MAT140 - Cálculo I
Substituição Trigonométrica
13 de outubro de 2015
MAT140 - Cálculo I Substituição Trigonométrica
UFV
Nesta aula estaremos interessados em resolver algumas integrais de funções
que envolvem as expressões
p
a2 − u 2 ,
p
a2 + u 2 ,
ou
p
u 2 − a2 ,
a > 0.
Geralmente, este tipo de integral é resolvida utilizando substituições
trigonométricas da forma
u = a sen x( resp. u = a cos x),
ou
MAT140 - Cálculo I Substituição Trigonométrica
u = a tg x( resp. u = a cotg x),
u = sec x( resp. u = a cossec x).
UFV
Com estas substituições e as identidades trigonométricas
sen2 x + cos2 x = 1
tg2 x + 1 = sec2 x,
somos capazes de eliminar a raı́z no integrando.
MAT140 - Cálculo I Substituição Trigonométrica
UFV
Exemplo
Resolver a integral
Z √
9 − x2
dx.
2x 2
Façamos x = 3 sen θ, então dx = 3 cos θdθ. Assim,
p
p
9 − x2 =
9 − 9 sen2 θ
√
9 cos2 θ
=
para −
=
3| cos θ|
=
3 cos θ.
π
π
≤θ≤ .
2
2
MAT140 - Cálculo I Substituição Trigonométrica
UFV
Daı́,
Z √
9 − x2
dx
2x 2
Z
=
=
=
=
=
=
MAT140 - Cálculo I Substituição Trigonométrica
3 cos θ
3 cos θdθ
2 · 9 sen2 θ
Z
1
cos2 θ
dθ
2
sen2 θ
Z
1
cotg2 θdθ
2
Z
1
(cossec2 θ − 1)dθ
2
Z
Z
1
2
cossec θdθ − 1dθ
2
1
(− cotg θ − θ) + C
2
UFV
Para finalizar, devemos retornar para a variável original. Utilizaremos
o artifı́cio de construção de um triângulo auxiliar para simplicicar nossa
x
resolução. Como x = 3 sen θ, ou seja, sen θ = , construı́mos um triângulo
3
x
retângulo de hipotenusa 3, um ângulo agudo θ de tal forma que sen θ = .
3
MAT140 - Cálculo I Substituição Trigonométrica
UFV
Daı́
√
cos θ
=
cotg θ =
sen θ
9−x 2
3
x
3
√
=
9 − x2
.
x
Portanto
Z √
" √
#
x 9 − x2
1
9 − x2
dx =
−
− arcsen
+ C.
2x 2
2
x
3
MAT140 - Cálculo I Substituição Trigonométrica
UFV
Exemplo
Resolver a integral
Z
x2
√
dx.
3 x2 + 4
Fazendo x = 2 tg θ, teremos dx = 2 sec2 θdθ. Assim,
p
p
x2 + 4 =
4 tg2 θ + 4
√
= 2 sec2 θ
para −
=
2| sec θ|
=
2 sec θ,
π
π
<θ< .
2
2
MAT140 - Cálculo I Substituição Trigonométrica
UFV
Daı́
Z
x2
√
dx
3 x2 + 4
4 tg2 θ
2 sec2 θdθ
3 · 2 sec θ
Z
4
tg2 θ sec θdθ
3
Z
4
(sec2 θ − 1) sec θdθ
3
Z
Z
4
3
sec θdθ − sec θdθ
3
4 sec θ tg θ + ln | sec θ + tg θ|
− ln | sec θ + tg θ|
3
2
+C
2
2
sec θ tg θ − (ln | sec θ + tg θ|) + C
3
3
Z
=
=
=
=
=
=
MAT140 - Cálculo I Substituição Trigonométrica
UFV
x
, vamos construir um triângulo
2
x
retângulo com catetos medindo 2 e x de tal forma que tg θ = .
2
Como x = 2 tg θ, ou seja, tg θ =
MAT140 - Cálculo I Substituição Trigonométrica
UFV
Assim,
sec θ
=
=
1
cos θ
1
√ 2
4−x 2
√
=
MAT140 - Cálculo I Substituição Trigonométrica
4 + x2
.
2
UFV
Portanto
Z
x2
√
dx
3 x2 + 4
=
=
=
MAT140 - Cálculo I Substituição Trigonométrica
√
√
4 + x2 x
2 4 + x 2
x − ln + +C
2
2 3 2
2
√
4 + x2 + x 1 p
2
x 4 + x 2 − ln +C
6
3
2
1 p
2 p
x 4 + x 2 − ln 4 + x 2 + x + K .
6
3
2
3
UFV
Exemplo
Z
Resolva
x3
√
dx
.
x 2 − 16
Fazendo a substituição x = 4 sec θ, obtemos dx = 4 sec θ tg θdθ.. Assim,
p
p
x 2 − 16 =
16 sec2 θ − 16
p
= 4 tg2 θ
para 0 < θ <
=
4| tg θ|
=
4 tg θ,
π
.
2
MAT140 - Cálculo I Substituição Trigonométrica
UFV
Desta forma,
Z
x3
√
dx
x 2 − 16
Z
=
=
=
=
=
MAT140 - Cálculo I Substituição Trigonométrica
4 sec θ tg θ
dθ
43 sec3 θ4 tg θ
Z
Z
1
1
dθ
=
cos2 θdθ
43
sec2 θ
43
Z
1
1 + cos 2θ
dθ
43
2
Z
Z
1
1dθ
+
cos
2θdθ
2 · 43
1
1
θ + sen(2θ) + C
128
2
UFV
Agora só nos resta voltar para a variável original. Como
x
1
= sec θ =
,
4
cos θ
4
temos cos θ = . Utilizando o mesmo procedimento descrito nos casos
x
anteriores, devemos construir um triângulo retângulo com hipotenusa x,
4
um ângulo θ tal que cos θ = .
x
MAT140 - Cálculo I Substituição Trigonométrica
UFV
Usando o fato de que sen(2θ) = 2 sen θ cos θ, temos
sen(2θ)
=
=
=
2 sen θ cos θ
! √
x 2 − 16
4
2
x
x
√
8 x 2 − 16
.
x2
Logo,
Z
dx
√
3
x x 2 − 16
=
1
128
=
1
128
MAT140 - Cálculo I Substituição Trigonométrica
!
√
1 8 x 2 − 16
+
− arcsec
+C
4
2
x2
!
x 4√x 2 − 16
− arcsec
+
+ C.
4
x2
x UFV