ITA - Laboratório de Guerra Eletrônica
EENEM 2008
Estatística e Probabilidade
Aula 02: Probabilidade
probabilidade
população
inferência
estatística
(indução)
(dedução)
amostra
Definições
• Um experimento é qualquer processo
que permite ao pesquisador fazer
observações
• Um evento é uma coleção de
resultados de um experimento
• O espaço amostral de um
experimento consiste de todos os
eventos possíveis
Exemplo
• experimento: lançamento de dois
dados
• evento: soma dos valores é par
• espaço amostral:
S = { (1,1), (1,3), (1,5), (2,2), (2,4),
(2,6), (3,1), (3,3), (3,5), (4,2), (4,4),
(4,6), (5,1), (5,3), (5,5), (6,2), (6,4),
(6,6) }
Definição clássica
• Suponha que um experimento tenha n
eventos simples diferentes, cada um dos
quais com a mesma chance de ocorrer. Se o
evento A pode ocorrer em s dentre as n
maneiras, então:
P(A) = nº de maneiras como A pode ocorrer = s
nº de eventos simples diferentes
n
Aproximação da probabilidade
pela freqüência relativa
• Realize (ou observe) um experimento
um grande número de vezes e conte
quantas vezes o evento A ocorre
efetivamente. Então P(A) é estimada
como segue:
P(A) =
nº de ocorrências de A
nº de repetições do experimento
Lei dos grandes números
• Se se repete um experimento um
grande número de vezes a
probabilidade pela freqüência
relativa de um evento tende para a
probabilidade teórica.
Exemplo no Excel
• Estimar a probabilidade de sair um
número qualquer quando lançamos
um dado não viciado
Definições
• A probabilidade de um evento impossível é 0
• A probabilidade de um evento cuja
ocorrência é certa é igual a 1
• 0 ≤ P(A) ≤ 1 para qualquer evento A
• O complemento de um evento A, denotado
por A’, consiste em todos os resultados em
que A não ocorre:
P(A’) = 1— P(A)
Eventos complementares
P(A)
P(A’) = 1 — P(A)
Diagrama de Venn
área total = 1
Regra da adição
P(A∪B) = P(A) + P(B) — P(A∩B)
A
B
A∩B
Definição
• Os eventos A e B dizem-se
mutuamente excludentes se não
podem ocorrer simultaneamente
P(A∩B) = 0
Exercício 5
2
1
3
a) Determine o evento A em que exatamente
dois em três componentes funcionam
b) evento B em que pelo menos dois dos
componentes funcionam
c) evento C em que o sistema funciona
d) eventos C’, A∪C, A∩C, B∪C e B ∩C
Exercício 6
• Uma empresa de engenharia está construindo
três fábricas em locais diferentes. Seja Ai o
evento de que a fábrica no local i é
completada na data contratada. Use as
operações de união, interseção e
complemento para descrever cada uma das
situações a seguir em termos de A1, A2 e A3,
desenhe diagramas de Venn e sombreie a
região correspondente a cada uma:
Exercício 6 (cont.)
a) pelo menos uma fábrica é completada na
data contratada
b) todas as fábricas são completadas na data
contratada
c) somente a fábrica no local 1 é terminada na
data contratada
d) exatamente uma fábrica é construída na
data contratada
e) tanto a fábrica do local 1 ou ambas dos
outros dois são construídas até a data
contratada
Exercício 7
• Um sistema pode apresentar três
tipos diferentes de defeitos Ai (i =
1,2,3)
P(A1)=.12
P(A2)=.07
P(A3)=.05
P(A1∪A2)=.13
P(A1∪A3)=.14
P(A2∪A3)=.10
P(A1∩A2 ∩A3)=.01
Exercício 7 (cont.)
a) qual a probabilidade de que o sistema não
apresente um defeito tipo 1?
b) qual a probabilidade de que o sistema
tenha tanto o defeito tipo 1 quanto o
defeito tipo 2?
c) qual a probabilidade de que o sistema
tenha tanto o defeito 1 quanto o defeito
tipo 2 mas não apresente o defeito tipo 3?
d) qual a probabilidade de que o sistema
tenha pelo menos dois dos defeitos?
Técnicas de contagem
Permutações
• Qualquer seqüência ordenada de k
objetos tomados de um conjunto de n
objetos distintos é chamada uma
permutação de tamanho k dos
objetos. O número de permutações
de tamanho k que podem ser
construídas dos n objetos é denotado
por Pk,n
Exemplo
• Existem vagas de representação em
dois países: Estados Unidos e Japão.
Cinco pessoas concorrem a essas
vagas.
• Quantas duplas podem ser formadas,
considerando-se que cada pessoa
pode concorrer a apenas uma vaga?
2a vaga
Japão
1a vaga
EUA
A
A
B
C
Conjuntos ordenados
(a ordem interessa)
D
E
(A,B) (A,C) (A,D) (A,E)
B
(B,A)
(B,C) (B,D) (B,E)
C
(C,A) (C,B)
D
(D,A) (D,B) (D,C)
E
(E,A) (E,B) (E,C) (E,D)
(C,D) (C,E)
n2 - n = n·(n-1)
25 - 5 = 5 x 4 = 20
(D,E)
Exemplo
• Existem vagas de representação em
três países: Alemanha, Estados
Unidos e Japão. Cinco pessoas
concorrem a essas vagas.
• Quantos trios podem ser formados?
5 x 4 x 3 = 60
1a vaga
2a vaga
3a vaga
Permutações
Pk,n = n(n—1)(n — 2)...(n — k+2)(n — k+1)
Fatorial:
m! = m(m—1)(m — 2)...(2)(1)
0! = 1
Pk,n = n(n—1)(n — 2)...(n — k+2)(n — k+1) (n — k)(n —k — 1)...(2)(1)
(n — k)(n —k — 1)...(2)(1)
Pk,n =
n!
(n—k)!
Exercício 8
• Existem oito assistentes de aula
disponíveis para corrigir provas. O
exame consiste de quatro questões e
o professor decide que cada
assistente corrigirá apenas uma
delas. De quantas maneiras os
assistentes podem ser escolhidos?
Técnicas de contagem
Combinações
• Dado um conjunto de n objetos
distintos, qualquer subconjunto nãoordenado de tamanho k dos objetos é
chamado uma combinação.
Exemplo
• Existem duas vagas de representação
nos Estados Unidos. Cinco pessoas
concorrem a essas vagas.
• Quantas duplas podem ser formadas?
Conjuntos não ordenados
(a ordem não interessa)
A
A
B
C
D
E
(A,B) (A,C) (A,D) (A,E)
B
(B,A)
(B,C) (B,D) (B,E)
C
(C,A) (C,B)
D
(D,A) (D,B) (D,C)
E
(E,A) (E,B) (E,C) (E,D)
(C,D) (C,E)
n2 - n = n·(n-1)
2
2
(D,E)
Técnicas de contagem
Combinações
• O número de combinações de
tamanho k que podem ser formadas
de n objetos distintos será denotada
por:
( )
Ck,n = n
k
= Pk,n =
n!
k!
k!(n — k)!
Exercício 9
• Uma empresa de aluguel de carros
tem 10 carros estrangeiros e 15
carros nacionais disponíveis.
Entretanto, somente seis carros
podem ser alugados ao mesmo
tempo. Qual a probabilidade de que
os carros escolhidos sejam 3
estrangeiros e 3 nacionais?
Probabilidade condicional
P(A|B) = P(A∩B)
P(B)
Observe que: P(A|B) ≠ P(B|A)
A
B
A∩B
Exercício 10
automóvel
esportivo
transmissão
cor
branco
azul
preto
vermelho
A
.15
.10
.10
.10
M
.15
.05
.15
.20
Seja A={transmissão automática}, B={preto} e
C={branco}
a) calcule P(A), P(B) e P(A∩B)
b) calcule P(A|B) e P(B|A) e explique no
contexto da situação o que representam
c) calcule e interprete P(A|C) e P(A|C’)
A lei da probabilidade total
• Sejam A1,...,Ak eventos mutuamente
exclusivos e exaustivos. Então, para
qualquer outro evento B:
P(B) = P(B|A1)P(A1) + ... + P(B|Ak)P(Ak) =
k
Σ P(B|A )P(A )
i=1
i
i
A lei da probabilidade total
A1
A2
A6
A3
A7
A4
A5
B
Teorema de Bayes
• Sejam A1,...,Ak uma coleção de
eventos mutuamente exclusivos e
exaustivos. Então, para qualquer
outro evento B:
P(Aj|B) = P(Aj∩B) = P(B|Aj)P(Aj)
k
P(B)
P(B|A
)P(A
)
i
i
Σ
i=1
Exercício 11
• Suponha que 60% dos chips do computador
de uma companhia sejam produzidos pela
fábrica A e 40% por outra fábrica
(denotada por A’). Suponha que um chip se
revele defeituoso e que as taxas de defeito
nas duas fábricas sejam 35% para A e 25%
para A’. Com auxílio do teorema de Bayes,
determine a probabilidade de que o chip
defeituoso seja da fábrica A.
Independência
• Dois eventos são independentes se a
ocorrência de um deles não afeta a
probabilidade de ocorrência do outro
Experimento: fazer uma prova de Estatística
passar na prova
sem ter assistido
às aulas
A
assistir aulas e
passar na prova
não assistir aulas e
não passar na prova
B
assistir aulas
mas não passar
na prova
P(A∩B) = assistir aulas e passar na prova
Exemplo
• Existem 2 bolas verdes e 3 bolas
vermelhas em uma caixa
• A probabilidade de se retirar uma
bola verde numa segunda retirada
depende da cor da primeira bola
2/5
1x2=2
4 5 20
3/5
2x3=6
4 5 20
Exemplo
• Existem 2 bolas verdes e 3 bolas
vermelhas em uma caixa
• Se considerarmos a reposição da
primeira bola o evento “retirar uma
bola verde” na segunda tentativa
torna-se independente da primeira
• Portanto, a relação de dependência
pode ser sutil, surgindo da maneira
como o experimento é construído ou
interpretado
Exemplo
• Os motores de um avião podem ser
considerados independentes sob
certas circunstâncias, aumentando a
confiabilidade da aeronave
• p(falha 1 motor) = 0,1
• p(falha 2 motores) = (0,1)2 = 0,01
Exemplo
• Entretanto, eles podem também ser
considerados dependentes se
verificamos que existe apenas um
sistema de combustível na aeronave
ou que somente uma equipe de
manutenção verifica todos os
motores e pode cometer os mesmos
erros de ajuste
Independência
• Dois eventos A e B são ditos
independentes se P(A|B) = P(A)
• A e B são independentes se e
somente se (sse):
P(A∩B) = P(A).P(B)
Exercício 12
• Os pilotos de um certo esquadrão têm
índice de acerto no bombardeio igual a
40%. Qual a probabilidade de que pelo
menos uma bomba atinja o alvo,
sabendo-se que quatro aeronaves (uma
esquadrilha) desse esquadrão realizam o
ataque e que cada uma faz somente um
passe com um lançamento?
Exercício 13
• Nas condições do exercício 12,
quantas aeronaves são necessárias
para que a probabilidade de sucesso
na missão seja de pelo menos 95%?
Exercício 14
1
2
3
4
• Se os componentes trabalham
independentemente um do outro e
P(componente funciona) = 0.9, calcule
P(sistema funciona).