ISSN 2317-3300
Descobrindo o número π com geometria dinâmica
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Andréa Cardoso, José Carlos Souza Júnior, Marcelo M. A. Dias,
Mateus P. S. Lima, Jarne D. Ribeiro, Helen M. P. Oliveira, ,
Instituto de Ciências Exatas, UNIFAL-MG,
37130-000, Alfenas, MG
E-mail: [email protected],
[email protected]
Renata R. Marques,
Nathália P. O. Rocha
E.E. Dr. Emı́lio da Silveira
E-mail: [email protected],
[email protected]
Palavras-chave: Geometria Dinâmica, Número pi, Ensino.
Resumo: Estudantes do ensino médio tem uma visão bastante restrita do número π. Este
trabalho tem como objetivo apresentar os resultados de uma sequência didática aplicada a estudantes do primeiro ano do ensino médio de uma escola estadual, cujo foco central foi desenvolver
atividades potencialmente motivadoras para a compreensão do número π, através da razão entre
o perı́metro de uma circunferência e seu diâmetro, visando o reconhecimento de sua importância
histórica, sua aplicabilidade e a classificação deste número como um irracional, através da experimentação e visualização do método de Arquimedes para aproximação do comprimento da
circunferência por perı́metros de polı́gonos utilizando programas de geometria dinâmica.
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Introdução
No ensino fundamental, são estudadas as fórmulas C = 2πr, para o cálculo do perı́metro de
uma circunferência de raio r, e A = πr2 , para o cálculo da área de um cı́rculo. Neste momento,
os estudantes experimentam seu primeiro contato com o número π. Entretanto, já no ensino
médio, o conhecimento que eles têm sobre o número π restringe-se a atribuir-lhe o valor de 3,14,
muitas vezes sem sequer relacioná-lo ao comprimento da circunferência.
Geômetras da antigüidade perceberam que o diâmetro de uma circunferência é proporcional
ao seu comprimento, mas foi Arquimedes, no século II a.C., que encontrou um método efetivo
utilizando polı́gonos inscritos e circunscritos à circunferência. Pelo método de Arquimedes é
possı́vel obter a constante de proporcionalidade, atualmente representada pela letra grega π,
com valor aproximado de 3,1416. O método proposto por Arquimedes deixa evidente que sempre
é possı́vel fazer aproximações melhores. Embora houvessem suspeitas de que o número π fosse
irracional, somente em 1761 Lambert demonstra que, de fato, π não pode ser escrito na forma
de fração entre números inteiros, isto é, possui uma expansão decimal infinita não periódica.
Entretanto, a verificação da irracionalidade de π é complicada para o ensino básico, visto que
no trabalho com medição de grandezas estão envolvidos somente números racionais, o que pode
constituir-se num obstáculo à aprendizagem. Por outro lado, a apresentação de situações de
aprendizagem apropriadas, onde seja possı́vel a experimentação e visualização de aproximações
sucessivas do valor de π utilizando calculadoras e computadores, podem suscitar nos estudantes
compreensão da existência e da necessidade dos números irracionais.
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O presente trabalho foi realizado com apoio do Programa Institucional de Bolsa de Iniciação à Docência
(PIBID), da Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nı́vel Superior (CAPES), Brasil
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O objetivo deste trabalho é apresentar os resultados de uma situação didática que busca
proporcionar aos estudantes do ensino médio uma melhor compreensão do número π, como a
razão entre o comprimento de uma circunferência e seu diâmetro, e utilizando a experimentação
e visualização com programas de geometria dinâmica. Após o desenvolvimento da atividade,
espera-se que o estudante seja capaz de reconhecer a importância histórica e a aplicabilidade do
número π, bem como classificá-lo como um número irracional.
Os programas de geometria dinâmica foram projetados para permitir construções geométricas
rápidas e precisas, mantendo as propriedades geométricas iniciais dos objetos construı́dos invariantes por manipulação de quaisquer de seus elementos, permitindo assim, a percepção de padrões
levando o aprendiz a formular conjecturas e testá-las no próprio ambiente computacional. O
programa computacional GeoGebra é um software livre com com comandos e documentação
em português que reúne geometria, álgebra e cálculo. O aplicativo permite realizar construções
com pontos, vetores, segmentos, retas, seções cônicas e funções que podem ser manipulados
dinamicamente, como qualquer outro programa de geometria dinâmica onde também é possı́vel
inserir equações e coordenadas diretamente. A utilização da tecnologia como apoio ao trabalho
docente contribui significativamente no processo de construção do conhecimento, considerando
que o aprender segundo Versuti (2004) é um processo ativo e dinâmico, no qual os atores organizam novas informações, utilizando o pensamento crı́tico e criativo, sendo estimulados por tarefas
desafiadoras e relevantes, a partir de um contexto que envolva o conhecimento de conceitos do
cotidiano e que precede uma situação de aprendizagem.
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Metodologia
A atividade de intervenção foi proposta a três turmas de primeiro ano do ensino médio da
Escola Estadual Dr. Emı́lio da Silveira (Alfenas-MG), totalizando 74 estudantes, como parte das
atividades desenvolvidas no Programa Institucional de Bolsas de Iniciação à Docência (PIBID),
tendo como caracterı́stica marcante a docência compartilhada.
O desenvolvimento da atividade ocorreu em três momentos. Na primeira etapa, os aprendizes
foram divididos em grupos e realizaram medições do comprimento C da circunferência e o
diâmetro D utilizando objetos circulares, régua, barbante, tesoura e esquadro. Em seguida
C
. A
organizaram os dados obtidos em uma tabela contendo os valores de C, D e o quociente D
preocupação primeira foi levar os estudantes a compreenderem o conceito do número π como
uma constante que surge naturalmente na divisão do comprimento da circunferência pelo seu
diâmetro. Na segunda etapa, foi apresentado um breve histórico relatando o aparecimento do
valor dessa divisão em diferentes épocas e povos. Na terceira etapa, o programa de geometria
dinâmica GeoGebra foi utilizado para reproduzir o método de Arquimedes e obter o comprimento
de uma circunferência a partir de aproximações sucessivas obtidas pelo cálculo do perı́metro de
polı́gonos inscritos e circunscritos à circunferência.
Figura 1: Polı́gonos de 3, 6 e 12 lados inscritos e circunscritos à circunferência.
Durante a atividade computacional de experimentação e visualização, notou-se que pelo
método desenvolvido por Arquimedes é possı́vel obter aproximações do valor de π tão precisas
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quanto desejarmos, bastando aumentar continuamente o número de lados dos polı́gonos inscritos
e circunscritos. Neste etapa os estudantes observaram e anotaram o perı́metro do polı́gono inscrito e do polı́gono circunscrito para polı́gonos de 3, 6, 12, 24, 48 e 96 lados, também calcularam
o erro e fizeram hipóteses quanto ao comprimento estimado da circunferência. A partir destas
observações, foram capazes de encontrar uma aproximação para o número π, fazendo a conexão
das descobertas desta com aquelas da primeira etapa.
A avaliação da sequência didática foi realizada através da observação da receptividade, do
envolvimento dos alunos na atividade e pela análise do questionário de avaliação diagnóstica
aplicado no inı́cio e no final da intervenção, versando sobre as seguinte questões: 1) Você conhece
o número π?; 2) Quem inventou o π?; 3) Qual o valor de π?; 4) Você considera importante
conhecer este número?; 5) Quais os profissionais utilizam o número? No questionário final
somente a primeira questão 1 foi alterada por Qual a importância do numero π?
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Resultados e Considerações Finais
Os estudantes mostram-se bastante entusiasmados com a atividade. Na avaliação diagnóstica
inicial, 95,8% dos estudantes declararam conhecer o número π, no entanto apenas 4,2% reconheceram este número como irracional. 70,8% consideraram importante o conhecimento deste
número e 96% não reconheceram a utilização do π fora da própria Matemática. Após a intervenção, 79% foram capazes de listar outros profissionais, distintos dos professores de matemática,
que fazem uso do π em suas atividades. Na análise do questionário inicial, 12,5% responderam
“outros”, para a questão 3, sem maiores explicações. Já no questionário final, 25% declararam
“outros”justificando que o número π não foi “inventado”e compreenderam que foi o resultado
de vários séculos de estudo e descobertas.
Figura 2: Gráficos das respostas às questões 2 e 5.
A utilização do aplicativo computacional como ferramenta auxiliar na visualização e experimentação do conceito de aproximação do comprimento da circunferência por perı́metros de
polı́gonos, contribuiu decisivamente para a compreensão do número π como um número irracional cujo valor pode ser apenas aproximado e que a aproximação pode ser obtida com erro tão
pequeno quanto se queira. A atividade favoreceu o pensar matemático propiciando o desenvolvimento de habilidades para formular hipóteses, testá-las e elaborar argumentações, de maneira
paulatina a partir do concreto com atividades que despertem o interesse do educando.
Referências
[1] E. L. Lima, O que é o número π?, Revista do Professor de Matemática, 6 (1985), 21-24.
[2] G. R. Palis, Comprimento da circunferência no ensino fundamental, Revista do Professor
de Matemática, 14 (1989), 29-36.
[3] A. C. Versuti, “Educação a distância: problematizando critérios de avaliação e qualidade
em cursos on-line”, Diferentes abordagens de EAD, 2004.
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