Física II – Profs Ricardo e Amauri
1
PROPRIEDADES E PROCESSOS TÉRMICOS
Quando um corpo recebe ou perde energia térmica, pode ser que ocorram diversas modificações
em suas propriedades. Nesta parte do curso estudaremos algumas propriedades térmicas da matéria e
alguns processos importantes que envolvem energia térmica. O endereço eletrônico a seguir mostra um
interessante applet sobre a mudança de estado de todos os elementos químicos devido à mudança de
temperatura:
http://lectureonline.cl.msu.edu/~mmp/period/phase.htm
Veja também as configurações eletrônicas dos elementos químicos no seguinte endereço:
http://www.colorado.edu/physics/2000/applets/a2.html
Expansão Térmica
Quando a temperatura de um corpo se eleva, é comum que este corpo se expanda (cuidado com as
exceções!). Consideremos uma barra de comprimento L com temperatura T . Se a temperatura se altera de
∆T , o comprimento se altera de ∆L segundo a equação abaixo:
∆L = αL∆T
(1)
O fator α é o coeficiente de expansão linear, definido como a razão entre a variação relativa do
comprimento e a variação de temperatura:
α=
∆L L
∆T
A unidade deste coeficiente é o inverso do grau Celsius
(2)
( 1C ) que coincide com o inverso do
o
kelvin. Este coeficiente não varia muito para sólidos e líquidos com a pressão, no entanto, variam
significativamente com a temperatura. A equação (2) nos dá um valor médio sobre um o intervalo de
temperatura. Determina-se o coeficiente de expansão linear numa certa temperatura através de:
∆L L 1
∆L 1 dL
= lim
=
∆T →0 ∆T
L ∆T →0 ∆T L dT
α = lim
(3)
Visite o site abaixo para ver uma simulação referente ao assunto:
http://www.upscale.utoronto.ca/IYearLab/Intros/ThermalExpans/Flash/ThrmlExpans.html
O coeficiente de expansão volumar (β ) é definido como a razão entre a variação relativa de
volume e a variação de temperatura (a pressão constante):
∆V V 1 dV
=
∆T →0 ∆T
V dT
β = lim
(4)
A Figura 1 mostra os valores médios de α e β para diversas substancias.
Relação entre α e β
Consideremos um paralelepípedo de dimensões L1 , L2 e L3 . O seu volume à temperatura T será:
V = L1 L2 L3
A variação de volume será dada por:
Física II – Profs Ricardo e Amauri
2
dL
dL
dL
dV
= L1 L2 3 + L1 L3 2 + L2 L3 1
dT
dT
dT
dT
Dividindo a equação anterior pelo volume obtemos:
dV
V = L1 L2 dL3 + L1 L3 dL2 + L2 L3 dL1 = 1 dL3 + 1 dL2 + 1 dL1 ⇒
dT
L1 L2 L3 dT L1 L2 L3 dT L1 L2 L3 dT L3 dT L2 dT L1 dT
⇒ β = 3α
(5)
De maneira análoga pode-se mostrar que o coeficiente de expansão superficial será o dobro do
coeficiente de expansão linear. O endereço eletrônico a seguir pode ajudar a ampliar seus conhecimentos:
http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/thermo/thexp.html
Fig. 1 – Valores aproximados dos coeficientes térmicos de expansão de diversas substancias.
Exceção da água a 4° C
A maior parte das substancias se expande ao ser aquecida. A água é uma exceção importante. A
Figura 2 mostra o volume ocupado por 1 g de água em função da temperatura. O volume é mínimo, e,
portanto, a densidade é máxima, a 4° C. Isto significa que quando aquecemos água em temperaturas abaixo
de 4°C ocorre contração ao invés de expansão. Esta propriedade tem conseqüências importantes na
ecologia dos lagos em países com inverno rigoroso (onde há congelamento dos lagos). Em temperaturas
mais elevadas do que 4° C, a água do lago, ao se resfriar, torna-se mais densa, e afunda. Porém, se a água
se resfria abaixo de 4° C, torna-se menos densa e tende a flutuar. Por este motivo, o gelo se forma
primeiramente na superfície do lago e, sendo menos denso do que a água flutua na superfície e atua como
um isolante térmico para água que fica em baixo. Se isto não ocorresse, o gelo afundaria e haveria
congelamento de mais água na superfície e os lagos congelariam do fundo para superfície, o que provocaria
o congelamento completo, extinguindo os peixes e toda forma de vida aquática.
Física II – Profs Ricardo e Amauri
3
Fig. 2 – Volume de 1 g de água, na pressão atmosférica, em função da temperatura. O valor mínimo do
volume corresponde ao máximo de densidade que ocorre a 4° C.
A equação de Van der Waals (desvio do comportamento ideal)
Utilizando o modelo de gás ideal para um mol de um gás, temos:
PV
= 1 (6)
RT
A equação (6), obtida experimentalmente para determinados valores de pressão e temperatura, foge
do comportamento de gás ideal (veja Figura 3 e 4). Note que o desvio do comportamento de gás ideal é
maior pra altas pressões e baixas temperaturas.
Fig. 3 – Comportamento de vários gases em função da pressão.
Note que quando a temperatura decresce abaixo de um valor crítico o desvio torna-se mais
acentuado, isto corre porque o gás se condensa tornando-se líquido.
Johannes Van der Waals (1837-1923) desenvolveu uma equação (1873) que representava melhor o
comportamento dos gases nestas situações. Esta equação leva em conta a atração molecular e o volume das
moléculas.
Em altas pressões, o que implica em alta densidade, a distancia entre as moléculas tornam-se mais
curtas, e conseqüentemente, as forças de atração entre as moléculas tornam-se mais significantes.
Moléculas vizinhas exercem uma sobre as outras uma força de atração, isto reduz o momento transferido
pelo gás às paredes do recipiente que o contém (veja Figura 5).
Física II – Profs Ricardo e Amauri
4
Fig. 4 – Comportamento do nitrogênio em função da pressão para três temperaturas diferentes.
Fig. 5 – Moléculas de um gás
Desta forma, a pressão observada é menor do que a determinada pela equação dos gases ideais. A
correção é feita levando em consideração a atração molecular. A probabilidade de haver uma colisão é a
probabilidade de duas moléculas estarem no mesmo lugar no mesmo tempo. A probabilidade da primeira
( V ). A probabilidade da
molécula está no mesmo lugar da colisão é proporcional a densidade numérica n
( V ). V e n representam o volume ocupado pelo gás e sua densidade,
respectivamente. Assim, a redução na pressão devido à atração molecular é proporcional a (n ) .
V
segunda molécula é a mesma n
2
Considerando a constante de proporcionalidade a , a pressão dada pelo modelo de gás ideal será:
Pideal = P = Preal
⎛n⎞
+ a⎜ ⎟
⎝V ⎠
2
(7)
Substituindo na equação dos gases ideais obtemos:
2
⎛
⎞
n
⎛
⎞
⎜ Preal + a⎜ ⎟ ⎟ V = nRT
⎜
⎝ V ⎠ ⎟⎠
⎝
(8)
Como a pressão e a densidade aumentam, o volume das moléculas torna-se significante em relação
ao volume do recipiente, ou seja, o volume ideal é menor (veja Figura 6). Para corrigir este efeito do
Física II – Profs Ricardo e Amauri
5
volume finito das moléculas, reconhecemos que o volume é o volume do gás menos o volume das
moléculas:
Videal = Vrec − nb (9)
onde b é a constante de proporcionalidade do volume das moléculas de um gás. Vrec representa o volume
do recipiente.
Fig. 6 – a) volume real. b) volume ideal
A equação dos gases ideais com as duas correções é a equação de Van der Waals (Vrec = V e
P = Preal):
⎛
n2
⎜⎜ P + a 2
V
⎝
⎞
⎟⎟(V − nb ) = nRT
⎠
(10)
Diferente de da constante universal dos gases, as constantes de Van der Waals têm valores
diferentes para diferentes gases:
Substancia
a (L2 atm/mol2)
b (L/mol)
He
0.0341
0.0237
H2
0.244
0.0266
O2
1.36
0.0318
H2O
5.46
0.0305
CCl4
20.4
0.1383
Veja no endereço eletrônico a seguir um applet para simular as curvas P x V para equação de Van
der Waals:
http://www.univ-lemans.fr/enseignements/physique/02/divers/vanderwalls.html
A pressão que um líquido fica em equilíbrio com seu próprio vapor é denominada de pressão de
vapor. A pressão de vapor depende da temperatura. A temperatura em que a pressão de vapor é igual a 1
atm é o ponto de ebulição da substancia. Por exemplo, a temperatura em que a pressão de vapor de água é 1
atm é 373K = 100°C, e esta temperatura é o ponto de ebulição da água. Consulte pressões de vapor de
algumas substancia no site: http://www.s-ohe.com/vp_data.html
Diagramas de fase
Física II – Profs Ricardo e Amauri
6
A Figura 7 é o gráfico da pressão contra a temperatura. Este gráfico é um diagrama de fase. A
curva entre os pontos triplo e crítico é a curva da pressão de vapor em função da temperatura. Acima do
ponto crítico não há distinção entre gás e líquido. O ponto triplo é o ponto onde coexistem em equilíbrio as
fases de vapor, líquida e sólida de uma substancia.
Pressão
Ponto Crítico
218 atm
LÍQUIDO
SÓLIDO
1 atm
Ponto Triplo
0,006 atm
VAPOR
100
0,0
374
Temp (°C)
0,01
Fig 7 – Diagrama de fase da água. (Figura fora de escala)
No endereço eletrônico a seguir você pode determinar o diagrama de fase para água através de uma
simulação:
http://lectureonline.cl.msu.edu/~mmp/labs/labphase/lab.htm
Transferência de energia térmica
A energia térmica pode ser trans ferida de um ponto para outro através de três processos:
condução, convecção e radiação.
Condução
A energia térmica é transferida pelas interações dos átomos ou moléculas vizinhos, embora não
haja transporte destes átomos ou moléculas. Por exemplo, quando a extremidade de uma barra é aquecida,
os átomos desta extremidade vibram com maior energia do que os da outra extremidade. A interação destes
átomos com os seus vizinhos é responsável pelo transporte de calor.
Física II – Profs Ricardo e Amauri
7
Seja ∆T a diferença de temperatura num pequeno segmento da de espessura ∆x (Figura 8). Se
∆Q for a quantidade de energia térmica que passa por condução no intervalo de tempo ∆t , a taxa de
∆Q ⎞ , é acorrente térmica. Experimentalmente, a corrente térmica é
condução da energia térmica ⎛⎜
∆t ⎟⎠
⎝
proporcional ao gradiente de temperatura (variação da temperatura da barra por unidade de comprimento) e
a área da seção reta:
I=
∆Q
∆T
= kA
∆t
∆x
(11)
onde a constante de proporcionalidade k é a condutividade térmica, que depende do material. A Figura 9
mostra as condutividades térmicas de alguns materiais.
Fig. 8 – a) Barra condutora com as duas extremidades em temperaturas diferentes. b) Segmento da barra
com espessura ∆x .
Podemos escrever a equação (11) da seguinte forma:
∆x
→ ∆T = IR (12)
kA
como a resistência térmica R do material.
∆T = I
onde definimos ∆x
kA
Física II – Profs Ricardo e Amauri
8
Fig. 9 – Condutividades térmicas de diversos materiais.
Resistências térmicas em série
Consideremos duas placas condutoras de calor, com a mesma área de seção reta, de matérias
diferentes e espessuras também diferentes. Seja T1 a temperatura da face de maior temperatura, T2 a
temperatura na face comum das duas chapas e T3 a temperatura na face de menor temperatura. Para
condição de fluxo térmico permanente, a corrente térmica I é mesma nas duas chapas. Sejam R1 e R2 as
resistências térmicas das chapas, assim, teremos:
⎧T1 − T2 = IR1
⎨
⎩T2 − T3 = IR2
Somando as duas equações obtemos:
∆T = T1 − T3 = I (R1 + R2 ) = IReq
sendo Req a resistência equivalente. Desta forma, se as resistências térmicas estiverem em série, a
resistência equivalente é igual à soma das resistências:
Req = R1 + R2 + ... + Rn
(13)
Resistências em Paralelo
A quantidade de calor que abandona uma sala pela condução, num certo intervalo de tempo, pode
ser estimada pelo cálculo do calor que escapa pelas paredes, janelas, piso e teto. Neste caso, as resistências
térmicas estão em paralelo. Em cada uma das possíveis vias de saída de calor, a diferença de temperatura é
Física II – Profs Ricardo e Amauri
9
a mesma, porém, as correntes térmicas são diferentes. A corrente total é soma de todas as correntes
individuais:
⎛ 1
∆T ∆T
∆T
1
1 ⎞ ∆T
⎟=
+
+ ... +
= ∆T ⎜⎜ +
+ ... +
R1
R2
Rn
Rn ⎟⎠ Req
⎝ R1 R2
1
1
1
1
⇒
=
+
+ ... +
(14)
Req R1 R2
Rn
I total = I 1 + I 2 + ... + I n =
Veja interessantes applets sobre condutividade nos seguintes endereços eletrônicos:
http://www.engr.colostate.edu/~allan/heat_trans/page4/conduction/cond.html
http://www.agr.kuleuven.ac.be/vakken/ooi98-22/SimpleHeatClasses/indexh.htm
http://www.jhu.edu/~virtlab/conduct/conduction.htm
Convecção
O calor é transferido pelo transporte direto de massa, ou seja, é o transporte de energia térmica pela
movimentação do próprio meio. A convecção é responsável pelas grandes correntes oceânicas e também
pela circulação geral da atmosfera. O caso mais simples é quando um fluido (gás ou líquido) é aquecido na
parte inferior. A parte do fluido com temperatura maior se expande e eleva-se. O fluido de temperatura
menor desce para parte inferior. A descrição matemática da convecção é bastante complexa, pois o fluxo
depende da diferença de temperatura entre as diversas partes, e esta diferença é influenciada pelo
movimento do fluido.
Circulação geral da atmosfera
A Figura 9 mostra a circulação geral da atmosfera, os principais processos que fazem parte desta
circulação são: aquecimento da região equatorial, formação de células convectivas, a variação da
velocidade angular da Terra que define as direções dos ventos, a formação de centros de alta e baixa
pressão e produção de ventos.
Radiação
A radiação é transmissão de energia através de ondas eletromagnéticas que se movem com a
velocidade da luz. A radiação térmica, as ondas de luz, as ondas de rádio, os raios x, são todos formas de
radiação eletromagnética que se diferenciam pelos respectivos comprimentos de onda e freqüências no
espectro eletromagnético. Veja nos sites a seguir como ocorre a emissão eletromagnética em um átomo de
hidrogênio:
http://www.colorado.edu/physics/2000/quantumzone/lines2.html
http://physics.uwstout.edu/physapplets/javapm/java/atomphoton/index.html
Todos os corpos emitem e absorvem radiação eletromagnética. Quando um corpo está em
equilíbrio térmico com as suas vizinhanças, emite e absorve taxas iguais de energia. A Figura 10 mostra o
espectro eletromagnético.
Física II – Profs Ricardo e Amauri
10
Fig. 9 – Circulação geral da atmosfera
Lei de Stefan-Boltzmann
A taxa em que um corpo irradia energia é proporcional à área do corpo e à quarta potência da sua
temperatura absoluta:
Pr = eσAT 4 (15)
onde Pr é a potência irradiada, em watts, A é área superficial do corpo, σ é a constante universal de
Boltzmann (σ = 5,66703x10 −8 W / m 2 K ) e e é a emissividade, parâmetro que depende da superfície do
corpo e tem um valor entre 0 e 1.
Taxa de absorção de energia radiante
Pa = eσAT04
(16)
onde T0 é a temperatura ambiente e A é a área do corpo que está absorvendo energia.
Física II – Profs Ricardo e Amauri
11
Fig. 10 – Espectro eletromagnético
Potência líquida irradiada
A potência líquida irradiada por um corpo, na temperatura T , imerso num ambiente na temperatura
To será:
(
Pliq = eσA T 4 − T04
)
(17)
Quando o corpo estiver em equilíbrio térmico com o ambiente (T = T0 ) , o corpo emite e absorve
radiação na mesma taxa.
Modelo de corpo negro
Denominamos de corpo negro um corpo que absorve toda a radiação incidente sobre ele, ou seja,
tem emissividade igual a 1. Um corpo negro também é um radiador ideal. Este conceito é importante em
virtude das características da radiação emitida pelo radiador, que podem ser determinadas teoricamente. A
Figura 11 mostra a intensidade da radiação de um corpo negro em função do comprimento de onda para
três temperaturas diferentes.
Física II – Profs Ricardo e Amauri
12
Fig. 11 – Intensidade em função do comprimento de onda na radiação de um corpo negro. O comprimento
de onda máximo varia inversamente com a temperatura absoluta do corpo negro.
Lei de Wien
O comprimento de onda em que a potência (intensidade) é máxima varia inversamente com a
temperatura.
λ max =
2,898mmK
T
(17)
A seguir apresentamos uma relação de endereços eletrônicos, nos quais apresenta simulações
interessantes sobre radiação do copo negro e a lei de Wien.
http://www.mhhe.com/physsci/astronomy/applets/Blackbody/frame.html
http://csep10.phys.utk.edu/guidry/java/wien/wien.html
http://webphysics.davidson.edu/alumni/MiLee/java/bb_mjl.htm
O espectro solar
A radiação solar total é quantitativamente definida como a quantidade de energia radiante em todos
os comprimentos de onda recebidos por unidade de tempo e área no topo da atmosfera da terra, corrigida
pela distância média do sol à Terra, e é expressa em watts por metro quadrado. O termo constante solar é
também usado par denotar esta radiação. Mais de 70% da radiação solar (Figura 2) está concentrada no
ultravioleta próximo, no visível e no infravermelho próximo. Desde que esta radiação atinge a superfície
terrestre, uma grande fração desta energia entra na baixa atmosfera através da evaporação-precipitação do
ciclo da água. Em torno de 2% da radiação solar aparece com ultravioleta e raios-x com comprimentos de
onda menores do que 0,32 µm. Esta radiação é toda absorvida na alta atmosfera onde joga um papel
importante na reações fotoquímica e na produção de ozônio. O restante aprece no infravermelho e em
ondas de rádio maiores do 1 µm.
Física II – Profs Ricardo e Amauri
13
Fig. Esboço do espectro solar
Nos endereços a seguir é possível obter dados sobre o movimento do sol em relação à Terra e
dados sobre a variabilidade do espectro solar e sua absorção pela atmosfera:
http://www.jgiesen.de/sunshine/index.htm
http://lectureonline.cl.msu.edu/~mmp/applist/seasons/cd190b.htm
http://science.nasa.gov/headlines/images/sunbathing/sunspectrum.htm
Exercícios
1. Uma ponte de aço tem 1000 m de comprimento. De quanto ela se expande quando a temperatura
passa de 0 para 30°?
2. Calcular a resistência térmica de uma barra de alumínio com área de seção reta de 15 cm2.
3. Que espessura de um elemento de prata proporcionaria a mesma resistência térmica que uma
camada de ar com 1 cm de espessura, sendo iguais as áreas?
4. Duas barras metálicas, cada qual com 5 cm de comprimento e seção retangular de 2 cm por 3 cm,
estão montadas (em série) entre duas paredes, uma mantida a 100° e a outra 0°. Uma barra é de
chumbo e a outra de prata. Calcular a) a corrente térmica através das barras e b) a temperatura na
superfície de contato das duas.
5. Se as duas barras da questão anterior são montadas em paralelo. Calcular a) a corrente térmica em
cada barra, b) a corrente térmica total e c) a resistência térmica equivalente desta montagem.
6. a) A temperatura superficial do Sol é cerca de 6000 K. Se admitirmos que o Sol irradia como um
corpo negro, em que comprimento de onda λ max se localizará o máximo da distribuição espectral?
b) calcular λ max para um corpo negro na temperatura ambiente T = 300 K .
7. Calcular a perda líquida de energia de uma pessoa nua numa sala a 20° (293 K), admitindo que
irradie como um corpo negro de área superficial de 1,4 m2, na temperatura de 33° C (306 K). A
temperatura superficial d corpo é ligeiramente mais baixa que a temperatura interna de 37°, em
virtude da resistência térmica da pele.