GABARITO
Matemática D – Semiextensivo – V. 1
Exercícios
Logo, α = 30° + 30° + 10° = 70°
01)E
Observe a figura:
12
α
30°
9
3
4
X°
30°
Agora considerando os dois relógios:
6
O relógio é uma circunferência, o ponteiro dos
minutos leva 1 hora para percorrer os 360o e o
ponteiro das horas leva 12 horas para fazer o
mesmo.
Ponteiro de horas:
A cada 1 hora, o ponteiro avança para a próxima
marcação de hora. Se há 12 marcações dessas no
relógio, o percurso angular do ponteiro das horas
de uma para outra é de (360/12)o = 30o. Então,
a cada hora o ponteiro das horas anda 30o, mas
como 1 hora = 60 minutos, esse ponteiro anda 30o
em 60 minutos, ou seja, 0,5o por minuto.
Ponteiro dos minutos:
Esse ponteiro sempre fica exatamente no lugar
da marcação dos minutos. Há 60 marcações
dessas no relógio. Então, cada uma corresponde
a 360°/60° = 6°.
Logo, às 15 horas e 20 minutos, o ponteiro grande
está na marcação do número 4, que corresponde
a 20 minutos, e o ponteiro pequeno está entre o 3
e o 4.
Como este último se desloca 0,5o/minuto
(20 minutos depois de estar no 3), ele se encontra
a – 10° depois do 3 (20 x 0,5o = 10o). Agora é só
pensar no ângulo interno entre os dois e fazer a
conversão para radianos. Temos:
180° –––––––– π rad.
⇒
20° –––––––– x rad. 20π π
x=
= rad.
180 9
3
α = 70°
Considerando o relógio da esquerda:
Ponteiro pequeno:
60 min –––––––– 30°
20 min –––––––– x°
x = 10°
4
50°
110°
20°
30°
70°
60 min –––––––– 30°
y min –––––––– 20°
x = 40 minutos
Observe que utilizamos o ponteiro pequeno para calcular o
deslocamento do ponteiro grande.
03)A
12
+
2 h 30 min.
2 h 15 min.
4 h 45 min.
9
3
4
6
02)C
40°
30°
5
Às 4h 45min, com certeza o ponteiro dos minutos está sobre
o 9, mas o ponteiro das horas está um pouco mais perto do
5 que do 4.
O ponteiro das horas percorre a cada hora 30°, como 1 hora
= 60 min, ele percorre em 1 minuto 0,5°, ou seja, em 45
minutos ele encontra-se a 45 x 22,5° após o 4.
Como partindo do 4 e indo até o 9 o ângulo formado é de
150° (5 x 30°), temos que o menor ângulo formado pelos
ponteiros do relógio é:
150° – 22,5° = 127,5°
Matemática D
1
GABARITO
07)A
04)E
t
Como a figura representa um cubo, suas faces são
quadrados, cujas diagonais são todas iguais. Unindo-se
as diagonais AC, FC e AF, formamos um triângulo
equilátero, conforme figura abaixo, cujos ângulos internos são de 60°.
F
3x + 18
r
s
G
5x + 10
B
C
E
r //s ⇒ 5x + 10 = 3x + 18 ⇒ 2x = 8 ⇒ x = 4
H
A
D
08)C
05)C
Colocando as equações na forma y = mx + n, temos
que:
3
1
(r) 3x + 2y – 1 = 0 ⇒ 2y = – 3x + 1 ⇒ y = – x +
2
2
(s) –4x + 6y – 10 = 0 ⇒ 6y = 4x + 10 ⇒
2
5
4
10
⇒ y = x +
⇒ y = x +
3
3
6
6
Note que:
3
2
mr = – e ms = , ou seja:
2
3
mr . ms = –1, logo as retas são perpendiculares.
r
40°
112°
68°
x
40°
s
Temos que:
x + 68° + 40° = 180° ⇒ x = 180° – 108° ⇒ x = 72°
06)B
09)A
Observe a figura
B
t
C
45°
45°
r
3x 40°
2x
2
45°
45°
45°
45°
β
D
A
60° 80°
100°
1
2
3
Como o ângulo de chegada é igual ao ângulo de saída,
temos que todos os triângulos formados são isósceles,
logo a bola cairá na caçapa B.
2
Temos que:
3x + 2x = 100° ⇒ 5x = 100° ⇒ x = 20° e
β + 60° = 180° ⇒ β = 180° – 60° = 120°
Matemática D
s
GABARITO
10)E
sua construção, ou seja, a construção do túnel 2 deve
anteceder a do túnel 1 em 125 dias (375-250), para que
ambas sejam concluídas no mesmo dia.
r
55°
45°
13)C
80°
A
α
55°
s
12
Temos que:
α + 80° = 180° ⇒ α = 100°
Obs: α = ângulo 3.
F
B
x
D
11)E
C
8
7
E
G
x
15
Aplicando o teorema de Tales, temos:
12 15
96
=
⇒ 15 FC = 96 ⇒ FC =
⇒ FC = 6,4
8
FC
15
r
5x
x
14)C
y
s
C
D
120°
Temos que:
5x + x = 120° ⇒ 6x = 120° ⇒ x = 20° e
5x + y = 180° ⇒ 5 . (20°) + y = 180° ⇒ 100° +y = 180°⇒
y = 80°
12)C
θ
A
x
θ
θ
B
AB 2/
=2
=
AD /
15)D
Túnel 1
Túnel 2
F
C
Rua 1
D
105°
1000 m
A
1500 m
75°
A
B
Rua 2
Túnel 1:
12 m/dia x 250 dias = 3000 m
E
Túnel 2:
Aplicando o teorema de Tales, temos:
3000 Túnel 2
1500 . 3000
=
⇒ Túnel 2 =
= 4500 m
1000
1500
1000
Como o túnel 2 terá 4500 m e são perfurados 12 m
por dia, serão necessários 375 dias (4500/12) para
57°
D
28°
57°
C
α
B
Temos que:
α + 75° + 57° = 180° ⇒ α + 132° = 180° ⇒ α = 48°
Matemática D
3
GABARITO
16)A
C
D
B
65°
x
E
50°
x
65°
A
G
F
Como: AB // CG, então B = Â e C = D = G = F = 155
Logo: 2x + 155 . 4 + 50 = 180(7 – 2)
2x + 620 + 50 = 900
2x = 900 – 670
230
= 115°
x =
2
17)E
ida
n
Ave
A
X
30°
Posto
400 m
Sen 30° =
Avenida B
x
x
1
⇒ =
⇒ x = 200 m
400
2 400
18)B
4x
3x
y
z 6x 2x
z
y
5x
Logo:
3x + 4x + y = 180° e
y = 180 – 7x
4
y + z + 5x = 180° e
180 – 7x + z + 5x = 180
z = 2x
Matemática D
z + 6x + 2x = 180°
2x + 6x + 2x = 180
10x = 180
x = 18°
GABARITO
22)B
19)B
1
é 2. Logo a parte correspondente é 2k.
2
O inverso de 1 é 3. Logo a parte correspondente é 3k.
3
1
O inverso de é 5. Logo a parte correspondente é 5k.
5
O inverso de
B
13
Portanto a constante de proporcionalidade é:
180
180
K=
= 18°
=
2+3+5
10
Logo:
2k ⇒ 2 . 18 = 36°
3k ⇒ 3 . 18 = 54°
5k ⇒ 5 . 18 = 90°
A
120°
x
C
O
60°
128°
R
46
D
Um triângulo inscrito em um semicírculo sempre será
triângulo retângulo.
Logo: aplicando a lei dos cossenos no triângulo BDO,
temos: x2 = R2 + R2 – 2R . R . cos 120°
1
x2 = R2 + R2 – 2R2 . –
2
x2 = R2 + R2 + R2 ⇒ x2 = 3R2
20)B
C
α
x
β
D
A
R
30°
B
Como α = B ⇒ B = 3α.
3
Como β = C ⇒ C = 3β.
3
Logo: 3α + 3β + 30 = 180 ⇒ 3α + 3β = 150 ⇒ α + β = 50°
Porém, α + β + x = 180°, logo 50 + x = 180 ⇒ x = 130°
Portanto D = 130°, pois X = D (O.P.V)
21)E
Aplicando ainda lei dos cossenos no triângulo ABD,
temos:
x2 = 132 + 462 – 2 . 13 . 46 . cos 120°
Mas x2 = 3R2; logo:
1
3R2 = 169 + 2 . 116 – 2 . 13 . 46 . –
2
3R2 = 169 + 2 . 116 + 598
2.883
= 961 ⇒ R = 961 ⇒ R = 31
R2 =
3
Como AC = 2R ⇒ AC = 2.(31)
AC = 62
23)B
6x
4x
5x
180 –10x
180 –10x
5x
Si = 180(n – 2)
120 + 150 + 130 + 140 + 100 + 140 + x = 180(7 – 2)
780 + x = 900
x = 900 – 780 ⇒ x = 120°
24)135
180 –10x
180 –10x
2x
Logo:
180 – 10x + 180 – 10x + 2x = 180
–18x + 360 = 180
360 – 180 = 18x
180
⇒ x = 10°
x=
18
Si 180(n − 2)
=
n
n
180(n − 2)
Logo: 160 =
n
160n = 180n – 360
360 = 180n – 160n
360
⇒ n = 18 lados
360 = 20n ⇒ n =
20
Portanto:
18 (18 − 3) 18.15
n(n − 3)
D=
⇒
= 135 diagonais
=
2
2
2
Ai =
Matemática D
5
GABARITO
25)B
29)E
180(n − 2)
180 (5 − 2) 180.3
⇒x=
= 108°
=
n
5
5
Logo: x + y = 108° + 108° = 216°, pois x = y.
Ai =
26)08
2.130 + 128(n – 2) = 180(n – 2)
260 + 128n – 256 = 180n – 360
260 – 256 + 360 = 180n – 128n
52n = 364
364
=7
n=
52
30)D
90°
90°
90°
90°
90°
90°
90°
Dois quadrados e três triângulos
90°
27)A
90°
90°
8 . 90 = 720°
B
A
C
31)C
A
α
2Â + B + C = 360°
72° 72°
28)D
108°
Sn = 180(n – 2)
Logo:
Sn –1 = 180(n – 1 – 2)
Sn –1 = 180(n – 3)
1900 = 180(n – 3)
1900
=n–3
180
n = 10,5 + 3
n = 13,5 lados
Si 180(n − 2)
=
n
n
180(5 − 2) 540
= 108
Ai =
=
5
5
α + 2.(72) = 180
α = 180 – 144 ⇒ α = 36°
Ai =
Logo o polígono deve ter 13 lados
Sn = 180(13 – 2) ⇒ Sn = 180(11) ⇒ Sn = 1980°.
Portanto, se Sn = 1980° e Sn – 1 = 1900°, o ângulo
remanescente é 1980 – 1900 = 80°.
6
108°
32)C
Idem
CÂD = 180° – 144° = 36°
Matemática D
GABARITO
35)A
33)D
A
δ
B
γ
2
a
b
e
d
c
60° 1
180 –e
180 –d
F
C
R
β
ε
α
E
Sen 60° =
a + b + c + d + e = 180(5 –2)
a + b + c + d + e = 540
180 – e + 180 – d + β = 180 , logo, usando raciocínio
equivalente, temos que:
e + d = β + 180
e + a = γ + 180
a + b = δ+ 180
b + c = ε + 180
c + d = α + 180
2a + 2b + 2c + 2d + 2e = α + β + γ + δ + ε + 900
2(a + b + c + d + e) = α + β + γ + δ + ε + 900
2 . (540) = α + β + γ + δ + ε + 900
1080 – 900 = α + β + γ + δ + ε
α + β + γ + δ + ε = 180°
α = 100°
140°
1
R
2
3 1
= ⇒R=
2
R
3
12
l=R⇒l=
3
P = 6l ⇒ P = 6 .
12
2
=
.
3
3
3
3
P = 12 3 ⇒ P = 4 3
3
36)29
(a, b, c) P.A n(A) = a
r = –2 n(B) = b
n(C) = c
SA = 180(a – 2)
SB = 180(b – 2)
SC = 180(c – 2)
180(a – 2) + 180(b – 2) + 180(c – 2) = 3240
180(a – 2 + b – 2 + c – 2) = 3240
/
3240
a+b+c–6=
/
180
a + b + c = 18 + 6
a + b + c = 24
34)B
40°
D
40°
140°
180(n − 2)
n
180(9 − 2)
Ai =
9
Ai = 140°
Ai =
α + 2 . (40) = 180 ⇒ α = 180 – 80 = 100
Portanto a soma dos ângulos é 9 . 100 = 900°.
Como: b = a + r ⇒ b = a – 2
c = b + r ⇒ c = b – 2 ⇒ c = a – 2 – 2 ⇒ c = a – 4
Substituindo:
a + a – 2 + a – 4 = 24 ⇒ 3a = 30 ⇒ a = 10
(10, 8, 6)
n(n − 3) 10 . 7
= 35 diagonais
=
2
2
6.3
02.Incorreta. D =
=9
2
04.Correta. Sn = 180(6 – 2) = 720°
180(10 − 2)
= 18 . 8 = 144°
08.Correta. Âi =
10
Logo Ae = 180° – 144° = 36° (C)
180(8 − 2) 180 . 6 270
16.Correta. Ai =
= 135°
=
=
8
8
2
01. Correta. D =
Matemática D
7
GABARITO
39)≈ 1732 m
37)B
a 15
= ⇒ 15r = 2a
r
2
2a
r =
15
a6 = a1 + 5r
S
2a
a6 = a + 5 .
15
a6 = a + 2a
3
5a
a6 =
3
R
60°
60°
30°
R
R
60°
T
R
120°
3000
A
60°
R
Sn = 180(6 –2)
3
R
60°
/
(a1 + a 6 ) 6
= 180(6 – 2)
/
2
(a1 + a6)3 = 180 . 4
a1 + a6 = 240
5a
= 240
a+
3
8a = 720
a = 90°
2 . 90
r=
⇒ r = 12°
15
Logo (90°, 102°, 114°, 126°, 138°, 150°)
60°
60°
R
P
Q
↓
Triângulo inscrito em um semicírculo é sempre retângulo.
(2R)2 = R2 + 30002
4R2 – R2 = 3000 . 3000
3R2 = 9000 000
R2 = 3000 000
R = 3000 000
R = 1000 3 = 1000 . (1,732)
R = 1732 m
38)10
(a, b, c) P.A
P.A.
b–a=c–b
2b = a + c
 
a + b + c = 24 e
2b + b = 24
b = 24
3
b=8
40)D
A
180(a – 2) = 1620
/
1620
a–2=
/
180
a = 9 +2
a = 11
5
4
x2+1
Logo: (11, 8, 5)
A → 11 lados
B → 8 lados
C → 5 lados
1
F
5
4
y
180 (5 − 2)
01. Incorreta. Ai =
= 108° ⇒ Ae = 180 – 108°
5
⇒ Ae = 72°
180 (8 − 2) 90 . 6
= 135° ⇒ Ae = 180°
=
02.Correta. Ai =
8
4
– 135° ⇒ Ae = 45° (V)
n(n − 3) 11(11− 3) 11. 8
= 44
04.Incorreta. D =
=
=
2
2
2
diagonais.
08.Correta.
180 (11− 2) 180 . 9
16.Incorreta. Ai =
= 147,27°
=
11
11
8
B
1
2
x
D
x +1
1 –x
E
2
 
2
y2 =  5  + ( x 2 + 1 − 1)
 4 
5
+ x2 + 1 – 2 x 2 + 1 +1
y2 =
16
2
37
+ x2 – 2 x + 1
y2 =
16
Matemática D
–1
4– 5
4
C
GABARITO
Logo:
43)99
2
 4 − 5 

y2 = (1 – x)2 + 
 4 
37
+ x 2 – 2 x 2 + 1 = 1 – 2x + x 2 + 16 − 8 5 + 5
16
16
20
E
D
13
x
2
37 – 32 x + 1 = 16 – 32x + 16 – 8 5 + 5
–32 x 2 + 1 = – 32x – 8 5 ÷ (–8)
C
2
4 x + 1 = 4x + 1 5
F
(4 x 2 + 1)2 = (4x + 5)2
16(x2 + 1) = 16x2 + 8 5x + 5
16x 2 + 16 = 16x 2 + 8 5x + 5
8 5x = 11
11
5
.
⇒ x = 11 5
x=
8 5
5
40
A
41)E
1
x
144°
108°
108°
1
15
y
Sn = (n – 2).180
Sn = 3 . 180 = 540
Ai = 540 = 108°
5
Área
S = 1 . 1 . sen 144°
2
S = sen 36°
2
sen 36° = 2S
B
23
A soma de dois lados consecutivos é igual à soma dos
ângulos opostos, também consecutivos.
20 + x = 15 + 23
x = 38 – 20
x = 18
y + 23 = 20 + 13
y = 33 – 23
y = 10
Logo: P = 20 + 13 + 15 + 23 + 10 + 18 = 99
44)A
n = 8 lados
8(8 − 3)
n(n − 3)
D=
⇒D=
2
2
D = 4 . 5 ⇒ D = 20
45)C
n(n − 3)
2
n(n − 3)
20 =
⇒ 40 = n2 – 3n
2
⇒ n2 – 3n – 40 = 0
n' = 8 lados ⇒ octógono
n" = –5 (não serve)
D=
sen2 36° + cos2 36° = 1 ⇒ (2S)2 + cos2 36° = 1
cos2 36° = 1 –4S2 ⇒ cos 36° = 1− 4S2 ,
pois 36° ∈ 1° Q.
42)n = 14
46)E
Sn – x = 2004, onde x é o ângulo n.
180(n – 2) – x = 2004
2004 + x
n–2=
180
2004 + x
n=
+2
180
n = 2004 + 156 +2 = 12 + 2
180
n = 14 lados
n(n − 3)
2
n(n − 3)
K.n=
2
2 Kn = n2 – 3n ⇒ n2 – 3n – 2kn = 0
n(n – 3 – 2K) = 0
n = 0 ou n – 3 – 2k = 0
n = 2K + 3
D=
2004 180
1113
,
180
2160
x 12 2004
156
2160
Logo: x = 156
Matemática D
9
GABARITO
47)A
x
A
y
B
1
1
45°
1
1
l2 = 12 + 12 – 2 . 1 . 1 cos 45°
l2 = 1 + 1 – 2 cos 45°
2
/.
l2 = 2 – 2
/
2
l2 = 2 – 2
Logo: y2 + l2 = 22
y2 + 2 – 2 = 4
y2 = 2 + 2
C
y = 2 + 2
z = 1 + 1 ⇒ z = 2, z = diametro da circunferência ao
octógono Z = AC ;
x2 = 12 + 12
x= 2
O triângulo ABC está inscrito em uma
semicircunferência, logo é retângulo.
Portanto: 2, 2 + 2 , 2
48)B
n(n − 3)
n(n − 3)
⇒ 20 =
⇒ 40 = n2 – 3n
2
2
⇒ n2 – 3n – 40 = 0
n' = –5 não serve
n" = 8 lados ⇒ octógono
D=
C
D
B
A
R
R
45°
R
12 = R2 + R2 – 2 . R . R . cos 45°
2
/ R2 .
1 = 2R2 – 2
/
2
1 = 2R2 – 2 R2
1 = R2 (2 – 2)
1
R2 =
2− 2
(AD)2 + 12 = (2R)2
1
AD2 + 1 = 4R2 ⇒ AD2 = 4 .
1
–1
2− 2
AD2 =
4−2+ 2 2+ 2 2+ 2
=
.
2− 2
2− 2 2 + 2
AD2 =
4+4 2 +2 6+4 2
=3+2 2
=
4−2
2
AD = 3 + 2 2 = 1+ 2 2 + 2 =
AD = 2 + 1
49)A
n(n − 3)
2
2D = n(n – 3)
D=
D + 40 =
10
(n + 5)(n + 5 − 3)
2
2D + 80 = (n + 5)(n + 2)
n(n – 3) + 80 = (n + 5)(n + 2)
n2 – 3n + 80 = n2 + 7n + 10
– 3n – 7n = 10 – 80
–10n = – 70
n = 7 ⇒ Heptágono
Matemática D
( 2 + 1)2/
GABARITO
50)E
52)A
B
2x +16
A
a)Verdadeira. AC < AB + BC
b)Verdadeira. AC < AD + DC
c)Verdadeira. AB < AC + BC
d)Verdadeira. DC < AC + DC
e)Falsa. DC < AB + BC
Ex:
A
2
5
D
C
10
DC < AB + BC
10 < 2 + 5
51)A
y
x
y
x
3
2( x + 10) + x + 2x + 16 = 180
4
3
x +20 + x + 2x + 16 = 180
2
3x + 40 + 2x + 4x + 32 360
=
2
2
9x = 360 – 72
x = 288 = 32°
9
3
Logo, x + y + x + 10 = 180
4
3
.
32
32 + y +
+ 10 = 180 ⇒ 32 + y + 24 + 10 = 180 ⇒
4
y = 180 – 66
y = 144°
B
5
3 x + 10
4
3 x + 10
4
C
D
B
z
A
Menor caminho entre AB e Z.
53)B
125° 55° 70°
55°
110°
35°
B
145°
145°
165°
x
35°
E
15°
D
Logo no Δ BED
15 + 145 + x = 180
x = 180 – 160
x = 20°
Matemática D
11
GABARITO
54)C
h2 + x2 = (2x)2
h2 + 4x2 – x2
h2 = 3x2
h=x 3
x. 3
tgx =
x
tgx = 3 ⇒ x = 60°
α
x
2x
h=x 3
2x
x
55)03
01. (V)
Área total: AT =
x
A2
x
A1 =
A1
x.y
2
x . y =x.y
2x . y
A2 =
2
y
y
2x . y
=x.y
2
/x
2
y . /z
x.y
//z
y
.
z
.
sen
α
2
⇒ A1 =
A1 =
=
2
2
2
x.y
A2 =
2
y
Lei dos cossenos
q2 = y2 + z2 – 2.y.z. cos α
y
q2 = y2 + z2 – 2.y.z.
2z
q2 = z2 + y2 – y2
q2 = z2 ⇒ q = z
Área total: AT =
z
2x
A2
z
A1
α
03. (V)
z
2x
z
q
12
α
Matemática D
GABARITO
56)D
B
1
30°
60°
1
60°
A
BC 2 = 12 + 12 – 2 . 1 . 1 . cos 120°
1
BC 2 = 1 + 1 – 2.(– )
2
BC 2 = 1 + 1 + 1
3
BC = 3 Logo BN =
2
N
G
120°
60°
1
30°
1
M
C
Portanto
2
 
AN2 = 12  3 
 2 
3 4+3
AN2 = 1 + =
4
4
7
7
=
AN =
4
2
Como G é o baricentro, então:
7
1
1
7
=
GN = AN ⇒ GN = .
3
3 2
6
57)C
A
30°
Logo EB = AB ⇒ AB = 12
Como N é o baricentro do ΔAEC, então:
1
BN = . AB
3
1
BN = . 12 = 4
3
60°
N
30°
120°
E
60°
B
12
C
58)D
2
h
3
h2 + 3 2 = (2 3 )2
h2 + 3 = 4 . 3
h2 = 12 – 3
h = 9 ⇒ h = 3 cm
3
Matemática D
13
GABARITO
59)E
62)31
BÔC = 2(BÂC)
BÔC = 2(60)
BÔC = = 120°
A
60°
α
4
Logo:
α = 360° – 120°
α = 240°
/ .π 4.π
240
α=
=
/
180
3
o
120°
B
180 – α
α
01. (V)cos 2 α =
D
α
3
B2 + 22 = 42
B2 = 16 – 4
B = 12
2
1 – sen2 α – sen2 α =
1 – 2sen2 α =
BD
4
2
BD
=
4
2 3
BD =
BD =
2 3
4 .
3
=
4
3
3=4 3
3
3
2 3 BD = 8
61)A
D
6
B
4
2x
6
P
Q
x
4
x
4
2
B
8
x
4
4
A
x
4
cos2 α – sen2 α =
B=2 3
tg α =
X
Y
60)A
β=2
2α
4
C
M
 
x
1 – 2  1  =
 3 
4
2 x
1– =
9 4
9−2 x
28
= ⇒ 9 x = 28 ⇒ x =
9
9
4
02. (V)x2 + y2 = 42
2
 28 
  + y2 = 16
9
784
y2 = 16 –
81
1296 − 784
2
y =
81
16 2
512
=
y=
9
81
28
B = cos 2α = x = 9 = 28 . 1 = 7
04. (V)cos CM
9 4 9
4
4
4
X
A
M
C
Como Q é o baricentro, então AP é a mediana do lado
BC , portanto PC = 4
PD2 + 42 = 36 ⇒ PD = 36 − 16 ⇒ PD = 20
BD2 = 4 + ( 20)2 ⇒ BD2 = 16 + 20 ⇒ BD = 36 = 6
Logo perímetro BDC:
P = 6 + 6 + 8 = 20 cm
14
Matemática D
16 2
16 2
/
2
16 2
y
9
9
=
=
=
08. (V)tg α =
=
64
4
64
x + 4 28 + 4
/
9
9
B = sen 2α = y =
16. (V)sen CM
4
4 2
⇒ 9
16 2
9 = 16 2 . 1 =
4
9
4
GABARITO
63)C
64)B
30°
2
120°
30°
2
sen 60° =
α
3
h
60°
135°
3
45°
h
2 3
2α + 135° = 180°
2α = 45°
4α = 90°
α
/. 3 . 3
h
2
3
=
⇒h=
= 3 km
/
2
2
2 3
65)C
3 . 30 = 90°
30 + 15 = 45°
75 – 30 = 45°
3x + x + 15 + 75 – x = 180
3x = 180 – 90
90
x=
3
x = 30°
66)A
x – 3y + 3 = 0 , x + 3y + 3 = 0 x=1
Pontos de interseção:
x = 1 ⇒ 1 – 3y + 3 = 0
4
y=
3
A 1, 4 
 3 
x = 1 ⇒ 1 + 3y + 3 = 0
4
y=–
3
B 1, − 4 

3 
2
4 4
2
AB = (1− 1) +  + 
3 3
2
 8
AB =  
 3 
8
AB =
3
3y – 3 = – 3y – 3
6y = 0
y=0
x+3.0+3=0
x = –3
C(–3, 0)
2

4
AC = (−3 − 1)2 + 0 − 

3
16
AC = 16 +
9
AC =
4 10
3
Matemática D
2
BC =
 4

(1+ 3)2 + − − 0
 3

BC = 16 +
BC =
16
9
4 10
3
15
GABARITO
67)E
69)A
E
H
D
6
y
2
D
F
A
6
C
120°
12
h
y
2
y
Q
4
3
30°
x
x
B
C
E
A
No Δ BDC
y
x + x + = 90° ⇒
2
y
2x + = 90
2
2
2
4
4l2 = 144 + l2
l=4 3
4 3
tg 30° =
CP
3 4 3
=
3
CP
CP = 12
l2 = 36 +
90 − x
= 90
2
4x + 90 – x = 180
3x = 180 – 90
90
x=
= 30°
3
⇒ 2x =
P
B

l2 = 62 +  
 2
No Δ CEH
y y
x + + = 90° ⇒
2 2
x + y = 90

2x + y = 90
2


x + y = 90
↓
y = 90 – x
3
4
G
Logo ΔQGP ⇒ sen 30° =
h
1 h
⇒ =
⇒h=9
18
2 18
70)A
A
68)D
L1
A
L2
H
x
60°
30°
C
D
B
x
8 –x
cos 60° =
10
1 10
⇒ L2 = 20
⇒ =
L2
2 L2
x2 = (8 – x)2 + 62
sen 60° =
x 2 = 64 – 16x + x 2 + 36
16x = 100
100
x=
16
25
x=
4
H
L2
H
3
=
20
2
2H = 20 3
H = 10 3
B
16
6
C
sen 30° =
1 10 3
=
2
L1
L1 = 20 3 = 20 . 1,73
L1 = 34,6
Logo, L1 + L2 = 34,6 + 20 = 54,6 m
Matemática D
H
L1
D
GABARITO
73)A
71)D
C
4
1,4 m
1,0 m
H
2
2
4
h
45°
60°
A
B
x
0
H2 + 22 = (4 2)2
H2 + 4 = 16 . 2
H2 = 32 – 4
H = 28 = 2 7
Logo, x = 1,6 m
Lei dos cossenos
1,42 = 12 + x2 – 2 . 1. x . cos 60°
/ . 1. x . 1
1,96 = 1 + x2 – 2
/
2
1,96 = 1 + x2 – x
x2 – x – 0,96 = 0
x=
2m
A
sen 45° =
h
4 2
h
2
=
4 2
2
2h = 4 . 2
h=4
Logo, H – h = 2 7 – 4 = 2( 7 – 2) m
1± 1− 4 .1− 0, 96
2 .1
1± 1+ 3, 84
2
1± 4, 84
x=
2
x=
1± 2, 2
x=
〈
2
74)B
x' = 1+ 2, 2 = 1,6
2
1− 2, 2
= –0,6 (não serve)
x" =
2
D
jogador A
β
1
72)B
bola
α
2m
L





 ⇒



h = 2 

h
2
2 h
=
/
/
2
2
canto da quadra
C
h
45°
sen 45° =
jogador B
3m
30°
sen 30° =
h
L
2
1
=
L
2
L=2 2m
Como BD // AC, então α e β são alternos internos,
portanto
α=βe
3
tg α = tg β = = 3
1
Logo, tg α = 3
Matemática D
17
GABARITO
75)≅ 12,92m
cos 60° =
Z =6 m
8m
4 3
60°
x=4
4
y
8
3 y
=
8
2
y=4 3
z2 + 82 = 102
z2 = 100 – 64
z = 36
z=6m
8
3
sen 60° =
1 x
=
2 8
x=4m
10
y=4
x
8
Logo,
H = (6 + 4 3)
H = 6 + 6,92
H = 12,92 m
76)81
H
C
D
x'
E
x
B
A
x
G
6 2 6 2
y
45°
y
Portanto,
z + y = 12 + 6 = 18
Logo, 2x = 18
x=9
A = l2
A = 92 = 81
6 2
45°
z
F
y2 + y2 = (6 2)2
2y2 = 36 . 2
y2 = 36
y=6
z2 = (6 2)2 + (6 2)2
z2 = 36 . 2 + 36 . 2
z2 = 72 + 72
z = 144
z = 12
77)B
J
D
E
3 30°
K
C
G
H
D
d
Logo, FJ = 3 3
L
F
3
I
A
EI2 + 22 = 62
EI = 36 − 9
EI = 3 3
B
Portanto,
D=3 3+3 3–6
D=6 3–6
6
KG
3
3 KG
=
⇒ KG = 3
3
3
Logo, HL = 3
tg 30° =
Portanto,
d=6– 3 – 3
d=6–2 3
(6 3 − 6) . (6 − 2 3 )
D.d
⇒
2
2
48 3 − 72
36
3
−
12
.
3
−
36
+
12
3
A=
⇒
2
2
A = 24 3 – 36 ⇒ A = 12(2 3 – 3)
Então: A =
18
Matemática D
GABARITO
78)A
D
C
α
β
5
5
2
M
E
F
β
α
N
5
sen α = 2
5
5 1 1
sen α = . =
2 5 2
1
sen α = ⇒ α = 30°
2
se α = 30° ⇒ β = 60° ⇒ γ = 30°
B
A
Logo, tg γ =
CF
DC
Portanto
NB
cos α =
BF
NB
cos 30° =
BF
NB
3
=
5 3 −5
2
3
5 3 −5
2NB =
.
3
5
NB = ( 3 – 1)
2
Logo, BF = 5 – CF
5
BF = 5 –
3
CF
5
1
CF
=
5
3
5
CF =
3
tg 30° =
BF = 5 3 − 5
3
3
79)12
3 −1
h
3 −1
3
=
h
3
3h = 3 3 – 3
3 3 −3
3 9−3 3
.
h=
=
=3– 3
3
3
3
tg 30° =
30°
3 –1
30°
x
R
R
⇒
x
x=h=3– 3⇒
tg 30° =
2( 3 –1 )
2R
x
L = x + 2R + x
⇒ L = 3 – 3 + 2( 3 – 1) + 3 – 3
⇒L=3– 3+2 3–2+3– 3
⇒L=4
Portanto, perímetro P = 3 . 4 = 12 u.c.
Matemática D
19
GABARITO
80)A
82)D
A
B
a
45° = α
2x
E 255°
105°
D
d'
d
a
b
105°
β =75°
2
d'
3
b d
=
a c
bc = ad
d=
F
C
O quadrilátero CDEF é um paralelogramo. Logo, ângulos consecutivos são suplementares; portanto D = 105°
e consequentemente Ê = 255°.
Sendo
Si = 180(5 – 2) = 180 . 3 = 540°,
logo
45° + 75° + 105° + 255° + a = 540° ⇒ a = 60°
Então
x
3 x
= ⇒x= 3
sen 60° = ⇒
2
2
2
2
d'
3
b 2 d’
=
a 3 c
bc = a .
83)1,76 cm
B
5
A
6 –x
81)C
D
x
B
C
E
4
24
x
E
12
A
D
4,8
C
F
26
Os triângulos ABC e DCE são semelhantes, pois têm
o ângulo C em comum e ambos tem um ângulo reto.
Como AB2 + 242 = 262 ⇒ AB = 10
10
x
AB ED
Portanto
⇒
⇒x=5
=
=
24 12
BC DC
20
O ângulo B ~ F e C ~ D e consequentemente  ~ Ê.
6 x +4
=
5
4, 8
5x + 20 = 28,8
5x = 8,8
8, 8
x=
= 1,76 cm
5
Matemática D