Departamento de Matemática
CURVAS ALGÉBRICAS E PONTOS DE INFLEXÃO
Aluna: Isabela Antonaccio Wanous
Orientador: Marcos Craizer
Introdução
Foi feito um estudo dirigido sobre curvas algébricas, suas propriedades
e maneiras de estudá-las. Essas curvas são dotadas de propriedades muito
importantes e de grande riqueza algébrica e geométrica. Seu estudo
possibilitou um enorme crescimento matemático. Christopher G. Gibson
publicou o livro [1] tendo como base sua aula na Universidade de Liverpool.
Este livro foi a base do nosso estudo nesse curso.
A partir da demonstração de diversos lemas foi-se desenvolvendo a
compreensão teórica matemática do objeto de estudo. Mais adiante, foi
compreendido o conceito de ponto de inflexão em curvas projetivas. Foi
feito também um estudo dirigido das curvas algébricas, buscando a
compreensão do conceito de pontos de inflexão e os lemas a ele
relacionados, culminando com a possibilidade de realizar demonstrações
relacionada à cúbica de Steiner e ao Teorema de Bézout, por exemplo.
Durante o estudo resolvemos exercícios matemáticos sobre o tema e
desenvolvemos ilustrações a respeito destes com softwares gráficos como o
Maple e o Geogebra. Estes ajudaram na compreensão e na visualização do
conteúdo.
Metodologia
Além do estudo e da leitura individual do texto base, organizou-se um
seminário semanal para que houvesse debate sobre os novos conteúdos
aprendidos e apresentação dos exercícios realizados. Deste seminário
participaram o orientados e sete alunos de graduação.
O texto de apoio [1], é uma introdução e vai se aprofundando em curvas
algébricas planas a partir de uma visão geométrica. Consideramos os corpos
real e complexo, e eventualmente algum corpo finito. A vantagem de se
considerar o corpo complexo é que todo polinômio de grau n possui n raízes.
Em compensação perdemos a visualização do caso real. O livro é bem
ilustrado e contém várias centenas de exemplos trabalhados e exercícios
isso permitiu um aprofundamento no assunto. A partir das curvas lineares
familiares e cônicas de geometria elementar, chegar a curvas gerais no
plano afim real, com excursões para campos mais gerais para ilustrar
aplicações, tais como a teoria dos números. Consideramos os planos afim e
projetivo. O plano projetivo é bastante abstrato, mas em compensação
todas as retas se intersectam em um ponto. O plano projetivo inclui pontos
no infinito, o que é bastante abstrato, mas depois que nos acostumamos
entendemos que nos ajuda muito na descrição das curvas. Ao adicionar
pontos no infinito,o plano afim é estendido ao plano projetivo, produzindo
um cenário natural para as curvas e proporcionando uma inundação de
possibilidades na geometria subjacente. Estudamos singularidades das
curvas, pontos de inflexão, número de interseção com retas. A quantidade
mínima de álgebra leva ao famoso teorema de Bezout, enquanto as ideias de
sistemas lineares são utilizados para discutir a estrutura do grupo clássico
nas cúbicas .Estas últimas estudamos as singulares e não singulares,
descrevendo o seu conjunto de pontos de inflexão.
Enfatizamos as cônicas, classificando-as no planos afins complexo e real.
Descrevemos muitas de suas propriedades, como focos e centro de um
ponto de vista afim e projetivo. Por exemplo, o capítulo em que mais me
aprofundei foi o 13 do livro [1], que estuda o conceito de pontos de inflexão
em curvas projetivas. Um ponto P,sendo P simples,ou seja o numero de
interseções da reta tangente à curva F em P é maior ou igual a 2,é dito um
ponto de inflexão quando o número de interseções é maior ou igual a 3.
Observações: todo ponto de uma reta é um ponto de inflexão. Cônicas não
possuem pontos de inflexão e o conceito de pontos de inflexão só tem
interesse para curvas de grau maior ou igual a 3. Como os números de
interseção são invariantes projetivos, o conceito de ponto de inflexão e a
distinção entre “ordinary flex”(o numero de interseções é exatamente 3)e
“undulation flex”(o numero de interseções é maior ou igual a 4) é invariante
nas transformações projetivas. Por isso se estuda passando do plano
projetivo para o plano afim. A chave desse capítulo é a técnica que reduz o
problema de achar pontos de inflexão a achar a interseção da curva com a
curva Hessiana associada. Através de cálculos matemáticos é possível dizer
que qualquer configuração de 9 pontos em Pℂ² é projetivamente equivalente
a configuração dos 9 pontos dos pontos de inflexão associados a cúbica de
Steiner, muito famosa. A consequência disso é outro lema que diz que seja F
qualquer curva cúbica em Pℂ² cujos pontos de inflexão formam a
configuração dos 9 pontos,então F é projetivamente equivalente a cúbica de
Steiner.
Exemplos de curvas algébricas, suas expressões e traçados no plano real afim
Exemplos de curvas algébricas da forma
Todas as curvas acima são pontos de vista diferentes da curva projetiva x^3x*y^2-y*z^2.
De cima para baixo elas são retiradas dos planos z=1, y=1,z=1.
Conclusões
Considero que aprendi um tema de matemática de difícil abstração,
tendo me exigido bastante esforço e dedicação mas muito compensador pela
ampliação do meu “horizonte” matemático, contribuindo para um
enriquecimento de abstração matemática e geométrico.
O estudo teórico permitiu uma maior compreensão do universo das
curvas algébricas e de suas propriedades. Foi possível demonstrar e
solucionar exercícios complexos mesmo sem a utilização de meios
tecnológicos. Entretanto, foi interessante utilizar a implementação de
softwares gráficos como o Maple e o Geogebra para a visualização dos
argumentos teóricos desenvolvidos. Curvas algébricas apresentam uma
beleza inerente tanto do ponto de vista algébrico quanto geométrico, sendo
sempre interessante manter uma comunicação entre essas duas facetas.
Referências
1 - GIBSON, C. G. Elementary Geometry of Algebraic Curves: An
Undergraduate Introduction. 1.ed. New York: Cambridge University Press,
2001.