Nono Simpósio de Mecânica Computacional
26 a 28 de maio de 2010
Universidade Federal de São João Del-Rei – MG
Associação Brasileira de Métodos Computacionais em Engenharia
MDF: Conceitos Básicos e algumas Aplicações na Engenharia
Estrutural
L. R. Deus1; F. C. S. Machado1; R. A. M. Silveira1; C. L. Nogueira2
1
Departamento de Engenharia Civil, Escola de Minas, – UFOP – Ouro Preto, MG
CEP: 35400-000
e-mail: [email protected], [email protected], [email protected]
2
Departamento de Engenharia de Minas, Escola de Minas, – UFOP – Ouro Preto, MG
CEP: 35400-000
e-mail: [email protected]
Resumo. Este trabalho trás inicialmente algumas considerações sobre os métodos
numéricos que podem ser utilizados na solução de problemas da engenharia civil, com
ênfase na área de estruturas. Em seguida, atenção especial é dada aos métodos
aproximados que atuam diretamente sobre a equação diferencial que rege o problema
estrutural, em especial ao Método das Diferenças Finitas (MDF). No MDF, as derivadas
da equação diferencial em consideração são substituídas por fórmulas de diferenças do
valor da variável em alguns pontos selecionados, que estão localizados nas juntas ou
pontos nodais de uma malha. Através desse procedimento a equação diferencial do
problema é transformada numa equação algébrica. Procurando então satisfazer essa
equação algébrica em todos os pontos da malha chega-se num sistema de equações cuja
solução fornece os valores da variável primária nos pontos nodais considerados. Através
de diversas aplicações, como por exemplo, o problema de estabilidade em colunas e o
problema de equilíbrio de vigas, placas e cascas, verifica-se o funcionamento do MDF. É
verificado também se as soluções numéricas obtidas através do MDF se aproximam das
soluções analíticas e outras soluções numéricas. Através dessas análises conclui-se que o
MDF é uma estratégia numérica bastante simples e de fácil implementação
computacional, além de poder ser utilizado na resolução de uma grande variedade de
problemas da engenharia estrutural.
Palavras chaves: Métodos numéricos, Método das diferenças finitas, Análise estrutural,
Mecânica das Estruturas.
Nono Simpósio de Mecânica Computacional
1
Universidade Federal de São João Del-Rei – MG – ABMEC
INTRODUÇÃO
Durante a solução de problemas de engenharia, é comum se deparar com equações
diferenciais (ordinárias e parciais) que regem o fenômeno físico. A solução analítica dessas
equações nos casos de condições de contorno, carregamento e geometria complexas é
bastante complicada ou até mesmo impossível. Nesses casos é comum recorrer às soluções
aproximadas obtidas através de métodos numéricos.
O emprego de um método numérico está relacionado com uma seqüência finita de
operações aritméticas para aproximar a solução de determinado problema quando esse é de
difícil resolução analítica. O objetivo é encontrar uma solução numérica bastante próxima
da solução exata do problema, visando sempre diminuir o erro (ou seja, a diferença) entre
as duas soluções, de tal forma que o método possa ser considerado válido.
São muitos os métodos numéricos utilizados hoje, mas no geral eles podem ser
divididos em dois grandes grupos:
i. métodos que atuam diretamente sobre a equação diferencial do problema real (como
exemplos, pode-se citar o Método das Diferenças Finitas (MDF) e o Método dos
Resíduos Ponderados (MRP));
ii. métodos que atuam de forma indireta no problema real e possuem uma base
variacional (como exemplos têm-se o Método de Rayleigh-Ritz (MRR) e o Método dos
Elementos Finitos (MEF)).
O MDF talvez seja o mais simples dentre essas abordagens numéricas. Ele consiste
basicamente em substituir as derivadas da equação diferencial por fórmulas de diferença
previamente definidas. Esse método surgiu com o trabalho de Southwell (1946), sendo
ainda utilizado em diversos problemas da engenharia, sempre fornecendo resultados de
precisão bastante razoável, como será visto adiante.
O MDF também tem aplicação em diversas áreas da engenharia civil (Estruturas,
Geotecnia e Hidráulica). Como exemplos de aplicações do MDF nessas áreas, pode-se
citar:
i. equilíbrio estrutural de vigas, placas e cascas;
ii. estabilidade elástica de colunas;
iii. fluxo em meio poroso;
iv. linha de corrente em um escoamento.
Nos próximos tópicos serão abordados temas específicos sobre a utilização do MDF e
algumas aplicações na área da engenharia estrutural.
2
MÉTODO DAS DIFERENÇAS FINITAS (MDF)
Como já mencionado, se um problema real de engenharia tem geometria, condições de
contorno e condições de carregamento simples, os métodos analíticos podem ser usados
para resolver a equação diferencial que rege o fenômeno em estudo. Caso contrário,
quando tais características forem complicadas, pode-se utilizar o MDF para aproximar a
solução para o mesmo.
O MDF é um esquema bastante simples e prático para a solução numérica de equações
diferenciais, que apresentou franca expansão entre os anos 50 e 60, mas perdeu espaço para
métodos mais sofisticados (MEF) com a crescente utilização dos computadores digitais nas
décadas de 80 e 90 (Oliveira & Pedroso, 2008). Atualmente, o MDF é aplicado e estudado
principalmente no meio acadêmico.
O resultado analítico obtido para um dado problema é geralmente considerado a
solução exata desse problema. A análise numérica resulta num valor aproximado, que pode
conter erros. Esses erros podem ser: de cálculo, de dados, de máquina, ou mesmo do
analista na interpretação dos resultados. Por isso, para que o método possa ser utilizado, o
erro entre o resultado analítico exato e o resultado aproximado deve ser o menor possível.
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A idéia geral do MDF é obter a solução aproximada de uma equação diferencial em
pontos discretos do domínio considerado, utilizando fórmulas de diferenças para substituir
as derivadas de ordem “n” presentes na equação governante do problema. O conjunto
desses pontos é denominado de malha de diferenças finitas, e quanto mais pontos essa
malha tem, mais precisa é a resposta dada pelo método.
3
FÓRMULAS DE DIFERENÇA
As fórmulas de diferença utilizadas no MDF para substituir as derivadas contidas na
equação que rege o problema estrutural podem ser obtidas através da expansão da fórmula
de Taylor, como descrito por Szilard (1975). Há três tipos de fórmulas de diferenças que
podem ser utilizadas no MDF, a saber: Diferença em Avanço, Diferença em Atraso e
Diferença Central (a utilizada neste trabalho).
Para os problemas de equilíbrio e estabilidade das estruturas que serão vistos a seguir,
foram usadas as fórmulas de diferenças correspondentes às derivadas de primeira à quarta
ordem em relação às variáveis independentes x, y ou θ num determinado ponto “k” da
malha. Para uma dada função genérica f, que nos problemas estruturais representa uma
componente de deslocamento da estrutura, pode-se escrever as seguintes expressões
procurando aproximar as derivadas:
1
 df 
( f k +1 − f k −1 ) ;
  ≅
 dx  k 2∆x
d2 f 
1
 2  ≅ 2 ( f k +1 − 2 f k + f k −1 )
 dx  k ∆x
d4 f
 4
 dx

1
 ≅ 4 ( f k =2 − 4 f k +1 + 6 f k − 4 f k −1 + f k + 2 )
 k ∆x
(1a)
(1b)
(1c)
Já a derivada ݀ଶ ݂/(߲‫)ݕ߲ݔ‬, por exemplo, pode ser aproximada pela expressão:
 ∂2 f 
1

 ≅
( f m+1,n+1 − f m−1,n+1 − f m+1,n−1 + f m−1,n−1 )m ,n
 ∂x∂y  m ,n 4 ∆x∆y
(2)
em que “m” e “n” são pontos da malha de diferenças finitas.
4
ALGORITMOS
As aplicações que serão mostradas a seguir estão relacionadas com a solução de
problemas de equilíbrio (vigas, placas e cascas) e com a solução do problema de
estabilidade elástica de colunas. No caso dos problemas de equilíbrio, a aplicação do MDF
está diretamente relacionado com a obtenção da matriz de rigidez do sistema e do vetor de
cargas atuante, e como conseqüência gera-se um sistema de equações algébricas de simples
resolução. Já no caso de problemas de estabilidade, o emprego do MDF interfere
diretamente na obtenção das matrizes de rigidez e geométrica do sistema estrutural, e como
conseqüência tem-se um problema de auto-valor a ser resolvido.
Assim, no caso de aplicação do MDF na solução de problemas de equilíbrio, deve-se
seguir o seguinte roteiro:
i. definir equação diferencial do problema;
ii. aproximar as derivadas por fórmulas de diferença;
iii. obter a equação de equilíbrio na forma de DF (equação algébrica);
iv. definir a malha de DF;
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v. definir as condições de contorno do problema;
vi. aplicar a equação nos pontos da malha de DF; como conseqüência:
- obter a matriz de rigidez K
- obter o vetor de cargas F
vii. resolver o sistema de equações: KU = F;
viii. obter os resultados secundários (rotação, momento fletor, cortante).
No caso de aplicação do MDF para solução de problemas de estabilidade linearizados,
devem-se seguir os seguintes passos:
i. definir equação diferencial do problema;
ii. aproximar as derivadas por fórmulas de diferença;
iii. obter a equação de equilíbrio crítico na forma de DF (equação algébrica);
iv. definir a malha de DF;
v. definir as condições de contorno do problema;
vi. aplicar a equação nos pontos da malha de DF; como conseqüência:
- obter a matriz de rigidez K
- obter a matriz de rigidez geométrica KG
vii. resolver o sistema de auto-valor: (K - λKG) U = 0;
viii. avaliar as cargas (auto-valores, λ) e os modos (auto-vetores, U) de flambagem.
5
APLICAÇÕES DO MDF
Considere como primeiro exemplo de aplicação do MDF, o problema de equilíbrio
ilustrado na Figura 1a. Trata-se de uma viga biapoiada submetida a uma carga
uniformemente distribuída q. A equação que rege esse fenômeno é definida a seguir:
EI
d 4w
=q
dx 4
(3)
em que w é a deflexão lateral da viga, EI é a rigidez à flexão da viga e q é o carregamento
atuante. As condições de contorno para esse problema particular são dadas por:
w =0 e M =0 em x = 0 e x = L
(4)
sendo M o momento fletor e L o comprimento da viga. Na Figura 1b é apresentada a malha
de DF para o caso de 5 pontos nodais e na Figura 1c está a forma molecular (ou forma de
DF) da Eq. (3). Como conseqüência da aplicação dessa equação nos pontos 2, 3 e 4 (pontos
reais da malha), chega-se ao seguinte sistema de equações, após serem aplicadas as
condições de contorno (w1 = 0; w5 = 0; M1 = 0; e M5 = 0):
 5 − 4 1  w2  q 
EI 
   
− 4 6 − 4   w3  = q 
4 
∆x
 1 − 4 5  w4  q 
(5)
A solução do sistema mostrado na Eq. (5) fornece os valores da deflexão lateral nos
pontos da malha (ver Tabela 1). Foram assumidos: EI = 187,5 MPa; L = 10 m; ∆x = 2,5
m; e q = 30 kN/m).
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Figura 1: a) Viga biapoiada com carregamento distribuído; b) Modelo de DF com 5
pontos nodais; c) Fórmula molecular de DF.
Tabela 1 – Deflexão lateral da viga nos pontos da malha de DF (ver Fig. 1b).
w1
0,0
w2
0,0156
w3
0,0219
w4
0,0156
w5
0,0
Para efeito de comparação, são mostrados nas Tabelas 2 e 3 a deflexão lateral máxima
da viga e a rotação no apoio para diferentes discretizações ou malhas de DF. Como
esperado, a medida que o número de pontos nodais da malha aumenta o valor numérico
obtido com o MDF se aproxima da solução analítica.
Tabela 2 – Deflexão lateral máxima (wmáx) no meio do vão da viga biapoiada.
Malha DF
wmáx (num)
wmáx (ana)
3
5
7
0,0250
0,0219
0,0215
0,0208
0,0208
0,0208
Erro (%)
20,02
5,02
3,09
Nota: num: numérico; ana: analítico; solução analítica: Timoshenko e Gere (1994).
Tabela 3 – Rotação θ no apoio da viga biapoiada (ponto nodal 1).
Malha DF
θ (num)
3
0,0050
5
0,0062
7
0,0065
Nota: num: numérico; ana: analítico.
θ (ana)
0,0067
0,0067
0,0067
Erro (%)
25,00
6,25
2,20
Seja agora a coluna engastada-apoiada mostrada na Figura 2a. A equação diferencial
que governa esse problema clássico de estabilidade é definida através da expressão:
EI
d 4w
d 2w
+
P
=0
dx 4
dx 2
(6)
em que w é a deflexão lateral da viga, EI é a rigidez a flexão e P é a carga concentrada
aplicada em x = L. Veja que para esse problema, as condições de contorno são dadas por:
w =0 e θ =0 em x = 0 e w =0 e M = 0 em x = L
(7)
Na Figura 2b é apresentada a malha de DF para o caso de 6 pontos nodais e na Figura
1c está a fórmula molecular da Eq. (6).
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0
Figura 2: a) Coluna engastada-apoiada; b) Modelo de DF com 6 pontos nodais;
c) Fórmula molecular de DF.
De acordo com Brush e Almroth (1975), resolvendo-se analiticamente esse problema,
chega-se na expressão da carga crítica mostrada a seguir:
Pcr ≅
2,045π 2 EI
L2
(8)
em que EI é a rigidez à flexão da coluna e L é o comprimento da mesma.
Seguindo então o procedimento descrito anteriormente para a obtenção da solução
numérica desse problema de estabilidade, chega-se aos resultados apresentados na Tabela 4
para diferentes modelos ou malhas de DF. Mais uma vez, note que a carga crítica da coluna
obtida através da solução numérica usando o MDF se aproxima da resposta exata à medida
que o número de pontos nodais aumenta. Veja que com 10 pontos nodais a solução já é
bastante razoável.
Aplicações do MDF à colunas com outras condições de borda podem ser encontradas
em Lages e Silveira (1998).
Tabela 4 – Carga crítica (Pcr) da coluna engastada-apoiada obtida através do MDF.
Malha DF
3
5
7
10
20
Pcr (num)
12.000,0
17.772,3
19.085,0
19.693,2
20.078,2
Erro (%)
40,6
12,0
5,5
2,4
1,0
40
0,1
20.164,0
Nota: num: numérico; valores assumidos: L = 1; EI = 1000; Pcr (ana) ≅ 20.187,05.
O terceiro sistema estrutural a ser resolvido numericamente é ilustrado na Figura 3.
Trata-se de uma placa quadrada simplesmente apoiada nas quatro bordas e sujeita a um
carregamento uniformemente distribuído pz. A equação diferencial parcial que rege o
equilíbrio da placa é fornecida abaixo:
∂4 w
∂4 w
∂ 4 w pz
+
2
+
=
D
∂x 4
∂x 2 ∂y 2 ∂y 4
(9)
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Del
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em que w é a deflexão da placa e D é a sua rigidez à flexão. Observe agora a existência de
duas variáveis independentes, x e y.
A Figura 3b fornece a malha de DF adotada na solução numérica da placa; já na Figura
3c é encontrada a representação molecular (no caso de ∆x = ∆y = λ) da Eq. (9), que
governa o problema estrutural em questão.
a) Placa quadrada simplesmente apoiada.
b) Malha de DF adotada.
c) Fórmula molecular de DF (Szilard, 1975).
19
Figura 3 – Solução numérica via MDF de uma placa quadrada biapoiada.
b
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Com a aplicação da equação de equilíbrio em sua forma discreta (molecular) nos
pontos localizados no interior da placa (5, 6, e 9), e considerando as condições de simetria
(w1 = w3 = w7 = w9; e w2 = w4 = w6 = w8) e contorno (w22 à w37 são nulos; M27, M28, M29 e
M30 e M31 são nulos), chega-se no sistema de equações apresentado a seguir:
8  w5 
 20 − 32
1
4
− 32 24 − 16  w  = p z λ 1
 

 6 
D  


 2
− 16 20  w9 
1
(10)
cuja solução é dada por (para L = 4, λ = 1, pz = 2 e D = 2):
 w5   1,031 
  

w6  = 0 ,750 
w  0 ,547 
 9 

(11)
Se a deflexão máxima obtida através do MDF no centro da placa (w5) for comparada
com a solução analítica wmáx = 0,00406 qL4/D = 1,039 (Timoshenko & WoinkowskyKrieger, 1959), obtem-se um erro de apenas 0,78%. Essa aplicação demonstra mais uma
vez a eficiência e precisão da técnica numérica abordada neste trabalho.
Como último exemplo, considere a casca cilíndrica biengastada de comprimento L
mostrada na Figura 4a submetida a uma pressão interna p. Para esse problema, as equações
que governam o comportamento da casca podem ser obtidas, por exemplo, estabelecendose o equilíbrio de forças e momentos nas três direções (x, θ e z) de um elemento
infinitesimal (ver Figura 4b). Através desse procedimento chega-se a:
∂N
∂N xθ
=0
R x+
∂θ
∂x
∂N
∂N
R xθ + θ = 0
(12)
∂x
∂θ
N
D∇ 4 w + θ = p
R
em que w é a deflexão lateral da casca, R é o seu raio e D é a sua rigidez à flexão; Nx, Nθ e
Nxθ são os esforços resultantes (ver Figura 4b); e p é a pressão interna atuante. Observe que
agora as variáveis independentes do problema são x e θ.
Na Figura 4c é apresentado o formato da malha de DF adotado caracterizando as
bordas do lado esquerdo e do lado direito da casca. Os pontos localizados fora dessas
bordas são chamados de pontos fictícios da malha. Deve-se enfatizar que devido a simetria
do problema, apenas metade da casca foi discretizada.
As equações anteriores foram discretizadas usando o MDF e diferentes malhas foram
adotadas na solução numérica do problema. Os resultados dessas análises são mostrados na
Figura 4d, onde se pode observar a variação do deslocamento lateral w da casca ao longo
do seu comprimento. Foram adotados: L = 20 m; R = 6 m; h (espessura) = 0,032 m; p = 106 N/m2; e D = 615150,18 N/m. Esse mesmo problema foi resolvido através do MEF,
usando o software Ansys, bem como analiticamente (Timoshenko & WoinkowskyKrieger, 1959). A resposta obtida com esse segundo procedimento numérico e a analítica
simplificada são também apresentadas na Figura 4d. Através dessa figura verifica-se que
mesmo usando-se uma malha pouco refinada de DF consegue-se um resultado com boa
precisão para pontos da casca localizados a uma certa distância das bordas. Os
deslocamentos para esses pontos são coincidentes com aqueles obtidos com o Ansys.
Entretanto, o efeito da influência das bordas só pode ser capturados a medida que se
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aumenta a discretização do modelo numérico. Tanto as respostas obtidas através do MDF
como aquelas do MEF apresentaram a mesma discrepância em relação à solução analítica.
Engaste
R
p
h
Engaste
(b)
(a)
Bordo Direito
Bordo Esquerdo
a) Casca cilíndrica submetida a uma pressão interna; b) Elemento infinitesimal.
c) Formato da malha de DF adotada.
0.006
Solução analítica
0.005
Deflexão Lateral (w)
Engaste
0.004
Solução analítica
MEF: Ansys
MDF: malha 6x6
MDF: malha 10x10
MDF: malha 20x20
0.003
0.002
Engaste
0.001
0
0
4
8
12
Comprimento da Casca Cilíndrica
16
20
d) Variação da deflexão lateral w ao longo do comprimento da casca.
Figura 4 – Solução numérica via MDF de uma casca cilíndrica biengastada.
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CONSIDERAÇÕES FINAIS
Este artigo abordou basicamente algumas aplicações do Método das Diferenças Finitas
no campo da engenharia estrutural. Através dos problemas de equilíbrio e de estabilidade
analisados pôde-se verificar que as respostas numéricas obtidas por esse método estavam
bastante próximas daquelas analíticas correspondentes ou mesmo das advindas do MEF.
Em algumas situações, mesmo considerando um modelo pouco refinado de DF, chegou-se
a um resultado numérico de razoável precisão.
Como vantagens do MDF, pode-se citar:
i. a facilidade de entendimento dos passos básicos envolvidos na sua aplicação;
ii. a sua fácil implementação computacional;
iii. a possibilidade de seu emprego em uma ampla variedade de problemas;
iv. a sua precisão; e
vi. a sua rápida convergência para a solução exata do problema.
Como desvantagens do método:
i. o atendimento de algumas condições de borda e carregamento;
ii. a solução de problemas onde existe descontinuidade de material.
Agradecimentos
Os autores deste artigo agradecem ao PET Civil (MEC/SESu/Difes), CNPq, CAPES e
FAPEMIG o apoio recebido para desenvolvimento desta pesquisa.
7
BIBLIOGRAFIA
Brush, D.O., & Almroth, B.O. (1975). Buckling of Bars, Plates, And Shells, Mcgraw-Hill,
INC.
Lages, A.G. & Silveira, R.A.M. (1998). Análise da Estabilidade de Colunas Através do
Método das Diferenças Finitas. Ouro Preto/MG: UFOP (Relatório Final de Pesquisa,
PIBIC/CNPq/UFOP).
Oliveira, V.G., & Pedroso, L.J. (2008). Freqüências e modos acústicos de vibração de
reservatórios pelo método das diferenças finitas. Revista de Pesquisa Aplicada à
Engenharia, vol. 1, no. 1.
Southwell, R.V. (1946). Relaxation Methods in Theoretical Physics. London, Oxford
University Press.
Szilard, R. (1974). Theory and Analysis of Plates - Classical and Numerical Methods.
Prentice-Hall INC.
Timoshenko, S.P., & Gere, J.E. (1994). Mecânica dos Sólidos. Vol. 1, Livros Técnicos e
Científicos, Rio de Janeiro.
Timoshenko, S.P. & Woinkowsky-Krieger, S. (1959). Theory of Plates and Shells.
McGraw-Hill Book Company, NY. 2nd edition, reissued 1987.
8
DIREITOS AUTORAIS
Os autores são responsáveis pelo conteúdo do material impresso incluído neste
trabalho.