Redes de Bravais
Auguste Bravais
(1811-1863)
Rede de Bravais
• conjunto de pontos obtidos como combinação
linear inteira de vetores primitivos
R  n1a1  n2a2  n3a3 ,
(ni  Z )
• todos os pontos são equivalentes
Rede Triangular
Rede Honeycomb
vetores primitivos não são únicos
(ver A&M Fig. 4.4)
a2
a1
5 redes de
Bravais em 2D
rede cúbica simples (SC)
• fig 4.2
rede cúbica de corpo centrado
(BCC)
• 4.5 e 4.6 table 4.2
rede cúbica de face centrada
(FCC)
• 4.8 4.9 table 4.1
número de coordenação
• número de primeiros vizinhos (i.e. de
sítios mais próximos)
• SC = 6
• BCC = 8
• FCC = 12
célula unitária primitiva (CUP)
• volume que, transladado por todos os
vetores na rede de Bravais, enche todo o
espaço sem sobreposição
• não é única
• volume = Vtotal / NRB
• fig 4.10
célula unitária não-primitiva
(convencional)
• fig 4.12 e 4.13
célula de Wigner-Seitz
• única CUP com todas as simetrias
rotacionais e de reflexão da rede de
Bravais
• RBs en 2D
• 4.15 e 4.16
cristal real = rede de Bravais + base
Grafeno
RB: hexagonal
base: C + C
diamante
RB: FCC
base: 2 C
• 4.18
• table 4.3
C
Si
Ge
Zincblende
RB: FCC
base: Ga + As
• table 4.7
•  filme
(Zn,Fe)S
GaAs
NaCl
RB: FCC
base: Na + Cl
• Fig 4.24 Table 4.5
•  filme
CaO (cal virgem)
CsCl
RB: SC
base: Cs + Cl
• CsCl (4.25 Table 4.6)
•  filme
137CsCl
foi o material do acidente radioativo de Goiânia em 1987
CaF2 (Fluorita)
•  1 filme
principal fonte natural de F
RB: FCC
base: Ca + 2 F
TiO2 (Rutila)
 filme
RB: Tetragonal
base: 2 Ti + 4 O
Hexagonal Close-Packed (HCP)
• hcp (4.19 4.20 Table 4.4)
•  1 filme
Cubic Close-Packed (FCC)
• 4.8 table 4.1
•  1 filme
7 sistemas cristalinos em 3d
32 grupos pontuais em 3d
32 grupos
pontuais em 3d
já em 2d ...
• 4 sistemas cristalinos
quadrado
retângulo
• 10 grupos pontuais
hexágono
oblíquo
os 6 subgrupos do quadrado
os 8 subgrupos do hexágono
• o grupo do retângulo é o (2mm).
• o grupo da figura oblíqua é o (2).
as simetrias pontuais da célula de WS (com
a base) são as simetrias pontuais do cristal
• isso decorre da correspondência biunívoca:
(cristal) ↔ (célula de WS)
• aplicando ao cristal as operações de simetria da
célula o cristal fica invariante e portanto R  R´
(vetores da RB são mapeados em outros vetores da RB)
simetrias pontuais levam R em R´
grupo (2mm)