X Encontro Nacional de Educação Matemática
Educação Matemática, Cultura e Diversidade
Salvador – BA, 7 a 9 de Julho de 2010
RAÇÃO ESSENCIAL HUMANA: MODELANDO SITUAÇÕES COTIDIANAS
Vlademir Marim
Universidade Federal de Uberlândia
[email protected]
Leonardo Silva Costa
Universidade Federal de Uberlândia
[email protected]
Resumo: O presente trabalho tem por objetivo compreender alguns aspectos importantes à
aprendizagem Matemática, sobretudo nos conceitos de Geometria Analítica, a partir do
trabalho do DIEESE. Para tal finalidade, desenvolveu-se ao longo do segundo semestre do
curso de Matemática na Universidade onde atuamos um estudo utilizando a ferramenta da
modelagem matemática com o propósito de verificar o comportamento da Cesta básica ao
longo dos três primeiros trimestres de 2009. Desse modo, procurou-se responder às
perguntas: Qual a taxa de variação da Cesta Básica nesse período? Qual seria o salário
mínimo necessário para atender as necessidades básicas de um trabalhador nessas
condições? Coletaram-se os dados a partir de uma visita no portal do DIEESE, para uma
análise das questões, onde foram obtidos os valores referentes ao índice de preços dos
alimentos criteriosamente escolhidos e do tempo necessário à jornada de trabalho
suficiente para a aquisição da Cesta Básica em treze capitais analisadas. Dessas cidades
avaliadas, foram escolhidas quatro. Por meio da avaliação do comportamento geométrico
dos gráficos obtidos nessas capitais, obtêm-se resultados relevantes que destacam aspectos
importantes sobre a distribuição de trabalho e renda dos brasileiros.
Palavras-chave: Ensino da Matemática; Modelagem; Economia.
A MATEMÁTICA E A SOCIEDADE
Para instrumentalizar o acesso aos problemas matemáticos que estão em nosso
cotidiano, temos a modelagem matemática, partindo da premissa de que o ser humano é
por excelência um criador de modelos, isto é, de imagens formadas em sua mente
buscando expressar intuitivamente uma sensação (ou reagir a uma situação) até então
desconhecida, que se relaciona com um mundo já conhecido por si, de forma a estabelecer
conclusões por meio do raciocínio lógico-dedutivo (HEIN & BIEMBENGUT, 2002).
O conceito de Modelagem Matemática, historicamente, teve início no Brasil em
1983, na Universidade Estadual do Centro-Oeste de São Paulo ganhando um grande
número de adeptos, devido principalmente, a grande preocupação que ocorria no Brasil,
nessa mesma década, pela busca de um ensino que partisse da vivência do aluno e que
buscasse novas alternativas para o ensino de Matemática. Entretanto, as primeiras
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1
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dissertações e artigos que abordavam a modelagem surgiram no Brasil a partir de 1987
sendo que a primeira conferência realizou se 1999, em meio a avanços tecnológicos.
Apesar de a modelagem Matemática ser pauta de discussões e estudos, começou a
ser trabalhada, na década de 1980 na Universidade Estadual de Campinas (UNICAMP),
com um grupo de professores, em Biomatemática, coordenado por ele e pelo pesquisador
Bassanezi, do Instituto de Matemática e Estatística e Computação Científica (IMECC). A
modelagem matemática ainda apresenta lacunas, mas, em contra partida, vem se
destacando frente às novas buscas de metodologia de ensino na área da Matemática.
A Modelagem Matemática pode ser considerada como uma metodologia para o
ensino da Matemática a ser utilizada no período de escolarização, tanto na Educação
Básica como no Ensino Superior, para resolver situações-problemas ou direcionar o ensino
para o desenvolvimento do conteúdo programático.
Pesquisadores da área de modelagem matemática buscam formas de definir este
estudo. Para Bassanezi (1994) a modelagem é o estudo de problemas ou situações reais
como linguagem para sua compreensão, simplificação e resolução com vistas à uma
possível previsão ou modificação do objeto estudado. Skovsmose (2000) concebe
Modelagem como um ambiente de aprendizagem no qual os alunos são convidados a
problematizar e investigar, por meio da matemática, situações com referência na realidade,
onde problematizar refere-se ao ato de criar perguntas e/ou problemas e investigar, referese à busca, seleção, organização e manipulação de informações e reflexão, na perspectiva
de resolver os problemas ou as perguntas.
Para Biembengut (2003), o objetivo dessa metodologia é interpretar e compreender
os mais diversos fenômenos do nosso cotidiano; e trabalhar de maneira criativa,
motivadora e eficaz, podendo proporcionar diversos benefícios, como por exemplo,
motivação,
facilitação
da
aprendizagem,
preparação
para
futuras
profissões,
desenvolvimento do raciocínio, desenvolvimento do aluno como cidadão crítico,
compreensão do papel sócio-cultural da Matemática tornando-a mais importante e
agradável.
A principal finalidade do processo de modelagem é desenvolver a capacidade de analisar e
interpretar dados, testar hipóteses formuladas, criar modelos e verificar se eles são eficazes; dando
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condições para que os alunos possam entender um fenômeno e tenham condições de atuar para a
sua transformação, tanto para o ensino de conteúdos como para resolver situações-problema. Desta
forma, a Matemática deve ser vista como uma disciplina dinâmica, pois quando se analisa uma
situação do ponto de vista matemático, o processo de ensino e aprendizagem é desencadeado,
estimulando a abstração, a criação de novos instrumentos matemáticos e a formulação de novas
teorias. Portanto, a única maneira que se tem de conduzir os alunos para a modelagem Matemática,
é expô-los a uma ampla variedade de problemas e modelos.
A obtenção de um modelo no processo de modelagem de situações reais com
ferramental matemático é composto por etapas. Biembengut e Hein (2003) destacam
diferentes etapas. Inicialmente a interação, onde ocorre o envolvimento com o tema,
geralmente voltado à realidade a ser pesquisado, por meio de um estudo indireto, como
jornais, livros, pesquisas, etc., ou direto, como meio de experiências em campo.
A segunda etapa, a matematização, ocorre na tradução da situação-problema para a
linguagem matemática. Nesta etapa se formula um problema e escreve-o segundo um
modelo matemático que leve à solução do problema pesquisado. Na etapa seguinte, onde
ocorre o Modelo Matemático, e por fim, a última etapa, denominado validação do modelo
obtido, que por meio da análise das respostas que o modelo oferece quando aplicado à
situação-problema que o originou, se verificar o quanto são adequados ou não. Caso o
modelo não atenda a resolução do problema, o processo deve ser retomado na segunda
etapa, alterando ou ajustando as hipóteses, variáveis, entre outros.
A modelagem Matemática aplicada ao ensino pode ser um caminho para despertar
no docente o interesse por conteúdos matemáticos que ele ainda desconhece ao mesmo
tempo em que aprende a arte de modelar, matematicamente. Isso ocorre devido ao
professor oferecer ao aluno a oportunidade de estudar situações-problema por meio de
pesquisa, de busca, de investigação, desenvolvendo seus interesses e aguçando seu senso
crítico em todo o momento de trabalho (BARBOSA, 2000).
Existem várias propostas de modelagem matemática realizadas em sala de aula,
desde a Educação Básica até o Ensino Superior, em diversas áreas.
Na ação de modelar, dentro do processo de modelagem, pode-se vislumbrar uma
aprendizagem por excelência, isto é, tornar o aprendiz capaz de comunicar, de apreender e
compreender, enfrentar novas situações, resolver problemas, aprendendo com isso não
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apenas o mero domínio de técnicas matemáticas, principalmente de cálculos, e sim
desenvolver as habilidades necessárias para sua vida.
MODELANDO
Para realizar a atividade de modelagem, precisamos passar por uma pesquisa
minuciosa dos dados a serem analisados. Para tanto, começamos com uma visita ao portal
virtual do Departamento Intersindical de Estatística e Estudos Sócios Econômicos
(DIEESE) onde se obteve acesso aos índices de preço realizados em 13 capitais brasileiras.
A instituição acompanha mensalmente a evolução de preços dessas capitais, por meio dos
preços de treze produtos de alimentação, assim como o gasto mensal que um trabalhador
tem para comprá-los. Outro dado importante da pesquisa são as horas de trabalho
necessárias ao indivíduo que ganha salário mínimo, para adquirir estes bens. O salário
mínimo necessário, também é divulgado mensalmente, e calculado com base no custo
mensal com alimentação obtido na pesquisa da Cesta Básica.
Por meio de um estudo censitário realizado em cada localidade, e de informações
salariais obtidas junto às empresas das várias regiões, as Comissões do Salário Mínimo,
estabeleceram os valores mínimos regionais a serem pagos aos trabalhadores.
Apresentaram também uma lista de alimentos, com suas respectivas quantidades. Este
conjunto de alimentos, chamado de Cesta Básica Nacional, seria suficiente para o sustento
e bem estar de um trabalhador em idade adulta, contendo quantidades balanceadas de
proteínas, calorias, ferro cálcio e fósforo. Os bens e as quantidades estipuladas são
diferenciados por região, como mostra a tabela a seguir:
Região 1 - Estados de São Paulo, Minas Gerais, Espírito Santo, Rio de Janeiro, Goiás e
Distrito Federal.
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Região 2 - Estados de Pernambuco, Bahia, Ceará, Rio Grande do Norte, Alagoas, Sergipe,
Amazonas, Pará, Piauí, Tocantins, Acre, Paraíba, Rondônia, Amapá, Roraima e Maranhão.
Região 3 - Estados do Paraná, Santa Catarina, Rio Grande do Sul, Mato Grosso e Mato
Grosso do Sul.
Nacional - Cesta normal média para a massa trabalhadora em atividades diversas e para
todo o território nacional.
A seguir, foi necessário escolher as grandezas que poderiam ser relacionadas as
situações problemsa que analisaremos de forma a encontrar as ferramentas de que
precisamos. Concluiu-se que seria possível trabalhar com uma gama de variáveis,
conforme o caso que quisermos analisar.
Em relação ao contexto da Pesquisa Nacional da Cesta Básica (PNCB) do DIEESE,
são dois os principais problemas a serem analisados: Qual a taxa de variação da Cesta
Básica nesse período? Qual seria o salário mínimo necessário para atender as necessidades
básicas de um trabalhador nessas condições? Para responder tais questões vamos analisar
os dados de quatro capitais brasileiras, escolhidas aleatoriamente, sendo uma de cada
região mencionada, dentre as treze pesquisadas, sendo elas: Brasília, Belo Horizonte,
Curitiba e Salvador. Observe que os valores foram aproximados, obedecendo às regras de
arredondamento, para facilitar os cálculos, relacionados nas tabelas e gráficos abaixo:
TABELA 1A: Gasto médio mensal com a cesta básica em Brasília DF:
RAÇÃO ESSENCIAL HUMANA - GASTO
RAÇÃO ESSENCIAL HUMANA - GASTO MENSAL VALOR EM
R$
MENSAL
MÊS
VALOR EM R$
JAN (1)
R$
234,00
FEV (2)
R$
231,00
MAR (3)
R$
217,00
ABR (4)
R$
221,00
MAI (5)
R$
221,00
JUN (6)
R$
216,00
JUL (7)
R$
217,00
AGO (8)
R$
217,00
SET (9)
R$
218,00
R$ 240,00
R$ 235,00
R$ 230,00
R$ 225,00
R$ 220,00
R$ 215,00
R$ 210,00
R$ 205,00
JAN FEV MAR ABR MAI JUN JUL AGO SET
(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9)
RAÇÃO ESSENCIAL HUMANA - GASTO MENSAL VALOR EM R$
TABELA 1B: Tempo médio necessário trabalhado em Brasília DF:
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RAÇÃO ESSENCIAL HUMANA - GASTO
RAÇÃO ESSENCIAL HUMANA - GASTO MENSAL TEMPO
GASTO EM h
MENSAL
130
MÊS
TEMPO GASTO EM h
JAN (1)
124
FEV (2)
109
MAR (3)
103
ABR (4)
104
MAI(5)
105
JUN (6)
102
JUL (7)
103
95
AGO (8)
102
90
SET (9)
103
125
120
115
110
105
100
JAN (1)
FEV
(2)
MAR
(3)
ABR
(4)
MAI(5) JUN (6) JUL (7)
AGO
(8)
SET (9)
RAÇÃO ESSENCIAL HUMANA - GASTO MENSAL TEMPO GASTO EM h
Considerando que os meses estão numerados de 1 a 9 e que os respectivos
valores para cada mês formam pares ordenados do tipo mês, valor em reais ou mês,
tempo em horas trabalhadas, e que por dois pontos distintos, existe uma única reta que
os contêm, pôde-se observar alguns fatos importantes: Por exemplo, a queda registrada
no preço da cesta básica foi entre fevereiro e março de 2009, o que é definido pela reta
14x + y = 259. Quanto ao tempo médio gasto houve um período de relativo equilíbrio
entre abril e setembro, definido por x + 2y = 215.
TABELA 2A: Gasto médio mensal com a cesta básica em Belo Horizonte MG:
R$ 235,00
JAN (1)
R$
232,00
R$ 230,00
FEV (2)
R$
217,00
R$ 225,00
MAR (3)
R$
207,00
ABR (4)
R$
215,00
R$ 215,00
R$ 210,00
MAI(5)
R$
216,00
R$ 200,00
JUN (6)
R$
218,00
R$ 195,00
JUL (7)
R$
215,00
AGO (8)
R$
214,00
SET (9)
R$
215,00
R$ 220,00
R$ 205,00
(4
)
AI
(5
)
JU
N
(6
)
JU
L
(7
)
AG
O
(8
)
SE
T
(9
)
M
(2
)
(3
)
AB
R
JA
N
(1
)
R$ 190,00
AR
VALOR EM R$
M
MÊS
RAÇÃO ESSENCIAL HUMANA - GASTO MENSAL VALOR
EM R$
V
MENSAL
FE
RAÇÃO ESSENCIAL HUMANA - GASTO
RAÇÃO ESSENCIAL HUMANA - GASTO MENSAL VALOR EM R$
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TABELA 2B: Tempo médio necessário trabalhado em Belo Horizonte MG:
RAÇÃO ESSENCIAL HUMANA - GASTO
RAÇÃO ESSENCIAL HUMANA - GASTO MENSAL
TEMPO GASTO EM h
MENSAL
MÊS
TEMPO GASTO EM h
JAN (1)
123
FEV (2)
103
120
MAR (3)
97
115
ABR (4)
101
110
MAI(5)
102
105
JUN (6)
103
JUL (7)
101
AGO (8)
101
SET (9)
101
130
125
100
95
90
JAN FEV MAR ABR MAI(5) JUN JUL AGO SET
(1)
(2)
(3)
(4)
(6)
(7)
(8)
(9)
RAÇÃO ESSENCIAL HUMANA - GASTO MENSAL TEMPO GASTO
EM h
No caso de Belo Horizonte, o primeiro trimestre apresentou grande queda no preço da
cesta, como é definido pela equação de reta 25x + 2y = 489, o que refletiu obviamente no tempo
médio de serviço do trabalhador, definido nesse período pela reta 13x + y = 136.
TABELA 3A: Gasto médio mensal com a cesta básica em Curitiba PR:
RAÇÃO ESSENCIAL HUMANA - GASTO
MENSAL
MÊS
VALOR EM R$
RAÇÃO ESSENCIAL HUMANA - GASTO MENSAL VALOR
EM R$
R$ 230,00
JAN (1)
R$
228,00
R$ 225,00
FEV (2)
R$
228,00
R$ 220,00
MAR (3)
R$
210,00
R$ 215,00
ABR (4)
R$
209,00
MAI(5)
R$
211,00
JUN (6)
R$
214,00
JUL (7)
R$
207,00
AGO (8)
R$
211,00
SET (9)
R$
214,00
R$ 210,00
R$ 205,00
R$ 200,00
(9
)
(8
)
SE
T
(7
)
AG
O
(6
)
JU
L
JU
N
(4
)
AI
(5
)
M
(3
)
AB
R
(2
)
V
AR
M
FE
JA
N
(1
)
R$ 195,00
RAÇÃO ESSENCIAL HUMANA - GASTO MENSAL VALOR EM R$
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TABELA 3B: Tempo médio necessário trabalhado em Curitiba PR:
RAÇÃO ESSENCIAL HUMANA - GASTO
RAÇÃO ESSENCIAL HUMANA - GASTO MENSAL
TEMPO GASTO EM h
MENSAL
MÊS
TEMPO GASTO EM h
JAN (1)
120
FEV (2)
108
MAR (3)
99
115
ABR (4)
99
110
MAI(5)
100
105
JUN (6)
101
100
JUL (7)
97
AGO (8)
100
SET (9)
101
130
125
120
95
90
JAN FEV MAR ABR MAI(5) JUN JUL AGO SET
(1)
(2)
(3)
(4)
(6)
(7)
(8)
(9)
RAÇÃO ESSENCIAL HUMANA - GASTO MENSAL TEMPO GASTO
EM h
A capital paranaense passou por situação semelhante a da capital mineira, porém
apresentou recuperação mais tardia, mostrando alta nos preços em junho, em
comparação aos registros de alta em abril de Belo Horizonte. A equação -3x + y = 196 é
a que ilustra esses dados. Quanto ao tempo gasto em trabalho, a reta definida por
3x + y = 118.
TABELA 4A: Gasto médio mensal com a cesta básica em Salvador BA:
RAÇÃO ESSENCIAL HUMANA - GASTO
MENSAL
MÊS
RAÇÃO ESSENCIAL HUMANA - GASTO MENSAL VALOR
EM R$
VALOR EM R$
R$ 210,00
JAN (1)
R$
202,00
FEV (2)
R$
197,00
MAR (3)
R$
193,00
ABR (4)
R$
191,00
MAI(5)
R$
198,00
JUN (6)
R$
199,00
R$ 185,00
JUL (7)
R$
195,00
R$ 180,00
AGO (8)
R$
191,00
SET (9)
R$
195,00
R$ 205,00
R$ 200,00
R$ 195,00
(4
)
AI
(5
)
JU
N
(6
)
JU
L
(7
)
AG
O
(8
)
SE
T
(9
)
M
(3
)
AB
R
(2
)
V
AR
M
FE
JA
N
(1
)
R$ 190,00
RAÇÃO ESSENCIAL HUMANA - GASTO MENSAL VALOR EM R$
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TABELA 4B: Tempo médio necessário trabalhado em Salvador BA:
RAÇÃO ESSENCIAL HUMANA - GASTO
RAÇÃO ESSENCIAL HUMANA - GASTO MENSAL
TEMPO GASTO EM h
MENSAL
MÊS
TEMPO GASTO EM h
JAN (1)
107
FEV (2)
93
MAR (3)
91
ABR (4)
90
95
MAI(5)
93
90
JUN (6)
94
85
JUL (7)
92
80
AGO (8)
90
SET (9)
92
110
105
100
JAN FEV MAR ABR MAI(5) JUN JUL AGO SET
(1)
(2)
(3)
(4)
(6)
(7)
(8)
(9)
RAÇÃO ESSENCIAL HUMANA - GASTO MENSAL TEMPO GASTO
EM h
Por fim a capital baiana apresentou resultados surpreendentes, diferente das
outras capitais, apresentou os índices de maior oscilação nas duas situações registradas.
Apenas no primeiro trimestre, o preço médio da cesta básica caiu em pelo menos
R$10,00. A equação de reta para esse período é 9x + 2y = 413 e quanto ao tempo
necessário a queda foi de 14h nos dois primeiros meses do ano, como nos fornece a
equação geral da reta 17x + 3y = 338.
ANÁLISE
Como podemos perceber, as equações de reta são de grande utilidade nos dados
registrados. Se considerarmos, por exemplo, um mesmo período para as capitais
analisadas, quanto maior o coeficiente de x na equação, maior a queda dos preços e
consequentemente, o tempo necessário de trabalho, possibilitando maior economia para
o bolso do cidadão.
Realizando uma análise de conjuntura dos dados obtidos, pôde-se chegar, com
auxílio do software GeoGebra, a um modelo matemático, o qual é apenas uma amostra
do cenário revelado mensalmente pelo DIEESE, conforme gráfico a seguir.
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Gráfico: Modelo Matemático
CONCLUSÕES
Acreditamos que em nossa prática cotidiana estamos sempre procurando novas
formas de ver o mundo e, para isso, usamos os recursos que o tempo e a ciência nos
oferecem da melhor forma possível. Nossa experiência de trabalho utilizando a
Modelagem Matemática nos motiva a incluir os conceitos matemáticos na vida da
sociedade, bem como sua importante atuação para seu progresso e sustentabilidade.
A pesquisa realizada com o auxílio dos dados coletados mensalmente pelo
DIEESE corrobora essa relevante função no que diz respeito à contribuição da
Matemática nos diferentes setores da atividade humana. Ao estudar uma pequena
amostra das capitais analisadas pelo Departamento, por meio de seu comportamento
geométrico, pode-se observar fatores como a cultura de cada uma destas cidades, no que
se refere aos hábitos alimentares, ao ritmo de vida da população (todas as quatro cidades
fazem parte das regiões metropolitanas de suas respectivas regiões geográficas,
entretanto alguns hábitos alimentares em Curitiba são diferentes dos de Salvador) e até
mesmo as condições sociais e econômicas de grande parcela da referida população.
Dessa forma, os resultados refletem-se na realidade concreta das pessoas,
incentivando inclusive, os lares brasileiros a utilizar os dados obtidos no portal para a
pesquisa de preços na hora de realizar suas compras de alimentos. De fato, uma melhor
compreensão desses itens por meio da Matemática também contribui como referência
para empresas e instituições empregatícias que equilibram o tempo de trabalho de seus
funcionários ao que este necessita para nutrir-se com a devida saúde e bem-estar. Ainda,
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esse tipo de trabalho tem uma excelente função social, pois ela, ao apresentar um padrão
de cesta básica, seus respectivos preços e sua relação com as condições de trabalho e
renda da população, colabora para oferecer um modelo (e as técnicas da modelagem
trazem esse protótipo ao meio concreto) rentável à qualidade de vida da Nação
Brasileira.
Enfim, a modelagem matemática contribui para que todos passemos a descobrir
nossa veia artística em busca de representar a realidade e, colocando-a no papel,
propiciar para si uma via que facilite e dê significado à própria aprendizagem, promove
a interatividade do conteúdo matemático com outros contextos presentes na prática
profissional, biopsicossocial, entre outros. Assim, é possível sair de uma mentalidade
marcada pelo descaso da própria experiência e abrirmos os horizontes a novos caminhos
que possibilitem a equidade entre as pessoas e a justiça social.
Referências:
BARBOSA, J. C. Uma perspectiva para a modelagem matemática. In: Anais do IV
Encontro Brasileiro de Estudantes de Pós-graduação em Educação Matemática. Rio
Claro: Programa de Pós-graduação em Educação Matemática, 2000.
BASSANEZI, R. Ensino Aprendizagem com Modelagem Matemática. São Paulo:
Editora Contexto, 1994.
BIEMBENGUT, M. S.; HEIN, N. Modelagem Matemática no Ensino. São Paulo:
Editora Contexto, 2003.
HEIN, N e BIEMBENGUT, M.S: Modelagem matemática no ensino. São Paulo:
Contexto, 2002.
SKOVSMOSE, O. Cenários para investigação. Boletim de Educação Matemática
(BOLEMA). n.14, p.66-91. Rio Claro: Bolema, 2000.
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