Anais do XX Congresso Brasileiro de Automática
Belo Horizonte, MG, 20 a 24 de Setembro de 2014
EXTENSÃO DE GRAU RELATIVO ARBITRÁRIO PARA O MRAC BINÁRIO MULTIVARIÁVEL
UTILIZANDO DIFERENCIADORES ROBUSTOS EXATOS GLOBAIS
A NDREI BATTISTEL , E DUARDO V.L. N UNES AND L IU H SU∗
∗
Programa de Engenharia Elétrica
COPPE/Universidade Federal do Rio de Janeiro, C.P. 68504
21945-970-Rio de Janeiro, RJ, Brasil
Email: [email protected], [email protected], [email protected]
Abstract— This paper presents a multivariable adaptive control technique that does not require stringent symmetry assumptions
on the High Frequency Gain and is applicable to plants of non-uniform arbitrary relative degree. The result is an extension to
the Multivariable Binary Model Reference Adaptive Control (BMRAC), where Global Robust Differentiators (GRED) are used to
circumvent the relative degree obstacle. Global exact output tracking for uncertain linear plants is obtained with good transient
performance and robustness.
Keywords— Multivariable Adaptive Control, High Order Sliding Modes, Robust Exact Differentiators
Resumo— Este trabalho apresenta a extensão para grau relativo arbitrário e não uniforme do Controle Adaptativo Multivariável
Binário por Modelo de Referência (BMRAC). Obtém-se um controlador robusto com rastreamento global e exato para plantas
lineares incertas sem a necessidade de simetrização da matriz do ganho de alta frequência. Para contornar o problema do grau
relativo, é utilizada a versão multivariável do Diferenciador Robusto Global e Exato (GRED), que obtém derivadas exatas através
da combinação convexa de um filtro de avanço de fase com um estimador não linear baseado em modos deslizantes de ordem
superior.
Palavras-chave—
1
Controle Adaptativo Multivariável, Modos Deslizantes de Ordem Superior, Diferenciadores Exatos Robustos
um sejam WASPR é que a matriz do HFG, Kp , tenha
forma de Jordan diagonal positiva (PDJ). Este resultado motivou um novo algoritmo de MRAC direto sem
a necessidade de superparametrização e que dispensa
as condições de simetria em Kp (Hsu et al., 2014)
Sabe-se que os controladores adaptativos baseados em lei do gradiente têm como característica os
maus transitórios de adaptação e a pouca robustez. A
partir daí motivou-se o desenvolvimento do BMRAC
(Binary Model Reference Adaptive Control) (Hsu and
Costa, 1994), que permite um aumento do ganho de
adaptação de maneira que estes problemas são suavizados, permitindo bom comportamento transitório e
robustez. O BMRAC consiste basicamente no MRAC
convencional com uso de projeção paramétrica combinado com alto ganho de adaptação. A extensão multivariável para grau relativo um foi recentemente apresentada em (Yanque et al., 2012). Embora o BMRAC
tenda para um controle em modos deslizantes conforme o ganho de adaptação aumenta, este ganho pode
ser sintonizado para um valor suficientemente alto evitando o chattering. Embora esta solução requeira apenas que Kp seja PDJ, relaxando assim a condição de
simetria, o algoritmo em questão é restrito a plantas de
grau relativo uniforme ρ = 1 apenas.
Neste trabalho é proposta uma nova extensão ao
MIMO BMRAC englobando plantas de grau relativo
não uniforme e que permite obter rastreamento global e exato através de um estimador híbrido recentemente generalizado para o caso multivariável (Nunes
et al., 2013). Tal estimador, chamado Diferenciador Robusto Exato Global (GRED, Global Robust
Exact Differentiator), chaveia entre um filtro MIMO
de avanço de fase e um filtro não linear que utiliza Diferenciadores Robustos Exatos (RED) (Levant, 2003)
Introdução
As técnicas convencionais de Controle Adaptativo Direto1 Multivariável por Modelo de Referência (MIMO
MRAC) requerem o conhecimento de um multiplicador Sp para a matriz Kp do Ganho de Alta Frequência
(HFG, high frequency gain), tal que Sp Kp se torne
simétrica positiva definida (SPD, symmetric positive
definite) (Tao, 2003) (Ioannou and Sun, 1996). Essa
hipótese é não genérica, portanto frágil, uma vez que
uma perturbação paramétrica arbitrariamente pequena
no Kp destrói a simetria.
Algumas das técnicas que permitem o projeto de
controladores MIMO-MRAC para plantas com HFG
incerto e possivelmente não simétrico se baseiam em
fatoração matricial (Tao, 2003), (Costa et al., 2003),
(Imai et al., 2004), (Xie and Zhang, 2005), (Xie and
Li, 2006), (Xie, 2008), (Boulkroune et al., 2010),
(Charandab et al., 2011). Embora trate-se de uma solução bastante genérica que dispensa o conhecimento
de uma matriz simetrizante Sp , a desvantagem é a resultante superparametrização do controle.
Uma possibilidade recente de contornar a exigência de simetria é encontrada em (Barkana et al., 2006)
and (Hsu et al., 2011a), utilizando para tal o conceito de passividade generalizada, WSPR (W strictly
positive real) apresentado em (Fradkov, 2003) ao invés do paradigma usual de positividade real SPR; e
a idéia de passividade WASPR (W almost SPR), no
qual um sistema pode se tornar WSPR por meio de
realimentação estática de saída. É demonstrado em
(Hsu et al., 2011a) que a condição necessária e suficiente para que sistemas de fase mínima de grau relativo
1 No controle adaptativo direto, os parâmetros do controlador são
diretamente atualizados por uma lei de adaptação
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3
baseado em modos deslizantes de ordem superior. O
uso do MIMO GRED torna o erro do sistema uniformemente exponencialmente globalmente praticamente estável em relação a um conjunto residual pequeno com convergência para zero.
2
Considera-se uma planta MIMO linear invariante no
tempo descrita por
ẋp = Ap xp + Bp u ,
O conceito de SPR convencional requer que o ganho
de alta frequência da planta seja SPD, condição dificilmente satisfeita por sistemas reais.
Uma solução para contornar esta dificuldade foi
recentemente proposta em (Barkana et al., 2006), (Hsu
et al., 2011a), explorando um conceito mais geral de
passividade associado com a definição de WSPR e resultados correlatos.
y = G(s)u,
(2)
G(s) = Hp (sI −Ap )−1Bp .
As seguintes hipóteses são consideradas
(A1) G(s) é de fase mínima e tem posto completo.
Definição 1 (WSPR) (Barkana et al., 2006) (Hsu
et al., 2011b) Um sistema linear invariante no tempo
com a realização {AK , B, C}, onde AK ∈ Rn×n ,
B ∈ Rn×M , and C ∈ RM ×n é dito W –Estritamente
Passivo (WSP) e a sua função de transferência
C(sI −AK )−1 B é dita W –Estritamente Positiva Real
(WSPR), se existem matrizes simétricas positivas definidas P , Q e W tal que
P B = CT W .
y = Hp xp ,
onde xp ∈ Rn é o estado, u ∈ RM é a entrada, y ∈
RM é a saída e Ap , Bp and Hp são matrizes constantes
e incertas. Todos os parâmetros incertos pertencem
a um conjunto compacto Υ, tal que são disponíveis
os limites de incerteza necessários a serem definidos
posteriormente.
O modelo entrada-saída da planta é dado por
Passividade generalizada (WSPR)
ATK P + P AK = −Q ,
Descrição do Problema
(A2) A planta é controlável e observável.
(A3) O índice de observabilidade ν de G(s), ou um
limitante superior de ν é conhecido.
(A4) Existe uma matriz polinomial diagonal conhecida ξm (s), definida como a
matriz interactor pela esquerda modificada (MLI) de G(s) da forma ξm (s) =
diag {d1 (s), d2 (s), . . . , dM (s)} onde di (s)
são polinômios mônicos estáveis de grau ρi > 0.
(1)
(A5) A matriz de ganho de alta frequência de G(s),
definida como Kp = lims→∞ ξm (s)G(s) é finita
e não singular, com autovalores positivos e forma
de Jordan diagonal (condição PDJ).
Definição 2 (WASPR) : Um sistema linear e invariante no tempo com realização {A, B, C}, é dito WASP
se pode se tornar WSP a partir de uma realimentação
estática de saída, i.e., se existe K ∈ RM ×M tal que
C(sI − AK )−1 B é WSPR, com AK = A − BKC.
Assim, pela hipótese (A4), o grau relativo vetorial
[ρ1 , ρ2 , ..., ρM ]T é arbitrário e conhecido.
O sinal de referência ym é gerado pelo seguinte
modelo de referência
O teorema WASPR é enunciado como em (Hsu et al.,
2011a) e estabelece a condição para que um sistema
se torne WSPR por meio de realimentação estática de
saída.
ym = M (s) r ;
r, ym ∈ IRM (3)
−1
M (s) = diag (s + a) , ..., (s + a)−1 L−1 (s) (4)
Teorema 1 (Teorema WASPR (Hsu et al., 2011b))
Todo sistema estritamente próprio e de fase mínima
{A, B, C} com A ∈ Rn×n , B ∈ Rn×M , C ∈ RM ×n
e matriz de transferência C(sI − A)−1 B de ordem
M × M pode se tornar WSPR através de realimentação de saída (suficientemente grande), se e somente
se Kp tem autovalores positivos e reais e sua forma
de Jordan é diagonal (condição PDJ).
onde a > 0 e L(s) é dado por
L(s) = diag {L1 (s), L2 (s), ..., LM (s)} ,
(5)
e Li (s), i = 1, ..., M são polinômios Hurwitz dados
por
[i]
[i]
[i]
Li (s) = s(ρi −1) + lρi −2 s(ρi −2) + ... + l1 s + l0 (6)
A matriz de transferência M (s) tem o mesmo grau
relativo vetorial de G(s) e o seu HFG é a matriz identidade.
O objetivo de controle é encontrar uma lei de controle u(t) tal que o erro de saída
Conforme (Hsu et al., 2011a)[Lemma 1], a condição necessária e suficiente para a existência de W
que simetriza Kp é que Kp = CB tenha autovalores
positivos e reais e que sua forma de Jordan seja diagonal positiva (condição PDJ). De acordo com (Hsu
et al., 2014),(Yanque et al., 2012), se Kp não satisfaz
a condição de PDJ, é possível escolher um multiplicador matricial L̄ tal que L̄Kp satisfaça a condição de
PDJ de maneira robusta.
e(t) = y(t) − ym (t),
(7)
tenda a zero assintoticamente para condições iniciais arbitrárias. Quando a planta é conhecida, uma
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lei de controle que obtém o casamento entre a matriz de transferência em malha fechada e M (s) é dada
T
por u∗ = Θ∗ ω, onde a matriz de parâmetros pode
h T
iT
T
T
∗T
ser escrita como Θ∗ = Θ∗u Θ∗y Θ∗0 KΘ
, com
Θ∗u , Θ∗y
Kronecker. A lei de adaptação do MIMO BMRAC é
dada por
ϑ̇ = −ϑσ − γΩξ
(14)
com σ dada por uma projeção
0, se ||ϑ|| < Mϑ ou σeq < 0
σ=
σeq , se ||ϑ|| ≥ Mϑ e σeq ≥ 0
∗
, Θ∗0 , KΘ
∈ IRM ×M e o vetor
[ωuT ωyT y T rT ]T , ωu , ωy ∈ IRM (ν−1)
M (ν−1)×M
∈ IR
regressor ω =
é obtido dos filtros de entrada e saída dados por:
ωu = A(s)Λ−1 (s)u ,
ωy = A(s)Λ−1 (s)y ,
σeq =
(8)
onde A(s) = [Isν−2 Isν−3 · · · Is I]T , Λ(s) =
λ(s)I e λ(s) é um polinômio mônico e estável de grau
∗T
ν − 1. A condição de casamento requer que KΘ
=
−1
Kp .
No entanto, como a planta é desconhecida, a matriz de parâmetros desejada Θ∗ também é desconhecida. Nesse caso, a seguinte lei de controle pode ser
usada
u(t) = ΘT (t)ω(t)
(9)
4
y = H0 X
(10)
com Ac = A0 + B0 θ∗T Ω1 , Bc = B0 Kθ∗T = B0 Kp−1 .
O modelo de referência pode ser descrito por Ẋm =
Ac Xm + Bc r. Assim, o estado do erro xe = X − Xm
é dado por
(16)
BMRAC utilizando um filtro MIMO de avanço
de fase
onde hTi ∈ Rn+2M (ν−1) é a i-ésima linha da matriz
Ho e a segunda igualdade é obtida a partir da hipótese (A4) e da Eq. (10). O erro de grau relativo ρ = 1
corresponde a
e = ξ y − ym
(19)
(11)
Note que (Ac , Bc , H0 ) é uma realização não mínima
de M (s) e assim o a equação do erro pode ser reescrita
na forma entrada-saída como
e = M (s)Kp [u − u∗ ]
2
O BMRAC proposto em (Yanque et al., 2012) obtém
rastreamento global e exato se a planta considerada
tem grau relativo uniforme n∗ = 1. Para contornar
o problema do grau relativo, utiliza-se o operador (6),
tal que L(s)G(s) e L(s)M (s) tenham grau relativo
uniforme n∗ = 1. Para tal, define-se a seguinte saída
modificada:


(ρ −1)
[1]
[1]
y1 1
+ · · · + l1 ẏ1 + l0 y1


..
=
ξy =L(s)y = 
.


(ρ −1)
[M ]
[M ]
yM M
+ · · · + l1 ẏM + l0 yM

 Pρ1 −1 [1] T (j)
j=0 lj h1 Ac X


..
 = H̄X ,

(18)
.


PρM −1 [M ] T (j)
j=0 lj hM Ac X
Ẋ = Ac X + Bc Kp [u − u∗ ] + Bc r,
e = H0 xe
||ϑ||
onde Mϑ > ||ϑ∗ ||. A lei de controle pode ser rescrita
como
u(t) = ΘT (t)ω(t) = ΩT (t)ϑ(t)
(17)
onde Θ é uma estimativa de Θ∗ obtida por uma lei
de adaptação. Uma equação do erro pode ser obtida
estendendo-se a abordagem usual do MRAC para o
caso SISO para o caso MIMO (Tao, 2003; Ioannou and
T
Sun, 1996). Define-se o vetor X = xTp , ωuT , ωyT
com a seguinte dinâmica Ẋ = A0 X + B0 u. Assim,
somando e subtraindo B0 u∗ e notando que há matrizes
Ω1 e Ω2 tal que ω = Ω1 X + Ω2 r, segue-se que
ẋe = Ac xe + Bc Kp [u − u∗ ] ,
−γϑT Ωξ
(15)
Deve-se notar que o sinal ξy necessário para contornar o obstáculo do grau relativo não é diretamente
disponível para implementação. Uma maneira de resolver este problema é estimando ξy por meio de um
filtro de avanço de fase.
(12)
Esta é uma abordagem existente para o caso de plantas com grau relativo arbitrário uniforme (Yanque
et al., 2012). A extensão para o caso de grau relativo arbitrário pode ser obtida utilizando estimativas
das derivadas de y, tal que um sistema de grau relativo
uniforme n∗ = 1 é gerado.
A extensão do BMRAC para sistemas MIMO
é usada como na proposta apresentada em (Yanque
et al., 2012), adotando a seguinte parametrização:
 


θ1
ω
 θ2 
 


..
ϑ = vec(Θ) =  .  , Ω = Im ⊗ω = 

.
 .. 
ω
θn
(13)
com Ω ∈ IRN M ×M , ϑ ∈ IRN M , onde N é o número
de elementos do vetor regressor ω, θi é a i-ésima coluna da matriz de parâmetros Θ e ⊗ é o produto de
ξˆl = La (s)e, La (s) = L(s)F −1 (τ s)
(20)
onde F (τ s) = diag{(τ s + 1)ρ1−1 , . . . , (τ s + 1)ρm−1 }.
Pode-se notar que conforme τ > 0 tende a zero, ξˆl
aproxima ξy . Definindo-se o erro de estimativa do filtro de avanço de fase como l = ξˆl − ξy , a respectiva
dinâmica pode ser descrita como
ẋε =
1
Aε xε + Bε ξ˙y ,
τ
εl = Hε xε ,
(21)
onde ξ˙y = H̄Ac X + H̄Bc Kp ϑ̃T Ω (ver (11) e (18)),
[1]
[M ]
[i]
Aε = block diag {Aε , . . . , Aε }, com Aε ∈
ρi −1×ρi −1
R
,
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[1]
[M ]
[i]
Bε = block diag {Bε , . . . , Bε }, com Bε
[1]
[M ]
Rρi −1×1 , Hε = block diag {Hε , . . . , Hε },
[i]
com Hε ∈ R1×ρi −1 ,

A[i]
ε
[i]

[i]
5

−aρi −2
1
0
...
0

 −a[i]
ρi −3


..
= 
.


[i]
 −a1
0
..
.
0
1
..
.
0
...
..
.
0

 [i] 
 −bρ −3 
0
i




..  , B [i] = 
..


,
. ε
.




[i] 
1
 −b1 
0
0
0
0 ,
[i]
−a0
Hε[i] =
[i]
aj

∈
=
1
0
−1
Cρρii−1−j
,
0
...
[i]
ρi −1
bj = Cj+1
−bρi −2
0
[i]
−b0
Cln = n!/(k!(n − k)!)
com σ dada por uma projeção
0, se ||ϑ|| < Mϑ ou σeq < 0
σ=
σeq , se ||ϑ|| ≥ Mϑ e σeq ≥ 0
σeq =
−γϑT Ω(ē + βα )
||ϑ||
2
Na seção anterior, o BMRAC utilizando um filtro de
avanço de fase para estimar ξy foi analisado. Pelo Teorema 2 a convergência do estado do erro é garantida
apenas a um conjunto residual. Para obter um rastreamento exato, pode-se utilizar a extensão MIMO do diferenciador baseado em modos deslizantes de ordem
superior (HOSM, high order sliding modes) recentemente proposto em (Levant, 2003). A ideia é empregar um RED de ordem pj = ρj − 1 para cada saída
ej ∈ R, j = 1, . . . , M como se segue:
[j]
[j]
ζ̇i = vi ,
Na análise de estabilidade
em malha fe do sistema
chada com estado z T = xTe xTε , considera-se a presença de uma perturbação de saída uniformemente limitada βα (t) de ordem τ do filtro de avanço de fase.
Por projeto, βα (T ) ≤ M com M = τ KR , e KR > 0
é uma constante. Utilizando o filtro MIMO de avanço
de fase, a lei de adaptação é dada por
ϑ̇ = −ϑσ − γΩ(ē + βα )
Diferenciador Robusto Exato MIMO
[j]
[j]
vi = −λi Cρ[j]j
1
pj −i+1
pj −i
[j]
[j]
[j] p −i+1
[j]
sgn(ζi −vi−1 )
ζi −vi−1 j
[j]
+ ζi+1 ,
..
.
[j]
[j]
[j]
ζ̇p[j]j = −λ[j]
pj Cρj sgn(ζpj − vpj ),
(25)
onde i = 0, . . . , pj − 1,
(22)
(ρj )
constante tal que |ej
[j]
v−1
= ej (t),
[j]
Cρj
é uma
[j]
(t)| ≤ Cρj , ∀t. Se os parâme-
[j]
tros λi são propriamente escolhidos de forma recursiva 2 , então as igualdades são válidas em tempo finito
(Levant, 2003).
(23)
[j]

[1]
[1] [1]
[1] [1]
ζρ1 −1 + · · · + l1 ζ1 + l0 ζ0


..
.
ξˆr = 
.


[M ]
[M ] [M ]
[M ] [M ]
ζρM −1 + · · · + l1 ζ1 + l0 ζ0

(26)
Assim, as derivadas de y podem ser usadas conforme
em ξy = L(s)y. Porém, apenas a convergência local
do estado do erro para zero pode ser garantida, uma
(ρ )
vez que os sinais ej j (t), j = 1, . . . , M devem ser
uniformemente limitados.
6
Corolário 3 Para todo R > 0, existe τ > 0 suficientemente pequeno e γ suficientemente grande tal que
para algum tempo finito T , o estado do erro z(t) é levado a um conjunto invariante compacto DR := {z :
||z|| ≤ R}.
BMRAC baseado no RED Global (GRED)
A fim de garantir a estabilidade global e exponencial
em relação a um conjunto residual e obter a convergência global do estado do erro para zero, demonstrase que o filtro MIMO de avanço de fase apresentado
na Seção 4 pode ser combinado com o RED MIMO
(Seção 5). O esquema de controle proposto, chamado
GRED-BMRAC, é baseado em um compensador híbrido que consiste em uma combinação convexa e
variante no tempo entre a estimativa dada pelo filtro
MIMO (20) e a estimativa do RED MIMO (26), da
(i)
Corolário 4 Os sinais ej (t), i = 0,. . ., ρj , j =
∞
j = 1, . . . , m;
Assim, utilizando um RED MIMO composto de
M REDs de ordem ρj − 1 para cada saída ej , a seguinte estimativa de ξy pode ser obtida
Teorema 2 Dada a planta (2) e o modelo de referência (3)–(5) com sinal de controle (9) e lei de adaptação (22)–(24). Suponha que as hipóteses (A1) a (A5)
são satisfeitas. Se a perturbação βα (t) é uniformemente limitada por ||βα (t)|| ≤ τ KR , onde KR > 0 é
uma constante, então para τ > 0 suficientemente pequeno e γ > 0 suficientemente grande, o sistema do
erro em malha fechada
(11),
(9), (18), (21), (22)–(24)
com estado z T = xTe xTε , é uniformemente globalmente exponencialmente praticamente estável (GEpS)
em relação a um conjunto residual, i.e., existem constantes cz , a > 0 tal que ||z(t)|| ≤ cz e−a(t−t0 ) ||z(t0 )||+
O(τ ) + O(γ −1 ) é satisfeita ∀z(t0 ), ∀t ≥ t0 > 0.
(Prova: ver Apêndice.)
[j]
(i)
i =1, . . . , pj
onde Mϑ > ||ϑ∗ ||. Neste ponto, o seguinte Teorema
pode ser enunciado.
1,. . ., M são uniformemente limitados, i.e., ∃Ki
(i)
[j]
0 tal que |ej (t)| ≤ Ki , ∀ t ≥ t0 ≥ 0, i
0,. . ., ρj , j = 1,. . ., M . Além disso, se
||xe (t)||
(ρ ) [j]
R, ∀t > T , então, ∃Cρj > 0 tal que ej[Tj,t] [j]
ζ0 =ej (t); ζi = ej (t),
(24)
>
=
≤
≤
2 Particularmente,
[j]
Cρj , j = 1, . . . , M . (Prova: ver Apêndice)
[j]
1.5, λ3
1138
[j]
para pj ≤ 3: λ0
[j]
= 5, λ1
[j]
= 3, λ2
=
= 1.1. Mais detalhes são encontrados em (Levant, 2003).
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seguinte forma:
ξˆg = α(ν̃rl ) ξˆl + [1 − α(ν̃rl )] ξˆr ,
(27)
onde ν̃rl = ξˆr − ξˆl é a diferença entre ambas estimativas. A função de chaveamento α(ν̃rl ) é uma modulação contínua e dependente do estado que assume
valores no intervalo [0, 1] e permite que o controlador
alterne de maneira suave entre os estimadores.
Deve-se notar que a estabilidade global a um conjunto invariante DR é garantida independente do chaveamento entre os estimadores, uma vez que é possível mostrar que o sistema resultante é equivalente a
um BMRAC com filtro MIMO de avanço de fase como
uma perturbação de saída uniformemente limitada de
ordem τ . Assim, estabilidade prática global e convergência ao conjunto DR são garantidas de acordo com
o Teorema 2. A função de chaveamento é escolhida
de maneira a garantir que, em tempo finito apenas, a
estimativa do RED MIMO seja utilizada.
α(·) é projetado de maneira que
Especificamente,
ˆ
ˆ
≤
τ
K
:
ξ
−
ξ
g
R
l Figura 1: Diagrama de blocos do GRED-BMRAC
conjunto residual e a estimativa do MIMO RED e todos os sinais em malha fechada são uniformemente
[j]
limitados. Além disso, para λi , j = 1, . . . , M ,
i = 0, . . . , ρj − 1, e KR propriamente escolhidos, a
estimativa das derivadas do erro ξy passam a ser exatas, utilizando apenas o RED (α(·) = 0)em tempo
finito. Assim, o estado do erro em malha fechada
z T = xTe xTε , e portanto o erro de saída e, convergem exponencialmente para zero. (Prova: a prova
segue os passos das provas de (Nunes et al., 2013)[Teorema 3], (Nunes et al., 2009)[Teorema 3]).

0,
||ν̃rl || < εM − ∆

α(ν̃rl ) = (||ν̃rl ||−εM +∆)/∆, εM −∆ ≤ ||ν̃rl || < εM

1,
||ν̃rl || ≥ εM
(28)
onde 0 < ∆ < εM é uma camada de transição utilizada
para suavizar a função de chaveamento, e εM := τ KR
onde KR é um parâmetro de projeto, escolhido tal que
εM −∆ > ε̄l . Isto implica que em tempo finito apenas
a estimativa do RED MIMO é utilizada (α = 0), provendo o valor exato das derivadas de ξy conforme desejado. Uma forma de ajuste os parâmetros do GRED
MIMO é dada em (Nunes et al., 2013).
Usando o GRED para estimar ξy a lei de adaptação é dada por
ϑ̇ = −ϑσ − γΩξˆg
com σ dado por uma projeção
0, se ||ϑ|| < Mϑ ou σeq < 0
σ=
σeq , se ||ϑ|| ≥ Mϑ e σeq ≥ 0
σeq =
−γϑT Ωξˆg
||ϑ||
2
7
Resultados de Simulação
Considera-se um sistema MIMO linear invariante no
tempo descrevendo um atuador e processo dados por




10
20
0
0
1 2 3 1
−1 −0.5 0 −0.5
0 2 1 1
,


A=
0 0 1 1 ; B =  0
0
16
80 
0
0
0
4
0 0 0 1
(29)
H =I
cuja matriz de transferência é G0 (s). A planta é
composta de um atuador/processo e um sensor dado
pela matriz de transferência Gs (s) = diag{1/(s +
1), 1/(s + 1), 1, 1}. A matriz de transferência resultante G(s) = Gs (s)G0 (s) de u para y tem
grau relativo vetorial ρ = [2, 2, 1, 1]. O modelo é escolhido como M (s) = diag{1/(s +
1)2 , 1/(s + 1)2 , 1/(s + 1), 1/(s + 1)}. Por simplicidade, escolhe-se Kp = B PDJ. Assim, com L(s) =
diag {(s + 1), (s + 1), 1, 1}, a matriz de transferência
correspondente L(s)M (s)KP pode ser demonstrada
como sendo WSPR. Quando isto não é possível, um
multiplicador passivador pode ser utilizado a partir de
um Kp nominal (Hsu et al., 2011a). De acordo com a
prova do teorema WASPR em (Barkana et al., 2006),
pode-se concluir que um sistema WSPR mantém-se
WSPR com qualquer realimentação estática de saída
de ganho −k onde k é um escalar positivo. Verificouse que é possível melhorar a velocidade da convergência do erro de rastreamento ajustando-se este ganho k.
(30)
(31)
onde Mϑ > ||ϑ∗ ||. Os resultados de estabilidade e convergência do controlador proposto são enunciados no
teorema a seguir. Um diagrama de blocos da estratégia
é mostrado na Fig. 1
Teorema 5 Seja a planta (2) e o modelo de referência (3)–(5) com lei de controle dada por (9) e lei de
adaptação (29)–(31). A função de chaveamento α(·)
é definida em (28). Supondo que as hipóteses (A1) a
(A5) são válidas, para τ > 0 suficientemente pequeno
e γ > 0 suficientemente grande, o sistema do erro
em malha fechada, descrito por (9), (11), (18), (21),
(29)–(31) é uniformemente globalmente exponencialmente praticamente estável (GEpS) em relação a um
1139
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Figura 2: Erros de rastreamento obtidos quando apenas o filtro de avanço de fase é utilizado
Figura 3: Erros de rastreamento obtidos como estimador híbrido (GRED-BMRAC)
O sinal de referência r(t) ∈ IR4 é escolhido como ondas quadradas com offset f (t/T ) =
sqw(2t/T ) + 1 e diferentes períodos T , rT =
0.5[f (t/6); 2f (t/2); 3f (t/4); 3f (t/0.3)]. O único conhecimento prévio da planta necessário para o controle é Mϑ = 15 (de acordo com (31)) e o índice
de observabilidade ν = 2. O ganho de adaptação é
γ = 10. Outros parâmetros de projeto são: filtro de
avanço de fase (20): τ = 0.01; RED MIMO (25)-(26):
[1]
[1]1/2
[1]
[1]
[1]
λ0 = 1.5C2
, λ1 = 1.1C2 e C2 = 10; função de
chaveamento (28): εM = 0.5 e ∆ = 0.2. A condição
inicial da planta é y(0) = [1 1 1 1]. O restante das
condições iniciais é zero.
Quando apenas o filtro de avanço é utilizado, o
erro tem amplitude considerável, conforme Fig. 2.
Quando o diferenciador híbrido é empregado, erro
nulo de rastreamento é obtido (a menos de erros de integração numérica), conforme a Fig. 3. O desempenho
do rastreamento é visto na Fig. 4e pode-se ver que o
chattering é evitado no controle. Finalmente, na Fig. 5
pode-se notar que a diferenciação é feita inicialmente
pelos filtros de avanço de fase para em seguida chavear permanentemente para o RED MIMO em tempo
finito. Deve-se notar que nas mesmas circunstâncias o
sistema é instável se apenas o RED MIMO é utilizado.
8
Figura 4: Desempenho de rastreamento obtidos como
estimador híbrido (GRED-BMRAC)
Conclusões
Este trabalho apresenta a extensão de grau relativo
não-uniforme e arbitrário para o Controle Adaptativo
Binário por Modelo de Referência (BMRAC). Obtémse rastreamento global e exato para plantas lineares e
incertas sem a neessidade de condições restritivas de
simetria no ganho de alta frequência, além de um melhor transitório em relação a técnicas convencionais
do MRAC. Para contornar a restrição do grau relativo, empregou-se uma versão multivariável do Diferenciador Robusto Global e Exato (GRED), que obtém
estabilidade uniforme global e prática e rastreamento
exato através do chaveamento de um filtro de avanço
Figura 5: a) Função de chaveamento do estimador híbrido (GRED-BMRAC) e b) sinal de controle
1140
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de fase com um estimador não linear baseado em modos deslizantes de ordem superior. O sinal de controle
é contínuo e sem chattering
com λ = λmin (Q)/λmax (P ). Utilizando um lema de comparação é possível mostrar que existem constantes cz , a > 0 tal
que ||z(t)|| ≤ cz e−a(t−t0 ) ||z(t0 )|| + O(τ ) + O(γ −1 ) ∀z(t0 ),
∀t ≥ t0 > 0
(i)
Prova do Corolário 4: É possível mostrar que ej =
Apêndice
(i)
hT
j Ac xe , i = 1, . . . , ρi − 1, j = 1, . . . , m. Uma vez que
o estado do erro xe é uniformemente limitado, existem constan(i)
tes tais que: |ej | ≤ Ki , ∀t ≥ t0 ≥ 0, i = 0, . . . , ρi −
No que se segue, todos ki e κi são constantes positivas.
Prova do Teorema 2: Considerando a seguinte candidata
a função de Lyapunov, com P1 , P2 e WN simétricas e positivas
definidas, e ϑ̃ = ϑ − ϑ∗ .
V = xT
e P 1 xe +
1 T
ϑ̃ WN ϑ̃ + xT
ε P2 xε
γ
(ρ )
1, j = 1, . . . , M . Além disso, tem-se que ej j , j =
1, . . . , M é uniformemente limitado, uma vez que o estado do
erro xe (t), e os sinais u(t) e u∗ , são uniformemente limitados.
(32)
Onde utilizou-se ē = ξ̂l − ym and ξy = ξ̂l + εl . Pela Eq. (18), e
tendo que WN Ω = ΩW tem-se
(ρj )
(ρ )
(t), j = 1, . . . , M são dados por: ej j (t) =
ρ
−1
ρ
j
j
T
hT
Bc Kp [u(t) − u∗ ] . Note que u − u∗ =
j Ac xe (t) + hj Ac
T
T
Ω ϑ̃ = Θ̃ ω e assim, a Eq. (34) permite estabelecer que |wr | ≤
(ρ )
κ1 |xe | + κ2 , visto que Xm , r e Θ̃ são limitados. Assim ej j (t)
(ρ ) pode ser majorado por ej j (t) ≤ κ3 |xe (t)| + κ4 . Uma vez
(ρ ) [j]
que |xe (t)| ≤ R ∀t ≥ T , as inequações ej j ≤ Cρj , j =
[T ,t]
1 T
σ T
V̇ = −xT
e Q1 xe − xε Q2 xε −2 ϑ WN ϑ̃− ϑ̃WN Ω(εl +βα ) +
τ
γ
1, . . . , M são válidas uma vez que a projeção garante que ϑ̃ é limitado.
Os sinais ej
uma vez que o sistema (11) é WSPR
V̇
1 T
σ
x Q2 xε − 2 ϑT WN ϑ̃ +
τ ε
γ
˙
(33)
− 2ϑ̃WN Ω(ξy + εl + βα − ym ) + 2xT
P
B
ε 2 ε ξy
T
= −xT
e Q1 xe + 2eW Ω ϑ̃ −
T
T
+2xT
ε P2 Bε HAK X +2xε P2 Bε HBc Kp Ω ϑ̃
Referências
Sabendo-se que ΩT ϑ̃ = Θ̃T ω, xe = X −Xm , ωr = W0 (xe+Xm )
onde ωr = [ωu ωy y]T , Θ∗r = [Θ∗u Θ∗y Θ∗0 ]T e


0
I 0
0 I
W0 =  0
(34)
H0 0 0
Barkana, I., Teixeira, M. C. M. and Hsu, L. (2006). Mitigation of
symmetry condition in positive realness for adaptive control,
Automatica 39(9): 1611–1616.
tem-se
1 T
σ T
T
T
V̇ = −xT
e Q1 xe − xε Q2 xε −2 ϑ WN ϑ̃−(εl +βα ) W Ω ε̃+
τ
γ
T
T
+2xT
ε P2 Bε HAK xe + 2xε P2 Bε HBc Kp Ω W0 xe +
T
T
T
+2xT
ε P2 Bε HBc Kp Ω W0 Xm + 2xε P2 Bε HBc Kp KΘ r
O que pode ser simplificado:
V̇ =− xT
e Q1 xe −
σ
1 T
x Q2 xε − 2 ϑT WN ϑ̃−
τ ε
γ
T
+2xT
ε [Q3 xe +Q4 Xm + Q5 r]
Fradkov, A. L. (2003). Passification of non-square linear systems
and feedback Yakubovich-Kalman-Popov lemma, European
Journal of Control 6(1): 573–582.
com Q3 = P2 Bε HBc Kp Θ̃T
r W0 +P2 Bε HAK ;
T;
Q4 = P2 Bε HBc Kp Θ̃T W0 ; Q5 = P2 Bε HBc Kp KΘ
T
Q6 = W Θ̃T W0 ; Q7 = W KΘ
Uma vez que Θ é limitado e lembrando que βα é uniformemente limitado por εM = τ KR , and ||εl || ≤ ||xe ||,
Hsu, L., Battistel, A. and Nunes, E. V. L. (2014). Multivariable mrac
design without gain symmetry conditions using a stabilizing
multiplier, IEEE Trans. Aut. Contr. to appear.
k2
||xε ||2 +k3 ||xε || ||xe || + k4 ||xε || +
τ
σ
−2 ϑT WN ϑ̃ + O(τ )
γ
Hsu, L. and Costa, R. R. (1994). B-MRAC: Global exponential stability with a new model reference adaptive controller based on
binary control theory, C-TAT - Control-Theory and Advance
Technology 10(04): 649–668. Special Issue on Sliding Mode
Control.
Completando os quadrados e simplificando, tem-se
k2
k1
k2
V̇ ≤
||xe ||2 −
||xε || − k1 − 3 τ ||xe ||2 +
2
2τ
k2
2
σ
+O(τ ) − 2 λM (WN ) ϑ̃
γ
Hsu, L., Teixeira, M. C. M., Costa, R. R. and Assunçao, E. (2011a).
Necessary and sufficient condition for generalized passivity,
passification and application to multivariable adaptive systems, Proc. of the 18th IFAC World Congress, Milan.
Hsu, L., Teixeira, M. C. M., Costa, R. R. and Assunçao, E. (2011b).
Necessary and sufficient condition for generalized passivity,
passification and application to multivariable adaptive systems, Proc. World Congress of the International Federation
of Automatic Control (IFAC).
ϑT WN ϑ̃ é não-positivo,
De acordo com a Eq. (15), o termo −2 σ
γ
visto que ϑ̃ = ϑ − ϑ∗ e Mϑ ≥ ||ϑ∗ || e assumindo que τ ≤
tem-se
k1
k2
V̇ ≤ −
||xe ||2 −
||xε ||2 + O(τ )
2
4τ
Uma vez que ||ϑ|| é uniformemente limitado, obtém-se
P1
0
xe
V ≤ [xe xε ]T
+ O(γ −1 )
0
P2 xε
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T
(εl + βα ) Q6 [xe + Xm ] + (εl + βα ) Q7 r+
V̇ ≤ −k1 ||xe ||2 −
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k1 k2
2 ,
2k3
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Tal que se pode escrever z = [xe xε ]T V − O(γ −1 ) ≤ z T P z ≤
λmax (P )z T z e V̇ − O(τ ) ≤ −z T Qz ≤ −λmin (Q)z T z e
assim
V̇ ≤ −λ V − O(γ −1 ) + O(τ )
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