Teoria Básica dos
Campos de Radiação
Carlos Alexandre Wuensche
Processos Radiativos I
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Introdução
Problemas dependentes do tempo mostram a
dependência clara de fenômenos elétricos e
magnéticos - ELETROMAGNETISMO e não
ELETRICIDADE e MAGNETISMO
Campos variando no tempo dão origem a outros
campos, assim como o deslocamento de cargas...
Trataremos, por hora, do caso não-relativístico.
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Introdução
Uma partícula em movimento num campo
eletromagnético deve sofrer uma força produzida
por ambos os campos, a chamada Força de Lorentz:
v
� + �v × B)
�
F� = q(E
c
Podemos deduzir diretamente uma relação de balanço
entre a energia potencial elétrica e a energia cinética
da carga em movimento:
�
�v .F� = q�v .E
d 1
�
q�v .E = ( mv 2 )
dt 2
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A generalização da eq. de Lorentz para uma
distribuição contínua de cargas em movimento fica:
v
�
�
�
F = q(E + �v × B)
c
1 �
ρ = lim∆V →0
qi
∆V i
�
1
�j = lim∆V →0
qi vi
∆V i
sendo que os volumes devem ser menor do que o
volume total do espaço em que os campos estão sendo
medidos, mas muito maior do que o volume ocupado
por uma única partícula
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Eqs. de Maxwell (vácuo e meio
material)
� = 4πρe
∇•E
�
1
∂
B
� =−
∇×E
c ∂t
� =0
∇•B
�
4π
1
∂
E
� =
�je +
∇×B
c
c ∂t
� = 4πρe
� =0
∇•D
∇•B
�
�
∂
B
4π
1
∂
D
� =
� =
�j +
∇×E
∇×H
∂t
c
c ∂t
� = �E
�
D
� = µH
�
B
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Algumas consequências...
∂ρ
�
Conservação de carga
∇•j+
=0
∂t
Determinamos a densidade de energia e fluxo para o
campo eletromagnético usando a lei de Ampére e a
definição de trabalho por unidade de volume numa
distribuição de cargas para chegar no teorema de
Poynting
2
1
∂
B
c �
2
�+
�
�j • E
[�E +
] = −∇ • ( E × B)
8π ∂t
µ
4π
Energia do campo
Vetor de Poynting
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Ondas Eletromagnéticas Planas
�
∇•E
�
∂
B
�+
∇×E
∂t
= 0
= 0
� =0
∇•B
�
1
∂
E
�−
∇×B
=0
c ∂t
A partir destas equações, deduzimos as equações de
onda para os campos elétrico e magnético
2�
E
1
∂
2�
∇ E− 2 2
c ∂t
2�
1
∂
B
2�
∇ B− 2 2
c ∂t
=
0
=
0
A simetria entre as eqs. de onda vem da invariância
das Eqs. de Maxwell para as transformaçoes E → B e
B → - E acima
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Solução das eqs. de onda
i(�
�
E = â1 E0 e k•�r−ωt)
i(�
�
B = â2 B0 e k•�r−ωt)
Essas soluções são gerais e representam ondas planas
viajando na direção n e, superpondo essas soluções se
propagando em todas as direções do espaço podemos
construir a solução mais geral para as equações de
Maxwell no vácuo (sem fontes).
A substituição dessas soluções nas eqs. de Maxwell
nos dá:
i�k • â1 E0 = 0
i�k • â2 B0 = 0
i�k × â1 E0
=
iω
â2 B0
c
iω
�
ik × â2 B0 = − â1 E0
c
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A propagação da onda
a1 e a2 são perpendiculares à direção de propagação
a1, a2 e k formam uma tríade “horária” de vetores
mutuamente perpendiculares perpendiculares à
direção de propagação.
a1, a2 definem o plano de oscilação da onda EM.
Relacionamos E0 e B0 através das expressões:
ω
E0 =
B0
κc
E0
=
ω2
E0
κc
ω
B0 =
E0
κc
ω 2 = κ2 c2
Velocidade de fase:
vf ase
=
vgrupo
=
ω
κ
∂ω
∂κ
Velocidade de grupo:
Essas relações implicam que a amplitude dos campos
E e B é a mesma!
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O Espectro de Radiação
Depende da variação temporal de E.
Não existe um espectro “instantâneo”, sendo
necessário medir um trem de ondas ou a radiação de
um único ponto durante um intervalo de tempo
suficientemente longo para caracterizar um espectro.
Dado um tempo Δt, só podemos resolver o espectro
em frequências Δω tal que ΔtΔω > 1!
Considerando a radiação na forma de um pulso finito
(para o campo elétrico, já que o magnético se
comporta da mesma forma), podemos representar E
(t) na forma de um “par de Fourier”.
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Ê(ω)
E(t)
=
=
1
2π
1
2π
�
+∞
−∞
� +∞
E(t)eiωt dt
Ê(ω)eiωt dω
−∞
E(ω) contém toda a informação de
frequência de E(t)!
A energia carregada por essa onda pode ser
expressa em termos do vetor de Poynting:
dW
c 2
=
E (t)
dAdt
4π
E pode-se mostrar que essa expressão é
equivalente, usando o teorema de Parseval, a
dW
= cÊ 2 (ω)
dAdω
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Obtendo a média do espectro de potência
t=1
t = 16
t = 64
t=4
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