Funções - Segunda Lista de Exercı́cios
Módulo 1 - Exponenciais e Potências
1. Nos itens a seguir escreva a expressão dada na forma p/q, onde p e q são
números inteiros. Por exemplo:
1
1
1
4 2 + 4− 2 = 4 2 +
3−2
a) −3
2
20
e) −2
3
i) 3−2 + 3
m)
8
− 23
1
2
= 2+
4
µ ¶−1
3
c)
5
1
b) −1
2
5−1
f) −2
3
j) 5−1 + 250
1 5
=
2 2
µ ¶−2
1
d) −
3
1
1
g) (−8)− 3
1
h) 16− 4
1
k) 16− 2 − 16− 4
µ ¶−1 µ ¶−1
1
1
o)
−
5
7
1
16 2
1
n) 4−1 + 3−1
1
l) 8− 3 − 20
2. Assuma que todas as variáveis representam número reais positivos somente.
Escreva cada uma das seguintes expressões como um produto ou quociente
de potências onde cada variável apareça uma única vez, e todos os expoentes
são positivos. Veja o exemplo:
µ
a) x −3 x 5
1
e) (x 2 )−3
i) (x
m)
−2 3 0
y )
a −2 b −2 c
ab −3 c 0
x −1 y 2 z 0
x 3 y −4 z 2
¶−1
=
x 3 y −4 z 2 x 4 z 2
= 6
x −1 y 2 z 0
y
f) (x 3 )− 3
x5
x −2
1
g) (x 2 y −2 )− 2
x −1
j) −1
y
µ −2 3 ¶−2
x y
n)
2x 0 y −5
x −2
k) −3
y
µ −1 −2 ¶−1
a b
o)
30 ab
b) (x 2 y −3 )−1
c)
1
1
d) (x −3 )2
1
h) (x 3 y −2 )− 6
a 2 x −3
l) 2 −2
b y
3. Nos itens a seguir, escreva a expressão dada como uma fração simples, envolvendo somente expoentes positivos. Assuma que todas as variáveis representam números reais positivos somente.
a) x
−1
+y
−1
b) x
e) (x −1 + x −2 )−1
i)
r
s
+
−1
m) x
q)
−1
−1
−y
f) x −1 +
r −1
s
−1
1
x −1
j) (x + y)−1
y −xy
x −1 + y −1
n)
(x y)−1
−1
x −1 + y −1
x −1 − y −1
r)
x + (x y)−1
c)
x
d) x −1 + y −2
g) a −2 + b −2
h)
k) (a − b)−2
³ a ´−1
a
o) −1 +
b
b
l) x y −1 + x −1 y
x −1 y
+
y1
x
p) (x −1 − y −1 )−1
x −1 − y −1
x −1 + y −1
1
1
1
4. Nos problemas a seguir calcule o fator A. Por exemplo, se y − 2 + y 2 = Ay − 2
encontramos A = 1 + y. Confira:
1
1
1
1
Ay − 2 = (1 + y)y − 2 = y − 2 + y 2 .
3
3
1
a) y 4 = Ay 4
1
2
1
2
1
e) x 3 + x = Ax
g) x − x 3 = Ax 3
3
1
c) x − 3 = Ay − 3
2
1
d) y − 4 = Ay
2
1
b) x 5 = Ax 5
f) y 2 + y = Ay
1
h) a 3 + a 3 = Aa
1
3
3
i) x 3 + x 2 = Ax 2
1
j) x − 2 + x − 2 = Ax − 2
5. Nos itens a seguir, encontre uma fórmula que se ajuste às funções representadas pelos dados:
a)
x
f (x)
0
4,30
1
6,02
2
8,43
3
11,80
b)
t
g (t )
0
5,50
1
4,40
2
3,52
6. Encontre as funções exponenciais que possuem o seguinte gráfico:
2
3
2,82
7. A meia-vida do rádio-226 é de 1620 anos.
(a) Obtenha uma fórmula para a quantidade Q de rádio que resta após t
anos, dado que a quantidade inicial é Q 0 .
(b) Que percentual da substância resta após 500 anos?
8. Nos Jogos olímpicos de 1968, nos arredores da Cidade do México, houve muita
discussão a respeito do efeito da grande altitude (2237 metros) poderia causar aos atletas. Presumindo-se que a pressão atmosférica decaia exponencialmente em 0,4% a cada 30 metros, de que percentual fica reduzida a pressão
atmosférica ao se deslocar do mar até a Cidade do México?
9. Uma certa substância radioativa decai exponencialmente de tal modo que,
após 10 anos, ainda restam 70% da quantidade inicial. Obtenha uma expressão para a quantidade que ainda resta após um número t qualquer de anos.
Que quantidade ainda restará após 50 anos? Qual a meia-vida? Quanto tempo
é preciso para que reste somente 20% da quantidade inicial? E para que reste
somente 10% ? (Use tentativa e erro onde for necessário.)
10. Escreva cada uma das expressões, a seguir, racionalizando o denominador e
simplificando onde seja possível. Por exemplo:
p
p
p
p
p
p
x+ y
x+ y
x+ y
1
1
,
p
p =p
p ·p
p = p
p p
p =
x−y
x− y
x− y
x + y ( x − y)( x + y)
onde assumimos que x 6= y.
3
a) p
2−1
p
p
x+ y
d) p
p
x− y
p
x
g) x + 1 − p
x +1
p
x
x2 + 1
i) p
−
x
x2 + 1
−4
p
1+ 3
p
x
e) p
p
x− y
p
x2 + 1
h) x 2 − 2 − p
x2 − 2
p
x
x2 − 1
j) p
+
x
x2 − 1
b)
3
1
p
2− 2
p
x +a
f)
p
1− x +a
c)
11. Esboce os gráficos de y = x 1/2 e y = x 2/3 no mesmo sistema de eixos. Qual
função tem valores maiores, quando x → ∞?
12. O que acontece com o valor de y = x 4 quando x → ∞? E quando x → −1?
13. Faça alguns cálculos usando valores particulares de x, para verificar que y =
x 1/3 fica acima de y = x 1/2 e que y = x 1/2 fica acima de y = x para 0 < x < 1.
14. Através de tentativa e erro, use uma calculadora para encontrar, com uma
precisão de duas casas decimais, o ponto próximo a x = 10 onde y = 2x e
y = x 3 se cruzam.
15. Use uma calculadora (ou um software) que faça gráficos, para encontrar o(s)
ponto(s) de intersecção dos gráficos de y = (1, 06)x e y = 1 + x.
16. Para que valores de x temos 4x > x 4 ?
17. Determine os valores inteiros de x e y que satisfazem a equação 2x+1 + 2x =
3 y+2 − 3 y .
18. Resolva o seguinte sistema


 2x−2y


3x y
1
8 .
= 9
=
19. Resolva as equações:
a) (0, 533 . . .)x =
x
225
64
x
b)
d) (0, 4) + (0, 6) = 2 · (0, 9)
g) 2x +
4
=5
2x
x
p
5
x
32 = 2
25x + 125
e)
= 5x+1
6
1−x
625
·5 p
h) µ ¶x = 5 · 25
1
5
c) 27 = 35x · 9x
2
8x
f) 42 = 256
i)
(113x+1 )2
= 1110x
114
20. Devido às sementes aperfeiçoadas e às novas técnicas agrícolas, a produção
de grãos de uma certa região vem aumentando. Ao longo de um período de
20 anos, a produção anual (em milhões de toneladas) foi a seguinte:
1970 1975 1980 1985 1990
5, 35 5, 90 6, 49 7, 05 7, 64
4
No mesmo período, a população (em milhões de habitantes) foi de:
1970 1975 1980 1985 1990
53, 2 56, 9 60, 9 65, 2 69, 7
(a) Encontre uma função linear ou exponencial que se ajuste, de modo aproximado, a cada conjunto de dados. (Escolha o tipo de função que melhor
se ajustar).
(b) Se esta região foi auto-sustentável para este tipo de grão em 1970, ela
foi auto-sustentável entre 1970 e 1990? (Ser auto-sustentável significa
que cada pessoa tem uma quantidade suficiente de grãos. Como fica a
quantidade de grãos por pessoa nos anos seguintes?)
Módulo 2 - Logaritmos e o número e
21. Resolva as seguintes equações. Uma calculadora e o uso de logaritmos pode
ser necessário.
a) 4x = 7
b) 5x+1 = 9
c) 62x+3 = 354
d) x 5 = 873
e) x 4 = 687
f ) x 7/2 = 51, 4
g) 2 = (1, 02)t
h) 7 · 3t = 5 · 2t
i) 5, 02(1, 04)t = 12, 01(1, 03)t
22. Resolva para x:
a) 3x = 6x+3
b) 7x = 22x−1
c) 2x−1 = 52x+1
d) 8x+2 = 33x−1
e) y = 23x
f) 10y = 10x
23. Simplifique o máximo possível as expressões
b) log(10x+7 )
a) log A 2 + log B − log A − log B 2
c) 10log A
2
d) 102 logQ
e) 10− log P
f) 10−(log B )/2
log A 2 − log A
g)
1
log B − log B
2
h) 2 log α − 3 log B −
24. Resolva para x: (aqui log x = log10 x)
log α
2
a) log(3x − 1) − log(x + 2) = 2
p
p
b) log(x − 6) + log(x + 6) = 1
c) log(x 2 − 1) − log(x + 1) = 1
d) log(x 2 − 4) − 2 log(x − 2) = 2
5
25. Encontre a equação da reta l , da figura a seguir
26. O período de duplicação é o tempo necessário para que uma grandeza que
cresce exponencialmente dobrar seu valor. Calcule o período de duplicação
de preços que estão subindo a uma taxa de 5% ao ano.
27. A população de uma certa região cresce exponencialmente. Se em 1990 (t = 0)
havia 40 000 pessoas em uma cidade em 2000 esse número subiu para 46 000
pessoas, encontre uma fórmula para a população em qualquer instante t .
Qual será a população em 2020? E o período de duplicação?
28.
(a) Encontre o período de duplicação D, para as seguintes taxas de crescimento anual: i %, 2%, 3%, 4% e 5%.
(b) Como d diminui à medida que i aumenta, poderíamos supor que D é
inversamente proporcional à i , isto é, que D = k/i . Use suas respostas
ao item anterior para confirmar que D = 70/i , aproximadamente. Esta é
a “Regra dos 70” usada pelos banqueiros. Para calcular, de forma aproximada, o período de duplicação de um investimento, o banqueiro divide
70 pela taxa de rendimento anual.
29. A meia-vida de uma substância radioativa é de 12 dias. Se inicialmente existe
uma quantidade de 10,32 gramas:
(a) Obtenha uma equação que dê a quantidade Q, da substância, em função
do tempo.
(b) Em quanto tempo a substância ficará reduzida a 1 grama?
6
30. Dado um número a > 0 definimos o logaritmo de base a, loga x, como a função
inversa de a x , isto é,
loga x = c
a c = x.
significa
Dados então a, b > 0 mostre que vale a seguinte relação
loga x =
logb x
logb a
.
31. Nos itens a seguir, encontre o valor da expressão dada:
a) log3 81
µ ¶
1
d) log2
32
b) log4 16
µ ¶
1
e) log3
µ27 ¶
1
h) log7
49
g) log2 1
j) log 1 8
c) log2 16
µ ¶
1
f) log4
64
i) log13 13
µ ¶
1
l) log 1
4 64
k) log 1 216
2
6
32. Se logb a = loga b, que tipo de relação existe entre a e b?
33. Com ajuda de uma calculadora da relação loga x =
logb x
, construa uma talogb a
bela de logaritmos para os primeiros dez inteiros, nas seguintes bases:
a) 2
b) 3
c) 5
34. Sabendo que a > 0, simplifique as expressões dadas:
a) loga a −x
b) a − loga x
d) loga (xa 2x )
e) a − loga x
g) loga (a loga a )
h) a 2 loga 3
j) loga (a x
2
−2x
)
k) a loga (a
x
c) a x+loga x
2
f ) a loga a
i) loga (x 2 a x )
l) a 2 loga x
)
35. Determine x em cada item:
a) log5 x = 3
b) log6 x = 3
d) log10 x =
1
2
x
e) log10 x = 1
7
c) log2 x = 10
f ) log16 x =
1
4
36. Determine a em cada item:
a) loga 216 = 3
d) loga
b) loga 625 = 4
1
= −2
49
e) loga 2 =
c) loga
1
4
p
a=
1
2
f) loga 125 = 3
37. Determine y em cada item:
a) 2log2 y = 13
b) 6log6 y = 21
c) 4log4 y = 9
d) y log4 6 = 6
e) y log7 14 = 14
f) y log3 2 = 2
38. Determine x em cada item:
a) 5log5 7 = x
b) 3logx 5 = 5
c) 10logx 7 = 7
d) k logk 4 = x
e) 7logx k = k
f ) 8log8 x = y
39. Efetue as expressões indicadas, simplificando-as o máximo possível.
a) ln e + ln(1/e)
b) ln e 2 + e − ln e
c) ln(e ln e) + ln(ln e)
d) e − ln
p
e
40. Simplifique completamente as expressões:
a) 2 ln A − 3 ln B + ln(AB )
b) e 2 ln A−(ln B )/2
c) ln(xe − ln x )
d) ln(e 2 ln(e ln e))
41. Resolva as equações em x:
a) 2x = e x+1
b) 2e 3x = 4e 5x
c) 4e 2x−3 − 5 = e
d) 10x+3 = 5e 7−x
42. Nos itens a seguir, converta a função dada para a forma P = P o a kt .
a) P = P 0 e 0,2t e a = 2
b) P = P 0 e 0,917t e a = 3
c) P = P 0 e −2,5t e a = 1, 7
d) P = P 0 e −πt e a = e 2
43. Converta as funções para a forma P o e kt , determinando quais representam
crescimento e quais decaimento exponencial.
a) P = P 0 2t
b) P = 10(1, 7)t
c) P = 5, 23(0, 2)t
8
P = 174(0, 9)t
44. Resolva as seguintes equações para t
a) a = be t
b) P = P 0 e kt
c) ae kt = e bt com k 6= b
d) ce αt = be γt /n , onde αn 6= γ
45. Encontre a função inversa de f (x) = 50e 0,1x .
46. Seja f (x) =
1
.
1 + e −x
(a) A função f é crescente ou decrescente? Por quê?
(b) Verifique se f é inversível e, caso seja, calcule sua inversa.
(c) Qual o domínio de f −1 ?
(d) Esboce os gráficos de f e de f −1 em um mesmo sistema cartesiano, e
explique explique a relação entre os gráficos.
47.
(a) Uma população cresce de acordo com a equação P (t ) = P 0 e kt (com P 0 e
k constantes). Encontre o valor da população em função do tempo t , se
ela cresce a uma taxa contínua de 2% ao ano e inicia em 1 milhão.
(b) Desenhe um gráfico da população que você encontrou no item anterior
versus tempo.
48. O ar em uma fábrica está sendo filtrado de modo que a quantidade P de
poluente (medido em mg/litro) está diminuindo de acordo com a equação
P = P 0 e kt , onde t representa o tempo em horas. Se 10% do poluente são removidos nas primeiras cinco horas:
(a) Que porcentagem do poluente ainda permanecem após 10 horas?
(b) Quanto tempo levará até que o poluente seja reduzido a 50% ?
(c) Desenhe um gráfico da poluição versus tempo. Mostre os resultados de
seus cálculos no gráfico.
(d) Explique por que a quantidade de poluente pode diminuir dessa forma.
49. Uma das componentes principais de uma contaminação nuclear, como a de
Chernobyl, é o estrôncio-90, que decai exponencialmente a uma taxa contínua de aproximadamente 2,47% ao ano. Estimativas preliminares, após o desastre de Chernobyl, sugeriram que levaria uns 100 anos até que a região fosse
novamente segura para a habitação humana. Que percentual do estrôncio-90
original ainda permaneceria após esse tempo?
9
50. Um quadro de Vermeer (1632-1675) ainda contém 99,5% de seu carbono-14
(meia-vida de 5730 anos). A partir dessa informação, você pode determinar
se o quadro é ou não falsificado? Explique sua resposta.
51. A matéria de jornal a seguir é do The New York Times, de 27 de maio de 1990.
Preencha os três espaços em branco. (Para o último espaço, suponha que os
juros foram capitalizados anualmente, e dê sua resposta em dólares. Despreze a ocorrência de anos bissextos.)
Módulo 3 - Composição de Funções e Mudanças de Escala
52.
(a) Escreva uma equação para o gráfico obtido, através de uma expansão
vertical de fator 2, do gráfico de y = x 2 , seguido de uma translação vertical de 1 unidade para cima. Esboce o gráfico.
(b) Qual é a equação, se a ordem das transformações (expandir e transladar), na parte (a), for trocada?
(c) Os dois gráficos são iguais? Explique o efeito de trocar a ordem das transformações.
53. Qual é a diferença (se é que existe) entre ln(ln(x)), ln2 (x) e (ln(x))2 ?
10
54. A função degrau de Heaveside, H , é dada pelo gráfico a seguir:
Com base nela, esboce o gráfico das seguintes funções:
b) H (x) + 1
a) 2H (x)
55. Sejam S(x) =
p
c) H (x + 1)
e) H (−x)
d) −H (x)
x e H (x) = x + 1. Mostre que:
a) (S(H (x)))2 = H (x)
b) (H (S(x)))2 = H (x) + 2S(x)
56. Se f (x) = log2 x e g (x) = 2x , obtenha o valor e simplifique as expressões:
a) f (1)
b) f (2)
c) f (x) − f (x − 1)
d) f (x) + f (2)
e) f (g (x))
f) f ( f (g (x)))
g) g ( f (x))
h) f (x) + f (1 + x)
i) g (g ( f (x)))
57. Se f (x) = ln x e g (x) = e x , obtenha o valor e simplifique as expressões:
a) f (1)
b) f (e 2 )
c) g ( f (x))
p
d) f (3) + f ( x)
e) f (x 2 − 1) − f (x 2 + 1)
f ) f ( f (g (x)))
g) f (x) + f (10 + x)
h) f (g (x))
i) g (g ( f (x)))
58. Considere as funções f e g dadas pelos gráficos a seguir:
Com base nelas:
a) Encontre f (g (1)), g ( f (2)) e f ( f (1)).
b) Esboce os gráficos de f (g (x)), g ( f (x)) e f ( f (x)).
11
59. Considere as funções:
e x − e −x
2
x
e + e −x
cosh x =
2
Com base nelas, calcule:
senh x =
seno hiperbólico de x
cosseno hiperbólico de x
a) cosh(0) e cosh(1)
b) senh(0) e senh(1)
c) cosh(ln x) e senh(ln x)
d)
e) senh(−x) e cosh(x)
f ) senh2 x + cosh2 x
senh x
cosh x
60. Considere o gráfico das funções dadas a seguir:
Com base neles, esboce o gráfico das seguintes funções:
a) y = 2 f (x)
b) y = f (x + 1)
c) y = f (x) + 1
d) y = 2g (x)
e) y = g (x + 1)
f ) y = g (x) + 1
61. Considere o gráfico da função y = f (x) dado a seguir:
Com base nele, esboce o gráfico das seguintes funções:
1
a) y = 2 f (x)
b) y = 2 − f (x)
c) y =
f (x)
12
Módulo 4 - Trigonometria e Funções Trigonométricas
62. Converta de graus para radianos:
(a) 30◦
(b) 10◦
(c) 45◦
(d) 135◦
(e) 170◦
(f ) 270◦
(g) 15◦
(h) 700◦
(i) 1080◦
(j) 36◦
63. Converta de radianos para graus:
(a)
5π
3
(b)
π
2
(c) 3π
(d)
π
36
(e) 10π
(f )
3π
2
64. Um caçador está sentado numa plataforma construída numa árvore a 30 metros do chão. Ele vê um tigre sob um ângulo de 30◦ abaixo da horizontal. A
que distância está o tigre?
65. Considere um triângulo com lados a, b e c, onde os ângulos opostos a estes
b Bb e Cb, respectivamente. Prove a lei dos senos onde:
lados são A,
sen Ab sen Bb sen Cb
=
=
.
a
b
c
(Dica: Calcule a área deste triângulo considerando cada um dos lados como a
base. Estas serão todas iguais.)
66. Considere um triângulo ABC , com lados a, b e c e ângulo θ como mostra a
figura.
Com base nele, prove a lei dos cossenos:
a 2 = b 2 + c 2 − 2bc cos θ,
(Dica: use o Teorema de Pitágoras.)
67. Deduza fórmulas em termos de sen θ e cos θ para:
(a) sen 3θ
(b) cos 3θ
(c) cos 4θ
13
(d) sen 4θ
68. Prove as seguintes identidades trigonométricas
(a) 1 + tg2 t = sec2 t
(b) 1 + cotg2 t = cossec2 t
(c) sen(a ± b) = sen a cos b ± sen b cos a
(d) cos(a ± b) = cos a cos b ∓ sen a sen b
(e) tg(a + b) =
tg a + tg b
1 − tg a tg b
(f ) cos 2θ = cos2 θ − sen2 θ = 2 cos2 θ − 1 = 1 − 2 sen2 θ
(g) sen2 θ =
1 − cos 2θ
2
(h) cos2 θ =
1 + cos 2θ
2
69. Utilize o que foi verificado no exercício anterior para mostrar que:
(a) sen θ sen φ = 21 [cos(θ − φ) − cos(θ + φ)]
(b) cos θ cos φ = 12 [cos(θ − φ) + cos(θ + φ)]
(c) sen θ cos φ = 12 [sen (θ + φ) + sen (θ − φ)]
µ
¶
µ
¶
θ+φ
θ−φ
(d) sen θ + sen φ = 2 sen
cos
2
2
µ
¶
µ
¶
θ+φ
θ−φ
(e) sen θ − sen φ = 2 cos
sen
2
2
¶
µ
¶
µ
θ−φ
θ+φ
cos
(f) cos θ + cos φ = 2 cos
2
2
µ
¶
µ
¶
θ+φ
θ−φ
(g) cos θ − cos φ = −2 sen
sen
2
2
70. Resolva:
(a) 2 cos2 x + 3 = 5 cos x
(b) cos 7x = cos 3x
(c) sen 2x + cos x = 0
(d) sen 3x − 2 sen 2x + sen x = 0
(d) sen x + cos x = 0
(e) 2 sen2 x − sen x − 1 = 0
71. Faça o estudo completo das funções cossecante e cotangente, definidas respectivamente por:
cos t
1
(a) f : t 7→ cossec t =
(b) f : t 7→ cotg t =
.
sen t
sen t
14
72. Sem utilizar calculadora, complete a seguinte tabela, marcando 6 ∃ quando a
função não estiver definida.
θ
0
π
6
π
4
π
3
π
2
2π
3
3π
4
π
5π
4
3π
2
10π
6
sen θ
cos θ
tan θ
sec θ
cotg θ
cossec θ
73. Qual é a diferença entre sen x 2 , sen2 x e sen(sen x)? Expresse cada uma das
três funções em forma de composição.
74. Utilizando uma calculadora, calcule o valor da função para valores de θ dados
em radianos.
(a) sen θ, onde θ = 0; 1; 1,5; -2,6; π; − π2 ; e 5000.
(b) cos θ, onde θ = 0; 1; 2,5; 3; 5280; -782; π, − π2 ; e
(c) tg θ, onde θ = 0; 1; 1,5; π; π4 ; e 1000.
3π
2 .
(d) cotg θ, onde θ = 1; 1,5; π2 ;
(e)
(f)
2π π
; ; e 700.
3 4
sec θ, onde θ = 0; 1; 1,5; π; π4 ; e 1000.
π
cossec θ, onde θ = 1; 1,5; π2 ; 2π
3 ; 4 ; e 700.
75. Expresse as seguintes funções em termos de funções seno e/ou cosseno somente
(a) tg θ
(b) cos2 θ2
(c) sen2 θ2
(d) cossec2 θ2
(e) cotg2 θ2
76. Se os ângulos de um triângulo medem x, x + 1 e x + 2 (em radianos), encontre
x.
77. Um satélite foi lançado em uma órbita circular ao redor da Terra. Se sua distância do centro da Terra é de aproximadamente 10 000 km, que distância ele
percorre quando varre um ângulo de π4 , com respeito ao centro da Terra?
15
78. A seguir temos o triângulo ABC , onde AB = BC = C A = 2 e AM = MC .
Com base nele encontre:
(a) O comprimento B M
(c) sen θ, cos θ, sen β, cos β, tg θ e tg β.
(b) θ e β em radianos.
79. Dado um triângulo ABC , se Cb = π/2 e Ab = Bb, encontre Ab em radianos e calcule
b sen Ab e tg A.
b (Dica: Aqui Ab representa o ângulo no vértice A, Bb o ângulo
cos A,
b
no vértice B , e C representa o ângulo no vértice C . Faça um desenho.)
80. Calcule os seguintes valores das funções em cada ângulo. (Dica: Use identidades trigonométricas.)
(a) sen( π3 + π4 )
(b) cos( π3 + π4 )
(d) sen(3π) + cos(3π)
π
)
(e) sen( 12
(c) cos( π2 + π)
81. Em t = 0 dois carros se encontram na intersecção de duas estradas retas, com
velocidades v 1 e v 2 . As duas estradas se cruzam formando um ângulo θ.
(a) Qual é a distância entre os carros t horas depois deles passarem pelo
cruzamento?
(b) Calcule a distância entre os carros 1 hora após passarem pelo cruzamento se:
(a) v 1 = v 2 e θ = π3
(b) v 1 = v 2 e θ = π4
(c) v 1 = v 2 e θ = 0
(d) v 1 = 2v 2 e θ = π3
82. Dadas as funções f e g a seguir, obtenha f ◦ g e g ◦ f e seus respectivos domínios de definição:
p
(a) f (x) = 9 − 9x 2 e g (x) = cotg x.
p
(b) f (x) = cos x e g (x) = 1 − 4x 2
16
83. Encontre funções f e g de modo que a função h possa ser escrita como h =
f ◦ g . Nem f nem g devem ser a função identidade.
(a) h(x) = sen 2x
(b) h(x) = sen x 2
(c) h(x) = sen2 x
(d) h(x) = sen(cos x)
(e) h(x) = sen2 3x
(f) h(x) = | sen x|
(g) h(x) = cos |x|
p
(i) h(x) = sen x
(h) h(x) = tan(x 2 + 1)
(k) h(x) = 3 sen2 x + sen x + 1
(l) h(x) = sen(cos2 x)
(j) h(x) = 2cossec x
84. Dizer como as funções f (x) = x 2 , g (x) = 4x e h(x) = tg x devem ser compostas
2
para que se obtenha a função h(x) = 4tg x .
85. Escavações arqueológicas encontraram um antigo aparelho que, ao que tudo
indica, era utilizado para tocar LP’s. As marcações de velocidade do aparelho
eram 33 21 , 45 e 78 rotações por minuto. Em cada caso, qual é o período do
movimento?
86. Calcular o período das funções
(a) tg 4x
(b) sen(x 2 )
(d) cos( 32 x 2 )
p
(e) cossec( π7 x)
(c) tg( π4 x).
(f ) cotg(7B x) (onde B > 0).
87. Esboce o gráfico das seguintes funções, identificando cuidadosamente as amplitudes e períodos. Não use calculadora gráfica ou computador.
(a) y = 3 sen x
(b) y = 3 sen 2x
(c) y = −3 sen 2θ.
(d) y = 4 cos 2x
(e) y = 4 cos( 14 t )
(f) y = 5 − sen 2t
88. Relacione as funções abaixo com os gráficos da figura, explicando os por quês.
(a) y = 2 cos(t − π2 )
(b) y = 2 cos t
17
(c) y = 2 cos(t + π2 ).
89. Nos itens a seguir, encontre uma possível fórmula para cada gráfico
90. A profundidade de um tanque oscila, conforme uma senóide, uma vez a cada
6 horas, em torno de uma profundidade média de 7 metros. Se a profundidade mínima é de 5,5 metros e a máxima é de 8,5 metros, encontre uma
fórmula para a profundidade em função do tempo, medido em horas.
91. Uma população de animais varia de forma senoidal entre um mínimo de 700
em 1o de janeiro e um máximo de 900, em 1o de julho.
(a) Esboce o gráfico da população versus tempo.
(b) Encontre uma fórmula para a população em função do tempo t , medido
em meses desde o início do ano.
92. A voltagem V , de um ponto de luz residencial é dada em função do tempo t
(em segundos), por V = V0 cos(120πt ).
(a) Qual é o período da oscilação?
(b) O que V0 representa?
(c) Esboce o gráfico de V versus t , identificando os eixos.
18
93. É dado que duas funções trigonométricas têm período π e que seus gráficos
cortam-se em x = 3, 64, mas não é dado nada mais.
(a) Você sabe dizer se os gráficos dessas funções se cortam em algum outro
valor de x, positivo e menor? Se for o caso, qual é esse valor?
(b) Encontre um valor de x, maior que 3,64, para o qual os gráficos se cortam.
(c) Encontre um valor negativo de x para o qual os gráficos se cortam.
94.
(a) Usando uma calculadora gráfica, ou um computador, encontre o período de 2 sen 3t + 3 cos t .
(b) Qual é o período de sen 3t ? E de cos t ?
(c) Use a resposta da parte (b) para justificar sua resposta da parte (a).
95.
(a) Usando uma calculadora gráfica, ou um computador, encontre o período de 2 sen 4x + 3 cos 2x.
(b) Dê a resposta exata ao item anterior (como um múltiplo de π).
(c) Determine o período de sen 4x e de cos 2x e use esses valores para explicar sua resposta na parte (a).
96. Se m e n são dois números naturais, obtenha o período da função cos(mx) +
sen(nx).
97. Defina e trace o gráfico das inversas das seguintes restrições principais de funções trigonométricas (não dê resultados aproximados):
(a) cos : [0, π] → [−1, 1]
(b) cotg :]0, π[→ R
(c) sec : [0, π2 [∪] π2 , π] → [1, +∞[∪] − ∞, −1]
(d) cossec : [− π2 , 0[∪]0, π2 ] →] − ∞, 1]∪]1, ∞[
98. Calcule:
(a) arcsen 12
(b) arccos 12
(c) arctg 1
p
(d) arctg 3
(e) arcsen p1
(f) arccos
(g) arctg 0
(h) arcsen 1
(i) arcsen 0
(j) arccos 1
(k) arccos 0
(l) arccotg(−1)
(m) arctg(−1)
p
(n) arccotg 3
(o) arcsen(− 12 )
(p) arccos p1
2
p
3
2
19
2
99. Prove que sen : [− π2 , π2 ] → R é estritamente crescente.
100. Prove que tg x é estritamente crescente em ] − π2 , π2 [.
101. Para simplificar a expressão cos(arcsen x), começamos colocando θ = arcsen x,
com as restrições
−
π
π
6θ6
2
2
− 1 6 x 6 1.
e
Como sen θ = x, pela definição de arcsen, podemos construir um triângulo
retângulo e calcular o terceiro lado pelo Teorema de Pitágoras:
Observe que cos(arcsen x) é cos θ. Desta forma, o desenho nos mostra que:
cos(arcsen x) =
p
1 − x2
Usando uma idéia semelhante a essa, simplifique e calcule:
(a) cos(arcsen x)
(b) sen(arccos x)
(c) cos(arctg x)
(d) cos(arcsec x)
(e) tg(arccos x)
(f ) sen(arccos 1)
(g) cos(arcsen 21 )
(h) tg(arccos 0)
20