Modelos
Lei de Newton para o arrefecimento.
Exemplo: Suponha que uma barra de aço com uma temperatura alta é mergulhada em
água fria. Seja f(t) a temperatura da barra no instante t e suponha que a água é
mantida a uma temperatura constante de 10ºC. De acordo com a lei de Newton para o
arrefecimento, a taxa de variação de f(t) é proporcional à diferença entre as duas
temperaturas.
(a) Encontre a equação diferencial que descreve esta lei física.
(b) Suponha que a constante de proporcionalidade é 0.2, e o tempo é medido em
segundos. Qual a taxa de variação da temperatura da barra de aço quando a sua
temperatura é de 110ºC?
(c) Supondo que a barra de aço tem uma temperatura inicial de 200ºC, determine ao
fim de quanto tempo a barra atinge a temperatura de 50ºC.
Aplicações da Matemática
1
Modelos
Crescimento restrito
Nenhum organismo ou população crescem indefinidamente. Existem limitações tais
como a falta de alimento, a falta de espaço, ou mesmo algum mecanismo de controle.
Suponde que existe um limite superior fixo, M, para o tamanho, y, da população ou
organismo, uma equação diferencial que descreve este modelo é
y’ = k (M - y ), k > 0.
Equação diferencial logística
Um modelo de crescimento mais significativo na Biologia é obtido considerando as
duas aproximações: crescimento sem e com restrições.
y’ = k y (M - y), k > 0
Aplicações da Matemática
2
Modelos
Exemplo: Suponha que y = f(t) é o número de pessoas que contraíram um certo tipo
de gripe após t dias. Esta função satisfaz a equação diferencial y’ = 0.0002y (5000-y),
com y(0)=100.
(a) A gripe espalha-se com maior taxa quando metade da potencial população foi
infectada. Com que rapidez a gripe se espalha nesse momento?
(b) Resolva a equação diferencial.
(c) Quantas pessoas contraíram a gripe após 5 dias?
Aplicações da Matemática
3