UEM/CTC – Departamento de Informática
Curso: Ciência da Computação
Professor: Flávio Rogério Uber
UEM/DIN – Prof. Flávio Uber
Eletrônica Digital
Mapa de Karnaugh
Obs.: a elaboração deste material foi baseada no material do
prof. Dr. João Angelo Martini (UEM/DIN) e maioria das
figuras é de sua autoria.
Mapa de Karnaugh
UEM/DIN – Prof. Flávio Uber
-Representação gráfica (visual) da tabela
verdade
-Usado para simplificar expressões ou circuitos
lógicos
Mapa de Karnaugh
(4 variáveis)
TV para 4 variáveis
UEM/DIN – Prof. Flávio Uber
A
B
C
D
S
0
0
0
0
S1
0
0
0
1
S2
0
0
1
0
S3
0
0
1
1
S4
0
1
0
0
S5
0
1
0
1
S6
0
1
1
0
S7
0
1
1
1
S8
1
0
0
0
S9
1
0
0
1
S10
1
0
1
0
S11
1
0
1
1
S12
1
1
0
0
S13
1
1
0
1
S14
1
1
1
0
S15
1
1
1
1
S16
Mapa de Karnaugh para 4 variáveis
C
A
C
S1
S2
S4
S3
S5
S6
S8
S7
S13
S14
S16
S15
S9
S10
S12
S11
A
D
D
D
B
B
B
Mapa de Karnaugh
Exemplos de Agrupamentos
Mapa de Karnaugh para 4 variáveis
UEM/DIN – Prof. Flávio Uber
C
C
Hexa
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
B
A
A
D
D
D
H1=1
B
B
Mapa de Karnaugh
Exemplos de Agrupamentos
Mapa de Karnaugh para 4 variáveis
UEM/DIN – Prof. Flávio Uber
C
C
Octeto
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
B
A
A
D
D
D
B
B
O1=D
Mapa de Karnaugh
Exemplos de Agrupamentos
Mapa de Karnaugh para 4 variáveis
UEM/DIN – Prof. Flávio Uber
C
C
Octeto
1
1
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
B
A
A
D
D
D
B
B
O1=B
Mapa de Karnaugh
Exemplos de Agrupamentos
Mapa de Karnaugh para 4 variáveis
UEM/DIN – Prof. Flávio Uber
C
C
Octeto
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
B
A
A
D
D
D
B
B
O1=D
Mapa de Karnaugh
Exemplos de Agrupamentos
Mapa de Karnaugh para 4 variáveis
UEM/DIN – Prof. Flávio Uber
C
C
Octeto
0
0
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
0
0
0
0
B
A
A
D
D
D
B
B
O1=B
Mapa de Karnaugh
Exemplos de Agrupamentos
Mapa de Karnaugh para 4 variáveis
UEM/DIN – Prof. Flávio Uber
C
C
Quadra
1
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
1
B
A
A
D
D
D
B
B
Q1=BD
Mapa de Karnaugh
Exemplos de Agrupamentos
Mapa de Karnaugh para 4 variáveis
UEM/DIN – Prof. Flávio Uber
C
C
Quadra
0
1
1
0
1
0
0
1
1
0
0
1
0
1
1
0
B
A
A
D
D
B
Q1=BD
Q2=BD
B
D
S=BD+BD
Mapa de Karnaugh
Exemplos de Agrupamentos
Mapa de Karnaugh para 4 variáveis
UEM/DIN – Prof. Flávio Uber
C
Pares
C
0
1
0
0
1
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
B
A
A
D
D
P1=BCD
B
P2=ABD
B
D
S=ABD+BCD
Exercício
Determine a expressão da TV e simplifique o circuito por meio
de Mapa de Karnaugh
1)
A
B
C
D
S
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
0
0
1
0
1
0
0
1
1
1
0
1
0
0
0
0
1
0
1
1
0
1
1
0
0
0
1
1
1
1
1
0
0
0
1
1
0
0
1
1
1
0
1
0
0
1
0
1
1
1
1
1
0
0
1
1
1
0
1
1
1
1
1
0
0
1
1
1
1
1
12
Solução
Determine a expressão da TV e simplifique o circuito por meio
de Mapa de Karnaugh
1)
A
B
C
D
S
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
0
0
1
0
1
0
0
1
1
1
0
1
0
0
0
0
1
0
1
1
0
1
1
0
0
0
1
1
1
1
1
0
0
0
1
1
0
0
1
1
1
0
1
0
0
1
0
1
1
1
1
1
0
0
1
1
1
0
1
1
1
1
1
0
0
1
1
1
1
1
Expressão da TV
S=ABCD+ABCD+ABCD+ABCD+ABCD+ABCD+ABCD+ABCD
+ABCD+ABCD+ABCD
C
C
0
1
1
1
0
1
1
0
1
1
1
0
1
1
1
0
B
A
A
D
Q1=AC
13
D
D
B
O1=D
P1=ABC
B
S=ABC+AC+D
Exercício
Determine a expressão da TV e simplifique o circuito por meio
de Mapa de Karnaugh
2)
A
B
C
D
S
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
0
0
1
0
0
0
0
1
1
1
0
1
0
0
1
0
1
0
1
1
0
1
1
0
1
0
1
1
1
1
1
0
0
0
0
1
0
0
1
0
1
0
1
0
1
1
0
1
1
0
1
1
0
0
0
1
1
0
1
0
1
1
1
0
0
1
1
1
1
1
14
Solução
Determine a expressão da TV e simplifique o circuito por meio
de Mapa de Karnaugh
2)
A
B
C
D
S
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
0
0
1
0
0
0
0
1
1
1
0
1
0
0
1
0
1
0
1
1
0
1
1
0
1
0
1
1
1
1
1
0
0
0
0
1
0
0
1
0
1
0
1
0
1
1
0
1
1
0
1
1
0
0
0
1
1
0
1
0
1
1
1
0
0
1
1
1
1
1
Expressão da TV
S=ABCD+ABCD+ABCD+ABCD+ABCD+ABCD+ABCD+ABCD
C
C
0
1
1
0
1
1
1
1
0
0
1
0
0
0
0
1
B
Q1=AD
A
A
D
P1=BCD
D
B
B
Q2=AB
I1=ABCD
D
S=AD+AB+BCD+ABCD
15
Exercício
Determine a expressão da TV e simplifique o circuito por meio
de Mapa de Karnaugh
3)
A
B
C
D
S
0
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
1
0
1
0
0
1
1
0
0
1
0
0
1
0
1
0
1
1
0
1
1
0
1
0
1
1
1
1
1
0
0
0
1
1
0
0
1
0
1
0
1
0
1
1
0
1
1
0
1
1
0
0
1
1
1
0
1
0
1
1
1
0
1
1
1
1
1
1
16
Solução
Determine a expressão da TV e simplifique o circuito por meio
de Mapa de Karnaugh
3)
A
B
C
D
S
0
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
1
0
1
0
0
1
1
0
0
1
0
0
1
0
1
0
1
1
0
1
1
0
1
0
1
1
1
1
1
0
0
0
1
1
0
0
1
0
1
0
1
0
1
1
0
1
1
0
1
1
0
0
1
1
1
0
1
0
1
1
1
0
1
1
1
1
1
1
Expressão da TV
S=ABCD+ABCD+ABCD+ABCD+ABCD+ABCD+ABCD+ABCD
+ABCD+ABCD+ABCD
C
C
1
0
0
1
1
1
1
1
1
0
1
1
1
0
0
1
B
A
A
D
Q2=BC
17
D
D
B
O1=D
Q1=AB
B
S=D+AB+BC
Exercícios
Minimize as expressões usando Mapa de Karnaugh
1) Expressão
S=ABCD+ABCD+ABCD+ABCD+ABCD+ABCD+ABCD+ABC
D
2) Expressão
S=ABCD+ABCD+ABCD+ABCD+ABCD+ABCD+ABCD+ABCD+ABC
D
18
Solução
Minimize as expressões usando Mapa de Karnaugh
1) Expressão
S=ABCD+ABCD+ABCD+ABCD+ABCD+ABCD+ABCD+ABC
D
C
P4=ABD
C
1
1
1
0
1
0
0
1
0
0
1
0
0
0
1
1
B
A
A
D
D
P5=ACD
B
B
P1=ABC
P2=ABD
P3=ABC
D
S=ABC+ABD+ABC+ABD+ACD
19
Solução
Minimize as expressões usando Mapa de Karnaugh
2) Expressão
S=ABCD+ABCD+ABCD+ABCD+ABCD+ABCD+ABCD+ABCD+ABC
D
C
C
1
1
0
1
0
1
0
0
B
A
0
1
1
0
1
1
0
1
A
D
D
B
Q1=CD
P1=ABD
B
D
S=ABD+CD+BD
Q2=BD
20
Mapa de Karnaugh
Mapa de Karnaugh para 5 variáveis
TV para 5 variáveis
A
B
C
D
E
S
0
0
0
0
0
S1
0
0
0
0
1
S2
0
0
0
1
0
S3
0
0
0
1
1
S4
0
0
1
0
0
S5
0
0
1
0
1
S6
...
25=32 Combinações
1
1
0
1
1
S28
1
1
1
0
0
S29
1
1
1
0
1
S30
1
1
1
1
0
S31
1
1
1
1
1
S32
21
Fundamentos de
Lógica
Mapa de Karnaugh para 5 variáveis
A
D
B
D
D
S1
S2
S4
S3
S5
S6
S8
S7
S13
S14
S16
S15
B
S9
E
A
S10
S12
E
S11
C
B
C
D
S17
S18
S20
S19
S21
S22
S24
S23
S29
S30
S32
S31
S25
S26
S28
S27
B
C
E
E
22
E
E
C
C
C
Mapa de Karnaugh
Exemplos de Agrupamentos
Mapa de Karnaugh para 5 variáveis
Hexa
A
D
0
A
D
0
0
D
0
C
B
D
0
0
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
0
0
0
0
C
B
1
1
1
1
1
1
1
1
B
0
E
0
0
E
0
C
B
C
E
E
H1=C
23
E
E
C
C
Mapa de Karnaugh
Exemplos de Agrupamentos
Mapa de Karnaugh para 5 variáveis
Octeto
A
D
0
A
Q1=BDE
D
0
0
D
1
C
B
D
0
0
0
1
0
1
1
1
0
1
1
0
1
0
0
0
C
B
0
1
1
1
0
1
1
0
B
1
E
0
0
E
0
C
B
C
E
E
E
O1=CE
P1=BCDE
S=CE+BDE+BCDE
24
E
C
C
Exercício
1) Determine a expressão da TV e simplifique o circuito usando Mapa de Karnaugh
A
B
C
D
E
S
A
B
C
D
E
S
0
0
0
0
0
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
1
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
1
0
0
1
0
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
1
1
0
0
0
1
0
0
1
ABCDE
1
0
1
0
0
0
0
0
1
0
1
1
ABCDE
1
0
1
0
1
1
ABCDE
0
0
1
1
0
0
1
0
1
1
0
1
ABCDE
0
0
1
1
1
1
ABCDE
1
0
1
1
1
0
0
1
0
0
0
1
ABCDE
1
1
0
0
0
0
0
1
0
0
1
1
ABCDE
1
1
0
0
1
0
0
1
0
1
0
1
ABCDE
1
1
0
1
0
0
0
1
0
1
1
0
1
1
0
1
1
0
0
1
1
0
0
0
1
1
1
0
0
1
ABCDE
0
1
1
0
1
1
ABCDE
1
1
1
0
1
1
ABCDE
0
1
1
1
0
1
ABCDE
1
1
1
1
0
1
ABCDE
0
1
1
1
1
0
1
1
1
1
1
1
ABCDE
ABCDE
ABCDE
25
Solução
1) Determine a expressão da TV e simplifique o circuito usando Mapa de Karnaugh
P4=ABDE
P5=ABDE
D
1
A
A
D
0
1
P1=ACDE
Q1=CDE
D
0
C
B
D
0
0
0
0
0
1
0
1
1
1
1
1
0
0
0
0
C
B
1
1
1
0
0
1
0
1
B
1
E
1
0
E
1
C
B
C
E
E
E
C
C
E
Q2=ABC
P3=ABCD
P2=ABDE
S=CDE+ABC+ACDE+ABDE+ABCD+ABDE+ABDE
26
Exercício
2) Minimize a expressão booleana S usando Mapa de Karnaugh
Expressão:
S=ABCDE+ABCDE+ABCDE+ABCDE+ABCDE+ABCDE+ABCDE+ABCDE+ABCDE+ABCD
E
+ABCDE+ABCDE+ABCDE+ABCDE+ABCDE
27
Solução
2) Minimize a expressão booleana S usando Mapa de Karnaugh
S=ABCDE+ABCDE+ABCDE+ABCDE+ABCDE+ABCDE+ABCDE+ABCDE+ABCDE+ABCD
E
+ABCDE+ABCDE+ABCDE+ABCDE+ABCDE
A
D
1
A
P1=ACDE
O1=BD
D
1
0
D
0
C
B
D
1
1
0
0
1
1
0
1
0
0
1
1
1
0
1
1
C
B
1
1
0
0
0
0
0
0
B
1
E
0
0
E
0
C
B
C
E
E
E
C
C
E
Q1=ABD
Q2=CDE
S=BD+ABD+ACDE+CDE
28
Mapa de Karnaugh
Mapa de Karnaugh com condições irrelevantes
• Condição Irrelevante: para determinadas combinações de
entradas, a saída pode assumir o valor 0 ou 1 indiferentemente
• Para se utilizar a condição irrelevante no mapa de Karnaugh,
deve-se adotar o valor que possibilite o maior agrupamento
A
B
C
S
0
0
0
X
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
1
1
1
0
0
0
1
0
1
0
1
1
0
0
1
1
1
0
B
B
A
X
1
1
1
A
0
0
0
0
C
C
Q1=A
C
Se escolhermos X=1 ⇒ obtemos um agrupamento maior
Expressão Simplificada a partir do MK S=A
29
Mapa de Karnaugh
Mapa de Karnaugh com condições irrelevantes
• Condição Irrelevante: para determinadas combinações de
entradas, a saída pode assumir o valor 0 ou 1 indiferentemente
• Para se utilizar a condição irrelevante no mapa de Karnaugh,
deve-se adotar o valor que possibilite o maior agrupamento
A
B
C
S
0
0
0
X
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
1
1
1
0
0
0
1
0
1
0
1
1
0
0
1
1
1
0
B
P2=AC
B
A
X
1
1
1
A
0
0
0
0
C
C
P1=AB
C
Se escolhermos X=0, obtemos um agrupamento menor
Expressão Simplificada a partir do MK S=AB+AC
30
Exercício
Mapa de Karnaugh com condições irrelevantes
Simplifique as expressões das TVs usando Mapa de Karnaugh
1)
A
B
C
S
0
0
0
0
0
0
1
0
0
1
0
0
0
1
1
X
1
0
0
X
1
0
1
1
1
1
0
1
1
1
1
1
31
Solução
Mapa de Karnaugh com condições irrelevantes
Simplifique as expressões das TVs usando Mapa de Karnaugh
1)
A
B
C
S
0
0
0
0
0
0
1
0
0
1
0
0
0
1
1
X
1
0
0
X
1
0
1
1
1
1
0
1
1
1
1
B
B
A
0
0
X1
0
A
X2
1
1
1
C
C
Q1=A
C
1
Se escolhermos X1=0 e X2=1, obtemos uma expressão mais simplificada
S=A
Expressão Simplificada a partir do MK
32
Exercício
Mapa de Karnaugh com condições irrelevantes
Simplifique as expressões das TVs usando Mapa de Karnaugh
2)
A
B
C
S
0
0
0
1
0
0
1
X
0
1
0
0
0
1
1
1
1
0
0
X
1
0
1
1
1
1
0
X
1
1
1
X
33
Soluçõe
s
Mapa de Karnaugh com condições irrelevantes
Simplifique as expressões das TVs usando Mapa de Karnaugh
2)
A
B
C
S
0
0
0
1
0
0
1
X
0
1
0
0
0
1
1
1
1
0
0
X
1
0
1
1
1
1
0
X
1
1
1
X
B
Q1=B
B
A
1
X
1
0
A
X
1
X
X
C
C
Q2=C
C
Expressão Simplificada a partir do MKS=B+C
34
Exercício
Mapa de Karnaugh com condições irrelevantes
Simplifique as expressões das TVs usando Mapa de Karnaugh
3)
A
B
C
D
S
0
0
0
0
X
0
0
0
1
0
0
0
1
0
1
0
0
1
1
X
0
1
0
0
1
0
1
0
1
0
0
1
1
0
1
0
1
1
1
1
1
0
0
0
0
1
0
0
1
1
1
0
1
0
X
1
0
1
1
0
1
1
0
0
0
1
1
0
1
X
1
1
1
0
0
1
1
1
1
X
35
Soluçõe
s
Mapa de Karnaugh com condições irrelevantes
Simplifique as expressões das TVs usando Mapa de Karnaugh
3)
A
B
C
D
S
0
0
0
0
X
0
0
0
1
0
0
0
1
0
1
0
0
1
1
X
0
1
0
0
1
0
1
0
1
0
0
1
1
0
1
0
1
1
1
1
1
0
0
0
0
1
0
0
1
1
1
0
1
0
X
1
0
1
1
0
1
1
0
0
0
1
1
0
1
X
1
1
1
0
0
1
1
1
1
X
C
C
X
0
X
1
1
0
1
1
0
X
X
0
0
1
0
X
B
A
A
D
P1=ACD
D
B
B
D
Q2=AC
S=AD+AC+ACD
36
Q1=AD