Exemplos sobre Variação de Funções
Exemplo 1. Suponhamos que a concentração c(t) (em
mg/100 ml) de um certo metabólito em um meio líquido
de cultura seja expressa pela equação,
c(t ) = (t − 2 ) − 2(t − 2 ) + 2,
4
2
onde t é o tempo transcorrido em horas (vamos supor que
0 ≤ t ≤ 4 para a duração total do experimento).
O gráfico de c(t) é dado abaixo.
12
10
c
8
6
4
2
0
0
1
2
t
3
4
Podemos observar pelo gráfico que a função é
estritamente decrescente nos intervalos [0, 1) e (2, 3), e
estritamente crescente nos intervalos (1, 2) e (3, 4). Os
pontos t = 1 e t = 3 são pontos de mínimo e o ponto t = 2 é
um ponto de máximo.
Isso pode ser determinado também pela análise das
derivadas primeira e segunda da função.
A derivada primeira da função c(t) é,
c ' (t ) = 4(t − 2 ) − 4(t − 2 ).
3
Igualando essa função a zero e achando suas raízes;
[
]
4(t − 2 ) − 4(t − 2 ) = 0 ⇒ 4(t − 2 )(t − 2 ) − 1 = 0 ⇒
3
[
2
]
⇒ 4(t − 2 ) t 2 − 4t + 3 = 0 ⇒
⇒ x1 = 1, x2 = 2 e x3 = 3.
Estes são os pontos críticos da função.
Vamos calcular a derivada segunda de c(t) nesses pontos.
A derivada segunda da função c(t) é,
c ' ' (t ) = 12(t − 2 ) − 4.
2
Os seus valores nos três pontos críticos são:
c(1) = 8 > 0 ⇒ ponto de mínimo;
c(2) = -4 < 0 ⇒ ponto de máximo;
c(3) = 8 > 0 ⇒ ponto de mínimo.
A figura abaixo mostra, em gráficos superpostos, as
funções c(t), c’(t) e c’’(t).
50
40
30
20
c
c(t)
c'(t)
10
c''(t)
0
0
1
2
3
4
-10
-20
-30
t
Note que nos intervalos [0, 1) e (2, 3) c’(t) é negativa,
indicando que c(t) é decrescente, e que nos intervalos (1,
2) e (3, 4) c’(t) é positiva, indicando que c(t) é crescente.
Exemplo 2. Uma possível função para modelar a reação
do organismo a uma droga é a seguinte,
⎛C D⎞
R ( D ) = D 2 ⎜ − ⎟,
⎝2 3⎠
onde D é a dose da droga administrada, C é a quantidade
máxima que pode ser administrada e R é uma medida da
intensidade da reação do organismo à droga (por exemplo,
temperatura do corpo ou pressão sangüínea). Como C é a
quantidade máxima da droga, deve-se manter o valor de D
entre 0 e C.
O gráfico de R(D) está dado abaixo (com C = 2).
Curva de resposta x dose
1,2
1
0,8
R
0,6
0,4
0,2
0
-0,2
0
0,5
1
1,5
2
D
2,5
3
3,5
Este gráfico foi normalizado, isto é, dividiu-se o valor de
R(D) pelo valor máximo que ele pode atingir, R(2), para
que a resposta máxima seja igual a 1.
A derivada primeira da função R(D) é,
2
2D D ⎞
⎛C D⎞ D
⎛
= D⎜ C −
− ⎟ = D(C − D ).
R ' ( D ) = 2 D⎜ − ⎟ −
3
3⎠
⎝2 3⎠ 3
⎝
Igualando essa derivada a zero para achar os pontos
críticos, temos que os dois pontos críticos são:
D1 = 0 e D2 = C.
Os pontos críticos da função de resposta versus dose estão
justamente nos extremos de validade da função (D = 0 é o
menor valor possível da dose D e D = C é o maior valor
permitido para D).
Para determinar quais desses são pontos de máximo ou de
mínimo, devemos tomar a derivada segunda de R(D),
R´´(D) = C − 2 D.
Os valores de R´´(D) em D = 0 e D = C são:
R´´(0) = C > 0 ⇒ ponto de mínimo;
R´´(C) = −C < 0 ⇒ ponto de máximo.
O gráfico abaixo mostra a função R(D) e suas derivadas
primeira e segunda, para o intervalo de validade da
função, 0 ≤ D ≤ C.
Curva de resposta x dose e suas
derivadas primeira e segunda
R
2
1
R
R´
0
0
0,5
1
1,5
2
R´´
D
-1
-2
Note que o ponto D = C/2 = 1 é um ponto em que a
concavidade da função muda (de côncava para baixo para
côncava para cima). Portanto, o ponto D = C/2 é um ponto
de inflexão da função. Porém, a derivada primeira da
função não se anula nesse ponto.
Esse é um resultado novo: Pode haver pontos de inflexão
de uma função que não sejam pontos críticos, ou seja,
pontos onde a concavidade da função muda sem que a sua
derivada primeira se anule.
Os pontos de inflexão em que a derivada primeira se anula
são ditos pontos de inflexão de primeira espécie (eles são
também pontos críticos, pois f ´(x) = 0) e os pontos de
inflexão em que a derivada primeira é diferente de zero
são ditos pontos de inflexão de segunda espécie.
A definição mais geral de ponto de inflexão é a seguinte:
Dada uma função f(x) com derivadas primeira e segunda
contínuas no seu domínio. Suponhamos que exista um
ponto a tal que a derivada segunda de f(x) se anule neste
ponto,
f ’’(a) = 0.
Então, o ponto a será um ponto de inflexão se f ’’(x) trocar
de sinal ao passar por x = a.
Define-se a sensibilidade do organismo à droga como a
derivada da sua resposta em relação à dose da droga,
S=
dR
.
dD
Portanto, a sensibilidade do organismo à droga cresce até
D = C/2 = 1, passando a decrescer daí até D = C.