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Ano Lectivo de 2014/2015
06 de Junho de 2015
1º Exame de Mecânica Aplicada II
Este exame é constituído por 4 perguntas e tem a duração de três horas.
Justifique convenientemente todas as respostas apresentando cálculos intermédios.
Responda a cada pergunta em folhas separadas.
Pergunta 1
(5 Val.)
A barra AB roda com uma velocidade angular constante
de 2 rad/s no sentido anti-horário. Por sua vez, o colar C,
com uma massa de 1 kg e ligado pelo cabo inextensível
BC à extremidade B da barra, desliza livremente ao longo
do veio horizontal. Para o instante representado na figura
ao lado:
a) Determine a velocidade do colar C. [2 Val.]
b) Mostre que a aceleração do colar C é nula. [2 Val.]
c) Assim sendo, calcule a tensão no cabo BC. [1 Val.]
Pergunta 2
(5 Val.)
A partícula de massa m e velocidade inicial v colide com
a extremidade B da barra AB, a qual tem massa M e
comprimento L, e pode rodar livremente em torno de A,
encontrando-se inicialmente em repouso. A seguir ao
impacto a massa m adere à extremidade B da barra AB,
formando um conjunto rígido. De acordo com a figura ao
lado, onde g representa a aceleração da gravidade:
a) Mostre que a velocidade angular do conjunto, logo
após o choque, é dada por 𝜔 =
√2 3𝑚𝑣
2 (3𝑚+𝑀)𝐿
.
[2 Val.]
b) Determine a menor velocidade inicial v da massa m para que o conjunto atinja a posição vertical. [3 Val.]
Pergunta 3
As pás de uma ventoinha oscilante e o rotor do seu motor têm uma massa total de
250 g e raios de giração combinados kx = 40 mm e ky = 60 mm, respetivamente
em relação aos eixo x e y. Estão suportados por dois rolamentos em A e B que
distam 125 mm entre si e rodam com uma velocidade angular ω1 = 1800 rpm.
Considerando os eixos representados na figura, determine para a situação em que
o suporte do motor exibe uma velocidade angular ω2 = 0,6 rad/s segundo o sentido
positivo do eixo y:
a) O momento angular em relação ao centro de massa, o qual se localiza na
origem dos eixos e é equidistante dos pontos A e B. [1 Val.]
b) A taxa de variação do momento angular em relação ao centro de massa. [1 Val.]
c) As reações dinâmicas em A e B. [3 Val.]
(5 Val.)
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Pergunta 4
(5 Val.)
Considere a transformação de coordenadas de (x, y) para (, ) definida para x  0 por: {
𝑥=
𝑦=
𝛼 2 +𝛽 2
2
𝛽 2 −𝛼2
2
Determine:
a) As matrizes da transformação directa e inversa. [1 val.]
b) Os vectores das bases natural e dual de (,  em (x, y). [1 val.]
c) As matrizes da métrica covariante e contravariante de (, . [1 val.]
d) As componentes contravariantes em (,  do vector polar absoluto cujas componentes cartesianas são:
2
𝑉 𝑖 = [ ]. [1 val.]
1
e) As componentes covariantes do vector 𝑊 𝑖´ = [2], cujo ponto de aplicação é (, ). [1 val.]
3
________________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________
Formulário
Barra esbelta:
𝐼=
𝑀𝐿2
3
𝐼̅ =
𝑀𝐿2
12
_______________________________________________________________________________________
Relações fundamentais da dinâmica:
∑ 𝐹⃗ = 𝑚𝑎
⃗⃗⃗⃗⃗
𝐺
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗̇
∑𝑀
𝐺 = 𝐻𝐺
_______________________________________________________________________________________
Lei de transformação tensorial:
𝑖 ′ 𝑖 ′
𝑖 ′
𝑖 ′
𝑗
𝑗
𝑖
1 ⋯ 𝑞
1
𝑝
1
𝑞
1⋯ 𝑞
𝑖
′
𝑇𝑗 1′ ⋯𝑗 𝑝′ = |𝑋|𝑘 𝑋𝑖 1 ⋯ 𝑋𝑖 𝑝 𝑋𝑗 1′ ⋯ 𝑋𝑗 𝑞′ 𝑇𝑗 1⋯𝑗 𝑝 , 𝑋 ≡ det (𝑋𝑖𝑖 )
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Resolução
Pergunta 1
a)
Velocidade do ponto B, notando que o ponto A se encontra no eixo de rotação:
Velocidade do ponto C, notando que existe uma restrição ao movimento de translação, horizontal (versor i):
Das componentes horizontal (versor i para a direita) e vertical (versor j para cima) desta equação obtém-se:
b)
Aceleração do ponto B, notando adicionalmente que a barra AB roda com velocidade angular constante:
Aceleração do ponto C, relembrando a restrição ao movimento de translação, horizontal (versor i):
Das componentes horizontal (versor i) e vertical (versor j) desta equação obtém-se:
c)
Encontrando-se o colar C em movimento (sem atrito) de translação e sendo a respetiva aceleração nula,
segundo a lei do movimento não existem forças aplicadas neste corpo, pelo que a tensão no cabo BC será
também nula.
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Pergunta 2
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Pergunta 3
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Pergunta 4
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