caderno do
ensino médio
a
1 - SÉRIE
volume 1 - 2009
matemática
PROFESSOR
Coordenação do Desenvolvimento dos
Conteúdos Programáticos e dos Cadernos
dos Professores
Ghisleine Trigo Silveira
Linguagens, Códigos e suas Tecnologias
AUTORES
Educação Física: Adalberto dos Santos Souza,
Jocimar Daolio, Luciana Venâncio, Luiz Sanches
Neto, Mauro Betti e Sérgio Roberto Silveira
Ciências Humanas e suas Tecnologias
Filosofia: Paulo Miceli, Luiza Christov, Adilton
Luís Martins e Renê José Trentin Silveira
Geografia: Angela Corrêa da Silva, Jaime Tadeu
Oliva, Raul Borges Guimarães, Regina Araujo,
Regina Célia Bega dos Santos e Sérgio Adas
Governador
José Serra
História: Paulo Miceli, Diego López Silva,
Glaydson José da Silva, Mônica Lungov Bugelli e
Raquel dos Santos Funari
Vice-Governador
Alberto Goldman
Sociologia: Heloisa Helena Teixeira de Souza
Martins, Marcelo Santos Masset Lacombe,
Melissa de Mattos Pimenta e Stella Christina
Schrijnemaekers
Secretária da Educação
Maria Helena Guimarães de Castro
Secretária-Adjunta
Iara Gloria Areias Prado
Chefe de Gabinete
Fernando Padula
Coordenadora de Estudos e Normas
Pedagógicas
Valéria de Souza
Coordenador de Ensino da Região
Metropolitana da Grande São Paulo
José Benedito de Oliveira
Coordenadora de Ensino do Interior
Aparecida Edna de Matos
Presidente da Fundação para o
Desenvolvimento da Educação – FDE
Fábio Bonini Simões de Lima
EXECUÇÃO
Coordenação Geral
Maria Inês Fini
Concepção
Guiomar Namo de Mello
Lino de Macedo
Luis Carlos de Menezes
Maria Inês Fini
Ruy Berger
GESTÃO
Fundação Carlos Alberto Vanzolini
Presidente do Conselho Curador:
Antonio Rafael Namur Muscat
Presidente da Diretoria Executiva:
Mauro Zilbovicius
Diretor de Gestão de Tecnologias
aplicadas à Educação:
Guilherme Ary Plonski
Coordenadoras Executivas de Projetos:
Beatriz Scavazza e Angela Sprenger
COORDENAÇÃO TéCNICA
CENP – Coordenadoria de Estudos e Normas
Pedagógicas
Ciências da Natureza e suas Tecnologias
Biologia: Ghisleine Trigo Silveira, Fabíola Bovo
Mendonça, Felipe Bandoni de Oliveira, Lucilene
Aparecida Esperante Limp, Maria Augusta
Querubim Rodrigues Pereira, Olga Aguilar Santana,
Paulo Roberto da Cunha, Rodrigo Venturoso
Mendes da Silveira e Solange Soares de Camargo
Ciências: Ghisleine Trigo Silveira, Cristina
Leite, João Carlos Miguel Tomaz Micheletti Neto,
Julio Cézar Foschini Lisbôa, Lucilene Aparecida
Esperante Limp, Maíra Batistoni e Silva, Maria
Augusta Querubim Rodrigues Pereira, Paulo
Rogério Miranda Correia, Renata Alves Ribeiro,
Ricardo Rechi Aguiar, Rosana dos Santos Jordão,
Simone Jaconetti Ydi e Yassuko Hosoume
Física: Luis Carlos de Menezes, Sonia Salem,
Estevam Rouxinol, Guilherme Brockington, Ivã
Gurgel, Luís Paulo de Carvalho Piassi, Marcelo de
Carvalho Bonetti, Maurício Pietrocola Pinto de
Oliveira, Maxwell Roger da Purificação Siqueira
e Yassuko Hosoume
Química: Denilse Morais Zambom, Fabio Luiz de
Souza, Hebe Ribeiro da Cruz Peixoto, Isis Valença
de Sousa Santos, Luciane Hiromi Akahoshi,
Maria Eunice Ribeiro Marcondes, Maria Fernanda
Penteado Lamas e Yvone Mussa Esperidião
Arte: Geraldo de Oliveira Suzigan, Gisa Picosque,
Jéssica Mami Makino, Mirian Celeste Martins e
Sayonara Pereira
LEM – Inglês: Adriana Ranelli Weigel Borges, Alzira
da Silva Shimoura, Lívia de Araújo Donnini Rodrigues,
Priscila Mayumi Hayama e Sueli Salles Fidalgo
Língua Portuguesa: Alice Vieira, Débora Mallet
Pezarim de Angelo, Eliane Aparecida de Aguiar,
José Luís Marques López Landeira e João Henrique
Nogueira Mateos
Matemática
Matemática: Nílson José Machado, Carlos
Eduardo de Souza Campos Granja, José Luiz
Pastore Mello, Roberto Perides Moisés, Rogério
Ferreira da Fonseca, Ruy César Pietropaolo e
Walter Spinelli
Caderno do Gestor
Lino de Macedo, Maria Eliza Fini e Zuleika de
Felice Murrie
Equipe de Produção
Coordenação Executiva: Beatriz Scavazza
Assessores: Alex Barros, Antonio Carlos
Carvalho, Beatriz Blay, Carla de Meira Leite, Eliane
Yambanis, Heloisa Amaral Dias de Oliveira, José
Carlos Augusto, Luiza Christov, Maria Eloisa Pires
Tavares, Paulo Eduardo Mendes, Paulo Roberto da
Cunha, Pepita Prata, Renata Elsa Stark, Solange
Wagner Locatelli e Vanessa Dias Moretti
Equipe Editorial
Coordenação Executiva: Angela Sprenger
Assessores: Denise Blanes e Luís Márcio Barbosa
Projeto Editorial: Zuleika de Felice Murrie
Edição e Produção Editorial: Conexão Editorial,
Edições Jogos de Amarelinha, Jairo Souza Design
Gráfico e Occy Design (projeto gráfico)
APOIO
FDE – Fundação para o Desenvolvimento da
Educação
CTP, Impressão e Acabamento
Imprensa Oficial do Estado de São Paulo
A Secretaria da Educação do Estado de São Paulo autoriza a reprodução do conteúdo do material de sua titularidade pelas demais
secretarias de educação do país, desde que mantida a integridade da obra e dos créditos, ressaltando que direitos autorais protegidos*
deverão ser diretamente negociados com seus próprios titulares, sob pena de infração aos artigos da Lei nº 9.610/98.
* Constituem “direitos autorais protegidos” todas e quaisquer obras de terceiros reproduzidas no material da SEE-SP que não
estejam em domínio público nos termos do artigo 41 da Lei de Direitos Autorais.
Catalogação na Fonte: Centro de Referência em Educação Mario Covas
S239c
São Paulo (Estado) Secretaria da Educação.
Caderno do professor: matemática, ensino médio - 1a série, volume 1 /
Secretaria da Educação; coordenação geral, Maria Inês Fini; equipe, Carlos Eduardo
de Souza Campos Granja, José Luiz Pastore Mello, Nílson José Machado, Roberto
Perides Moisés, Ruy César Pietropaolo, Walter Spinelli.– São Paulo : SEE, 2009.
ISBN 978-85-7849-186-4
1. Matemática 2. Ensino Médio 3. Estudo e ensino I. Fini, Maria Inês. II.
Granja, Carlos Eduardo de Souza Campos. III. Mello, José Luiz Pastore. IV.
Machado, Nílson José. V. Moisés, Roberto Perides. VI. Pietropaolo, Ruy César.
VII. Spinelli, Walter. VIII. Título.
CDU: 373.5:51
Prezado(a) professor(a),
Dando continuidade ao trabalho iniciado em 2008 para atender a uma das
prioridades da área de Educação neste governo – o ensino de qualidade –, encaminhamos a você o material preparado para o ano letivo de 2009.
As orientações aqui contidas incorporaram as sugestões e ajustes sugeridos
pelos professores, advindos da experiência e da implementação da nova proposta em sala de aula no ano passado.
Reafirmamos a importância de seu trabalho. O alcance desta meta é concretizado essencialmente na sala de aula, pelo professor e pelos alunos.
O Caderno do Professor foi elaborado por competentes especialistas na área
de Educação. Com o conteúdo organizado por disciplina, oferece orientação
para o desenvolvimento das Situações de Aprendizagem propostas.
Esperamos que você aproveite e implemente as orientações didático-pedagógicas aqui contidas. Estaremos atentos e prontos para esclarecer dúvidas ou
dificuldades, assim como para promover ajustes ou adaptações que aumentem
a eficácia deste trabalho.
Aqui está nosso novo desafio. Com determinação e competência, certamente iremos vencê-lo!
Contamos com você.
Maria Helena Guimarães de Castro
Secretária da Educação do Estado de São Paulo
Sumário
São Paulo faz escola – Uma Proposta Curricular para o Estado
Ficha do Caderno
5
7
Orientação geral sobre os Cadernos
Situações de Aprendizagem
8
11
Situação de Aprendizagem 1 – Conjuntos numéricos – Regularidades numéricas e/
ou geométricas 11
Situação de Aprendizagem 2 – Progressões aritméticas ou progressões geométricas
22
Situação de Aprendizagem 3 – Soma dos termos de uma PA ou de uma PG finita –
aplicações à Matemática Financeira 36
Situação de Aprendizagem 4 – Limite da soma dos infinitos termos de uma
PG infinita 51
Orientações para Recuperação
58
Recursos para ampliar a perspectiva do professor e do aluno
para a compreensão do tema 59
Considerações finais
60
Conteúdos de Matemática por série/bimestre do Ensino Médio
61
São PAulo FAz ESColA – uMA ProPoStA
CurriCulAr PArA o EStAdo
Prezado(a) professor(a),
É com muita satisfação que apresento a todos a versão revista dos Cadernos do
Professor, parte integrante da Proposta Curricular de 5a a 8a séries do Ensino Fundamental – Ciclo II e do Ensino Médio do Estado de São Paulo. Esta nova versão
também tem a sua autoria, uma vez que inclui suas sugestões e críticas, apresentadas
durante a primeira fase de implantação da proposta.
Os Cadernos foram lidos, analisados e aplicados, e a nova versão tem agora a medida
das práticas de nossas salas de aula. Sabemos que o material causou excelente impacto
na Rede Estadual de Ensino como um todo. Não houve discriminação. Críticas e sugestões surgiram, mas em nenhum momento se considerou que os Cadernos não deveriam
ser produzidos. Ao contrário, as indicações vieram no sentido de aperfeiçoá-los.
A Proposta Curricular não foi comunicada como dogma ou aceite sem restrição.
Foi vivida nos Cadernos do Professor e compreendida como um texto repleto de significados, mas em construção. Isso provocou ajustes que incorporaram as práticas e
consideraram os problemas da implantação, por meio de um intenso diálogo sobre o
que estava sendo proposto.
Os Cadernos dialogaram com seu público-alvo e geraram indicações preciosas
para o processo de ensino-aprendizagem nas escolas e para a Secretaria, que gerencia esse processo.
Esta nova versão considera o “tempo de discussão”, fundamental à implantação
da Proposta Curricular. Esse “tempo” foi compreendido como um momento único,
gerador de novos significados e de mudanças de ideias e atitudes.
Os ajustes nos Cadernos levaram em conta o apoio a movimentos inovadores, no
contexto das escolas, apostando na possibilidade de desenvolvimento da autonomia
escolar, com indicações permanentes sobre a avaliação dos critérios de qualidade da
aprendizagem e de seus resultados.
5
Sempre é oportuno relembrar que os Cadernos espelharam-se, de forma objetiva,
na Proposta Curricular, referência comum a todas as escolas da Rede Estadual, revelando uma maneira inédita de relacionar teoria e prática e integrando as disciplinas
e as séries em um projeto interdisciplinar por meio de um enfoque filosófico de Educação que definiu conteúdos, competências e habilidades, metodologias, avaliação e
recursos didáticos.
Esta nova versão dá continuidade ao projeto político-educacional do Governo de
São Paulo, para cumprir as 10 metas do Plano Estadual de Educação, e faz parte das
ações propostas para a construção de uma escola melhor.
O uso dos Cadernos em sala de aula foi um sucesso! Estão de parabéns todos os que
acreditaram na possibilidade de mudar os rumos da escola pública, transformando-a
em um espaço, por excelência, de aprendizagem. O objetivo dos Cadernos sempre será
apoiar os professores em suas práticas de sala de aula. Posso dizer que esse objetivo foi
alcançado, porque os docentes da Rede Pública do Estado de São Paulo fizeram dos
Cadernos um instrumento pedagógico com vida e resultados.
Conto mais uma vez com o entusiasmo e a dedicação de todos os professores, para
que possamos marcar a História da Educação do Estado de São Paulo como sendo
este um período em que buscamos e conseguimos, com sucesso, reverter o estigma que
pesou sobre a escola pública nos últimos anos e oferecer educação básica de qualidade
a todas as crianças e jovens de nossa Rede. Para nós, da Secretaria, já é possível antever
esse sucesso, que também é de vocês.
Bom ano letivo de trabalho a todos!
Maria inês Fini
Coordenadora Geral
Projeto São Paulo Faz Escola
6
Ficha do caderno
Sequências numéricas
nome da disciplina:
Matemática
Área:
Matemática
etapa da educação básica:
Ensino Médio
1a
Série:
Período letivo:
Temas e conteúdos:
1o bimestre de 2009
Conjuntos numéricos: regularidades numéricas
e/ou geométricas
Progressões aritméticas e progressões geométricas
Soma dos termos de uma PA ou de uma
PG finita: aplicações à Matemática Financeira
LimitedasomadostermosdeumaPGinfinita
7
orienTação geral Sobre oS cadernoS
Os temas escolhidos para compor o conteúdo disciplinar de cada bimestre não se afastam, de maneira geral, do que é usualmente
ensinado nas escolas ou do que é apresentado
pelos livros didáticos. As inovações pretendidas referem-se à forma de abordagem dos
mesmos, sugerida ao longo dos Cadernos de
cada um dos bimestres. Em tal abordagem,
busca-se evidenciar os princípios norteadores
do presente currículo, destacando-se a contextualização dos conteúdos e as competências
pessoais envolvidas, especialmente as relacionadas com a leitura e a escrita matemática,
bem como os elementos culturais internos e
externos à Matemática.
Em todos os Cadernos, os conteúdos estão
organizados em oito unidades de extensões
aproximadamente iguais, que podem corresponder a oito semanas de trabalho letivo.
De acordo com o número de aulas disponíveis
por semana, o professor explorará cada assunto com mais ou menos aprofundamento,
ou seja, escolherá uma escala adequada para
o tratamento de cada um deles. A critério do
professor, em cada situação específica, o tema
correspondente a uma das unidades pode ser
estendido para mais de uma semana, enquanto o de outra unidade pode ser tratado de
modo mais simplificado.
É desejável que o professor tente contemplar todas as oito unidades, uma vez que,
juntas, compõem um panorama do conteúdo
do bimestre, e, muitas vezes, uma das unidades contribui para a compreensão das
8
outras. Insistimos, no entanto, no fato de
que somente o professor, em sua circunstância particular, e levando em consideração seu interesse e o dos alunos pelos temas
apresentados, pode determinar adequadamente quanto tempo dedicar a cada uma
das unidades.
Ao longo dos Cadernos são apresentadas,
além de uma visão panorâmica do conteúdo
do bimestre, quatro Situações de Aprendizagem (1, 2, 3 e 4) que pretendem ilustrar a forma de abordagem sugerida, instrumentando
o professor para sua ação na sala de aula. As
atividades são independentes e podem ser exploradas pelos professores com mais ou menos intensidade, segundo seu interesse e de
sua classe. Naturalmente, em razão das limitações no espaço dos Cadernos, nem todas as
unidades foram contempladas com Situações
de Aprendizagem, mas a expectativa é de que
a forma de abordagem dos temas seja explicitada nas atividades oferecidas.
São apresentados, também, em cada Caderno, sempre que possível, materiais disponíveis (textos, softwares, sites e vídeos, entre outros) em sintonia com a forma de abordagem
proposta, que podem ser utilizados pelo professor para o enriquecimento de suas aulas.
Compõem o Caderno, ainda, algumas considerações sobre a avaliação a ser realizada,
bem como o conteúdo considerado indispensável ao desenvolvimento das competências
esperadas no presente bimestre.
Matemática – 1ª- série, 1o bimestre
Conteúdos básicos do bimestre
A abordagem dos conceitos deste 1o bimestre da 1a série, relativos ao bloco Números
e Sequências, priorizará aspectos considerados fundamentais para a compreensão de
alguns dos diferentes significados dos conceitos envolvidos.
O primeiro aspecto do qual pretendemos
ressaltar a importância para este estudo refere-se ao reconhecimento da regularidade
envolvida na construção de sequências numéricas ou de sequências geométricas. Para
tanto, propomos que o início do trabalho se
dê com a retomada das características dos
conjuntos numéricos, a fim de que os alunos percebam, por um lado, a regularidade
do conjunto dos números naturais e dos
números inteiros e, por outro, a questão da
densidade dos números reais. Partindo do
conhecimento desses conjuntos, esperamos
que os alunos possam relacionar a regularidade dos números naturais à de outras sequências numéricas e também geométricas,
identificando essa regularidade, sempre que
possível, por intermédio de uma equação
matemática. Para tanto, apresentamos, na
Situação de Aprendizagem 1 – Conjuntos nu­
méricos; regularidades numéricas e/ou geo­
métricas, uma série de situações-problema
exemplares, para que o professor possa optar pela utilização total ou parcial no início
de seu trabalho.
Partindo do princípio de que os alunos
devem reconhecer a regularidade de sequências numéricas de qualquer natureza e escrever equações matemáticas que reflitam
a regularidade observada, julgamos importante que não sejam tratadas de maneiras
completamente distintas as sequências aritméticas e as sequências geométricas, como
se costuma observar nos livros didáticos.
Essa proposta de abordagem simultânea
dos dois tipos mais comuns de sequências,
as PAs e as PGs está contemplada na Situa­
ção de Aprendizagem 2 – Progressões aritmé­
ticas ou progressões geométricas e permite,
ao nosso ver, que o foco do tratamento
conceitual se desloque do formalismo algébrico para a construção do significado real
e importante das características da regularidade de cada sequência.
Progressões aritméticas ou geométricas
estão presentes em várias situações contextualizadas, conforme alguns modelos apresentados na Situação de Aprendizagem 2, e
não costumam trazer dificuldades adicionais de compreensão para os alunos. Dentre as inúmeras aplicações desse conteúdo,
destacamos especialmente uma, na Situa­
ção de Aprendizagem 3 – Soma dos termos
de uma PA ou de uma PG finita; aplicações
à Matemática Financeira, quando propomos que problemas clássicos de cálculos
de juros e de montantes envolvidos em
processos de capitalização ou amortização componham o contexto possível para
o tratamento da soma de um número finito de termos de uma PA ou de uma PG.
Para o desenvolvimento das atividades que
compõem essa Situação de Aprendizagem,
conforme justificaremos adiante, julgamos
fundamental que os alunos possam dispor
de calculadoras.
9
O conceito de infinito, de suma importância em Matemática, costuma ser bastante
motivador para o estudo de alguns conceitos, desde as séries iniciais, quando os alunos
tomam contato com a ideia do “mais 1”, que
conduz à construção do campo numérico
dos naturais. A ideia da quantidade infinita de números existente entre dois números
reais, como 1 e 2, por exemplo, é algo que
parece inicialmente estranho para nossos
alunos, mas pode, pouco a pouco, firmar-se
como um conceito fundamental da Matemática,
dependendo das diferentes abordagens que
destinamos ao conceito durante toda a escolaridade. Nessa perspectiva, isto é, com
o objetivo de que os estudantes construam,
gradual e lentamente, o conceito de limite
de uma função, não devemos perder oportunidades que surjam durante nossas aulas
para, de maneira apropriada ao momento,
abordar a ideia de limite. É nesse contexto
que propomos a realização da sequência
de atividades que compõem a Situação de
Aprendizagem 4 – limite da soma dos infi­
nitos termos de uma PG infinita, durante a
qual o foco estará sempre colocado sobre o
conceito de limite, em detrimento de dificuldades de natureza algébrica.
10
A organização do trabalho do bimestre,
com base nas considerações anteriores, pode
ser feita nas oito unidades seguintes, referentes, aproximadamente, a oito semanas.
Quadro geral de conteúdos do 1o
bimestre da 1a série do Ensino Médio
unidade 1 – Sequências numéricas e/ou
geométricas; identificação e registro da
regularidade.
unidade 2 – Progressões aritméticas e
progressões geométricas – termo geral e
aplicações.
unidade 3 – Progressões aritméticas e
progressões geométricas – termo geral e
aplicações.
unidade 4 – Soma dos termos de uma PA
ou de uma PG finita.
unidade 5 – Soma dos termos de uma PA ou
de uma PG finita – aplicações à Matemática
Financeira.
unidade 6 – Soma dos termos de uma PA ou
de uma PG finita – aplicações à Matemática
Financeira.
unidade 7 – Limite da soma dos termos de
uma PG infinita.
unidade 8 – Limite da soma dos termos de
uma PG infinita.
Matemática – 1ª- série, 1o bimestre
SituAçõES dE APrEndizAGEM
SItuAçãO DE APRENDIzAGEM 1
CONjuNtOS NuMÉRICOS; REGuLARIDADES NuMÉRICAS
E/Ou GEOMÉtRICAS
tempo previsto: 1 semana.
Conteúdos e temas: conjuntos numéricos; sequências numéricas e/ou geométricas; termo geral de sequências numéricas.
Competências e habilidades: obter sequências numéricas a partir do conhecimento de seu termo geral;
obter o termo geral de uma sequência numérica a partir da identificação da regularidade existente;
reconhecer a existência ou não de padrões de regularidades em sequências numéricas ou geométricas;
utilizar a linguagem matemática para expressar a regularidade dos padrões de sequências numéricas
ou geométricas.
Estratégias: resolução de exercícios exemplares.
roteiro para aplicação da Situação
de Aprendizagem 1
Na 1a série do Ensino Médio, é bem provável que os alunos conheçam os conjuntos
numéricos, Naturais, Inteiros, Racionais
e Reais, e é provável, também, que tragam
construída a ideia preliminar da relação entre dois subconjuntos desses conjuntos, conhecimento este que é a base do conceito de
função. Se a premissa é verdadeira, cabe ao
professor relembrar aos alunos algumas características desses conjuntos, com o objetivo
de construir a base para a apresentação, posterior, das leis de formação das sequências
numéricas. Caso a premissa não seja verdadeira, isto é, se os alunos não conhecem com
qualidade os conjuntos numéricos, convém
que o professor apresente a eles, formalmente, cada conjunto (N, z, Q e R), antes de iniciar a aplicação da Etapa 1.
Conhecidos os conjuntos numéricos, os alunos poderão reconhecer que, na maioria das
vezes, uma sequência ordenada de números
pode ser identificada por intermédio de uma
sentença matemática que relaciona um número natural a um número real. Essa ideia é
fundamental para o estudo das relações de
dependência entre um par de grandezas, ou,
em outros termos, para o estudo das funções.
Nesta Situação de Aprendizagem, exploraremos, inicialmente, na Etapa 1, a construção
dos conjuntos numéricos e algumas de suas
propriedades. Em seguida, apresentaremos
algumas sequências, em que será possível a
identificação de determinados padrões de regularidades, e pediremos que os alunos descrevam, em língua materna, a regularidade que
identificam. Isso feito, o próximo passo será pedir que os alunos encontrem termos sucessivos
dessas sequências, caso elas mantenham a regularidade observada. Completando a primeira
11
etapa, os alunos serão convidados a exprimir
a regularidade observada, por intermédio de
uma sentença matemática.
Realizada a etapa inicial, proporemos, na
Etapa 2, que os alunos obtenham sequências
numéricas a partir de condições dadas em língua materna ou em linguagem matemática e,
ainda, que obtenham termos determinados de
algumas dessas sequências.
Etapa 1 – observando padrões
e regularidades
Inicialmente, recomendamos que o professor liste o conjunto dos números naturais
e dos números inteiros para, em seguida, pedir
que identifiquem alguns subconjuntos descritos por informações comunicadas em língua
materna, como, por exemplo:
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ... }
z = { ... –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, ...}
Quais são os elementos do conjunto numérico assim formado:
apropriados, poderá ser pedido que os alunos
transcrevam as informações comunicadas em
língua materna para a linguagem matemática.
No caso dos exemplos anteriores, teríamos:
a) {x ∈ N / x < 7} = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}.
b) {x ∈ N / x ≥ 8} = {8, 9, 10, 11, 12, ...}.
c) {x ∈ z / – 2 < x < 7} = {–1, 0, 1, 2, 3, 4,
5, 6}.
d) {x ∈ z / |x| < 4} = {–3, –2, –1, 0, 1, 2, 3}.
Discutidos alguns casos, como exemplificado, recomendamos que os alunos se envolvam
na resolução dos seguintes problemas:
Problema 1
Dados os conjuntos seguintes, descritos em
linguagem cotidiana, encontre, em cada caso,
seus elementos e traduza a descrição dada
para a linguagem matemática.
a) O conjunto A é formado por números
naturais maiores do que 4 e menores ou
iguais a 11.
a) números naturais menores do que 7.
{5, 6, 7, 8, 9, 10, 11}.
b) números naturais maiores ou iguais a 8.
c) números inteiros menores do que 7 e
maiores do que –2.
d) números inteiros cujo valor absoluto é
menor do que 4.
Em seguida, após a exposição desses e
de outros exemplos que o professor julgar
12
b) O conjunto B é formado por números
naturais menores ou iguais a 6.
{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}.
c) O conjunto C é formado por números
inteiros maiores ou iguais a –3 e menores
do que 5.
{–3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4}.
Matemática – 1ª- série, 1o bimestre
d) O conjunto D é formado por números
inteiros maiores ou iguais a –2.
{–2, –1, 0, 1, 2, 3, ...}.
Problema 2
Quais são os cinco menores números que
pertencem a cada um dos seguintes conjuntos?
a) E é o conjunto dos números naturais
que são divisíveis por 4.
E = {0, 4, 8, 12, 16}.
b) F é o conjunto dos números naturais
ímpares maiores do que 7.
F = {9, 11, 13, 15, 17}.
c) G é o conjunto dos números inteiros
que, elevados ao quadrado, resultam em
um número menor do que 10.
G = { –3, –2, –1, 0, 1}.
d) H é o conjunto dos números naturais que,
quando dobrados e somados a 1, resultam em um número maior do que 7.
H = {4, 5, 6, 7, 8}.
Após a resolução desses e de outros problemas de mesma natureza, convém questionar
os alunos sobre como descrever, em linguagem
matemática, os conjuntos E, F, G e H do Problema 2. O desafio pode ser lançado aos alunos a fim de que seja verificada a compreensão
que podem ou não ter conseguido da atividade.
Embora possam ser aceitas diferentes respostas,
caberá ao professor avaliar aquelas que apresentam maior grau de correção, valorizandoas. De qualquer maneira, apresentamos, a
seguir, possíveis respostas corretas.
E = {4n, sendo n ∈ N, e n < 5}.
F = {2n + 1, sendo n ∈ N, e 4 ≤ n ≤ 8}.
G = {x ∈ Z / –4 < x < 2}.
H = {2n + 1 > 7, sendo n ∈ N, e n < 9}.
A resolução e a discussão desses problemas
iniciais permitirão, ao nosso ver, introduzir
a notação apropriada para a designação de
termos de uma sequência numérica. Todavia,
antes que isso seja implementado (o que será
feito na Etapa 2), consideramos importante
que os alunos se detenham um pouco mais
na identificação das regularidades de algumas sequências.
A sequência dos números naturais é
construída, como sabemos, pelo acréscimo
de uma unidade a um termo já conhecido.
A fim de proporcionar aos alunos a oportunidade de observar regularidades e perceber
que, muitas vezes, é possível construir uma
“receita” ou uma sentença que indique como
a sequência deve continuar, o professor pode
apresentar tipos diferentes de sequências
para que os alunos observem as propriedades de seus elementos e descubram a lei de
formação, ou seja, o padrão utilizado para a
construção da sequência. Oriente-os a construir uma sentença algébrica que permita
calcular um termo qualquer, em função de
sua posição na sequência (sequências, sob o
ponto de vista funcional).
13
Assim, uma possível abordagem desse tema
pode iniciar-se com a proposição de questões
que envolvam sequências repetitivas ou não,
solicitando do estudante que observe o padrão
de cada uma, escreva os próximos termos e
determine, por exemplo, o centésimo termo
da sequência.
Para tanto, o aluno deverá perceber que a
sétima figura é igual à primeira, a oitava figura
é igual à segunda e assim por diante. Ou seja,
cada período é formado por seis figuras; portanto, a 152a figura será igual à segunda, pois
tanto o número 2 (que indica a posição da segunda figura) quanto o número 152 (que indica
a posição da 152a figura), quando divididos por
6, deixam resto 2.
f 1, 1, 1, 1, 1, ..., ..., ...
Assim, o professor poderá auxiliar os alunos na conclusão de que as Figuras 1, 7, 13,
19, etc. são todas iguais à primeira figura, pois
os números 1, 7, 13, 19, etc., quando divididos por 6, deixam resto 1. Do mesmo modo,
as Figuras 3, 9, 15, 21, etc. são todas iguais
à Figura 3, pois os números 3, 9, 15, 21, etc.,
quando divididos por 6, deixam resto 3 e assim sucessivamente.
f 1, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 1, ...
f 5, 4, 8, 1, 3, 5, 4, 8, 1, 3, 5, 4, 8, 1, 3, 5, 4, ...
É importante que o professor auxilie os alunos na observação de que, nessas sequências,
os motivos (períodos) são repetidos igualmente – um elemento ou um grupo de elementos
se repete periodicamente –, levando-os a perceber que essa característica deve ser levada
em conta, na organização dos dados, para a
identificação do termo solicitado.
A exploração de sequências repetitivas, numéricas ou não, favorece a discussão sobre algumas noções trabalhadas nas séries anteriores,
como múltiplos, divisores e regras de divisibilidade, e permite uma aproximação da noção de
congruência, uma vez que trabalha com números que, divididos por um determinado número
inteiro, apresentam o mesmo resto.
As sequências figurais também podem enriquecer o trabalho com a observação de regularidades e generalização de padrões. No
caso da sequência abaixo, o professor pode,
por exemplo, solicitar que o aluno indique a
figura que deve ocupar a 152a posição.
1
2
3
4
5
Realizada a discussão do exemplo proposto e de outros que o professor julgar apropriados, propomos que os alunos resolvam os
seguintes problemas:
6
7
8
Problema 3
Observe a sequência de figuras:
3
4
14
5
6
7
8
1
2
3
4
5
6
7
...
Matemática – 1ª- série, 1o bimestre
Supondo que a lei de formação continue a
mesma, desenhe as figuras que deverão ocupar as posições 38a e 149a, nessa sequência.
Justifique sua resposta.
A figura que ocupa a posição 38 será a
mesma figura da posição 2, pois a divisão
de 38 por 4 deixa resto 2, e a que ocupa a
posição 149 será a mesma da posição 1, visto
que a divisão de 149 por 4 deixa resto 1.
Problema 4
Observe a sequência (1, 1, 2, 3, 3, 1, 1, 2, 3,
3, 1, 1, 2, 3, 3, 1, 1...). Supondo que permaneça
a lei de formação dessa sequência, determine
o 38o e o 149o termos dessa sequência.
O período é de cinco números. Assim, o
38o termo é 2, pois a divisão de 38 por 5 deixa
resto 3, e o terceiro termo da sequência é o
número 2; o 149o termo é igual a 3, pois a
divisão de 149 por 5 deixa resto 4, e o quarto
termo da sequência é o número 3.
Problema 5
Hoje é quarta-feira. Devo pagar uma dívida exatamente daqui a 90 dias. Em que dia da
semana cairá o 90o dia?
árvores. No primeiro dia, foram plantadas
120 árvores, e planejou-se que, nos próximos
dias, seriam plantadas, a cada dia, dez árvores
a mais do que teria sido plantado no dia anterior. Isso sendo feito,
a) quantas árvores serão plantadas no sétimo dia?
6 . 10 + 120 = 180 árvores.
b) qual é o número x, se, no final do décimo dia, havia-se plantado a metade do
total previsto inicialmente?
No décimo dia = 9 . 10 + 120 = 210 ⇒
S = 120 + 130 + 140 + ... + 190 + 200 + 210
S = (120 + 210) . 5 = 1 650 (Metade do total)
Total de árvores = 1 650 . 2
x = 3300
Problema 7
Observe os seis primeiros termos de
uma sequência.
(I)
1 2 3 4
A
B
C
D
A
B
C
D
(III)
1 2 3 4
O período é de sete dias. A divisão de 90
por 7 deixa resto 6; portanto o 90o dia será
o sexto elemento da sequência dos dias da
semana iniciada na quinta-feira. Logo, o
90o dia será terça-feira.
A
B
C
D
Problema 6
A
B
C
D
Um processo de reflorestamento previa
a plantação de um número x de mudas de
(II)
1 2 3 4
(IV)
1 2 3 4
A
B
C
D
(V)
1 2 3 4
(VI)
1 2 3 4
A
B
C
D
15
Supondo que a regularidade observada na
formação desses termos seja mantida para a
formação dos demais, isto é, que o termo (I)
seja igual ao termo (VII), que o termo (II) seja
igual ao termo (VIII) e assim por diante,
a) quais quadrículas estarão pintadas no
termo (XXX)?
O período da sequência é de seis termos. A
divisão de 30 por 6 resulta resto zero. Assim,
o termo (XXX) é igual ao termo (VI), e
nele estarão pintadas as quadrículas C2, C3,
D3 e D4.
b) quantas vezes a quadrícula B2 terá sido
pintada, desde o termo (I) até o termo
(XIX)?
A quadrícula B2 é pintada três vezes a cada
período, nos termos (I), (III) e (IV). Até o
termo (XIX), incluindo-o, serão três períodos
e mais um termo. Portanto, a quadrícula B2
será pintada 3 . 3 + 1 = 10 vezes.
Professor, uma prática que costuma motivar os alunos e aproveitar, de forma mais
intensa, seus conhecimentos anteriores é
solicitar-lhes que, com base nas condições
desse problema, criem diversas questões,
para que sejam trocadas e resolvidas por
eles mesmos, sob sua supervisão. Além disso, esse tipo de atividade é um consistente
instrumento no estímulo à metacognição,
isto é, estimula cada aluno a refletir sobre
como elabora e mobiliza suas estratégias de
raciocínio durante uma etapa de resolução
de problemas.
16
Etapa 2 – Sequências definidas por
sentenças matemáticas
Nesta etapa, os alunos serão convidados a
obter sequências numéricas a partir de condições definidas, inicialmente, na língua materna
e, posteriormente, na linguagem matemática.
Além disso, desenhando um percurso inverso
ao anterior, uma série de problemas será proposta para que os alunos obtenham a expressão do termo geral de determinada sequência
numérica. Propomos que o exemplo seguinte
seja apresentado e discutido com os alunos
antes que eles se envolvam com a resolução
dos problemas propriamente dita.
Em uma sequência numérica, o primeiro
termo é uma fração de numerador 1 e denominador 4. Os termos seguintes ao primeiro
podem ser obtidos adicionando sempre uma
unidade ao numerador e ao denominador da
fração do termo imediatamente anterior.
a) Quais são os cinco primeiros termos
dessa sequência?
1 2 3 4 5.
, , , , .
4 5 6 7 8
b) Chamando o primeiro termo de a1, o
segundo termo de a2, o terceiro de a3 e
assim por diante, quanto é a9?
9 .
.
12
c) Quanto é a54?
54 .
.
57
Matemática – 1ª- série, 1o bimestre
d) Como se pode determinar um termo an
qualquer?
Um termo qualquer an é uma fração em que
o numerador é igual a n e o denominador é 3
unidades a mais do que n, isto é, é igual a
n + 3. Assim, an = n .
n+3
Chamamos a atenção do professor para
o fato de que o conjunto de problemas desta
etapa envolve sequências numéricas de várias
naturezas, e não apenas as aritméticas e as geométricas, e também para a necessidade de os
alunos escreverem em língua materna a regularidade expressa na linguagem matemática.
Problema 1
Em uma sequência numérica, o primeiro
termo é igual a 2, e os seguintes são obtidos
a partir do acréscimo de 3 unidades ao termo
imediatamente anterior. Nessa sequência:
a) quais são os cinco primeiros termos?
Outro raciocínio possível é o seguinte: como
o salto de um termo a outro é constante e
igual a 3, podemos supor que uma expressão
geral deva conter o termo 3 . n. Para que
a1 = 2, é preciso que seja subtraído 1 de 3 . n.
Assim, an = 3 . n – 1.
Problema 2
Para obter os termos de uma sequência numérica, é necessário fazer o seguinte:
1. Elevar a posição do termo ao quadrado,
isto é, calcular 12 para o primeiro termo,
22 para o segundo termo, 32 para o terceiro
termo e assim por diante.
2. Adicionar duas unidades ao resultado obtido após elevar ao quadrado a posição
do termo.
Para essa sequência numérica:
a) quais são os cinco primeiros termos?
(2, 5, 8, 11, 14).
b) qual é o a10?
(3, 6, 11, 18, 27).
(29).
b) qual é o oitavo termo?
c) qual é o a20?
a8 = 82 + 2 = 66.
(59).
d) como se pode determinar um termo an
qualquer?
Somando o termo inicial, 2, a um certo
número de termos sempre iguais a 3. Para
obter um termo n qualquer, devemos somar o
primeiro termo, 2, com n – 1 termos iguais a
3. Assim, an = 2 + 3 . (n – 1) = 3 . n – 1.
c) qual é o a20?
a20 = 202 + 2 = 402.
d) como se pode determinar um termo an
qualquer?
an = n2 + 2.
17
Problema 3
Observe os cinco primeiros termos da seguinte sequência numérica:
5 3 7
, , .
3 2 5
3, 2,
Verifique que é possível determinar os termos dessa sequência a partir da expressão
n+2
, atribuindo a n valores naturais
an =
n
maiores do que zero.
9
.
11
10 – 1
9
pode ser escrito como
.
10 + 1
11
Portanto, ele é o décimo termo.
O termo
Problema 5
uma determinada sequência numérica tem
1
a1 = 9, a2 = 3, a3 = 1 e a4 = . Nessa sequência,
3
qual é:
Para n = 1 ⇒ a1 =
1+2
= 3;
1
Para n = 2 ⇒ a2 =
2+2
= 2;
2
a) o quinto termo?
Para n = 3 ⇒ a3 =
3+2 5
= .
3
3
Cada termo da sequência, a partir do
segundo, é obtido pela divisão do anterior
por 3. Assim, o quinto termo será igual a
Problema 4
A expressão an =
n –1
é a expressão do
n +1
termo geral de uma sequência numérica, isto é,
os termos da sequência podem ser obtidos, se
forem atribuídos a n valores naturais maiores
do que zero. Para essa sequência, encontre:
a) a1
1–1
a1 =
= 0.
1+1
b) a5
a5 =
5–1
4
2
= = .
5+1
6
3
c) o oitavo termo
a8 =
18
d) a posição do termo que é igual a
7
8–1
= .
9
8+1
1
1
÷3= .
9
3
b) o a6?
a6 = a5 ÷ 3 =
1
1
.
÷3=
27
9
c) a posição do termo que é igual a
Como 27 é igual a 81 ÷ 3, e
termo,
1
?
81
1
é o sexto
27
1
é o sétimo termo.
81
Problema 6
Qual das duas expressões listadas a seguir
é a expressão do termo geral da sequência do
exercício anterior? (Lembre-se que n é o número que dá a posição do termo na sequência,
Matemática – 1ª- série, 1o bimestre
isto é, se n = 2, temos o segundo termo; se n = 5,
temos o quinto termo e assim por diante.)
9
an = n
3
an = 33 – n
O termo geral da sequência é an = 33 – n, que
poderá ser verificado a partir da substituição
de n por números naturais maiores do
que zero.
Problema 7
A sequência dos números pares positivos é
esta: 0, 2, 4, 6, 8, 10, ...
Nessa sequência:
a) qual é o décimo termo?
O décimo termo é 18.
b) qual é o 15o termo?
O 15o termo é 28.
c) qual é o a35?
a35 = 68.
d) qual é o a101?
a101 = 200.
Problema 8
Escreva os cinco primeiros termos da sequência dos números ímpares positivos.
1, 3, 5, 7, 9...
Nessa sequência:
a) qual é o décimo termo?
a10 = 19.
b) qual é o a13?
a13 = 25.
c) qual é o a25?
a25 = 49.
d) como se pode determinar um termo an
qualquer?
Fazendo 2 . n – 1, em que n é um número
natural maior do que zero.
Problema 9
Observe a sequência numérica 1, 4, 9, 16,
25, ... Nessa sequência, qual é:
a) o sexto termo?
e) qual é a posição do termo que é igual a
420?
O sexto termo é 62 = 36.
420 é o 211o termo.
b) o a7?
f) como se pode determinar um termo an
qualquer?
a7 = 72 = 49.
Fazendo (n – 1) . 2, sendo n um número
natural maior do que zero.
c) a expressão de seu termo geral?
an = n2.
19
Problema 10
b) Escreva uma fórmula que permita calcular a quantidade de quadrinhos brancos, em função da posição n da figura
na sequência. (Sugestão: você pode organizar os dados em uma tabela como a
que segue.)
uma sequência numérica é dada pelo seguinte termo geral:
an = n + 1
Para essa sequência, determine:
Posição da número de
número de quadri­
figura na quadrinhos
nhos brancos
sequência
pretos
1
1
0
a) os cinco primeiros termos.
2 , 3 , 2, 5 , 6 .
b) os cinco primeiros termos que sejam números inteiros.
2
2
2² – 2
3
3
3² – 3
4
4
n
4² – 4
n
n² – n = n . (n – 1)
Os cinco primeiros termos representados
por números inteiros serão aqueles em que o
radicando é um quadrado perfeito.
c) Quantos quadrinhos brancos deverá ter
a 39a figura dessa sequência?
a3 = 2
Problema 12
a8 = 3
a15 = 4
a24 = 5
39² – 39 = 1 482 = 39 . 38.
a35 = 6
Problema 11
Observe a sequência de figuras.
A seguir, estão os primeiros elementos de
uma sequência de figuras que representam os
chamados números quadrangulares. Analiseos e responda às questões propostas.
1
2
3
4
5
a) Quantos quadrinhos deverá ter o sexto
elemento dessa sequência? E o décimo
termo?
Responda:
a) Quantos quadrinhos brancos deverá ter
a sexta figura dessa sequência?
30 quadrinhos brancos, pois 6 . 6 – 6 = 30.
20
36; 100.
b) Escreva a expressão do termo geral dessa sequência.
n².
Matemática – 1ª- série, 1o bimestre
Problema 13
Problema 14
Observe a figura:
Observe as linhas completas da tabela e
complete as que estiverem em branco.
Adição
1
3
5
7
a) qual é a soma dos números escritos
abaixo da quinta figura?
1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25.
b) que relação pode ser estabelecida entre
esse resultado e a figura analisada?
A soma dos números escritos abaixo da figura
é igual ao total de quadrinhos que formam a
figura. Os números escritos abaixo da figura
são os cinco primeiros naturais ímpares. Sua
soma é 25. O total de quadrinhos da figura
é 5² = 25.
c) utilize os resultados de suas observações
para determinar, sem efetuar a adição,
o resultado de 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11
+ 13 + 15.
8² = 64.
1 + 3 = 4 = 2²
A soma dos dois
primeiros números
ímpares é igual ao
quadrado de 2.
1 + 3 + 5 = 9 = 3²
A soma dos três
primeiros números
ímpares é igual ao
quadrado de 3.
1+3+5+7=
16 = 4²
A soma dos quatro
primeiros números
ímpares é igual ao
quadrado de 4.
1+3+5+7+9=
25 = 5²
A soma dos cinco
primeiros números
ímpares é igual ao
quadrado de 5.
1+3+5+7+9+
...+ 2 . n – 1 +...= n²
A soma dos n
primeiros números
ímpares é igual a n2.
9
Nessa representação, os números escritos
logo abaixo da figura indicam a quantidade
de quadrinhos de cada um desses conjuntos.
Sendo assim, responda:
descrição
Considerações sobre a avaliação
A Situação de Aprendizagem 1 abordou a
regularidade numérica, e também geométrica,
observada em algumas sequências. Além disso, introduziu a ideia de que é possível obter
uma sequência numérica a partir de uma relação matemática estabelecida entre um conjunto discreto (naturais) e um conjunto de
qualquer natureza. São esses, pois, os elementos importantes a serem avaliados. Para tanto,
sugerimos que o professor elabore momentos
de avaliação que contemplem:
21
f a obtenção de termos de maiores ordens de
uma sequência, a partir do conhecimento
dos primeiros termos;
f a determinação do termo geral de sequências numéricas, desde que esses termos gerais se baseiem em expressões conhecidas
pelos alunos, como, por exemplo, expressões do tipo a . x + b ou a . x2 + b.
Salientamos, também, a importância de
que as avaliações não se restrinjam a situações
individuais. Em alguns momentos, pode-se
contemplar a possibilidade de que os alunos
consultem seu material de aula e, em outros,
seus colegas de grupo. Destacamos, por fim,
o fato de que um trabalho com características essencialmente indutivas, como é o
caso dos temas desenvolvidos neste Caderno, estimula sobremaneira a discussão e a
tomada de decisões, justificando, dessa forma, a inclusão de instrumentos de avaliação
não individuais.
SItuAçãO DE APRENDIzAGEM 2
PROGRESSÕES ARItMÉtICAS Ou PROGRESSÕES
GEOMÉtRICAS
tempo previsto: 2 semanas.
Conteúdos e temas: progressões aritméticas e progressões geométricas; expressão do termo geral da PA
e da PG.
Competências e habilidades: reconhecer o padrão de regularidade de uma sequência aritmética ou de
uma sequência geométrica; utilizar a linguagem matemática para expressar a regularidade dos padrões
de sequências numéricas.
Estratégias: resolução de exercícios exemplares.
roteiro para aplicação da Situação
de Aprendizagem 2
As sequências aritméticas ou geométricas
são bastante estudadas, no Ensino Médio,
por vários motivos, sendo um deles a pouca
exigência algébrica, e outro motivo a facilidade de padronizar os conceitos por intermédio de fórmulas matemáticas.
22
A baixa exigência algébrica envolvida, especialmente no estudo das PAs, deve ser, de
fato, valorizada, em detrimento de exercícios
sem qualquer contexto, que exijam a escrita
de equações complexas. Enfatizamos, portanto, que se priorizem o desenvolvimento dos
conteúdos e a apresentação de situações-problema, sob o prisma do reconhecimento da
regularidade da sequência e da generalização
Matemática – 1ª- série, 1o bimestre
intuitiva do termo geral, colocando em segundo plano, portanto, a simples substituição de valores em fórmulas decoradas.
Outro aspecto que merece comentário é o
fato de que, em geral, as PAs e as PGs são
tratadas de modo independente, uma a cada
tempo, e, em primeiro lugar, sempre vêm as
PAs e, depois, as PGs.
No entanto, vale destacar o fato de que
o raciocínio principal envolvido em um
ou em outro tipo de sequência é o mesmo,
ou seja, um valor constante é o passo que
permite obter um termo a partir do anterior. O fato de que, em um caso, esse passo
é adicionado, enquanto, no outro, é multiplicado é algo que compõe o raciocínio
secundário do estudo, cujo reconhecimento não costuma trazer qualquer dificuldade
adicional aos alunos.
Dessa forma, apresentaremos, a seguir,
uma série de problemas exemplares, compostos, em alguns casos, por PA, em outros, por PG e, em outras situações, pelos
dois tipos de sequências. Sugerimos que
sejam propostos aos alunos na ordem em
que aparecem.
O Problema 1 pode ter a resolução solicitada sem nenhum comentário prévio. Durante
os comentários da correção, o professor poderá valorizar as diversas maneiras de resolução
que eventualmente surgirem. um tipo de resolução importante, que poderá ser levantado
pelo professor, caso não surja dos alunos, é
aquele que considera o passo de cada sequência
como parcela ou fator constante no momento
da escrita da expressão do termo geral da
sequência. Por exemplo, no caso da sequência (5, 9, 13, 17, 21, ...), o passo constante
é 4, que, adicionado a cada termo, permite que
se obtenha o seguinte. Nesse caso, a expressão
do termo geral deverá conter, necessariamente, um termo do tipo 4 . n. Compreendido isso,
pode-se pensar da seguinte maneira:
Para n = 1, o resultado deve ser igual
a 5, que é o primeiro termo da sequência. No entanto, ao fazer 4 . n ou 4 . 1, o
resultado obtido é 4. Sendo assim, ainda
falta uma unidade para ser obtido o primeiro termo. Logo, o termo geral pode
ser este:
an = 4 . n + 1
testando essa expressão para outros
termos, verificamos que ela é válida, pois:
a2 = 4 . 2 + 1 = 9
a3 = 4 . 3 + 1 = 13
Logo, o termo geral da sequência é
mesmo an = 4 . n + 1.
Esse mesmo tipo de raciocínio pode ser
aplicado na determinação do termo geral de
uma PG. Na sequência (2, 6, 18, 54, ...), por
exemplo, o passo constante é 3, que, quando
multiplicado a algum termo, resulta no termo
imediatamente seguinte. Assim, se sempre se
multiplica por 3, o termo geral da sequência
23
deve conter 3n. A partir do entendimento dessa regularidade, pode-se pensar que:
Para n = 1, o resultado deve ser igual
a 2, que é o primeiro termo da sequência.
No entanto, ao fazer 3n ou 31, obtemos 3,
e não 2. Logo, deve haver mais um fator
na expressão, a fim de que o resultado
2
esperado seja obtido. Esse fator é ,
3
2
= 2. Então, o termo geral da
pois 3 .
3
sequência deve ser este:
2
. 3n
an =
3
testando essa expressão para outros
termos, verificamos que ela é válida, pois:
Problema 1
Considere as sequências de (I) a (VI) para
responder às questões propostas.
(i) (0, 3, 6, 9, 12, ...)
(ii) (1, 4, 7, 10, 13, ...)
2
18
. 32 =
=6
3
3
(iii) (2, 5, 8, 11, 14, ...)
a2 =
a3 =
2
54
. 33 =
= 18
3
3
(V) (0,2; 0,4; 0,6; 0,8; ...)
Logo, o termo geral da sequência
2
. 3n, que, simplificando,
é mesmo an
3
pode ser escrito an = 2 . 3n – 1.
É esperado, nessa Situação, que alguns
alunos adotem procedimento semelhante ao
adotado para a PA, isto é, fazer 3n e, em seguida, subtrair uma unidade, a fim de que 31 – 1
coincida com o primeiro termo da sequência.
Nesse caso, caberá ao professor pedir que os
alunos apliquem a “fórmula” obtida para os
demais termos da sequência, quando, então,
perceberão o equívoco do raciocínio adotado.
Salientamos, novamente, que não é conveniente formalizar a adoção de um ou
24
outro tipo de raciocínio, nem mesmo esse que
descrevemos há pouco. Caberá a cada aluno
escolher o raciocínio que considera mais adequado, e caberá ao professor discutir todos os
raciocínios que surgirem, apresentando prós
e contras de cada um, no sentido de fornecer
elementos para que os alunos possam refinar
suas estratégias iniciais.
(iV) (–2, 4, –8, 16, –32, ...)
(Vi) (1, 4, 16, 64, 256, ...)
a) Escreva os três termos seguintes de cada
uma dessas sequências.
(I) 15, 18, 21.
(II) 16, 19, 22.
(III) 17, 20, 23.
(IV) 64, –128, 256.
(V) 1,0; 1,2; 1,4.
(VI) 1 024, 4 096, 16 384.
b) É verdade que o algarismo 8 não aparece em nenhum número da sequência
(II)? justifique.
Não, pois o algarismo 8 aparece no termo
28, que é o décimo termo da sequência.
Matemática – 1ª- série, 1o bimestre
c) É possível que um mesmo número natural apareça em duas das três primeiras
sequências? Justifique.
Não, pois a sequência (I) é formada
apenas por números que, divididos por
3, deixam resto zero; a sequência (II) é
formada apenas por números que, divididos
por 3, deixam resto 1; a sequência (III) é
formada apenas por números que, divididos
por 3, deixam resto 2. Como a divisão
por um número natural diferente de zero
(divisão euclidiana) não pode apresentar
dois restos distintos, não é possível que
um mesmo número apareça em duas
dessas sequências.
d) O número 1 087 é um termo de qual(is)
sequência(s)?
O número 1 087 é um termo da sequência
(II), pois a divisão de 1 087 por 3 deixa
resto 1, e é também elemento da sequência
(V), uma vez que é múltiplo de 0,2.
e) Mostre que o número 137 não pertence
à sequência (II).
A sequência (II) é formada apenas por
números que, divididos por 3, deixam resto
1. Logo, o 137 não é termo da sequência
(II), pois a divisão de 137 por 3 deixa
resto 2.
f) Escreva o termo geral da sequência (I).
an = 3 .(n – 1), n ∈ N*.
g) Escreva o termo geral da sequência
(II).
an = 3 . n – 2, n ∈ N*.
h) Escreva o termo geral da sequência
(III).
an = 3 . n – 1, n ∈ N*.
i) Escreva o termo geral da sequência
(IV).
an = (– 2)n, n ∈ N*.
j) Escreva o termo geral da sequência
(V).
an = 0,2 . n, n ∈ N*.
k) Escreva o termo geral da sequência
(VI).
an = 4n ÷ 4, n ∈ N*.
l) Escolha um critério, justificando-o, e separe as seis sequências em dois grupos.
Espera-se, neste item, que os alunos percebam
que há, entre as sequências apresentadas,
algumas em que o passo constante é somado
a cada termo e outras em que o passo
constante é multiplicado a cada termo.
Todavia, poderão aparecer outros critérios, e
o professor deverá estar atento para valorizar
os critérios surgidos, mas, também, enfatizar
a importância do reconhecimento do passo
constante das sequências, seja ele somado ou
multiplicado.
25
Problema 2
Sabe-se que as Olimpíadas, a Copa do
Mundo e os jogos Pan-americanos ocorrem de
quatro em quatro anos. Se essas competições
ocorreram nos anos de 2004, 2006 e 2007, respectivamente, e considerando que continuem
a acontecer, segundo essa regra, por muito
tempo, responda:
a) Qual competição ocorrerá em 2118? E
em 2079 e 2017?
As Olimpíadas acontecem em anos em
que sua divisão por 4 deixa resto zero, a
Copa acontece em anos em que sua
divisão por 4 deixa resto 2, e os Jogos
Pan-americanos acontecem em anos em
que sua divisão por 4 deixa resto 3.
Assim, em 2118 aconteceria a Copa do
Mundo (resto 2), em 2079 aconteceriam
os Jogos Pan-americanos (resto 3), e em
2017 não aconteceria nenhuma dessas três
competições (resto 1).
b) Haverá algum ano em que ocorrerá
mais de uma dessas três competições?
Explique.
Não é possível, pois qualquer número dividido
por 4 deixa um, e apenas um, desses restos:
zero, 1, 2 ou 3.
Problema 3
uma determinada sequência numérica
respeita a seguinte condição: a diferença entre dois termos consecutivos é sempre a mesma e igual a 6. Se o primeiro termo dessa
sequência é –8,
26
a) quais são os cinco primeiros termos?
(–8, –2, 4, 10, 16...).
b) qual é o a9?
40.
c) qual é o 15o termo?
76.
d) qual é o 20o termo?
106.
e) quanto é a diferença entre a12 e a5?
42.
f) qual é a expressão de seu termo geral,
isto é, qual é a formula matemática que
relaciona um termo qualquer (an) à posição do termo (n)?
an = 6 . n – 14.
Problema 4
O primeiro termo de uma sequência numérica é 0,02, e, para obter os termos seguintes,
basta multiplicar o termo imediatamente anterior por 5. Dessa forma, qual é:
a) o segundo termo?
0,1.
Matemática – 1ª- série, 1o bimestre
b) o a3?
0,5.
c) o a4?
2,5.
d) o resultado da divisão entre a6 e a4?
25.
e) o termo geral da sequência, isto é, qual
é a formula matemática que relaciona
um termo qualquer (an) à posição do
termo (n)?
an = 0,02 . 5n – 1.
A resolução dos exercícios anteriores foi,
de certa forma, preparatória para a caracterização das PAs e das PGs. Finalizada essa
etapa, o professor poderá definir progressão
aritmética e progressão geométrica a partir de
uma discussão com seus alunos, identificando,
dentre as sequências já estudadas, aquelas que
atendem a cada definição dada.
Compreendido o significado de uma progressão aritmética, o aluno será capaz de
concluir que, partindo do primeiro termo,
para avançar um termo na sequência, deverá
adicionar o “passo”, ou razão “r”, uma vez,
isto é, a2 = a1 + r; da mesma forma, para
avançar dois termos, deverá adicionar 2 . r ao
primeiro termo, obtendo a3 = a1 + 2 . r. Por
esse processo, espera-se que o aluno reconheça que, para obter o 20o elemento, deverá
adicionar 19 . r ao primeiro termo e escreverá:
a20 = a1 + 19 . r, e assim sucessivamente. Esse
raciocínio favorecerá a construção, por parte
do aluno, da fórmula do termo geral da PA,
que é dada por an = a1 + (n – 1) . r.
Além disso, essa compreensão permitirá que o aluno note que, para “passar” de a4
para a11, deverá avançar sete termos, ou seja,
para obter o termo a11 a partir do termo a4,
deverá adicionar 7 . r ao termo a4 e escreverá:
a11 = a4 + 7 . r. Da mesma forma, poderá escrever a4 = a11 – 7 . r, pois, para “passar” de a11
para a4, deve “retroceder” sete termos.
De forma análoga, as progressões geométricas têm a si associado o significado de que, conhecidos o primeiro termo e o passo, ou razão
“q”, é possível determinar qualquer termo da
sequência a partir da multiplicação do primeiro termo pela razão um determinado número
de vezes. Assim, se o aluno compreender que
a2 = a1 . q, que a3 = a1 . q2, e assim por diante, compreenderá, também, que an = a1 . qn – 1
e, generalizando, que an = ak . qn – k.
Destacamos, novamente, a importância
de valorizar o raciocínio dos alunos na obtenção do termo geral de uma PA ou de uma
PG, em detrimento de amarrar a resolução
dos problemas à utilização das fórmulas obtidas. O professor deverá estar atento para
a observação das estratégias de resoluções
dos alunos, a fim de distinguir aqueles que
utilizam fórmulas prontas como um mero
atalho para a aplicação do conceito que
já dominam, e, portanto,podem ser estimulados nessa postura, ainda dos alunos
que, sem terem atingido a compreensão desejada, buscam adaptar as condições dos
27
geométrica de 8 e 32, pois 16 = 8 . 32 .
Após a discussão dos problemas anteriores e das expressões do termo geral das
PAs e das PGs, o professor poderá pedir
que os alunos resolvam alguns problemas
exemplares.
Problema 5
Considere que uma progressão aritmética
é uma sequência (a1, a2, a3, ... an, ...) de números
an, em que a diferença entre cada termo an + 1
e seu antecedente an é uma constante. Essa
diferença constante é chamada razão da progressão aritmética e é representada por r.
Assim, em uma progressão aritmética de razão r, temos: an + 1 – an = r, para todo n natural, n ≥ 1. De acordo com essa definição,
indique quais das sequências que se seguem
são progressões aritméticas. Em caso afirmativo, determine a razão.
a) (2, 5, 8, 11, ...).
b) (2, 3, 5, 8, ...).
28
341
2 2
, , ... .
3 9
f) 6, 2,
341
3
1
, –1, – , 0, ... .
2
2
e) –
341
2 2 2 2
, , ,
, ... .
3 3 3 3
143
Na PG (4, 8, 16, 32, 64 ...), 16 é média
d)
143
É importante que o professor também explore o seguinte fato: cada termo de uma PG,
a partir do segundo, é a média geométrica entre seu antecessor e seu sucessor. O exemplo a
seguir serve como ilustração:
c) (7, 3, –1, –5, ...).
143
problemas às fórmulas, como se perguntassem a si próprios, todo o tempo: “Qual
fórmula eu uso agora?”. Casos dessa natureza certamente merecerão maior atenção
do professor.
São PAs as seguintes sequências: a) (razão: 3);
1
c) (razão –4); d) (razão: 0); e) (razão: ).
2
Problema 6
Considere as sequências dadas por seus
termos gerais:
I)
an = 4 . n + 1, com n ∈ N, n ≥ 1;
II) an = 4 . n2 + 1, com n ∈ N, n ≥ 1;
III) a1 = 2 e an = an – 1 . 3, com n ∈ N, n ≥ 2;
IV) a1 = 2 e an = an – 1 + 3, com n ∈ N, n ≥ 2.
Obtenha os cinco primeiros termos de cada
uma dessas sequências e destaque a razão daquelas que forem progressões aritméticas.
I) 5, 9, 13, 17, 21.
II) 3, 15, 35, 63, 99.
III) 2, 6, 18, 54, 162.
IV) 2, 5, 8, 11, 14.
São PAs as seguintes sequências: (I), com
razão = 4, e (IV), com razão = 3.
Problema 7
Considere que uma progressão geométrica
é uma sequência (a1, a2, a3,... an, ...), em que
cada termo an, a partir do segundo, é obtido
Matemática – 1ª- série, 1o bimestre
pela multiplicação de seu antecedente an – 1 por
uma constante diferente de zero.
V)
(IV) é PG de razão 2. São PAs: (I), de razão
3; (III), de razão 3; e (V), de razão 2.
De acordo com essa definição, quais das
sequências abaixo são progressões geométricas? Justifique sua resposta.
(1, 3, 9, 27, ...);
143 143
III) 36, 12, 4,
V) 3,
341 341
I)
II) (1, 2, 6, 24, ...);
Problema 9
Observe a sequência de figuras e responda
às questões propostas.
4
, ... ; IV) (1, –2, 4, –8 ...);
3
8 7
, , 2, ... ;
3 3
IV) ( 2, 2, 2 2, 4, ...)
1
São PGs: (I), de razão 3; (III), de razão ;
3
(IV), de razão –2; (VI), de razão
2.
Problema 8
Considere as sequências:
I) an = 3 . n + 1, com n ∈ N, n ≥ 1;
II) an = 3 . n2 – 1, com n ∈ N, n ≥ 1;
III) an = 3 . n, com n ∈ N, n ≥ 1;
IV) a1 = 3 e an = an – 1 . 2, com n ∈ N, n ≥ 2;
V) a1 = 3 e an = an – 1 + 2, com n ∈ N, n ≥ 2;
Determine os cinco primeiros termos de
cada sequência e destaque a razão daquelas
que forem progressões geométricas ou progressões aritméticas.
I)
3, 5, 7, 9, 11.
4, 7, 10, 13, 16.
II) 2, 11, 26, 47, 74.
III) 3, 6, 9, 12, 15.
IV) 3, 6, 12, 24, 48.
1
2
3
4
a) Quantos quadradinhos comporão a
quinta figura dessa sequência? E a sexta figura?
Quinta figura: 48 quadradinhos e sexta
figura: 96 quadradinhos.
b) Associe a essa sequência outra que indique o número de quadradinhos de
cada figura. Essa sequência é uma PG?
Justifique.
(3, 6, 12, 24, ...) é PG, pois cada termo an
é obtido a partir da multiplicação do termo
anterior an – 1 por 2.
c) Construa uma fórmula que possa ser
utilizada para determinar um termo
qualquer dessa sequência.
Podemos escrever a fórmula desta maneira:
an = 3 . 2n – 1.
Este problema poderá favorecer uma discussão sobre a obtenção da fórmula do termo
geral de uma PG.
29
Para o desenvolvimento desta atividade, a
tabela a seguir organiza os dados, a fim de que
as regularidades sejam mais facilmente observadas. uma possível solução é a seguinte:
b) Quantos palitos serão necessários para a
construção da sexta figura? E da sétima?
Posição
de um
termo na
sequência
1
c) Quantos palitos serão necessários para
construir a 78a figura?
2
3
4
...
n
Cálculo
Quantidade de
quadradinhos
3
3
3 . 2 = 3 . 21
6.2=3.2.2=
3 . 22
12 . 2 = 3 . 2 .
2 . 2 = 3 . 23
...
(an-1) . 2 =
3 . 2n n-1
6
4 + 77 . 6 = 466.
d) Escreva uma fórmula que expresse a
quantidade de palitos da figura que
ocupa a posição n nessa sequência.
12
24
an-1
an = (an-1) . 2 =
3 . 2n-1
Neste caso, o aluno pode obter uma fórmula de recorrência: an = (an – 1) . 2 e a fórmula
do termo geral: an = 3 . 2n – 1.
Problema 10
Na figura, cada quadradinho é formado
por quatro palitos de comprimentos iguais.
...
1
2
3
4
5
a) A sequência formada pelas quantidades
de palitos necessários para a construção
das figuras forma uma PA? justifique
sua resposta.
A sequência formada pelas quantidades de
palitos é, sim, uma PA, pois cada figura tem
seis palitos a mais que a precedente: 4, 10,
16, 22, 28, ...
30
28 + 6 = 34 e 34 + 6 = 40.
an = 4 + (n – 1) . 6 = 6 . n – 2.
Problema 11
Sabe-se que o nono termo de uma PA de
razão 4 é 29. Qual é o 20o termo dessa PA?
a20 = 73. Para determinar o 20o termo de
uma PA é suficiente adicionar ao 9o termo
uma parcela que é igual ao produto 11 . 4,
pois, para “passar” do 9o ao 20o, é necessário
“avançar” 11 termos, ou seja, a20 = a9 + 11 . r.
Não é necessário, portanto, encontrar antes
o primeiro termo para se obter o vigésimo.
Problema 12
Sabe-se que a sequência (8, x, –4, y) é uma
progressão aritmética. Determine os valores
de x e y.
Em toda PA, temos a3 – a2 = a2 – a1 ⇒
–4 – x = x – 8 ⇒ x = 2. Com o mesmo
raciocínio, escrevemos y – (–4) = –4 – x ⇒
y + 4 = –4 –2 ⇒ y = –10. Nesse caso, temos:
(8, 2, –4, –10).
Matemática – 1ª- série, 1o bimestre
Problema 14
a8 = 2 187
II)
143
I) (1, 3, 9, 27, ...)
341
Determine o oitavo termo de cada uma das
progressões geométricas:
1
8, 4, 2, 1, , …
2
1
a8 =
16
Problema 15
a12 = 512.
Problema 16
Uma bola é lançada de uma altura de 18
metros, e seu impacto no solo provoca saltos
sucessivos, de tal forma que, em cada salto, a
altura que ela atinge é igual a 80% da altura
alcançada no salto anterior. Que altura será alcançada pela bola quando ocorrer o quinto salto? E o décimo salto? (Use uma calculadora.)
1
, x, 32, y determine os va2
lores de x e y.
Dada a PG
Em toda PG, cada termo, a partir do segundo,
é a média geométrica do antecessor e do
sucessor. Neste caso, x =
1
 32 = 4. Por ou2
tro lado, pela definição de PG,
y
32
=
⇒
32
x
y
32
=
⇒ y = 256. Nesse caso, temos:
32
4
143
Determinar o 12o termo de uma PG de razão 2, sabendo-se que o quinto termo dessa
sequência é 4.
143
A nova sequência será uma PA, cuja razão é
igual ao produto do número 6 pela razão da
PA inventada.
Problema 17
341
Invente uma progressão aritmética. Separe
apenas os termos cuja posição (n) é indicada
por um número múltiplo de 6 e forme outra
sequência de números. Essa nova sequência
também é uma progressão aritmética? Em
caso de resposta afirmativa, determine a razão
da PA. Justifique sua resposta.
A altura atingida no quinto salto corresponde
ao sexto termo de uma PG em que o primeiro
termo é igual a 80% de 18 e a razão é 0,8.
Assim, a6 = 18 . 0,85 ≅ 5,898 m. A altura do
décimo salto, obedecendo a essa lógica, será:
a11 = 18 . 0,810 ≅ 1,933 m.
341
Problema 13
1
, 4, 32, 256
2
Problema 18
Suponha que a população de uma cidade
tenha uma taxa de crescimento constante e
igual a 20% ao ano. No fim do ano de 2007, a
população era de 50 000 habitantes.
a) Calcule a população da cidade ao fim
de cada um dos próximos quatro anos e
escreva os resultados obtidos em forma
de sequência.
31
Sugere-se que o professor estabeleça com
seus alunos uma linguagem como:
Essa fórmula pode ser generalizada para
Pn = P0 . (1 + i)n, sendo i a taxa de crescimento.
P0 : a população inicial; P1 : a população um
ano depois; P2 : a população dois anos depois
e assim por diante.
Problema 19
P1= 50 000 + 20% de 50 000 =
50 000 + 0,2 . 50 000 = 60 000.
P2 = 60 000 + 20% de 60 000 =
60 000 + 0,2 . 60 000 = 72 000.
Fazendo-se os demais cálculos, obtêm-se
as populações P3 e P4 : 86 400 e 103 680,
respectivamente.
b) A sequência obtida é uma PG? Em caso
afirmativo, qual é a razão?
A sequência (50 000, 60 000, 72 000, 86 400,
103 680, ...) é uma PG de razão 1,2, pois :
60 000 72 000 86 400 103 680
=
=
=
= 1,2.
50 000 60 000 72 000
86 400
Assim, para se obter o termo sucessor de
um termo conhecido, basta multiplicar este
último por 1,2, ou seja, Pn + 1= 1,2 . Pn.
c) Encontre uma fórmula que permita calcular a população dessa cidade daqui a
n anos, contados a partir de 2007.
P1 = 50 000 . 1,21
P2 = 50 000 . 1,21 . 1,2 = 50 000 . 1,22
P3 = 50 000 . 1,22 . 1,2 = 50 000 . 1,23
Assim, Pn= 50 000 . 1,2n.
32
Suponha que o valor de um automóvel diminua a uma taxa constante de 10% ao ano.
Hoje, o valor desse automóvel é R$ 20 mil.
a) Calcule o valor desse automóvel daqui a
quatro anos.
R$ 13 122,00.
b) Encontre uma fórmula que permita calcular o preço desse automóvel daqui a n
anos.
Pn = 20 000 . 0,9n.
Convém ressaltar com a classe que a taxa,
nesse problema, é negativa. Se há uma depreciação de 10% ao ano, o valor do carro passa
a ser de 90% sobre o valor anterior. utilizando os resultados da atividade anterior, discuta
com os alunos que, para calcular o preço do
carro daqui a um ano, é suficiente multiplicar
o valor inicial do carro por 0,9, pois
P1 = P0 .(1 – 0,1) = P0 . 0,9.
tratamento das progressões sob o ponto de
vista funcional
Ao obter os termos de uma progressão aritmética por meio da lei de formação, utilizando
a fórmula do termo geral ou de recorrência, o
aluno trabalha, intuitivamente, com a noção
de função, pois associa cada índice ao termo
correspondente. Ou seja, todo número natural
(n) que é índice na sequência está associado a
Matemática – 1ª- série, 1o bimestre
um único número real. A fórmula relativa à
lei de formação da PA é a expressão algébrica que representa a função. Nesse caso, temos
uma função f: S → IR, sendo S ⊂ N*.
Assim, o domínio dessa função é formado pelos índices dos termos da PA, isto é,
D(f) = S = {1, 2, 3, 4, ...}. O contradomí­
nio dessa função é IR, e o conjunto imagem
é formado pelos termos da PA, ou seja,
Im(f) = {a1, a2, a3, ..., an ...}.
A representação gráfica da função que corresponde a uma PA é um conjunto de pontos
que pertencem a uma reta. todavia, o gráfico
não é a reta que contém esses pontos. tomando como exemplo a PA (1, 4, 7, 10, 13, ...),
na qual a1 = 1, a2 = 4, a3 = 7, a4 = 10, e assim
sucessivamente, sua representação gráfica é a
figura a seguir.
a4 = 10
a3 = 7
a2 = 4
a1 = 1
1
2
3
4
Nesse caso, temos: D(f) = {1, 2, 3, 4, 5, ...}
Im(f) = {1, 4, 7, 10, 13, ...} e an = 3 . n – 2
Essa terminologia somente deverá ser destacada para o aluno quando esse assunto for
retomado, posteriormente, nesta série, no
momento do estudo da função polinomial do
1o grau.
Ao aplicar a fórmula do termo geral ou de
recorrência para a determinação dos elementos de uma PG, de modo análogo ao que se
faz para uma PA, os estudantes também utilizam, intuitivamente, a ideia de função, pois
associam cada índice ao termo correspondente. Ou seja, todo número natural (n) que é índice na sequência está associado a um único
número real.
A fórmula que indica a lei de formação da
PG corresponde à expressão algébrica que
representa a função. Nesse caso, temos uma
função f: t → IR, sendo t ⊂ N*.
A expressão do termo geral de uma PG,
an = a1 . qn – 1, reflete o crescimento exponencial de an em função de q. Se o tratamento
funcional das PAs estará associado ao estudo das funções afim, esse tipo de tratamento
para as PGs será feito quando do estudo das
funções exponenciais. Portanto, não se trata de, neste momento, apresentar aos alunos
toda a terminologia adotada no estudo das
funções, mas apenas apontar relações que
serão exploradas mais adiante, no 2o e no 3o
bimestres. Os problemas seguintes são exemplos de como a apresentação inicial desse
tratamento pode ser realizada.
33
Problema 20
um conjunto A é formado apenas pelos
seguintes elementos: 1, 2, 3, 4, 5 e 6. Assim,
podemos escrever:
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
um conjunto B é formado por elementos
numéricos obtidos a partir dos elementos do
conjunto A, da seguinte forma: cada elemento de B é 4 unidades a mais do que o
triplo de um elemento de A. Dito de outra forma, se chamarmos cada elemento do
conjunto A de n e cada elemento do conjunto B de p, temos:
p=4+3.n
elemento do conjunto C e d representa um elemento do conjunto D.
a) Quais são os elementos do conjunto D?
D = {10, 5, 0, –5, –10, –15}.
b) Qual é o tipo de sequência numérica formada pelos elementos do conjunto D?
Uma PA de razão –5.
Problema 22
uma determinada regra matemática
“transforma” cada elemento do conjunto
E = {1, 2, 3, 4, 5, 6, ...} em outro número, conforme mostra a seguinte representação:
a) Quais são os elementos do conjunto B?
1
B = {7, 10, 13, 16, 19, 22}.
2
b) Qual é o tipo de sequência numérica formada pelos elementos do conjunto A?
3
4
Uma PA de razão 1.
5
c) Qual é o tipo de sequência numérica formada pelos elementos do conjunto B?
E
G
R
A
7
13
19
25
31
Uma PA de razão 3.
a) Qual é o resultado associado ao número 6?
Problema 21
(37).
Cada elemento de um conjunto D será obtido a partir de um elemento correspondente
do conjunto C = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, da seguinte
forma: d = –5 . c + 15, onde c representa um
34
R
b) Qual é o resultado associado ao número 10?
(61).
Matemática – 1ª- série, 1o bimestre
c) Se cada elemento do conjunto E for identificado pela letra n, e cada resultado for
identificado pela letra p, qual é a equação matemática que relaciona p e n?
6.n+1=p
d) Ordenando os resultados obtidos, qual
ocupará a nona posição?
(55).
e) Qual é o tipo de sequência numérica
formada pelos elementos do conjunto
dos resultados?
Uma PA de razão 6 e primeiro termo 7.
Considerações sobre a avaliação
O desenvolvimento apresentado nesta
Situação de Aprendizagem para o tratamento
das progressões priorizou dois aspectos:
f a abordagem comum das progressões aritméticas e das progressões geométricas;
f a determinação dos termos gerais das PAs
ou das PGs a partir da regularidade observada nas sequências, em detrimento do uso
das conhecidas fórmulas que, em geral, os
alunos decoram e usam mecanicamente.
Em relação ao primeiro aspecto, relativo ao
tratamento comum dos dois tipos de sequências, julgamos importante que o professor
leve-o, de fato, em consideração, no momento
da elaboração de avaliações, propondo, por
exemplo, questões semelhantes aos problemas
9 e 10.
É comum os alunos utilizarem as fórmulas
dos termos gerais da PA e da PG na resolução
de problemas. Não há porque evitar tal conduta, mas sim propor situações em que o simples uso da fórmula não conduz diretamente
ao resultado procurado. Nesse sentido, apresentamos, nesta Situação de Aprendizagem,
alguns modelos, como é o caso, por exemplo,
do Problema 3.
Por fim, salientamos, novamente, a necessidade da existência de momentos de avaliação em que os alunos possam trocar ideias
com outros colegas de grupo e mesmo consultar suas anotações. Além disso, o professor
poderá pedir que os alunos demonstrem seu
conhecimento sobre o assunto criando problemas e/ou contextos em que os conceitos
possam, claramente, serem aplicados.
35
SItuAçãO DE APRENDIzAGEM 3
SOMA DOS tERMOS DE uMA PA Ou DE uMA PG FINItA;
APLICAçÕES À MAtEMÁtICA FINANCEIRA
tempo previsto: 3 semanas.
Conteúdos e temas: progressões aritméticas e progressões geométricas: termos gerais e soma dos termos;
juros compostos, processos simples de capitalização e de amortização.
Competências e habilidades: utilizar a linguagem matemática para expressar a regularidade dos padrões
de sequências numéricas ou geométricas; aplicar conhecimentos matemáticos em situações do cotidiano
financeiro; generalizar procedimentos de cálculo com base em expressões matemáticas associadas ao
estudo das progressões numéricas.
Estratégias: resolução de exercícios exemplares.
roteiro para aplicação da Situação
de Aprendizagem 3
Esta Situação de Aprendizagem é dividida
em duas etapas. A primeira etapa é composta
por problemas exemplares para a construção
de significados da soma dos elementos de uma
sequência, e a segunda etapa é toda dirigida
para a aplicação da soma de elementos de
uma PA ou de uma PG, em alguns casos típicos da Matemática Financeira.
O cálculo da soma dos termos de uma
PA ou de uma PG é um bom momento para
retomar e aprofundar com os alunos a noção de algoritmo em Matemática. Isso porque podemos entender o cálculo da soma de
qualquer desses dois tipos de sequência como
realizado a partir de certa ordenação de procedimentos que conduzem, com eficiência,
ao resultado procurado.
No caso de uma PA do tipo (a1, a2, a3, ...,an – 3,
an – 2, an – 1, an), o professor pode explorar a
36
propriedade da equidistância dos extremos,
isto é, a1 + an = a2 + an – 1 = a3 + an – 2 = ..., a
fim de desenvolver estratégias para o cálculo
da soma de seus termos, em um trabalho que
antecede à construção e utilização da fórmula
da soma dos termos de uma PA.
Por exemplo, para o cálculo da soma dos
200 primeiros números naturais, indicada por:
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + ... + 197 +198 +
199 + 200,
o aluno pode ser auxiliado no sentido de observar que
1 + 200 = 2 + 199 = 3 + 198 = 4 + 197 =
... = 201.
Nesse caso, obterá cem somas iguais a 201
e, finalmente, concluirá que S200 = 100 . 201 =
20 100. Podemos, também, dizer que a soma
dos 200 números naturais é igual ao produto
201
, ou seja, o produto de 200
de 200 por
2
Matemática – 1ª- série, 1o bimestre
pela média aritmética dos termos equidistantes dos extremos.
No caso de sequências que apresentam número ímpar de termos, como (1, 4, 7, 10, 13,
16, 19), de sete termos, o aluno poderá utilizar
a seguinte estratégia:
1 + 19 = 4 + 16 = 7 + 13 = 20.
Assim, são obtidas três somas iguais a 20.
Como o número 10, que é o termo central (mediana), não foi adicionado, a soma dos termos
dessa PA será representada da seguinte forma:
S7 = 3 . 20 + 10 = 60 + 10 = 70.
Nesse exemplo, é importante destacar que
a soma dos sete termos dessa progressão aritmética 1 + 4 + 7 + 10 + 13 + 16 + 19 é igual a
7 . 10, sendo 10 a média aritmética dos termos
equidistantes dos extremos.
Essa sequência de passos para se obter a soma dos termos de uma PA pode ser
vista como um algoritmo que permite rapidez e precisão no cálculo e, por isso mesmo,
pode e deve ser bem compreendida e utilizada
sempre que possível. No momento que julgar
oportuno, o professor poderá pedir que os
próprios alunos generalizem a estratégia que
adotam particularmente, em uma ou outra sequência, para uma sequência aritmética qualquer, obtendo-se, então, a expressão
( a1 + a n ) . n
.
2
No caso de ser necessário obter a soma dos
termos de uma PG, o professor poderá lançar
mão, novamente, da ideia de um algoritmo
que permita agilizar o cálculo, mostrando aos
Sn =
alunos como fazê-lo em alguns casos específicos, como neste exemplo:
S = 2 + 6 + 18 + 54 + 162.
Os termos dessa série formam uma PG de
razão 3. A primeira providência para se obter
o resultado sem efetuar a adição termo a termo é multiplicar toda a expressão pelo valor
da razão.
3 . (S = 2 + 6 + 18 + 54 + 162) ⇒
3 . S = 6 + 18 + 54 + 162 + 486.
Isso feito, teremos duas expressões e subtrairemos uma da outra, de forma que os vários pares de termos iguais sejam cancelados.
S = 2 + 6 + 18 + 54 + 162
3 . S = 6 + 18 + 54 + 162 + 486
–2 . S = 2 – 486
–2 . S = – 484 ⇒ S = 242
Essa sequência de passos, ou esse algoritmo, permite a obtenção da soma dos termos
de uma PG de modo mais rápido e eficaz do
que o cálculo da soma termo a termo. Comentando o fato com seus alunos, o professor
poderá pedir que algumas somas sejam obtidas dessa maneira e, analogamente ao que foi
realizado para a PA, pedir que generalizem o
algoritmo em uma fórmula que possa ser aplicada a qualquer tipo de PG. Nessa tarefa, os
alunos percorrerão as seguintes etapas:
PG: (a1, a2, a3,...., an–3, an–2, an–1, an)
Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an–1 + an (I)
37
Multiplica-se toda a soma pela razão q:
q . Sn = a1 . q + a2 . q + a3 . q + ... + an–1 . q + an . q (II)
Subtrai-se (II) de (I), eliminando-se os pares de termos iguais:
Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an–1 + an (I)
Etapa 1 – Soma dos termos de uma
PA ou de uma PG finita
Problema 1
Calcule a soma dos termos da progressão
(10, 16, 22, ..., 70).
q . Sn = a1 . q + a2 . q + a3 . q + ... + an–1 . q + an . q (II)
440.
Sn – q . Sn = a1 – an . q
Isso feito, “sobram” apenas o último termo
de (II) e o primeiro termo de (I).
Isola-se Sn:
Sn – q . Sn = a1 – an . q
Sn . (1 – q) = a1 – an . q ⇒ Sn =
a1 – an . q
ou
1–q
a . q – a1
.
Sn = n
q–1
A expressão da soma dos termos de uma
PG, escrita da forma apresentada acima, em
função da razão (q) e do último termo (an),
tem mais significado para os alunos do que
escrita em função apenas da razão (q) e do
número de termos (n). Por isso, convém o
professor trabalhar alguns problemas, antes
de mostrar aos alunos a segunda maneira de
escrever a mesma expressão.
Sn – q . Sn = a1 – an . q
Sn – q . Sn = a1 – a1 . qn–1 . q
⇒ Sn – q . Sn = a1 – a1 . qn ⇒ Sn . (1 – q) =
a1 – a1 . qn . Sn . (1 – q) = a1 . (1 – q) ⇒
S n = a1 .
38
(1 – q n )
( q n – 1)
⇒ S n = a1 .
1– q
q –1
Problema 2
Calcule a soma dos termos da progressão
(13, 20, 27, ...), desde o 21o termo até o 51o,
inclusive.
7 998.
Problema 3
Calcule a soma dos números inteiros, divisíveis por 23, existentes entre 103 e 850.
Os números inteiros, divisíveis por 23, entre
103 e 850, formam a PA de razão 23: (115,
138,..., 828). Utilizando a fórmula do
termo geral, obtemos n = 32, e aplicando a
fórmula da soma dos termos da PA, obtemos
o resultado 15 088.
Problema 4
A figura abaixo apresenta os primeiros
elementos de uma sequência de números chamados números triangulares.
Matemática – 1ª- série, 1o bimestre
a) Escreva a sequência numérica correspondente a essa figura, considerando o
número de bolinhas que formam cada
triângulo:
Durante a resolução desse problema, os
alunos podem perceber que um termo qualquer da sequência de números triangulares
pode ser expresso por uma fórmula de recorrência, incluindo duas informações:
1, 3,........,.........,.........,.........,........,.......
a1 = 1 e an = an–1 + n.
b) Que regularidade você observou na construção desses números triangulares?
Podem, também, organizar os dados em
uma tabela como a que segue. Essa estratégia os levará à fórmula t do termo geral, que
pode ser obtida pela aplicação da fórmula da
soma dos termos da PA de n termos, com a1 = 1
e razão 1:
c) Escreva uma fórmula que permita calcular um termo qualquer dessa sequência,
utilizando a recorrência, ou seja, definindo um termo a partir de seu precedente.
d) Construa uma fórmula que calcule um
termo qualquer dessa sequência, sem necessariamente recorrer ao termo anterior.
Posição do termo
na sequência
t=
Processo de contagem das bolinhas
(1 + n) . n n2 + n
=
.
2
2
Quantidade de bolinhas
em cada termo
1
1
1
2
1+2
3
3
1+2+3
6
4
1+2+3+4
10
...
...
...
n
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... + (n −1) + n
Após a discussão sobre as questões dessa atividade, o professor pode, ainda, explorar os números
triangulares, incentivando seus alunos a descobrir
outras propriedades interessantes. Por exemplo,
an =
n . (n + 1)
2
propondo questões como as que seguem:
Observe que 61 = 55 + 6 (61 é um número natural qualquer; 55 e 6 são números
triangulares). Experimente, agora, representar
39
o número 84 em forma de adição de, no máximo, três números triangulares.
determinar a quantidade de bolinhas da
figura n nessa sequência.
Pode ser escrito como a soma: 45 + 36 + 3.
Em relação aos números pentagonais, reiteramos que a construção de uma tabela como
a que segue favorece a obtenção de uma fórmula de generalização:
Adicione dois números triangulares consecutivos. Que característica você percebe
nessa soma?
A soma de dois números triangulares consecutivos é igual a um número quadrado perfeito:
1 + 3 = 4;
6 + 10 = 16;
3 + 6 = 9;
10 + 15 = 25.
Problema 5
A seguir, estão os primeiros elementos de
uma sequência de figuras que representam os
chamados números pentagonais.
Posição da
figura na
sequência
Cálculo
número de boli­
nhas
1
1
1
2
1+4
a1 + 4
5
3
5+3.3–2
a2 +3 . 3 – 2
12
4
12 + 3 . 4 – 2
a3 + 3 . 4 – 2
22
5
22 + 3 . 5 – 2
a4 + 3 . 5 – 2
35
...
...
...
n–1
n
1
2
3
4
5
a) Quantas bolinhas deve ter a sexta figura
dessa sequência? E a sétima?
51 e 70.
b) Observe as regularidades que existem
no processo de construção da Figura 2 a
partir da Figura 1; no processo de construção da Figura 3 a partir da Figura 2;
e assim por diante. Organize os dados
na tabela abaixo e, em seguida, procure construir uma fórmula que permita
40
an – 1 + 3 . n – 2 an = an – 1 +3 . n – 2
Caso o aluno encontre dificuldades, durante a resolução deste problema, o professor
pode propor questões que o ajudem a perceber
que, a partir da segunda figura, cada termo an
da sequência pode ser obtido pelo acréscimo
de três fileiras de n bolinhas à figura anterior
(an – 1), devendo ser subtraídas 2 unidades, que
correspondem às duas bolinhas que se sobrepõem em dois vértices do pentágono. No entanto, a fórmula obtida é por recorrência, e a
obtenção da fórmula geral é um pouco mais
difícil, pois cada termo é obtido por meio de
Matemática – 1ª- série, 1o bimestre
seu antecessor, adicionando a este 3n – 2 bolinhas. Os números que são adicionados estão
na sequência 4, 7, 10, 13, 16, ...
Posição da
figura na
sequência
Cálculo
1
1
2
1+4
3
1 + 4 +7
4
1 + 4 + 7 + 10
5
1 + 4 + 7 + 10 + 13
...
...
n
1 + 4 + 7 + 10 + 13 + ...+ 3 . n – 2
A expressão do termo geral dessa soma
pode ser obtida fazendo a1 = 1 e an = 3 . n + 2
na expressão geral da soma da PA, da seguinte
forma:
t = 1 + 4 + 7 + 10 + 13+...+ 3 . n – 2 =
(a1 + an) . n (1 + 3n – 2) . n (3n – 1) . n
=
=
=
2
2
2
3 . n2 – n
.
2
3 . n2 n
– , sendo n um
2
2
número natural diferente de zero, permite a
determinação de um número pentagonal que
ocupa a posição n na sequência. Por exemplo,
o sétimo número pentagonal da sequência é:
Assim, o polinômio
t7 =
3 . 72 7
3 . 49 7
140
–
=
–
=
= 70
2
2
2
2
2
Problema 6
Considere a PG (1, 2, 4, 8, ...). Calcule a
soma dos 20 primeiros termos dessa PG, deixando indicada a potência.
S20 = 1 .
(220 – 1)
⇒ S20 = 220 – 1
2–1
Problema 7
Resolva a equação 2 + 4 + 8 + ... + x = 510,
sabendo que as parcelas do primeiro membro
da equação estão em PG.
A razão da PG é 2.
Portanto, 2 .
(2n – 1)
= 510 ⇒
2–1
2n – 1 = 510 ÷ 2 ⇒ 2n = 256 ⇒ 2n = 28 ⇒
n = 8.
Logo, x = a8 = 2 . 28–1 ⇒ x = 256.
Problema 8
(Vunesp) Várias tábuas iguais estão em uma
madeireira. A espessura de cada tábua é 0,5 cm.
Forma-se uma pilha de tábuas colocando-se
uma tábua na primeira vez e, em cada uma das
vezes seguintes, tantas tábuas quantas tiverem
sido colocadas anteriormente.
Pilha na
1a vez
Pilha na
2a vez
Pilha na
3a vez
41
Determine, ao final de nove operações:
a) Quantas tábuas terá a pilha.
A sequência da quantidade de tábuas
colocadas é:
1, 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128,...
Para obter o total de tábuas, ao final de nove
operações, será necessário calcular a soma
dos termos da progressão geométrica 1, 2, 4,
8, 16, 32, 64, 128 e, em seguida, acrescentar
uma unidade.
S=
an . q – a1
128 . 2 – 1
=
= 255.
q–1
2–1
Portanto, a pilha terá 256 tábuas.
b) A altura, em metros, da pilha.
A altura da pilha será igual a 256 . 0,5 =
128 cm = 1,28 m.
Problema 9
uma pessoa compra uma televisão para
ser paga em 12 prestações mensais. A primeira
prestação é de R$ 50,00 e, a cada mês, o valor
da prestação é acrescido em 5% da primeira
prestação. Quando acabar de pagar, quanto a
pessoa terá pago pela televisão?
Trata-se de calcular a soma 50,00 + 52,50
+ 55,00 + 57,50 +...... + 77,50, que resulta
R$ 765,00.
42
Problema 10
A primeira parcela de um financiamento
de seis meses é de R$ 200,00, e as demais são decrescentes em 5%. Assim, a segunda parcela é 5%
menor do que a primeira, a terceira parcela é
5% menor do que a segunda e assim por diante.
Adotando 0,955 = 0,77 e 0,956 = 0,73, calcule:
a) Qual é o valor da última parcela?
Temos uma PG de razão (1 – 0,05) = 0,95 e
queremos determinar o sexto termo.
a6 = 200 . 0,955 = 154,00.
b) Quanto terá sido pago, quando a dívida
for totalmente quitada?
Devemos calcular a soma dos termos da PG.
a . q – a1
200 . 0,955 – 200
=
S= n
=
q–1
0,95 – 1
200 . (0,956 – 1)
= –4 000 . (0,956 – 1) =
–0,05
R$ 1 080,00.
Problema 11
Dada a progressão aritmética (–4, 1, 6,
11, ...), obtenha:
a) o termo geral da sequência.
an = 5 . n – 9.
b) a soma dos 12 primeiros termos.
282.
c) uma expressão para o cálculo da soma
dos n primeiros termos.
S=
(a1 + an) . n (–4 + 5 . n – 9) . n
=
=
2
2
1
. (5 . n2 –13 . n).
2
Matemática – 1ª- série, 1o bimestre
Problema 12
A soma de n termos de uma progressão
aritmética pode ser calculada pela expressão Sn = 3 . n2 – 5 . n. Para essa sequência,
determine:
a) quanto estará correndo, no quarto dia?
a4 = 10 . 1,23 = 17,28 km.
b) quantos quilômetros terá corrido, em
10 dias? (Dado: 1,210 ≈ 6,2.)
a) a soma dos seis primeiros termos.
Trata-se de calcular a soma dos dez termos
de uma PG em que a1 = 10 e a10 = 10 . 1,29.
S6 = 3 . 62 – 5 . 6 = 78.
an . q – a1 10 . 1,29 . 1,2 – 10 10 . (1,210 – 1)
=
=
=
S=
q–1
1,2 – 1
0,2
b) a soma dos sete primeiros termos.
50 . (1,210 – 1) = 50 . (6,2 – 1) = 260 km.
S7 = 3 . 72 – 5 . 7 = 112.
c) o sétimo termo.
O sétimo termo é a diferença entre S7 e S6.
Portanto, a7 = 112 – 78 = 34.
d) os cinco primeiros termos.
a1 = S1 = –2
a2 = S2 – a1 = 2 – (–2) = 4
A PA tem razão 6, e os primeiros termos são
–2, 4, 10, 16, 22, 28, 34.
Etapa 2 – Aplicações na Matemática
Financeira
O crescimento de um capital, a uma taxa
constante de juros simples, caracteriza-se por
envolver uma série de termos que formam
uma progressão aritmética. Por outro lado,
no cálculo do crescimento de um capital a
uma taxa constante de juros compostos, aparece uma progressão geométrica. No exemplo abaixo, podemos comparar a evolução de
um capital inicial, quando submetido a juros
simples e a juros compostos:
Capital = C
Problema 13
um atleta fora de forma, desejando recuperar o tempo perdido, planeja correr, diariamente, uma determinada distância, de
maneira que, a cada dia, a distância corrida
aumenta 20% em relação ao que foi corrido
no dia anterior. Começando a correr 10 km,
no primeiro dia,
Inicial
Depois de
um mês
Depois de
dois meses
Depois de
três meses
Depois de
quatro meses
taxa de juros = 5% ao mês
Evolução do Evolução do
capital a juros capital a juros
simples
compostos
C
C
1,05 . C
1,05 . C
1,10 . C
1,052 . C
1,15 . C
1,053 . C
1,20 . C
1,054 . C
43
Os valores dessa tabela foram obtidos levando-se em conta que um capital inicial (C),
acrescido de 5%, resulta no capital inicial multiplicado por 1,05, isto é, resulta em 1,05 . C.
Caso incidam 5%, novamente, sobre o capital
já acrescido de 5%, o resultado será igual a
1,10 . C, se os juros forem simples, e 1,052 . C,
se os juros forem compostos, conforme representado nas operações seguintes:
Capital Inicial: C.
Acréscimo de 5% sobre C:
5
. C = C + 0,05 . C = 1,05 . C.
C+
100
Acréscimo de 5% de juros simples: 1,05 . C
+ 0,05 . C = 1,10 . C.
Acréscimo de 5% de juros compostos:
1,05 . C + 5% . 1,05 . C = 1,05 . C . (1 + 5%) =
1,05 . C . 1,05 = 1,052 . C.
O valor do capital, nos próximos meses
de aplicação, segue a mesma lógica, isto é,
adicionando-se 0,05 . C, no caso de juros simples, e multiplicando-se por 1,05 . C, no caso
de juros compostos.
juros simples, como sabemos, não são
praticados no mercado financeiro, mas podem servir de contexto inicial para a determinação de valores totais capitalizados em certo período. Vamos supor, por exemplo, que
um cidadão aplique, mensalmente, e durante
oito meses, uma quantia fixa de R$ 200,00, a
juros simples de 5%. Ao final, depois dos oito
meses de aplicação, quanto terá acumulado
essa pessoa?
Propondo um problema dessa natureza aos
seus alunos, o professor poderá comentar que
ele é de fácil resolução por envolver juros simples, mas que, no caso real, de um capital aplicado a juros compostos, será necessário um
método organizado de resolução. justifica-se,
dessa maneira, o processo representado na tabela seguinte:
tabela de capitalização
Capital
Mês
44
1o
2o
3o
4o
5o
6o
7o
8o
Final
200
210
220
230
240
250
260
270
280
200
210
220
230
240
250
260
270
200
210
220
230
240
250
260
200
210
220
230
240
250
200
210
220
230
240
200
210
220
230
200
210
220
200
210
Matemática – 1ª- série, 1o bimestre
Os R$ 200,00 depositados no primeiro mês tornam-se R$ 210,00, no segundo
mês, R$ 220,00, no terceiro mês, e assim por
diante, tornando-se, ao final, R$ 280,00.
Os R$ 200,00 depositados no segundo mês, de
modo análogo, convertem-se em R$ 270,00,
ao final de sete meses de aplicação. Seguindo
o raciocínio, o saldo final da aplicação será
o resultado da adição dos valores da última
coluna da tabela, que são os termos de uma
progressão aritmética:
Saldo final = 210 + 220 + 230 + 240 + 250 +
260 + 270 + 280
(210 + 280) . 8
= 1 960
Saldo final =
2
Portanto, o saldo final da aplicação será
igual a R$ 1 960,00.
No caso real, de uma capitalização a juros
compostos, o esquema de resolução será similar ao apresentado, variando apenas a forma de
crescimento das parcelas aplicadas. Em relação
ao problema anterior, alterando apenas a forma
de incidência da taxa de juros, de simples para
compostos, pode ser escrita a seguinte tabela:
A soma dos valores da última coluna da
tabela fornece o total capitalizado. trata-se
da soma dos termos de uma progressão geométrica de razão 1,05.
S = 200 . (1,05 + 1,052 + 1,053 + 1,054 + 1,055 +
1,056 + 1,057 + 1,058)
S = 200 . an . q – a1 =
q–1
8
200 . 1,05 . 1,05 – 1,05
1,05 – 1
O cálculo dessa soma é trabalhoso, se realizado manualmente. Por isso, propomos que os
alunos possam utilizar calculadoras para agilizar a obtenção do resultado, sem qualquer
perda de significado para o conceito. O importante, aqui, não é saber calcular uma potência,
coisa que os alunos já devem saber, mas sim a
obter da expressão numérica que conduz ao
resultado desejado. todavia, mesmo usando
calculadoras, será interessante simplificar inicialmente a expressão, como nesse caso:
tabela de capitalização
Mês 1o
2o
3o
4o
5o
6o
7o
8o
Final
200 200 . 1,05 200 . 1,052 200 . 1,053 200 . 1,054 200 . 1,055 200 . 1,056 200 . 1,057 200 . 1,058
200
200 . 1,05 200 . 1,052 200 . 1,053 200 . 1,054 200 . 1,055 200 . 1,056 200 . 1,057
Capital
200
200 . 1,05 200 . 1,052 200 . 1,053 200 . 1,054 200 . 1,055 200 . 1,056
200
200 . 1,05 200 . 1,052 200 . 1,053 200 . 1,054 200 . 1,055
200
200 . 1,05 200 . 1,052 200 . 1,053 200 . 1,054
200
200 . 1,05 200 . 1,052 200 . 1,053
200
200 . 1,05 200 . 1,052
200
200 . 1,05
45
S = 200 .
1,058 . 1,05 – 1,05
(Colocando
1,05 – 1
1,05 em evidência.)
S = 200 .
1,05 . (1,058 – 1)
(Dividindo
0,05
1,05 por 0,05.)
S = 200 . 21 . (1,058 – 1)
Caso o professor opte por não permitir o
uso de calculadoras, o que não aconselhamos,
poderá fornecer aos alunos, previamente, o valor da potência. No caso, 1,058 ≈ 1,48. De um
jeito ou de outro, o resultado da soma será:
S = 200 . 21 . (1,48 – 1) = 2 016.
Comparando os dois resultados do processo de capitalização, fica claro que o processo
a juros compostos conduz a um maior valor
final (R$ 1 960,00, em um caso, e R$ 2 016,00,
no outro).
Outra aplicação importante das somas das
progressões diz respeito ao cálculo da parcela fixa de um financiamento a taxa constante de juros. De fato, trata-se de um problema
inverso ao que foi analisado há pouco, isto é,
conhece-se o montante final e deseja-se calcular a parcela mensal do investimento. Vamos
analisar, como exemplo, o caso do financiamento da compra de um automóvel, que custa
R$ 10 000,00 e será pago em 24 parcelas fixas
e mensais, com juros de 5% ao mês. Em primeiro lugar, vamos representar o cálculo da
parcela de financiamento, no caso de os juros
serem simples, isto é, incidirem sempre sobre
o valor inicial.
46
1o) Com taxa de juros simples
Os R$ 10 000,00 financiados deverão ser
corrigidos e devolvidos pelo comprador do
bem, ao final dos 24 meses. Assim, o primeiro
passo é calcular o juro total da aplicação em
juros simples, ou seja, 24 . 5% = 120%. O valor de R$ 10 000,00 deverá ser devolvido corrigido em 120%, isto é, deverão ser devolvidos
R$ 22 000,00. Ocorre que o comprador não
devolve esse valor de uma única vez, mas sim
em parcelas mensais. Assim, o próximo passo
é calcular o valor da parcela, e aí é necessário
se lembrar do exemplo anterior, da capitalização a juros simples.
Supomos, então, que certa parcela P é
capitalizada mensalmente, durante 24 meses, a juros simples de 5%. Nessa condição,
ao final dos 24 meses, terá sido capitalizado um valor total igual ao resultado da
seguinte soma:
S = P . (1,05 + 1,10 + 1,15 + .... + 2,15 + 2,20).
Os porcentuais, nesse caso, formam uma
progressão aritmética. Calculemos a soma
desses porcentuais.
(a1 + an) . n
(1,05 + 2,20) . 24
=P.
2
2
= P . 39
S=P.
Como a soma S deve coincidir com o valor corrigido do final do financiamento, isto é,
S = 22 000, a parcela mensal P pode ser assim
obtida:
22 000 = P . 39 ⇒ P = 564,10
Matemática – 1ª- série, 1o bimestre
Portanto, a juros simples, o valor da parcela mensal é igual a R$ 564,10.
Perceba que, apesar de as prestações serem
todas iguais a R$ 564,10, a simples multiplicação desse valor pelo número de prestações,
que, neste caso, é 24, não tem como resultado o
valor corrigido da dívida (R$ 22 000,00). Essa
diferença acontece porque a primeira parcela
de R$ 564,10 tem, hoje, um valor que não será
o mesmo daqui a 24 meses. Essa consideração
vale para todas as parcelas.
2o) Com taxa de juros compostos
Da mesma forma que no caso dos juros
simples, discutido anteriormente, o valor financiado deve ser corrigido para compor o pagamento final. Nesse caso, trata-se de corrigir
R$ 10 000,00, em 24 meses, a juros compostos
de 5%, o que implica multiplicarmos 10 000
por 1,0524. Isso feito, teremos R$ 32 251,00.
Mas esse valor não é devolvido de uma única
vez, ao final do financiamento, e sim em parcelas mensais. Para o cálculo do valor dessa
parcela, devemos imaginar alguém que deposite, mensalmente, um valor P, a juros compostos de 5%, durante 24 meses. Nesse caso, o
valor total depositado será igual ao resultado
da seguinte adição:
S = P(1,05+ 1,052 + 1,053 + ..... + 1,0524).
O valor de S, como vimos há pouco, é
R$ 32 251,00. Para o cálculo da parcela P, será
preciso calcular a soma da progressão geométrica formada pelos termos dentro dos parênteses.
32 251 = P .
an . q – a1
1,0524 . 1,05 – 1,05
= P.
q–1
1,05 – 1
32 251 = P .
1,05 . (1,05 24 – 1)
=
1,05 – 1
P . 21 . (1,0524 – 1)
Dado que 1,0524 ≈ 3,225, fazemos:
32 251 = P . 21 . (3,225 – 1)
32 251 = P . 46,725 ⇒ P = 690,23
Portanto, a juros compostos, a parcela de
financiamento deverá ser igual a R$ 690,23.
Os cálculos envolvendo processos de capitalização e de amortização são comumente
vistos em situações do cotidiano, muito embora nem sempre de forma transparente. Por
isso, é comum que surjam dúvidas por parte
dos alunos, as quais caberá ao professor esclarecer. No caso que analisamos há pouco,
do financiamento de R$ 10 000,00, é preciso
destacar com muita ênfase dois aspectos geradores de dúvidas. O primeiro deles refere-se
à necessidade de corrigir o valor financiado,
isto é, multiplicar 10 000 por 1,0524. Os alunos precisam entender que o bem financiado
será considerado quitado apenas quando a
última parcela for paga, e que, por isso mesmo, é preciso considerar a correção do valor
financiado. A segunda dúvida que costuma
ocorrer nesse caso refere-se à necessidade de
calcular o valor futuro de cada parcela que vai
sendo paga, o que conduz ao cálculo da soma
da PG. É comum os alunos fazerem, equivocadamente, a simples divisão do resultado do
produto 10 000 . 1,0524 por 24 para determinar
o valor de cada parcela. O professor deve chamar a atenção dos alunos para o fato de que
as parcelas não são todas pagas ao final do
47
financiamento, mas sim em tempos diferentes,
e que, por isso mesmo, o valor futuro de uma
parcela não é igual ao da outra.
julgamos importante que o professor discuta alguns exemplos de cálculos de montantes
e de parcelas de amortização, mas não deixe
de retomar o assunto no 3o bimestre, quando
abordar o crescimento exponencial.
Após discutir alguns exemplos com seus alunos, o professor poderá propor a resolução da
seguinte sequência de problemas exemplares.
Problema 1
uma financeira remunera os valores investidos à base de 4% de juros simples. Quanto conseguirá resgatar, nesse investimento,
uma pessoa que depositar, mensalmente,
R$ 500,00, durante 10 meses?
Trata-se de calcular a soma S = 520 + 540 +
560 + 580 + .... + 700.
S=
(520 + 700) . 10
= 1 220 . 5 = 6 100
2
O resgate será de R$ 6 100,00.
Problema 2
Laura aderiu a um plano de capitalização de um banco, depositando, mensalmente,
R$ 1 000,00, durante 12 meses. Se o banco
promete remunerar o dinheiro aplicado à taxa
de 2% de juros compostos ao mês, calcule
quanto Laura resgatará ao final do período.
(Dado: 1,0212 = 1,27.)
48
Trata-se de calcular a soma de termos em PG:
S = 1 000 . 1,02 + 1 000 . 1,022 + 1 000 .
10,23 + ..... + 1 000 . 1,0212
S = 1 000 (1,02 + 1,022 + 1,023 + ... +
1,0212)
S = 1 000 .
1 000 .
1000 .
an . q – a1
=
q–1
1,0212 . 1,02 – 1,02
=
1,02 – 1
1,02 . (1,0212 – 1)
0,02
S = 1 000 . 51 . (1,0212 – 1) = 51 000 . 0,27
= 13 770
Portanto, o resgate será de R$ 13 770,00.
Problema 3
Carlos deseja comprar um automóvel que
custará, daqui a dez meses, R$ 15 500,00. Para
conseguir seu objetivo, Carlos resolveu depositar uma quantia x em um investimento que
promete remunerar o dinheiro aplicado à razão
de 10% de juros simples ao mês. Qual deve ser
o valor mínimo de x para que Carlos consiga
comprar o automóvel, ao final dos dez meses?
Sendo o cálculo do montante à base de juros
simples, temos a soma de termos em PA, da
seguinte maneira:
S = 1,1 . x + 1,2 . x + 1,3 . x + ...... + 2,0 . x
15 500 = x . (1,1 + 1,2 + 1,3 + ..... + 2,0)
15 500 = x .
(a1 + an) . n
⇒
2
Matemática – 1ª- série, 1o bimestre
x . (1,1 + 2,0) . 10
⇒
2
15 500 = x . 15,5 ⇒ x = 1 000
15 500 =
Portanto, a parcela mínima a ser depositada
é igual a R$ 1 000,00.
Problema 4
uma geladeira cujo preço à vista é de
R$ 1 500,00 será financiada em seis parcelas
mensais fixas. Se os juros compostos cobrados no financiamento dessa geladeira são de
3% ao mês, qual é o valor da parcela mensal?
(Dado: 1,036 = 1,19.)
O valor futuro da geladeira, em seis meses,
será igual 1 500 . 1,036 = 1 500 . 1,19 =
1 785.
A soma das parcelas fixas, a 3% de juros
compostos ao mês, recai em: S = P . (1,03
+ 1,032 + .... + 1,036),onde P é o valor da
parcela fixa mensal. Como S = 1 785, temse: 1 785 =
1,036 . 1,03 – 1,03
1,03(1,036 – 1)
=P.
P.
1,03 – 1
0,03
P . 34,33 . (1,036 – 1) =
P . 34,33 . 0,19 =
1 785 = P . 6,5227 ⇒ P = 273,65
Portanto, a parcela mensal deverá ser igual
a R$ 273,65.
Problema 5
julia guardou, mensalmente, R$ 200,00 em
um banco que remunerou seu dinheiro à base
de 4% ao mês de juros compostos. Ao final de
oito meses de aplicação, julia usou o dinheiro
que havia guardado para dar de entrada em
um pacote de viagem, que custava, à vista,
R$ 5 000,00. O saldo devedor julia pretende
financiar em cinco vezes, em parcelas iguais
e fixas, à taxa de 2% ao mês. (Dados 1,048 ≈
1,37; 1,025 ≈ 1,10.)
a) Quanto julia deu de entrada no pacote
de viagem?
O valor total capitalizado exige o cálculo de
uma soma de termos em PG.
S = 200(1,04 + 1,042 + 1,043 + ....... +
1,048)
S = 200 .
200 .
1,048 . 1,04 – 1,04
=
1,04 – 1
1,04(1,048 – 1)
= 200 . 26 . (1,37 – 1)
0,04
= 1 924
Portanto, foram dados de entrada R$ 1 924,00.
b) Qual o valor da parcela mensal fixa do financiamento do saldo do pacote de viagem?
O valor financiado foi igual à diferença
entre R$ 5 000,00 e R$ 1 924,00, ou seja,
R$ 3 076,00. Esse valor, em cinco meses, a 2%
ao mês, torna-se 3 076 . 1,025 = 3 383,60.
Uma parcela fixa P, paga todo mês e corrigida
à base de 2% ao mês, deve, ao final, gerar
montante equivalente a R$ 3 383,60.
3 383,60 = P(1,02 + 1,022 + 1,023 + 1,024
+ 1,025)
3 383,60 = P .
1,025 . 1,02 – 1,02
=
1,02 – 1
49
P.
1,02(1,025 – 1)
= P . 51 . 0,10 = P . 5,1
0,02
3 383,60 = P . 5,1 ⇒ P = 663,45
Portanto, a parcela fixa será igual a R$ 663,45.
Considerações sobre a avaliação
Nesta Situação de Aprendizagem, de forma semelhante ao realizado na anterior, foi
proposto que as somas das progressões aritméticas e progressões geométricas fossem estudadas paralelamente. Insistimos nessa prática,
pois entendemos que ela valoriza a existência
de regularidades numéricas possíveis de serem
traduzidas por equações matemáticas, em detrimento da aplicação imediata de fórmulas na
resolução de exercícios descontextualizados.
A apresentação das expressões de cálculo
para as somas das sequências foi feita a partir
da ideia de que cálculos que se repetem devido a algum tipo de regularidade podem ser
traduzidos por intermédio de um algoritmo,
isto é, por uma sequência ordenada de passos
que, quando realizada corretamente, conduz
ao resultado desejado de forma mais rápida.
Consideramos importante que os alunos compreendam essa ideia e que, após a exercitarem
durante a resolução de alguns problemas,
50
possam, autonomamente, generalizar em uma
expressão o raciocínio envolvido no algoritmo.
Os instrumentos preparados para a avaliação dos conceitos aqui tratados deverão levar
em conta, de acordo com as considerações anteriores, a possibilidade de que sejam propostos problemas que envolvam tanto progressões
aritméticas, como progressões geométricas,
desenvolvidos sobre contextos diferentes dos
problemas apresentados e discutidos durante
as aulas, com base no contexto da Matemática
Financeira e nos cálculos de montantes e de
parcelas em processos de capitalização.
Gostaríamos, ainda, de ressaltar o fato de
que a obtenção de soma de termos de uma
PG exige, via de regra, o cálculo de uma potência na qual, muitas vezes, a base não é um
número inteiro. As aplicações das progressões
à Matemática Financeira são exemplos clássicos dessas situações. Nesses casos, visando a
que o aspecto da compreensão conceitual não
seja sobrepujado pela dificuldade aritmética,
sugerimos ao professor que permita o uso de
calculadoras, inclusive científicas, até mesmo
nas avaliações individuais. uma segunda sugestão segue o que foi feito na apresentação
no Problema 5 da Etapa 2, ou seja, pode-se
fornecer ao aluno o resultado aproximado da
potência necessária para a resolução do problema proposto.
Matemática – 1ª- série, 1o bimestre
SItuAçãO DE APRENDIzAGEM 4
LIMItE DA SOMA DOS INFINItOS tERMOS DE uMA PG INFINItA
tempo previsto: 2 semanas.
Conteúdos e temas: soma dos termos de uma PG; limite da soma dos termos de uma PG infinita.
Competências e habilidades: utilizar a linguagem matemática para expressar a regularidade dos padrões
de sequências numéricas ou geométricas; compreender a noção intuitiva de limite de uma função; considerar a pertinência da noção de infinito no cálculo de quantidades determinadas.
Estratégias: resolução de exercícios exemplares.
roteiro para aplicação da Situação
de Aprendizagem 4
Nesta Situação de Aprendizagem, são propostos problemas algébricos e geométricos, com
o objetivo de se investigar a soma dos termos de
uma progressão geométrica infinita, com razão
real entre –1 e 1. Nesse percurso, são abordadas, intuitivamente, duas noções extremamente importantes na Matemática. trata-se das
noções de continuidade e de infinito. Embora
costumem causar nos alunos certa estranheza
e alguma dificuldade de compreensão, são conceitos que estimulam sobremaneira a curiosidade e a intuição e, por consequência, também o
interesse dos alunos pela Matemática.
Quando uma progressão geométrica tem
por razão um número real entre –1 e 1, diferente de zero, a sequência “tende” para zero.
Com isso, queremos dizer que, à medida que
aumentamos a quantidade de termos da sequência, mais o último termo se aproxima de
zero, muito embora nunca seja igual a zero.
1 1
A progressão geométrica 4, 2, 1, , , ...,
2 4
por exemplo, tende a zero, assim como a
progressão –3, 1, –
1 1
1
, ,–
, ... Nesses dois
3 9
27
casos, em que a razão é um número real entre –1 e 1, é possível determinar o termo que
desejarmos, mas ele poderá ser tão pequeno
que, dependendo das exigências, poderá ser
considerado nulo. O centésimo termo da primeira sequência, por exemplo, é igual a um
número que tem 30 zeros após a vírgula, antes
de aparecer o primeiro algarismo não nulo.
É um número pequeno, se for comparado à
espessura de um fio de cabelo, mas não é pequeno, se comparado às dimensões atômicas.
Aumentando ainda mais o número de termos,
além dos cem, chegará um momento em que o
resultado será pequeno mesmo quando comparado com a medida de raios atômicos. Mas
o termo ainda não será nulo e ainda poderá
ser diminuído. Nesse raciocínio estão contidas
as ideias da continuidade e do limite.
Conjuntos numéricos infinitos e discretos,
como os Naturais e os Inteiros, já foram estudados, em séries anteriores, e retomados
agora, no Ensino Médio. O fato de esses
conjuntos possuírem quantidade inumerável
51
de elementos está, normalmente, bem assimilada pelos alunos, nesta etapa de ensino,
uma vez que a ideia do “mais 1”, no caso dos
Naturais, ou do “menos 1”, no caso dos Inteiros, características dos conjuntos discretos, vem sendo apresentada a eles desde que
começaram sua escolaridade. A dificuldade
surge na passagem do discreto para o contínuo, quando a noção de infinito ganha uma
nova dimensão. Como explicar, por exemplo,
que um segmento AB, de determinado comprimento, pode ser dividido em tantas partes
quantas se desejar, não havendo medida limite para o comprimento de cada uma das
partes que surgem?
Na Grécia antiga, a contraposição entre
discreto e contínuo trazia, já, alguns problemas de interpretação. Para os pitagóricos,
o número era a referência de toda dúvida e
toda dificuldade. Segundo eles, se não fosse
pelo número e por sua natureza, nada do que
existe poderia ser compreendido por alguém,
nem em si mesmo, nem com relação a outras
coisas. Os números constituíam o verdadeiro
elemento de que era feito o mundo. Chamavam um ao ponto, dois à linha, três à superfície e quatro ao sólido. A partir de um, dois, três
e quatro, podiam construir um mundo.
A concepção geométrica dos gregos do
século V a.C., influenciada pela visão dos pitagóricos, entendia que o número de pontos
de uma linha determinada seria finito, muito
embora não fosse possível quantificá-lo. Em
outras palavras, a noção do contínuo não fazia parte das ideias geométricas de então. Essa
concepção de uma série de pontos justapostos,
52
como uma grande fila, de maneira que qualquer segmento poderia ser quantificado como
uma determinada quantidade de pontos, ou,
em outras palavras, que todo segmento poderia ser mensurável, caiu por terra a partir
da descoberta da incomensurabilidade simultânea da diagonal e do lado do quadrado: se
um é perfeitamente mensurável, o outro não
poderá ser.
O professor poderá comentar com seus
alunos alguns dos aspectos históricos que
localizam a crise da escola pitagórica em relação à incomensurabilidade de 2 e à descoberta dos irracionais. uma boa “entrada”
para a questão é a apresentação dos paradoxos de zenão, especialmente o paradoxo
da corrida entre Aquiles e a tartaruga, que
discutiremos mais adiante. Parece-nos, portanto, que o contexto das progressões geométricas tendendo a zero pode ser uma boa
porta de entrada para a introdução da noção
de infinito associada à de continuidade dos
números reais.
Para introduzir o limite da soma dos infinitos termos de uma PG, sugerimos que
o professor recorra, prioritariamente, à
intuição dos alunos, postergando a necessária formalização para mais tarde, quando
o conceito estiver razoavelmente construído.
Nesse sentido, o professor pode partir do
cálculo da soma de termos de uma PG com
as características desejadas, aumentando,
pouco a pouco, o número de termos, a fim
de intuir a ideia de que haverá um limite para
a soma, como no problema seguinte, que comentamos em detalhes.
Matemática – 1ª- série, 1o bimestre
O triângulo ABC da figura é equilátero
de lado 1. Unindo os pontos médios dos lados
desse triângulo, obtemos o segundo triângulo
PQR. Unindo os pontos médios dos lados do
triângulo PQR, obtemos o terceiro triângulo
STU, e assim sucessivamente. Determine a
soma dos perímetros dos infinitos triângulos
construídos por esse processo.
B
P
A
dos lados AB e BC, respectivamente, então
PQ é paralelo a AC, e sua medida é igual à
metade de AC. O mesmo vale para os demais
lados do triângulo PQR, visto que o triângulo
ABC é equilátero.
Dessa forma, os perímetros dos triângulos
3 3
e .
2 4
A sequência de triângulos assim construídos terá perímetros respectivamente iguais a:
da figura são 3,
3 3 3 3
, , , , ....
2 4 8 16
Após esse trabalho inicial, sugere-se que os
alunos calculem as somas dos perímetros: dos
dois primeiros, dos três primeiros e assim por
diante.
3,
T
S
R
Q
U
Assim, os alunos obteriam as somas:
S1 = 3
S2 = 3 +
3
9
=
= 4,5
2
2
Antecedendo a resolução, o professor pode
propor aos alunos as seguintes questões:
S3 = 3 +
3
3
21
+
=
= 5,25
2
4
4
a) Quanto mede o lado PQ do triângulo
PQR? E os lados PR e RQ?
S4 = 3 +
3
3
3
45
+
+
=
= 5,625
2
4
8
8
S5 = 3 +
3
3
3
3
93
+ + +
=
= 5,8125
2
4
8
16 16
S6 = 3 +
3 3 3
3
3
+ + +
+
=
2 4 8 16 32
C
b) Qual é o perímetro dos triângulos ABC,
PQR e STU?
c) Escreva uma sequência numérica cujos
termos são os perímetros dos triângulos
ABC, PQR, STU e mais outros dois triângulos construídos segundo o critério.
Para essas questões, é importante que o
professor discuta, inicialmente, que, dado um
triângulo ABC, se P e Q são pontos médios
189
= 5,90625
16
S7 = 3 +
3 3 3
3
3
3
+ + +
+
+
=
2 4 8 16 32 64
381
= 5,953125
64
53
Após esses cálculos, o professor poderia
solicitar que os alunos fizessem suas conjecturas a respeito deles, procurando responder à
questão: O que acontece à soma, se as parcelas
forem aumentando com os perímetros de outros
triângulos da sequência?
É importante discutir com a classe que as
somas aumentariam, com o acréscimo de novas
parcelas, mas esse crescimento é cada vez menor.
143
341
O uso da fórmula da soma dos termos de
uma PG pode ampliar essa discussão:
1
–3
2
an
–3
an . q – a1
2
=
=
S=
1
1
q–1
–
–1
2
2
A soma assim obtida está em função de an,
aqui considerado o último termo. O questionamento seguinte aos alunos é sobre o que ocorre
com an, à medida que n cresce muito. As respostas dos alunos tendem a caminhar no sentido
da intuição de que o último termo da sequência, supondo grande número de termos, será
praticamente zero ou, como o professor poderá comentar, “tenderá a zero”. Assim, por meio
da ideia de limite, pode-se perguntar aos alunos
como fica a expressão da soma, uma vez que an
é praticamente nulo. O correto será, nesse momento, trocar “S” por “lim S”
an .
n
Assim, podemos escrever que a série infinita 3 +
3
3
3
3
+
+
+
+ ... = 6, ou seja, o
2
4
8
16
limite da soma quando n tende ao infinito é 6.
Reproduzindo esse raciocínio na expressão
do cálculo da soma da PG, obtém-se a expressão do limite da soma dos infinitos termos de
uma PG com razão no intervalo –1 < q < 1,
que é esta:
a
lim S = 1
1–q
n ∞
A partir dessa discussão, será possível propor aos alunos a resolução das seguintes situações-problema exemplares.
Problema 1
Por mais que aumentemos o número de
termos na adição
1
1
1
+
+
+ ...,
2
8
32
existirá um valor limite, isto é, um valor do
qual a soma se aproxima cada vez mais, porém nunca o atingindo? Qual é esse valor?
S=2+
O valor procurado corresponde ao limite da
1
soma de uma PG de razão para o número
4
de termos tendendo a infinito. Podemos fazer:
∞
an
–3
2
= 0–3 =6
lim S =
1
1
n ∞
–
–
2
2
Esse resultado nos diz que, quanto mais
acrescentarmos termos à soma em questão,
54
mais nos aproximaremos do valor limite, 6,
sem jamais alcançá-lo.
lim S =
a1
=
1–q
2
=
8
3
1
4
Portanto, por mais que aumentemos a
quantidade de parcelas da soma, nunca
8
ultrapassaremos o valor , embora cada
3
vez mais nos aproximemos dele.
n
∞
1–
Matemática – 1ª- série, 1o bimestre
Problema 2
Calcule o resultado limite das seguintes somas:
a) S = –10 + 1 – 0,1 + 0,01 – 0,001 +
0,0001 – ....
–
100
11
b) S =
2
1
1
1
1
+
+
+
+
+ ....
5
5
10
20
40
4
5
Problema 3
uma bola de borracha cai da altura de 6 m,
bate no solo e sobe até a terça parte da altura inicial. Em seguida, a bola cai novamente,
bate no solo, inverte o sentido de movimento
e sobe até atingir a terça parte da altura anterior. Continuando seu movimento segundo
essas condições, isto é, atingindo, após cada
batida, a terça parte da altura que atingiu
após a batida imediatamente anterior, qual
será a distância vertical total percorrida pela
bola até parar?
6m
Temos a seguinte soma para as distâncias
percorridas pela bola, durante as descidas:
2
2
+
+ ....
Sdescida = 6 + 2 +
3
9
Temos a seguinte soma para as distâncias
percorridas pela bola, durante as subidas:
2
2
+
+ ....
Ssubida = 2 +
3
9
2
a
=3
Sdescida = lim S = 1 =
1–q
1
n
∞
1–
3
Ssubida = 6 + 3 = 9
Portanto, a distância vertical total percorrida
pela bola é igual a Sdescida + Ssubida = 12 m.
Problema 4
Resolva a equação em que o primeiro termo
da igualdade é o limite da soma dos termos
x
x
x
de uma PG infinita:
+
+
+ ... = 18
2
8
32
x
2
1
1–
4
= 18 ⇒ x = 27
Problema 5
(Adaptado do Paradoxo de zenão) uma
corrida será disputada entre Aquiles, grande
atleta grego, e uma tartaruga. Como Aquiles é
10 vezes mais rápido do que a tartaruga, esta
partirá 10 metros à frente de Aquiles, conforme representado no esquema abaixo.
10 m
55
Quando Aquiles chegou ao ponto em que
a tartaruga estava inicialmente, depois de percorrer 10 m, a tartaruga, 10 vezes mais lenta,
estava 1 m à frente.
c) Calcule a soma das infinitas distâncias
percorridas por Aquiles até chegar ao
ponto em que se encontrava a tartaruga
a cada vez.
lim S =
n
∞
a1
10
10
100
=
=
=
m.
1 – q 1 – 0,1 0,9
9
d) Quantos metros percorrerá Aquiles até
alcançar a tartaruga? Ou você acredita
que ele não a alcança?
1m
Aquiles, então, correu 1 m, até o ponto em
que a tartaruga estava, mas ela já não estava
mais lá: estava 10 cm à frente, pois correu, no
mesmo intervalo de tempo, 10 vezes menos
que Aquiles, e a décima parte de 1 metro é
10 cm.
Aquiles alcançará a tartaruga após percorrer
100
m.
9
Problema 6
Qual é o resultado da raiz
2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 ...... ?
10 cm
Repetindo esse raciocínio para os intervalos de tempo seguintes, parece que Aquiles
nunca alcançará a tartaruga, pois ela sempre
terá percorrido 1 do que Aquiles percorrer.
10
Será mesmo verdade que ele nunca alcançará
a tartaruga?
a) Escreva a sequência das distâncias que
Aquiles percorre até chegar ao ponto
em que a tartaruga estava a cada vez.
10 + 1 + 0,1 + 0,01 + ....
b) A sequência das distâncias é uma PG.
Qual é a razão dessa PG?
0,1.
56
A expressão pode ser re-escrita da seguinte
forma:
1
1
1
1
1
2 2 . 2 4 . 2 8 . 2 16 . ... = 2 2
+
1
1 1
+ ...
+ +
4 8 16
Trata-se de calcular o limite da soma da PG
1
e razão igual a
de primeiro termo igual a
2
1
, cujo resultado é 1. Assim, o resultado da
2
raiz é igual a 21 = 2.
Problema 7
uma dívida foi paga, mensalmente, da seguinte maneira:
1o mês: metade do valor inicial da dívida;
2o mês: metade do valor restante após o pagamento da parcela anterior;
Matemática – 1ª- série, 1o bimestre
3o mês: metade do valor restante após o
pagamento da parcela anterior;
1,777... = 1 + 0,777.... = 1 + 0,7 + 0,07 +
0,007 + .....
4o mês: metade do valor restante após o
pagamento da parcela anterior;
Depois, sugira que escreva essa soma utilizando frações para representar os números
envolvidos. Assim,
e assim sucessivamente, até a quitação
total da dívida.
Verifique que a soma das parcelas pagas
corresponde ao valor total da dívida.
Levando-se ao pé da letra a descrição
fornecida no enunciado, a dívida jamais
seria paga, pois sempre restaria um resíduo,
por menor que fosse. Podemos, no entanto,
calcular o limite da soma da PG formada
pelas parcelas, pois esse será o valor limite
da dívida. Chamando de x o valor total
da dívida,
S=
x
x
x
x
a1
=
+
+
+
+ ... =
1–q
2
4
8
16
x
2
1–
1
2
=
x
2
1
2
1,777... = 1 + 0,777.... = 1 + 0,7 + 0,07 +
0,007 + .....= 1 +
7
7
7
+
+
+ ....
10 100 1000
Desse modo, os alunos concluirão que as
parcelas 7 , 7 , 7 , .... formam uma
10 100 1000
1
PG infinita de razão q = e primeiro termo
10
a1 = 7 .
10
Assim, aplicando a fórmula do limite da
soma lim Sn =
a1
, obtém-se:
1–q
=x
Problema 8
lim Sn =
a1
=
1–q
7
10
1–
1
10
=
7
10
9
10
=
Determine a geratriz da dízima 1,777...
Desse modo, a geratriz de 1,777... será
O aluno deve ser convidado a decompor a
dízima em uma soma:
1 + 7 = 16 .
9
9
7.
9
57
Considerações sobre a avaliação
Nesta Situação de Aprendizagem, abordamos dois conceitos matemáticos bem abrangentes, que foram os conceitos de continuidade
e de infinito. Isso se deu a partir do trabalho
com situações-problema, cujas resoluções implicavam a soma dos termos de uma PG infinita, com razão real entre –1 e 1. Não existe,
de forma alguma, a pretensão de que esses
conceitos sejam perfeitamente compreendidos nesta etapa de escolarização, na 1a série
do Ensino Médio. Existe, sim, a intenção de
que possam ter sido apontadas relações que
serão exploradas na 3a série, quando os alunos
estiverem estudando o conjunto de todas as
funções e as taxas de variação.
Com relação aos instrumentos pensados
para a avaliação dos conceitos trabalhados no
período, valem, aqui, as considerações feitas
na Situação de Aprendizagem anterior, a respeito da permissão ao uso de calculadoras ou
à informação sobre o resultado das potências
de expoentes elevados.
ORIENtAçÕES PARA RECuPERAçãO
Na 1a série do Ensino Médio, os alunos,
iniciando seu último ciclo de escolaridade básica, começam a tomar contato com aspectos
da Matemática que exigem maior elaboração
algébrica e também a mobilização de estratégias de raciocínio mais elaboradas. Mesmo
que os conteúdos matemáticos apresentados a
eles neste momento sejam ainda de pouca dificuldade conceitual, o professor deverá estar
atento para a presença de alunos que, eventualmente, não tenham conseguido completar a
construção conceitual da maneira projetada.
Se processos de recuperação são importantes
em qualquer etapa de escolaridade, o são ainda mais agora, ao iniciar-se o Ensino Médio.
Para os alunos que necessitarem de recuperação, sugerimos, em primeiro lugar, que o tipo
de construção dos conceitos proposto neste
Caderno não seja alterado, sobretudo no que
diz respeito à identificação da regularidade da
sequência e à possibilidade de traduzi-la por
58
intermédio de uma equação matemática. Se não
se altera a concepção, altera-se, por outro lado,
a forma com que devem ser abordados os conceitos. Assim, sugerimos que o professor:
f prepare e aplique listas de problemas com características mais pontuais, que explorem de
forma mais lenta e gradual cada conceito;
f recorra ao livro didático adotado e também a outros, selecionando problemas e
agrupando-os de modo a formar listas de
atividades em concordância com a proposta de construção conceitual desenvolvida
neste Caderno;
f forme grupos de alunos para a realização
conjunta das sequências didáticas que elaborou e, se possível, convoque alunos com
maior desenvoltura nos conceitos estudados
para auxiliarem os grupos em recuperação.
Matemática – 1ª- série, 1o bimestre
RECuRSOS PARA AMPLIAR A PERSPECtIVA DO
PROFESSOR E DO ALuNO PARA A COMPREENSãO DO tEMA
Caso o professor julgue necessário aprofundar o estudo de alguns dos temas apresentados neste Caderno, sugerimos a leitura,
dentre outros, dos seguintes artigos da Revista
do Professor de Matemática (RPM), da Sociedade Brasileira de Matemática:
ÁVILA, G. “As séries infinitas”. Revista do
Professor de Matemática, n. 30.
CARVALHO, P. C. P. “um problema doméstico”. Revista do Professor de Matemática, n. 32.
LIMA, E. L. “uma construção geométrica
e a progressão geométrica”. Revista do Professor de Matemática, n. 14.
VALADARES, E. e WAGNER, E. “usando
geometria para somar”. Revista do Professor
de Matemática, n. 39.
59
conSideraçÕeS FinaiS
Neste Caderno, foram apresentadas diversas situações-problema envolvendo as principais noções de sequências e de progressões
aritméticas e geométricas. Foram sugeridas
atividades que propiciam experiências educativas diversificadas e que entendemos como
essenciais para o desenvolvimento de competências relativas a esse tema.
Convém ressaltar que as expectativas de
aprendizagem para o 1o bimestre da 1a série do
Ensino Médio não expressam todos os conteúdos referentes ao tema do bimestre, mas apenas
os aspectos considerados fundamentais, isto é,
aqueles que possibilitam ao aluno continuar
aprendendo, nos bimestres seguintes, sem que
seu aproveitamento seja comprometido.
Assim, espera-se que o aluno, ao final do
bimestre, obtenha os termos de uma sequência
a partir da expressão de seu termo geral e determine essa expressão a partir de seus termos.
Além disso, o aluno deverá classificar uma
progressão (aritmética ou geométrica), obter
a expressão do termo geral e calcular a soma
dos termos de uma progressão em situações
diversas. Em relação às progressões geométricas, espera-se, também, que o aluno calcule o
limite da soma de uma PG infinita.
60
Ressalte-se que a avaliação deve fornecer
informações ao estudante sobre seu desenvolvimento, a respeito de suas capacidades
em utilizar as noções aprendidas em situações-problema. Por outro lado, a avaliação
deve fornecer ao professor dados sobre a
aprendizagem de seus alunos, para a adequação das situações apresentadas e a proposição de novas.
O professor deve ter clareza sobre os
critérios da avaliação e as limitações e possibilidades dos instrumentos que serão utilizados. Os instrumentos de avaliação devem, também, contemplar as explicações,
justificativas e argumentações orais, uma
vez que estas revelam aspectos do raciocínio
que, muitas vezes, não ficam explícitos nas
avaliações escritas.
Para que se tenha uma ideia mais nítida
das múltiplas inter-relações entre os diversos conteúdos aqui tratados, apresentamos,
a seguir, a grade curricular com os conteúdos
de Matemática de todas as séries do Ensino
Médio, destacando-se com um sombreado os
conteúdos de outras séries e de outros bimestres diretamente relacionados com os conteúdos apresentados neste Caderno.
Matemática – 1ª- série, 1o bimestre
conTeÚdoS de MaTeMÁTica Por SÉrie/biMeSTre
4o Bimestre
3o Bimestre
2o Bimestre
1o Bimestre
do enSino MÉdio
1a série
2a série
3a série
NÚMEROS E SEQuÊNCIAS
- Conjuntos numéricos.
- Regularidades numéricas:
sequências.
- Progressões aritméticas, progressões geométricas; ocorrências
em diferentes contextos; noções
de Matemática Financeira.
tRIGONOMEtRIA
- Arcos e ângulos; graus e radianos.
- Circunferência trigonométrica:
seno, cosseno, tangente.
- Funções trigonométricas e
fenômenos periódicos.
- Equações e inequações trigonométricas.
- Adição de arcos.
GEOMEtRIA ANALÍtICA
- Pontos: distância, ponto médio
e alinhamento de três pontos.
- Reta: equação e estudo dos
coeficientes, retas paralelas e perpendiculares, distância de ponto
a reta; problemas lineares.
- Circunferências e cônicas: propriedades, equações, aplicações
em diferentes contextos.
FuNçÕES
- Relação entre duas grandezas.
- Proporcionalidades: direta,
inversa, direta com o quadrado.
- Função do 1o grau, função do
2o grau; significado e ocorrência
em diferentes contextos.
MAtRIzES, DEtERMINANtES E SIStEMAS LINEARES
- Matrizes: significado como tabelas, características e operações.
- A noção de determinante de
uma matriz quadrada.
- Resolução e discussão de sistemas lineares: escalonamento.
EQuAçÕES ALGÉBRICAS,
POLINÔMIOS, COMPLEXOS
- Equações polinomiais: história,
das fórmulas à análise qualitativa.
- Relações entre coeficientes e raízes de uma equação polinomial.
- Polinômios: identidade, divisão
por x - k e redução no grau de
uma equação.
- Números complexos: significado geométrico das operações.
FuNçÕES EXPONENCIAL E
LOGARÍtMICA
- Crescimento exponencial.
- Função exponencial: equações
e inequações.
- Logaritmos: definição, propriedades, significado em diferentes
contextos.
- Função logarítmica: equações
e inequações simples.
ANÁLISE COMBINAtÓRIA
E PROBABILIDADE
- Raciocínio combinatório: princípios multiplicativo e aditivo.
- Probabilidade simples.
- Arranjos, combinações e permutações.
- Probabilidades; probabilidade
condicional.
- triângulo de Pascal e Binômio
de Newton.
EStuDO DAS FuNçÕES
- Panorama das funções já estudadas: principais propriedades.
- Gráficos: funções trigonométricas, exponenciais, logarítmicas e
polinomiais.
- Gráficos: análise de sinal, crescimento, decrescimento, taxas de
variação.
- Composição: translações, reflexões, inversões.
GEOMEtRIA-tRIGONOMEtRIA
- Razões trigonométricas nos
triângulos retângulos.
- Polígonos regulares: inscrição,
circunscrição; pavimentação
superfícies.
- Resolução de triângulos não
retângulos: lei dos senos e lei dos
co-senos.
GEOMEtRIA MÉtRICA
ESPACIAL
- Organização do conhecimento
geométrico: conceitos primitivos,
definições, postulados, teoremas.
- Prismas e cilindros: propriedades, relações métricas.
- Pirâmides e cones: propriedades, relações métricas.
- A esfera e suas partes; relações
métricas; a esfera terrestre.
EStAtÍStICA
- Cálculo e interpretação de
índices estatísticos.
- Medidas de tendência central:
média, mediana e moda.
- Medidas de dispersão: desvio
médio e desvio padrão.
- Elementos de amostragem.
O sombreado assinala os conteúdos relacionados aos trabalhados neste bimestre.
61