma
viga sobre fundação elástica (BEF).
35
ESTABILIDADE GLOBAL DE TABULEIROS ATIRANTADOS
3.2
FORMULAÇÃO DO PROBLEMA
Num tabuleiro de uma ponte atirantada, as cargas verticais actuantes no tabuleiro são
suportadas pelos tirantes e pelas torres, no caso de haver uma ligação entre estas e o
tabuleiro. Os tirantes conferem ao tabuleiro apoios elásticos, que para além de servirem
para suporte das cargas verticais (devido à sua rigidez vertical), induzem também uma
compressão que é crescente na direcção das torres.
No caso de se considerar apenas o vão central e desprezando a contribuição das torres e
vãos laterais para a estabilidade global do tabuleiro, o esforço normal no tabuleiro (N i ) e a
rigidez elástica vertical equivalente conferida por cada tirante (K v,i ) são obtidos por:
𝑛º 𝑡𝑖𝑟
𝑁𝑁𝑖 = �
𝑗=𝑖
𝐾𝑣,𝑖 =
𝑞𝑎
tan 𝛼𝑗
𝐸𝐸𝑒 𝐴𝑖
𝑠𝑖𝑛2 𝛼𝑖
𝑙𝑖
(3.1)
(3.2)
em que (q) é a carga distribuída aplicada no tabuleiro, (a) o espaçamento entre tirantes ao
nível do tabuleiro, (E e ) o módulo de elasticidade do aço dos tirantes, (A i ) a área dos
tirantes, (l i ) o comprimento dos mesmos e (α i ) o seu ângulo com a horizontal. A primeira
expressão (3.1) resulta do comprimento de influência de cada tirante (igual ao espaçamento
entre estes), que multiplicado pela carga aplicada conduz ao valor da reacção vertical do
tirante. Dividindo esta reacção vertical pela tangente do ângulo que o tirante faz com a
horizontal, obtém-se a compressão induzida pelo tirante no tabuleiro. O somatório
representa a contribuição do esforço axial na direcção das torres. A expressão (3.2) resulta
da decomposição da rigidez axial do tirante na sua componente vertical como está
representado na Figura 3.1, onde o deslocamento (e) neste caso é vertical.
36
CAPÍTULO 3 – ESTABILIDADE LINEAR DE TABULEIROS ATIRANTADOS:
ANALOGIA VIGA-COLUNA SOBRE FUNDAÇÃO ELÁSTICA
A Figura 3.2 apresenta a variação do esforço normal (N i ) e da rigidez vertical equivalente
para cada tirante (K v,i ) para metade do vão central do modelo apresentado no Capítulo 2,
de uma ponte atirantada de 420 metros de vão.
Figura 3.1 - Deformada de uma barra sujeita apenas a esforço axial.
Ni [kN]
300
250
200
150
100
50
0
1
3
5
7
9
11
13
15
Tirantes
0
1
3
5
7
9
11
13
15
2000
4000
6000
8000
10000
12000
14000
16000
18000
Kv,i [kN/m]
Figura 3.2 - Gráfico da variação do esforço normal (a verde) e da rigidez vertical equivalente conferida
pelos tirante (a azul), para uma carga distribuída unitária q = 1 kN/m para metade de tabuleiro com 420 m
de vão central e suspensão lateral.
37
ESTABILIDADE GLOBAL DE TABULEIROS ATIRANTADOS
Como o espaçamento entre tirantes (a) é pequeno em comparação com o vão central, na
maioria dos casos das modernas pontes de tirantes, admitir a hipótese de uma fundação
contínua com rigidez β(x) (dada pelo quociente entre a rigidez vertical equivalente de cada
tirante (K v,i ) e o seu espaçamento (a) ) é perfeitamente aceitável.
𝛽𝛽(𝑥) =
𝐾𝑣,𝑖
𝑎
(3.3)
Assim β(x) é a grandeza da reacção da fundação por unidade de comprimento do elemento,
quando a deformação é unitária. As suas unidades são portanto força por comprimento ao
quadrado.
Com o aumento do carregamento vertical (q) sobre o tabuleiro, os tirantes são cada vez
mais solicitados, induzindo uma compressão cada vez maior no tabuleiro. Num
determinado ponto, quando se atinge a carga crítica do tabuleiro como coluna comprimida,
a deformação devido à instabilidade do mesmo sobrepõe-se à deformada inicial resultante
da flexão do tabuleiro enquanto viga.
O objectivo do seguinte estudo passa assim por obter as cargas críticas do tabuleiro
considerando-o como uma viga-coluna, começando por analisar uma distribuição de
esforço axial e rigidez de fundação constante, e por fim o caso mais complexo com
distribuições de N i e K v,i apresentada na Figura 3.2.
3.3
ESTABILIDADE DE UMA COLUNA SOBRE FUNDAÇÃO ELÁSTICA
O estudo da estabilidade elástica global de uma viga-coluna sobre fundação elástica é
desenvolvido tendo em consideração a formulação geral apresentada por Timoshenko [13].
Contudo, por se tratar de uma análise linear de estabilidade, mostra-se nos pontos seguintes
que o comportamento enquanto viga não altera o valor da carga crítica ou o respectivo
modo de instabilidade, resumindo-se assim a um problema de estabilidade de uma coluna.
38
CAPÍTULO 3 – ESTABILIDADE LINEAR DE TABULEIROS ATIRANTADOS:
ANALOGIA VIGA-COLUNA SOBRE FUNDAÇÃO ELÁSTICA
3.3.1
Estabilidade de uma viga-coluna sujeita a um esforço normal constante e
sobre fundação elástica com rigidez constante
Considere-se uma viga-coluna com comprimento (L) e rigidez de flexão constante (EI),
sobre uma fundação com rigidez constante (β 0 ) por metro linear, sujeita a uma carga
uniforme vertical (q) e a um esforço normal constante (N). A expressão geral da deformada
da barra considerando apoios simples nas extremidades, pode ser dada pela sobreposição
de curvas sinusoidais utilizando um desenvolvimento em série de Fourier:
∞
𝜋𝜋 𝑥
2 𝜋𝜋 𝑥
3 𝜋𝜋 𝑥
𝑛 𝜋𝜋 𝑥
𝑦(𝑥) = 𝑎1 𝑠𝑖𝑛
+ 𝑎2 𝑠𝑖𝑛
+ 𝑎3 𝑠𝑖𝑛
+ ⋯ = � 𝑎𝑛 𝑠𝑖𝑛
𝐿𝐿
𝐿𝐿
𝐿𝐿
𝐿𝐿
(3.4)
𝑛=1
onde (n) representa o número de semi-ondas consideradas na aproximação da deformada.
O Princípio da Estacionaridade da Energia Potencial permite determinar a carga crítica e
modo de instabilidade da viga-coluna, sendo necessário definir a energia potencial total da
estrutura.
A energia potencial total da estrutura é dada por quatro parcelas: (1) U 1 associada à energia
potencial de deformação da barra; (2) U 2 associada à energia potencial de deformação da
fundação; (3) V e1 correspondente à parcela da energia potencial resultante da força axial
aplicada; e (4) V e2 à parcela resultante da energia potencial associada à força vertical
distribuída uniforme. Assim a variação da energia potencial total será dada por:
∞
𝜕𝑈1 𝜕𝑈2 𝜕𝑉𝑒1 𝜕𝑉𝑒2
𝛿𝑉 = � �
+
+
+
� 𝛿𝑎𝑛
𝜕𝑎𝑛 𝜕𝑎𝑛 𝜕𝑎𝑛 𝜕𝑎𝑛
(3.5)
𝑛=1
39
ESTABILIDADE GLOBAL DE TABULEIROS ATIRANTADOS
Figura 3.3 - Energia potencial (U 1 ) de deformação de uma barra com EI constante.
A energia potencial de deformação da barra para uma rigidez de flexão constante (EI),
tendo em conta a Figura 3.3 [14], é dada por:
2
𝐸𝐸𝐸𝐸 𝐿 𝑑2 𝑦
𝑈1 = � � 2 � 𝑑𝑥
2 0 𝑑𝑥
atendendo a que:
(3.6)
𝑑2 𝑦
𝜋𝜋 2
𝜋𝜋 𝑥
2𝜋𝜋 2
2 𝜋𝜋 𝑥
3𝜋𝜋 2
3 𝜋𝜋 𝑥
=
−𝑎
�
�
𝑠𝑖𝑛
−
𝑎
�
�
𝑠𝑖𝑛
−
𝑎
�
� 𝑠𝑖𝑛
+⋯
1
2
3
2
𝑑𝑥
𝐿𝐿
𝐿𝐿
𝐿𝐿
𝐿𝐿
𝐿𝐿
𝐿𝐿
=
∞
(3.7)
𝑛𝜋𝜋 2
𝑛 𝜋𝜋 𝑥
= − � 𝑎𝑛 � � 𝑠𝑖𝑛
𝐿𝐿
𝐿𝐿
𝑛=1
logo a energia potencial vem dada por:
∞
2
𝐸𝐸𝐸𝐸 𝐿
𝑛𝜋𝜋 2
𝑛 𝜋𝜋 𝑥
𝑈1 = � �− � 𝑎𝑛 � � 𝑠𝑖𝑛
� 𝑑𝑥
2 0
𝐿𝐿
𝐿𝐿
𝑛=1
40
(3.8)
CAPÍTULO 3 – ESTABILIDADE LINEAR DE TABULEIROS ATIRANTADOS:
ANALOGIA VIGA-COLUNA SOBRE FUNDAÇÃO ELÁSTICA
este integral contém termos de dois tipos:
𝑎𝑛 2
𝑛4 𝜋𝜋 4
𝑛 𝜋𝜋 𝑥
𝑠𝑖𝑛2
4
𝐿𝐿
𝐿𝐿
𝑒
𝑛 𝜋𝜋 𝑥
𝐿𝐿
𝑑𝑥 =
𝐿𝐿
2
𝑒
𝑎𝑛 𝑎𝑚
por integração directa, pode mostrar-se que:
𝐿
� 𝑠𝑖𝑛2
0
𝑙
𝑛2 𝑚2 𝜋𝜋 4
𝑛 𝜋𝜋 𝑥
𝑚 𝜋𝜋 𝑥
𝑠𝑖𝑛
𝑠𝑖𝑛
4
𝐿𝐿
𝐿𝐿
𝐿𝐿
� 𝑠𝑖𝑛
0
𝑛 𝜋𝜋 𝑥
𝑚 𝜋𝜋 𝑥
𝑠𝑖𝑛
𝑑𝑥 = 0
𝐿𝐿
𝐿𝐿
(3.9)
(3.10)
assim a energia potencial de deformação da barra é desta forma dada por:
∞
𝜋𝜋 4 𝐸𝐸𝐸𝐸
𝜋𝜋 4 𝐸𝐸𝐸𝐸
2
4 2
4 2
(𝑎
)
𝑈1 =
+
2
𝑎
+
3
𝑎
+
⋯
=
� 𝑛4 𝑎𝑛 2
1
2
3
4𝐿𝐿3
4𝐿𝐿3
(3.11)
𝑛=1
De acordo com a Figura 3.4 a energia potencial de deformação da fundação é dada por:
𝐿
∞
2
𝛽𝛽0 𝑦 2
𝛽𝛽0 𝐿
𝛽𝛽0 𝐿
𝑛 𝜋𝜋 𝑥
𝑈2 = �
𝑑𝑥 = � 𝑦 2 𝑑𝑥 = � �� 𝑎𝑛 𝑠𝑖𝑛
� 𝑑𝑥
2
2 0
2 0
𝐿𝐿
0
(3.12)
𝑛=1
Figura 3.4 - Energia potencial (U 2 ) de deformação da fundação com rigidez β(x)=β 0 constante.
41
ESTABILIDADE GLOBAL DE TABULEIROS ATIRANTADOS
Novamente a integração da função trigonométrica tem duas soluções para o caso de m = n
ou m ≠ n tal como apresentado em (3.10). Assim a energia potencial de deformação da
fundação será dada de forma mais simples por:
∞
𝛽𝛽0 𝐿𝐿
𝛽𝛽0 𝐿𝐿
(𝑎1 2 + 𝑎2 2 + 𝑎3 2 + ⋯ ) =
𝑈2 =
� 𝑎𝑛 2
4
4
(3.13)
𝑛=1
A energia potencial da força axial aplicada é igual ao simétrico do trabalho produzido pela
mesma. A Figura 3.5 apresenta a expressão desta parcela da energia potencial da colunaviga. Também neste caso há duas soluções iguais ao apresentado em (3.10) para a
integração envolvida. Assim a energia potencial da força axial aplicada considerando
também os resultados da equação (3.10) será dada por:
2
∞
𝑁𝑁 𝐿 𝑑2 𝑦
𝑁𝑁𝜋𝜋 2
𝑉𝑒1 = − � � 2 � 𝑑𝑥 = −
� 𝑛2 𝑎𝑛 2
2 0 𝑑𝑥
4𝐿𝐿
𝑛=1
Figura 3.5 - Energia potencial (V e1 ) da força axial aplicada.
42
(3.14)
CAPÍTULO 3 – ESTABILIDADE LINEAR DE TABULEIROS ATIRANTADOS:
ANALOGIA VIGA-COLUNA SOBRE FUNDAÇÃO ELÁSTICA
A Figura 3.6 apresenta o trabalho da força vertical distribuída uniforme (q), na
configuração associada aos deslocamentos transversais y(x).
Figura 3.6 - Energia potencial (V e2 ) da força vertical distribuída uniforme (q).
𝐿
Notando que para n par o valor da integração é ∫0 𝑠𝑖𝑛
𝐿
ímpar, a integração é igual a ∫0 𝑠𝑖𝑛
𝑛𝜋𝑥
𝐿
𝑑𝑥 = 2
2𝑞𝐿𝐿
𝑉𝑒2 = −
𝑛𝜋𝜋
𝐿
𝑛𝜋
∞
�
𝑛=1,3,5,7…
𝑛𝜋𝑥
𝐿
𝑑𝑥 = 0, enquanto que para n
, obtém-se:
𝑎𝑛
(3.15)
A variação da energia potencial total da viga-coluna é assim dada por:
∞
𝛿𝑉 = � �
∞
𝑛=1
𝜕𝑈1 𝜕𝑈2 𝜕𝑉𝑒1 𝜕𝑉𝑒2
+
+
+
� 𝛿𝑎𝑛
𝜕𝑎𝑛 𝜕𝑎𝑛 𝜕𝑎𝑛
𝜕𝑎𝑛
𝜋𝜋 4 𝐸𝐸𝐸𝐸
𝛽𝛽0 𝐿𝐿
𝑁𝑁𝜋𝜋 2 2
2𝑞𝐿𝐿
= � � 3 𝑛4 𝑎𝑛 +
𝑎𝑛 −
𝑛 𝑎𝑛 −
� 𝛿𝑎𝑛
2𝐿𝐿
2
2𝐿𝐿
𝑛𝜋𝜋
(3.16)
𝑛=1
Pelo Princípio da Estacionaridade da Energia Potencial, quando a variação da energia
potencial é nula (𝛿𝑉 = 0), o sistema atinge uma posição de equilíbrio. Desta condição
resulta que a n é igual a:
2𝑞𝐿𝐿
𝑛𝜋𝜋
𝑎𝑛 = 4
𝜋𝜋 𝐸𝐸𝐸𝐸 4 𝛽𝛽0 𝐿𝐿 𝑁𝑁𝜋𝜋 2 2
𝑛 + 2 − 2𝐿𝐿 𝑛
2𝐿𝐿3
(3.17)
43
ESTABILIDADE GLOBAL DE TABULEIROS ATIRANTADOS
Portanto a expressão geral da deformada da viga-coluna, sobre fundação elástica de rigidez
constante, submetida a uma carga vertical distribuída constante e a um esforço axial
também constante, é dada por:
𝑛𝜋𝜋𝑥
4𝑞𝐿𝐿4 sin � 𝐿𝐿 �
𝑦(𝑥) = � 5 5
𝑛 𝜋𝜋 𝐸𝐸𝐸𝐸 + 𝑛𝜋𝜋𝛽𝛽0 𝐿𝐿4 − 𝑛3 𝜋𝜋 3 𝐿𝐿2 𝑁𝑁
∞
(3.18)
𝑛=1
Definida a expressão geral da deformada da viga coluna, é possível calcular a carga crítica
(N cr ), sabendo que para esta carga, o valor da deformada tende para infinito (y(x)→∞),
uma vez que a instabilidade ocorre quando se atinge a carga crítica e a estrutura perde o
equilíbrio. Para que tal ocorra é necessário anular o denominador da equação (3.18)
podendo o numerador assumir qualquer valor. Deve referir-se que na equação (3.18) o
denominador não depende da carga distribuída (q) aplicada no tabuleiro e, sendo a parcela
energética associada a esta carga a única que intervém no numerador. Esta evidência
mostra que o comportamento de viga não influência a carga crítica e o modo de
instabilidade quando se efectua uma análise linear de estabilidade, sendo esta apenas
função do comportamento do tabuleiro enquanto coluna. Assim nos números seguintes não
se considera mais a designação de viga-coluna sobre fundação elástica mas sim apenas
coluna sobre fundação elástica (apesar de se continuar a usar o termo inglês beam on
elastic foundation [BEF] para este caso).
Efectuando o anulamento do denominador da expressão (3.18) e resolvendo a equação em
ordem a (N) obtém-se que:
𝑁𝑁𝑐𝑟 =
𝑛2 𝜋𝜋 2 𝐸𝐸𝐸𝐸 𝛽𝛽0 𝐿𝐿2 𝜋𝜋 2 𝐸𝐸𝐸𝐸 2
𝛽𝛽0 𝐿𝐿4
+
=
+
�𝑛
�
𝐿𝐿2
𝜋𝜋 2 𝑛2
𝐿𝐿2
𝐸𝐸𝐸𝐸𝜋𝜋 4 𝑛2
(3.19)
Atendendo a que a carga crítica de Euler de uma coluna de comprimento (L) e rigidez de
flexão (EI) é dada por 𝑁𝑁𝐸 =
𝜋 2 𝐸𝐼
𝐿2
e definindo um parâmetro adimensional 𝜇𝜇 2 =
escrever-se a expressão da carga crítica em função de N E :
𝑁𝑁𝑐𝑟 = 𝑁𝑁𝐸 �𝑛2 +
44
𝜇𝜇2
�
𝜋𝜋 4 𝑛2
𝛽0 𝐿4
𝐸𝐼
pode
(3.20)
CAPÍTULO 3 – ESTABILIDADE LINEAR DE TABULEIROS ATIRANTADOS:
ANALOGIA VIGA-COLUNA SOBRE FUNDAÇÃO ELÁSTICA
O parâmetro adimensional μ, relaciona a rigidez da fundação (𝛽𝛽0 ) com a rigidez de flexão
do tabuleiro (EI). Assim, quanto maior for este parâmetro, maior é a rigidez da fundação
em relação à rigidez de flexão da barra. No caso das pontes de tirantes mais modernas
(com tabuleiros muito flexíveis suportados por tirantes muito próximos entre si) é normal
este parâmetro assumir valores superiores ou próximos de 1000.
A relação entre a carga crítica da coluna sobre fundação elástica (N cr ) e a carga crítica da
coluna sem a fundação (N E ), varia parabolicamente com o parâmetro (μ) e é função do
número de semi-ondas do modo de instabilidade (n). A Figura 3.7 apresenta esta mesma
variação para diferentes valores de (μ) e com o número de semi-ondas (n) a variar entre 1 e
12.
𝑁𝑁𝑐𝑟
𝜇𝜇2
= 𝑛2 + 4 2
𝑁𝑁𝐸
𝜋𝜋 𝑛
(3.21)
Admitindo a hipótese de (n) ser uma variável contínua (o que é válido para valores de (n)
elevados) para qualquer valor de (μ) , isto é, para uma qualquer relação entre a rigidez da
coluna (EI) e da fundação (β 0 ), existe um valor de (n) que torna mínima a carga crítica.
𝑑𝑁𝑁𝑐𝑟
2𝑛𝜋𝜋 4 𝜇𝜇2
𝜇𝜇2
= 0 ⟹ 𝑁𝑁𝐸 �2𝑛 − 8 4 � = 0 ⇔ 𝑛4 = 4
𝑑𝑛
𝜋𝜋 𝑛
𝜋𝜋
(3.22)
Este valor, representa o número de semi-comprimentos de ondas associado ao modo de
instabilidade que conduz ao menor valor da carga crítica.
Ao se substituir o resultado de (3.22) em (3.21) vem que:
𝑁𝑁𝑐𝑟 2𝜇𝜇
= 2
𝑁𝑁𝐸
𝜋𝜋
(3.23)
A equação (3.23) representa uma recta tangente às parábolas definidas, para cada (n), na
Figura 3.7. Esta recta conduz a um valor na carga crítica igual ou inferior ao “real” dado
pelas parábolas, sendo o desvio nulo nos pontos de tangência e máximo na transição entre
modos de instabilidade. As aproximações para a carga crítica fornecidas pela recta
apresentam erros muito pequenos, em especial para valores de (μ) e (n) elevados, que são
45
ESTABILIDADE GLOBAL DE TABULEIROS ATIRANTADOS
perceptíveis na Figura 3.7 uma vez que se tratam da distância entre as parábolas e a recta
em determinadas zonas (distância esta que é nula nos pontos de tangência). A aproximação
considerada tem em conta (n) como valores reais e não apenas inteiros, permitindo obter
uma boa aproximação da carga crítica independentemente do número de semi-ondas do
modo de instabilidade. Desenvolvendo a equação (3.23) obtém-se a fórmula de Engesser
dada por:
𝛽𝛽0 𝐿𝐿4
𝑁𝑁𝑐𝑟 2𝜇𝜇
𝜋𝜋 2 𝐸𝐸𝐸𝐸 2 � 𝐸𝐸𝐸𝐸
= 2 → 𝑁𝑁𝑐𝑟 = 2
= 2�𝐸𝐸𝐸𝐸𝛽𝛽0
𝑁𝑁𝐸
𝜋𝜋
𝐿𝐿
𝜋𝜋 2
𝑁𝑁𝑐𝑐𝑐𝑐
𝑁𝑁𝐸𝐸
n=1
240
n=2
n=3
n=4
n=5
(3.24)
n=6
200
160
n=12
𝑁𝑁𝑐𝑐𝑐𝑐 2𝜇𝜇
= 2
𝜋𝜋
𝑁𝑁𝐸𝐸
n=11
120
n=10
n=9
80
Ncr
n=8
n=7
EI, L
Ncr
Ncr
40
β0
0
0
200
400
600
800
1000
1200
𝜇𝜇 = �
𝛽𝛽0 𝐿𝐿4
𝐸𝐸𝐸𝐸
Figura 3.7 - Variação de N cr /N E com o número de semi-ondas (n) considerado e com o parâmetro adimensional
(μ), para uma coluna sobre fundação elástica de rigidez constante e esforço normal igualmente constante ao longo
do seu comprimento.
Esta expressão simples permite, a partir apenas da rigidez do tabuleiro e da fundação,
determinar a carga crítica da coluna. A limitação resulta do facto de esta apenas ser válida
para casos em que tanto o esforço normal como a rigidez da fundação, são constantes ao
longo do tabuleiro. Esta limitação condiciona o uso desta expressão ao estudo da
estabilidade global dos tabuleiros de pontes de tirantes. Nos números seguintes
apresentam-se as adaptações necessárias para ser possível a sua aplicação a este caso
concreto.
46
CAPÍTULO 3 – ESTABILIDADE LINEAR DE TABULEIROS ATIRANTADOS:
ANALOGIA VIGA-COLUNA SOBRE FUNDAÇÃO ELÁSTICA
3.3.2
Estabilidade de uma coluna sujeita a um esforço normal variável e sobre
fundação elástica com rigidez constante
Com a variação do esforço normal ao longo da coluna, é necessário redefinir a parcela da
energia potencial total associada à força axial aplicada. Considera-se a função normalizada
�(𝑥), tal que ao longo dacoluna se tem 𝑁𝑁(𝑥) = 𝑁𝑁0 × 𝑁𝑁
� (𝑥), com 𝑁𝑁0 a
do esforço normal 𝑁𝑁
ser o maior esforço normal ocorrente. Assim, a equação da energia potencial da força axial
aplicada passa a ter a seguinte expressão:
2
∞
∞
𝑛=1
𝑚=1
𝐿
𝑑2𝑦
𝑁𝑁0 𝜋𝜋 2
𝑛𝜋𝜋𝑥
𝑚𝜋𝜋𝑥
�(𝑥) cos �
𝑉𝑒1 = − � 𝑁𝑁(𝑥) � 2 � 𝑑𝑥 = −
� 𝑛 𝑎𝑛 � 𝑚 𝑎𝑚 � 𝑁𝑁
� cos �
� 𝑑𝑥 =
𝑑𝑥
4𝐿𝐿
𝐿𝐿
𝐿𝐿
0
0
𝐿
∞
∞
(3.25)
𝑁𝑁0 𝜋𝜋 2
� 𝑎𝑛 � 𝑎𝑚 𝐸𝐸𝑁 (𝑛, 𝑚)
=−
4𝐿𝐿
𝑛=1
𝑚=1
2 𝐿
� (𝑥) cos �𝑛𝜋𝑥� cos �𝑚𝜋𝑥� 𝑑𝑥 é calculado numericamente
onde o integral 𝐸𝐸𝑁 (𝑛, 𝑚) = 𝐿 ∫0 𝑁𝑁
𝐿
𝐿
ao longo da coluna utilizando a regra dos trapézios.
Tendo em conta o resultado do ponto anterior, considera-se de agora em diante apenas o
efeito das cargas axiais na estabilidade da coluna, uma vez que a energia potencial da carga
vertical uniforme distribuída, associada ao comportamento da viga, não interfere na
determinação da carga crítica e respectivo modo de instabilidade, como já referido. Assim,
a variação da energia potencial total da coluna é dada por:
∞
𝜕𝑈1 𝜕𝑈2 𝜕𝑉𝑒1
𝜋𝜋 4 𝐸𝐸𝐸𝐸
𝛽𝛽0 𝐿𝐿
𝜋𝜋 2 𝑁𝑁0
𝛿𝑉 = �
+
+
� 𝛿𝑎𝑛 = � 3 𝑛4 𝑎𝑛 +
𝑎𝑛 −
𝑛 � 𝑚 𝑎𝑚 𝐸𝐸𝑁 (𝑛, 𝑚)� 𝛿𝑎𝑛
𝜕𝑎𝑛 𝜕𝑎𝑛 𝜕𝑎𝑛
2𝐿𝐿
2
2𝐿𝐿
(3.26)
𝑚=1
As condições de estacionaridade aplicada à equação (3.26) para todas as variações
cinemáticas admissíveis do campo de deslocamentos, conduz a um sistema de equações de
n equações.
∞
𝜋𝜋 4 𝐸𝐸𝐸𝐸 4
𝛽𝛽0 𝐿𝐿
𝜋𝜋 2 𝑁𝑁0
𝑛
𝑎
+
𝑎
−
𝑛 � 𝑚 𝑎𝑚 𝐸𝐸𝑁 (𝑛, 𝑚) = 0
𝑛
2𝐿𝐿3
2 𝑛
2𝐿𝐿
𝑚=1
𝑛 = 1,2,3, …
(3.27)
47
ESTABILIDADE GLOBAL DE TABULEIROS ATIRANTADOS
A equação (3.27) corresponde a um sistema de equações lineares homogéneo (uma vez que
apenas se considera o efeito das forças axiais, caso contrário não apareceria 0 no termo da
direita), com uma solução de a n = 0, para qualquer n, correspondente à trajectória
fundamental, e com soluções não nulas, mas indeterminadas para a n ≠ 0 quando o
determinante da matriz composta por este sistema de equações for nulo. Trata-se portanto
de um problema linear de valores e vectores próprios, cuja resolução permite determinar as
cargas críticas e respectivos modos de instabilidade. A menor solução do sistema de
equações tal que o determinante seja nulo, corresponde à menor carga crítica da coluna
(N cr ), para o caso da fundação elástica com rigidez constante ao longo do seu comprimento
e esforço normal variável.
Considere-se agora a coluna representada na Figura 3.8 com um esforço normal parabólico
instalado ao longo de todo o seu comprimento. Para este caso, Timoshenko (“Theory of
Elastic Stability” – Art. 2.13 – [13] ) fornece valores da carga crítica para valores de μ
entre 0 e 1000, e utilizando a aproximação do modo de instabilidade com 1 a 10 semiondas (n = 1,2, ..., 10).
N0
2º grau
EI, L
β0
Figura 3.8 - Coluna sobre fundação elástica submetida a um esforço normal parabólico do 2ºgrau.
Considerando igualmente estes valores, o sistema de equações pode ser escrito da seguinte
forma:
𝑛 = 1,2,3, … ,10
48
10
𝜇𝜇2
𝑁𝑁𝑐𝑟
�𝑛 + 4 � 𝑎𝑛 − � � 𝑛 � 𝑚 𝑎𝑚 𝐸𝐸𝑁 (𝑛, 𝑚) = 0
𝜋𝜋
𝑁𝑁𝐸
4
𝑚=1
(3.28)
CAPÍTULO 3 – ESTABILIDADE LINEAR DE TABULEIROS ATIRANTADOS:
ANALOGIA VIGA-COLUNA SOBRE FUNDAÇÃO ELÁSTICA
Procedendo ao anulamento do determinante da matriz com n linhas e m colunas para
diferentes valores de μ, determinam-se os valores de (N cr /N E ) apresentados no Quadro 3.1.
Quadro 3.1 - Valores de (N cr /N E ) e (L o /L) em função do parâmetro μ para uma coluna sobre fundação elástica
com esforço normal representado na Figura 3.8.
μ
0.000
8.944
12.649
15.492
19.100
30.067
40.000
51.037
56.569
β 0 L / (16EI)
0
5
10
15
22.8
56.5
100
162.8
200
L0 / L
0.694
0.523
0.443
0.396
0.324
0.290
0.290
0.258
0.245
N CR / N E
2.076
3.65
5.087
6.377
7.583
9.535
11.9
14.987
16.621
L 0 /L - Timoshenko
0.696
0.524
0.443
0.396
0.363
0.324
0.29
0.259
0.246
μ
69.282
89.443
126.491
200
300
400
600
800
1000
β 0 L4 / (16EI)
300
500
1000
2500
5625
10000
22500
40000
62500
L0 / L
0.225
0.204
0.174
0.142
0.118
0.103
0.085
0.073
0.064
N CR / N E
19.694
24.117
33.147
49.624
71.764
93.593
137.668
185.54
240.642
L 0 / L - Timoshenko
0.225
0.204
0.174
4
Utilizando a mesma formulação é possível calcular os valores de (N cr /N E ), para diferentes
configurações de diagramas de esforços normais instalados na coluna. A Figura 3.9
apresenta os resultados obtidos para esforços normais com variações parabólicas e lineares.
De referir que para μ inferiores a 30 os resultados não são de interpretação imediata e,
estão fora do âmbito deste trabalho uma vez que as pontes de tirantes caracterizam-se por
valores de μ elevados. Para μ superiores a 30, os resultados são coincidentes para
diagramas de esforço normal com máximo a meio da coluna ou nas extremidades, desde
que tenham o mesmo tipo de variação (linear, parabólica de concavidade positiva ou
parabólica de concavidade negativa). A Figura 3.9 permite também concluir que a carga
crítica da coluna (neste caso N cr /N E ) é tanto maior quanto menor for a área do diagrama de
esforços axiais actuante, e consequentemente o esforço normal total instalado na mesma.
Em qualquer dos casos, uma variação de esforço normal ao longo da barra, conduz a uma
carga crítica superior à que se registaria no caso do esforço normal máximo constante
instalado.
49
ESTABILIDADE GLOBAL DE TABULEIROS ATIRANTADOS
A equação (3.27), por analogia com a expressão da carga crítica crítica da coluna com
rigidez de fundação e esforço normal constante, pode ser igualmente escrita da seguinte
forma:
𝑁𝑁𝑐𝑟 = 𝑓𝑁 (𝜇𝜇) × 𝑁𝑁𝐸 �𝑛2 +
𝑁𝑁𝑐𝑐𝑐𝑐
=350
𝑁𝑁𝐸𝐸
𝜇𝜇2
�
𝜋𝜋 4 𝑛2
(3.29)
EI, L
N0
N0
300
β0
2º grau
200
β0
N0
150
β0
N0
1º grau
250
EI, L
1º grau
EI, L
EI, L
N0
β0
EI, L
2º grau
N0
2º grau
EI, L
β0
100
β0
N0
50
2º grau
EI, L
β0
0
0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
𝜇𝜇 = �
1000
𝛽𝛽0 𝐿𝐿4
𝐸𝐸𝐸𝐸
Figura 3.9 - Diagrama de (N cr /N E ) para colunas sobre fundação elástica de rigidez constante, submetidas a
esforços normais com variações lineares e parabólicas.
O valor de f N (μ) representa a relação entre as cargas críticas da coluna sobre fundação
elástica constante, submetida a esforços normais variáveis e a esforço normal constante. A
Figura 3.10 mostra os resultados obtidos para os casos analisados. É possível concluir que
para μ ≈ 600 a diferença entre as cargas críticas nos dois casos é mínima. Assim é possível
determinar a carga crítica para estes casos, de forma aproximada, modificando a expressão
de Engesser (3.24) da forma seguinte:
𝑁𝑁𝑐𝑟 ≈ 𝑓𝑁 (𝜇𝜇) × 2�𝐸𝐸𝐸𝐸𝛽𝛽0
(3.30)
em que 𝑓𝑁 (𝜇𝜇) corresponde a um factor de correcção obtido da Figura 3.10 em função da
geometria de carregamento.
50
CAPÍTULO 3 – ESTABILIDADE LINEAR DE TABULEIROS ATIRANTADOS:
ANALOGIA VIGA-COLUNA SOBRE FUNDAÇÃO ELÁSTICA
2
fN(μ)
2º grau
N0
N0
N0
1,9
N0
1,8
β0
2º grau
β0
2º grau
N0
N0
1º grau
\
β0
1,7
2º grau
1º grau
β0
β0
1,6
1,5
1,4
1,3
1,2
1,1
1
80
180
280
380
480
580
680
780
880
980
𝜇𝜇 = �
𝛽𝛽0 𝐿𝐿4
𝐸𝐸𝐸𝐸
Figura 3.10 - Relação f N (μ) entre a carga crítica de colunas sobre fundação elástica de rigidez constante,
submetidas a esforços normais com variações lineares e parabólicas e a carga crítica de colunas equivalentes
submetidas a esforços normais constantes .
Estes resultados são concordantes com os apresentados em trabalhos de investigação
anteriores, nomeadamente por Pedro [5].
3.3.3
Estabilidade de uma coluna sujeita a um esforço normal constante e sobre
fundação elástica com rigidez variável
Assumindo agora a situação de uma variação da rigidez da fundação ao longo da coluna, é
necessário redefinir a parcela da energia potencial total associada à deformação elástica da
fundação. Considera-se novamente uma função normalizada agora para a rigidez da
fundação 𝛽𝛽̅ (𝑥), tal que ao longo da coluna se tem 𝛽𝛽(𝑥) = 𝛽𝛽0 × 𝛽𝛽̅ (𝑥), com 𝛽𝛽0 a ser a maior
rigidez da fundação ocorrente. A equação da energia de deformação elástica da fundação
toma agora a seguinte forma:
∞
∞
𝑛=1
𝑚=1
𝐿
𝛽𝛽0 𝑦 2
𝛽𝛽0 𝐿𝐿
2
𝑛𝜋𝜋𝑥
𝑚𝜋𝜋𝑥
𝑈2 = �
𝑑𝑥 =
� 𝑎𝑛 � 𝑎𝑚 � 𝛽𝛽̅ (𝑥) sin �
� 𝑠𝑖𝑛 �
� 𝑑𝑥 =
2
4
𝐿𝐿
𝐿𝐿
𝐿𝐿
0
0
𝐿
=
∞
∞
𝑛=1
𝑚=1
(3.31)
𝛽𝛽0 𝐿𝐿
� 𝑎𝑛 � 𝑎𝑚 𝐸𝐸𝛽 (𝑛, 𝑚)
4
51
ESTABILIDADE GLOBAL DE TABULEIROS ATIRANTADOS
2 𝐿
𝑛𝜋𝑥
𝑚𝜋𝑥
onde o integral 𝐸𝐸𝛽 (𝑛, 𝑚) = 𝐿 ∫0 𝛽𝛽̅ (𝑥) sin � 𝐿 � sin � 𝐿 � 𝑑𝑥 é calculado numericamente ao
longo da coluna utilizando a regra dos trapézios. Assim a variação da energia potencial
total da coluna é dada por:
∞
𝜕𝑈1 𝜕𝑈2 𝜕𝑉𝑒1
𝜋𝜋 4 𝐸𝐸𝐸𝐸
𝛽𝛽0 𝐿𝐿
𝜋𝜋 2 𝑁𝑁0 2
𝛿𝑉 = �
+
+
� 𝛿𝑎𝑛 = � 3 𝑛4 𝑎𝑛 +
� 𝑎𝑚 𝐸𝐸𝛽 (𝑛, 𝑚) −
𝑛 𝑎𝑛 � 𝛿𝑎𝑛
𝜕𝑎𝑛 𝜕𝑎𝑛 𝜕𝑎𝑛
2𝐿𝐿
2
2𝐿𝐿
(3.32)
𝑚=1
As condições de estacionaridade aplicada à equação (3.32) para todas as variações
cinemáticas admissíveis do campo de deslocamentos, conduz a um sistema de equações de
n equações.
∞
𝜋𝜋 4 𝐸𝐸𝐸𝐸 4
𝛽𝛽0 𝐿𝐿
𝜋𝜋 2 𝑁𝑁0 2
𝑛
𝑎
+
�
𝑎
𝐸𝐸
(𝑛,
𝑚)
−
𝑛 𝑎𝑛 = 0 𝑛 = 1,2,3, …
𝑛
𝑚 𝛽
2𝐿𝐿3
2
2𝐿𝐿
(3.33)
𝑚=1
O sistema de equações (3.33) corresponde novamente a um problema linear de valores e
vectores próprios em tudo idêntico ao analisado na secção anterior, para o caso do esforço
normal variável ao longo da barra e rigidez da fundação constante. Considerando
igualmente o domínio de valores para n e μ usados na secção anterior (μ entre 0 e 1000 e
n = 1,2, ..., 10), o sistema de equações pode ser escrito da seguinte forma:
𝑛 = 1,2,3, … ,10
∞
𝜇𝜇 2
𝑁𝑁𝑐𝑟
𝑛 𝑎𝑛 + 4 � 𝑎𝑚 𝐸𝐸𝛽 (𝑛, 𝑚) − � � 𝑛2 𝑎𝑛 = 0
𝜋𝜋
𝑁𝑁𝐸
4
(3.34)
𝑚=1
Para sucessivos anulamentos do determinante da matriz com n linhas e m colunas para
diferentes valores de μ, determinam-se os valores de (N cr /N E ). A Figura 3.11 apresenta os
resultados obtidos para várias configurações da rigidez da fundação. Mais uma vez para μ
inferiores a 30 os resultados não são de interpretação imediata tal como acontece para o
caso do esforço normal variável. Para μ superiores a 30 os resultados são, também neste
caso, coincidentes para variações de rigidez da fundação com máximo a meio da coluna
ou nas extremidades, desde que tenham o mesmo tipo de variação, a não ser para o caso
parabólico de concavidade negativa. A Figura 3.11 permite também concluir que a carga
crítica da coluna (neste caso N cr /N E ) é sempre menor que a que se regista quando a coluna
possui rigidez constante.
52
CAPÍTULO 3 – ESTABILIDADE LINEAR DE TABULEIROS ATIRANTADOS:
ANALOGIA VIGA-COLUNA SOBRE FUNDAÇÃO ELÁSTICA
𝑁𝑁𝑐𝑐𝑐𝑐Ncr/NE
=
𝑁𝑁𝐸𝐸 200
N0
180
EI, L
EI, L
N0
β0
160
2º grau
N0
140
120
β0
EI, L
EI, L
N0
β0
2º grau
100
1º grau
N0
80
60
EI, L
β0
EI, L
N0
1º grau
2º grau
β0
β0
40
EI, L
N0
20
2º grau
β0
0
0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
𝜇𝜇 = �
1000
μ
𝛽𝛽0 𝐿𝐿4
𝐸𝐸𝐸𝐸
Figura 3.11 - Diagrama de (N cr /N E ) para colunas sobre fundação elástica de rigidez com variações lineares e
parabólicas, submetidas a esforços normais constantes.
A equação (3.34), por analogia com a expressão da carga crítica crítica da coluna com
rigidez de fundação e esforço normal constante, pode ser igualmente escrita da seguinte
forma:
𝑁𝑁𝑐𝑟
𝜇𝜇2
= 𝑓𝛽 (𝜇𝜇) × 𝑁𝑁𝐸 �𝑛 + 4 2 �
𝜋𝜋 𝑛
2
(3.35)
O valor de f β (μ) representa a relação entre as cargas críticas da coluna submetida a esforços
normais constante, sobre fundação elástica com rigidez variável e com rigidez constante. A
Figura 3.12 mostra os resultados obtidos para os casos analisados. É possível concluir que
quanto maior a rigidez da fundação (que neste caso representa um aumento de μ), maior é a
diferença entre as cargas críticas nos dois casos. A carga crítica pode ser determinada, de
forma aproximada, recorrendo à fórmula de Engesser modificada:
𝑁𝑁𝑐𝑟 ≈ 𝑓𝛽 (𝜇𝜇) × 2�𝐸𝐸𝐸𝐸𝛽𝛽0
(3.36)
53
ESTABILIDADE GLOBAL DE TABULEIROS ATIRANTADOS
fβ (μ)
0,9
N0
EI, L
N0
0,8
N0
EI, L 1º grau
EI, L
β0
2º grau
N0
0,7
β0
1º grau
β0
0,6
β0
EI, L
2º grau
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
EI, L
EI, L
N0
N0
2º grau
β0
2º grau
β0
0,0
80
180
280
380
480
580
680
780
𝛽𝛽0 𝐿𝐿4
�
980 𝜇𝜇 = 𝐸𝐸𝐸𝐸
880
Figura 3.12 - Relação f β (μ) entre a carga crítica de colunas submetidas a esforços axiais constantes, com
fundação elástica de rigidez variável de forma linear e parabólica, e a carga crítica de colunas equivalentes com
rigidez de fundação constante.
Uma vez mais estes resultados estão concordantes com os obtidos noutros estudos,
nomeadamente os apresentado por Pedro [5].
3.3.4
Estabilidade de uma coluna sujeita a um esforço normal variável e sobre
fundação elástica com rigidez variável
A variação tanto do esforço normal como da rigidez da fundação na coluna, trata-se de um
problema semelhante aos dois anteriores, mas neste caso com a consideração em
simultâneo das parcelas da energia potencial da força axial e energia de deformação
elástica da fundação, como definidas nas equações (3.25) e (3.31), respectivamente. Assim
para este caso a variação da energia potencial total da coluna é dada por:
𝛿𝑉 = �
𝜕𝑈1 𝜕𝑈2 𝜕𝑉𝑒1
+
+
� 𝛿𝑎𝑛 =
𝜕𝑎𝑛 𝜕𝑎𝑛 𝜕𝑎𝑛
∞
∞
𝑚=1
𝑚=1
𝜋𝜋 4 𝐸𝐸𝐸𝐸
𝛽𝛽0 𝐿𝐿
𝜋𝜋 2 𝑁𝑁0
= � 3 𝑛4 𝑎𝑛 +
� 𝑎𝑚 𝐸𝐸𝛽 (𝑛, 𝑚) −
𝑛 � 𝑚 𝑎𝑚 𝐸𝐸𝑁 (𝑛, 𝑚)� 𝛿𝑎𝑛
2𝐿𝐿
2
2𝐿𝐿
54
(3.37)
CAPÍTULO 3 – ESTABILIDADE LINEAR DE TABULEIROS ATIRANTADOS:
ANALOGIA VIGA-COLUNA SOBRE FUNDAÇÃO ELÁSTICA
As condições de estacionaridade aplicada à expressão (3.37) para todas as variações
cinemáticas admissíveis do campo de deslocamentos, conduz a um sistema de equações de
n equações dado por:
∞
∞
𝑚=1
𝑚=1
𝜋𝜋 4 𝐸𝐸𝐸𝐸 4
𝛽𝛽0 𝐿𝐿
𝜋𝜋 2 𝑁𝑁0
𝑛
𝑎
+
�
𝑎
𝐸𝐸
(𝑛,
𝑚)
−
𝑛 � 𝑚 𝑎𝑚 𝐸𝐸𝑁 (𝑛, 𝑚) = 0 𝑛 = 1,2,3, …
𝑛
𝑚 𝛽
2𝐿𝐿3
2
2𝐿𝐿
(3.38)
Considerando igualmente o domínio de valores para n e μ usados anteriormente (μ entre 0
e 1000 e n = 1,2, ..., 10), o sistema de equações pode ser escrito da seguinte forma:
∞
10
𝑚=1
𝑚=1
𝜇𝜇2
𝑁𝑁𝑐𝑟
𝑛 𝑎𝑛 + 4 � 𝑎𝑚 𝐸𝐸𝛽 (𝑛, 𝑚) − � � 𝑛 � 𝑚 𝑎𝑚 𝐸𝐸𝑁 (𝑛, 𝑚) = 0
𝜋𝜋
𝑁𝑁𝐸
4
𝑛 = 1,2,3, … ,10
𝑁𝑁𝑐𝑐𝑐𝑐 165
𝑁𝑁𝐸𝐸
N0
2º grau
(3.39)
EI, L
150
β0
135
N0
2º grau
EI, L
N0
120
β0
105
2º grau
2º grau
0,1β0
β0
90
EI, L
N0
75
β0
2º grau
N0
EI, L
60
45
β0
2º grau
30
EI, L
N0
15
β0
2º grau
0
0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
𝜇𝜇 = �
1000
𝛽𝛽0 𝐿𝐿4
𝐸𝐸𝐸𝐸
Figura 3.13 - Diagrama de (N cr /N E ) para colunas sobre fundação elástica de rigidez e esforço normal variáveis ao
longo do seu comprimento.
55
ESTABILIDADE GLOBAL DE TABULEIROS ATIRANTADOS
Calculando as funções 𝐸𝐸𝑁 (𝑛, 𝑚) e 𝐸𝐸𝛽 (𝑛, 𝑚) por integração numérica e, em seguida,
obtendo a menor solução da equação resultante do anulamento do determinante do sistema
de equações, obtém-se a menor carga crítica da coluna. A Figura 3.13 apresenta os
resultados obtidos para as configurações de esforços normais e rigidez de fundação
consideradas na definição do parâmetro μ.
A variação do esforço normal ao longo do vão da coluna faz aumentar a sua carga crítica
em relação à situação de esforço normal constante. Já a variação da rigidez de fundação
diminui a carga crítica em comparação com o caso de uma fundação de rigidez constante.
A Figura 3.14 é representativa da sobreposição destes dois efeitos para casos de variações
de rigidez diferentes, quando sujeitas à mesma variação de esforço normal. Existe um
cenário de esforço normal e rigidez de fundação (ambos com variações parabólicas), onde
a carga crítica da coluna é cerca de 110% superior ao caso de rigidez e esforço normal
constantes. No caso de uma variação parabólica da rigidez da fundação para a mesma
variação de esforço normal, obtém-se uma carga crítica de cerca de 50% da situação em
que a fundação tem uma rigidez constante.
1,2
fβ N (μ)
1,1
N0
2º grau
EI, L
1
β0
2º grau
0,9
0,8
N0
0,7
2º grau
EI, L
0,1β0
0,6
2º grau
N0
2º grau
β0
EI, L
β0
0,5
0,4
80
180
280
380
480
580
680
780
880
980
𝜇𝜇 = �
𝛽𝛽0 𝐿𝐿4
𝐸𝐸𝐸𝐸
Figura 3.14 - Relação f βN (μ) entre a carga crítica de colunas submetidas a esforços axiais variáveis com fundação
elástica de rigidez variável, e a carga crítica de colunas equivalentes com rigidez de fundação e esforço normal
constante.
56
CAPÍTULO 3 – ESTABILIDADE LINEAR DE TABULEIROS ATIRANTADOS:
ANALOGIA VIGA-COLUNA SOBRE FUNDAÇÃO ELÁSTICA
Para valores de μ elevados, é possível obter uma boa aproximação de f βN (μ), o que permite
determinar a carga crítica para estes casos, de forma aproximada, recorrendo à fórmula de
Engesser modificada:
𝑁𝑁𝑐𝑟 ≈ 𝑓𝛽 𝑁 (𝜇𝜇) × 2�𝐸𝐸𝐸𝐸𝛽𝛽0
(3.40)
No caso em que o esforço normal varia ao longo da coluna e a fundação tem rigidez
constante, é possível comparar os valores obtidos para as cargas críticas com os de
Timoshenko [13] para uma dada distribuição de esforço normal. Contudo, se a rigidez da
fundação variar isoladamente, ou juntamente com o esforço normal, não são conhecidos
resultados publicados que permitam uma comparação.
Assim, para confirmar alguns valores das cargas críticas obtidas pelo método descrito,
recorre-se ao programa de elementos finitos SAP2000, onde é realizada uma análise
elástica linear de estabilidade (“Buckling Analysis”) a uma coluna sobre fundação elástica.
A fundação elástica contínua é aproximada de forma discreta por um conjunto de molas,
cuja rigidez é calibrada de acordo com o tipo de variação na fundação que se quer analisar.
O valor da rigidez das molas (𝐾𝑣,𝑖 = 𝛽𝛽(𝑥) × 𝑎) é obtido através do valor da rigidez de
flexão dos elementos de barra (EI),
tal que se obtenha um valor de μ �𝜇𝜇 =
coincidente com aqueles usados no cálculo da carga crítica de forma analítica.
β0
N0
𝛽0 𝐿4
𝐸𝐼
�
0.1β0
≈2ºgrau
Figura 3.15 - Modelo de coluna sobre fundação elástica elaborado no programa de elementos finitos SAP2000,
considerando uma variação de esforço normal e rigidez de fundação apresentados.
As características da coluna e da fundação são apresentados no Quadro 3.2 para o caso
apresentado na Figura 3.15. O mesmo quadro apresenta o valor obtido pela análise elástica
de estabilidade no programa SAP2000, cujo o valor apresenta um erro de cerca de 4%
relativamente ao obtido pela metodologia descrita anteriormente. Este erro explica-se pela
57
ESTABILIDADE GLOBAL DE TABULEIROS ATIRANTADOS
pequena discretização que o modelo considera (L/20), uma vez que a forma do diagrama
de esforços axiais que se instala na barra, assim como a variação rigidez de fundação, varia
consoante o número de nós em que se discretiza a coluna.
Quadro 3.2 - Valores de (N cr /N E ) para uma coluna sobre fundação elástica de rigidez variável sujeita a um
esforço normal também variável como representado na Figura 3.15.
L (m)
EI (kN/m2)
N E (kN)
a (m)
β 0 (kN/m2)
μ
N cr (kN)
N cr /N E
Coluna sobre
Fundação Elástica
N cr /N E
420
64873815
3630
21 (L/20)
334
400
269271
74,2
71,5
Barra
Fundação
SAP2000
Este resultado mostra que o modelo de coluna sobre fundação elástica permite obter uma
boa aproximação da carga crítica, mesmo quando tanto o esforço normal como a rigidez da
fundação são variáveis. Contudo, para obter resultados com o BEF, continua a ser
necessário utilizar uma folha de cálculo para efectuar as integrações necessárias para
montar o sistema de equações, e obter a solução da equação que resulta do anulamento do
seu determinante. Na secção seguinte apresenta-se um método simplificado que pode ser
utilizado como alternativa a este modelo.
3.4
ESTABILIDADE ELÁSTICA DE UM TABULEIRO ATIRANTADO:
MÉTODO SIMPLIFICADO
Uma ponte de tirantes com um vão central de 420 m, com tirantes afastados de 13.125 m
entre si ao nível do tabuleiro, tem uma distribuição de esforço axial e rigidez de fundação
ao longo de metade do tabuleiro como foi apresentado na Figura 3.2.
A distribuição de esforços no tabuleiro é bem aproximada por funções do 2º grau, como as
consideradas na Figura 3.13. Os tirantes mais longos conferem ao tabuleiro
aproximadamente 10% da rigidez dos tirantes mais próximos da torre. Este caso de esforço
normal instalado e rigidez de fundação também é considerado nas Figura 3.13 e Figura
3.14.
Verifica-se que em qualquer ponte atirantada existe uma secção onde a relação entre a
rigidez elástica vertical conferida pelos tirantes ao tabuleiro β(x) e o esforço axial instalado
no mesmo N(x) é mínima. Klein propôs [4] que esta secção, onde a relação R i =β(x)/N(x) é
mínima, determina a instabilidade da coluna sobre fundação elástica de rigidez e esforço
58
CAPÍTULO 3 – ESTABILIDADE LINEAR DE TABULEIROS ATIRANTADOS:
ANALOGIA VIGA-COLUNA SOBRE FUNDAÇÃO ELÁSTICA
normal variável. Tendo em conta esta proposta, pode continuar-se a utilizar a expressão de
Engesser, adoptando um método simplificado.
Para o cálculo da carga crítica de uma coluna com esforço normal e rigidez de fundação
variável, recorre-se então a uma coluna equivalente com rigidez constante (β i ) e submetida
a esforço normal constante (N i ). Quando na secção condicionante (i) da coluna real se
atinge o valor (N i,cr ), têm-se na secção com maior esforço normal o valor (N o,cr ). Deste
modo, o valor da carga crítica desta coluna pode ser obtido por N o,cr dado por:
𝑁𝑁𝑖,𝑐𝑟 = 2�𝐸𝐸𝐸𝐸𝛽𝛽𝑖 →
𝑁𝑁𝑜,𝑐𝑟 𝑁𝑁𝑜
𝑁𝑁𝑜
=
→ 𝑁𝑁𝑜,𝑐𝑟 =
× 2�𝐸𝐸𝐸𝐸𝛽𝛽𝑖
𝑁𝑁𝑖,𝑐𝑟
𝑁𝑁𝑖
𝑁𝑁𝑖
(3.41)
Onde (N o ) representa o máximo esforço normal na coluna real, (N i ) o esforço normal da
secção onde a relação (R=β(x)/N(x)) é mínima e (𝛽𝛽𝑖 ) a rigidez elástica nessa secção. A
Figura 3.16 esquematiza este conceito de coluna equivalente e coluna real, assim como os
parâmetros mencionados na equação (3.41).
N0,cr
Ni,cr
EI, L
N(x)
N0
Coluna real
β0
βi
secção
condicionante
Ni,cr
0,1β0
β(x)
N(x)/β(x)
EI, L
Coluna equivalente
βi
Figura 3.16 - Coluna real e conceito de coluna equivalente, associado à hipótese simplificativa de Klein.
A validação deste método é conseguida a partir da determinação da carga crítica da coluna
real, e verificação da igualdade com a carga crítica determinada por este mesmo método
numa coluna equivalente. Para tal, consideram-se 5 modelos de pontes de tirantes, com os
seguintes vãos: 420; 577.5; 735; 892.5 e 1050 m. Todos os tabuleiros têm uma rigidez de
flexão de EI = 64 873 815 kN/m2 (associada a metado do tabuleiro apresentado no
Capítulo 2).
59
ESTABILIDADE GLOBAL DE TABULEIROS ATIRANTADOS
As variações de esforço normal N(x) e rigidez da fundação β(x), ao longo do comprimento
do tabuleiro, normalizadas em relação aos valores máximos que se obtém entre a torre e o
tirante mais próximo do meio vão, estão representadas na Figura 3.17. Na mesma figura
representa-se a variação do quociente entre o valor normalizado da rigidez e o valor
normalizado do esforço normal em cada secção, com o objectivo de identificar a secção
condicionante.
N(x)/No
1,1
1,0
0,9
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0,0
1
4
7
10
13
16
19
22
25
28
31
34
37
40
Tirantes
β(x)/βo
1,0
0,9
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0,0
1
4
7
10
13
16
19
22
25
28
31
34
37
Tirantes
β(x)/β
Ni [kN]o
N(x)/No
1,0
40
TIRANTE
Tirantes
0,9
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
Secções
Condicionantes
0,1
0,0
1
4
7
10
13
16
19
22
25
28
31
34
37
40
Tirantes
Figura 3.17 - Variações ao longo de metade do vão central do tabuleiro de N(x) β(x) e β(x)/N(x).
60
CAPÍTULO 3 – ESTABILIDADE LINEAR DE TABULEIROS ATIRANTADOS:
ANALOGIA VIGA-COLUNA SOBRE FUNDAÇÃO ELÁSTICA
O Quadro 3.3 apresenta os resultados obtidos para a coluna equivalente e para a coluna
real. Os resultados deste quadro mostram a muito boa aproximação da coluna equivalente à
coluna real, uma vez que para os modelos de pontes considerados, só no caso do vão de
735 m o erro é superior a 1%. Neste caso a definição de secção condicionante onde
𝑅𝑖 =
𝐾𝑣,𝑖
𝑁𝑖
, assim como no caso de 892.5 m, não é fácil uma vez que a secção concidionante
se encontra entre dois tirantes.
Quadro 3.3 - Comparação entre os valores das cargas críticas obtidas pelo método simplificado (coluna
equivalente) e por uma análise elástica linear de estabilidade (coluna real).
L (m)
i (tirante)
β i [kN/m2]
N i,cr [kN]
Ni / No
N o,cr [kN]
N o,cr /N E
420
577.5
735
892.5
1050
COLUNA EQUIVALENTE
11
14
18 | 19
22 | 23
26
186.80
158.10
126.58
105.06
91.05
220160
202551
181235
165112
153708
0.546
0.527
0.539
0.528
0.536
403442
384159
336412
312865
286908
111.20
200.10
283.84
388.79
494.03
COLUNA REAL
μ
ƒ βN (μ)
β o [kN/m2]
N o,cr [kN]
N o,cr /N E
750
1279
1901
2605
3380
0.7391
0.7687
0.7526
0.7393
0.7271
1172.67
954.4
803.6
693.60
609.89
407688
382575
343702
313647
289258
112.30
199.27
289.99
389.76
498.07
0.25
0.82
Erro Relativo (%)
0.99
0.41
2.17
Os passos a seguir para aplicar este método simplificado, na avaliação da estabilidade
elástica de um tabuleiro atirantado são assim:
1) Identificar o tirante (i) onde 𝑅𝑖 =
todo o tabuleiro;
𝐾𝑣,𝑖
𝑁𝑖
é mínimo para uma carga distribuída unitária em
2) Considerar a rigidez elástica equivalente dos tirantes dada por 𝛽𝛽𝑖 =
𝐾𝑣,𝑖
𝑎
;
61
ESTABILIDADE GLOBAL DE TABULEIROS ATIRANTADOS
3) Obter o esforço normal crítico (N i,cr ), o número de semi-ondas do modo de
instabilidade (n), e o comprimento de encurvadura (L cr ), por
𝑁𝑁𝑖,𝑐𝑟 = 2�𝐸𝐸𝐸𝐸𝛽𝛽𝑖
𝑛4 ≈
𝛽𝛽𝑖 𝐿𝐿4
𝜋𝜋 4 𝐸𝐸𝐸𝐸
𝜋𝜋 2 𝐸𝐸𝐸𝐸
𝐿𝐿
𝐿𝐿𝑐𝑟 = �
≈
𝑁𝑁𝑖,𝑐𝑟 𝑛√2
(3.42)
(3.43)
(3.44)
4) Determinar o correspondente carregamento vertical uniforme (q cr ), que origina (N i,cr )
dado por
𝑞𝑐𝑟 =
𝑁𝑁𝑖,𝑐𝑟
2�𝐸𝐸𝐸𝐸𝛽𝛽𝑖
=
𝑎
𝑡𝑖𝑟
𝑁𝑁𝑖
∑𝑛º
𝑗=𝑖 𝑡𝑎𝑛𝛼
𝑗
(3.45)
Caso o comprimento de encurvadura (L i,cr ) determinado através de (3.44) seja inferior ao
espaçamento entre tirantes (a), deve-se considerar a carga crítica do tabuleiro igual à carga
de Euler com o valor de L cr = a. Em regra geral, tal não se verifica nas pontes de tirantes
modernas com pequeno espaçamento entre tirantes.
3.5
ANÁLISE LINEAR DE ESTABILIDADE CONSIDERANDO
EXCENTRICIDADES INICIAIS
As conclusões anteriores devem ser alargadas ao caso de se considerar a ocorrência de uma
excentricidade na coluna. Tal corresponde na prática a mostrar que o problema de
estabilidade de uma viga-coluna sobre fundação elástica pode ser reduzido apenas ao
comportamento de uma coluna nestas condições, não sendo necessário ter em conta o
comportamento de viga, numa análise linear de estabilidade. Utiliza-se o software
SAP2000 para executar este mesmo tipo de análise num modelo idêntico ao da Figura
3.15, com 420 m de comprimento, mas com uma excentricidade inicial associada.
62
CAPÍTULO 3 – ESTABILIDADE LINEAR DE TABULEIROS ATIRANTADOS:
ANALOGIA VIGA-COLUNA SOBRE FUNDAÇÃO ELÁSTICA
Na Figura 3.18 estão representados os resultados obtidos para três análises lineares de
estabilidade executadas: (a) Sem considerar excentricidades iniciais; (b) considerando uma
excentricidade
inicial
idêntica
à
resultante
do
peso
próprio
da
ponte,
i.e.
ω o = ω o,cp = L/180 = 2.5 m; e (c) considerando uma excentricidade inicial de
ω o = L/15 = 28 m. A consideração de uma imperfeição inicial de ω o = L/15 resulta num
esforço normal crítico 2% menor que no caso de apenas se ter em conta o comportamento
enquanto coluna (ω o = 0), não havendo assim momentos flectores instalados na barra.
Também nestes dois casos o modo de instabilidade é semelhante.
(a)
ωo=0
N=4,50kN
Ncr=144045,9 kN
(b)
N=4,5011 kN
ωo=L/180=2,5m =ωo,cp
Ncr=144026,7 kN
(c)
ωo=L/15=28m
N=4,6308 kN
Ncr=141298,6 kN
Figura 3.18 - Análise elástica linear executada para uma coluna sobre fundação elástica com 420 m de
comprimento: (a) sem excentricidade inicial; (b) com uma excentricidade inicial ω o =L/180; e (c) com uma
excentricidade inicial ω o =L/15.
Mostra-se assim que o comportamento de viga associado a esta viga-coluna, representado
pelo facto da excentricidade inicial introduzir momentos flectores na estrutura, não altera a
sua estabilidade elástica quando se realiza uma análise geometricamente não linear de
1ª ordem. A excentricidade inicial de 28 m é um valor perfeitamente académico, tendo em
conta que não é realista a ocorrência de uma deformação desta ordem de grandeza mesmo
para um tabuleiro atirantado de 420 m de vão central.
63
ESTABILIDADE GLOBAL DE TABULEIROS ATIRANTADOS
3.6
CONCLUSÕES DA ANALOGIA VIGA-COLUNA SOBRE FUNDAÇÃO
ELÁSTICA
O estudo da viga-coluna sobre fundação elástica efectuado conduz às seguintes conclusões:
1) O problema da estabilidade de uma viga-coluna sobre fundação elástica, pode ser
analisado como um problema de uma coluna sobre fundação elástica, uma vez que o
comportamento de viga não altera a análise elástica linear de estabilidade;
2) Através da modificação da fórmula de Engesser com recurso ao parâmetro f βN (μ), é
possível determinar de uma forma simples, com algum rigor, o valor da carga crítica do
tabuleiro atirantado;
3) A modificação da fórmula de Engesser, recorrendo à hipótese de Klein, permite obter
uma boa estimativa do valor da carga crítica do tabuleiro atirantado, através de um
método muito simples.
64
CAPÍTULO 4 – ESTABILIDADE NÃO LINEAR DE TABULEIROS ATIRANTADOS
4
ESTABILIDADE NÃO LINEAR DE TABULEIROS
ATIRANTADOS
4.1
TIPOS DE ANÁLISES DE ESTABILIDADE E DETERMINAÇÃO DA
CARGA CRÍTICA
No capítulo anterior a carga crítica e os modos de instabilidade foram determinados com
base numa análise linear de estabilidade. De facto, o método energético de Rayleigh-Ritz,
que corresponde à minimização da energia potencial global da estrutura, conduz à
determinação das cargas críticas associadas aos diferentes modos de instabilidade. Do
mesmo modo, o módulo “Buckling Analysis” do programa de elementos finitos SAP2000
efectua uma análise elástica linear de estabilidade. Este tipo de análise pressupõe que as
estruturas se encontram indeformadas até que ocorra a perda do equilíbrio por instabilidade
global para um determinado nível de carga que corresponde à carga crítica.
P
ω
P
Pcr
Trajectória Fundamental
ω
Equilíbrio Estável
Equilíbrio Instável
Equilíbrio Neutro
Figura 4.1 - Tipos de equilíbrio após atingir-se a carga crítica numa estrutura com instabilidade por
bifurcação.
65
ESTABILIDADE GLOBAL DE TABULEIROS ATIRANTADOS
O tipo de comportamento da estrutura quando atinge a carga crítica pode ser de três tipos:
estável, instável ou neutro. A Figura 4.1 apresenta estes três tipos de comportamento para
o caso da instabilidade bifurcacional.
Numa análise elástica linear de estabilidade considera-se sempre que no início a estrutura
se encontra numa posição indeformada, não ocorrendo deslocamentos laterais enquanto se
incrementa a carga até ao valor da carga crítica. Analiticamente, o problema consiste em
conhecer a carga que produz o anulamento do determinante da matriz deduzida no
Capítulo 3. As análises lineares de estabilidade não consideram o regime pós-crítico, uma
vez que aí a estrutura já não se encontra indeformada, mas sim numa configuração
associada ao modo de instabilidade correspondente à carga crítica determinada [8]. Esta
análise termina portanto com a determinação das cargas associadas aos diversos modos de
instabilidade, sendo a menor delas normalmente a que se atinge primeiro, dando-se o nome
de carga crítica. Este tipo de análise encontra-se representada na Figura 4.2.
P
Pcr
Pcr
o
-Crític
e Pós
Regim
Pcr
P
ωo
P
ωo
Análise Elástica Linear
de Estabilidade
Análise Elástica Não-Linear de Estabilidade
ω
Figura 4.2 - Trajectórias de carga-deslocamento numa análise elástica linear e não linear de estabilidade.
Por oposição, numa análise elástica não linear de estabilidade consideram-se as sucessivas
deformações da estrutura para cada um dos incrementos de carga, assim como as
deformações iniciais (ω o ). Assim deixa de existir bifurcação do equilíbrio, e o
comportamento da estrutura passa a ser descrito por uma trajectória de equilíbrio não linear
que tende assimptoticamente para a trajectória de pós-encurvadura. A cada incremento de
carga, é feito um novo equilíbrio da estrutura considerando as deformações associadas.
Assim a matriz de rigidez da estrutura é sucessivamente ajustada tendo em conta a
configuração deformada. Através deste tipo de análise, a determinação da carga crítica é
66
CAPÍTULO 4 – ESTABILIDADE NÃO LINEAR DE TABULEIROS ATIRANTADOS
mais complexa, não sendo por vezes possível a sua identificação [8]. A Figura 4.2
apresenta igualmente a trajectória associada a este tipo de análise não linear de
estabilidade.
Na Figura 4.3 apresentam-se três possíveis resultados de uma análise elástica não linear de
estabilidade. Relativamente à trajectória a verde, a identificação de uma carga crítica é
relativamente simples, uma vez que para uma carga de valor P = P 1 ocorre um aumento
rápido dos deslocamentos, que dá origem a um patamar quase horizontal na curva de
carga-deslocamento. Para a trajéctoria a laranja, a análise elástica não linear não tem um
aumento de deslocamentos como no caso da trajectória anterior, embora atinja uma carga
máxima P = P 2 , sendo impossível continuar os incrementos de carga uma vez que não é
possível obter o equilíbrio da estrutura para carregamentos mais elevados. Neste caso é
possível considerar uma carga crítica de valor igual a P 2 (isto porque a análise de
estabilidade é elástica, e não faz sentido falar em carga última, uma vez que nunca se
formam rótulas plásticas). Para o caso da trajectória a vermelho, a identificação de carga
crítica é discutível (se não mesmo impossível), uma vez que o conceito de carga crítica é
bem definido para o caso de uma análise elástica linear de estabilidade, mas no caso de
uma análise não linear de estabilidade o mesmo pode não ter significado. Assim, para
alguns casos é simples identificar uma possível carga crítica (como no caso da trajectória a
verde), mas para outros (como o da trajectória a vermelho) tal pode não acontecer.
P
P3=?
P2
P1
ωo
ω
Figura 4.3 - Três trajectórias de carga-deslocamento possíveis numa análise não linear de estabilidade.
67
ESTABILIDADE GLOBAL DE TABULEIROS ATIRANTADOS
O caso do tabuleiro de uma ponte atirantada apresenta as seguintes particularidades que
afectam a sua análise da estabilidade:
1) O tabuleiro é muito deformável, já que cada vez mais são construídas pontes de tirantes
com vãos longos e tabuleiros de grande esbelteza;
2) Existem sempre deformações inicias (ω o ), uma vez que mesmo com a instalação dos
tirantes, para controlar a deformada resultante da carga permanente, existe sempre uma
deformação inicial;
3) As deformações devido ao aumento sucessivo do carregamento, provocam alterações
nas inclinações dos tirantes, assim como dão origem a efeitos P-Δ importantes.
Estas características tornam, no caso de um tabuleiro atirantado, a análise não linear de
estabilidade mais apropriada relativamente a efectuar a avaliação da sua estabilidade
utilizando uma análise elástica linear.
Neste capítulo, pretende-se efectuar a análise elástica não linear de estabilidade de uma
ponte de tirantes, realizada através dos programas de elementos finitos SAP2000 e ANSYS.
Adopta-se o modelo de 420 m de vão central descrito no Capítulo 2. No decorrer das
análises efectuadas, ocorrem casos que englobam os três tipos de resultados possíveis
ilustrados na Figura 4.3, assim como outros associados a casos de equilíbrios instáveis, ou
seja, casos em que a partir de um determinado valor de P, a estrutura só atinge o equilíbrio
se a carga aplicada for reduzida.
A Figura 4.4 apresenta o resultado de quatro análises não lineares de estabilidade (ANLE),
onde apenas se altera a tipologia do carregamento. A Figura 4.5 ilustra o desenvolvimento
do deslocamento a meio vão com o sucessivo carregamento da estrutura.
Esta análise elástica não linear executa sucessivos carregamentos com determinados passos
de carga (steps), até atingir um determinado critério de paragem ou ser impossível
equilibrar mais a estrutura. Neste caso, o critério de paragem corresponde ao controlo do
deslocamento a meio vão. Como limite impõem-se uma amplitude máxima de 30 m para
esse deslocamento. A análise inicia-se com uma deformada (ω o ) associada à carga
permanente da estrutura e sem contabilizar o processo construtivo. A não consideração do
processo construtivo é justificada mais à frente.
68
CAPÍTULO 4 – ESTABILIDADE NÃO LINEAR DE TABULEIROS ATIRANTADOS
q=1442 kN/m
23.5 x sob
δV-64
N≈32 MN
ANLE (λ2=23.5)
N≈-348 MN
N≈-520 MN
ALE
(λ2=37.4)
q=1675 kN/m
27.9 x sob
δV-64
N≈-71 MN
ANLE (λ3=27.9)
N≈-363 MN
N≈-506 MN
ALE (λ3=40.0)
q=1197 kN/m
19.0 x sob
δV-64
N≈45 MN
N≈-178 MN
N≈-243 MN
N≈-421 MN N≈-426 MN
ANLE (λ2=19.0)
ALE (λ2=36.2)
q=1101 kN/m
17.2 x sob
δV-64
N≈53 MN
N≈-118 MN
N≈-163 MN
N≈-354 MN
N≈-365 MN
ANLE (λ2=17.2)
ALE (λ2=42.6)
Figura 4.4 - Resultados para uma análise linear e não linear de estabilidade no programa SAP2000, para o
modelo com 420 m de vão central, para diferentes tipologias de carregamento.
69
ESTABILIDADE GLOBAL DE TABULEIROS ATIRANTADOS
λ2
45,0
40,0
35,0
30,0
25,0
20,0
15,0
10,0
λ2,u = 7.7
5,0
λ2,u = 3.65
0,0
0
-5
-10
-15
-20
-25
-30
}
Análise
Linear de
Estabilidade
}
Análise Não-Linear de
Estabilidade
}
Parâm. carga
associados à
rotura plástica
do tabuleiro
-35(m)
δv,64
Figura 4.5 - Diagramas de carga-deslocamento para as análises não lineares e lineares de estabilidade
apresentadas na Figura 4.4.
O primeiro caso apresentado na Figura 4.4, corresponde a uma rotura por instabilidade
num ponto limite, característico de uma análise não linear de estabilidade. Este ponto
limite corresponde à transição entre as configurações de equilíbrio estável e instável. A
Figura 4.5 com a trajectória a laranja associada a este caso, apresenta um andamento
semelhante à trajectória da mesma cor apresentada na Figura 4.3. A análise termina para
um parâmetro de carga λ 2 = 23.0 (associado ao incremento da sobrecarga {cp + λ 2 . sob}),
apesar de ainda não se ter atingido a amplitude do deslocamento a meio vão definida como
critério de paragem (ao contrário do que acontece nos outros três casos) devido a
problemas de convergência numérica no modelo. Este valor não se trata da carga máxima
que a estrutura consegue equilibrar, uma vez que o ponto limite é atingido para um
parâmetro de carga λ 2 = 23.5, o que equivale a uma carga de q cr = 1442 kN/m, que está de
acordo com o valor apresentado em [5]. Também os resultados fornecidos pelo método
simplificado de Klein (q cr = 1487 kN/m e λ 2 = 24.4) e pelo modelo da coluna sobre
fundação elástica (q cr = 1445 kN/m e λ 2 = 23.6) estão concordantes com este valor. Uma
nota para o facto de em outros trabalhos usar-se a designação de q lim para indicar a carga
crítica associada a uma instabilidade por ponto limite e q cr para uma instabilidade
bifurcacional, contudo neste caso opta-se por desingar ambas por q cr .
70
CAPÍTULO 4 – ESTABILIDADE NÃO LINEAR DE TABULEIROS ATIRANTADOS
O segundo caso apresentado na Figura 4.4 é do mesmo tipo do primeiro. A carga crítica
neste caso é q cr = 1675 kN/m, e portanto superior ao primeiro caso de carga, o que
representa um valor superior ao resultado obtido em [5].
O terceiro e quarto caso apresentados na Figura 4.4 apresentam comportamentos
semelhantes, e do tipo da trajectória a vermelho na Figura 4.3. De acordo com [5] a carga
crítica no terceiro caso, com a sobrecarga aplicada em apenas metade do vão central,
deveria ser aproximadamente q cr = 740 kN/m, a que corresponde um parâmetro de carga
λ 2 ≈ 10.5. De acordo com a Figura 4.5, para este valor de λ 2 não ocorre nada que indicie
que seja esta a carga crítica. A análise dos deslocamentos dos nós apresentados na
Figura 4.6, permite apenas identificar o início da instabilidade (que acontece para λ 2 ≈ 10)
uma vez que não existe nenhum patamar ou aumento repentino dos deslocamentos, como
λ2 18
16
14
12
10
8
6
Nó 39
4
Nó 41
2
Nó 43
0
0,0
-0,2
-0,4
-0,6
-0,8
-1,0
-1,2
-1,4
-1,6
-1,8
vão central
-2,0
δv,i (m)
Figura 4.6 - Desenvolvimento dos deslocamentos nos nós 39, 41 e 43 para a análise não linear efectuada quando
apenas metade do vão central é carregada.
no caso da trajectória a verde da Figura 4.3.
A Figura 4.5 apresenta igualmente:
1) os valores dos parâmetros λ 2 associados às cargas críticas determinadas através do
módulo ”Buckling Analysis” do software SAP2000, aplicado directamente ao modelo da
ponte de tirantes, o que mostra que os resultados de uma análise linear de estabilidade
são bastante superiores para qualquer um dos casos;
71
ESTABILIDADE GLOBAL DE TABULEIROS ATIRANTADOS
2) os valores dos parâmetros λ 2,u obtidos por Pedro [5] associados à rotura plástica do
tabuleiro para os dois primeiros casos de carga analisados, que são bastante inferiores
aos parâmetros de carga crítica.
Os resultados das análises não lineares até aqui apresentados, dizem apenas respeito ao
programa SAP2000 uma vez que a utilização do software de elementos finitos ANSYS
conduziu a resultados semelhantes.
4.2
MODIFICAÇÃO DO MODELO DE COLUNA SOBRE FUNDAÇÃO
ELÁSTICA
Como é mostrado no número anterior, as análises não lineares de estabilidade efectuadas
com os programas de elementos finitos SAP2000 e ANSYS fornecem resultados diferentes
dos obtidos com os modelos de BEF ( “Beam on Elastic Foundation”, neste caso o modelo
de coluna sobre fundação elástica) para os casos de carga analisados, com excepção da
situação de todo o tabuleiro igualmente carregado.
O modelo de coluna sobre fundação elástica apresentado no Capítulo 3, é adequado quando
tanto os vãos laterais do tabuleiro como as torres não têm deslocamentos importantes, o
que se verifica quando o carregamento é aplicado tanto no vão central como nos laterais.
Com o objectivo de obter resultados a partir deste modelo, mas considerando apenas o
carregamento do vão central, propõe-se uma alteração do modelo de viga sobre fundação
elástica, que corresponde à diminuição da rigidez vertical conferida pelos tirantes ao
tabuleiro para metade do valor em relação ao caso do carregamento total do tabuleiro.
4.2.1
Efeito dos tirantes de retenção para um carregamento apenas no vão central
Quando apenas o vão central é carregado, as torres têm uma deformabilidade lateral muito
superior ao caso do carregamento em todo o tabuleiro. Considerando que o controlo de
deformabilidade da torre é feito especialmente pelos tirantes de retenção, e assim
desprezando a rigidez da torre, é possível mostrar que o sistema de apoio vertical do vão
central do tabuleiro, conferido pelos tirantes, é afectado pela maior ou menor rigidez do
sistema constituído pelos tirantes de retenção.
72
CAPÍTULO 4 – ESTABILIDADE NÃO LINEAR DE TABULEIROS ATIRANTADOS
A Figura 4.7 apresenta o caso do carregamento apenas no vão central, considerando as
seguintes hipóteses:
1) considera-se uma configuração simétrica dos tirantes;
2) a torre é muito flexível em comparação com a rigidez conferida pelos tirantes;
3) o controlo de deformabilidade da torre é feito especialmente pelo tirante de retenção
simétrico;
4) consideram-se apoios nos vãos laterais em cada tirante ao nível do tabuleiro.
Δ2,h
tirante de retenção i
E iA
i,
T
T
tirante central i
Ei A
Li
i,
Li
αi
T
T sen(αi)
Δ1,v
Δ2,v
Figura 4.7 - Efeito dos tirantes de retenção na rigidez vertical conferida ao tabuleiro quando apenas é
carregado o vão central.
Considere-se um par de tirantes do vão central e de retenção. No caso de se admitir que as
torres não tem deslocamentos horizontais, então a rigidez conferida pelo tirante central ao
tabuleiro é dada por:
𝛥1,𝑣 =
𝐾𝑣,𝑖 =
𝐿𝑖
𝑇
𝐸𝑖 𝐴𝑖 𝑠𝑖𝑛 𝛼𝑖
𝐸𝑖 𝐴𝑖
𝑠𝑖𝑛2 𝛼𝑖
𝐿𝑖
(4.1)
(4.2)
onde 𝛥1,𝑣 representa o deslocamento no tabuleiro devido à rigidez do tirante central. Esta
foi a expressão adoptada até agora para obter a rigidez da fundação no modelo BEF. Esta
rigidez é, no entanto, reduzida no caso da torre ter deslocamentos horizontais.
73
ESTABILIDADE GLOBAL DE TABULEIROS ATIRANTADOS
Para determinar a rigidez vertical conferida ao tabuleiro pelo tirante de retenção, é
necessário relacionar o valor do deslocamento horizontal na torre (𝛥2,ℎ ) com o
deslocamento vertical associado a este no tabuleiro (𝛥2,𝑣 ). Na hipótese dos pequenos
𝛥
2,ℎ
, e sabendo que para o tirante lateral se tem:
deslocamentos 𝛥2,𝑣 = 𝑡𝑔(𝛼
)
𝑖
𝛥2,ℎ =
𝐿𝑖
𝑇
𝐸𝑖 𝐴𝑖 𝑐𝑜𝑠 𝛼𝑖
𝛥2,𝑣 =
𝐿𝑖
𝑇
𝐸𝑖 𝐴𝑖 𝑠𝑖𝑛 𝛼𝑖
(4.3)
Então o acréscimo de deslocamento vertical do vão central devido ao deslocamento
horizontal da torre é obtido por:
(4.4)
Deste modo, a rigidez obtida considerando a deformabilidade dos tirantes do vão central e
de retenção no modelo BEF é dada por:
𝐾𝑣 =
𝑇𝑠𝑖𝑛𝛼𝑖
𝐸𝑖 𝐴𝑖
=
𝑠𝑖𝑛2 𝛼𝑖
𝛥1,𝑣 + 𝛥2,𝑣
2𝐿𝑖
(4.5)
Assim, desprezando a rigidez da torre, e admitindo que funciona apenas o tirante sujeito à
força no tramo central e o tirante de retenção que lhe é simétrico, a “contabilização” deste
segundo elemento, e portanto do deslocamento da torre, reduz para metade a rigidez
equivalente conferida pelos tirantes ao tabuleiro.
Esta conclusão implica que no modelo simplificado da coluna sobre fundação elástica,
proposto por Klein, a carga crítica devido a um carregamento no tramo central (q cr ’)
relaciona-se com a carga crítica para um carregamento em todo o tabuleiro (q cr ) através da
expressão seguinte:
𝑁𝑐𝑟 ′ = 2�𝐸𝐼𝛽 ′ = 2�𝐸𝐼
74
𝛽 2�𝐸𝐼𝛽
𝑁𝑐𝑟
𝑞𝑐𝑟
=
=
→ 𝑞 ′ 𝑐𝑟 =
2
√2
√2
√2
(4.6)
CAPÍTULO 4 – ESTABILIDADE NÃO LINEAR DE TABULEIROS ATIRANTADOS
A Figura 4.8 apresenta os resultados obtidos através do modelo de viga sobre fundação
elástica e através da hipótese de Klein, considerando o carregamento apenas no vão central.
Na mesma figura apresentam-se também os resultados obtidos por Pedro [5] numa análise
não linear de estabilidade.
1200
1200
qcr[kN/m]
1200
qcr
1000
1000
1000
vão central do tabuleiro
800
800800
carreg. 2 – sobrecarga
apenas no vão central
600
600600
400
400400
200
200200
carreg. 2 Resultados [3]
carreg. 2 Hip. de Klein modific.
000
400
400
400
400
carreg. 2 BEF modificada
500
500
500
500
600
600
600
600
600
700
700
700
700
700
800
800
800
800
900
900
900
900
1000
1000
1000
1000
1100
1100
1100
1100
Vão central do tabuleiro [m]
Figura 4.8 - Variação da carga crítica (q cr ) com o vão central do tabuleiro, para um carregamento apenas
no vão central do tabuleiro, considerando o modelo de coluna sobre fundação elástica e a hipótese de Klein,
ambos com rigidez da fundação modificada.
A proximidade entre os resultados obtidos permite concluir que a consideração da
deformabilidade dos tirantes de retenção no modelo de coluna sobre fundação elástica,
possibilita obter uma boa aproximação da carga crítica do tabuleiro para o carregamento
apenas no vão central. Para os casos de 892.5 m e 1050 m de vão central, a carga crítica
obtida pela hipótese de Klein e pelo modelo alterado da coluna sobre fundação elástica, é
inferior à proposta por Pedro [5] por meio de uma análise não linear. Esta diferença é
explicada pela consideração da carga permanente ao longo de todo o tabuleiro nessa
análise, sendo apenas incrementada a sobrecarga. No modelo de BEF proposto, toda a
carga é aplicada apenas no vão central, e para os casos de vãos muito longos, onde as
cargas críticas tem valores baixos, o valor da carga permanente (cp = 171 kN/m) representa
uma maior parcela da carga crítica, a não contabilização desta carga permanente nos
tramos laterais, agrava o efeito da deformabilidade da torre e daí as cargas críticas serem
75
ESTABILIDADE GLOBAL DE TABULEIROS ATIRANTADOS
inferiores. Também a não consideração da rigidez de flexão da torre pode contribuir para
reduzir o valor da carga crítica obtida no modelo de BEF.
4.2.2
Verificação das hipóteses consideradas na modificação do modelo de coluna
sobre fundação elástica
A principal hipótese considerada na modificação do modelo da coluna sobre fundação
elástica, corresponde à não contabilização da rigidez da torre para controlo da
deformabilidade do tabuleiro, uma vez que esta é bastante inferior à conferida pelos
tirantes de retenção.
Para verificar esta hipótese comparam-se os valores (1) da rigidez da torre isolada, (2) dos
tirantes de retenção, e (3) do conjunto, para um deslocamento horizontal no topo da torre.
Com o objectivo de analisar a sensibilidade da variação da rigidez de flexão da torre com a
rigidez dos tirantes, estes valores são calculados para várias rigidezes de flexão da torre,
todas múltiplas da inicial do modelo de 420 m (EI) e portanto semelhante à da ponte Vasco
da Gama. A Figura 4.9 apresenta os resultados obtidos.
600000
Rigidez [KN/m]
Rigidez Tirantes
500000
Rigidez Torre
Rigidez Total
400000
300000
EI
20EI
200000
100000
0
0E+00
80EI
1E+11
2E+11
3E+11
4E+11
5E+11
EItorre
[kN/m2]
Figura 4.9 - Comparação da rigidez da torre com a rigidez dos tirantes de retenção para diferentes valores
de EI da torre.
Para valores baixos de rigidez de flexão da torre (incluindo o valor inicial EI), a rigidez
conferida pela torre em comparação com a dos tirantes, é muito menor. A partir de uma
rigidez de flexão da torre 20 vezes maior que inicial (20EI), a rigidez conferida por esta ao
conjunto torre + tirantes de retenção, é idêntica à assegurada pelos tirantes. Assim conclui-
76
CAPÍTULO 4 – ESTABILIDADE NÃO LINEAR DE TABULEIROS ATIRANTADOS
se que, neste caso, para o valor da rigidez de flexão da torre, a hipótese de desprezar a sua
contribuição no controlo da deformabilidade do tabuleiro é válida.
Na modificação do modelo da coluna sobre fundação elástica, recorre-se à hipótese dos
pequenos deslocamentos que permite considerar o deslocamento no topo da torre em
𝛥
função do deslocamento a meio vão (𝛥2,𝑣 = 2,ℎ ). A Figura 4.10 apresenta a variação de
𝑡𝑔(𝛼 )
𝑖
𝛥2,𝑣 com 𝛥2,ℎ considerando ou não a hipótese dos pequenos deslocamentos. Na mesma
figura apresentam-se igualmente os valores dos erros associados à consideração desta
hipótese, que nunca ultrapassam os 5 % para os valores considerados de 𝛥2,ℎ .
Δ2,v [m]
4,5
4
3,5
Sem considerar a hip.dos pequenos desloc.
Considerando a hip.dos pequenos desloc.
Erro relativo [%]
45
40
35
3
30
2,5
25
2
20
1,5
15
1
10
0,5
[%]
5
0
0
Δ2,h [m]
0
-0,5
-1
-1,5
-2
Figura 4.10 - Relação entre o deslocamento horizontal no tabuleiro e vertical na torre devido à rigidez
conferida pelo tirante de retenção, considerando a hipótese dos pequenos deslocamentos (a azul) ou não (a
verde), assim como o erro relativo entre estas abordagens (a vermelho).
É importante referir que o deslocamento 𝛥2,𝑣 diz respeito a um deslocamento vertical ao
nível do tabuleiro, que ocorre devido ao deslocamento horizontal ao nível da torre. O
modelo de viga sobre fundação original não contempla este efeito, contabilizando apenas
as deformações no tabuleiro devido às cargas que actuam neste, e o efeito dos tirantes do
vão central como apoios elásticos mas com apoios fixos ao nível das torres. A correcção
proposta permite ultrapassar esta hipótese inicial do modelo BEF, conduzindo a resultados
muito mais concordantes com os obtidos em [5;7] com uma análise não linear de
estabilidade.
77
ESTABILIDADE GLOBAL DE TABULEIROS ATIRANTADOS
4.3
COMPARAÇÃO DOS RESULTADOS PARA UM TABULEIRO COM 420 m
DE VÃO CENTRAL
Para avaliar a estabilidade elástica do tabuleiro com 420 m de vão central apresentado no
Capítulo 2 utiliza-se: o programa SAP2000; o método simplificado de Klein; e o modelo da
viga sobre fundação elástica. Considera-se o caso de carga em que todo o tabuleiro é
carregado.
Para o primeiro caso de carga, no modelo numérico a rotura por instabilidade elástica
ocorre para uma carga λ 1,cr {cp + sob} = 1442 kN/m com λ 1,cr = 6.42 (ou λ 2,cr = 23.5
considerando apenas o incremento de sobrecarga). Os parâmetros de carga determinados
pelo método simplificado de Klein e pelo modelo da coluna sobre fundação elástica são,
respectivamente, λ 2,cr = 24.4 e λ 2,cr = 23.6. Estes resultados encontram-se igualmente de
acordo com os obtidos por Pedro [5]. A proximidade entre os valores obtidos comprova o
bom funcionamento do método e dos modelos adoptados. As diferenças são maiores
quando se comparam os valores do modelo numérico e do modelo da viga sobre fundação
elástica (praticamente idênticos), com os do método simplificado de Klein, que por se
tratar de um método aproximado tem sempre maior incerteza associada aos seus
resultados, dado que é necessário identificar um tirante em que a relação β i / N i é mínima.
Mesmo assim, este modelo de Klein conduz a resultados com um erro de cerca de 3% neste
caso.
O modo de instabilidade para o caso considerado é apresentado na Figura 4.11. É possível
distinguir o ponto de inflexão mais afastado da torre na vizinhança da secção crítica
considerada no método de Klein junto ao tirante 11. Este modo de instabilidade tem cinco
semi-ondas, enquanto que o método de Klein sugere que o primeiro modo de instabilidade
tem um n = 4.63, que considerando um número inteiro coincide com o número de semiondas resultantes da análise não linear. A diferença entre os resultados mostra como um
modelo discreto de Klein conduz a resultados necessariamente aproximados.
Contudo, de acordo com Pedro [5], a rotura por plastificação para este caso ocorre para
λ 1,u = 2.6 (ou λ 2,u = 7.7), que comparando com o obtido para a instabilidade elástica do
tabuleiro permite concluir que para este caso, a instabilidade do tabuleiro não é
78
CAPÍTULO 4 – ESTABILIDADE NÃO LINEAR DE TABULEIROS ATIRANTADOS
condicionante, uma vez que o parâmetro de carga associado a este fenómeno é cerca de 2.5
vezes superior no caso de λ 1 (e 3.1 no caso de λ 2 ). Note-se que um parâmetro de carga
crítica elástica da ordem de 3 é frequentemente utilizado como critério de projecto para
mostrar que a estabilidade não é condicionante no dimensionamento.
qcr = 1442 [kN/m] ; λ2,cr = 23.5
Ponto de inflexão
factor de amplificação da deformada = 2.0
Figura 4.11 - Modo de instabilidade elástica de um tabuleiro atirantado com 420 m de vão central, para a
sobrecarga aplicada ao longo de todo o tabuleiro.
4.4
CONCLUSÃO
Os resultados obtidos ao longo deste capítulo permitem concluir que:
1) A definição da carga crítica numa análise não linear de estabilidade pode ser difícil,
existindo mesmo a hipótese de não ocorrer instabilidade elástica como a que se
verifica ao efectuar uma análise linear de estabilidade;
2) A consideração do efeito dos tirantes de retenção na deformabilidade do tabuleiro,
ao nível do modelo da coluna sobre fundação elástica, permite obter bons
resultados para os casos onde apenas o vão central do tabuleiro é carregado;
3) Para o caso estudado do tabuleiro atirantado de 420 m de vão central, conclui-se
que o risco de instabilidade é reduzido, uma vez que a carga crítica associada a este
efeito é cerca de três vezes superior à carga de rotura plástica do mesmo tabuleiro.
79
ESTABILIDADE GLOBAL DE TABULEIROS ATIRANTADOS
80
CAPÍTULO 5 – ANÁLISE PARAMÉTRICA DE ESTABILIDADE
5
5.1
ANÁLISE PARAMÉTRICA DE ESTABILIDADE
INTRODUÇÃO
Na concepção de uma ponte de tirantes, são várias as escolhas a serem feitas para os
diferentes elementos que constituem a estrutura. Com o objectivo de avaliar a importância
dessas escolhas para estabilidade global do tabuleiro efectua-se um estudo paramétrico de
estabilidade.
No desenvolvimento deste capítulo recorre-se tanto a análises lineares de estabilidade,
através do modelo de viga sobre fundação elástica, como a análises não lineares,
executadas no programa de elementos finitos SAP2000, para se estudar a estabilidade do
tabuleiro.
O estudo paramétrico realizado, baseia-se na alteração de várias características da ponte.
Cada alteração é executada isoladamente e comparada com o modelo base, no sentido de
identificar a influência da característica alterada na estabilidade do tabuleiro. É também
estudada a influência do processo construtivo de forma a a avaliar a sua relevância.
5.2
INFLUÊNCIA DO PROCESSO CONSTRUTIVO
A principal característica que pode justificar a inclusão do processo construtivo na análise
de estabilidade, é o facto de assim se considerar a distribuição de compressões no tabuleiro
que resulta da instalação dos tirantes ao longo da construção.
Para efectuar uma análise não linear no programa de elementos finitos SAP2000, é
necessário definir um “modo de arranque” para a estrutura, isto é, definir o estado inicial
da estrutura antes de começar a análise elástica não linear propriamente dita, com as
81
ESTABILIDADE GLOBAL DE TABULEIROS ATIRANTADOS
sucessivas fases (steps) de carregamento. Como estado inicial, o modelo pode encontrar-se
já deformado (devido às cargas permanentes) ou considerar-se indeformado.
Considerando o modelo já deformado, e partindo do caso onde todas as cargas
permanentes já estão aplicadas na estrutura, todos os incrementos de carga executados ao
longo da análise não linear referem-se apenas à aplicação da sobrecarga.
A consideração do processo construtivo antes de realizar análise não linear, permite ter em
consideração dois aspectos principais:
1) O deslocamento inicial a meio vão (ω o ) é menor quando se considera a fase inicial com
as cargas permanentes a actuarem na estrutura e o processo construtivo incluído;
2) O tabuleiro apresenta-se com um nível superior de compressão caso seja considerada a
instalação dos tirantes durante o processo construtivo.
É principalmente o segundo aspecto que pode fazer diminuir a carga crítica da estrutura,
uma vez que para o mesmo carregamento vertical aplicado ao tabuleiro (q = q cp ), no caso
de se considerar o processo construtivo, o tabuleiro apresenta já uma compressão instalada
superior ao caso de se aplicarem as mesmas cargas e a instalação dos tirantes na estrutura
final.
A Figura 5.1 apresenta o processo construtivo simulado de forma muito simplificada no
programa SAP2000, caracterizado pela montagem do tabuleiro em consola através do
método dos avanços sucessivos, de forma simétrica em relação às torres. Numa única fase
activa-se o peso próprio do tabuleiro, das torres e dos tirantes (1ª Fase - a) bem como o
primeiro puxe destes (1ª Fase - b), simulado por uma diferença de temperatura (ΔT)
negativa. Em seguida, executam-se os fechos-laterais e centrais e colocam-se os aparelhos
de apoio nos pilares dos vãos laterais, libertando a ligação do tabuleiro às torres (2ª Fase).
No final é aplicada a restante carga permanente (3ª Fase) e efectuado um retensionamento
global dos tirantes (4ª Fase). No Anexo B apresentam-se os dados necessários para simular
este processo construtivo simplificado, nomeadamente o peso dos tirantes e valor de ΔT
aplicado aos mesmos em cada fase.
82
CAPÍTULO 5 – ANÁLISE PARAMÉTRICA DE ESTABILIDADE
1ª Fase a)
PP
Ligação rigída entre
tabuleiro e torre
1ª Fase b)
1º Puxe dos
tirantes
2ª Fase
Activação do
PP da aduela
PP
PP
Libertação da ligação
entre tabuleiro e torre
Colocação da
aduela de fecho
PP
Colocação da
aduela de fecho
Colocação dos aparelhos de apoio
3ª Fase a)
RCP
3ª Fase b)
2º Puxe dos
tirantes
Figura 5.1 - Fases do processo construtivo de uma ponte de tirantes pelo método dos avanços sucessivos, de forma
simétrica em relação às torres, simulada no programa SAP2000.
83
ESTABILIDADE GLOBAL DE TABULEIROS ATIRANTADOS
A inclusão do processo construtivo é feita para o modelo de 420 m de vão central. São
realizadas duas análises para o padrão de carga apresentado na Figura 5.2: uma que se
inicia a partir de um modelo carregado com a carga permanente e inclui o processo
construtivo, e outra idêntica mas não considerando o processo construtivo.
Caso de Carga
qcr
420 m
Figura 5.2 - Geometria do carregamento considerado na análise da influência do processo construtivo
para a estabilidade do tabuleiro.
O Quadro 5.1 apresenta os resultados obtidos pelas duas análises. É possível concluir que
o aumento do esforço normal inicial no tabuleiro é de cerca de 10% quando se considera o
processo construtivo. Também neste caso o deslocamento a meio-vão é cerca de 56%
menor, e no entanto a carga crítica é praticamente a mesma nas duas análises. A Figura 5.3
apresenta o diagrama de esforços normais iniciais instalado no tabuleiro para os dois casos,
sendo possível concluir que também não existe grande diferença a este nível.
Quadro 5.1 - Resultados obtidos para duas análises não-lineares de estabilidade, uma considerando o
processo construtivo e outra não.
Tipo de Análise
N máx,inicial [kN] δ meio vão, inicial [m]
N cr [kN] q cr [kN/m]
C/ Processo Construtivo
47905
-1,16
346186
1445
S/ Processo Construtivo
42904
-2,66
329229
1442
Ni [kN]
-50000
C/ Processo
Construtivo
-40000
S/ Processo
Construtivo
-30000
-20000
-10000
0
10000
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
220
[m]
Figura 5.3 - Diagrama de esforços normais iniciais instalados no tabuleiro para os casos de inclusão
(a azul) ou não (a verde) do processo construtivo na análise de estabilidade.
84
CAPÍTULO 5 – ANÁLISE PARAMÉTRICA DE ESTABILIDADE
Este resultado permite concluir que a consideração do processo construtivo na análise de
estabilidade do tabuleiro não altera de forma relevante os resultados. Deste modo o
processo construtivo não será considerado nas análises apresentadas nas secções seguintes.
5.3
INFLUÊNCIA DA GEOMETRIA DO CARREGAMENTO
Para avaliar a influência da geometria do carregamento na estabilidade do tabuleiro, são
testados três cenários de carga: carregamento em todo o tabuleiro (Figura 5.4 a);
carregamento só no vão central do tabuleiro (Figura 5.4 b); e carregamento em apenas
50% do vão central do tabuleiro (Figura 5.4 c). A consideração do carregamento total
(cp + sob) no vão central ou em 50 % deste, deve-se ao facto de nestas análises se recorrer
ao modelo de viga sobre fundação elástica, onde não é possível discretizar uma parcela
associada às cargas permanentes a actuarem em todo o tabuleiro, e as sobrecargas a
actuarem apenas em parte do vão central.
(a)
qcr
vão central do tabuleiro
(b)
Carreg.1 – carregamento ao
longo de todo o tabuleiro
qcr
Carreg.2 – carregamento
só no vão central
(c)
qcr
Carreg.3 – carregamento
em 50% do vão central
Figura 5.4 - Geometrias de carregamento consideradas para análise da influência deste aspecto na estabilidade
do tabuleiro: (a) carregamento em todo o tabuleiro; (b) carregamento só no vão central; e (c) carregamento
apenas em 50 % do vão central.
Além da consideração de diferentes geometrias do carregamento, analisa-se igualmente a
variação do valor da carga crítica com o vão. São considerados os modelos das pontes com
420 m, 577.5 m, 735 m, 892.5 m e 1050 m de vão central, todos com a secção do tabuleiro
idêntica à do modelo de 420 m.
85
ESTABILIDADE GLOBAL DE TABULEIROS ATIRANTADOS
5.3.1
Cargas críticas para as diferentes geometrias de carregamentos e diferentes
vãos
Para o caso do carregamento em todo o tabuleiro são obtidos resultados através: (1) do
programa de elementos finitos SAP2000; (2) do modelo de viga sobre fundação elástica
(BEF); e (3) do modelo BEF considerando a hipótese de Klein. Dos resultados
apresentados na Figura 5.5 é possível concluir que através de qualquer uma das
metodologias estes são muito semelhantes, como referido no capítulo anterior. Para um vão
de 420 m com um carregamento em todo o tabuleiro, a carga crítica é, no caso da coluna
sobre fundação elástica, q cr = 1445 kN/m com λ 1 = 6.4 para um incremento do tipo
λ 1 {cp + sob} (onde cp = 171 kN/m e sob = 54 kN/m como referido no Capítulo 2) e
λ 2 = 23.6 para um aumento apenas da sobrecarga da forma cp + λ 2 {sob}. No caso do
tabuleiro de 1050 m de vão central, os valores da carga crítica descem para cerca de
q cr = 350 kN/m, a que corresponde λ 1 = 1.6, o que se trata de um valor muito baixo
explicado pelo facto de se considerar para este modelo de 1050 m, uma secção do tabuleiro
(e portanto uma rigidez de flexão EI) igual à do modelo 420 m.
1600
1600
qcr [kN/m]
qcr
1400
1400
Carreg.1 – carregamento ao
longo de todo o tabuleiro
vão central do tabuleiro
1200
1200
qcr
1000
1000
vão central do tabuleiro
Carreg.2 – carregamento só
no vão central
800
800
qcr
600
600
vão central do tabuleiro
Carreg.3 – carregamento
em 50% do vão central
400
400
200
200
00
400
400
Coluna s/ Fund. Elástica - Carreg.1
Hip. Klein - Carreg.1
Coluna s/ Fund. Elástica - Carreg.2
Hip. Klein - Carreg.2
Coluna s/ Fund. Elástica - Carreg.3
500
500
SAP2000 - Carreg.1
600
600
700
700
800
800
900
900
1000
1000
1100
1100
Vão central do tabuleiro [m]
Figura 5.5 - Variação da carga crítica (q cr ) com o vão central do tabuleiro, para diferentes geometrias de
carregamento.
No segundo caso de carregamento recorre-se igualmente ao modelo de viga sobre fundação
elástica e à hipótese de Klein, mas agora considerando o efeito dos tirantes de retenção
explicado no Capítulo 4. Verifica-se que o valor da carga crítica é menor em comparação
86
CAPÍTULO 5 – ANÁLISE PARAMÉTRICA DE ESTABILIDADE
com a geometria de carregamento em todo o tabuleiro, como é referido por Taylor [11] e
Pedro [5]. Considerando o resultado do modelo da viga sobre fundação elástica, a carga
crítica para o tabuleiro de 420 m de vão central é de q cr = 1100 kN/m, a que corresponde
os parâmetros de carga λ 1 = 4.9 e λ 2 = 17.2, e representa um decréscimo de quase 25%
relativamente ao carregamento de todo o tabuleiro. Para os outros vãos considerados, a
ordem de grandeza da diminuição da carga crítica entre estes dois casos de carga mantémse, com excepção do vão de 1050 m onde o decréscimo é um pouco superior (próximo de
30%).
Para o caso de carga onde apenas existe solicitação em metade do vão central, os
resultados obtidos provêm também do modelo de viga sobre fundação elástica mas
considerando uma hipótese adicional, que será explicada mais à frente. Para esta geometria
de carregamento a carga crítica também diminui em comparação com os resultados obtidos
para os dois casos de carga anteriores, como referido por Taylor [11] e Pedro [5]. No caso
do tabuleiro com 420 m de vão central, a carga crítica é agora de q cr = 745 kN/m, a que
corresponde os parâmetros de carga λ 1 = 3.8 e λ 2 = 13.3. Trata-se de um decréscimo de
cerca de 30% da carga crítica em comparação com o segundo caso de carga, e de 50% em
relação ao primeiro caso de carga. Estas diferenças mantém-se praticamente constantes
para todos os outros vãos que foram considerados.
5.3.2
Variação da carga crítica do tabuleiro de 420 m de vão central carregado
apenas no vão central
Para ser possível adoptar o modelo da viga sobre fundação elástica para os casos de
carregamentos muito excêntricos no vão central (como o caso do carregamento 3 em
apenas metade do vão central), é necessário modificar o modelo da viga sobre fundação
elástica. No Capítulo 4 já foi apresentado o efeito dos tirantes de retenção na rigidez
vertical equivalente conferida ao tabuleiro, quando o carregamento é aplicado apenas no
vão central. Contudo, o comportamento estrutural dos tirantes quando o tabuleiro é sujeito
a um carregamento ainda mais concentrado não se limita a este efeito, que apesar de
continuar a existir, não é suficiente para aproximar os resultados do modelo de BEF nestas
condições. Assim considera-se uma hipótese adicional relativa à distribuição do esforço
axial e da rigidez de fundação a usar no modelo, tal como na escolha do valor máximo a
adoptar para esta rigidez (β o ).
87
ESTABILIDADE GLOBAL DE TABULEIROS ATIRANTADOS
Considere-se a geometria de carregamento (Carreg. 3) apresentada na Figura 5.4. Uma
análise estática dos esforços para um carregamento deste tipo, permite concluir que os
tirantes mais solicitados são os que se encontram na zona carregada, havendo mesmo
alguns tirantes na zona não carregada do tabuleiro que chegam anular toda a tracção
inicialmente instalada. É possível também verificar que os tirantes mais solicitados, e que
conferem um maior “apoio” vertical ao tabuleiro, correspondem aos tirantes mais próximos
da fronteira do carregamento. A hipótese proposta, consiste em no modelo da viga sobre
fundação elástica, considerar uma distribuição da rigidez da fundação e dos esforços
normais idêntica à dos casos de carga anteriores, mas com o máximo da rigidez da
fundação (β o ), a ser dado pelos tirantes que se localizam na fronteira do carregamento. A
consideração deste β o permite assim determinar o parâmetro adimensional μ, e do
anulamento do determinante da matriz deduzida no Capítulo 3, obtém-se uma melhor
aproximação da carga crítica para estas condições de carregamento. A Figura 5.6 resume a
hipótese proposta.
Carregamento 3
N0
modelo de viga sobre fundação elástica considerado
β0
vão central = L
N0
fronteira do
carregamento
βo
L
a
tirante crítico
Kv,i
Kv,i →βo =
a
𝜇𝜇 = �
𝛽𝛽0 𝐿𝐿4
𝐸𝐸𝐸𝐸
det(...)=0
Ncr
Parâmetro
adimensional
Figura 5.6 - Hipótese do tirante crítico para o caso de carregamentos excêntricos no meio vão do tabuleiro.
Esta escolha do tirante crítico próximo da fronteira de carregamento, que determina β o e
consequentemente μ, permite determinar as cargas críticas para geometrias de
carregamento que vão sendo cada vez mais excêntricas, até ao caso limite do carregamento
terminar nas secções dos dois tirantes centrais (Figura 5.7). Considerando o tabuleiro com
88
CAPÍTULO 5 – ANÁLISE PARAMÉTRICA DE ESTABILIDADE
um vão central de 420 m e todas as geometrias de carregamento possíveis através deste
modelo (que são tantas quanto o número de pares de tirantes existentes no vão central),
obtém-se os resultados apresentados Figura 5.8.
qcr
vão central do tabuleiro
Figura 5.7 - Geometrias de carregamentos que são abrangidas pela hipótese do tirante crítico.
2400
qcr[kN/m]
qcr
2200
qcr
≈42m
2000
≈420 m
1800
1600
qcr
1400
≈210 m
1200
1000
Coluna s/ Fund. Elástica
(sem considerar efeito
dos tirantes de retenção)
800
Coluna s/ Fund. Elástica
(considerando efeito
dos tirantes de retenção)
Resultados [5]
600
100%
90%
80%
70%
60%
50%
40%
30%
20%
10%
% do vão central carregado
0%
Figura 5.8 - Variação da carga crítica (q cr ) com percentagem do vão central carregada no modelo de 420 m de
vão central.
A consideração do efeito dos tirantes de retenção, que diminuem a rigidez vertical
equivalente conferida pelos tirantes ao tabuleiro em metade, é discutível para casos de
carga muito excêntricos. Na Figura 5.8 apresentam-se igualmente os resultados obtidos
pelo modelo de viga sobre fundação elástica não considerando este efeito. As curvas
apresentadas mostram apenas uma aproximação da estabilidade do tabuleiro face a
carregamentos mais concentrados, que tem por base a hipótese do tirante crítico
considerada. Assim sendo, é razoável admitir que a estabilidade do tabuleiro é melhor
traduzida por uma curva situada entre as duas apresentadas, onde para o caso de
carregamentos pouco concentrados aproxima-se mais da curva a verde (onde o efeito dos
89
ESTABILIDADE GLOBAL DE TABULEIROS ATIRANTADOS
tirantes de retenção é contabilizado), e para carregamentos mais concentrados aproxima-se
mais da curva a roxo (onde não se considera o efeito dos tirantes de retenção).
Na Figura 5.8 incluem-se também os valores de cargas críticas obtidos para o
carregamento de 100% e 50% do vão central por Pedro [5]. Verifica-se que os valores
encontram-se entre as duas linhas correspondentes aos modelos de BEF com e sem
correcção da rigidez de fundação.
Analisando de uma forma global os resultados obtidos, pode concluir-se que a geometria
de carregamento mais condicionante corresponde a cerca de 50% do vão carregado, e que
para carregamentos com menor extensão, devido ao facto de o carregamento total ser
menor, a instabilidade ocorre para uma maior carga crítica (q cr ).
5.3.3
Resumo dos resultados
A geometria do carregamento tem uma considerável influência na estabilidade do
tabuleiro. Para carregamentos apenas no vão central a carga crítica diminuí cerca de 25%, e
para o caso (menos provável) de um carregamento apenas em metade do vão central,
decresce para cerca de 50%, em comparação com um carregamento ao longo de todo o
tabuleiro. É também esta última geometria de carregamento, aquela que conduz à menor
carga crítica do tabuleiro.
5.4
INFLUÊNCIA DO SISTEMA DE SUSPENSÃO
O modelo da ponte atirantada em estudo apresenta uma configuração dos tirantes em semileque. Para analisar a influência do tipo de sistema de atirantamento na estabilidade global
do tabuleiro modifica-se o sistema de suspensão para: (1) uma configuração em leque e
(2) uma configuração em harpa. Para tal é necessário redimensionar os tirantes tendo em
conta as suas novas configurações. No Anexo C apresentam-se as características dos
tirantes para cada uma das novas configurações adoptadas.
A Figura 5.9 apresenta a variação do esforço normal (N i ) e da rigidez vertical equivalente
(K v ) para metade do vão central do tabuleiro com 420 m admitindo uma carga uniforme
unitária, quando se adopta uma configuração em leque, semi-leque ou harpa. Verifica-se
que a configuração em harpa, até ao terceiro tirante, confere um “apoio” vertical ao
tabuleiro muito maior que a configuração em leque ou semi-leque. No entanto, é também a
90
CAPÍTULO 5 – ANÁLISE PARAMÉTRICA DE ESTABILIDADE
configuração em harpa que introduz a compressão mais elevada, sendo cerca do dobro da
introduzida pela configuração em leque.
Ni [kN]
500
450
400
350
300
250
200
150
100
50
0
1
3
5
7
3
11
13
5
7
9
15
Tirante
Harpa
Semi-Leque
Leque
1
9
11
13
15
0
5000
10000
15000
20000
Kv,1=45556
kN/m
25000
Kv,i [kN/m]
Figura 5.9 - Variação do esforço normal e da rigidez vertical equivalente conferida pelos tirantes, para uma
carga distribuída unitária (q = 1 kN/m) para metade de tabuleiro com 420 m de vão central, consoante o tipo
de sistema de atirantamento.
35
λ35
2
30
30
25
25
20
20
15
15
10
10
Leque
Harpa
55
0
Semi-Leque
00
-5
-5
-10
-10
-15
-15
-20
-20
-25
-25
-30
-30
-3
δv,64 (m)
Figura 5.10 - Evolução do deslocamento a meio-vão com o carregamento do tabuleiro, para o sistema de
suspensão em leque (a verde), harpa (a azul) e semi-leque (a vermelho).
91
ESTABILIDADE GLOBAL DE TABULEIROS ATIRANTADOS
A ponderação do efeito de apoio conferido pelos tirantes e da compressão que introduzem,
determina a influência da distribuição destes para a estabilidade do tabuleiro. A
Figura 5.10 e a Figura 5.11 apresentam os resultados obtidos para os três casos através de
uma análise não linear de estabilidade.
qcr = 2030 kN/m
(λ2=34.4)
Configuração em leque
No,cr = -412 MN Ni,cr = -215 MN
(Klein: No,cr = -426.6 MN) (Klein: Ni,cr = -225 MN)
qcr = 1442 kN/m
(λ2=23.5)
Configuração em
semi-leque
No,cr = -348 MN
(Klein: No,cr = -354 MN)
Ni,cr = -188 MN
(Klein: Ni,cr = -220.2 MN)
qcr = 971.5 kN/m
(λ2=14.8)
No,cr = -321.1 MN Ni,cr = -172 MN
(Klein: No,cr = -387 MN) (Klein: Ni,cr = -217.7 MN)
Configuração em harpa
Figura 5.11 - Cargas críticas e modos de instabilidade associados aos vários de sistemas de suspensão.
5.4.1
Sistema de atirantamento em leque
No caso do sistema em suspensão em leque, o tabuleiro apresenta uma instabilidade do
mesmo tipo do caso em semi-leque. Trata-se de uma instabilidade caracterizada por um
ponto limite, que é atingido para uma carga crítica de cerca de 2030 kN/m ao qual
corresponde um parâmetro de carga λ 2 = 34.4 (Figura 5.11).
92
CAPÍTULO 5 – ANÁLISE PARAMÉTRICA DE ESTABILIDADE
Recorrendo ao método simplificado de determinação do esforço normal crítico, proposto
por Klein e explicado no Capítulo 3, na secção condicionantes (tirante 12) o valor do
esforço normal quando se atinge a instabilidade deve ser de cerca de 225 MN. No caso da
análise não-linear executada no modelo, a instabilidade por ponto limite acontece para uma
compressão de 215 MN na mesma secção. O facto destes valores serem bastante próximos,
permite validar o resultado obtido.
5.4.2
Sistema de atirantamento em harpa
Para o sistema de suspensão em harpa o tabuleiro não apresenta uma instabilidade clara. O
comportamento da estrutura modifica-se a partir de uma carga distribuída de
aproximadamente 971.5 kN/m (à qual corresponde um parâmetro de carga λ 2 = 14.8) como
mostra a Figura 5.12. Para cargas superiores a este valor a parte central do tabuleiro
comporta-se como um “arco”, passando a existir tracções muito elevadas nesta zona e
alguns tirantes ficam sujeitos a compressão. A Figura 5.13 apresenta a variação do esforço
normal no tabuleiro junto à torre e na secção crítica (onde K v, i /N i é mínimo), onde este
nível de carga limita os dois comportamentos distintos do tabuleiro.
λ2
qcr = 971.5 kN/m
(λ2=14.8)
δv,64 (m)
Figura 5.12 - Variação do deslocamento a meio vão com o sucessivo carregamento do tabuleiro, para o
caso do sistema de suspensão em harpa.
93
ESTABILIDADE GLOBAL DE TABULEIROS ATIRANTADOS
N (kN)
-600000
RRE
NJUNTO DA TO
-500000
-400000
-300000
-200000
-100000
0
NS
100000
ECÇ
200000
0
10
20
30
ÃO
CRÍ
TIC
40
A
50
60
λ2
70
Figura 5.13 - Variação do esforço normal no tabuleiro junto à torre e na secção crítica, com o
sucessivo carregamento do tabuleiro para o caso do sistema de suspensão em harpa.
Caso se aplique o método simplificado de Klein, o valor do esforço normal na secção
crítica (tirante 9) é de cerca 217.7 MN. Este valor este não é atingido até ao carregamento
de 971.5 kN/m, onde o esforço normal nesta secção é de apenas 172 MN. No caso de se
considerar o comportamento da estrutura após este limite de carregamento, passa a existir
tracção na zona central do vão, sem nunca se atingir a compressão determinada pelo
método simplificado. A consideração do valor de compressão máxima junto à torre
determinada pelo método de Klein, N o,cr = 387 MN, resulta na distribuição de esforços
axiais no tabuleiro apresentada na Figura 5.14, onde é possível observar que o nível de
tracção instalado é maior do que o de compressão.
Tendo em conta o comportamento descrito para o caso da suspensão em harpa, e
procurando uma carga crítica que inicie a instabilidade do tabuleiro, o mais razoável é
admitir que essa carga é q cr = 971.5 kN/m (λ 2 = 14.8), que corresponde à carga em que a
estrutura possui uma alteração rápida do seu comportamento.
qcr = 2304 kN/m
(λ2=39.5)
c
N = 383.6 MN
No = -366 MN
(Klein: No,cr = -387 MN)
Ni = 55.3 MN
Figura 5.14 - Configuração do tabuleiro da ponte com sistema de atirantamento em harpa, para um
carregamento que permite obter uma compressão junto à torre semelhante à da hipótese de Klein.
94
CAPÍTULO 5 – ANÁLISE PARAMÉTRICA DE ESTABILIDADE
5.4.3
Resumo dos resultados
A grande compressão introduzida pela configuração em harpa associada ao menor “apoio”
dado pelos tirantes em praticamente todo o tabuleiro, em comparação com as outras
configurações, fazem com que a carga crítica para este tipo de sistema de suspensão esteja
associada ao parâmetro de carga mais baixo com λ 2 = 14.8. Assim a grande rigidez vertical
conferida pelos dois últimos tirantes, no caso da distribuição em harpa, pouco significa
para a garantia de uma melhor estabilidade global.
Ao contrário do que acontece na distribuição em harpa, com a configuração em leque
consegue-se o maior nível de “apoio” conferido pelos tirantes na maior parte do vão (do
tirante 5 ao tirante 16), tratando-se da configuração que melhor controla a deformabilidade
do tabuleiro [1]. Este facto, e associado à mais reduzida compressão introduzida nos três
casos, conduz a que esta solução seja melhor do ponto de vista de estabilidade global, só se
registando a instabilidade para um parâmetro de carga λ 2 = 34.4.
O caso de uma suspensão em semi-leque é uma solução intermédia, tanto do ponto de vista
do apoio conferido pelos tirantes ao tabuleiro, como da compressão introduzida. Assim é
natural que a análise de estabilidade do tabuleiro conduza a resultados intermédios. O valor
do parâmetro de carga associado à instabilidade da ponte para esta configuração de tirantes
é de λ 2 = 23.5, valor intermédio entre λ 2 = 14.8 - harpa e λ 2 = 34.4 - leque.
5.5
INFLUÊNCIA DA ALTURA DAS TORRES E DO ESPAÇAMENTO ENTRE
TIRANTES
Como foi mostrado no Capítulo 3, a rigidez elástica equivalente dos tirantes (β i ) tem
também influência directa no valor da carga crítica do tabuleiro. Esta rigidez é função das
características do sistema de atirantamento, nomeadamente:
1) da secção transversal dos tirantes;
2) do comprimento e ângulo dos tirantes com o tabuleiro;
3) do espaçamento entre tirantes ao nível do tabuleiro.
95
ESTABILIDADE GLOBAL DE TABULEIROS ATIRANTADOS
O primeiro factor, na prática, não deve ser tido em conta para um possível aumento do
valor de β i , uma vez que as secções dos tirantes são dimensionadas tendo em conta um
estado serviço, de forma a limitar as tensões neste caso. Economicamente não é vantajoso
aumentar a secção dos tirantes para melhorar a rigidez elástica vertical conferida ao
tabuleiro, já que o efeito de catenária não é desprezável e pode impossibilitar este aumento
de secção. Com um aumento da secção dos tirantes, a tensão instalada nestes é menor, o
que provoca que o efeito de catenária tenha maior relevância, resultando numa maior
deformabilidade do tirante, e consequentemente num pior comportamento em serviço [5].
A geometria dos tirantes, isto é, o comprimento e ângulo com a horizontal, é o factor com
mais influência na carga crítica (q cr ), uma vez que está relacionado de forma directa com
valor e distribuição da rigidez elástica ao nível do tabuleiro. Na concepção de uma ponte
de tirantes, estas características estão directamente ligadas à escolha do sistema de
suspensão (já explicado anteriormente) e à definição da altura das torres a partir do nível
do tabuleiro.
A alteração do espaçamento entre tirantes altera ligeiramente o valor de β i , mas como se
constatará não tem grande influência no valor da carga crítica.
5.5.1
Influência da altura das torres
Para analisar a influência da altura das torres utilizando o modelo BEF, calculam-se os
valores de q cr quando a torre tem uma altura de 25%, 20% ou 15% do vão central do
tabuleiro. São analisados os 5 modelos de 420 m, 577.5 m, 735 m, 892.5 m e 1050 m de
vão central, considerando sempre a mesma secção do tabuleiro, para dois casos de carga:
um carregando igualmente o vão central e tramos laterais, e outro considerando apenas o
carregamento do vão central. A Figura 5.15 apresenta os resultados obtidos.
A Figura 5.16 apresenta a distribuição de esforços normais e da rigidez vertical elástica
instalada em metade do tabuleiro, para as diferentes alturas das torres consideradas, para o
caso do modelo com 420 m de vão sujeito a uma carga distribuída uniforme unitária em
todo o tabuleiro.
96
CAPÍTULO 5 – ANÁLISE PARAMÉTRICA DE ESTABILIDADE
2000
h = altura torre
qcr [kN/m]
1800
1600
qcr
carreg.2
carreg.1
L = vão central do tabuleiro
1400
carreg.1 – carregamento em todo o tabuleiro
carreg.2 – carregamento apenas no vão central
torre: h = 25% x L ; carreg. 1
1200
torre: h = 20% x L ; carreg. 1
torre: h = 15% x L ; carreg. 1
1000
torre: h = 25% x L ; carreg. 2
torre: h = 20% x L ; carreg. 2
800
torre: h = 15% x L ; carreg. 2
600
400
200
0
400
500
600
700
800
900
1000
1100
Vão central do tabuleiro [m]
Figura 5.16 - Variação da carga crítica (q cr ) com o vão central do tabuleiro, para diferentes alturas das
torres e dois tipos de carregamentos.
Ni [kN] 600
500
400
300
200
100
0
1
3
1
3
5
torre: h=25% x L
5
7
7
9
torre: h=20% x L
9
11
11
13
torre: h=15% x L
13
15
Tirante
15
0
h = altura torre
5000
10000
15000
q = 1 kN/m
L = vão central do tabuleiro = 420 m
20000
25000
Kv,1=43207
kN/m
30000
Kv,i [kN/m]
Figura 5.15 - Variação do esforço normal e da rigidez vertical elástica em metade do tabuleiro com 420 m
de vão central, quando submetido a uma carga uniforme unitária, para diferentes alturas da torre.
97
ESTABILIDADE GLOBAL DE TABULEIROS ATIRANTADOS
A Figura 5.16 ajuda a compreender os resultados obtidos para as cargas críticas na
Figura 5.15. A explicação é praticamente idêntica à do caso do sistema de suspensão, uma
vez que também aqui a maior consideração de rigidez vertical elástica ao longo do
tabuleiro, associada a uma menor compressão introduzida, para o caso de h = 25% de L,
resulta numa maior carga crítica quando comparada com os outros casos onde as torres são
mais baixas. Numa analogia com o estudo da influência do sistema de suspensão, o caso de
h = 25% de L assemelha-se ao caso da disposição dos tirantes em leque, enquanto que para
h = 20% de L e h = 15% de L são semelhantes aos cenários de configuração em semi-leque
e harpa, respectivamente.
5.5.2
Influência do espaçamento entre tirantes
Para avaliar a influência do espaçamento entre tirantes na estabilidade do tabuleiro,
consideram-se os mesmos modelos adoptados para o estudo da influência da altura das
torres, e recorre-se igualmente ao modelo de viga sobre fundação elástica (BEF).
Considera-se que a área de cada tirante suprimido é adicionada em partes iguais aos dois
tirantes adjacentes que se mantêm. Também aqui são considerados os mesmos dois casos
de carga tidos em conta na análise anterior. A Figura 5.17 apresenta os resultados obtidos.
1600
qcr [kN/m]
qcr
carreg.2
carreg.1
1400
a
1200
vão central do tabuleiro
carreg.1 – carregamento em todo o tabuleiro
carreg.2 – carregamento apenas no vão central
1000
Sa = 13.125 m ; carreg. 1
4a = 13.125 m ; carreg. 2
800
Sa = 26.25 m ; carreg. 1
Sa = 26.25 m ; carreg. 2
600
400
200
0
400
500
600
700
800
900
1000
1100
Vão central do tabuleiro [m]
Figura 5.17 - Variação da carga crítica (q cr ) com o vão central do tabuleiro, para espaçamentos entre
tirantes diferentes e dois tipos de carregamentos.
98
CAPÍTULO 5 – ANÁLISE PARAMÉTRICA DE ESTABILIDADE
A Figura 5.17 mostra que ao se duplicar o espaçamento entre tirantes, há uma ligeira
redução da carga crítica (q cr ). Esta redução acontece devido ao facto da parcela
𝑡𝑖𝑟
∑𝑛º
𝑗=𝑖
𝑎
tan 𝛼𝑗
, no cálculo do esforço normal instalado no tabuleiro, ser ligeiramente maior
uma vez que o espaçamento aumenta, o que significa que para se instalar o esforço axial
crítico no tabuleiro (N cr ) é necessário uma carga crítica (q cr ) menor. No cálculo de β i , o
aumento do espaçamento é compensado pelo aumento da secção dos tirantes, pelo que não
existe variação importante na rigidez equivalente da fundação quando se duplica o
espaçamento dos tirantes.
5.5.3
Resumo dos resultados
Para aumentar a estabilidade do tabuleiro, devem ser consideradas na concepção de uma
ponte de tirantes torres com uma altura superior a 20% do vão central. A escolha de uma
espaçamento menor entre tirantes altera muito pouco do ponto de vista da estabilidade do
tabuleiro (como referido em [5] e [16]), o que em termos práticos significa que a adopção
de um menor espaçamento para melhorar a estabilidade do tabuleiro, não é uma boa opção.
A conclusão relativa à pouca importância do espaçamento entre tirantes para a estabilidade
do tabuleiro, permite igualmente concluir que em caso de ser necessário substituir um
tirante da ponte, e assim temporariamente se aumentar para o dobro o espaçamento entre
tirantes, não existe risco do ponto de vista da estabilidade do tabuleiro.
As conclusões retiradas para o caso da influência do espaçamento entre tirantes, têm
sempre em consideração a hipótese do comprimento de encurvadura do tabuleiro ser
superior ao espaçamento entre tirantes. Nos casos estudados esta consideração é
verdadeira, uma vez que o comprimento de encurvadura é sempre superior a 60 m, e o
espaçamento entre tirantes é de 13.125 m ou 26.25 m.
Uma nota para o facto de quando se duplica o espaçamento entre tirantes (passando a ser
a = 26.25 m), continua-se a respeitar as condições de aplicação da fórmula de Engesser [8]
usada no método simplificado, uma vez que:
𝐿𝐿𝑐𝑟 > 1.8 𝑎 ↔ 60 𝑚 > 47.25 𝑚
(5.1)
99
ESTABILIDADE GLOBAL DE TABULEIROS ATIRANTADOS
5.6
INFLUÊNCIA DA RIGIDEZ DE FLEXÃO DO TABULEIRO
Como foi mostrado no Capítulo 3, a carga crítica pode ser calculada através da expressão
seguinte:
𝑞𝑐𝑟 =
𝑁𝑖,𝑐𝑟
2�𝐸𝐸𝐸𝐸𝛽𝛽𝑖
=
𝑎
𝑡𝑖𝑟
𝑁𝑖
∑𝑛º
𝑗=𝑖 𝑡𝑎𝑛𝛼
𝑗
(5.2)
Desta expressão conclui-se que o aumento da rigidez de flexão do tabuleiro (EI) têm como
consequência um aumento da carga crítica (q cr ). A modificação da rigidez de flexão do
tabuleiro depende fundamentalmente da altura da viga, uma vez que a espessura da laje e
os módulos de elasticidade dos materiais têm na prática muito pequena variação, e logo
não alteram significativamente esta grandeza.
Para analisar a influência da rigidez e flexão do tabuleiro na sua estabilidade, recorre-se ao
modelo de coluna sobre fundação elástica, e consideram-se vigas metálicas com 2.75 m,
3.25 m e 3.75 m para além da altura base do modelo de 2.25 m. Todas as vigas variam
apenas na altura da alma, sendo as dimensões dos banzos sempre as mesmas, assim como a
espessura da alma. Também a espessura da laje de betão é constante, e igual a 25 cm em
qualquer um dos casos. Os valores da rigidez de flexão para cada uma das alturas da viga
são apresentavas no Quadro 5.2. São considerados dois casos de carga, um com um
carregamento em todo o vão (carreg. 1) e outro com carregamento apenas no vão central
(carreg. 2). Os resultados obtidos em função do comprimento do vão central considerado,
apresentam-se nas Figuras 5.18 e 5.19.
Quadro 5.2 - Rigidez de flexão do tabuleiro para cada uma das alturas de viga analisadas.
100
altura da viga (m)
EI [kN/m2]
altura da viga (m)
EI [kN/m2]
2.25
6.487E+07
3.25
1.417E+08
2.75
9.901E+07
3.75
1.936E+08
CAPÍTULO 5 – ANÁLISE PARAMÉTRICA DE ESTABILIDADE
qcr [kN/m]
2800
carreg.1
qcr
Tirantes
@ 13.125 m
L = vão central do tabuleiro
2400
carreg.1 – carregamento em todo o tabuleiro
2000
altura viga
altura da secção
0.25 m
vigas transversais
@ 4.375 m
1600
Sviga h = 2.25m ; carreg. 1
Sviga h = 2.75m ; carreg. 1
Sviga h = 3.25m ; carreg. 1
Sviga h = 3.75m ; carreg. 1
1200
800
400
400
500
600
700
800
900
1000
1100
Vão central do tabuleiro [m]
Figura 5.18 - Variação da carga crítica (q cr ) com o vão central do tabuleiro, para diferentes alturas da
viga e submetido a um carregamento em todo o tabuleiro.
qcr [kN/m]
2000
2000
qcr
1800
1800
Tirantes
carreg.2
@ 13.125 m
L = vão central do tabuleiro
carreg.2 – carregamento apenas no vão central
1400
1400
altura viga
0.25 m
altura da secção
1600
1600
vigas transversais
@ 4.375 m
1200
1200
Sviga h = 2.25m ; carreg. 2
Sviga h = 2.75m ; carreg. 2
Sviga h = 3.25m ; carreg. 2
Sviga h = 3.75m ; carreg. 2
1000
1000
800
800
600
600
400
400
200
200
400
400
500
500
600
700
800
900
1000
1100
Vão central do tabuleiro [m]
Figura 5.19 - Variação da carga crítica (q cr ) com o vão central do tabuleiro, para diferentes alturas da
viga e submetido a um carregamento apenas no vão central.
101
ESTABILIDADE GLOBAL DE TABULEIROS ATIRANTADOS
Pode observar-se que ocorre um aumento do parâmetro de carga crítico ligeiramente
superior à relação entre alturas das vigas, uma vez que q cr é proprocional a √𝐸𝐸, que por sua
vez depende principalmente da parcela da inércia associada ao produto da área dos banzos
por uma distância ao quadrado, e daí a relação ser praticamente linear. No caso do vão de
420 m para o carregamento em todo o vão, um aumento da altura da secção de 2.25 m para
3.75 m, corresponde a um aumento de 67%, enquanto que a carga crítica sobe de
q cr = 1495 kN/m para q cr = 2564 kN/m, o que representa um aumento de 72%. No caso do
carregamento apenas no vão central este comportamento mantém-se, sendo o aumento de
carga crítica ligeiramente inferior (71%). Com o aumento do vão central do tabuleiro, este
aumento da carga crítica com um aumento da altura da secção diminuí, apresentando o
menor acréscimo no caso do vão de 1050 m, onde no caso do carregamento em todo o vão
a carga crítica sobe 45%, e quando apenas carregada no vão central sobe 59%. Estes
resultados estão de acordo com o conlcluído por Shu e Wang [10].
5.7
INFLUÊNCIA DA RIGIDEZ DE FLEXÃO DAS TORRES
Com o objectivo de analisar a influência da rigidez de flexão longitudinal das torres na
estabilidade do tabuleiro, são considerados, no programa SAP2000, diferentes valores de
rigidez de flexão inicial (EI), para o tabuleiro com 420 m de vão central todo carregado.
Como se observa na Figura 5.20, quando se aumenta a rigidez de flexão da torre para o
dobro, o valor da carga crítica sobe cerca 25%. Se o aumento for de 3 vezes o valor da
rigidez de flexão inicial, então a carga crítica cresce 50%. O aumento da rigidez de flexão
parece manter uma relação praticamente linear com o aumento da carga crítica. No caso de
se reduzir a rigidez de flexão to tabuleiro esta relação linear mantém-se até metade do seu
valor inicial. A partir daí reduções maiores da rigidez da torre tem como consequência um
diminuição cada vez maior da carga crítica. No caso de se considerar para EI um valor
igual ou inferior a um oitavo da rigidez de flexão inicial das torres, a instabilidade global
da estrutura é condicionada pelas torres e não pelo tabuleiro, uma vez que estas passam a
ter uma inércia de flexão tão pequena, que sujeita às compressões introduzidas pelos
tirantes instabilizam primeiro.
Concluí-se assim que um aumento da rigidez da torres contribui, de uma forma
praticamente linear, para a estabilidade do tabuleiro. Para reduções da rigidez das torres
para valores inferiores a metade da inicial, a carga crítica diminui mais rapidamente, e
existe o risco de instabilidade das torres antes de ocorrer a instabilidade do tabuleiro.
102
CAPÍTULO 5 – ANÁLISE PARAMÉTRICA DE ESTABILIDADE
2500
qcr[kN/m]
qcr
2000
EI
EI
420 m
1500
1000
1
4
instabilidade do tabuleiro
1
8
500
1
16
instabilidade da torre
0
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
EItorre
EItorre,inicial
Figura 5.20- Variação da carga crítica (q cr ) com diferentes valores de rigidez de flexão longitudinal das
torres (EI torre ), para o modelo de 420 m de vão central carregado ao longo de todo o tabuleiro.
5.8
5.8.1
INFLUÊNCIA DA GEOMETRIA DAS TORRES
Considerações prévias
A geometria da torre para uma ponte com suspensão lateral pode ter várias formas, sendo
as mais correntes as torres em pórtico transversal, em A, em Y invertido e em diamante. O
modelo em estudo apresenta uma torre em pórtico transversal (também conhecido por
torres em H) com um arranjo dos tirantes localizado num único plano.
Para avaliar a influência da geometria das torres na estabilidade do tabuleiro, criam-se dois
modelos tridimensionais a partir do modelo base de vão central de 420 m, considerando
num caso uma geometria em Y invertido para as torres, e no outro uma geometria em A,
como apresentado na Figura 5.21 (a) e (b), respectivamente. Esta modificação na
geometria das torres introduz uma distribuição espacial dos tirantes, ao contrário do que
acontece com uma torre em pórtico inicialmente considerada na análise.
5.8.2
Modelo tridimensional adoptado
O modelo tridimensional adoptado para efectuar o estudo da influência da geometria
transversal das torres, é construído a partir do modelo plano considerado nas análises
anteriores.
103
ESTABILIDADE GLOBAL DE TABULEIROS ATIRANTADOS
(a) Modelo tridimensional da ponte com 420 m de vão
central e torres em forma de Y invertido
(b) Modelo tridimensional da ponte com 420 m de vão
central e torres em forma de A
Figura 5.21- Modelos tridimensionais adoptados para o estudo da influência da geometria das torres na
estabilidade do tabuleiro: (a) geometria das torres em Y invertido; e (b) geometria das torres em A.
Admite-se que as secções dos tirantes permanecem as mesmas o que terá que ser
confirmado tendo em conta que os arranjos tridimensionais dos tirantes introduzem forças
ligeiramente superiores nestes elementos.
Também as várias secções que constituem as torres são mantidas. A única alteração
acontece ao nível da geometria em Y invertido, com a secção da torre no local onde vão
ancorar os tirantes a ter o dobro da largura dos outros dois casos, uma vez que o mesmo
fuste passa a ancorar o dobro dos tirantes.
Com a passagem para um modelo tridimensional, passam a existir duas barras que simulam
o tabuleiro e que são carregadas de igual forma, para evitar efeitos de torção. As vigas
principais são ligadas por carlingas transversais, o que evita a instabilidade “em planta” do
tabuleiro. Estas carlingas são no modelo de análise espaçadas de 6.56 m.
104
CAPÍTULO 5 – ANÁLISE PARAMÉTRICA DE ESTABILIDADE
A Figura 5.22 apresenta as três secções de torres consideradas, assim como um corte
longitudinal idêntico em qualquer um dos modelos.
(a1)
(a2)
(a3)
(b)
50 m
50 m
50 m
Figura 5.22 - Geometrias consideradas para as torres (a i ) e corte longitudinal comum a todas (b):(a 1 ) torre
em pórtico transversal; (a 2 ) torre em Y invertido; e (a 3 ) torre em A.
5.8.3
Resultados
A Figura 5.23 apresenta os resultados obtidos através de uma análise não linear de
estabilidade, considerando o carregamento em todo o tabuleiro. Os resultados apresentados
nesta figura são referentes a metade do tabuleiro (apenas uma viga), embora se tenha
registado um mesmo comportamento das duas vigas.
O facto da distribuição de tirantes passar a ser tridimensional não altera o tipo de
instabilidade do tabuleiro, que continua a apresentar uma instabilidade por ponto limite.
Também o modo de instabilidade do tabuleiro mantém-se o mesmo em qualquer um dos
casos (Figura 5.24). Como se pode observar na Figura 5.23, o parâmetro de carga para os
casos das torres em A ou em Y invertido é o mesmo (λ 1 = 5.8), que é atingido igualmente
para o mesmo deslocamento a meio vão (δ v,64 = 24 m). Comparado com o caso da torre em
pórtico, em que se regista λ 1 = 6.4 e δ v,64 = 25 m, existe uma ligeira diminuição do
parâmetro de carga, que é explicada pelo facto das secções dos tirantes estarem
dimensionadas para a torre em pórtico, o que significa que no caso das torres em A e Y
invertido os tirantes conferem um menor “apoio” vertical ao tabuleiro, o que conduz à
diminuição do parâmetro de carga crítico. Aumentando as áreas de todos os tirantes em
20% no modelos com torres em A e Y invertido, o parâmeto de carga aumenta λ 1 = 6.3, em
ambos os modelos.
105
ESTABILIDADE GLOBAL DE TABULEIROS ATIRANTADOS
λ7,0
1
λ1(cp+ sob)
6,0
6
420 m
5,0
5
4,0
4
3
3,0
2,0
2
torre em pórtico
torre em Y invertido
1,0
1
0
0,0
torre em A
0
-5
-10
-10
-15
-15
-20
-20
-25
-25
δv,64-30(m)
Figura 5.23 - Variação do deslocamento a meio vão com o sucessivo carregamento do tabuleiro, para os
casos de geometrias transversais das torres em pórtico (a verde), em Y invertido (a azul) e em A (a
vermelho).
λ1 (cp + sob)
λ1 = 5.8
Figura 5.24 - Modo de instabilidade do tabuleiro para o caso das torres com geometria em Y invertido.
Dos resultados obtidos, conclui-se que a geometria transversal das torres não parece ter
influência directa na estabilidade global do tabuleiro para o caso de carga considerado, e
como sugerido em [10]. Alguns autores referem mesmo que a estabilidade global da
estrutura é melhorada quando se adoptam torres em A e Y invertido, pelo facto dos dois
fustes da torre estarem ligados. Assim a torre torna-se “mais rígida” para cargas
assimétricas no tabuleiro, o que aumenta a sua estabilidade [11].
106
CAPÍTULO 5 – ANÁLISE PARAMÉTRICA DE ESTABILIDADE
5.9
INFLUÊNCIA DA LIGAÇÃO DO TABULEIRO ÀS TORRES
O modelo base, tal como foi apresentado no Capítulo 2, não considera a ligação entre o
tabuleiro e as torres, sendo este apenas suportado pelos tirantes e pelos pilares laterais.
Com o objectivo de avaliar se esta opção pode ter alguma importância na estabilidade do
tabuleiro, é considerado o caso de serem adoptados apoios móveis nestas ligações.
A Figura 5.25 apresenta a evolução dos deslocamentos no meio do vão central de 420 m,
em função de um incremento de carga em todo o tabuleiro. É possível verificar que no caso
de se considerar o tabuleiro simplesmente apoiado nas torres, o valor da carga crítica não
têm alterações significativas. A Figura 5.26 apresenta os modos de instabilidade
associados aos dois casos, onde é possivel verificar que a consideração de um apoio móvel
faz aumentar o número de semi-ondas.
λ18
7
λ1 (cp+sob)
6
Apoio móvel
nas torres
5
420 m
4
3
Sem apoio nas torres
2
Com apoio móvel
nas torres
1
0
0
-5
-10
-15
-20
-25
δv,64 (m)
-30
Figura 5.25 - Variação do deslocamento a meio vão com o sucessivo carregamento do tabuleiro, para o caso
do sistema de suspensão total e no caso de se considerar o apoio do tabuleiro junto às torres.
No caso de se considerar o apoio nas torres, o parâmetro de carga associado à instabilidade
do tabuleiro é ligeiramente superior, tendo o valor de λ 1 = 6.8, enquanto que quando se
considera o tabuleiro totalmente suspenso, o valor desce para λ 1 = 6.4. Esta diferença de
cerca de 6% está associada ao facto do apoio conferir “uma rigidez vertical infinita” na
zona junto às torres. O valor da diferença é pequeno porque nas zonas junto às torres uma
maior rigidez vertical tem pouca influência na carga crítica. O facto dos valores da carga
crítica, num modelo de coluna sobre fundação elástica com apoios nas extremidades, serem
praticamente idênticos aos obtidos num modelo de uma ponte de tirantes sem apoios,
107
ESTABILIDADE GLOBAL DE TABULEIROS ATIRANTADOS
justifica igualmente a pequena influência da rigidez vertical introduzida ao considerar os
apoios.
λ1 = 6.8
λ1 = 6.4
Figura 5.26 - Modos de instabilidade do tabuleiro com 420 m de vão central, para o caso totalmente
suspenso (a vermelho) e apoiado junto às torres (a azul).
5.10 INFLUÊNCIA DOS PILARES INTERMÉDIOS NOS VÃOS LATERAIS
Os pilares intermédios nos vãos laterais são importantes para a estabilização aerodinâmica
do vão central, em especial na fase construtiva, e na redução da deformabilidade vertical
dos vãos laterais, que está associada a uma menor variação de tensão dos últimos tirantes
de retenção [6].
Para avaliar a influência dos pilares intermédios no valor da carga crítica, alteram-se os
modelos de cálculo retirando os apoios intermédios, e efectua-se uma nova análise
geometricamente não linear. Considera-se o carregamento aplicado a todo o tabuleiro
(carregamento 1). Na Figura 5.27 representam-se os valores da carga crítica em função do
vão central, considerando as situações de colocar ou não dois pilares intermédios. Esta
figura mostra que para este caso de carga a influência dos pilares intermédios nos vãos
laterais é praticamente nula.
No entanto, de acordo com Pedro [5], para o caso de carga onde se considera a sobrecarga
apenas aplicada no vão central (carregamento 2), a eliminação dos pilares intermédios
conduz a alterações significativas no valor da carga crítica, uma vez que para o vão de
420 m há decréscimo de cerca de 45% (de q cr = 1100 kN/m para q cr = 590 kN/m).
108
CAPÍTULO 5 – ANÁLISE PARAMÉTRICA DE ESTABILIDADE
1600
qcr [kN/m]
carreg.2 - sob
carreg.1 - cp + sob
1400
vão central do tabuleiro
1200
1000
800
SAP2000 - c/ 2 pilares
intermédios - carreg.1
BEF - c/ 2 pilares
2
intermédios - carreg.1
SAP2000 - sem pilares
intermédios - carreg.1
Resultados [3]
5 - sem pilares
intermédios - carreg.2
600
400
200
0
400
500
600
700
800
900
1000
1100
Vão central do tabuleiro [m]
Figura 5.27 - Carga crítica em função do vão central do tabuleiro, para casos com e sem apoios intermédios
dos vãos laterais.
5.11 CONCLUSÃO
Os resultados obtidos ao longo deste capítulo permitem concluir que:
1) A consideração da fase construtiva numa análise não linear de estabilidade não
influência praticamente os resultados obtidos;
2) Numa análise de estabilidade deve ser tido em conta diversas geometrias do
carregamento, e nomeadamente o caso de carregar apenas metade do vão central, uma
vez que foi com esta geometria de carga que foram obtidos os valores mais baixos da
carga crítica;
3) O tipo de suspensão assim como a altura das torres, influenciam de forma bastante
semelhante o valor da carga crítica do tabuleiro. A pior concepção do ponto de vista da
estabilidade corresponde a uma ponte com torres baixas (cerca de 15% do vão) e com
uma suspensão em harpa. Pelo contrário a escolha de uma torre alta (25 % do vão
central) e uma suspensão em leque é a melhor opção para a instabilidade do tabuleiro,
embora não seja esta a única solução em termos de concepção;
4) Uma maior rigidez longitudinal de flexão do tabuleiro e das torres conferem maior
estabilidade ao tabuleiro;
5) A eliminação dos apoios nos tramos laterais reduz de forma significativa o valor da
carga crítica quando a carga é aplicada e incrementada apenas no vão central.
6) O espaçamento entre tirantes, assim como a geometria transversal das torres e a
consideração do apoio ou não do tabuleiro nas torres, não apresentam grande influência
na estabilidade do tabuleiro.
109
ESTABILIDADE GLOBAL DE TABULEIROS ATIRANTADOS
110
CAPÍTULO 6 – CONCLUSÕES E DESENVOLVIMENTOS FUTUROS
6
6.1
CONCLUSÕES E DESENVOLVIMENTOS FUTUROS
PRINCIPAIS ASPECTOS DO TRABALHO DESENVOLVIDO
O trabalho está organizado em seis capítulos, designadamente: Introdução e o presente
capítulo final com a síntese das principais Conclusões do trabalho; e quatro capítulos sobre
os seguintes temas − (2) Noções Gerais Sobre Pontes de Tirantes, a (3) Estabilidade
Linear de Tabuleiros Atirantados: Analogia Viga-Coluna Sobre Fundação Elástica, a (4)
Estabilidade Não Linear de Tabuleiros Atirantados e (5) Análise Paramétrica de
Estabilidade.
No Capítulo 1 − Introdução − fez-se uma introdução geral ao tema das pontes de tirantes e
em particular ao problema da estabilidade dos seus tabuleiros para cargas estáticas. Foram
referidas as diversas fontes de não lineariedades associadas a este tipo de estruturas, e
descritas de forma breve os tipos de análises de estabilidade realizadas ao longo do
trabalho. Foram também definidos de forma clara os objectivos principais do trabalho e
apresentada a sua organização.
O Capítulo 2 − Noções Gerais Sobre Pontes de Tirantes − apresentou-se uma descrição
geral sobre a concepção estrutural das pontes de tirantes, nomeadamente sobre: (1) as suas
possíveis configurações longitudinais; (2) tipo de sistemas de suspensão/atirantamento;
(3) geometria das torres; e (4) configurações e materiais do tabuleiro.
Foram caracterizadas as não linearidades associadas a uma ponte de tirantes, assim como
quais foram tidas em conta no desenvolvimento deste trabalho. Foram também definidos
os conceitos de estabilidade local e global associados a este tipo de pontes.
111
ESTABILIDADE GLOBAL DE TABULEIROS ATIRANTADOS
Este capítulo foi concluído com a descrição do exemplo de estudo utilizado ao longo do
trabalho, sendo feita a comparação entre o modelo adoptado e a ponte Vasco da Gama e
apresentadas as características do modelo.
O Capítulo 3 − Estabilidade Linear de Tabuleiros Atirantados: Analogia Viga-Coluna
Sobre Fundação Elástica − apresentou em primeiro lugar a formulação do problema da
avaliação da estabilidade elástica global de um tabuleiro atirantado, utilizando a analogia
com uma viga-coluna sobre fundação elástica. O modelo analítico baseado numa análise
linear de estabilidade da coluna sobre fundação elástica foi deduzido e foram apresentados
os resultados que se obtém considerando diferentes variações de esforço normal e rigidez
da fundação ao longo da barra. Apresentou-se um método simplificado baseado nesta
analogia para estudar a estabilidade elástica global de tabuleiros atirantados. Compararamse os resultados obtidos com este método, com os obtidos através de modelos numéricos de
colunas sobre fundação elástica.
A introdução de uma imperfeição geométrica no modelo de coluna sobre fundação elástica
foi analisada através de um modelo numérico, com o objectivo avaliar a influência do
comportamento de viga do tabuleiro numa análise linear de estabilidade.
No Capítulo 4 − Estabilidade Não Linear de Tabuleiros Atirantados − começou-se por
explicar os conceitos de análise linear e não linear de estabilidade, referindo exemplos de
alguns tipos de resultados possíveis de obter neste segundo tipo de análises e identificandose as suas dificuldades. Foram apresentadas as particularidades associadas às pontes de
tirantes que afectam a análise de estabilidade global. Foram apresentados e analisados os
resultados para diversas análises não lineares de estabilidade, cada uma associada a uma
geometria de carregamento diferente.
Foi proposta uma modificação do modelo da viga-coluna sobre fundação elástica, com o
objectivo de conseguir uma melhor aproximação da carga crítica para um carregamento
apenas no vão central do tabuleiro. Foi apresentado o estudo da estabilidade do tabuleiro
de 420 m de vão central descrito no Capítulo 2, comparando-se os resultados de: (1) um
modelo numérico baseado numa análise não linear de estabilidade; (2) um modelo de vigacoluna sobre fundação elástica; e (3) um método simplificado proposto por Klein.
112
CAPÍTULO 6 – CONCLUSÕES E DESENVOLVIMENTOS FUTUROS
O Capítulo 5 − Análise Paramétrica de Estabilidade − iniciou-se pela análise da influência
da inclusão do processo construtivo numa análise não linear de estabilidade numa ponte de
tirantes.
São apresentados os resultados de várias análises lineares e não lineares de estabilidade
efectuadas, avaliando a influência de determinados aspectos relativos à concepção das
pontes de tirantes, na estabilidade global do seu tabuleiro. Efectuou-se nomeadamente uma
análise paramétrica que permitiu avaliar a importância dos seguintes aspectos na
estabilidade global da estrutura: (1) geometria do carregamento; (2) sistema de suspensão;
(3) altura das torres; (4) espaçamento entre tirantes; (5) rigidez de flexão do tabuleiro;
(6) rigidez de flexão das torre; (7) geometria transversal das torres; (8) ligação do tabuleiro
às torres; e (9) existência de pilares intermédios nos vãos laterais.
No Capítulo 6 − Conclusões − efectuou-se uma síntese geral das conclusões do trabalho
desenvolvido e apresentaram-se aspectos que justificam futuros trabalhos.
6.2
SÍNTESE DAS PRINCIPAIS CONCLUSÕES
Ao longo do texto apresentaram-se conclusões relativas aos diferentes assuntos tratados.
Sintetizam-se seguidamente as principais conclusões relativas aos modelos de análise de
estabilidade desenvolvidos neste trabalho, e aos resultados obtidos através da análise
paramétrica realizada.
Modelo de viga-coluna sobre fundação elástica − O estudo da estabilidade de tabuleiros
atirantados através deste modelo apresenta bons resultados, sendo coerentes com os
obtidos através de uma análise não linear de estabilidade baseada em modelos numéricos
de elementos finitos, que simulam bem o comportamento de uma ponte de tirantes.
Mostrou-se ainda que embora se refira que o comportamento do tabuleiro é associado ao
de uma viga-coluna, verifica-se que efectuando uma análise linear de estabilidade a
contribuição do “comportamento de viga” para a estabilidade não é relevante.
Método simplificado com base na hipótese de Klein − Este método conduz a resultados
muito próximos dos obtidos pelo modelo da coluna sobre fundação elástica e pela análise
113
ESTABILIDADE GLOBAL DE TABULEIROS ATIRANTADOS
não linear de estabilidade. Assim o método simplificado apresentado, baseado na
identificação de uma secção crítica que determina a instabilidade do tabuleiro atirantado, é
uma forma expedita, simples e eficaz de avaliar a estabilidade do tabuleiro.
Modelo de viga-coluna sobre fundação elástica modificado − Verificou-se que os
resultados do modelo original de viga-coluna sobre fundação elástica são pouco precisos
quando a carga não é aplicada ao longo de todo o tabuleiro. Propôs-se nesse sentido uma
modificação do modelo inicial, que passa a ter em consideração a deformabilidade da torre
e o efeito dos tirantes de retenção. Verificou-se que o modelo de BEF conduziu nesse caso
a resultados bastante próximos aos obtidos noutros trabalhos para outras geometrias de
carregamento consideradas. Assim esta modificação, válida tanto para o modelo de vigacoluna sobre fundação elástica como para o método simplificado de Klein, permite alargar
o campo de aplicação do modelo de viga-coluna para casos de carga onde o carregamento
do tabuleiro é parcial no vão central. Contudo esta modificação apenas contempla um
carregamento único no tabuleiro, nunca podendo considerar a existência de dois padrões de
carga, um correspondente à carga permanente aplicada ao longo de todo o tabuleiro, e um
outro correspondente à geometria de aplicação parcial da sobrecarga no vão central ou em
apenas parte dele. Esta limitação é contudo relevante apenas quando a carga crítica tem um
valor próximo do da carga permanente da estrutura, o que se verifica nas pontes
construídas não acontecer.
Análise paramétrica − A análise efectuada conduziu às conclusões relativas à influência de
vários aspectos da concepção de pontes de tirantes na estabilidade do tabuleiro:
− Tipo de suspensão − O arranjo dos tirantes em leque garante uma maior
estabilidade do tabuleiro, uma vez que comparado com os outros dois arranjos
possíveis (em semi-leque e em harpa) assegura um maior “apoio vertical” ao
longo do tabuleiro. A configuração em harpa, pelo contrário, por conferir um
menor apoio ao tabuleiro em praticamente toda a sua extensão, apresenta-se
como a pior configuração dos tirantes em termos de estabilidade;
− Altura das torres − No caso de uma torre com uma altura de 25% do vão do
tabuleiro, a carga crítica é cerca de três vezes superior ao caso de uma torre com
114
CAPÍTULO 6 – CONCLUSÕES E DESENVOLVIMENTOS FUTUROS
apenas 15% da mesma dimensão, isto para o modelo de 420 m analisado. A
justificação para esta diferença é a mesma do caso do tipo de suspensão, onde
uma torre mais alta garante um maior apoio vertical do tabuleiro;
− Espaçamento dos tirantes − A duplicação do espaçamento entre tirantes não
afecta significativamente a estabilidade do tabuleiro. Assim conclui-se que uma
eventual substituição de um tirante em fase de serviço, ou a rotura acidental de
um tirante, não aumenta de forma significativa risco de instabilidade do
tabuleiro;
− Rigidez de flexão do tabuleiro − A consideração de um tabuleiro com maior
rigidez de flexão faz aumentar a sua carga crítica;
− Rigidez de flexão das torres − Um aumento da rigidez de flexão das torres
melhora a estabilidade do tabuleiro, uma vez que a sua carga crítica aumenta.
De qualquer forma, a contribuição da rigidez da torre é pequena em
comparação com a rigidez fornecida pelos tirantes de retenção dos tramos
laterais, com muito maior importância na estabilidade da torre e indirectamente
do vão central do tabuleiro. No caso da rigidez das torres ser muito baixa, a
instabilidade global pode ocorrer primeiro neste elemento estrutural;
− Geometria das torres − A consideração de uma geometria em pórtico
transversal, em A e em Y invertido, parece não influenciar a estabilidade do
tabuleiro, uma vez que a carga crítica é praticamente igual em qualquer das
geometrias das torres analisadas, quando todo o tabuleiro é igualmente
carregado;
− Ligação do tabuleiro às torres − No caso do tabuleiro não ser totalmente
suspenso, e assim encontrar-se apoiado nas torres através de apoios móveis,
aumenta ligeiramente a carga crítica da estrutura, mas a sua influência é
pequena;
115
ESTABILIDADE GLOBAL DE TABULEIROS ATIRANTADOS
− Pilares intermédios nos vãos laterais − A influência destes apoios do tabuleiro
na estabilidade da estrutura depende do caso de carga considerado. Enquanto
que para o carregamento de todo o tabuleiro, a existência ou não de pilares
intermédios nos vãos laterais é praticamente irrelevante para a sua estabilidade,
no caso de se considerar apenas o vão central carregado, as diferenças são
significativas, e a não existência de pilares intermédios conduz a reduções
significativas da carga crítica;
Ao nível desta análise é também possível concluir que uma geometria de carregamento
considerando cargas apenas no vão central do tabuleiro, ou em apenas 50% deste,
apresenta uma influência significativa na estabilidade do tabuleiro, uma vez que para estes
casos a sua carga crítica decresce 25% e 50%, respectivamente, em comparação com o
caso de todo o tabuleiro carregado.
Estabilidade elástica global do tabuleiro da ponte com 420 m de vão central − A análise
de estabilidade efectuada para o modelo com 420 m de vão central baseado na ponte Vasco
da Gama, para um carregamento em todo o tabuleiro, mostra que a estabilidade do
tabuleiro não é condicionante, uma vez que o parâmetro de carga que conduz à
instabilidade elástica do tabuleiro é no mínimo cerca de 3 vezes superior ao parâmetro de
carga associado à carga plástica última.
6.3
DESENVOLVIMENTOS FUTUROS
O estudo da estabilidade global de tabuleiros atirantados desenvolvido neste trabalho tem
ainda alguns aspectos que merecem ser abordados ou aprofundados.
A análise da estabilidade à torção de tabuleiros atirantados com suspensão central e um
tabuleiro esbelto, e portanto sem grande rigidez à torção, tem todo o interesse de ser feita,
uma vez que com o desenvolvimento ao nível dos materiais, modelos de cálculo e
processos construtivos, obras com características deste tipo tem sido propostas ou mesmo
construídas, sem que se conheçam estudos desenvolvidos sobre o tema.
116
CAPÍTULO 6 – CONCLUSÕES E DESENVOLVIMENTOS FUTUROS
A análise da estabilidade lateral do tabuleiro perante a acção do vento, para o caso de uma
suspensão central ou lateral plana, constitui igualmente um aspecto a investigar. Este tipo
de suspensão confere menor rigidez lateral ao tabuleiro, o que perante uma acção
aerodinâmica pode induzir um efeito de torção ao nível do tabuleiro. Este problema é mais
gravoso quanto maior o vão e mais estreito em planta for o tabuleiro, e tem constituído
uma das condicionantes importantes durante a construção de tabuleiros atirantados muito
longos.
No âmbito do modelo da viga sobre fundação elástica, afigura-se de interesse testar
modificações que permitam concluir a influência dos apoios laterais na estabilidade do
tabuleiro.
Por fim, a limitação inicial de efectuar sempre uma análise elástica de estabilidade, seja ela
linear ou não linear, constitui uma abordagem corrente mas limitativa do comportamento
da estrutura. De facto, a estabilidade e a plasticidade da estrutura são dois aspectos que se
evidenciam em conjunto quando um tabuleiro atirantado é sujeito a carregamentos
elevados. Um estudo muito mais aprofundado que permita ter em consideração os dois
efeitos em conjunto, embora um desafio de muito maior complexidade, tem todo o
interesse em ser realizado.
117
ESTABILIDADE GLOBAL DE TABULEIROS ATIRANTADOS
118
ANEXO A − CARACTERÍSTICAS GEOMÉTRICAS DOS TIRANTES
E DAS TORRES DO MODELO BASE
ANEXO A − CARACTERÍSTICAS GEOMÉTRICAS DOS
TIRANTES E DAS TORRES DO MODELO
BASE
119
ESTABILIDADE GLOBAL DE TABULEIROS ATIRANTADOS
120
ANEXO A − CARACTERÍSTICAS GEOMÉTRICAS DOS TIRANTES
E DAS TORRES DO MODELO BASE
CARACTERÍSTICAS GEOMÉTRICAS DOS TIRANTES E DAS
TORRES DO MODELO BASE
Nos quadros seguintes apresentam-se as características geométricas dos tirantes e das
torres do modelo da ponte de tirantes com 420 m de vão central.
Quadro A.1 – Características geométricas dos tirantes dos vãos laterais.
Tirante
1L
2L
3L
4L
5L
6L
7L
8L
Nº total de cordões
Comprimento no modelo
(m)
Ângulo com a horizontal
(o)
Tirante
27
29
31
34
37
40
43
45
50.43
56.54
64.91
74.77
85.63
97.14
109.10
121.37
82.523
69.622
59.632
52.096
46.390
42.001
38.557
35.802
9L
10L
11L
12L
13L
14L
15L
16L
48
51
53
55
57
59
61
63
133.87
146.55
159.35
172.25
185.24
198.28
211.38
224.53
33.557
31.697
30.135
28.806
27.663
26.670
25.800
25.031
Nº total de cordões
Comprimento no modelo
(m)
Ângulo com a horizontal
(o)
Quadro A.2 – Características geométricas dos tirantes do vão central.
Tirante
1C
2C
3C
4C
5C
6C
7C
8C
Nº total de cordões
Comprimento no modelo
(m)
Ângulo com a horizontal
(o)
Tirante
27
29
31
34
37
40
43
45
50.43
56.54
64.91
74.77
85.63
97.14
109.10
121.37
82.523
69.622
59.632
52.096
46.390
42.001
38.557
35.802
9C
10C
11C
12C
13C
14C
15C
16C
48
51
53
55
57
59
61
63
133.87
146.55
159.35
172.25
185.24
198.28
211.38
224.53
33.557
31.697
30.135
28.806
27.663
26.670
25.800
25.031
Nº total de cordões
Comprimento no modelo
(m)
Ângulo com a horizontal
(o)
121
ESTABILIDADE GLOBAL DE TABULEIROS ATIRANTADOS
Quadro A.3 – Propriedades geométricas dos secções elementos das torres.
122
Elemento
Cota da secção [m]
Área [m2]
Momento de Inércia [m4]
Torre - sec.1
Torre - sec.2
Torre - sec.3
Torre - sec.4
Torre - sec.5
Torre - sec.6
Torre - sec.7
Torre - sec.8
Torre - sec.9
0 a 10
28.73
465.465
20
26.39
358.952
30
24.26
273.781
40
22.08
202.676
50
19.93
145.254
60
17.78
99.796
70
15.62
64.916
80
14.32
50.572
100 a 150
9.05
35.813
ANEXO B − FORÇAS DE PUXE E PESO DOS TIRANTES
ANEXO B − FORÇAS DE PUXE E PESO DOS TIRANTES
123
ESTABILIDADE GLOBAL DE TABULEIROS ATIRANTADOS
124
ANEXO B − FORÇAS DE PUXE E PESO DOS TIRANTES
FORÇAS DE PUXE E PESO DOS TIRANTES
Nos quadros seguintes apresentam-se os pesos dos tirantes e as forças de puxe. traduzidas
por uma diferença de temperatura negativa equivalente (ΔT equiv ), usadas na simulação do
processo construtivo apresentado no Capítulo 5.
Quadro B.1 – Pesos dos tirantes dos vão laterais, e diferenças de temperatura equivalentes aplicadas
durante a fase construtiva.
Tirante
Peso (kN)
1ª Fase - Força de
Puxe ΔT equiv. (oC)
2ª Fase - Força de
Puxe ΔT equiv. (oC)
Tirante
Peso (kN)
1ª Fase - Força de
Puxe ΔT equiv. (oC)
2ª Fase - Força de
Puxe ΔT equiv. (oC)
1L
2L
3L
4L
5L
6L
7L
8L
9.523
11.407
13.932
17.542
21.746
26.898
32.321
37.522
-87.024
-113.625
-114.180
-115.464
-116.328
-116.757
-116.252
-117.779
-115.014
-93.741
-98.606
-100.301
-92.258
-89.562
-87.078
-91.455
9L
10L
11L
12L
13L
14L
15L
16L
43.978
50.977
57.486
64.363
71.604
79.205
87.165
95.481
-115.840
-113.307
-112.620
-111.188
-109.399
-105.914
-111.630
-34.922
-92.625
-94.168
-96.643
-99.273
-102.032
-104.396
-100.765
-189.733
Quadro B.2 – Pesos dos tirantes do vão central. e diferenças de temperatura equivalentes aplicadas durante
a fase construtiva.
Tirante
Peso (kN)
1ª Fase - Força de
Puxe ΔT equiv. (oC)
2ª Fase - Força de
Puxe ΔT equiv. (oC)
Tirante
Peso (kN)
1ª Fase - Força de
Puxe ΔT equiv. (oC)
2ª Fase - Força de
Puxe ΔT equiv. (oC)
1C
2C
3C
4C
5C
6C
7C
8C
9.523
11.407
13.932
17.542
21.746
26.898
32.321
37.522
-87.024
-113.625
-114.180
-115.464
-116.328
-116.757
-116.252
-117.779
-115.014
-93.741
-98.606
-100.301
-92.258
-89.562
-87.078
-91.455
9C
10C
11C
12C
13C
14C
15C
16C
43.978
50.977
57.486
64.363
71.604
79.205
87.165
95.481
-115.840
-113.307
-112.620
-111.188
-109.399
-105.914
-111.630
-34.922
-92.625
-94.168
-96.643
-99.273
-102.032
-104.396
-100.765
-189.733
125
ESTABILIDADE GLOBAL DE TABULEIROS ATIRANTADOS
126
ANEXO C − CARACTERÍSTICAS GEOMÉTRICAS DOS TIRANTES
PARA A SUSPENSÃO EM LEQUE E EM HARPA
ANEXO C − CARACTERÍSTICAS GEOMÉTRICAS DOS
TIRANTES PARA A SUSPENSÃO EM
LEQUE E EM HARPA
127
ESTABILIDADE GLOBAL DE TABULEIROS ATIRANTADOS
128
ANEXO C − CARACTERÍSTICAS GEOMÉTRICAS DOS TIRANTES
PARA A SUSPENSÃO EM LEQUE E EM HARPA
CARACTERÍSTICAS GEOMÉTRICAS DOS TIRANTES PARA A
SUSPENSÃO EM LEQUE E EM HARPA
Nos quadros seguintes apresentam-se as características geométricas dos tirantes, dos vão
laterais e do vão central. do modelo da ponte de tirantes com 420 m de vão central. para a
suspensão em leque e em harpa.
Quadro C.1 – Características geométricas dos tirantes dos vãos laterais para suspensão do tipo em leque.
Tirante
1L
2L
3L
4L
5L
6L
7L
8L
Nº total de cordões
Comprimento no modelo
(m)
Ângulo com a horizontal
(o)
Tirante
27
29
31
34
37
40
43
45
95.23
97.02
100.51
105.52
111.86
119.31
127.68
136.80
86.048
78.292
70.945
64.194
58.130
52.770
48.075
43.982
9L
10L
11L
12L
13L
14L
15L
16L
48
51
53
55
57
59
61
63
146.53
156.75
167.38
178.35
189.58
201.05
212.71
224.53
40.416
37.304
34.580
32.186
30.073
28.198
26.527
25.031
Nº total de cordões
Comprimento no modelo
(m)
Ângulo com a horizontal
(o)
Quadro C.2 – Características geométricas dos tirantes do vão central para suspensão do tipo em leque.
Tirante
1C
2C
3C
4C
5C
6C
7C
8C
Nº total de cordões
Comprimento no modelo
(m)
Ângulo com a horizontal
(o)
Tirante
27
29
31
34
37
40
43
45
95.23
97.02
100.51
105.52
111.86
119.31
127.68
136.80
86.048
78.292
70.945
64.194
58.130
52.770
48.075
43.982
9C
10C
11C
12C
13C
14C
15C
16C
48
51
53
55
57
59
61
63
146.53
156.75
167.38
178.35
189.58
201.05
212.71
224.53
40.416
37.304
34.580
32.186
30.073
28.198
26.527
25.031
Nº total de cordões
Comprimento no modelo
(m)
Ângulo com a horizontal
(o)
129
ESTABILIDADE GLOBAL DE TABULEIROS ATIRANTADOS
Quadro C.3 – Características geométricas dos tirantes dos vãos laterais para suspensão do tipo em harpa.
Tirante
1L
2L
3L
4L
5L
6L
7L
8L
Nº total de cordões
Comprimento no modelo
(m)
Ângulo com a horizontal
(o)
Tirante
63
63
63
63
63
63
63
63
7.24
21.73
36.21
50.70
65.18
79.67
94.16
108.64
25.031
25.031
25.031
25.031
25.031
25.031
25.031
25.031
9L
10L
11L
12L
13L
14L
15L
16L
63
63
63
63
63
63
63
63
123.13
137.61
152.10
166.58
181.07
195.55
210.04
224.53
25.031
25.031
25.031
25.031
25.031
25.031
25.031
25.031
Nº total de cordões
Comprimento no modelo
(m)
Ângulo com a horizontal
(o)
Quadro C.4 – Características geométricas dos tirantes do vão central para suspensão do tipo em harpa.
Tirante
1C
2C
3C
4C
5C
6C
7C
8C
Nº total de cordões
Comprimento no modelo
(m)
Ângulo com a horizontal
(o)
Tirante
63
63
63
63
63
63
63
63
7.24
21.73
36.21
50.70
65.18
79.67
94.16
108.64
25.031
25.031
25.031
25.031
25.031
25.031
25.031
25.031
9C
10C
11C
12C
13C
14C
15C
16C
63
63
63
63
63
63
63
63
123.13
137.61
152.10
166.58
181.07
195.55
210.04
224.53
25.031
25.031
25.031
25.031
25.031
25.031
25.031
25.031
Nº total de cordões
Comprimento no modelo
(m)
Ângulo com a horizontal
(o)
130
REFERÊNCIAS
REFERÊNCIAS
1
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Bridges » − Computers & Structures – Vol. 54, Nº2, pg. 267-277. Elsevier Science,
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2
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