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Um tubo capilar de um termômetro de mercúrio graduado de 0 a 100 o C tem diâmetro
1/10 mm, seu reservatório é cilíndrico com 1 cm de comprimento e 2 mm de raio. Determinar o
comprimento correspondente a cada grau da haste. Sendo os coeficientes de dilatação do
mercúrio e do vidro respectivamente:
1 o −1
1
o −1
 Hg =
C
V =
C
e
5550
38850
Esquema do problema
Inicialmente o termômetro está numa temperatura t quando o sistema é aquecido de 1o
C ele passa a uma temperatura t+1 (Δ t = 1o C) ele se expande em todas as direções, como o
mercúrio possui um coeficiente de dilatação maior que o do vidro ele se expande mais que o
reservatório onde está a sobe um pouco mais pelo capilar (figura 1)
figura 1
Quando a temperatura sofre esta variação Δ t a altura da coluna de mercúrio sofre uma
variação Δ h T.
Dados do problema
1
mm ;
10
H R = 1 cm ;
R R = 2 mm ;
Δ t = 1o C;
1 o −1
 Hg =
C ;
5550
1
o −1
V =
C .
38850
dT=
•
diâmetro do tubo:
•
•
•
comprimento do reservatório:
raio do reservatório:
variação da temperatura:
•
coeficiente de dilatação volumétrica do mercúrio:
•
coeficiente de dilatação volumétrica do vidro:
Solução
Convertendo o diâmetro do tubo e o raio do reservatório dados em milímetros e o
comprimento do reservatório dado em centímetros para metros usado no Sistema Internacional
(S.I.), temos
dT=
1
−3
−1
−3
−4
mm = 0,1 mm = 0,1 . 10 m = 1. 10 . 10 m = 1 . 10 m
10
R R = 2 mm = 2.10 −3 m
−2
H R = 1 cm = 1 .10 m
1
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A variação do volume do mercúrio no tubo (ΔV T, volume aparente) será a diferença
entre a variação total do volume do mercúrio (ΔV Hg) e a variação do volume do reservatório
(ΔV R)
Δ V T = Δ V Hg− Δ V R
(I)
a variação total do volume do mercúrio é dada por
ΔV
Hg
= V 0Hg  Hg Δ t
(II)
a variação total do volume do reservatório é dada por
ΔV R = V
0R
VΔ t
(III)
substituindo (II) e (III) em (I), temos
Δ V T = V 0Hg  Hg Δ t −V
0R
 V Δt
como inicialmente o mercúrio ocupa todo o volume do reservatório V 0Hg = V
altura do tubo capilar), colocando V 0R Δ t em evidência obtemos
Δ V T = V 0R Δ t   Hg− V 
0R
(e uma certa
(IV)
O tubo tem formato cilíndrico e a variação do seu volume é dado por
2
ΔV T = π r T Δh T
(V)
o raio do tubo será metade do diâmetro dado no problema
dT
2
rT=
(VI)
substituindo (VI) em (V), temos
ΔV T = π
 
dT
2
2
Δh T
(VII)
O reservatório tem formato cilíndrico e seu volume é dado por
2
V 0R = π R R H R
(VIII)
Substituindo (VII) e (VIII) em (IV), temos
π
 
dT
2
2
2
Δ h T = π R R H R Δ t   Hg− V 
simplificando o valor de π de ambos os lados da igualdade a variação da altura da coluna de
mercúrio no tubo será de
2
Δ hT =
Δ hT =
R R H R Δ t   Hg − V 
 
2
dT
2
2
R R H R Δ t   Hg − V 
2
dT
4
2
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2
Δ hT =
4R R H R Δ t   Hg− V 
d 2T
substituindo os dados do problema, obtemos
4. 2. 10−3  2 .1 . 10 −2 . 1 .
Δ hT =

1
1
−
5 550 38 850
−4 2
1.10 
4. 4 . 10 −6 .1 .10 −2 .  18. 10 −5 −2,6 . 10 −5 
Δ hT =
−8
1 .10
−8
Δ h T = 16 .10 .  15,4.10 −5  . 10 8
Δ h T = 2,5 . 10
−3
3
3
m = 2,5 mm
