Matemática - 2008/09
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84. Usando fórmulas trigonométricas, simpli…que as expressões:
(a) sin (arccos x)
(b) cos (arctan x)
(c) tan (arccos x)
85. Para
2 R,
(a) arcsin (cos ) =
2
(b) tan (arctan ) =
2
p
1
2
p
1
2
86. cot (arcsin x) =
x
p
x2 + 1
p
1 x2
x
1
p
2
x +1
x
p
1 x2
87. Usando as regras de derivação, calcule a derivada de cada uma das seguintes funções:
(a) 2 arcsin x
arcsin x
(c)
3
(b)
(e) arcsin 2x
(f) arccos (x2
(g) arcsin (x8 )
x 2
(i) arcsin
3
(h) (arcsin x)8
x b
(j) arccos
a
(k) x arcsin x
(l) x2 arccos x
(m) ln (arcsin x)
1
(o) arcsin
x
1
(q)
arctan x
3
p
(s) x arctan x
(n) (ln (arcsin x))5
1
(p) arccos (x)
x
x
(r) arccot
3
(u) x arctan ex
(w) arccot (x3 )
arccot x
(y)
x
(d)
arccos x
2 arccos x
21
3x)
; para a; b 2 R.
(t) arctan ex
(v) ex arctan x
p
(x) arccot (x3 )
a
(z) arccot 2 ; a 2 R;
x
Matemática - 2008/09
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88. Se f (x) = x2 arcsin x, então f 0 (x) =
2x arccos x
x2
1 x2
x2
2x arcsin x + p
1 x2
2x3
p
1 x2
a
89. Se f (x) = arctan 2 ; a 2 R; então f 0 (x) =
x
2a
a2
x 1+ 4
x
1
a2
1+ 4
x
2x arcsin x
p
a
x2 1 +
a2
x4
2a
x3 1 +
a2
x4
90. Seja f uma função bijectiva, tal que:
f (3) = 5
f 0 (x) = 3x2
Então (f
2
1 0
) (5) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
91. Considere a função secante de x, sec x; de…nida por:
sec x =
1
cos x
(a) Determine o seu domínio e o seu contradomínio.
(b) Calcule (sec x)0
(c) A inversa da função sec x designa-se por arco cuja secante é x; arcsec x, tem por
domínio ] 1; 1] [ [1; +1[ e por contradomínio [0; ]
: Usando a regra da
2
derivada da função inversa calcule a derivada de arcsec x:
92. Considere a função co-secante de x; csc x, de…nida por:
csc x =
1
sin x
(a) Determine o seu domínio e o seu contradomínio.
(b) Calcule (csc x)0
(c) A inversa da função csc x designa-se por arco cuja co-secante
é ix; arccsc x, tem
h
por domínio ] 1; 1] [ [1; +1[ e por contradomínio
;
0: Usando a
2 2
regra da derivada da função inversa calcule a derivada de arcsec x: