UNIVERSIDADE EDUARDO MONDLANE – Faculdade de Engenharia
Transmissão de calor
3º ano
Prof Dr. Engº Jorge Nhambiu
1
Aula 2. Equação diferencial de
condução de calor
„
Equação diferencial de condução de calor
„
Dedução da equação Básica
„
Aspectos Particulares da equação diferencial (leis
de Fourier, Poisson e Laplace)
„
Solução da Equação unidimensional de
transferência de calor em regime permanente
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2
2.1 Introdução
A transferência de calor e a temperatura estão
directamente relacionadas, mas são de natureza
diferente. Diferente da temperatura o fluxo de calor
tem magnitude e direcção, logicamente é um
vector. Dai é necessário para além da magnitude,
descrever a direcção para caracterizar por completo
a transferência de calor num ponto.
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3
2.1 Introdução
O fluxo de
calor tem
direcção e
magnitude,
daí ser uma
grandeza
vectorial
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4
2.1 Introdução
Direcção do fluxo
de transferência de
calor (positivo na
direcção positiva e
negativo na
direcção negativa)
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5
2.1 Introdução
A especificação da temperatura num ponto,
primeiro requer a descrição da localização do tal
ponto. Isso pode ser feito através da escolha de um
sistema de coordenadas que pode ser rectangular,
cilíndrico ou esférico, o que depende da forma do
corpo e da posição conveniente do ponto de
referência a utilizar.
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6
2.1 Introdução
Distâncias e ângulos envolvidos quando se descreve a localização de um ponto
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7
2.1 Introdução
Os problemas de transferência de calor são
geralmente classificados em de regime transiente e
de estado permanente. O termo permanente
implica que não haja variações no tempo de
nenhum ponto do meio, enquanto transiente,
refere-se a problemas que tenham variação no
tempo ou que sejam dependentes do tempo.
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8
2.1 Introdução
Condução
transiente e
estacionária em
uma parede
plana
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2.1 Introdução
Os problemas de transmissão de calor são
geralmente classificados em unidirecionais
bidireccionais e tridireccionais dependendo da
magnitude da transferência de calor em cada uma
das direcções e da precisão desejada na solução do
problema.
No caso geral o calor transmite-se de modo
tridimensional.
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10
2.2 Transferência de Calor Multidimensional
Transferência de
calor
bidimensional
numa barra
rectangular
longa
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2.2 Transferência de Calor Multidimensional
A Lei de Fourier para a transferência de Calor
Unidimensional é dada por:
dT
&
Qcond = −kA
dx
(W)
(2.1)
Se n for a normal à superfície isotérmica no ponto P, a taxa
de transferência de calor nesse ponto pode ser expressa pela
Lei de Fourier do seguinte modo:
∂T
&
Qcond = − kA
∂n
(W)
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(2.2)
12
2.2 Transferência de Calor Multidimensional
Em coordenadas rectangulares o vector da condução de
calor pode ser expresso em função dos seus componentes.
r
r
r
r
&
&
&
&
Qn = Q x i + Q y j + Q z k
(2.3)
Onde i,j e k são vectores unitários e Qx, Qy e Qz são as
magnitudes de transferência de calor nas direcções x, y e z.
∂T
Q& x = −kAx
∂x′
∂T
Q& y = −kAy
∂y ′
e
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∂T
Q& z = −kAz
∂z ′
(2.4)
13
2.2.1 Geração de calor
O meio pelo qual o calor é conduzido pode envolver a conversão de
energia eléctrica, nuclear ou química em calor (energia térmica) .
Quando se faz análise da condução de calor, esta conversão de calor
denomina-se geração de calor.
A geração de calor é um fenómeno volumétrico. Ele ocorre ao longo
de todo o corpo, dai a a taxa de geração de calor ser dada em
unidades por volume as suas unidades são W/m3
G& = ∫ g&dV
(W)
v
(2.5)
No caso de geração uniforme de energia, caso da resistência
eléctrica, a geração de energia transforma-se em:
G& = g&V
(W)
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Exemplo 2.1
Uma resistência de 1200 W de um secador de
cabelo, tem 80 cm de comprimento e diâmetro de
0,3 cm. Determine a taxa de geração de calor na
resistência, por unidade de volume, em W/cm3 e o
fluxo de calor na superfície externa da resistência,
como resultado da geração de calor.
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Resolução do Exemplo 2.1
A taxa de geração de calor determina-se dividindo o total do calor gerado, pelo
volume da resistência.
G&
G&
1200W
3
g=
212
W/cm
=
=
=
Vres
π D 2 4 L ⎡π ( 0,3cm )2 4 ⎤ ( 80cm )
⎣
⎦
(
)
Similarmente o fluxo na superfície externa da resistência, como resultado
da geração de calor, é determinado pela divisão do total do calor gerado
pela área superficial da resistência.
G&
G&
1200 W
=
=
= 15,9 W/cm 2
q& =
Ares π DL π ( 0,3cm )( 80cm )
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16
2.3 Equação diferencial de condução
de calor unidimensional
Os problemas de transmissão de calor
unidimensionais são os problemas em que o calor é
transmitido por difusão em uma única direcção.
O termo unidimensional refere-se ao facto de
somente uma coordenada ser necessária para
descrever a variação espacial das variáveis
indedenpendentes.
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17
2.3.1 Parede Plana
Condução de
calor
unidimensional
através de um
volume elementar
numa grande
parede plana.
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18
2.3.1 Parede Plana
Taxa de
Calor
conduzido
em x
-
Taxa de
Calor
conduzido
em x + Δx
+
Taxa de calor
gerado no
elemento
=
Taxa de
variação da
energia
contida no
elemento
Ou seja:
Q& x − Q& x + Δx + G& element =
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ΔEelemen t
Δt
(2.6)
19
2.3.1 Parede Plana
A variação de energia no elemento e a taxa de geração de
energia no elemento, podem ser dadas pela expressão:
ΔE element = Et + Δt − Et = mC (Tt + Δt − Tt ) = ρCAΔx(Tt + Δt − Tt )
G& element = g&Velement = g&AΔx
(2.7)
(2.8)
Substituindo na Equação 2.6 obtém-se:
T − Tt
Q& x − Q& x + Δx + g&AΔx = ρCAΔx t + Δt
Δt
(2.9)
Dividindo por AΔx:
T − Tt
1 Q& x + Δx − Q& x
−
+ g& = ρC t + Δt
A
Δx
Δt
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(2.10)
20
2.3.1 Parede Plana
Calculado o limite quando Δx→0 e Δt→0:
Q& x + Δx − Q& x ∂Q& ∂ ⎛
∂T ⎞
=
= ⎜ − kA ⎟
lim
Δx → 0
Δx
∂x ∂x ⎝
∂x ⎠
(2.11)
Da definição de derivada e da Lei de Fourier para a condução
obtém-se:
1 ∂ ⎛ ∂T ⎞
∂T
⎜ kA
⎟ + g& = ρC
A ∂x ⎝ ∂x ⎠
∂t
(2.12)
Note-se que A é constante para a parede plana. Então a equação transiente
unidimensional de transferência de calor num plano resulta em:
Condutibilidade térmica variável
∂T
∂ ⎛ ∂T ⎞
&
⎟ + g = ρC
⎜k
∂t (2.13)
∂x ⎝ ∂x ⎠
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21
2.3.1 Parede Plana
A condutibilidade térmica em muitos problemas é considerada
constante então a Equação 2.13 transforma-se em:
Condutibilidade térmica constante
∂ 2T g& 1 ∂T
+ =
2
k α ∂t
∂x
(2.14)
Onde α=k/ρC é a difusibilidade térmica do material e denota a
velocidade de propagação do calor pelo material
Regime permanente
Regime transiente sem geração de
calor
Regime estacionário sem geração
de calor
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d 2T g&
+ =0
2
dx
k
∂ 2T 1 ∂T
=
2
∂x
α ∂t
d 2T
=0
2
dx
(2.15)
(2.16)
(2.17)
22
2.3.2 Cilindro Longo
Condução de
calor
unidimensional
através de um
volume
elementar num
cilindro longo
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23
2.3.2 Cilindro Longo
Taxa de
Calor
conduzida
em r
-
Taxa de
Calor
conduzida
em r + Δr
+
Taxa de calor
gerada no
Interior do
elemento
=
Taxa de
variação da
energia
contida no
elemento
Ou por outra
ΔEelement
&
&
&
Qr − Qr + Δr + Gelement =
Δt
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(2.18)
24
2.3.2 Cilindro Longo
A variação de energia no elemento e a taxa de geração de
energia no elemento podem ser dadas pela expressão:
ΔEelement = Et + Δt − Et = mC (Tt + Δt − Tt ) = ρCAΔr (Tt + Δt − Tt ) (2.19)
G& element = g&Velement = g&AΔr
(2.20)
Substituindo na Equação 2.18 obtém-se:
T − Tt
Q& r − Q& r + Δr + g&AΔr = ρCAΔr t + Δt
Δt
(2.21)
Dividindo por A·Δr obtém-se:
T − Tt
1 Q& r + Δr − Q& r
−
+ g& = ρC t + Δt
A
Δr
Δt
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(2.22)
25
2.3.2 Cilindro Longo
Calculado o limite quando Δr→0 e Δt→0
∂T ⎞
Q& r + Δr − Q& r ∂Q& ∂ ⎛
=
= ⎜ − kA ⎟
lim
Δr → 0
Δr
∂r ∂r ⎝
∂r ⎠
(2.23)
Da definição de derivada e da Lei de Fourier para a condução
obtém-se:
1 ∂ ⎛ ∂T ⎞
∂T
⎜ kA ⎟ + g& = ρC
A ∂r ⎝ ∂r ⎠
∂t
(2.24)
Note-se que A=2πrl para este caso. Então a equação transiente
unidimensional de transferência de calor num plano resulta em:
Condutibilidade térmica variável
1 ∂ ⎛ ∂T ⎞
∂T
&
ρ
rk
+
g
=
C
⎜
⎟
(2.25)
r ∂r ⎝ ∂r ⎠
∂t
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26
2.3.2 Cilindro Longo
Para o caso da condutibilidade térmica constante então a
Equação 2.25 transforma-se em:
Condutibilidade térmica constante
1 ∂ ⎛ ∂T ⎞ g& 1 ∂T
⎜r
⎟+ =
r ∂r ⎝ ∂r ⎠ k α ∂t
(2.26)
Onde mais uma vez α=k/ρC é a difusibilidade térmica do material
Regime permanente
Regime transiente sem geração de calor
1 d ⎛ dT ⎞ g&
⎟+ =0
⎜r
r dr ⎝ dr ⎠ k
(2.27)
1 ∂ ⎛ ∂T ⎞ 1 ∂T
⎜r
⎟=
r ∂r ⎝ ∂r ⎠ α ∂t
(2.28)
Regime estacionário sem geração de calor
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d ⎛ dT ⎞
⎜r
⎟=0
dr ⎝ dr ⎠
(2.29)
27
2.3.3 Esfera
Condução de
calor
unidimensional
através de um
volume
elementar de
uma esfera
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28
2.3.3 Esfera
Condutibilidade variável
1 ∂ ⎛ 2 ∂T ⎞
∂T
&
⎜r k
⎟ + g = ρC
2
r ∂r ⎝
∂r ⎠
∂t
(2.30)
No caso da condutibilidade térmica constante reduz-se a:
Condutibilidade térmica constante
1 ∂ ⎛ 2 ∂T ⎞ g& 1 ∂T
⎜r
⎟+ =
2
r ∂r ⎝ ∂r ⎠ k α ∂t
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(2.31)
29
2.3.3 Esfera
Onde mais uma vez α=k/ρC é a difusibilidade térmica do material
Condutibilidade térmica constante
Regime permanente
1 d ⎛ 2 dT ⎞ g&
⎜r
⎟+ =0
r 2 dr ⎝ dr ⎠ k
1 ∂ ⎛ 2 ∂T ⎞ 1 ∂T
⎜r
⎟=
2
r ∂r ⎝ ∂r ⎠ α ∂t
(2.32)
(2.34)
Regime estacionário sem geração de calor
d ⎛ 2 dT
⎜r
dr ⎝ dr
⎞
⎟=0
⎠
ou
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d 2T
dT
r 2 +2
= 0 (2.34)
dr
dr
30
2.4 Equação geral de condução de calor
2.4.1 Coordenadas rectangulares
Condução de
calor
tridimensional
através de um
volume
elementar
rectangular
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31
2.4 Equação geral de condução de calor
A maioria dos problemas de transferência de calor
encontrados na prática podem ser aproximados a
problemas unidimensionais.
Porém, este nem sempre não é o caso, e às vezes é
preciso considerar que o calor se transfere também
em outras direcções. Nesse caso a condução de
calor é multidimensional, e a equação diferencial
desses sistemas pode ser apresentada em
coordenadas rectangular, cilíndrica ou esféricas.
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32
2.4.1 Coordenadas rectangulares
Taxa de
Calor
conduzido
em x, y e z
-
Taxa de
Calor
conduzido
em x+Δx,
y+Δy e z+Δz
+
Taxa de calor
gerado no
Interior do
elemento
=
Taxa de
variação da
energia
contida no
elemento
Ou seja
ΔEelement
&
&
&
&
&
&
&
Qx + Qy + Qz − Qx + Δx − Qy + Δy − Qz + Δz + Gelement =
Δt
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(2.35)
33
2.4.1 Coordenadas rectangulares
Note-se que o volume elementar é dado por Velement = Δx·Δy·Δz.
A relação entre a variação de energia do elemento e a taxa de
geração pode ser dada por:
ΔEelement = Et + Δt − Et = mC (Tt +Δt − Tt ) = ρ C ΔxΔyΔz (Tt +Δt − Tt )
(2.36)
& element = g& ΔxΔy Δz
G& element = gV
Substituindo na Equação 2.35 obtém-se:
T − Tt
Q& x + Q& y + Q& z − Q& x + Δx − Q& y + Δy − Q& z + Δz + g&ΔxΔyΔz = t + Δt
Δt
Dividindo por Δx·Δy·Δz recebe-se:
T − Tt
1 Q& x + Δx − Q& x
1 Q& y + Δy − Q& y
1 Q& z + Δz − Q& z
−
−
−
+ g& = ρC t + Δt
Δt
ΔyΔz
Δx
ΔxΔz
Δy
ΔxΔy
Δz
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(2.37)
34
2.4.1 Coordenadas rectangulares
As áreas de transferência de calor do elemento nas direcções x, y
e z são Ax= ΔyΔz, Ay= ΔxΔz e Az= ΔxΔy, respectivamente e o
limite de Δx,Δy,Δz e Δt→0 dá:
∂ ⎛ ∂T ⎞ ∂ ⎛ ∂T ⎞ ∂ ⎛ ∂T ⎞
∂T
⎟⎟ + ⎜ k
⎟ + g& = ρC
⎜k
⎟ + ⎜⎜ k
∂x ⎝ ∂x ⎠ ∂y ⎝ ∂y ⎠ ∂z ⎝ ∂z ⎠
∂t
(2.38)
Da definição de derivada e da Equação de Fourier obtém-se:
1 Q& x + Δx − Q& x
1 ∂Q& x
1 ∂ ⎛
∂ ⎛ ∂T ⎞
∂T ⎞
lim
= − ⎜k
=
=
− kΔyΔz
⎟
⎟
⎜
Δx → 0 ΔyΔz
Δx
ΔyΔz ∂x
ΔyΔz ∂x ⎝
∂x ⎝ ∂x ⎠
∂x ⎠
1 Q& y + Δy − Q& y
1 ∂Q& y
1 ∂ ⎛
∂T ⎞
∂ ⎛ ∂T ⎞
⎜⎜ − kΔxΔz
⎟⎟ = − ⎜⎜ k
⎟⎟
lim
=
=
Δy → 0 ΔxΔz
Δy
ΔxΔz ∂y
ΔxΔz ∂y ⎝
∂y ⎠
∂y ⎝ ∂y ⎠
∂ ⎛ ∂T ⎞
∂T ⎞
1 Q& z + Δz − Q& z
1 ∂Q& z
1 ∂⎛
=
=
− kΔxΔy
= − ⎜k
lim
⎜
⎟
⎟
Δz → 0 ΔxΔy
Δz
ΔxΔy ∂z
ΔxΔy ∂z ⎝
∂z ⎠
∂z ⎝ ∂z ⎠
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35
2.4.1 Coordenadas rectangulares
Condutibilidade térmica constante
∂ 2T ∂ 2T ∂ 2T g& 1 ∂T
+ 2 + 2 + =
2
∂x
∂y
∂z
k α ∂t
Regime permanente (Equação de
Poisson)
Regime transiente, sem geração de
calor (Equação da Difusão)
Regime permanente, sem geração
de calor (Equação de Laplace)
∂ 2T ∂ 2T ∂ 2T g&
+ =0
+
+
∂x 2 ∂y 2 ∂z 2 k
∂ 2T ∂ 2T ∂ 2T 1 ∂T
+ 2 + 2 =
2
∂x
∂y
∂z
α ∂t
∂ 2T ∂ 2T ∂ 2T
+
+
=0
∂x 2 ∂y 2 ∂z 2
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(2.39)
(2.40)
(2.41)
(2.42)
36
2.4.2 Coordenadas cilíndricas
Volume
elementar
diferencial em
coordenadas
cilíndricas
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37
2.4.2 Coordenadas cilíndricas
A equação de calor em coordenadas cilíndricas pode ser obtida
do balanço de energia de um elemento volumétrico da equação
diferencial usando as seguintes transformações:
x = r cos φ ,
y = r sin φ
e
z=z
∂T
1 ∂ ⎛ ∂T ⎞ 1 ∂ ⎛ ∂T ⎞ ∂ ⎛ ∂T ⎞
&
+
+
ρ
kr
kr
k
+
g
=
C
⎜
⎟
(2.43)
⎜
⎟
⎜
⎟
2
⎜
⎟
r ∂r ⎝ ∂r ⎠ r ∂φ ⎝ ∂φ ⎠ ∂z ⎝ ∂z ⎠
∂t
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38
2.4.3 Coordenadas esféricas
Volume
elementar
diferencial em
coordenadas
esféricas
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39
2.4.3 Coordenadas esféricas
A equação de calor em coordenadas esféricas pode ser obtida
do balanço de energia de um elemento volumétrico da
equação diferencial usando as seguintes transformações
x = r cos φ sin θ ,
y = r sin φ sin θ
e
z = cos φ
∂ ⎛ ∂T ⎞
∂ ⎛
∂T ⎞
∂T
1 ∂ ⎛ 2 ∂T ⎞
1
1
&
kr
+
k
+
k
θ
+
g
=
ρ
C
sin
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
r 2 ∂r ⎝
∂r ⎠ r 2 sin 2 θ ∂φ ⎜⎝ ∂φ ⎟⎠ r 2 sin θ ∂θ ⎝
∂θ ⎠
∂t
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(2.44)
40
2.5 Solução da Equação
unidimensional de transferência de
calor em regime permanente
Problema de
transferência
de Calor
Formulação Matemática
Equação diferencial e
condições de contorno
Solução geral da
equação
diferencial
Solução
do problema
Aplicação das
condições de
fronteira
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41
2.5 Solução da Equação unidimensional de
transferência de calor em regime permanente
Obtendo a solução
geral de uma de
uma simples
equação de segunda
ordem por meio de
integração.
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42
2.5 Solução da Equação unidimensional de
transferência de calor em regime permanente
Quando se aplica as
condições de fronteira à
solução geral num ponto
específico as variáveis
dependentes e
independentes devem ser
substituídas pelos seus
valores específicos.
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43