Características dinâmicas
As características dinâmicas, descrevem o
seu comportamento durante o intervalo de
tempo em que a grandeza medida varia até o
momento em que o seu valor medido é
apresentado.
Resposta Dinâmica
Uma medida de uma grandeza física é chamada
de dinâmica quando a mesma varia com o tempo.
Pesagem de alimentos no mercado – estática
Vibração de uma máquina – dinâmica
Modelo da suspensão de um automóvel com
sinais de entrada e saída
Função de transferência
O estudo de características de instrumentos é uma das
aplicações de uma área do conhecimento mais geral,
denominada, dinâmica de sistemas.
E  FUNÇÃO TRANSFERÊNCIA F(t)  S
onde :
E = quantidade de entrada
S = quantidade de saída
F(t) = Função transferência
t = tempo.
A Função Transferência relaciona as quantidades de
entrada e de saída :
S
F (t ) 
E
O modelo matemático mais simples e aplicado à este estudo é
o que faz uso equações diferenciais lineares ordinárias, cuja
solução é obtida através de transformadas de Laplace.
Seja um sistema de medição representado (em geral
para todos os sistemas analógicos isto é possivel) por uma
única equação diferencial linear do tipo:
d n c (t )
d n 1 c ( t )
dc ( t )
d m e (t )
d m 1 e ( t )
de ( t )
an

a

...

a

a
c
(
t
)

b

b

...

b
 b0 e (t )
n 1
1
0
m
m 1
1
dt n
dt n 1
dt
dt m
dt m 1
dt
onde c(t) é a quantidade de saída (sinal de saída) e e(t) é
a quantidade de entrada (grandeza a ser medida), e os
coeficientes ai (i = 0 a n) e bj (j=0 a m) são constantes.
A transformada de Laplace para a equação
anterior, considerando condições iniciais nulas, é:
a



n
n 1
m
m 1
s

a
s

...

a
s

a
.
C
(
s
)

b
s

b
s
 ...  b 1 s  b 0 . E ( s )
n
n 1
1
0
m
m 1
No estudo do comportamento dinâmico dos sistemas é
comum fazer a análise da Função de Transferência.
A função de transferência é definida como a relação da
saída pela entrada.
A Transformada de Laplace (TL) é frequentemente
utilizada na resolução de equações diferenciais.
Isto deve-se principalmente pela TL transformar
operações de diferenciação e integração em operações
algébricas.
Funções como senos, cosenos, exponenciais entre
outras tem sua transformada em forma de relações de
polinômios.
Além disso, a TL traduz uma resposta fiel do transitório
assim como do regime permanente.
f(t) é uma função estímulo. A ordem do sistema é definida
pela ordem da equação diferencial.
 Em um sistema ordem zero apenas o coeficiente a0 é diferente de zero.
a 0 x  f (t )
 Em um sistema de primeira ordem apenas os coeficientes a1 e a0 são diferentes
de zero.
dx
a1  a0 x  f (t )
dt
 Em um sistema de segunda ordem apenas os coeficientes , a0, a1 e a2 são
diferentes de zero.
2
d x
dx
a2 2  a1  a0 x  f (t )
dt
dt
Sistemas de ordem zero
Quando todos os coeficientes ai e bj , exceto a0 e b0,
da equação geral são iguais a zero o instrumento é chamado
de instrumento de ordem zero:
a 0c (t )  b0e (t )
OU
c ( t ) b0

K
e (t ) a 0
OU
c ( t )  K .e ( t )
onde
K é chamado de
permanente do sistema).
sensibilidade
estática
(ou
ganho
Observa-se que não haverá nem atraso nem distorção na
medição da grandeza e(t) pelo medidor de ordem zero,
representando um instrumento ideal ou perfeito quanto ao
desempenho dinâmico.
Sistemas de ordem zero
Supõe-se que a saída do sistema responde ao sinal de
entrada instantaneamente.
Em SISTEMAS REAIS, é usado para modelar um SM de
entradas estáticas !!
Pode-se modelar matematicamente
um potenciômetro como um
instrumento de ordem zero.
Sistemas de primeira ordem
Um instrumento de primeira ordem segue a seguinte equação:
dc ( t )
a1
 a 0 c (t )  b0 e (t )
dt
OU
b
a1 dc ( t )
 c (t )  0 e (t )
a 0 dt
a0
OU
Utilizando a transformada de Laplace, obtém-se:
C (s)
K

E ( s )  .s  1
onde
K é chamado de sensibilidade estática, e
 é a constante de tempo do SM.

dc ( t )
 c (t )  K e(t )
dt
Sistemas de primeira ordem
Uma medição de temperatura com um sensor do tipo PT100
pode ser modelado (simplificadamente) por um sistema de primeira
ordem.
a0 t



1
a1 
x (t ) 
1 e

a0 

Sistemas de primeira ordem
Um termômetro de bulbo é um exemplo de um instrumento de
primeira ordem, assim como qualquer medidor de temperatura que
necessite alterar a temperatura de uma massa (de um sensor) para
realizar a medição.
O bulbo troca energia
com o ambiente até que os dois
estejam a mesma temperatura.
A) Resposta a função degrau

A U (t )  0
t0
A U (t )  A
t  0
onde
A é a amplitude da função degrau , e
U(t) é definida como a função degrau unitário
U(t)
2
1
0
-1
0
1
2
Tempo, t
Com condição inicial y(0) = y0
Resolvendo para t ≥ 0+

y
(t )
res p o s ta n o temp o
t 
 ( y 0  K A)e







res p o s ta p erman en te
KA

res p o s ta tran s iente
Sinal de saída y(t)
KA
0,632.(KA-y0)
y0
0
1
2
3
t /
4
5
O termo Γ(t) é chamado de FRAÇÃO DE ERRO do
sinal de saída
Fração de Erro, Γ
G (t )  e
t 
t/
Resposta
G
% Erro
1,0
0
0,0
1,0
100,0
1
0,632
0,368
36,8
0,8
2
0,865
0,135
13,5
2,3
0,9
0,100
10,0
3
0,950
0,050
5,0
5
0,993
0,007
0,7

1,0
0,0
0,0
0,6
0,4
0,368
0,2
0,0
0
1
2
3
t/
4
5
t/
Resposta
G
% Erro
0
0,0
1,0
100,0
1
0,632
0,368
36,8
2
0,865
0,135
13,5
2,3
0,9
0,100
10,0
3
0,950
0,050
5,0
5
0,993
0,007
0,7

1,0
0,0
0,0
A tabela mostra que para obter uma medida com 0,7%
de precisão de um instrumento de primeira ordem deve-se
“aguardar” cinco vezes o valor da constante de tempo (após
a variação da grandeza a ser medida).
Ou, em outra condição, o tempo de espera para uma
medição com precisão melhor do que 5% é de três vezes a
constante de tempo ou mais.
Sistemas de Segunda Ordem
Sistemas que possuem inércia
Um exemplo de aplicação de um sistema de segunda ordem é o dinamômetro.
O mesmo pode ser modelado simplificadamente por um sistema massa
mola, que por sua vez tem um equivalente elétrico RLC (ou seja, um circuito
ressonante - resistor (R), um indutor (L), e um capacitor (C))
Sistemas de Segunda Ordem
Sistemas que possuem inércia
2
a2
d c (t )
dc ( t )

a
 a 0 c ( t )  b0 e ( t )
1
2
dt
dt
OU
b0
a 2 d 2 c ( t ) a1 dc ( t )

 c (t )  e (t )
2
a 0 dt
a 0 dt
a0
1 .. 2 .
y
y  y  KF (t )
2
n
n
b0
K
a0
= sensibilidade estática
n 
a0
a2
= freqüência natural, rd/s
a1
 
2 a0 a2
= coeficiente de amortecimento
O sensor mais comum que se encaixa nesta classificação é o acelerômetro
Transdutores de pressão de diafragma (microfones e auto-falantes por ex.)
Dependendo do valor de  três formas de solução
homogênea são possíveis:
0 ≤  < 1 (Solução do sistema subamortecido) :
y h ( t )  C e   n t se n (  n 1   2 t   )
 = 1 (Solução do sistema criticamente amortecido) :
y h ( t )  C 1 e 1t  C 2 t e  2 t
 > 1 (Solução do sistema superamortecido) :
y h ( t )  C 1 e 1t  C 2 e  2 t
Resposta a função degrau
Sinal de saída y(t)
=0
=0,2
=0,4
=0,6 =0,8
=1,0
=1,5
nt
Circuitos e medições
elétricas
Elementos elétricos

Resistividade e resistência elétrica

Em um material homogêneo de comprimento L e área
transversal constante A, a seguinte equação é dada:
L
Vab  I.ρ  I.R
A
Elementos elétricos
L
Vab  I.ρ  I.R
A

Vab é a diferença de potencial aplicada entre as seções a e b [V]

I é a corrente elétrica que atravessa o condutor [A]

Resistência elétrica R = f (resistividade, comprimento, área)
L
R ρ
A
Resistividade dos metais

Para os metais a variação de resistividade com a
temperatura, dentro de uma determinada faixa de
temperatura, pode ser aproximada pela equação linear:
 = 0 [ 1 + 0 ( T - T0 ) ]

onde  e 0 são as resistividades do material nas
temperaturas T e T0 respectivamente, e 0 é o
coeficiente de temperatura da resistividade do material.
Resistividade e coeficiente de temperatura de alguns metais
Material
0 x 10-8 [.m] (T0 = 20 oC)
0 x 10-3 [K-1]
Prata
1,47
3,8
Cobre
1,72
3,9
Constantan (60 Cu, 40 Ni)
49
0,002
Exemplo: Determine a resistência elétrica de um condutor de constantan
de 5 mm de comprimento com largura de 0,5 mm e altura 0,2 mm.
A = 0,2 x 0,5 x 10-6 m2
L = 5 x 10-3 m
R =  L / A = 49 x 10-8 x 5 x 10-3 / 0,2 x 0,5 x 10-6
R = 49 x 5 x 10-11 / 2 x 5 x 10-8 = 24 x 10-3 []
R = 24 [m]
Exemplo: Determine a variação percentual de resistência elétrica de um
condutor de cobre qualquer, quando a temperatura aumenta de 20 oC para
40 oC, desprezando as variações dimensionais do condutor.
R / R0 (%) =  / 0 (%) = ( - 0) / 0 (%)
R / R0 (%) = 100 x 0 x ( T - T0 ) = 100 x 3,9 x 10-3 x 20 = 7,8 %
Transdutores Resistivos
Fornecem uma resistência em resposta ao estímulo:




Potenciômetros
Posição do cursor
Extensômetros
Deformação linear
Termorresistores
Temperatura
Fotocondutores
Intensidade Luminosa
Transdutores Potenciométricos
(Resistores variáveis)
Fornecem uma resistência em resposta a posição do cursor
Posição do
cursor
POTENCIÔMETRO
Resistência
Transdutores Potenciométricos
 Função de Transferência Teórica:
A resistência é diretamente proporcional ao comprimento do condutor
lx
kl
Rx  ρ  ρ
A
A
R x  kR para 0  k  1
Transdutores Potenciométricos

Potenciômetros Rotativos:
Respondem a posição angular do cursor
Transdutores Potenciométricos

Potenciômetros Lineares:
Respondem a posição linear do cursor
Transdutores Potenciométricos

Tipos de Potenciômetros:
 Fio
 O contato desliza sobre um enrolamento de fio de Níquel-Cromo
 O fio tende a se danificar, mal contato, variações com a
temperatura
 Cerâmico
 O contato desliza sobre uma trilha de cerâmica resistiva
 Melhor do que os potênciometros de fio
 Filme Plástico
 Alta resolução
 Alta durabilidade e baixa sensibilidade a temperatura
Outros transdutores resistivos:
LDR (Light Dependent Resistor)



A parte sensível à luz, no
LDR, é uma trilha ondulada
feita de sulfeto de cádmio.
A energia luminosa inerente
ao feixe de luz que atinge
essa trilha, provoca uma
liberação de portadores de
carga elétrica além do
normal, nesse material.
Essa quantidade extra de
portadores faz com que a
resistência do elemento
diminua drasticamente
conforme o nível de
iluminação aumenta.
Outros transdutores resistivos:
Termistores



Um resistor sensível à
temperatura é chamado de
termistor.
Na maioria dos tipos
comuns de termistores a
resistência diminui à
medida que a temperatura
aumenta.
Eles são denominados
termistores de coeficiente
negativo de temperatura e
indicados como NTC.
Termistores
Calibração do termistor
A variação da resistência (R) de um termistor com temperatura absoluta (T) é
razoavelmente bem descrita pela expressão R(T) = a exp(b/T) onde a e b são
constantes.
Podemos determinar o valor de a e b medindo a
resistência em duas temperaturas diferentes T1 e
T2.
Se R1 e R2 são os resultados encontrados, então:
R1 = a exp(b/T1); R2 = a exp(b/T2)
e é fácil demonstrar que
b = ln (R1 / R2) T1T2 / (T2 - T1) .
A maioria dos termistores tem b entre 3000 e
4000 Kelvin.
O valor de a pode ser calculado por:
a = R1 exp(-b/T1) ou a = R2 exp(-b/T2).
Termistores
O gráfico mostra a resistência
de dois termistores diferentes
em função da temperatura.
A 25ºC um dos termistores
tem resistência de 100 kΩ e o
outro tem 10 kΩ.
Ambos têm b = 3500 K
Outros transdutores resistivos:
RTD


Os RTD (Resistence Temperature
Detectors) são dispositivos
construídos de fio enrolado e de
uma película fina, que trabalham
pelo princípio físico do coeficiente de
temperatura da resistência elétrica
dos metais.
São quase lineares sobre uma larga
escala de temperatura, e podem ser
feitos pequenos o bastante para ter
tempos de resposta de uma fração
de segundo.
RTD



O metal mais utilizado na
construção de termo-resistências
é a Platina, sendo encapsulados
em bulbos cerâmicos ou de
vidro.
Os modelos mais utilizados
atualmente são: Pt- 25,5 Ω, Pt100 Ω, Pt-120 Ω, Pt-130 Ω e Pt500 Ω, sendo que na indústria o
mais conhecido e utilizado é o
Pt-100 Ω (a 0 °C).
Uma liga composta de cobre e
níquel também é utilizada na
construção de detectores de
temperatura por variação de
resistência elétrica (RTD).
RTD – PT100
Fonte: http://www.addtherm.com.br
Transdutores capacitivos



Dispositivo elétrico que tem por função armazenar
cargas elétricas e, como conseqüência, energia potencial
elétrica.
É um componente constituído por dois condutores separados
por um isolante: os condutores são chamados armaduras (ou
placas) do capacitor e o isolante é o dielétrico do capacitor.
O dielétrico pode ser um isolante qualquer como o vidro, a
parafina, o papel e muitas vezes é o próprio ar.
Transdutores capacitivos

Fornecem uma alteração da capacitância em resposta ao estímulo
Alteração da
distância,
área ou
dielétrico das
placas
CAPACITOR
 Capacitância
Transdutores capacitivos

Implementação mais comum
Placas Paralelas
A
C  r
d
Transdutores capacitivos
Tipos:



Variação da Distância de Placas
Posição da placa
Variação da Área Efetivas de Placas Paralelas
Posição da placa
Variação da Permissividade elétrica
Posição do Dielétrico
Alteração do Dielétrico
Transdutores capacitivos

A capacitância para capacitores de placas paralelas, com área
de superfície A, espaçamento l, é calculada pela equação:
A
C  K 0
l
onde K é o coeficiente dielétrico do material entre placas e
0 é uma constante obtida da lei de Coulomb:
 0 = 1 / 4 k = 8,85 x 10-12
[C2/Nm2]
k = Constante de Coulomb
Constante dielétrica para alguns materiais
Material
K
Vácuo
1
Ar (1 atm)
1,00059
Ar (100 atm)
1,054
Baquelite
5,5
Fatores que influenciam na
capacitância



A capacitância de um capacitor, é uma constante
característica do componente, assim, ela vai depender de
certos fatores próprios do capacitor.
A área das armaduras, por exemplo, influi na capacitância,
que é tanto maior quanto maior for o valor desta área.
A espessura do dielétrico é um outro fator que influi na
capacitância. Verifica-se que quanto menor for a distância
d entre as armaduras maior será a capacitância C do
componente.
Transdutores capacitivos

Aplicações
Sensores de Proximidade
Transdutores de Pressão
Transdutores de Fluxo
Transdutores de Nível de Líquido
Transdutores de Deslocamento
 Transdutores de Aceleração
 Transdutores de Posição Angular ou Linear
 Transdutores de Espessura
Transdutores capacitivos
Aplicações – sensor de pressão


Este tipo de sensor resume-se
na deformação, diretamente
pelo processo de uma das
armaduras do capacitor.
Tal deformação altera o valor
da capacitância total que é
medida por um circuito
eletrônico.
Transdutores indutivos
Fornecem uma alteração da Indutância ou do acoplamento
magnético entre bobinas de um transformador em resposta
ao estímulo
Alteração da
relutância
magnética
INDUTOR OU
TRANSFORMADOR
 Indutância
ou
 Acoplamento
Magnético
Transdutores indutivos
Lei de Faraday


A lei de Faraday ou lei da indução eletromagnética, é uma lei da
física que quantifica a indução eletromagnética, que é o efeito da
produção de corrente elétrica em um circuito colocado sob efeito
de um campo magnético variável ou por um circuito em
movimento em um campo magnético constante.
É a base do funcionamento dos alternadores, dínamos e
transformadores.
Transdutores indutivos
Aplicações


O sensor indutivo, também conhecido como sensor de proximidade, é
capaz de detectar a presença de um objeto metálico quando este
estiver a uma determinada distância da sua face (distância sensora).
Seu princípio de funcionamento, é baseado na geração de um campo
eletromagnético de alta freqüência, que é desenvolvido por uma
bobina instalada na face sensora.
Transdutores indutivos
Aplicações

Radares
Os sensores funcionam em conjunto, criando um campo
eletromagnético.
Como os veículos são compostos por elementos
ferromagnéticos, os sensores são afetados por eles.
Transdutores indutivos
LVDT
Os LVDT (linear variable differential
transformer) são sensores para medição de
deslocamento linear.
O funcionamento desse sensor é baseado
em três bobinas e um núcleo cilíndrico de
material ferromagnético de alta
permeabilidade.
Ele dá como saída um sinal linear,
proporcional ao deslocamento do núcleo,
que está fixado ou em contato com o que se
deseja medir.
Transdutores indutivos
LVDT
A bobina central é chamada de primária e
as demais são chamadas de secundárias.
O núcleo é preso no objeto cujo
deslocamento deseja-se medir e a
movimentação dele em relação às
bobinas é o que permite esta medição.
Transdutores indutivos
LVDT

A amplitude da tensão de saída é proporcional a distância movida pelo
núcleo (até o seu limite de curso), sendo por isso a denominação "linear"
para o sensor.
Assim, a fase da tensão indica a direção do deslocamento.
Medições elétricas

Medição de tensão
Medições elétricas

Medição de corrente
Medições elétricas

Medição de resistência
Ponte de Wheatstone

A ponte de Wheatstone é um circuito elétrico usado como medidor de
resistências elétricas. Foi inventado por Samuel Hunter Christie em 1833,
porém foi Charles Wheatstone quem ficou famoso com o invento, tendoo descrito dez anos mais tarde.
O circuito é composto por:
 uma fonte de tensão,
 um galvanômetro e
 uma rede de quatro resistores, sendo
três destes conhecidos.
Para determinar a resistência do resistor
desconhecido os outros três são ajustados
e balanceados até que a corrente elétrica
no galvanômetro caia a zero.
Ponte de Wheatstone
Para calcular o valor da resistência
elétrica (dado em OHMs) do
resistor desconhecido (Rx) basta
fazer a relação de
proporcionalidade.
Como os três resistores
encontram-se associados em
paralelo, pode-se fazer a relação:
R1 . R3 = Rx . R2
Se já houver três valores de
resistência conhecidos então fica
fácil determinar o oculto.
Ponte de Wheatstone
Aplicação
LDR
Ponte de Wheatstone
Aplicação
Extensômetria
HB M
Trabalho – Extra aula
A nota deste trabalho será somada a nota
dos relatórios de aula prática
Trabalho individual para entregar até dia 5 de julho
Descrever em um texto técnico os Sistemas de Medição
que tenham determinados princípios de funcionamento.
O texto deve ter introdução, os SM, esquemas, formulações matemáticas, figuras
uma conclusão e bibliografia utilizada.
Ex: RTD (Tipo de medição: temperatura , transdutor: resistivo)
Engenheirando (a)
ALBERT WONSTTRET DE FARIA
ALEXANDRE ANDRADE PEREIRA
ARTUR HENRIQUE KOWALCZUK BACILLA
AUGUSTO LOPES KOERICH
BRUNO SATORU PEREIRA
CAMILA MIRAGLIA RIBEIRO
CAMILLA HOLZLSAUER MARINHO SANTOS
CARLOS ANTONIO FERREIRA DA COSTA JUNIOR
DANIEL TRENTO OTTO
DANIEL ZAGONEL XAVIER DA SILVA
DEYVID CARNIEL VARGAS
DIEGO RUIZ PALOMA
Tipo de medição:
temperatura
torque
força
temperatura
massa
força
massa
torque
rotação de eixo
força
pressão
torque
Transdutor:
resistivo
capacitivo
resistivo
mecânico
resistivo
capacitivo
mecânico
piezoelétrico
estroboscópico
piezoelétrico
potenciométrico
resistivo
Próxima aula:
Aula prática no Laboratório de Metrologia e no Laboratório de
Usinagem.
Grupo A:
Labmetro: 21/06 (16:30h às 17:30h) e
Labusig: 28/06 (16:30h às 17:30h)
de ALBERT WONSTTRET DE FARIA até FELIPE DE LIMA FELCAR
Grupo B:
Labmetro: 21/06 (17:30h às 18:30h) e
Labusig: 28/06 (17:30h às 18:30h)
de FELIPE HENRIQUE RAVAGLIO PASQUINI até JEAN HAMAMOTO
Grupo C:
Labusig: 21/06 (16:30h às 17:30h) e
Labmetro: 28/06 (16:30h às 17:30h)
JESSICA VALESCA MELO LEMES até MARLUS RAFAEL BIALLY
Grupo D:
Labusig: 21/06 (17:30h às 18:30h) e
Labmetro: 28/06 (17:30h às 18:30h)
MATEUS ZANLORENZI até WILLIAM SILVA MARTINS
Qualquer dúvida !!!
Entre no site:
www.metrologia.ufpr.br
Bibliografia:
DOEBELIN, E., Measurement Systems - Application and Design, Ed.
McGraw Hill 4th Edition, 1992.
BALBINOT, A.; BRUSAMARELLO, V. J.; Instrumentação e fundamentos
de medidas, volume 1 e 2, 2010.
HOLMAN, J. P.; Experimental Methods for Engineers; McGraw. McGraw
Hill, Inc