Luiz Rijo
Cálculo de
Uma Variável
com
Mathematica
Vol. 2
X udv = uv ? X vdu
CAPÍTULO 1
Aplicações da Integral
Iniciar o MathKernel
In[1]:=
Out[1]=
2+2
4
1.1 Comprimento de arco
Fórmula do comprimento de arco no intervalo [a, b]
b è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!2!!
s = Ÿ
1 + f ' HxL
a
Ÿa
Fórmula do comprimento de arco no intervalo [a, x]
s[x] =
x
x è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!2!!
1 + f ' HtL
t
Daqui e do Teorema Fundamental do Cálculo segue-se que
è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
s ' [x] = 1 + f ' HxL2
(1)
(2)
Observe que este resultado independe do ponto a particular, a partir do qual começamos a medir o comprimento do
arco. Se escolhessemos outro ponto c, em vez de a, isto só faria alterar a expressão (1) por uma constante aditivae
não mudaria a derivada (2).
EXEMPLO 1. (GA2, pág. 20) Vamos calcular o comprimento de arco dado por
f HxL = cosh x =
In[2]:=
H∗ Definição da função cosh x = H
x + −x
f@x_D :=
2
x
+
x
+
2
−x
−x Lê2
∗L
2
Rijo Cal 2 Capitulo 1.nb
In[18]:=
H∗ Gráfico da função f HxL ∗L
Plot@f@xD, 8x, 0, 3<, PlotRange → 80, 9<D;
8
6
4
2
0.5
In[3]:=
Out[3]=
In[4]:=
Out[4]=
1
1.5
2
2.5
3
H∗ Cálculo do arco aplicando a fórmula H1L ∗L
è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
IntegrateA 1 + f '@xD ^ 2 , 8x, 0, b<E
"#####################
Cosh@bD2 Tanh@bD
H∗ Cálculo do arco aplicando a fórmula H1L ∗L
è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
IntegrateA 1 + f '@xD ^ 2 , 8x, 0, b<E êê TrigToExp
H−
−b
"########################
+ b L H −b + b L2
−b
+ bL
2H
b
Simplificando esta expressão resulta
−
2
−b
Uma simples mudança de escala pode levar a um integrando que não se presta a um cálculo
tão fácil da integral. É o que acontece quando consideremos a função g HxL =
x
+ −x = 2 f HxL, com a qual obtemos , para o comprimento de arco a expressão
In[5]:=
Out[5]=
In[35]:=
H∗ Cálculo do arco aplicando a fórmula H1L ∗L
è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
IntegrateA 1 + 4 f '@xD ^ 2 , 8x, 0, b<E
$Aborted
H∗ Gráficos das funções f HxL e g HxL = 2 f HxL ∗L
Plot@8f@xD, 2 f@xD<, 8x, 0, 3<, PlotRange → 80, 9<,
PlotStyle −> 8RGBColor@1, 0, 0D, RGBColor@0, 0, 1D<D;
8
6
4
2
0.5
1
1.5
2
2.5
3
Rijo Cal 2 Capitulo 1.nb
In[6]:=
Out[6]=
3
H∗ Cálculo numérico do arco aplicando a fórmula H1L ∗L
è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
NIntegrateA 1 + 4 f '@xD ^ 2 , 8x, 0, 2<E
6.11256
Nintegrate[f, {x, xmin, xmax}] calcula o valor numérico aproximado da integral de f com respeito à
variável x no intervalo xmin, xmax.
EXEMPLO 2. Vamos calcular o comprimento de uma circunferência de raio r, que supomos centrada na rigem dos
è!!!!!!!!!!!!!!!!
eixos de coordenadas. Para isso basta tomasr o dobro do comprimento da semicircunferência dada por y = r2 - x2 ,
-r § x § r, que jaz no semiplano superior y ¥ 0.
In[49]:=
In[51]:=
H∗ Definição da função y HxL =
Clear@x, y, rD;
è!!!!!!!!!!!!!!!!!!
y@x_D := r2 − x2
è!!!!!!!!
!!!!!!!!!!
r2 − x2 ∗L
H∗ Gráfico da semicircunferência de raio r = 3 ∗L
r = 3;
Plot@y@xD, 8x, −3, 3<D;
3
2.5
2
1.5
1
0.5
-3
In[38]:=
Out[38]=
-2
-1
1
2
3
H∗ Cálculo do arco aplicando a fórmula H1L ∗L
è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
4 IntegrateA 1 + y '@xD ^ 2 , 8x, 0, r<, Assumptions → r > 0E
2πr
EXEMPLO 3. Seja calcular o comprimento do arco de curva y = x2ê3 , 0 ≤ x ≤ 1, ilustrado na figura
abaixo
In[21]:=
H∗ Definição da função y HxL = x2ê3 ∗L
Clear@x, yD;
y@x_D := x2ê3
4
Rijo Cal 2 Capitulo 1.nb
In[11]:=
H∗ Gráfico da função y = x2ê3 ∗L
Plot@y@xD, 8x, 0, 1<D;
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0.2
In[24]:=
Out[24]=
In[13]:=
Out[13]=
0.4
0.6
0.8
1
H∗ Cálculo do arco aplicando a fórmula H1L ∗L
è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
IntegrateA 1 + y '@xD ^ 2 , 8x, 0, 1<E
1
è!!!!!!
I−8 + 13 13 M
27
H∗ Valor numérico do resultado anterior ∗L
N@%D
1.43971
Exercícios
Calcule os comprimentos de arco das curvas dadas nos Exercícios 1 a 12,
e faça os gráficos.
1. y = x3ê2 , 0 § x § 3.
In[25]:=
In[18]:=
H∗ Definição da função y HxL = x3ê2 ∗L
Clear@x, yD;
y@x_D := x3ê2
H∗ Gráfico da função y = x3ê2 ∗L
Plot@y@xD, 8x, 0, 3<D;
5
4
3
2
1
0.5
In[27]:=
Out[27]=
1
1.5
2
2.5
3
H∗ Cálculo do arco aplicando a fórmula H1L ∗L
è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
IntegrateA 1 + y '@xD ^ 2 , 8x, 0, 1<E
1
è!!!!!!
I−8 + 13 13 M
27
2. y = Hx + 1L3ê2 , 1 § x § 5.
Rijo Cal 2 Capitulo 1.nb
In[31]:=
In[36]:=
5
H∗ Definição da função y HxL = Hx+1L3ê2 ∗L
Clear@x, yD;
y@x_D := Hx + 1L3ê2
H∗ Gráfico da função y = Hx + 1L3ê2 ∗L
Plot@y@xD, 8x, 1, 5<, PlotRange → 80, 16<D;
16
14
12
10
8
6
4
2
2
In[34]:=
Out[34]=
3
4
5
H∗ Cálculo do arco aplicando a fórmula H1L ∗L
è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
IntegrateA 1 + y '@xD ^ 2 , 8x, 1, 5<E
−
2
è!!!!!!
è!!!!!!
I11 22 − 29 58 M
27
3. Hx - 1L2 = Hy + 1L3 , 0 § x § 1.
In[9]:=
In[4]:=
H∗ Definição da função y HxL = Hx−1L2ê3 − 1 ∗L
Clear@x, yD
y@x_D := Hx + 1L2ê3 − 1
H∗ Gráfico da função y = Hx + 1L3ê2 ∗L
Plot@y@xD, 8x, 0, 1<, PlotRange → 80, 1<D;
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0.2
In[66]:=
Out[66]=
0.6
0.8
1
H∗ Cálculo do arco aplicando a fórmula H1L ∗L
è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
IntegrateA 1 + y '@xD ^ 2 , 8x, 0, 1<E êê FullSimplify
3ê2
1
è!!!!!!
I−13 13 + 2 H9 + 2 21ê3 L M
27
4. y = ln x, 1 § x § 2.
In[72]:=
0.4
H∗ Definição da função y HxL = ln x ∗L
Clear@x, yD;
y@x_D := Log@xD
6
Rijo Cal 2 Capitulo 1.nb
In[69]:=
H∗ Gráfico da função y = ln x ∗L
Plot@y@xD, 8x, 1, 2<D;
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
1.2
In[81]:=
Out[81]=
1.4
1.6
1.8
2
H∗ Cálculo do arco aplicando a fórmula H1L ∗L
è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
IntegrateA 1 + y '@xD ^ 2 , 8x, 1, 2<E êê FullSimplify
è!!! è!!!
− 2 + 5 − ArcCsch@2D + ArcSinh@1D
5. y = ln cos x, 0 § x § p ê 4.
In[95]:=
In[84]:=
H∗ Definição da função y HxL = ln cos x ∗L
Clear@x, yD;
y@x_D := Log@Cos@xDD
H∗ Gráfico da função y = ln cos x ∗L
Plot@y@xD, 8x, 0, π ê 4<D;
-0.05
-0.1
-0.15
-0.2
-0.25
-0.3
-0.35
In[107]:=
Out[107]=
In[108]:=
Out[108]=
0.2
0.4
0.8
H∗ Cálculo do arco aplicando a fórmula H1L ∗L
è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
IntegrateA 1 + y '@xD ^ 2 , 8x, 0, π ê 4<E
2 ArcTanhATanA
π
EE
8
N@Log@Tan@3 π ê 8DDD
N@%D
True
6. y = lnH1 - x2 L, -1 ê 2 § x § 1 ê 2.
In[109]:=
0.6
H∗ Definição da função y HxL = ln H1 − x2 L ∗L
Clear@x, yD;
y@x_D := Log@1 − x2 D
Rijo Cal 2 Capitulo 1.nb
In[111]:=
7
H∗ Gráfico da função y = ln H1 − x2 L ∗L
Plot@y@xD, 8x, −1 ê 2, 1 ê 2<D;
-0.4
-0.2
-0.05
0.2
0.4
-0.1
-0.15
-0.2
-0.25
In[112]:=
Out[112]=
H∗ Cálculo do arco aplicando a fórmula H1L ∗L
è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
IntegrateA 1 + y '@xD ^ 2 , 8x, −1 ê 2, 1 ê 2<E
−1 + Log@9D
7. y = ÅÅÅÅ13 Hx2 + 2L , -1 § x § 1.
3ê2
In[113]:=
H∗ Definição da função y HxL = 1ê3 Hx2 + 2L
Clear@x, yD;
3ê2
∗L
y@x_D := 1 ê 3 Hx2 + 2L
3ê2
In[115]:=
H∗ Gráfico da função y = 1ê3 Hx2 + 2L
Plot@y@xD, 8x, −1, 1<D;
3ê2
∗L
1.6
1.4
1.2
-1
In[116]:=
Out[116]=
-0.5
0.5
1
H∗ Cálculo do arco aplicando a fórmula H1L ∗L
è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
IntegrateA 1 + y '@xD ^ 2 , 8x, −1, 1<E
8
3
8. y = ÅÅÅÅ23 Hx2 + 1L , -2 § x § 0.
3ê2
In[11]:=
H∗ Definição da função y HxL = 2ê3 Hx2 + 1L
Clear@x, yD;
3ê2
y@x_D := 2 ê 3 Hx2 + 1L
3ê2
∗L
8
Rijo Cal 2 Capitulo 1.nb
H∗ Gráfico da função y = 2ê3 Hx2 + 1L
Plot@y@xD, 8x, −2, 0<D;
3ê2
In[13]:=
∗L
7
6
5
4
3
2
1
-2
-1.5
-1
-0.5
H∗ Cálculo do arco aplicando a fórmula H1L ∗L
è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
IntegrateA 1 + y '@xD ^ 2 , 8x, −2, 0<E
In[14]:=
22
3
Out[14]=
2
x
ln x
ÅÅ - ÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅ , 1 § x § 2.
9. y = ÅÅÅÅ
2
4
In[17]:=
In[19]:=
H∗ Definição da função y HxL = x2 ê2 − ln xê4 ∗L
Clear@x, yD;
y@x_D := x2 ê 2 − Log@xD ê 4
H∗ Gráfico da função y = x2 ê2 − ln xê4 ∗L
Plot@y@xD, 8x, 1, 2<D;
1.8
1.6
1.4
1.2
1.2
1.4
1.6
1.8
2
0.8
0.6
In[20]:=
H∗ Cálculo do arco aplicando a fórmula H1L ∗L
è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
IntegrateA 1 + y '@xD ^ 2 , 8x, 1, 2<E
1
H6 + Log@2DL
4
Out[20]=
3
x
1
10. y = ÅÅÅÅ
ÅÅ + ÅÅÅÅ
ÅÅÅÅ , 1 § x § 3.
3
4x
In[17]:=
H∗ Definição da função y HxL = x3 ê3 + 1ê4 x ∗L
Clear@x, yD;
y@x_D := x3 ê 3 + 1 ê H4 xL
Rijo Cal 2 Capitulo 1.nb
In[21]:=
9
H∗ Gráfico da função y = x3 ê3 + 1ê4 x ∗L
Plot@y@xD, 8x, 1, 3<D;
4
3
2
1
1.5
In[22]:=
Out[22]=
2
2.5
H∗ Cálculo do arco aplicando a fórmula H1L ∗L
è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
IntegrateA 1 + y '@xD ^ 2 , 8x, 1, 3<E
4+
è!!!!
Log@3D
4
11. y = ÅÅÅÅ2ÅÅÅÅx ÅÅ - ÅÅÅÅ23 x3ê2 , 1 § x § 3.
In[27]:=
H∗ Definição da função y HxL =
Clear@x, yD;
è!!!!
y@x_D := x ë 2 − H2 ê 3L x3ê2
In[29]:=
3
H∗ Gráfico da função y =
Plot@y@xD, 8x, 1, 3<D;
1.5
2
è!!!
x ë2 − H2ê3L x3ê2 ∗L
è!!!
x ë2 − H2ê3L x3ê2 ∗L
2.5
3
-0.5
-1
-1.5
-2
-2.5
In[30]:=
Out[30]=
H∗ Cálculo do arco aplicando a fórmula H1L ∗L
è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
IntegrateA 1 + y '@xD ^ 2 , 8x, 1, 3<E
−
è!!!
7
5 3
+
6
2
12. y = ‰x , -1 § x § 1.
In[33]:=
H∗ Definição da função y HxL =
Clear@x, yD;
y@x_D := x
x
∗L
10
Rijo Cal 2 Capitulo 1.nb
In[35]:=
H∗ Gráfico da função y =
Plot@y@xD, 8x, −1, 1<D;
x
∗L
2.5
2
1.5
1
0.5
-1
In[37]:=
Out[37]=
-0.5
0.5
1
H∗ Cálculo do arco aplicando a fórmula H1L ∗L
è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
IntegrateA 1 + y '@xD ^ 2 , 8x, −1, 1<E êê Simplify
è!!!!!!!!!!!!2!
−
1+
è!!!!!!!!!!!!2!
1+
è!!!!!!!!!!!!!
− ArcTanhA 1 + 2 E + ArcTanhA
è!!!!!!!!!!!!2!
1+
E
1.2 Volume de sólidos de revolução
Fórmulas do volume dos sólidos de revolução
2
Ÿa π f HxL
b
V =
2
Ÿa π f HyL
x
(3)
y
(4)
b
V =
Na fórmula (3) a rotação é em torno do eixo 0x e na fórmula (4) a rotação se faz em torno do eixo 0y.
è!!!!!!!!
!!!!!!!!!!
r2 − x2 ∗L
EXEMPLO 1. (GA2, pág. 6) Vamos utilizar o método de revolução para calcular o volume da esfera de raio r.
In[112]:=
H∗ Definição da função y HxL =
Clear@x, y, rD;
è!!!!!!!!!!!!!!!!!!
f@x_D := r2 − x2
Rijo Cal 2 Capitulo 1.nb
In[117]:=
11
H∗ Gráfico da semicircunferência de raio r = 3 ∗L
r = 3;
Plot@f@xD, 8x, −3, 3<D;
3
2.5
2
1.5
1
0.5
-3
In[119]:=
Out[120]=
-2
-1
1
2
3
H∗ Volume da esfera de raio r pela fórmula H3L ∗L
Clear@rD
Integrate@π f@xD2 , 8x, −r, r<D
4 π r3
3
EXEMPLO 2. (GA2, pág. 7) Vamos achar o volume do sólido que se obtém por rotação, em torno do eixo dos y,
è!!!!!
da figura delineada pelo arco de parábola y = x ( 0 § x § 4), o eixo ) y e a reta y = 2. Neste caso, como se trata de
sólido de revolução em torno do eixo 0y deve-se usar a fórmula (4).
In[2]:=
H∗ Gráfico da da função y=
è!!!!
f@x_D := x
Plot@f@xD, 8x, 0, 4<D;
è!!!
x ∗L
2
1.5
1
0.5
1
In[42]:=
Out[43]=
2
3
4
H∗ Volume do sólido de revolução pela fórmula H4L ∗L
Integrate@π f@yD2 , 8y, 0, 2<D
32 π
5
EXEMPLO 3. (GA2, pág. 7) Consideremos o sólido obtido por rotação em torno do eixo Oy, da figura compreenè!!!!
dida entre o arco de parábola y = x (0 § x § 4), o eixo Ox e a reta x = 4.(4).
O volume desse sólido é a diferença entre o volume do cilindro circular de raio 4 e altura h = 2, e o volume do s[olido
considerado no exemplo anterior. Portanto
12
Rijo Cal 2 Capitulo 1.nb
In[52]:=
Out[54]=
H∗ Volume do sólido de revolução ∗L
r = 4;
h = 2;
π r2 h − 32 π ê 5
128 π
5
Método das cascas cilíndricas
Fórmula do volume dos sólidos de revolução pelo método das cascas cilíndricas
b
V = Ÿ 2 π x f HxL x
a
(5)
EXEMPLO 4. (GA2, pág. 8) Vamos calcular o volume do sólido gerado por rotação, em torno do eixo 0x, da região
do plano 0xy delimitada pela curva y = 2x - x2 e o eixo 0x. Essa curva é o trecho da parábola y = 1 - Hx - 1L2 , que
começa na origem, atinge um máximo no ponto x = 1 e volta ao valor zero no ponto x = 2.
In[4]:=
H∗ Gráfico da da função y=
f@x_D := 2 x − x2
Plot@f@xD, 8x, 0, 2<D;
è!!!
x ∗L
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0.5
In[6]:=
Out[6]=
1
1.5
2
H∗ Volume do sólido de revolução pela fórmula H5L ∗L
Integrate@2 π x f@xD, 8x, 0, 2<D
8π
3
Exercícios
Em cada um dos exercícios 1 a 21, calcule o volume do sólido que se obtém por rotação dada em torno do eixo
indicado. Faça o gráfico em cada caso.
1. y = 3x/2, y = 0 e x =2, em volta de 0y.
Rijo Cal 2 Capitulo 1.nb
In[7]:=
13
H∗ Gráfico da função y = 3 xê2 ∗L
f@x_D := 3 x ê 2
Plot@f@xD, 8x, 0, 2<D;
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0.5
In[63]:=
Out[64]=
1
1.5
2
H∗ Volume do sólido de revolução pela fórmula H4L ∗L
f@y_D := 2 y ê 3
Integrate@π f@yD2 , 8y, 0, 3<D
4π
2. y = 1 - x2 , x = 0 e y = 0, em volta de 0x.
In[9]:=
H∗ Gráfico da função y = 1 − x2 ∗L
f@x_D := 1 − x2
Plot@f@xD, 8x, 0, 1<D;
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0.2
In[65]:=
Out[66]=
0.4
0.6
0.8
H∗ Volume do sólido de revolução pela fórmula H3L ∗L
f@x_D := 1 − x2
Integrate@π f@xD2 , 8x, 0, 1<D
8π
15
3. Mesma figura do exercício anterior, em volta de 0y.
In[67]:=
Out[68]=
1
H∗ Volume do sólido de revolução pela fórmula H4L ∗L
è!!!!!!!!!!!!!
f@y_D := 1 − y
Integrate@π f@yD2 , 8y, 0, 1<D
π
2
14
Rijo Cal 2 Capitulo 1.nb
In[43]:=
Out[44]=
H∗ Volume do sólido de revolução pela fórmula H5L ∗L
f@x_D := 1 − x2
Integrate@2 π x f@xD, 8x, 0, 1<D
π
2
4. y = x2 , x = 0 e y = 1, em volta de 0x.
In[21]:=
H∗ Gráfico da função y= x2 ∗L
f@x_D := x2
Plot@f@xD, 8x, 0, 1<D;
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0.2
In[32]:=
Out[33]=
0.4
0.6
0.8
1
H∗ Volume do sólido de revolução pela fórmula H3L ∗L
f@x_D := x3
π − Integrate@π f@xD2 , 8x, 0, 1<D
6π
7
5. Mesma figura do exercício anterior, em volta de 0y.
In[38]:=
Out[39]=
In[41]:=
Out[42]=
H∗ Volume do sólido de revolução pela fórmula H4L ∗L
f@y_D := y1ê3
Integrate@π f@yD2 , 8y, 0, 1<D
3π
5
H∗ Volume do sólido de revolução pela fórmula H5L ∗L
f@x_D := x3
π − Integrate@2 π x f@xD, 8x, 0, 1<D
3π
5
6. y = Hx + 1L1ê3 , x = 0, x = 7 e y = 0, em volta de 0x.
Rijo Cal 2 Capitulo 1.nb
In[61]:=
15
H∗ Gráfico da função y= Hx + 1L1ê3 ∗L
f@x_D := Hx + 1L1ê3
Plot@f@xD, 8x, 0, 7<D;
2
1.8
1.6
1.4
1.2
1
In[4]:=
Out[5]=
2
3
4
5
6
7
H∗ Volume do sólido de revolução pela fórmula H3L ∗L
f@x_D := Hx + 1L1ê3
Integrate@π f@xD2 , 8x, 0, 7<D
93 π
5
7. Mesma figura do exercício anterior, em volta de 0y.
In[84]:=
Out[85]=
In[71]:=
Out[72]=
H∗ Volume do sólido de revolução pela fórmula H4L ∗L
f@y_D := y3 − 1
Integrate@π f@yD2 , 8y, 1, 2<D
163 π
14
H∗ Volume do sólido de revolução pela fórmula H5L ∗L
f@x_D := Hx + 1L1ê3
98 π − Integrate@2 π x f@xD, 8x, 0, 7<D
163 π
14
8. y =1/x, y = 0, x = 1 e e x = a > 1, em volta de 0x. Considere este volume com a Ø ¶ dê uma interpretação
geométrica ao resultado. Considere, em seguida, o caso 0 < a < 1 e o limite com a Ø 0.
In[102]:=
H∗ Gráfico da função y = 1êx ∗L
f@x_D := 1 ê x
Plot@f@xD, 8x, 1, 4<D;
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
1.5
2
2.5
3
3.5
4
16
Rijo Cal 2 Capitulo 1.nb
In[91]:=
Out[92]=
In[93]:=
Out[93]=
H∗ Volume do sólido de revolução pela fórmula H4L ∗L
f@x_D := 1 ê x
Integrate@π f@xD2 , 8x, 1, a< , Assumptions → a > 1D
H−1 + aL π
a
Limit@%, a → ∞D
π
9. y = x-1ê3 , y = 0, x = 1 e e x = e (0 < e < 1), em volta de 0x. Considere este volume com e Ø 0 e interprete o
resultado geometricamente. Considere, também, o caso e >1 e o limite com e Ø ¶.
In[8]:=
H∗ Gráfico da função y = x−1ê3 ∗L
f@x_D := x−1ê3
Plot@f@xD, 8x, 0, 1<D;
10
8
6
4
2
0.2
In[13]:=
Out[14]=
In[15]:=
Out[15]=
In[16]:=
Out[16]=
In[17]:=
Out[17]=
10. y =
0.4
0.6
0.8
1
H∗ Volume do sólido de revolução pela fórmula H4L; 0 < ε < 1 ∗L
f@x_D := x−1ê3
Integrate@π f@xD2 , 8x, ε, 1< , Assumptions → 0 < ε < 1D
−3 π H−1 + ε1ê3 L
H∗ Limite quando ε → 0 ∗L
Limit@%, ε → 0D
3π
H∗ Volume do sólido de revolução pela fórmula H4L, ε > 1 ∗L
Integrate@π f@xD2 , 8x, 1, ε< , Assumptions → ε > 1D
3 π H−1 + ε1ê3 L
H∗ Limite quando ε → ∞ ∗L
Limit@%, ε → ∞D
∞
è!!!
x , x = 0 e y = 1, em volta de 0y.
Rijo Cal 2 Capitulo 1.nb
In[104]:=
17
H∗ Gráfico da função y =
è!!!!
f@x_D := x
Plot@f@xD, 8x, 0, 1<D;
è!!!
x ∗L
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0.2
In[90]:=
Out[91]=
In[106]:=
Out[107]=
0.4
0.6
0.8
1
H∗ Volume do sólido de revolução pela fórmula H4L ∗L
f@y_D := y2
Integrate@π f@yD2 , 8y, 0, 1<D
π
5
H∗ Volume do sólido de revolução pela fórmula H5L ∗L
è!!!!
f@x_D := x
π − Integrate@2 π x f@xD, 8x, 0, 1<D
π
5
11. y = x2 - x e y = 0, em volta de 0x.
In[108]:=
H∗ Gráfico da função y = x2 − x ∗L
f@x_D := x2 − x
Plot@f@xD, 8x, 0, 1<D;
0.2
0.4
0.6
0.8
1
-0.05
-0.1
-0.15
-0.2
-0.25
In[110]:=
Out[111]=
H∗ Volume do sólido de revolução pela fórmula H4L ∗L
f@x_D := x2 − x
Integrate@π f@xD2 , 8x, 0, 1<D
π
30
12. Mesma figura do exercício anterior, em volta de 0y.
18
Rijo Cal 2 Capitulo 1.nb
In[20]:=
Out[21]=
H∗ Volume do sólido de revolução pela fórmula H5L ∗L
f@x_D := x2 − x
π ê 4 − Integrate@2 π x f@xD, 8x, 0, 1<D
5π
12
In[26]:=
Out[26]=
In[31]:=
è!!!!!!!!!!!!!!2!
1 - x e y = 0, em volta de 0x.
è!!!!!!!!!!!!!!!!
H∗ Acha o ponto de interseção de y = x, y = 1 − x2 ∗L
è!!!!!!!!!!!!!!!
SolveAx == 1 − x2 , xE
13. y = x, y =
1
99x → è!!! ==
2
è!!!!!!!!!!!!!!!!
H∗ Gráfico das funções: y = 1 − x2 e y = x ∗L
è!!!!!!!!!!!!!!!
f@x_D := 1 − x2
è!!!!
PlotA8x, f@xD<, 9x, 0, 1 ë 2 =E;
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7
In[33]:=
Out[35]=
H∗ Volume do sólido de revolução pela fórmula H4L ∗L
è!!!!!!!!!!!!!!
f@x_D := 1 − x2
g@y_D := y
è!!!!
è!!!!
IntegrateAπ f@xD2 , 9x, 0, 1 ë 2 =E − IntegrateAπ g@xD2 , 9x, 0, 1 ë 2 =E
2π
è!!!
3 2
14. Mesma figura do exercício anterior, em volta de 0y.
In[41]:=
Out[43]=
H∗ Volume do sólido de revolução pela fórmula H4L ∗L
è!!!!!!!!!!!!!!
f@y_D := 1 − y2
g@x_D := y
Integrate@π f@yD2 , 8y, 0, 1<D − Integrate@π g@yD2 , 8y, 0, 1<D
π
3
15. y = sen x , 0 § x § p, em volta de 0x.
Rijo Cal 2 Capitulo 1.nb
In[46]:=
19
H∗ Gráfico da função y = sen x ∗L
f@x_D := Sin@xD
Plot@f@xD, 8x, 0, π<D;
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0.5
In[96]:=
Out[97]=
1
1.5
2
2.5
3
H∗ Volume do sólido de revolução pela fórmula H4L ∗L
f@x_D := Sin@xD
Integrate@π f@xD2 , 8x, 0, π<D
π2
2
16. Mesma figura do exercício anterior, em volta de 0y.
In[100]:=
Out[101]=
H∗ Volume do sólido de revolução pela fórmula H4L ∗L
f@y_D := ArcSin@yD
Integrate@π f@yD2 , 8y, 0, 1<D
1
π H−8 + π2 L
4
17. y = xn , y = 0 e x = 1, em volta de 0z, onde n é um inteiro positivo. Considere o limite desse volume com n Ø ¶ e
dê uma interpretação geométrica do resultado.em volta de 0x.
In[62]:=
H∗ Gráfico das funções y = x2 , y = x4 , y = x6 , y = x8 , y = x10 ∗L
Plot@8x2 , x4 , x6 , x8 , x10 <, 8x, 0, 1<D;
0.04
0.03
0.02
0.01
0.2
In[63]:=
Out[64]=
0.4
0.6
0.8
1
H∗ Volume do sólido de revolução pela fórmula H4L ∗L
f@x_D := xn
Integrate@π f@xD2 , 8x, 0, 1<, Assumptions → n > 1D
π
1+2n
20
Rijo Cal 2 Capitulo 1.nb
In[65]:=
Out[65]=
H∗ Limite quando n → ∞ ∗L
Limit@%, n → ∞D
0
18. y = 0, y = x2 e a reta tangente a esta curva em x = 1, em volta de 0x.
In[73]:=
H∗ Gráfico da funções y = x2 , y = 2 x −1 ∗L
Plot@8x2 , 2 x − 1<, 8x, 0, 1<, PlotRange → 80, 1<D;
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0.2
In[70]:=
Out[72]=
0.4
0.6
0.8
1
H∗ Volume do sólido de revolução pela fórmula H4L ∗L
f@x_D := x2 ;
g@x_D := 2 x − 1;
Integrate@π f@xD2 , 8x, 0, 1<D − Integrate@π g@xD2 , 8x, 1 ê 2, 1<D
π
30
19. Mesma figura do exercício anterior, em volta de 0y.
In[80]:=
Out[82]=
H∗ Volume do sólido de revolução pela fórmula H4L ∗L
è!!!!
f@y_D := y ;
g@y_D := Hy + 1L ê 2;
Integrate@π g@yD2 , 8y, 0, 1<D + Integrate@π f@yD2 , 8y, 0, 1<D − π
π
12
20. y = ‰x , y = 0, x = 0, e x = 1, em volta de 0x.
In[102]:=
Out[103]=
H∗ Volume do sólido de revolução pela fórmula H4L ∗L
f@x_D := x
Integrate@π f@xD2 , 8x, 0, 1<D
1
H−1 +
2
2
Lπ
21. Mesma figura do exercício anterior, em volta de 0y.
In[104]:=
Out[105]=
H∗ Volume do sólido de revolução pela fórmula H4L ∗L
f@y_D := Log@xD
Integrate@π f@yD2 , 8y, 1, <D
H−1 + L π Log@xD2
Rijo Cal 2 Capitulo 1.nb
21
22. Considere uma calota determinada numa esfera de raio r por um plano cuja distância ao centro da esfera é h < r.
Mostre que o volume da calota é
2pr
ph
ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅ - ÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅ - p r2 h.
3
3
2
3
1.3 Volume de um sólido qualquer
Fórmula do volume de um sólido qualquer
Ÿa
b
V =
A HxL x
Esta fórmula serve para exprimir o volume de qualquer sólido, desde que se conheça as áreas A(x) de suas seçõies
transversais, relativamente a um eixo 0x.
EXEMPLO 1. Vamos calcular o volume de um sólido cuja base é o círculo x2 + y2 § r2 e cujas seções perpendiculares ao eixo Ox são triângulos isósceles ABC, retângulos em A.
A área do tiângulo é dada por r2 - x2 .
In[83]:=
Out[84]=
H∗ Volume do sólido ∗L
A@x_D := r2 − x2
Integrate@A@xD, 8x, −r, r<D
4 r3
3
EXEMPLO 2. Neste exemplo vamos calcular o volume da interseção de dois cilindros circulares iguais, cujos eixos
se cruzam em ângulo reto.
A área do seção é dada por Hr2 - z2 L.
In[87]:=
Out[88]=
H∗ Volume do sólido ∗L
A@z_D := Hr2 − z2 L
4 Integrate@A@zD, 8z, −r, r<D
16 r3
3
Princípio de Cavalieri para volumes
Se dois sólidos são tais que, relativamente a um mesmo eixo 0x, suas seções transvwesais correspondentes à
mesma abscissa x têm áreas iguais A(x), então eles têm volumes iguais.
Princípio de Cavalieri para volume (forma geral). Consideremos dois sólidos de volumes V1 e V2 , respectivamente. Suponhamosque, Se dois relativamente a um mesmo eixo 0x, suas seções transvwesais correspondentes à
mesma abscissa x tenham áreas A1 (x) e A2 (x), repectivamente, tais que A1 (x) = k A2 (x), onde k é uma constante.
Então V1 = k V2 .
22
Rijo Cal 2 Capitulo 1.nb
Exercícios
Calcule o volume dos sólidos descritos nos Exercícios 1 a 6.
1. A base do sólido é o triângulo 0 § y § 1, e as seções perpendiculares ao eixo 0x nos pontos de abscissasx são
semicírculos de diâmetro y.
A área do semi-círculo de diâmetro y é dada por pH1 - xL2 ê 2
In[89]:=
Out[90]=
H∗ Volume do sólido ∗L
A@x_D := π H1 − xL2 ê 2
Integrate@A@xD, 8x, 0, 1<D
π
6
2. A base do sólido é o círculo x2 + y2 § r2 , e as seções perpendiculares ao eixo 0x nos pontos de abscissas x são
è!!!!!!!!!
quadrados de lados 2 r^2 - x2 .
In[6]:=
r = 1;
Plot@8Sqrt@r ^ 2 − x ^ 2D, −Sqrt@r ^ 2 − x ^ 2D<,
8x, −r, r<, AspectRatio → AutomaticD;
1
0.5
-1
-0.5
0.5
1
-0.5
-1
A área do quadrado é dada por 4 Hr2 - x2 L
In[93]:=
Out[94]=
H∗ Volume do sólido ∗L
A@x_D := 4 Hr2 − x2 L
Integrate@A@xD, 8x, −r, r<D
16 r3
3
3. A base do sólido é o quadrado de vértices (± 1, ± 1), e as seções perpendiculares ao eixo 0x nos pontos de abscissas
x são triângulosde base 2 e altura h(x) = 1 + x sen(px).
A área do triângulo é dada por 1 + x senHpxL.
In[97]:=
Out[98]=
H∗ Volume do sólido ∗L
A@x_D := 1 + x Sin@π xD
Integrate@A@xD, 8x, −1, 1<D
2+
2
π
4. A base do sólido é o círculo x2 + y2 § r2 , e as seções perpendiculares ao eixo 0x nos pontos de abscissas x são
è!!!!!!!!!!!!!!!
triângulos equiláteros de lados 2 r2 - x2 .
Rijo Cal 2 Capitulo 1.nb
In[13]:=
23
r = 1;
Plot@8Sqrt@r ^ 2 − x ^ 2D, −Sqrt@r ^ 2 − x ^ 2D<,
8x, −r, r<, AspectRatio → AutomaticD;
1
0.5
-1
-0.5
0.5
1
-0.5
-1
A área do triângulo é dada por
In[99]:=
Out[100]=
è!!! 2
3 Hr - x2 L
H∗ Volume do sólido ∗L
è!!!!
A@x_D := 3 Hr2 − x2 L
Integrate@A@xD, 8x, −r, r<D
4 r3
è!!!
3
5. A base do sólido é a figura delineada pelas curvas y = ≤ H 1 - x2 L, -1§ x § 1; e as seções perpendiculares ao eixo
0x nos pontos de abscissas x são triângulos de base 2 H1 - x2 L e altura h(x) = cos(p x/2)..
In[103]:=
H∗ Gráfico das funções y = ± H1 − x2 L ∗L
Plot@8−H1 − x2 L, H1 − x2 L<, 8x, −1, 1<D;
1
0.5
-1
-0.5
0.5
1
-0.5
-1
A área do triângulo é dada por H1 - x2 Lcos(p x/2)
In[104]:=
Out[105]=
H∗ Volume do sólido ∗L
A@x_D := H1 − x2 L Cos@π x ê 2D
Integrate@A@xD, 8x, −1, 1<D
32
π3
6. A base do sólido é a figura delineada pelas curvas y = ≤ H x + ‰x L, 0 § x § 1; e as seções perpendiculares ao eixo
0x nos pontos de abscissas x são semicírculos de raios x + ‰x .
24
Rijo Cal 2 Capitulo 1.nb
In[106]:=
H∗ Gráfico das funções y = ± Hx + x L ∗L
Plot@8−Hx + x L, Hx + x L<, 8x, 0, 1<D;
3
2
1
-1
-2
-3
0.2
0.4
0.6
0.8
1
A área do semicírculo é dada p Hx + ‰x L2 ê 2
In[107]:=
H∗ Volume do sólido ∗L
A@x_D := π Hx +
L ë2
x 2
Integrate@A@xD, 8x, 0, 1<D
Out[108]=
1
H11 + 3
12
2
Lπ
1.4 Área de uma figura plana qualquer
Fórmula da área área de uma figura plana qualquer
b
A = Ÿ l HxL x
a
Princípio de Cavalieri para figuras planas. Se duas figuras planas são tais que, relativamente a um mesmo eixo
0x, suas seções transvwesais têm comprimentos iguais l(x), então eles têm áreas iguais.
EXEMPLO 1. Vamos calcular a área da elípse de semi-eixos a e b,
è!!!!!!!!!!!!!!!!!
O comprimento l(x) é dada por ÅÅÅÅba a2 - x2 .
In[111]:=
Out[112]=
H∗ Área da figura plana ∗L
è!!!!!!!!!!!!!!!!!
l@x_D := b ê a a2 − x2
4 Integrate@l@xD, 8x, 0, a<D
è!!!!!
!
a2 b π
Princípio de Cavalieri para figuras planas (forma geral). Consideremos duas figuras planas de áreas A1 e A2 ,
respectivamente. Suponhamos que, relativamente a um mesmo eixo 0x, suas seções transvwesais tenham comprimentos iguais l1 (x) e l2 (x), repectivamente, tais que Al1 (x) = k l2 (x), onde k é uma constante. Então A1 = k A2 .
Rijo Cal 2 Capitulo 1.nb
25
Com esta fórmula geral, o cálculo da área da elípse no exemplo anterior fica imediato: a área da elípse é o produto do
fator k = b/a pela área do círculo de raio a, ou seja A = (b/a) pa2 = p a b.
Exercícios
Nos Exercícios 1 a 9, calcule a área da figura delineada pelas curvas dada e faça o gráfico em cada caso.
1. y = 2 x3 e y = 2 x, x = 0 e x =1.
In[114]:=
H∗ Gráfico das funções y = 2 x3 e y = 2 x ∗L
Plot@82 x ^ 3, 2 x<, 8x, 0, 1<D;
2
1.5
1
0.5
0.2
In[117]:=
Out[118]=
0.4
0.6
0.8
1
H∗ Cálculo da área A ∗L
segmentoL@x_D := 2 x H1 − x ^ 2L
Integrate@segmentoL@xD, 8x, 0, 1<D êê Simplify
1
2
2. Parábola y = x2 , eixo 0x e tangente à parabola no ponto (1,1).
In[7]:=
H∗ Gráfico das funções y = x2 e y = 2 x −1 ∗L
Plot@8x ^ 2, 2 x − 1<, 8x, 0, 1<D;
1
0.5
0.2
0.4
0.6
0.8
1
-0.5
-1
In[119]:=
Out[120]=
H∗ Cálculo da área A ∗L
segmentoL@x_D := x2 − 2 x + 1
Integrate@segmentoL@xD, 8x, 0, 1<D êê Simplify
1
3
3. y = x2 e y =
è!!!
x.
26
Rijo Cal 2 Capitulo 1.nb
In[10]:=
H∗ Gráfico das funções y = x2 e y =
è!!!!
PlotA9x2 , x =, 8x, 0, 1<E;
è!!!
x ∗L
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0.2
In[121]:=
Out[122]=
0.6
0.8
1
H∗ Cálculo da área A ∗L
è!!!!
segmentoL@x_D := x − x2
Integrate@segmentoL@xD, 8x, 0, 1<D êê Simplify
1
3
4. Parábola y =
In[126]:=
0.4
è!!!
x e reta x =1.
H∗ Gráfico da função y = x2 e da reta y = 1 ∗L
p1 = Plot@x ^ 2, 8x, 0, 1<, DisplayFunction → IdentityD;
p2 = ListPlot@881, 0<, 81, 1<<,
PlotJoined → True, DisplayFunction → IdentityD;
Show@8p1, p2<, DisplayFunction → $DisplayFunctionD;
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0.2
In[16]:=
In[129]:=
Out[130]=
0.4
0.6
segmentoL@x_D := x ^ 2
0.8
1
H∗ Cálculo da área A ∗L
segmentoL@x_D := x2
Integrate@segmentoL@xD, 8x, 0, 1<D êê Simplify
1
3
5. y = ‰-x , y = -‰-x , x ¥ 0 (região infinita).
Rijo Cal 2 Capitulo 1.nb
In[134]:=
27
H∗ Gráfico das funções y =
Plot@8 −x , − −x <, 8x, 0, 3<D;
−x
e y = −
−x
∗L
1
0.5
0.5
1
1.5
2
2.5
3
-0.5
-1
In[135]:=
Out[136]=
H∗ Cálculo da área A ∗L
segmentoL@x_D := 2 −x
Integrate@segmentoL@xD, 8x, 0, ∞<D êê Simplify
2
6. y = x ln x, y = 1 - x e 1 § x § 2.
In[143]:=
H∗ Gráfico das funções y = x ln HxL, y = 1 − x e a reta x = 2 ∗L
p1 = Plot@8x Log@xD, 1 − x<, 8x, 1, 2<, DisplayFunction → IdentityD;
p2 = ListPlot@882, −1<, 82, 2 Log@2D<<,
PlotJoined → True, DisplayFunction → IdentityD;
Show@8p1, p2<, DisplayFunction → $DisplayFunctionD;
1
0.5
1.2
1.4
1.6
1.8
2
-0.5
-1
In[138]:=
Out[139]=
H∗ Cálculo da área A ∗L
segmentoL@x_D := x Log@xD + x − 1
Integrate@segmentoL@xD, 8x, 1, 2<D
−
1
+ Log@4D
4
7. y = sen3 x, 0 § x § p.
28
Rijo Cal 2 Capitulo 1.nb
In[27]:=
H∗ Gráfico da função y = sen3 HxL, 0 ≤ x ≤ π ∗L
Plot@Sin@xD3 , 8x, 0, π<D;
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0.5 1 1.5 2 2.5 3
In[146]:=
Out[147]=
H∗ Cálculo da área A ∗L
segmentoL@x_D := Sin@xD3
Integrate@segmentoL@xD, 8x, 0, π<D
4
3
8. y = x ‰-x , y = -x cos(x), 0 § x § p/2.
In[169]:=
H∗ Gráfico das funções y = x −x , y = −x cos HxL, 0 ≤ x ≤ πê2 ∗L
p1 = Plot@8x −x , −x Cos@xD<, 8x, 0, π ê 2<, DisplayFunction → IdentityD;
p2 = ListPlot@88π ê 2, 0<, 8π ê 2, π −πê2 ê 2<<,
PlotJoined → True, DisplayFunction → IdentityD;
Show@8p1, p2<, DisplayFunction → $DisplayFunctionD;
0.2
0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5
-0.2
-0.4
In[172]:=
Out[173]=
9. y =
H∗ Cálculo da área A ∗L
segmentoL@x_D := x −x + x Cos@xD
Integrate@segmentoL@xD, 8x, 0, π<D
−
−π
H1 +
π
+ πL
è!!!
x ln(x), y = -x ln(x), 1 § x § 2.
Rijo Cal 2 Capitulo 1.nb
In[176]:=
29
è!!!
H∗ Gráfico das funções y = x ln HxL, y = −x ln HxL, 1 ≤ x ≤ 2 ∗L
è!!!!
p1 = PlotA9 x Log@xD, −x Log@xD=, 8x, 1, 2<, DisplayFunction → IdentityE;
è!!!!
p2 = ListPlotA982, −2 Log@2D<, 92, 2 Log@2D==,
PlotJoined → True, DisplayFunction → IdentityE;
Show@8p1, p2<, DisplayFunction → $DisplayFunctionD;
1
0.5
1.2 1.4 1.6 1.8
2
-0.5
-1
In[185]:=
H∗ Cálculo da área A ∗L
è!!!!
segmentoL@x_D := I x + xM Log@xD
Integrate@segmentoL@xD, 8x, 1, 2<D
Out[186]=
−
3
4
è!!! è!!!
+ Log@4D +
I1 − 2 2 + 2 Log@8DM
4
9
CAPÍTULO 2
Aproximação de Funções por Polinômios
Iniciar o MathKernel
In[1]:=
Out[1]=
2 + 2 H∗ Este comando inicia o MathKernel ∗L
4
2.1 Introdução
De todas as funções que temos utilizado até agora as mais simples são as funções polinomiais. Nas funções
polinomiais, como por exemplo
p(x) = 5 - 3x - x2 + 2 x3 ,
so entram operações elementares, soma, subtração e multiplicação.
Funções não polinomiais, como
f(x) = x ë I2 +
è!!!
x M,
y = sen x,
g(x) = arc tg x,
envolvem operações não elementares. Consequentemente, elas são mais complicadas de serem manuseadas
algebricamente que as funções polinomiais.
Felizmente, isto não chaga ser um problema série. Pois, funções não polinomiais podem ser aproximadas por
polinômios. Por exemplo, o polinômio liear
aproxima a função
è!!!!!!!!!!!!!
1 + x para |x| pequeno.
p(x) = 1 + x/2
A possibilidade de aproximar funções por polinômios é de suma importância, pois permite obter propriedades das
funções em termos de propriedades análogas dos polinômios que as aproximam. E não é só isso, o cálculo de
valores numéricos de uma certa função, em geral, só pode ser feito aproximadamente, utilizando-se um polinômio
qure aproxime a função.
Vizinhança
2
Rijo Cal 2 Capitulo 2.nb
A aproximação de uma função por um polinômio se processa na vizinhança de um ponto x0 , por isso mesmoé
conveniente esclarecer este conceito. Chamamos vizinhança de um ponto x0 a qualquer intervalo com centro nesse
ponto, isto é, qualquer conjunto do tipo
Vd Hx0 L = 8x : x0 - d < x < x0 + d<
onde d é um número positivo que caracteriza a vizinhança em questão. A vizinhança Vd Hx0 L também pode ser
simbolizada por | x - x0 » < d .
2.2 Aproximação linear
Fórmula da aproximação linear de f(x) na vizinhança de x = 0
f(x) = f(0) + f'(0) x + R(x)
em que o erro R(x) = f '' HcL x2 ê 2 onde c é um número compreendido entre 0 e x.
In[11]:=
Out[14]=
è!!!!!!!!!!!!!
1 + x numa vizinhança de x = 0.
è!!!!!!!!!!!!!!
H∗ Aprxomimação linear de 1 + x na vizinhança de x0 = 0 ∗L
f@x_D := Sqrt@1 + x D
x0 = 0;
dfdx = D@f@xD, xD ê. x → x0;
f@x0D + dfdx Hx − x0L
x
1+
2
EXEMPLO 1. (GA2, pág. 23) Vamos aproximar a função f(x) =
è!!!!!!
è!!!!!!!!!!!!!!
è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
48 = 49 − 1 = 7 1 − 1 ê 49
EXEMPLO 2. (GA2, pág. 24) Utilizar o resultado do exemplo anterir para determinar uma aproximação de
è!!!!!!
H∗ Aprxomimação 48 ∗L
f@x_D := Sqrt@1 + x D
x0 = 0;
dfdx = D@f@xD, xD ê. x → x0;
7 Hf@x0D − dfdx Hx − x0LL ê. x → 1 ê 49
% êê N
Notemos que
In[6]:=
Out[9]=
Out[10]=
97
14
6.92857
Aproximação num ponto qualquer
è!!!!!!
48 .
Rijo Cal 2 Capitulo 2.nb
3
Fórmula da aproximação linear de f(x) na vizinhança de um ponto qualquer x0
f(x) = f Hx0 L + f ' Hx0 L (x - x0 ) + R(x)
em que R(x) = f '' HcL Hx − x0 L2 ê 2 onde c é um número compreendido entre x0 e x.
In[1]:=
In[4]:=
H∗ GA2, Figura 2.4, pág. 22, ∗Lp1 = Plot@x ^ 2 + .5,
8x, −.5, 1<, PlotRange → 88−.5, 1.5<, 80, 1.5<<, Ticks → False,
Epilog → 8Text@"a", 8.57, .05<D, Text@"fHaL", 8−.15, 3 ê 4<D,
Text@"fHxL", 81.1, 1.4<D<,
DisplayFunction −> IdentityD;
p2 = [email protected], .35<, 81, 5 ê 4<<, PlotJoined → True,
PlotStyle −> 8RGBColor@1, 0, 0D<, DisplayFunction −> IdentityD;
p3 = [email protected], 0<, 8.5, 3 ê 4<, 80, 3 ê 4<<, PlotJoined → True,
PlotStyle → [email protected]<D<, DisplayFunction −> IdentityD;
Show@8p1, p2, p3<, DisplayFunction → $DisplayFunctionD;
fHxL
fHaL
a
A diferencial
A diferencial de uma função f no ponto x0 é definida como sendo o produto f ' Hx0 L Dx; e é indicada com os
símbolos dy, df ou df Hx0 L :
df = f ' Hx0 L Dx
4
Rijo Cal 2 Capitulo 2.nb
In[1]:=
p1 = Plot@82 x ^ 2 + 2, 2 x + 3 ê 2<, 8x, −.2, 2<, PlotRange → 80, 8<, Axes → False,
PlotStyle → [email protected], [email protected]<,
TextStyle → 8FontSize → 8<, Epilog →
8Text@"x0 ", 8.5, .2<D, Text@"x", 81.5, .2<D, Text@"y0 ", 8.57, 1.5<D,
Text@"∆x", 81, 2.2<D, Text@"∆y", 81.72, 5.5<D, Text@"dy", 81.82, 3.9<D,
Text@"∆y − dy", 81.15, 6<D, Text@"Y", 81.35, 3.5<D<,
DisplayFunction → IdentityD;
p2 = ListPlot@880, 0.5<, 82, 0.5<<, PlotJoined → True,
DisplayFunction → IdentityD;
p3 = ListPlot@880, 0.5<, 80, 10<<, PlotJoined → True,
DisplayFunction → IdentityD;
p4 = [email protected], 5 ê 2<, 81.7, 5 ê 2<<, PlotJoined → True,
DisplayFunction → IdentityD;
p5 = [email protected], 0.5<, 80.5, 5 ê 2<<, PlotJoined → True,
DisplayFunction → IdentityD;
p6 = [email protected], 0.5<, 81.5, 5 ê 2<<, PlotJoined → True,
DisplayFunction → IdentityD;
p7 = [email protected], 5 ê 2<, 81.5, 13 ê 2<<, PlotJoined → True,
PlotStyle → [email protected]<D, DisplayFunction → IdentityD;
p8 = [email protected], 9 ê 2<, 81.6, 9 ê 2<<, PlotJoined → True,
DisplayFunction → IdentityD;
p9 = [email protected], 13 ê 2<, 81.7, 13 ê 2<<,
PlotJoined → True, DisplayFunction → IdentityD;
p10 = [email protected], 5 ê 2<, 81.55, 9 ê 2<<, PlotJoined → True,
PlotStyle → 8RGBColor@1, 0, 0D<, DisplayFunction → IdentityD;
p11 = [email protected], 9 ê 2<, 81.45, 13 ê 2<<,
PlotJoined → True, DisplayFunction → IdentityD;
p12 = [email protected], 5 ê 2<, 81.65, 13 ê 2<<,
PlotJoined → True, DisplayFunction → IdentityD;
p13 = [email protected], 3.3<, 81.75, 3.7<<,
PlotJoined → True, DisplayFunction → IdentityD;
p14 = [email protected], 5.7<, 81.42, 5.2<<,
PlotJoined → True, DisplayFunction → IdentityD;
p15 = [email protected], 3.7<, 81.47, 4.3<<, PlotJoined → True,
DisplayFunction → IdentityD;
Rijo Cal 2 Capitulo 2.nb
In[16]:=
5
Show@8p1, p2, p3, p4, p5, p6, p7, p8, p9, p10, p11, p12, p13, p14, p15<,
DisplayFunction → $DisplayFunctionD;
∆y − dy
∆y
dy
Y
∆x
y0
x0
x
Exercícios
Obtenha as aproximações lineares para as funções dadas nos Exercícios 1 a 12.
1. f(x) = log|1 - x |, x = 0.
In[1]:=
Out[4]=
In[5]:=
H∗ Aprxomimação linear de Log H1 + xL na vizinhança de x0 = 0 ∗L
f@x_D := Log@1 + xD
x0 = 0;
dfdx = D@f@xD, xD ê. x → x0;
f@x0D + dfdx Hx − x0L
x
Plot@8f@xD, %<, 8x, x0 − .4, x0 + .4<,
PlotStyle → 88RGBColor@0, 0, 0D<, 8RGBColor@1, 0, 0D<<D;
0.4
0.2
-0.4
-0.2
0.2
-0.2
-0.4
2. f(x) = cos x , x = 0.
0.4
6
Rijo Cal 2 Capitulo 2.nb
In[1]:=
Out[5]=
In[6]:=
H∗ Aprxomimação linear de cos HxL na vizinhança de x0 = 0 ∗L
Clear@x, fD;
f@x_D := Cos@xD
x0 = 0;
dfdx = D@f@xD, xD ê. x → x0;
f@x0D + dfdx Hx − x0L
1
Plot@8f@xD, %<, 8x, x0 − .4, x0 + .4<, PlotStyle →
88RGBColor@0, 0, 0D<, 8RGBColor@1, 0, 0D<<, PlotRange → 80, 1.2<D;
1
0.8
0.6
0.4
0.2
-0.4
-0.2
0.2
0.4
3. f(x) = cos x , x = p/4.
In[1]:=
Out[5]=
In[6]:=
H∗ Aprxomimação linear de cos HxL na vizinhança de x0 = 0 ∗L
Clear@x, fD;
f@x_D := Cos@xD
x0 = Pi ê 4;
dfdx = D@f@xD, xD ê. x → x0;
f@x0D + dfdx Hx − x0L
− π4 + x
1
−
è!!!
è!!!
2
2
Plot@8f@xD, %<, 8x, x0 − .4, x0 + .4<, PlotStyle →
88RGBColor@0, 0, 0D<, 8RGBColor@1, 0, 0D<<, PlotRange → 80, 1.2<D;
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0.4
0.6
4. f(x) = sen x , x = p/2.
0.8
1.2
Rijo Cal 2 Capitulo 2.nb
In[1]:=
Out[4]=
In[5]:=
7
H∗ Aprxomimação linear de sen HxL na vizinhança de x0 = πê2 ∗L
f@x_D := Sin@xD
x0 = Pi ê 2;
dfdx = D@f@xD, xD ê. x → x0;
f@x0D + dfdx Hx − x0L
1
Plot@8f@xD, %<, 8x, x0 − .4, x0 + .4<, PlotStyle →
88RGBColor@0, 0, 0D<, 8RGBColor@1, 0, 0D<<, PlotRange → 80, 1.2<D;
1
0.8
0.6
0.4
0.2
1.2
1.4
1.6
1.8
5. f(x) = sen x , x = 3p/4.
In[1]:=
Out[4]=
In[5]:=
H∗ Aprxomimação linear de sen HxL na vizinhança de x0 = πê2 ∗L
f@x_D := Sin@xD
x0 = 3 Pi ê 4;
dfdx = D@f@xD, xD ê. x → x0;
f@x0D + dfdx Hx − x0L
− 34π + x
1
−
è!!!
è!!!
2
2
Plot@8f@xD, %<, 8x, x0 − .4, x0 + .4<, PlotStyle →
88RGBColor@0, 0, 0D<, 8RGBColor@1, 0, 0D<<, PlotRange → 80, 1.2<D;
1
0.8
0.6
0.4
0.2
2.2
6. f(x) = e-x , x = 0.
In[1]:=
Out[4]=
2.4
2.6
H∗ Aprxomimação linear de Exp HxL na vizinhança de x0 = 0 ∗L
f@x_D := Exp@−xD
x0 = 0;
dfdx = D@f@xD, xD ê. x → x0;
f@x0D + dfdx Hx − x0L
1−x
8
Rijo Cal 2 Capitulo 2.nb
In[5]:=
Plot@8f@xD, %<, 8x, x0 − .4, x0 + .4<,
PlotStyle → 88RGBColor@0, 0, 0D<, 8RGBColor@1, 0, 0D<<D;
1.4
1.2
-0.4
-0.2
0.2
0.4
0.8
0.6
7. f(x) = sen x2 , x = -p/4.
In[1]:=
Out[4]=
In[5]:=
H∗ Aprxomimação linear de sen Hx2 L na vizinhança de x0 = −πê4 ∗L
f@x_D := Sin@x ^ 2D
x0 = −Pi ê 4;
dfdx = D@f@xD, xD ê. x → x0;
f@x0D + dfdx Hx − x0L
−
1
π
π2
π2
π I + xM CosA
E + SinA
E
2
4
16
16
Plot@8f@xD, %<, 8x, x0 − .4, x0 + .4<,
PlotStyle → 88RGBColor@0, 0, 0D<, 8RGBColor@1, 0, 0D<<D;
1
0.8
0.6
0.4
0.2
-1.2
-0.8
-0.6
-0.4
2
8. f(x) = ex , x = 0.
In[1]:=
Out[4]=
H∗ Aprxomimação linear de Exp Hx2 L na vizinhança de x0 = 0 ∗L
f@x_D := Exp@x ^ 2D
x0 = 0;
dfdx = D@f@xD, xD ê. x → x0;
f@x0D + dfdx Hx − x0L
1
Rijo Cal 2 Capitulo 2.nb
In[5]:=
9
Plot@8f@xD, %<, 8x, x0 − .4, x0 + .4<, PlotStyle →
88RGBColor@0, 0, 0D<, 8RGBColor@1, 0, 0D<<, PlotRange → 80, 1.2<D;
1
0.8
0.6
0.4
0.2
è!!!!!!!!!!
1 + x , x = 0.
-0.4
9. f(x) = 1 ë
In[1]:=
Out[4]=
In[5]:=
-0.2
0.2
0.4
è!!!!!!!!!!!!!!
H∗ Aprxomimação linear de 1ë 1 + x na vizinhança de x0 = 0 ∗L
f@x_D := 1 ê Sqrt@1 + xD
x0 = 0;
dfdx = D@f@xD, xD ê. x → x0;
f@x0D + dfdx Hx − x0L
x
1−
2
Plot@8f@xD, %<, 8x, x0 − .4, x0 + .4<, PlotStyle →
88RGBColor@0, 0, 0D<, 8RGBColor@1, 0, 0D<<, PlotRange → 80, 1.2<D;
1
0.8
0.6
0.4
0.2
-0.4
-0.2
10. f(x) = x3ê2 , x = 1.
In[1]:=
Out[4]=
0.2
0.4
H∗ Aprxomimação linear de x3ê2 na vizinhança de x0 = 1 ∗L
f@x_D := x ^ H3 ê 2L
x0 = 1;
dfdx = D@f@xD, xD ê. x → x0;
f@x0D + dfdx Hx − x0L
1+
3
H−1 + xL
2
10
Rijo Cal 2 Capitulo 2.nb
In[5]:=
Plot@8f@xD, %<, 8x, x0 − .4, x0 + .4<, PlotStyle →
88RGBColor@0, 0, 0D<, 8RGBColor@1, 0, 0D<<, PlotRange → 80, 1.6<D;
1.5
1.25
1
0.75
0.5
0.25
0.6
0.8
1.2
1.4
11. f(x) = x2ê3 , x = -1.
In[1]:=
H∗ Aprxomimação linear de x2ê3 na vizinhança de x0 = −1 ∗L
f@x_D := Hx2 L
x0 = −1;
dfdx = D@f@xD, xD ê. x → x0;
f@x0D + dfdx Hx − x0L
1ê3
Out[4]=
In[5]:=
1−
2 H1 + xL
3
Plot@8f@xD, %<, 8x, x0 − .4, x0 + .4<, PlotStyle →
88RGBColor@0, 0, 0D<, 8RGBColor@1, 0, 0D<<, PlotRange −> 80, 1.2<D;
1
0.8
0.6
0.4
0.2
-1.4
-1.2
12. f(x) = Log 3x , x = 1/3.
In[1]:=
Out[4]=
-0.8
-0.6
H∗ Aprxomimação linear de log H3 xL na vizinhança de x0 = 1ê3 ∗L
f@x_D := Log@3 xD
x0 = 1 ê 3;
dfdx = D@f@xD, xD ê. x → x0;
f@x0D + dfdx Hx − x0L
3 J−
1
+ xN
3
Rijo Cal 2 Capitulo 2.nb
In[5]:=
11
Plot@8f@xD, %<, 8x, x0 − .1, x0 + .1<, PlotStyle →
88RGBColor@0, 0, 0D<, 8RGBColor@1, 0, 0D<<, PlotRange −> 8−1, 1<D;
1
0.75
0.5
0.25
0.25
0.35
0.4
-0.25
-0.5
-0.75
-1
13. As funções x, sen x e tg x tendem a se cunfundir para valores pequenos de x, guardando entre elas, a relação 0
< sen x < x < tg x.
In[1]:=
Out[4]=
In[5]:=
Out[8]=
In[9]:=
Out[12]=
In[13]:=
H∗ Aprxomimação linear de x na vizinhança de x0 = 0 ∗L
f@x_D := x
x0 = 0;
dfdx = D@f@xD, xD ê. x → x0;
f@x0D + dfdx Hx − x0L
x
H∗ Aprxomimação linear de tg HxL na vizinhança de x0 = 0 ∗L
f@x_D := Tan@xD
x0 = 0;
dfdx = D@f@xD, xD ê. x → x0;
f@x0D + dfdx Hx − x0L
x
H∗ Aprxomimação linear de sen HxL na vizinhança de x0 = 0 ∗L
f@x_D := Sin@xD
x0 = 0;
dfdx = D@f@xD, xD ê. x → x0;
f@x0D + dfdx Hx − x0L
x
p1 = Plot@Sqrt@1 − x ^ 2D, 8x, .8, 1<,
PlotRange → 880, 1.5<, 80, 1<<, AspectRatio → Automatic,
Epilog → 8Text@" <−−−−− x", 81.1, .45<D, Text@" <−−− tgHxL", 81.25, .6<D,
Text@" <−−−− senHxL", 81.15, .1<D<, DisplayFunction −> IdentityD;
p2 = ListPlot@880, 0<, 81, [email protected]<<, PlotJoined → True,
DisplayFunction −> IdentityD;
p3 = [email protected], 0<, 8.8, [email protected]<<, PlotJoined → True,
PlotStyle −> 8RGBColor@1, 0, 0D<, DisplayFunction −> IdentityD;
p4 = ListPlot@881, 0<, 81, [email protected]<<, PlotJoined → True,
PlotStyle −> 8RGBColor@0, 0, 1D<, DisplayFunction −> IdentityD;
12
Rijo Cal 2 Capitulo 2.nb
In[17]:=
Show@8p1, p2, p3, p4<, DisplayFunction → $DisplayFunctionD;
1
0.8
<−−− tgHx
0.6
<−−−−− x
0.4
0.2
<−−−− senHxL
0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4
NosExercícios 14 a 20, use aproximação lineares convenientes para obter os números indicados em representações
decimais aproximadas.
è!!!!!!!!
14. 171
è!!!!!!!! è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
è!!!!!!!!!!!!!
Notando que 170 = 169 H1 + 1 ê 169L = 13 1 + 1 ê 169 e aplicando a aproximação linear 1 + x = 1 + x ê 2
vem
In[1]:=
Out[1]=
H∗ Aproximação linear de
13 H1 + 1 ê H2 ∗ 169LL
è!!!!!!!!!
171
∗L
339
26
339
In[2]:=
Out[2]=
Out[3]=
26
% êê N
339
26
13.0385
15. log 0.98
Notando que log(0.98) = log(1 - 0.02) e aplicando a aproximação linear logH1 + xL = x vem
In[1]:=
Out[1]=
H∗ Aplicando linear log H0.98L ∗L
−0.02
−0.02
16. e-0.02
Aplicando a aproximação linear e-x = 1 − x vem
In[1]:=
Out[1]=
H∗ Aproximação linear de e−0.02 ∗L
1 − .02
0.98
17. 10001ê3
Notando que 10001ê3 = (1000 + 3)1ê3 = 10 (1 + 3/1000)1ê3 e aplicando a aproximação linear
H1 + xL1ê3 = 1 + x ê 3, vem
Rijo Cal 2 Capitulo 2.nb
In[1]:=
13
H∗ Aproximação linear de
10 H1 + 3 ê H3 ∗ 1000LL
% êê N
Out[1]=
1001
100
Out[2]=
10.01
10001ê3 ∗L
18. cos 0,01
Aplicando a aproximação linear cos HxL = 1 − x, vem
In[1]:=
Out[1]=
H∗ Aproximação linear de cos H0,01L ∗L
1 − 0.01
0.99
19. tg 0,5
Aplicando a aproximação linear tg HxL = x, vem
In[1]:=
Out[1]=
H∗ Aproximação linear de tg H0.5L ∗L
0.5
0.5
20. arc tg 0,02
Aplicando a aproximação linear arctg HxL = x, vem
In[1]:=
Out[1]=
H∗ Aproximação linear de arctg H0,02L ∗L
0.02
0.02
2.3 Fórmula de Taylor
Seja f(x) uma função derivável até a ordem n + 1, numa vizinhança V de x = 0, o polinômio de Taylor
p(x) = f(0) + f'(0)x +
f'' H0L
2!
x2 + ... +
f HnL H0L
n!
xn
aproxima f(x) em V.
Series[f[x], {x, 0, n}] gera a fórmula de Taylor de grau n.
In[1]:=
Out[2]=
H∗ Desenvolvimento de Taylor de f HxL de grau 5
Clear@x, fD;
Series@f@xD, 8x, 0, 5<D
f@0D + f @0D x +
∗L
1
1 H3L
1 H4L
1
f @0D x2 +
f @0D x3 +
f @0D x4 +
fH5L @0D x5 + O@xD6
2
6
24
120
14
Rijo Cal 2 Capitulo 2.nb
Normal[eries[f[x], {x, 0, n}]] gera a fórmula de Taylor de grau n sem o
termo 0 @xDn .
EXEMPLO 1. (GA2, pág. 26) Determinar a fórmula de Taylor da função f(x) = ex de grau 7.
In[1]:=
Out[2]=
H∗ Desenvolvimento de Taylor de f HxL = ex de grau 7 ∗L
f@x_D := Exp@xD
Normal@Series@f@xD, 8x, 0, 7<DD
1+x+
x2
x3
x4
x5
x6
x7
+
+
+
+
+
2
6
24
120
720
5040
EXEMPLO 2. (GA2, pág. 26) Determinar a fórmula de Taylor da função f(x) = sen x de grau 11.
In[1]:=
Out[2]=
H∗ Desenvolvimento de Taylor de f HxL = sen x de grau 11 ∗L
f@x_D := Sin@xD
Normal@Series@f@xD, 8x, 0, 11<DD
x−
x3
x5
x7
x9
x11
+
−
+
−
6
120
5040
362880
39916800
Exercícios
Obtenha as fórmulas de Taylor de grau n das funções dadas nos Exercícios 1 a 8.
1. f(x) = cox x
In[1]:=
Out[2]=
H∗ Desenvolvimento de Taylor de f HxL = cos x de grau 11 ∗L
f@x_D := Cos@xD
Normal@Series@f@xD, 8x, 0, 11<DD
1−
x2
x4
x6
x8
x10
+
−
+
−
2
24
720
40320
3628800
2. f(x) = 1/(1 - x)
In[1]:=
Out[3]=
H∗ Desenvolvimento de Taylor de f HxL = Cos x de grau 11 ∗L
Clear@x, fD;
f@x_D := 1 ê H1 − xL
Normal@Series@f@xD, 8x, 0, 11<DD
1 + x + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7 + x8 + x9 + x10 + x11
3. f(x) = 1/(1 + x) para x > -1
In[1]:=
Out[3]=
H∗ Desenvolvimento de Taylor de f HxL = 1êH1 + xL de grau 11 ∗L
Clear@x, fD;
f@x_D := 1 ê H1 + xL
Normal@Series@f@xD, 8x, 0, 11<DD
1 − x + x2 − x3 + x4 − x5 + x6 − x7 + x8 − x9 + x10 − x11
4. f(x) = log(1 - x).
Rijo Cal 2 Capitulo 2.nb
In[1]:=
Out[3]=
H∗ Desenvolvimento de Taylor de f HxL = log H1 − xL de grau 11 ∗L
Clear@x, fD;
f@x_D := Log@1 − xD
Normal@Series@f@xD, 8x, 0, 11<DD
−x −
x2
x3
x4
x5
x6
x7
x8
x9
x10
x11
−
−
−
−
−
−
−
−
−
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
5. f(x) = log(1 + x).
In[1]:=
Out[3]=
H∗ Desenvolvimento de Taylor de f HxL = log H1 + xL de grau 11 ∗L
Clear@x, fD;
f@x_D := Log@1 + xD
Normal@Series@f@xD, 8x, 0, 11<DD
x−
x2
x3
x4
x5
x6
x7
x8
x9
x10
x11
+
−
+
−
+
−
+
−
+
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
6. f(x) = e-x .
In[1]:=
Out[3]=
H∗ Desenvolvimento de Taylor de f HxL = e−x de grau 7 ∗L
Clear@x, fD;
f@x_D := Exp@−xD
Normal@Series@f@xD, 8x, 0, 7<DD
1−x+
x2
x3
x4
x5
x6
x7
−
+
−
+
−
2
6
24
120
720
5040
7. f(x) = eax , a ∫ 0.
In[1]:=
Out[3]=
H∗ Desenvolvimento de Taylor de f HxL = e−x de grau 7 ∗L
Clear@x, fD;
f@x_D := Exp@a xD
Normal@Series@f@xD, 8x, 0, 7<DD
1+ax+
a2 x2
a3 x3
a4 x4
a5 x5
a6 x6
a7 x7
+
+
+
+
+
2
6
24
120
720
5040
8. f(x) = sen(x + p/4 ).
In[1]:=
Out[3]=
H∗ Desenvolvimento de Taylor de f HxL = e−x de grau 7 ∗L
Clear@x, fD;
f@x_D := Sin@x + π ê 4D
Normal@Series@f@xD, 8x, 0, 6<DD
1
x3
x4
x5
x6
x
x2
è!!! +
è!!! −
è!!!
è!!! + è!!! − è!!! − è!!! +
2 2
6 2
24 2
120 2
720 2
2
2
Obtenha os desenvolvimento de Taylor de ordem n = 2 para cada uma das funções dadas nos Exercícios 9 a 15.
10. f(x) = arcsen x.
In[1]:=
Out[3]=
H∗ Desenvolvimento de Taylor de f HxL = arcsen x de grau 7 ∗L
Clear@x, fD;
f@x_D := ArcSin@xD
Normal@Series@f@xD, 8x, 0, 7<DD
x+
x3
3 x5
5 x7
+
+
6
40
112
15
16
Rijo Cal 2 Capitulo 2.nb
11. f(x) = arctg x.
In[1]:=
Out[3]=
H∗ Desenvolvimento de Taylor de f HxL = arctg x de grau 7 ∗L
Clear@x, fD;
f@x_D := ArcTan@xD
Normal@Series@f@xD, 8x, 0, 7<DD
x−
x3
x5
x7
+
−
3
5
7
12. f HxL = x7ê2 .
In[1]:=
Out[3]=
H∗ Desenvolvimento de Taylor de f HxL = arc sen x de grau 7 ∗L
Clear@x, fD;
f@x_D := x ^ 7 ê 2
Normal@Series@f@xD, 8x, 0, 7<DD
x7
2
13. f HxL = 27 x10ê3 ê 350 − 16 x7ê2 ê 35 + 2 x − 7 x2
In[1]:=
Out[3]=
H∗ Desenvolvimento de Taylor de f HxL =
27 x10ê3 ê350 −16 x7ê2 ê35 + 2 x − 7 x2 ∗L
Clear@x, fD;
27
16
f@x_D :=
x ^ H10 ê 3L −
x ^ H7 ê 2L + 2 x − 7 x ^ 2
350
35
Normal@Series@f@xD, 8x, 0, 7<DD
2 x − 7 x2 +
14. f HxL = sec x
In[1]:=
Out[3]=
27 x10ê3
16 x7ê2
−
350
35
H∗ Desenvolvimento de Taylor de f HxL = sec x ∗L
Clear@x, fD;
f@x_D := Sec@xD
Normal@Series@f@xD, 8x, 0, 9<DD
1+
x2
5 x4
61 x6
277 x8
+
+
+
2
24
720
8064
15. f HxL = log cos x
In[1]:=
Out[3]=
16. f(x) =
H∗ Desenvolvimento de Taylor de f HxL = log cos x ∗L
Clear@x, fD;
f@x_D := Log@Cos@xDD
Normal@Series@f@xD, 8x, 0, 9<DD
−
x2
x4
x6
17 x8
−
−
−
2
12
45
2520
è!!!!!!!!!!!!!
1 +x
Rijo Cal 2 Capitulo 2.nb
In[18]:=
Out[20]=
17
H∗ Desenvolvimento de Taylor de f HxL =
Clear@x, fD;
è!!!!!!!!!!!!!
f@x_D :=
1 + x
Normal@Series@f@xD, 8x, 0, 5<DD
1+
è!!!!!!!!!!!!!!
1 + x ∗L
x
x2
x3
5 x4
7 x5
−
+
−
+
2
8
16
128
256
17. f HxL = Ÿ0 e−t
x
2
t
H∗ Desenvolvimento de Taylor de f HxL = Ÿ0 e−t
x
In[1]:=
2
t ∗L
Clear@x, fD;
f@x_D := Integrate@Exp@−t ^ 2D, 8t, 0, x<D
Normal@Series@f@xD, 8x, 0, 9<DD
Out[3]=
x−
x3
x5
x7
x9
+
−
+
3
10
42
216
18. f HxL = H1 + xLn
In[1]:=
Out[3]=
H∗ Desenvolvimento de Taylor de f HxL = H1 + xLn ∗L
Clear@x, fD;
f@x_D := H1 + xL ^ n
Normal@Series@f@xD, 8x, 0, 5<DD
1
1
H−1 + nL n x2 +
H−2 + nL H−1 + nL n x3 +
2
6
1
1
H−3 + nL H−2 + nL H−1 + nL n x4 +
H−4 + nL H−3 + nL H−2 + nL H−1 + nL n x5
24
120
1+nx+
19. f HxL = 1 ë
In[1]:=
è!!!!!!!!!!!!!!!!!!
H1 + xL
è!!!!!!!!!!!!!!
H∗ Desenvolvimento de Taylor de f HxL = 1ë 1 + x ∗L
Clear@x, fD;
è!!!!!!!!!!
f@x_D := 1 ë 1 + x
Normal@Series@f@xD, 8x, 0, 7<DD
Out[3]=
1−
20. f HxL =
In[21]:=
x
3 x2
5 x3
35 x4
63 x5
231 x6
429 x7
+
−
+
−
+
−
2
8
16
128
256
1024
2048
è!!!!!!!!!!!!!
1 − x
è!!!!!!!!!!!!!!
H∗ Desenvolvimento de Taylor de f HxL = 1ë 1 − x ∗L
Clear@x, fD;
è!!!!!!!!!!!!!
f@x_D :=
1 − x
Normal@Series@f@xD, 8x, 0, 7<DD
Out[23]=
1−
x
x2
x3
5 x4
7 x5
21 x6
33 x7
−
−
−
−
−
−
2
8
16
128
256
1024
2048
18
Rijo Cal 2 Capitulo 2.nb
2.4 Unicidade da fórmula de Taylor
Quando duas funções f e g são tais que o quociente f(x)/g(x) tende a zero com x tendendo a um certo x0 , dizemos
que f é de ordem pequena em relação a g, para x Ø x0 e escrevemos
f(x) = o(g(x)), x Ø x0 .
Por exemplo,
sen2 x = o(x) e cos 1/x = o(1/x)
pois ambos quocientes
2
cosH1êxL
sen x
sen x
ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅ = (sen x) ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅ e ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ = x cos (1/x)
x
x
1êx
tendem a zero com x Ø 0.
Quando apenas sabemos que o quociente f(x)/g(x) permanece limitado numa vizinhança de x0 , dizemos que f é de
ordem grande em relação a g, para, x Ø x0 e escrevemos
f(x) = O(g(x)), x Ø x0 .
Por exemplo,
ex − 1 − x = O Hx2 L e
sen x − x = O Hx3 L com
x → 0.
EXEMPLO 1. (GA2, pág. 35) Determinar a fórmula de Taylor da função f(x) = 1/(1 - x)
In[1]:=
Out[3]=
H∗ Desenvolvimento de Taylor de f HxL = 1êH1 − xL. ∗L
Clear@x, fD;
f@x_D := 1 ê H1 − xL
Normal@Series@f@xD, 8x, 0, 7<DD
1 + x + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7
EXEMPLO 2. (GA2, pág. 35) Determinar a fórmula de Taylor da função f(t) = 1/(1 + t2 )
In[1]:=
Out[3]=
H∗ Desenvolvimento de Maclaurin de f HxL = 1êH1 + t2 L. ∗L
Clear@t, fD;
f@t_D := 1 ê H1 + t2 L
Normal@Series@f@tD, 8t, 0, 11<DD
1 − t2 + t4 − t6 + t8 − t10
Exercícios
1. Use as fórmulas de Taylor das funções ex e e-x para obter fórmulas análogas das funções cosh x = Hex + e-x L ê 2 e
sinh x = Hex - e-x L ê 2
Rijo Cal 2 Capitulo 2.nb
In[27]:=
Out[29]=
In[30]:=
Out[32]=
In[33]:=
Out[35]=
In[36]:=
Out[38]=
19
H∗ Fórmula de Taylor de Hex + e−x Lê2
Clear@x, fD;
f@x_D := H x + −x L ê 2
Normal@Series@f@xD, 8x, 0, 9<DD
1+
x2
x4
x6
x8
+
+
+
2
24
720
40320
H∗ Fórmula de Taylor de cosh HxL
Clear@x, fD;
f@x_D := Cosh@xD
Normal@Series@f@xD, 8x, 0, 9<DD
1+
∗L
x2
x4
x6
x8
+
+
+
2
24
720
40320
H∗ Fórmula de Taylor de Hex − e−x Lê2
Clear@x, fD;
f@x_D := H x − −x L ê 2
Normal@Series@f@xD, 8x, 0, 9<DD
x+
∗L
x3
x5
x7
x9
+
+
+
6
120
5040
362880
H∗ Fórmula de Taylor de senh HxL
Clear@x, fD;
f@x_D := Sinh@xD
Normal@Series@f@xD, 8x, 0, 9<DD
x+
∗L
∗L
x3
x5
x7
x9
+
+
+
6
120
5040
362880
2. Determine a fórmula de Taylor de f(x) = tg x
In[1]:=
Out[3]=
H∗ Fórmula de Taylor de f HxL = tg HxL
Clear@x, fD;
f@x_D := Tan@xD
Normal@Series@f@xD, 8x, 0, 9<DD
x+
∗L
x3
2 x5
17 x7
62 x9
+
+
+
3
15
315
2835
4. Determine a fórmula de Taylor de f(x) = sin x - tg x
In[1]:=
Out[3]=
H∗ Fórmula de Taylor de f HxL = sin x − tg x
Clear@x, fD;
f@x_D := Sin@xD − Tan@xD
Normal@Series@f@xD, 8x, 0, 9<DD
−
x3
x5
13 x7
529 x9
−
−
−
2
8
240
24192
7. Determine a fórmula de Taylor de f(x) = sen 2x
∗L
20
Rijo Cal 2 Capitulo 2.nb
In[1]:=
Out[3]=
H∗ Fórmula de Taylor de f HxL = sin 2 x ∗L
Clear@x, fD;
f@x_D := Sin@2 xD
Normal@Series@f@xD, 8x, 0, 9<DD
2x−
4 x3
4 x5
8 x7
4 x9
+
−
+
3
15
315
2835
8. Determine a fórmula de Taylor de f(x) = cos2 x
In[1]:=
Out[3]=
H∗ Fórmula de Taylor de f HxL = cos2 x ∗L
Clear@x, fD;
f@x_D := Cos@xD2
Normal@Series@f@xD, 8x, 0, 9<DD
1 − x2 +
x4
2 x6
x8
−
+
3
45
315
9. Determine a fórmula de Taylor de f(x) = Hsen x ê xL2
In[1]:=
Out[3]=
H∗ Fórmula de Taylor de f HxL = Hsin xêxL2 ∗L
Clear@x, fD;
f@x_D := HSin@xD ê xL2
Normal@Series@f@xD, 8x, 0, 9<DD
1−
x2
2 x4
x6
2 x8
+
−
+
3
45
315
14175
10. Determine a fórmula de Taylor de f(x) = Hex - 1L cos x ê ex
In[1]:=
Out[3]=
H∗ Fórmula de Taylor de f HxL = Hex − 1L cos xêex ∗L
Clear@x, fD;
f@x_D := HExp@xD − 1L Cos@xD ê Exp@xD
Normal@Series@f@xD, 8x, 0, 7<DD
x−
x2
x3
5 x4
x5
x6
x7
−
+
−
−
+
2
3
24
30
720
630
11. Determine a fórmula de Taylor de f(x) =
In[1]:=
Out[3]=
è!!!!!!!!!!!!!
1 - x cos x
H∗ Fórmula de Taylor de f HxL =
Clear@x, fD;
è!!!!!!!!!!!!!
f@x_D := 1 − x Cos@xD
Normal@Series@f@xD, 8x, 0, 7<DD
1−
x
5 x2
3 x3
25 x4
13 x5
349 x6
401 x7
−
+
+
−
−
−
2
8
16
384
768
46080
92160
12. Determine a fórmula de Taylor de f(x) = sen x /(x
In[1]:=
è!!!!!!!!!!!!!!
1 − x cos x ∗L
è!!!!!!!!!!!!!
1+ x)
H∗ Desenvolvimento de Maclaurin de f HxL = sen xëIx
Clear@x, fD;
f@x_D := Sin@xD ë Ix
è!!!!!!!!!!!!!!
1 + x M ∗L
è!!!!!!!!!!!!!
1 + xM
Normal@Series@f@xD, 8x, 0, 7<DD
Out[3]=
1−
x
5 x2
11 x3
421 x4
761 x5
59009 x6
110291 x7
+
−
+
−
+
−
2
24
48
1920
3840
322560
645120
Rijo Cal 2 Capitulo 2.nb
14. Determine a fórmula de Taylor de f(x) = sec x
In[1]:=
Out[3]=
H∗ Fórmula de Taylor de f HxL = sec x ∗L
Clear@x, fD;
f@x_D := Sec@xD
Normal@Series@f@xD, 8x, 0, 7<DD
1+
x2
5 x4
61 x6
+
+
2
24
720
15. Determine a fórmula de Taylor de f(x) = x/sen x
In[1]:=
Out[3]=
H∗ Fórmula de Taylor de f HxL = xêsen x ∗L
Clear@x, fD;
f@x_D := x ê Sin@xD
Normal@Series@f@xD, 8x, 0, 7<DD
1+
x2
7 x4
31 x6
+
+
6
360
15120
16. Determine a fórmula de Taylor de f(x) = tg = sen x (1/cos x)
In[1]:=
Out[3]=
In[4]:=
Out[6]=
H∗ Fórmula de Taylor de f HxL = sen xêH1êcos xL ∗L
Clear@x, fD;
f@x_D := Tan@xD
Normal@Series@f@xD, 8x, 0, 7<DD
x+
x3
2 x5
17 x7
+
+
3
15
315
H∗ Desenvolvimento de Maclaurin de f HxL = Hsen xL H1êcos xL ∗L
Clear@x, fD;
f@x_D := Sin@xD H1 ê Cos@xDL
Normal@Series@f@xD, 8x, 0, 7<DD
x+
x3
2 x5
17 x7
+
+
3
15
315
Use fórmulas de Taylor para calcular os limites dos Exercícios 17 a 22.
17. limxØ0 (2(1 - cos x) -x sen x) ê Hx2 H1 - cos xLL
In[1]:=
Out[3]=
In[4]:=
Out[4]=
H∗ Calcule o limx→0 H2 H1−cosxL−x sen xL êHx2 H1 − cos xLL ∗L
Clear@x, fD;
f@x_D := H2 H1 − Cos @xDL − x Sin@xDL ê Hx2 H1 − Cos@xDLL
Normal@Series@f@xD, 8x, 0, 7<DD
x4
x6
1
x2
+
+
+
360
15120
604800
6
H∗ Calcula o limite do desenvolvimento de Maclaurin de f HxL ∗L
Limit@%, x → 0D
1
6
21
22
Rijo Cal 2 Capitulo 2.nb
In[5]:=
Out[5]=
H∗ Calcula diretamente o limite de f HxL ∗L
Limit@f@xD, x → 0D
1
6
è!!!!!!!!!!!!!
18. limhØ0 ( 1 + h - 1) ê sen 2 h
In[1]:=
H∗ Calcule o
è!!!!!!!!!!!!!!
limh→0 I 1 + h −1M ê sen 2 h ∗L
Clear@h, fD;
è!!!!!!!!!!!!
f@h_D := I 1 + h − 1M ë Sin@ 2 hD
Normal@Series@f@hD, 8h, 0, 5<DD
Out[3]=
In[4]:=
Out[4]=
In[5]:=
Out[5]=
1
h
19 h2
47 h3
2587 h4
3937 h5
−
+
−
+
−
4
16
96
768
23040
92160
H∗ Calcula o limite do desenvolvimento de Maclaurin de f HxL ∗L
Limit@%, h → 0D
1
4
H∗ Calcula diretamente o limite de f HxL ∗L
Limit@f@hD, h → 0D
1
4
è!!!!!!!!!!!!!
19. limxØ0 ex sen x ë I 9 - x - 3M
In[1]:=
H∗ Calcule o
è!!!!!!!!!!!!!!
limx→0 ex sen x ë I 9 − x −
3M ∗L
è!!!!!!!!!!!!!
f@x_D := Exp@xD Sin@xD ë I 9 − x − 3M
Clear@x, fD;
Normal@Series@f@xD, 8x, 0, 5<DD
Out[3]=
In[4]:=
Out[4]=
In[5]:=
Out[5]=
−6 −
H∗ Calcula o limite do desenvolvimento de Maclaurin de f HxL ∗L
Limit@%, x → 0D
−6
H∗ Calcula diretamente o limite de f HxL ∗L
Limit@f@xD, x → 0D
−6
20. limxØ0 I1 In[1]:=
35 x
395 x2
235 x3
282481 x4
1542293 x5
−
+
+
+
6
216
3888
1399680
25194240
è!!!!!!!!!!!!!!2! 2
1 + x 3M /(cos x - 1)
H∗ Calcule o
Clear@x, fD;
f@x_D := I1 −
limx→0 I1 −
2
è!!!!!!!!!!!!!!!!
1 + x2 3M íHcos x−1L ∗L
è!!!!!!!!!!!!! 2
1 + x M í HCos@xD − 1L
Normal@Series@f@xD, 8x, 0, 5<DD
Out[3]=
−
1
x
19 x2
25 x3
373 x4
191 x5
+
−
+
−
+
2
4
96
192
3840
2560
Rijo Cal 2 Capitulo 2.nb
In[4]:=
Out[4]=
In[5]:=
Out[5]=
23
H∗ Calcula o limite do desenvolvimento de Maclaurin de f HxL ∗L
Limit@%, x → 0D
−
1
2
H∗ Calcula diretamente o limite de f HxL ∗L
Limit@f@xD, x → 0D
−
1
2
2
21. limxØ0 (ex - 1)/ sen 3 x2
In[1]:=
Out[3]=
In[4]:=
Out[4]=
In[5]:=
Out[5]=
H∗ Calcule o
limx→0 Hex −1Lêsen 3 x2 ∗L
Clear@x, fD;
f@x_D := HExp@x2 D − 1L ê Sin@3 x2 D
Normal@Series@f@xD, 8x, 0, 7<DD
2
5 x4
19 x6
1
x2
+
+
+
6
9
72
3
H∗ Calcula o limite do desenvolvimento de Maclaurin de f HxL ∗L
Limit@%, x → 0D
1
3
H∗ Calcula diretamente o limite de f HxL ∗L
Limit@f@xD, x → 0D
1
3
22. limxØ0 (log (1 + x2 ) - x2 )/((1 - cos x) sen2 x )
In[1]:=
Out[3]=
In[4]:=
Out[4]=
In[5]:=
Out[5]=
H∗ Calcule o limx→0 Hlog H1+x2 L−x2 LêHH1−cos xL sen2 xL ∗L
Clear@x, fD;
f@x_D := HLog@1 + x2 D − x2 L ê HH1 − Cos@xDL Sin@xD2 L
Normal@Series@f@xD, 8x, 0, 9<DD
−1 +
x2
77 x4
7249 x6
30029 x8
−
+
−
4
240
30240
145152
H∗ Calcula o limite do desenvolvimento de Maclaurin de f HxL ∗L
Limit@%, x → 0D
−1
H∗ Calcula diretamente o limite de f HxL ∗L
Limit@f@xD, x → 0D
−1
24
Rijo Cal 2 Capitulo 2.nb
2.5 Fórmula de Taylor na forma geral
Seja f(x) uma função derivável até a ordem n + 1, numa vizinhança V de x = a, o polinômio de Taylor de ordem
n
p(x) = f(a) + f'(a)(x - a) +
f'' HaL
2!
Hx − aL2 + ... +
f HnL HaL
n!
Hx − aLn
aproxima f(x) em V.
Series[f[x], {x, a, n}] gera a fórmula de Taylor de grau n na vizinhança do
ponto a.
In[1]:=
Out[2]=
H∗ Desenvolvimento em série
de Taylor de f HxL na vizinhança V de x = a ∗L
Clear@x, fD;
Series@f@xD, 8x, a, 5<D
f@aD + f @aD Hx − aL +
1
1 H3L
f @aD Hx − aL2 +
f @aD Hx − aL3 +
2
6
1 H4L
1
f @aD Hx − aL4 +
fH5L @aD Hx − aL5 + O@x − aD6
24
120
Normal[eries[f[x], {x, a, n}]] gera a fórmula de Taylor de grau n em torno
do ponto a, sem o termo 0 @xDn .
In[1]:=
Out[2]=
H∗ Desenvolvimento em série
de Taylor de f HxL na vizinhança V de x = a ∗L
Clear@x, fD;
Normal@Series@f@xD, 8x, a, 5<DD
f@aD + H−a + xL f @aD +
1
H−a + xL2 f @aD +
2
1
1
1
H−a + xL4 fH4L @aD +
H−a + xL5 fH5L @aD
H−a + xL3 fH3L @aD +
24
120
6
EXEMPLO 1. (GA2, pág. 43) Determinar a fórmula de Taylor da função f(x) = 1/x , relativa ao ponto a = 2.
In[1]:=
Out[3]=
H∗ Fórmula de Taylor de f HxL = 1êx relativa ao ponto a = 2 ∗L
Clear@x, fD;
f@x_D := 1 ê x
Normal@Series@f@xD, 8x, 2, 5<DD
1
2−x
1
1
1
1
+
+
H−2 + xL2 −
H−2 + xL3 +
H−2 + xL4 −
H−2 + xL5
2
4
8
16
32
64
EXEMPLO 2. (GA2, pág. 44) Calcular o co-seno de 460 usando a formula de Taylor de cos(x) , relativa ao ponto
a = p/4.
Rijo Cal 2 Capitulo 2.nb
In[84]:=
25
f@x_D := Cos@xD
ex2 = Normal@Series@f@xD, 8x, π ê 4, 2<DD ê. x −> 46 π ê 180
1
π
π2
è!!!
è!!! −
è!!! −
64800 2
2
180 2
Out[85]=
Esses três termos da série de Taylor são suficientes para se obter o valor do co −
seno de 460 com seis casas decimais exatas. De fato,
In[86]:=
N@ex2D
Cos@46 π ê 180D êê N
Out[86]=
0.694658
Out[87]=
0.694658
Animação
Vamos usar a fórmula de Taylor de cos(x), relativa ao ponto a = p/4, para ilustrar graficamente o comportamento da
aproximação para pontos distantes de a.
In[88]:=
Out[90]=
In[92]:=
H∗ Fórmula de Taylor de cos HxL relativa ao ponto a = πê4 ∗L
Clear@x, fD;
f@x_D := Cos@xD
Normal@Series@f@xD, 8x, π ê 4, 5<DD
H− π4 + xL3
H− π4 + xL4
H− π4 + xL5
− π4 + x
H− π4 + xL2
1
+
+
−
−
è!!!
è!!!
è!!!
è!!!
è!!! − è!!!
2 2
6 2
24 2
120 2
2
2
H∗ Fórmula de Taylor da função sen x relativa ao ponto de a = πê4 ∗L
tlist = Table@Normal@Series@f@xD, 8x, π ê 4, n<DD, 8n, 18<D;
plots = Map@Plot@8#, f@xD<, 8x, −2 Pi, 2 Pi<, PlotRange → 8−3, 3<,
PlotStyle → 88RGBColor@0, 0, 1D<, 8RGBColor@1, 0, 0D<<,
Epilog → [email protected], Point@8Pi ê 4, 1 ê Sqrt@2D<D<D &, tlistD;
3
2
1
-6
-4
-2
2
-1
-2
-3
4
6
26
Rijo Cal 2 Capitulo 2.nb
In[93]:=
H∗ Animação da aproximação de Taylor
da função sen x relativa ao ponto de a = πê4 ∗L
Show@GraphicsArray@88plots@@1DD, plots@@2DD, plots@@3DD<,
8plots@@4DD, plots@@5DD, plots@@6DD<,
8plots@@7DD, plots@@8DD, plots@@9DD<,
8plots@@10DD, plots@@11DD, plots@@12DD<<DD;
3
2
1
-6 -4 -2-1
-2
-3
3
2
1
2
4
6
3
2
1
-6 -4 -2-1
-2
-3
2
4
6
4
6
-6 -4 -2-1
-2
-3
-6 -4 -2-1
-2
-3
2
4
6
-6 -4 -2-1
-2
-3
2
4
6
-6 -4 -2-1
-2
-3
4
6
-6 -4 -2-1
-2
-3
4
6
2
4
6
2
4
6
2
4
6
3
2
1
2
4
6
-6 -4 -2-1
-2
-3
3
2
1
2
2
3
2
1
3
2
1
3
2
1
-6 -4 -2-1
-2
-3
2
3
2
1
3
2
1
-6 -4 -2-1
-2
-3
-6 -4 -2-1
-2
-3
3
2
1
3
2
1
2
4
6
-6 -4 -2-1
-2
-3
Exercícios
Obtenha a fórmula de Taylor de ordem n, relativa ao ponto x = a, para cada uma das funções dos Exercícios 1 a 15.
1. f(x) = log x, a = 1
In[1]:=
Out[3]=
H∗ Fórmula de Taylor de f HxL = log HxL
Clear@x, fD;
f@x_D := Log@xD
Normal@Series@f@xD, 8x, 1, 5<DD
−1 −
∗L
1
1
1
1
H−1 + xL2 +
H−1 + xL3 −
H−1 + xL4 +
H−1 + xL5 + x
2
3
4
5
2. f(x) = ex a arbitário
Rijo Cal 2 Capitulo 2.nb
In[1]:=
Out[3]=
3. f(x) =
In[1]:=
Out[3]=
27
H∗ Fórmula de Taylor de f HxL = ex , a arbitrário
Clear@x, fD;
f@x_D := Exp@xD
Normal@Series@f@xD, 8x, a, 5<DD
a
+
a
H−a + xL +
è!!!
x a = 1.
1
2
a
H−a + xL2 +
1
6
H∗ Fórmula de Taylor de f HxL =
Clear@x, fD;
è!!!!
f@x_D := x
Normal@Series@f@xD, 8x, 1, 5<DD
1+
a
H−a + xL3 +
è!!!
x, a = 1
1
24
∗L
a
H−a + xL4 +
1
120
Out[3]=
1
1
1
5
7
H−1 + xL −
H−1 + xL2 +
H−1 + xL3 −
H−1 + xL4 +
H−1 + xL5
2
8
16
128
256
H∗ Fórmula de Taylor de f HxL = sen x, a = πê2
Clear@x, fD;
f@x_D := Sin@xD
Normal@Series@f@xD, 8x, π ê 2, 7<DD
1−
∗L
2
4
6
1
π
1
π
1
π
I−
+ xM +
I−
+ xM −
I−
+ xM
2
2
24
2
720
2
5. f(x) = 1 ê x a = -1.
In[1]:=
Out[3]=
H∗ Fórmula de Taylor de f HxL = 1êx, a = −1
Clear@x, fD;
f@x_D := 1 ê x
Normal@Series@f@xD, 8x, −1, 7<DD
Out[3]=
∗L
−2 − x − H1 + xL2 − H1 + xL3 − H1 + xL4 − H1 + xL5 − H1 + xL6 − H1 + xL7
6. f(x) = 1 ê H1 - Hx - 3L2 L a = 3.
In[1]:=
H∗ Fórmula de Taylor de f HxL = 1êH1
Clear@x, fD;
f@x_D := 1 ê H1 − Hx − 3L2 L
Normal@Series@f@xD, 8x, 3, 9<DD
− Hx − 3L2 L,
a = 3.
∗L
1 + H−3 + xL2 + H−3 + xL4 + H−3 + xL6 + H−3 + xL8
7. f(x) = x ê Hx - 1L a = -2.
In[1]:=
Out[3]=
H−a + xL5
∗L
4. f(x) = sen x a = p/2.
In[1]:=
a
H∗ Fórmula de Taylor de f HxL = xêHx − 1L,
Clear@x, fD;
f@x_D := x ê Hx − 1L
Normal@Series@f@xD, 8x, −2, 5<DD
a = −2.
∗L
2
1
1
1
1
1
+
H−2 − xL −
H2 + xL2 −
H2 + xL3 −
H2 + xL4 −
H2 + xL5
3
9
27
81
243
729
8. f(x) = cos x a = p/4..
28
Rijo Cal 2 Capitulo 2.nb
In[1]:=
Out[3]=
H∗ Fórmula de Taylor de f HxL = cos x, x = πê4
Clear@x, fD;
f@x_D := Cos@xD
Normal@Series@f@xD, 8x, π ê 4, 4<DD
∗L
H− π4 + xL2
H− π4 + xL3
H− π4 + xL4
− π4 + x
1
−
+
+
−
è!!!
è!!!
è!!!
è!!!
è!!!
2
2 2
6 2
24 2
2
9. f(x) = sen x a = p/4..
In[1]:=
Out[3]=
H∗ Fórmula de Taylor de f HxL = sen x, x = πê4
Clear@x, fD;
f@x_D := Sin@xD
Normal@Series@f@xD, 8x, π ê 4, 4<DD
∗L
H− π4 + xL3
H− π4 + xL4
− π4 + x
H− π4 + xL2
1
−
+
+
−
è!!!
è!!!
è!!!
è!!!
è!!!
2 2
6 2
24 2
2
2
10. f(x) = senh x a arbtário.
In[1]:=
Out[3]=
H∗ Fórmula de Taylor de f HxL = senh x, x arbitário
Clear@x, fD;
f@x_D := Sinh@xD
Normal@Series@f@xD, 8x, a, 4<DD
∗L
H−a + xL Cosh@aD +
1
H−a + xL3 Cosh@aD +
6
1
1
Sinh@aD +
H−a + xL2 Sinh@aD +
H−a + xL4 Sinh@aD
2
24
11. f(x) = cosh x a arbtário.
In[1]:=
Out[3]=
H∗ Fórmula de Taylor de f HxL = cosh x, x arbitário
Clear@x, fD;
f@x_D := Cosh@xD
Normal@Series@f@xD, 8x, a, 4<DD
Cosh@aD +
∗L
1
H−a + xL2 Cosh@aD +
2
1
1
H−a + xL4 Cosh@aD + H−a + xL Sinh@aD +
H−a + xL3 Sinh@aD
24
6
12. f(x) = xa , a = 1.
In[1]:=
Out[3]=
H∗ Fórmula de Taylor de f HxL = xα , a = 1
Clear@x, fD;
f@x_D := xα
Normal@Series@f@xD, 8x, 1, 4<DD
1 + H−1 + xL α +
∗L
1
H−1 + xL2 H−1 + αL α +
2
1
1
H−1 + xL3 H−2 + αL H−1 + αL α +
H−1 + xL4 H−3 + αL H−2 + αL H−1 + αL α
6
24
13. f(x) = sen x, a = -p.
Rijo Cal 2 Capitulo 2.nb
In[1]:=
Out[3]=
H∗ Fórmula de Taylor de f HxL = sen x, a = −π
Clear@x, fD;
f@x_D := Sin@xD
Normal@Series@f@xD, 8x, −π, 9<DD
−π − x +
29
∗L
1
1
Hπ + xL7
Hπ + xL9
Hπ + xL3 −
Hπ + xL5 +
−
6
120
5040
362880
14. f(x) = cos x, a = 2 p.
In[1]:=
Out[3]=
H∗ Fórmula de Taylor de f HxL = cos x, a = 2 π
Clear@x, fD;
f@x_D := Cos@xD
Normal@Series@f@xD, 8x, 2 π, 9<DD
1−
∗L
1
1
1
H−2 π + xL8
H−2 π + xL2 +
H−2 π + xL4 −
H−2 π + xL6 +
2
24
720
40320
15. f(x) = sen x, a = p/6.
In[1]:=
Out[3]=
H∗ Fórmula de Taylor de f HxL = sen x, a = πê6
Clear@x, fD;
f@x_D := Sin@xD
Normal@Series@f@xD, 8x, π ê 6, 4<DD
∗L
2
4
H− π6 + xL3
1
1 è!!!
1
π
π
1
π
+
+
I−
+ xM
3 I−
+ xM −
I−
+ xM −
è!!!
2
2
48
6
6
4
6
4 3
CAPÍTULO 3
Seqüencias Infinitas
Iniciar o MathKernel
In[1]:=
Out[1]=
2 + 2 H∗ Este comando inicia o MathKernel ∗L
4
2
Rijo Cal 2 Capitulo 3.nb
3.1 Introdução
O Estudo da aproximação de funções por polinômios, feito no capítulo anterior, leva, naturalmente à considerações de
soma infinita. Por exemplo, vimos que a função ex tem a seguinte fórmula de Taylor:
x
x
x
x
ÅÅ + ÅÅÅÅ
ÅÅ + ÅÅÅÅ
ÅÅ + . . .+ ÅÅÅÅ
ÅÅ + . . . Rn HxL
ex = 1 + x + ÅÅÅÅ
2!
3!
4!
n!
2
3
4
n
onde Rn HxL= ec xn + 1 ê Hn + 1L e c é um número entre 0 e x. Veremos mais adiante que tende a zero con n Ø ¶, o que
sugere que se n crescer acima de qualquer número dado, Rn HxL tenderá a zero e a função ex será dada, exatamente,
pela 'soma infinita"
x
x
x
x
ÅÅ + ÅÅÅÅ
ÅÅ + ÅÅÅÅ
ÅÅ + . . .+ ÅÅÅÅ
ÅÅ + . . . Rn HxL
ex = 1 + x + ÅÅÅÅ
2!
3!
4!
n!
2
Do mesmo modo, a fórmula
3
4
n
H-1L x
H-1L x
x
x
ÅÅ + ÅÅÅÅ
ÅÅ - . . . - ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅnÅÅÅÅÅÅÅÅÅ + ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
lnHx + 1L = 1 - ÅÅÅÅ
2
3
Hn + 1L Hn + cLn + 1
2
n
3
n
n
n+1
sugere que se possa exprimir ln(1 + x) em termos da seguinte "soma infinita":
2
3
4
x
x
x
ÅÅ + ÅÅÅÅ
ÅÅ - ÅÅÅÅ
ÅÅ
lnHx + 1L = 1 - ÅÅÅÅ
2
3
4
Muitas funções que aparecem no Cálculo são passíveis de desenvolvimentos desse tipo, em que a função passa a ser
um "polinômio infinito". Isto facilita muito o tratamento das funções. Entretanto, temos de interpretar essas "somas
infinitas" e saber o seu significado preciso. Lidar com o infinito sempre foi um problema dif[icil.; e os matemáticos
sabem disso há mais de dois milênios. E para que o leiter tenmha uma idéia das dificuldades que podem surgir, vamos
logo dar um exemplo simples e bastante esclarecedor. Considere a série infinita
S=1-1+1-1+1-1+1...
Se escrevermos S = (1 - 1) + (1 - 1) + ( 1 - 1) . . . teremos, evidentemente, S = 0. Mas, também podemos escrever
S = 1 - (1 - 1) - (1 - 1) - (1 - 1) - ...
e agora concluimos que S = 1. Ainda há uma terceira possibilidade,
S = 1 - (1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 ...) = 1 - S, donde 2S = 1, donde S = 1/2.
Afinal, S = 0, S = 1 ou S = 1/2? Por que três respostas diferentes?
Rijo Cal 2 Capitulo 3.nb
3
3.2 Seqüência infinita
Uma seqüência ou sucessão infinita a1 , a2 , a3 , , ...,an , ...
é que uma função f, definida no conjunto dos números inteiros positivos, atribuindo a n o valor an ; assim
f: 1 Ø f(1) = a1 ,
f: 2 Ø f(2) = a2 ,
f: 3 Ø f(3) = a3 , etc.
3.3 Conceito de limite
Diz-se que uma seqüência Han L converge para um número L ou tem limite L se, dado qualquer numéro e > 0, é
sempre possível encontrar um número N tal que
n > N ï |an - L| < e .
Seqüências divergentes
Diz-se que uma seqüência an tem limite +¶ , ou que é divergente para +¶, se, dado qualquer numéro K, por
grande que seja, é sempre possível determinar um número N tal que
n > N ï an > K.
Diz-se que uma seqüência an tem limite -¶ , ou que é divergente para -¶, se, dado qualquer numéro K, pode-se
determinar N tal que n > N ï an < K.
Algumas seqüências especiais
4
Rijo Cal 2 Capitulo 3.nb
3.4 Propriedades do limite
Diz-se que uma seqüência Han L converge para um número L ou tem limite L se, dado qualquer numéro e > 0, é
sempre possível encontrar um número N tal que
n > N ï |an - L| < e
Propriedade do triângulo
Conseqüências da desigualdade do triângulo
Operações com limites
Teorema: Se Han L e Hbn L convergem para os limites a e b, respectivamente, então
i) an + bn Ø a + b;
ii) an bn Ø ab;
iii) an /bn Ø a/b, no pressuposto de que os denominadores não se anulam;
iv) kan Ø ka, onde k é um número qualquer.
3.5 Seqüências monótonas
Uma seqüência Han L chama-se crescente se a1 < a2 < a3 < . . ., isto é, se an < an + 1 para todo n; e drescente se a1 >
a2 > a3 > . . .Se an § an +1 para todo n, a seqüêencia é chamada não-decescente, ao passo que ela é não-crescente
se a desigualdade for an ¥ an + 1 . As seqüências crescentes, decrescentes, não-crescentes e não-decrescentes são
chamadas seqüências monôtonas. Essas seqüências têm a importante propriedade de serem covergentes, caso
sejam limitadas.
Exercícios
Determine a soma das séries dadas nos Exercícios 1 a 11.
Rijo Cal 2 Capitulo 3.nb
1.
In[2]:=
5
H∗ Limite da seqüência n! e nn ∗L
Limit@n !, n → ∞D
Limit@nn , n → ∞D
Out[2]=
∞
Out[3]=
∞
In[92]:=
H∗ Limite da seqüência 0, 3ê2, −2ê3, 5ê4, −4ê5, ... ,1ên + H−1L^n ∗L
Limit@1 ê n + H−1Ln , n → ∞D
2.
Out[92]=
3.
In[92]:=
Out[92]=
4.
In[92]:=
Out[92]=
5.
In[93]:=
Out[93]=
6.
In[94]:=
Out[94]=
LimitAH−1Ln +
1
, n → ∞E
n
H∗ Limite da seqüência 1, 10, 2, 102 , 3, 103 ...
Limit@1 ê n + H−1Ln , n → ∞D
LimitAH−1Ln +
1
, n → ∞E
n
H∗ Limite da seqüência 2, 3, 5, 7,
9, 11, 13 ... pn Hn−ésimo número primoL ∗L
Limit@1 ê n + H−1Ln , n → ∞D
LimitAH−1Ln +
1
, n → ∞E
n
H∗ Limite da seqüência n∗cos
è!!!
n ëHn2 − 1L ∗L
Limit@n Cos@nD ê Hn2 + 1L, n → ∞D
0
H∗ Limite da seqüência sen Hn2 − 1LêHn2 − 1L ∗L
Limit@Sin@n2 + 1D ê Hn2 + 1L, n → ∞D
0
∗L
6
Rijo Cal 2 Capitulo 3.nb
7.
In[96]:=
Out[96]=
8.
In[97]:=
Out[97]=
9.
In[99]:=
Out[99]=
10.
In[101]:=
Out[101]=
11.
In[102]:=
Out[102]=
12.
In[104]:=
Out[104]=
13.
In[105]:=
Out[105]=
H∗ Limite da seqüência n2 êsen H1ênL ∗L
Limit@n2 ê Sin@1 ê nD, n → ∞D
∞
H∗ Limite da seqüência Hn − 1LêHn + 1L ∗L
Limit@Hn − 1L ê H n + 1L, n → ∞D
1
H∗ Limite da seqüência H4 n2 − 3 n + 1LêHn2 + 10 n + 5L ∗L
Limit@H4 n2 − 3 n + 1L ê H n2 + 10 n + 5L, n → ∞D
4
H∗ Limite da seqüência H2 + 3 nL H2 n − 10LêH4 n2 − 1L ∗L
Limit@H2 + 3 nL H2 n − 1L ê H 4 n2 − 1L, n → ∞D
3
2
è!!!
è!!!
H∗ Limite da seqüência I3 n n + 1MëI7 − 2 n n M ∗L
è!!!!
è!!!!
LimitAI3 n n + 1M ë I7 − 2 n n M, n → ∞E
−
3
2
è!!!
è!!!
H∗ Limite da seqüência I3 n + 2M I1 − 5 n MëH10 − 5 nL
è!!!!
è!!!!
LimitAI3 n + 2M I1 − 5 n M ë H10 − 5 nL, n → ∞E
3
è!!!
è!!!
è!!!
H∗ Limite da seqüência I2 − n M I n − 1MëI n + 7M
è!!!!
è!!!!
è!!!!
LimitAI2 −
n M I n − 1M ë I n + 7M, n → ∞E
−∞
∗L
∗L
Rijo Cal 2 Capitulo 3.nb
14.
In[2]:=
Out[2]=
15.
In[3]:=
Out[3]=
16.
In[4]:=
7
è!!!!!!!!!!!!!!!!
è!!!
H∗ Limite da seqüência n2 + 1 − n
è!!!!!!!!!!!!!!!
è!!!!
n , n → ∞E
LimitA n2 + 1 −
∞
è!!!!!!!!!!!!!!
è!!!
H∗ Limite da seqüência n + 1 − n
è!!!!!!!!!!!!! è!!!!!
LimitA n + 1 − n , n → ∞E
17.
In[5]:=
∗L
0
H∗ Limite da seqüência n2 êHn + 1L − n2 êHn + a + 1L
Limit@n ê Hn + 1L − n ê Hn + a + 1L , n → ∞D
2
Out[4]=
∗L
∗L
2
a
H∗ Limite da seqüência Tanh HnL ∗L
Limit@Tanh@nD , n → ∞D
Out[5]=
18.
In[6]:=
1
H∗ Limite da seqüência n∗en êH1 + e2 n L
Limit@n
Out[6]=
19.
In[7]:=
n
ê H1 +
2n
L , n → ∞D
∗L
0
è!!!!!!
è!!!!!!
H∗ Limite da seqüência I3 n! + e2 n MëI5 n! −
è!!!!!!!
è!!!!!!!
LimitAI3 n ! + 2 n M ë I5 n ! − n M, n → ∞E
en M ∗L
1
+ 1 + O@nD3 E.
n
1
Series::esss : Essential singularity encountered in GammaA + 1 + O@nD3 E.
n
1
Series::esss : Essential singularity encountered in GammaA + 1 + O@nD3 E.
n
Series::esss : Essential singularity encountered in GammaA
Out[7]=
General::stop : Further output of
Series::esss will be suppressed during this calculation.
!
2 n + 3 è!!!!!!
n!
LimitA
è!!!!!!! , n → ∞E
− n + 5 n!
8
Rijo Cal 2 Capitulo 3.nb
20.
In[8]:=
H∗ Limite da seqüência n2 H1 − Cos@aênDL
Limit@n H1 − Cos@a ê nDL , n → ∞D
2
Out[8]=
22.
In[11]:=
Out[11]=
23.
In[12]:=
a2
2
H∗ Limite da seqüência log HnLên
Limit@Log@nD ê n, n → ∞D
∗L
0
H∗ Limite da seqüência Hlog HnLLk ên
Limit@HLog@nDL ê n, n → ∞D
∗L
k
Out[12]=
24.
In[14]:=
0
H∗ Limite da seqüência log HnLên1êk
Limit@Log@nD ê n
1êk
Out[14]=
29.
In[16]:=
, n → ∞D
Limit@n−1êk Log@nD, n → ∞D
H∗ Limite da seqüência n1ên ∗L
Limit@n1ên , n → ∞D
Out[16]=
1
∗L
∗L
CAPÍTULO 4
Séries Infinitas
Iniciar o MathKernel
In[1]:=
Out[1]=
2 + 2 H∗ Este comando inicia o MathKernel ∗L
4
4.1 Definição e primeiros resultados
As séries infinitas surgem quando procuramos somar todos os elementos de uma dada swqüência Han L :
a1 + a2 + a3 + . . . + an + . . .
(4.1)
Embora seja impossível somar infinitos números, um após outro, podemos considerar as somas parciais
S1 = a1 , S2 = a2 + a2 ,
S3 = a1 + a2 + a3 , etc.
Em geral, denotamos por por Sn a soma dos primeiros n elementos da sequência Han L, que é
chamada soma parcial ou reduzida de ordem n associada a seqüência:
Sn = a1 + a2 + a3 + . . . + an =
⁄ a j.
n
j=1
Desse modo formamos uma nova seqüência infinita,
S1 , S2 , S3 . . . Sn , . . .
Supondo que ela tenha limite S então,
Definimos a soma infinita (4.1) como sendo este limite, que também se denota com o símbolo ⁄ a j , isto é
n
j=1
a1 + a2 + a3 + . . . + an + . . . = S = lim Sn = limn Ø ¶ ⁄ a j = ⁄ an .
Sum[an, {n, ¶}] acha a soma da série a1 + a2 + a3 + . . . + an + . . .
EXEMPLO 1. Consideremos o polinômio de Taylor da exponencial
n
¶
j=1
n=1
2
Rijo Cal 2 Capitulo 4.nb
x2
x3
x4
xn
+
+
+ . . .+
+ . . .Rn HxL
2!
3!
4!
n!
ex = 1 + x +
Fazendo x = 1, nesta expressão, obtemos o número e como soma de uma série infinita
In[9]:=
H∗ A soma da série
ex = 2 +
1
2!
+
1 + ⁄ 1ên! ∗L
1
3!
+
1
4!
+ . . .+
1
n!
∞
1 + Sum@1 ê n !, 8n, ∞<D
n = 1
Out[9]=
EXEMPLO 2. A série
1
1
1
1
1
+
+
+
...= ‚ n
2
4
8
16
2
∞
n=1
tem soma igual a 1
In[8]:=
Out[8]=
H∗ A soma da série
Sum@1 ê 2n , 8n, ∞<D
⁄ 1ê2n ∗L
∞
n = 1
1
EXEMPLO 3. Vamos considerar a série geométrica de razão r.
⁄ rn = 1 + r + r2 + . . . rn + . . .
∞
n=1
Seja
Sn = 1 + r + r2 + . . . rn
a soma parcial dos primeiros n + 1 termos da série. Tendo em vista que
r Sn = r + r2 + . . . rn + 1 = Sn + rn + 1 − 1,
obtemos
Sn =
rn + 1 − 1
r−1
se r ∫ 1
isto é
1 + r + r2 + . . . rn =
rn + 1 − 1
r−1
Se | r | < 1, então rn + 1 Ø 0e a expressão anterior torna-se no limite ,
1
ÅÅÅÅÅÅ .
⁄ rn = 1 + r + r2 + . . . rn + . . . = ÅÅÅÅ
1- r
¶
In[11]:=
Out[11]=
H∗ A soma da série
Sum@rn , 8n, ∞<D
r
−
−1 + r
n=1
⁄ rn ∗L
∞
n = 1
Se r>1,a série diverge para+¶.Se r<-1,a série oscila,aleternadamente,para+¶ e-¶,e nesse caso também diverge.
Rijo Cal 2 Capitulo 4.nb
3
EXEMPLO 4. A série
1
3
+
1
15
+
1
35
e uma série convergente. De fato,
H∗ A soma da série
In[12]:=
SumA
1
⁄
∞
n = 1
H2 n − 1 L H2 n + 1 L
+ . . .= ⁄
∞
1
H2 n − 1 L H2 n + 1 L
+ . . .+
n=1
1
H2 n − 1 L H2 n + 1 L
1
H2 n − 1 L H2 n + 1 L
∗L
, 8n, ∞<E
1
2
Out[12]=
Uma série que não converge é chamada divergente. Uma série pode divergir para +¶ ou para -¶, como é o caso
das séries
1 + 2 + 4 + . . . = ⁄ 2n = + ¶
n
- ÅÅÅÅ21 - ÅÅÅÅ32 - ÅÅÅÅ43 - . . .= ⁄ ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅ = - ¶
n-1
¶
n=1
¶
e
n=1
Outro tipo de série divergente é aquela em que as reduzidas apresentam um caráter oscilatório, como acontece
nas séries
H-1L n
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ = 2 - ÅÅÅÅ32 + ÅÅÅÅ43 - ÅÅÅÅ54 + . . .
⁄ ÅÅÅÅÅÅÅÅ
n-1
¶
n
n=1
H-1L n
16
25
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ = - ÅÅÅÅ12 + ÅÅÅÅ43 - ÅÅÅÅ94 + . ÅÅÅÅ
ÅÅ - ÅÅÅÅ
ÅÅ + . . .
⁄ ÅÅÅÅÅÅÅÅ
n+1
5
6
¶
e
n
2
n=1
Em geral não é fácil saber se uma série converge ou diverge. Para que ela seja convergente é necessário que seu
termo genérico yenda a zero como afirma o seguinte teorema.
Teorema. Dada uma série convergente ⁄ an ,seu termo genérico an tende a zero.
¶
n=1
A série harmômica
O exemplo mais notável de série divergente de termos positivos, cujo termo genérico tende a zero, é a chamada série
harmônica:
⁄ ÅÅÅÅ1n = 1 + ÅÅÅÅ12 + ÅÅÅÅ13 + ÅÅÅÅ14 + . . . .
¶
n=1
H∗ Série harmônica ∗L
1
SumA , 8n, ∞<E
n
Sum::div : Sum does not converge. More…
In[1]:=
‚
∞
Out[1]=
n=1
1
n
Propriedades operacionais
Teorema. a) Se ⁄ an converge e k é um número qualquer, então ⁄ k an converge e tem a soma k ⁄ an ;
¶
n=1
¶
b) Se ⁄ an e ⁄ bn convergem, então ⁄ Han + bn L convege e
¶
n=1
n=1
¶
¶
n=1
n=1
¶
n=1
¶
⁄ Han + bn L = ⁄ an + ⁄ bn .
n=1
¶
¶
n=1
n=1
4
Rijo Cal 2 Capitulo 4.nb
Série de termos não negativos
Teorema. Uma série de termos não- negativos ⁄ pn converge se a seqüência de suas reduzidas for limitada; e
¶
n=1
diverge para + ¶ se essa seqüência não for limitada. No caso de ser convergente,, a soma da série independe da
ordem de seus termos.
Exercícios
Determine a soma das séries dadas nos Exercícios 1 a 11.
1.
In[18]:=
H∗ Determinar a soma da série 1 + 2ê3 + 4ê9 + 8ê16 + ...=
‚
∞
H
2
3
L
n
∗L
Sum@H2 ê 3Ln , 8n, 0, ∞<D
n=1
Out[18]=
2.
3
H∗ Determinar a soma da série 1 − 4ê5 + 16ê25 + ... = ‚
∞
In[19]:=
Out[19]=
3.
Sum@H−4 ê 5Ln , 8n, 0, ∞<D
n=1
H
−4
5
H∗ Determinar a soma da série 2ê3 + 8ê15 + 32ê75 + ... = ‚
2
n=1 3
2 ê 3 Sum@H4 ê 5L , 8n, 0, ∞<D
n
Out[20]=
4.
In[21]:=
10
3
H∗ Determinar a soma da série 1 + 6ê7 + 36ê49 + ...
Sum@H6 ê 7L , 8n, 0, ∞<D
∗L
n
Out[21]=
5.
In[23]:=
7
H∗ Determinar a soma da série 1 − 1ê3 + 1ê9 + ...
Sum@H−1 ê 3L , 8n, 0, ∞<D
n
Out[23]=
n
∗L
5
9
∞
In[20]:=
L
3
4
∗L
H
4
5
L
n
∗L
Rijo Cal 2 Capitulo 4.nb
6.
In[24]:=
5
H∗ Determinar a soma da série 5 + 10ê7 + 20ê49 + ...
5 Sum@H2 ê 7L , 8n, 0, ∞<D
∗L
n
Out[24]=
7.
In[25]:=
7
H∗ Determinar a soma da série 4ê5 − 8ê15 + 16ê45 − 32ê135 + ...
4 ê 5 Sum@H−2 ê 3L , 8n, 0, ∞<D
n
Out[25]=
8.
12
25
H∗ Determinar a soma da série ‚
∞
In[29]:=
Sum@1 ê H2 n − 1L, 8n, 1, ∞<D
1
n=1 2 n − 1
∗L
Sum::div : Sum does not converge.
‚
∞
Out[29]=
n=1
9.
1
2n−1
H∗ Determinar a soma da série ‚
∞
In[30]:=
Sum@1 ê H3 n − 2L, 8n, 1, ∞<D
1
n=1 3 n − 2
∗L
Sum::div : Sum does not converge.
‚
∞
Out[30]=
n=1
12.
1
3n−2
H∗ Determinar a soma da série ‚
∞
In[33]:=
Sum@1 ê H3 n + 5L, 8n, 1, ∞<D
1
n=1 3 n + 5
Sum::div : Sum does not converge.
‚
∞
Out[33]=
n=1
1
3n+5
∗L
∗L
6
Rijo Cal 2 Capitulo 4.nb
13.
H∗ Determinar a soma da série ‚
∞
In[32]:=
Sum@1 ê H5 n − 72L, 8n, 1, ∞<D
1
n=1 5 n − 72
∗L
Sum::div : Sum does not converge.
‚
∞
Out[32]=
n=1
14.
1
5 n − 72
H∗ Determinar a soma da série ‚
∞
In[32]:=
Sum@1 ê H5 n − 72L, 8n, 1, ∞<D
1
n=1 5 n − 72
∗L
Sum::div : Sum does not converge.
‚
∞
Out[32]=
n=1
21.
1
5 n − 72
H∗ Determinar a soma da série ‚
1
n=1 n Hn + 1L
∞
In[34]:=
Out[34]=
22.
Sum@1 ê Hn Hn + 1LL, 8n, 1, ∞<D
1
H∗ Determinar a soma da série ‚
∞
In[35]:=
∗L
Sum@1 ê n , 8n, 1, ∞<D
1
2
n=1 n
∗L
2
Out[35]=
23.
π2
6
H∗ Determinar a soma da série ‚
1
n=1 n Hn + 1L
∞
In[39]:=
Out[39]=
24.
In[42]:=
Sum@1 ê Hn Hn + 3LL, 8n, 1, ∞<D
11
18
H∗ Determinar a soma da série H−1Ln xH2 n
n
H2 n + 1L
Sum@H−1L x
Out[42]=
∗L
Sin@xD
+ 1L êH2
n + 1L!
ê H2 n + 1L !, 8n, 0, ∞<D êê FullSimplify
∗L
Rijo Cal 2 Capitulo 4.nb
25.
In[43]:=
7
H∗ Determinar a soma da série H−x2 L êH2 nL!
n
∗L
Sum@H−x ^ 2L ê H2 nL !, 8n, 0, ∞<D êê FullSimplify
n
Out[43]=
26.
In[44]:=
Out[44]=
27.
In[45]:=
Out[45]=
28.
In[47]:=
Out[47]=
Cos@xD
H∗ Determinar a soma da série xn ∗L
Sum@xn , 8n, 0, ∞<D êê FullSimplify
1
1−x
H∗ Determinar a soma da série H−xLn ên ∗L
−Sum@H−xLn ê n , 8n, 1, ∞<D êê FullSimplify
Log@1 + xD
H∗ Determinar a soma da série H−1Ln x2 n ∗L
Sum@H−1Ln x2 n , 8n, 0, ∞<D êê FullSimplify
1
1 + x2
4.2 Teste de comparação
Exercícios
Determine a soma das séries dadas nos Exercícios 1 a 23.
1.
H∗ Verificar se a série ‚
n=1
è!!!!
SumA1 ë n , 8n, 1, ∞<E
∞
In[48]:=
1
è!!!!
n
converge ou diverge ∗L
Sum::div : Sum does not converge.
1
‚ è!!!
n
n=1
∞
Out[48]=
8
Rijo Cal 2 Capitulo 4.nb
2.
H∗ Verificar se a série ‚
∞
In[49]:=
5 n+1
2
n=0 3 n +2 n−10
converge ou diverge ∗L
Sum@H5 n + 1L ê H3 n2 + 2 n − 10L , 8n, 0, ∞<D
Sum::div : Sum does not converge.
‚
∞
Out[49]=
n=0
3.
5n+1
3 n2 + 2 n − 10
H∗ Verificar se a série ‚
∞
In[50]:=
n3 −3 n2 +5
3 n2 +1
converge ou diverge ∗L
Sum@Hn3 − 3 n2 + 5L ê H3 n2 + 1L , 8n, 0, ∞<D
n=0
Sum::div : Sum does not converge.
‚
∞
Out[50]=
n=0
4.
n3 − 3 n2 + 5
3 n2 + 1
H∗ Verificar se a série ‚
n=2
è!!!!
SumA1 ë In n M , 8n, 1, ∞<E
∞
In[55]:=
Out[55]=
5.
ZetaA
n
1
è!!!!
n
converge ou diverge ∗L
3
E
2
H∗ Verificar se a série ‚
∞
In[56]:=
Sum@1 ê Log@nD, 8n, 2, ∞<D
1
n=2 Log@nD
converge ou diverge ∗L
Sum::div : Sum does not converge.
‚
∞
Out[56]=
n=2
6.
1
Log@nD
H∗ Verificar se a série ‚
∞
In[57]:=
Sum@1 ê Log@nD , 8n, 2, ∞<D
1
r
n=2 Log@nD
r
Sum::div : Sum does not converge.
‚
∞
Out[57]=
n=2
1
Log@nDr
converge ou diverge ∗L
Rijo Cal 2 Capitulo 4.nb
7.
9
è!!!!
n +1
H∗ Verificar se a série ‚
converge ou diverge ∗L
2
n=3 n −4
è!!!!
SumAI n + 1M ë Hn2 − 4L, 8n, 3, ∞<E
∞
In[58]:=
è!!!
n +1
„ n2 − 4
∞
Out[58]=
n=3
8.
H∗ Verificar se a série ‚
∞
In[59]:=
‚
∞
Out[59]=
n=0
9.
Out[61]=
10.
converge ou diverge ∗L
Cos@3 nD2
è!!!
n n +5
H∗ Verificar se a série ‚
∞
In[61]:=
Cos@3 nD2
è!!!!
n n +5
Sum@Cos@3 nD ^ 2 ê Hn Sqrt@nD + 5L, 8n, 0, ∞<D
n=0
Sum@Log@nD ê n, 8n, 2, ∞<D
n=2
Log@nD
n
converge ou diverge ∗L
−StieltjesGamma@1D
Log@nD
H∗ Verificar se a série ‚
converge ou diverge ∗L
è!!!!
n=2 n n
è!!!!
SumALog@nD ë In n M, 8n, 2, ∞<E
∞
In[1]:=
Out[1]=
11.
−Zeta A
3
E
2
H∗ Verificar se a série ‚
∞
In[4]:=
Log@nD
2
n=10 n −9 n
Sum@Log@nD ê Hn2 − 9 nL, 8n, 10, ∞<D
‚
∞
Out[4]=
n=10
12.
Log@nD
n2 − 9 n
H∗ Verificar se a série ‚
∞
In[5]:=
Out[5]=
converge ou diverge ∗L
Sum@Log@nD ê n , 8n, 1, ∞<D
−Zeta @3D
3
n=1
Log@nD
n3
converge ou diverge ∗L
10
Rijo Cal 2 Capitulo 4.nb
13.
H∗ Verificar se a série ‚
∞
In[11]:=
Out[11]=
14.
Sum@Log@nD ê n2 , 8n, 1, ∞<D
n=1
Log@nD
n2
−Zeta @2D
H∗ Verificar se a série ‚
∞
In[12]:=
‚
n=10
15.
H∗ Verificar se a série ‚
16.
−Zeta A
4
E
3
H∗ Verificar se a série ‚
∞
In[16]:=
Sum@Log@nD ê n1.02 , 8n, 2, ∞<D
n=2
Out[16]=
17.
Out[18]=
18.
H∗ Verificar se a série ‚
Sum@n2 ê
H1 + L
H−1 + L3
n
, 8n, 1, ∞<D
n=2
H∗ Verificar se a série ‚
∞
In[27]:=
n2
n
converge ou diverge ∗L
k Cos@kD+k2
4
k=1 k Log@kD+1
converge ou diverge ∗L
Sum@Hk Cos@kD + k L ê Hk Log@kD + 1L, 8k, 1, ∞<D
2
‚
∞
Out[27]=
Log HnLên1.02 converge ou diverge ∗L
−655.971
∞
In[18]:=
Log HnLêHn n1ê3 L converge ou diverge ∗L
Sum@Log@nD ê Hn nH1ê3L L, 8n, 1, ∞<D
n=2
Out[10]=
converge ou diverge ∗L
Log@nD
n−9
∞
In[10]:=
Log@nD
n−9
Sum@Log@nD ê Hn − 9L, 8n, 10, ∞<D
n=10
∞
Out[12]=
converge ou diverge ∗L
k=1
k Cos@kD + k2
k4 Log@kD + 1
4
Rijo Cal 2 Capitulo 4.nb
19.
11
H∗ Verificar se a série ‚
∞
In[20]:=
Sum@n3 ê H
‚
∞
Out[20]=
n=1
20.
n
− 1L, 8n, 1, ∞<D
n=1
n3
−1
n
H∗ Verificar se a série ‚
∞
In[21]:=
‚
n=4
21.
Log@nD
n2 − 3 n
H∗ Verificar se a série ‚
∞
In[22]:=
Sum@Sin@1 ê n2 D, 8n, 1, ∞<D
‚ SinA
∞
Out[22]=
n=1
22.
n=1
H∗ Verificar se a série ‚
‚ n7ê8 SinA
∞
n=1
23.
1
E
n8ê9
H∗ Verificar se a série ‚
∞
In[3]:=
Sum@n ! ê nn , 8n, 1, ∞<D
‚ n−n n !
∞
Out[3]=
Hn7ê8 sen H1ên8ê9 LL converge ou diverge ∗L
Sum@nH7ê8L Sin@1 ê nH8ê9L D, 8n, 1, ∞<D
n=1
Out[23]=
Hsen H1ên2 LL converge ou diverge ∗L
1
E
n2
∞
In[23]:=
HLog HnLêHn2 −3 nLL converge ou diverge ∗L
Sum@Log@nD ê Hn2 − 3 nL, 8n, 4, ∞<D
n=4
∞
Out[21]=
Hn3 êHExp HnL − 1LL converge ou diverge ∗L
n=1
n=1
Hn!ênn L converge ou diverge ∗L
12
Rijo Cal 2 Capitulo 4.nb
4.3 Teste da razão, Convergência absoluta e condicional
Teorema. Seja ⁄∞n=1 an uma série de termos positivos tal que an+1 /an converge para um certo limite r. Então, a
série converge se r < 1 e diverge se r > 1. Se r = 1, nada se pode concluir.
Convergência absoluta
Diz-se que uma série ⁄∞n=1 an (cujos termos não são necessariamente positivos) converge absolutamente, ou é
absolutamente convergente, se a série ⁄∞n=1 » an » é convergente.
Teorema. Toda série absolutamente convergente é convergente, isto é, ⁄∞n=1 » an » converge ï ⁄∞n=1 an
converge. Além disso, a soma da série dada independe da ordem em que se considera seus termos.
Séries alternadas
Uma série cujos termos são alternadamente positivos e negativos é chamada série alternada.
Teorema. Se (an ) é uma seqüência de termos positivos tal que a1 ≥ a2 ≥ ... ≥ an ≥ ... e an Æ 0, então a
série alternada ⁄∞n=1 H−1Ln an converge.
Exercícios
Determine a soma das séries dadas nos Exercícios 1 a 10.
1.
H∗ Verificar se a série ‚
∞
In[12]:=
Out[12]=
2.
In[13]:=
Out[13]=
Sum@n2 ê 3n , 8n, 1, ∞<D
n=1
n2 ê3n converge ou diverge ∗L
3
2
∞
è!!!!!!
H∗ Verificar se a série ‚ n3 ë 2n converge ou diverge ∗L
n=1
è!!!!!!
SumAn3 ë 2n , 8n, 1, ∞<E
è!!!
4 I8 + 3 2 M
è!!! 4
I−2 + 2 M
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3.
In[14]:=
13
∞
è!!!!
H∗ Verificar se a série ‚ πn ë n converge ou diverge ∗L
n=1
è!!!!
SumAπn ë n , 8n, 1, ∞<E
Sum::div : Sum does not converge.
πn
‚ è!!!
n
n=1
∞
Out[14]=
4.
H∗ Verificar se a série ‚
∞
In[15]:=
2n êHn9 + 3 n5
Sum@2n ê Hn9 + 3 n5 + 7L, 8n, 1, ∞<D
n=1
+7 L
converge ou diverge ∗L
Sum::div : Sum does not converge.
‚
∞
Out[15]=
n=1
5.
2n
n9 + 3 n5 + 7
H∗ Verificar se a série ‚
∞
In[16]:=
Out[16]=
6.
Sum@n2 ê n !, 8n, 1, ∞<D
n=1
2
H∗ Verificar se a série ‚
∞
In[17]:=
Sum@n ! ê nn , 8n, 1, ∞<D
‚
∞
Out[17]=
n=1
7.
n=1
n!ênn converge ou diverge ∗L
n!
nn
H∗ Verificar se a série ‚
∞
In[21]:=
n2 ên! converge ou diverge ∗L
Sum@3n ê H2n n5 L, 8n, 1, ∞<D
n=1
3n êH2n n5 L converge ou diverge ∗L
Sum::div : Sum does not converge.
‚
∞
Out[21]=
n=1
3n
2n n5
14
Rijo Cal 2 Capitulo 4.nb
8.
H∗ Verificar se a série ‚
∞
In[23]:=
Sum@nk ê H
‚
∞
Out[23]=
n
n=1
9
n
n2
+ Sin@3 nD
H∗ Verificar se a série ‚
∞
In[25]:=
Sum@
nk êHen + sin H3 nLL converge ou diverge ∗L
+ Sin@3 nDL, 8n, 1, ∞<D
n=1
2n
ê Hn
n
e2 n êHnen + 1L converge ou diverge ∗L
+ 1L, 8n, 0, ∞<D
n=0
Sum::div : Sum does not converge.
‚
∞
Out[25]=
n=0
10.
2n
n
n
+1
H∗ Verificar se a série ‚
∞
In[26]:=
Sum@H1 + nk L ê H
‚
∞
Out[26]=
n=0
11.
In[26]:=
2n
H1 + nk LêHe2 n + n2 L converge ou diverge ∗L
+ n2 L, 8n, 0, ∞<D
n=0
1 + nk
2 n + n2
H∗ Verificar se a série
‚
∞
sin H1 + n2 LêHe2 n + n2 L converge ou diverge ∗L
Sum@Sin@ n2 + 1D ê Hn2 + 1L, 8n, 0, ∞<D
n=0
‚
∞
Out[26]=
n=0
1 + nk
2 n + n2
Rijo Cal 2 Capitulo 4.nb
12.
In[27]:=
15
H∗ Verificar se a série
è!!!
Icos HkL − sin HkLëIk k M converge ou diverge ∗L
è!!!!
SumAHCos@kD − Sin@ kDL ë Ik k M, 8k, 0, ∞<E
‚
∞
k=0
Sum::div : Sum does not converge.
Sum::div : Sum does not converge.
Sum::div : Sum does not converge.
General::stop :
Further output of Sum::div will be suppressed during this calculation.
‚
Cos@kD − Sin@kD
è!!!
k k
∞
Out[27]=
k=0
13.
In[31]:=
H∗ Verificar se a série
‚
∞
Log I1 + sin Hkê2LêHk2 − 1L converge ou diverge ∗L
Sum@Log@1 + Sin@ k ê 2DD ê Hk2 − 1L, 8k, 2, ∞<D
k=2
„
∞
Out[31]=
Log@1 + Sin@ k2 DD
k2 − 1
k=2
14.
In[30]:=
H∗ Verificar se a série
‚
∞
k2
k=0
2 k
Sum@k
Out[30]=
3
J
ek I1 + 2 cos HkLêHe2 k Hk2 + 1LL converge ou diverge ∗L
H1 + 2 Cos@kDL ê H
2k
− 2 − 2 1+ − 2 1+2 + 2 +
H−1 + L H− + L H−1 +
1
− N
4
4
−1−
Hk2 + 1LL, 8k, 1, ∞<D
2+
1+
L
+
2+2
−
JHypergeometricPFQ@81, 1 − <, 82 − <,
JHypergeometricPFQA81, 1 − <, 82 − <,
1
HypergeometricPFQA81, 1 + <, 82 + <,
E+
1
EN +
HypergeometricPFQ@81, 1 + <, 82 + <, −1− D +
HHypergeometricPFQ@81, 1 − <, 82 − <, −1+ D +
2
HypergeometricPFQ@81, 1 + <, 82 + <,
−1+
DLN
−1−
D+
16
Rijo Cal 2 Capitulo 4.nb
15.
H∗ Verificar se a série ‚
∞
In[32]:=
Sum@1 ê
1
k=1 en
n
Sin@1 ê nD, 8n, 1, ∞<D
sin H1ênL converge ou diverge ∗L
Sum::div : Sum does not converge.
„
∞
Out[32]=
Sin@
1
n
D
k
n=1
16.
H∗ Verificar se a série ‚
∞
In[33]:=
Out[33]=
17.
Sum@H−1Ln ê n !, 8n, 0, ∞<D
k=0
H−1Ln ên! converge ou diverge ∗L
1
H∗ Verificar se a série ‚ H−1Ln
k=0
!
n è!!!!!
n
SumAH−1L
2 ë n !, 8n, 0, ∞<E
∞
In[34]:=
Out[34]=
è!!!!!
!
2n ën! converge ou diverge ∗L
è!!!!
− 2
4.4 Teste da integral
Teorema. Teorema. Se f(x) é uma função positiva não cescente para x > 0, então a série ⁄∞n=1 f HnL converge
∞
se, e somente se, a integral imprópria Ÿ1 f HxL x converge.
Corolário. Com a mesma hipótese do teorama acima, a série ⁄∞n=1 f HnL diverge para +¶, se, e somente se, o
∞
mesmo acontece com a integral imprópria Ÿ1 f HxL x
Exercícios
Determine a soma das séries dadas nos Exercícios 1 a 11.
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1.
In[38]:=
17
H∗ Use o teste
estabelecer a convergência da série ‚
da integral para
∞
Sum@1 ê nH1+epsL , 8n, 1, ∞<D
Out[38]=
2.
In[39]:=
H∗ Use o teste
estabelecer a convergência da série ‚
da integral para
∞
Sum@1 ê Hn Log@nD
‚
∞
n=1
3.
In[4]:=
Out[4]=
In[45]:=
Out[45]=
4.
In[46]:=
Out[46]=
In[47]:=
Out[47]=
5.
In[48]:=
Out[48]=
In[49]:=
Out[49]=
∗L
1
+ epsL
Zeta@1 + epsD
H1+epsL
Out[39]=
H1
n=1 n
L , 8n, 1, ∞<D
1
H1
n=1 nLog HnL
+ epsL
1
n Log@nD1+eps
H∗ Use o teste da integral para
estabelecer a convergência da série ⁄∞n=1
Sum@1 ê n2 , 8n, 1, ∞<D
1
n2
∗L
π2
6
% êê N
1.64493
H∗ Use o teste da integral para
estabelecer a convergência da série ⁄∞n=1
Sum@1 ê Hn2 + 1L , 8n, 1, ∞<D
1
n2 + 1
1
Csch@πD Hπ Cosh@πD − Sinh@πDL
2
% êê N
1.07667
H∗ Use o teste da integral para
estabelecer a convergência da série ⁄∞n=1
Sum@1 ê n3 , 8n, 1, ∞<D
Zeta@3D
% êê N
1.20206
1
n3
∗L
∗L
∗L
18
Rijo Cal 2 Capitulo 4.nb
6.
In[50]:=
Out[50]=
7.
In[51]:=
Out[51]=
In[52]:=
Out[52]=
8.
In[53]:=
H∗ Use o teste da integral para
estabelecer a convergência da série ⁄∞n=1
Sum@1 ê nr , 8n, 1, ∞<D
1
n3 r
∗L
Zeta@rD
H∗ Use o teste da integral para
estabelecer a convergência da série ⁄∞n=1 e−n ∗L
Sum@ −n , 8n, 1, ∞<D
1
−1 +
% êê N
0.581977
H∗ Use o teste
estabelecer a convergência da série ‚
SumAn
‚n
−n2
da integral para
∞
, 8n, 1, ∞<E
n=1
n e−n
2
∗L
∞
Out[53]=
−n2
n=1
9.
In[54]:=
Out[54]=
10.
In[5]:=
Out[5]=
H∗ Use o teste da integral para
estabelecer a convergência da série ⁄∞n=1 n e−n
Sum@n −n , 8n, 1, ∞<D
∗L
H−1 + L2
H∗ Use o teste da integral para
estabelecer a convergência da série ⁄∞n=1 n6 e−n
Sum@n6 −n , 8n, 1, ∞<D
H1 + 57
+ 302 2 + 302
H−1 + L7
3
+ 57
4
+
5L
∗L
Rijo Cal 2 Capitulo 4.nb
11.
In[6]:=
Out[6]=
19
H∗ Use o teste da integral para
estabelecer a convergência da série ⁄∞n=1 nr e−n
Sum@nr −n , 8n, 1, ∞<D
PolyLogA−r,
1
E
∗L
CAPÍTULO 5
Séries de potênciais
Iniciar o MathKernel
In[1]:=
Out[1]=
2 + 2 H∗ Este comando inicia o MathKernel ∗L
4
5.1 Primeiros exemplos e propriedades
Chama-se série de potências a toda série da forma a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3 ... = ⁄∞n = 1 an xn .
Uma tal série é também chamada de série de Taylor relativa a x = 0 ou série de Maclaurin. Em geral elas são
obtidas das fórmulas de Taylor quando o restotende a zero con n Ø ¶.
Series[f[x], {x, 0, n}] gera os primeiros n termos da série de potência da
função f(x).
Sum[an, {n, ∞}] acha a soma da série de potência
a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3 ... = ⁄∞n = 1 an xn .
EXEMPLO 1. função exponencial. Foi com esse procedimento que obtivemos a série de potência da função
exponencial
ex = 1 + x +
x2
x3
x4
xn
+
+
+ . . .+
+...=
2!
3!
4!
n!
Vimos que esta série converge qualquer que seja o valor de x.
In[7]:=
Out[7]=
H∗ Série de potências da função esponencial ∗L
Series@ x , 8x, 0, 5<D
1+x+
x2
x3
x4
x5
+
+
+
+ O@xD6
2
6
24
120
‚
∞
n=0
xn
n!
2
Rijo Cal 2 Capitulo 5.nb
In[2]:=
Out[2]=
H∗ Série de potências da função esponencial ∗L
xn
, 8n, 0, ∞<E
SumA
n!
x
EXEMPLO 2. função seno e co-seno. A série de potencias do seno é expressa por
senHxL = x −
x3
x5
x7
+
−
+ ...=
3!
5!
7!
e a do co-seno
cosHxL = 1 −
In[10]:=
Out[10]=
In[13]:=
Out[13]=
In[14]:=
Out[14]=
In[15]:=
Out[15]=
x2
2!
+
x4
4!
−
x6
6!
+ ...= ‚
‚
∞
n=0
∞
H∗ Série de potências da função seno ∗L
Series@Sin@xD, 8x, 0, 7<D
x−
n=0
H−1Ln
x2 n + 1
H2 n + 1L !
H−1Ln
H2 n L!
x2 n
x3
x5
x7
+
−
+ O@xD8
6
120
5040
H∗ Série de potências da função seno ∗L
H−1Ln
SumA
x2 n + 1 , 8n, 0, ∞<E êê FullSimplify
H2 n + 1L !
Sin@xD
H∗ Série de potências da função co−seno ∗L
Series@Cos@xD, 8x, 0, 7<D
1−
x2
x4
x6
+
−
+ O@xD8
2
24
720
H∗ Série de potências da função co−seno ∗L
H−1Ln
SumA
x2 n , 8n, 0, ∞<E êê FullSimplify
H2 n L !
Cos@xD
EXEMPLO 3. série geométrica. Considerando a identidade
1 − xn + 1
1−x
= 1 + x + x2 + . . . xn
e fazendo n Ø ¶ para obter a série geométrica
1
1−x
In[16]:=
Out[16]=
In[18]:=
Out[18]=
= 1 + x + x2 + . . . xn = ⁄∞n = 0 xn
H∗ Série geométrica ∗L
Series@1 ê H1 − xL, 8x, 0, 7<D
1 + x + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7 + O@xD8
H∗ Série geométrica ∗L
Sum@xn , 8n, 0, ∞<D
1
1−x
Rijo Cal 2 Capitulo 5.nb
3
EXEMPLO 4. série binomial. Considerando a identidade
H1 + xLα = 1 + α x +
e fazendo n Ø ¶ para obter a série binomial
H1 + xLα = 1 + α x +
In[21]:=
Out[21]=
α Hα − 1L
2!
x2 + . . . +
H∗ Série binomial ∗L
Series@H1 + xLα , 8x, 0, 4<D
1+αx+
α Hα − 1L
2!
x2 + . . . +
α Hα − 1L . . . Hα − n + 1L
n!
α Hα − 1L . . . Hα − n + 1L
n!
n2 + . . . =
‚
∞
n=0
n2 . . .
α
J N xn
n
1
1
H−1 + αL α x2 +
H−2 + αL H−1 + αL α x3 +
2
6
1
H−3 + αL H−2 + αL H−1 + αL α x4 + O@xD5
24
Dois teoremas fundamentais
⁄ an , converge num certo valor x = x0 ∫ 0, ela converge absolutamente
¶
Teorema 1. Se a série de potências
n=1
em todo ponto x do intervalo | x | < | x0 | ; e se a série diverge em x = x0 , ela diverge em todo x fora desse
intervalo, isto é, | x | > | x0 |
Teorema 2. A toda série de potências ⁄ an que converge em algum valor x' ∫ 0 e diverge em algum valor x'',
¶
n=1
corresponde um número positivo r tal que a série converge absolutamenmte se | x | < r e diverge se | x | > r.
Raio de convergência e intervalo de convergência
O número r no teorema anterior é chamado de raio de convergência da série.
Derivação e Integração
Toda série de potências pode ser derivada ou integrada termo a termo; e as séries resultantes têm o mesmo intervalos de convergência das séries originais.
EXEMPLO 9. A série
ln H1 − xL = − x −
x2
2
+
pode ser obtida por integração , termo a termo, da série
1
1−x
In[23]:=
Out[23]=
In[24]:=
Out[24]=
x2
x3
x4
x5
x6
−
−
−
−
+ O@xD7
2
3
4
5
6
H∗ Série geométrica ∗L
Sum@xn , 8n, 0, ∞<D
1
1−x
...=
⁄∞n = 0
= 1 + x + x2 + . . . xn = ⁄∞n = 0 xn
H∗ Série do ln H1 − xL ∗L
Series@Log@1 − xD, 8x, 0, 6<D
−x −
x3
2
xn
n
4
Rijo Cal 2 Capitulo 5.nb
Trocando x por - x2 na série do exemplo anterior nos leva a série
EXEMPLO 10.
1
1 + x2
= 1 − x2 + x4 − x6 + . . . = ⁄∞n = 0 H−1Ln x2 n
Integrando termo a termo de 0 a x, encontramos a série de potências de arctan (x).
arctan HxL
In[26]:=
Out[26]=
= x −
H∗ Série de arctan HxL ∗L
Series@ArcTan@xD, 8x, 0, 8<D
x−
x3
3
+
x5
5
−
x7
7
...= ‚
∞
n=0
H−1Ln x2 n + 1
2n+1
x3
x5
x7
+
−
+ O@xD9
3
5
7
Exercícios
Determine as séries de potencias dos Exercícios 1 a 15
1.
In[28]:=
H∗ ‚
SumA
∞
xn
n = 1 2n
xn
2n
Out[28]=
2.
−
∗L
, 8n, 1, ∞<E
1
Log@1 − xD
2
H∗ ‚
H−1Ln n xn
2n
n = 1
n
n
n
∞
In[29]:=
Out[29]=
3.
In[30]:=
Sum@H−1L n x ê 2 , 8n, 1, ∞<D
−
2x
H2 + xL2
H∗ ‚
∞
x2 n
∗L
n = 1 3n n2
2n
n
2
Sum@x
Out[30]=
∗L
ê H3 n L, 8n, 1, ∞<D
PolyLogA2,
x2
E
3
PolyLog @n, zD calcula a função n-ésima polilogaritmica defiinida por
¶
Lin HzL = ⁄k=1
zk ê kn
4.
In[32]:=
Out[32]=
H∗ ⁄n∞ = 1 8n n5 x3 n ∗L
Sum@8n n5 x3 n , 8n, 1, ∞<D
8 Hx3 + 208 x6 + 4224 x9 + 13312 x12 + 4096 x15 L
H−1 + 8 x3 L6
Rijo Cal 2 Capitulo 5.nb
5.
In[33]:=
Out[33]=
6.
In[35]:=
Out[35]=
8.
H∗ ⁄∞n =10 H2 n +8L3 xH2 n + 1L ∗L
Sum@H2 n + 8L3 xH2 n + 1L , 8n, 0, ∞<D
8 x H−64 + 131 x2 − 100 x4 + 27 x6 L
H−1 + x2 L4
−
H∗ ⁄n∞ = 1 H−1L3 n Hx − 2LêH32 n n3 L ∗L
Sum@H−1L3 n Hx − 2L2 n ê H32 n n3 L, 8n, 1, ∞<D
PolyLogA3, −
H∗ ‚
∞
In[38]:=
5
1
H−2 + xL2 E
9
è!!!!!!!!!
xn ë 2n n ∗L
è!!!!!!!!!
ë 2n n , 8n, 1, ∞<E
n = 1
SumAx n
xn
‚ è!!!!!!!!!
2n n
n=1
∞
Out[38]=
9.
In[40]:=
∞
è!!!!!!!!!!!!!!!!
!!!!!!!!
H∗ ‚
3n Hn + 1L x2 n êHn2 + 1L ∗L
n = 1
è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
SumA 3n Hn + 1L x2 n ê Hn2 + 1L, 8n, 1, ∞<E
„
∞
Out[40]=
è!!!!!!!!!!!!!!!!
!!!!!!
3n H1 + nL x2 n
1 + n2
n=1
10.
In[41]:=
H∗ ⁄n∞ = 1 n! xn ênn ∗L
Sum@n ! xn ê nn , 8n, 1, ∞<D
‚ n−n xn n !
∞
Out[41]=
n=1
11.
In[42]:=
H∗ ⁄n∞ = 1 xn êln HnL ∗L
Sum@xn ê Log@nD, 8n, 1, ∞<D
‚
∞
Out[42]=
n=1
xn
Log@nD
6
Rijo Cal 2 Capitulo 5.nb
12.
In[43]:=
Out[43]=
13.
In[44]:=
Out[44]=
14.
In[45]:=
Out[45]=
15.
In[46]:=
Out[46]=
H∗ ⁄n∞ = 1 ln HnL xn ∗L
Sum@Log@nD xn , 8n, 1, ∞<D
−PolyLogH1,0L @0, xD + x LerchPhiH0,1,0L @x, 0, 1D
H∗ ⁄n∞ = 1 n xn êH2 nL! ∗L
Sum@n xn ê H2 nL !, 8n, 1, ∞<D
1 è!!!
è!!!
x SinhA x E
2
H∗ ⁄n∞ = 1 xn êH2 nL! ∗L
Sum@n ! xn ê H2 nL !, 8n, 1, ∞<D
è!!!
x
1 xê4 è!!! è!!!
π x ErfA
E
2
2
H∗ ⁄n∞ = 1 nê2n ∗L
Sum@n ê 2 n , 8n, 1, ∞<D
2
Identifique as funções definidas pelas séries de potências dadas nos exercícios 22 a 25
22.
In[47]:=
Out[47]=
23.
In[48]:=
Out[48]=
24.
In[49]:=
Out[49]=
H∗ xn êHn + 1L ∗L
Sum@xn ê Hn + 1L, 8n, 0, ∞<D
−
Log@1 − xD
x
H∗ Hn + 1L xn ∗L
Sum@Hn + 1L xn , 8n, 0, ∞<D
1
H−1 + xL2
H∗ H−1Ln + 1 xn êHn + 1L ∗L
Sum@H−1Ln + 1 Hn + 1L xn , 8n, 0, ∞<D
−
1
H1 + xL2
Rijo Cal 2 Capitulo 5.nb
25.
In[50]:=
Out[50]=
27.
In[51]:=
Out[51]=
28.
In[53]:=
Out[53]=
In[52]:=
Out[52]=
29.
In[55]:=
Out[55]=
In[57]:=
Out[57]=
7
H∗ Hn + 2L xn ê2n + 1 ∗L
Sum@Hn + 2L xn ê 2n + 1 , 8n, 0, ∞<D
−
−4 + x
H−2 + xL2
H∗ Série de potências de
è!!!!!!!!!!!!!
SeriesA 1 − x , 8x, 0, 4<E
1−
è!!!!!!!!!!!!!!
1 − x ∗L
x
x2
x3
5 x4
−
−
−
+ O@xD5
2
8
16
128
H∗ Série de potências de H1+xL−1ê2 ∗L
Series@H1 + xL−1ê2 , 8x, 0, 4<D
1−
x
3 x2
5 x3
35 x4
+
−
+
+ O@xD5
2
8
16
128
1+
x
x2
x3
5 x4
−
+
−
+ O@xD5
2
8
16
128
è!!!!!!!!!!!!!!
H∗ Série de potência de 1 + x ∗L
è!!!!!!!!!!!!!
SeriesA 1 + x , 8x, 0, 4<E
è!!!!!!!!!!!!!!!!
H∗ Série de potências de 1ë 1 − x2 ∗L
è!!!!!!!!!!!!!!!
SeriesA1 ë 1 − x2 , 8x, 0, 6<E
1+
x2
3 x4
5 x6
+
+
+ O@xD7
2
8
16
H∗ Série de potências de ArcSin@xD ∗L
Series@ArcSin@xD, 8x, 0, 8<D
x+
x3
3 x5
5 x7
+
+
+ O@xD9
6
40
112
5.2 Propriedades adicionais das séries de potêmcias
Unicidade da série de potências
8
Rijo Cal 2 Capitulo 5.nb
É fácil demonstrar que o desenvolvimento de um função f em série de potências relativa a um pomto x0 é único,
isto é, só existe uma série de potencias ⁄ an Hx − x0 Ln .
Convém enfatizar o fato de que o teorema da unicidade se refere ao desenvolvimento da função num determinado
ponto. Isto não impede que uma dada função tenha a séries de potências com coefficientes diferentes relativamente a pontos distintos.
Multiplicação e divisão de séries
Sejam f e g duas funções com séries de potências ⁄ an xn e ⁄ bn xn , respectivamente, no intervalo | x | < r.
Então, a função f g é representada, neste intervalo, , pela série produto, assim definida
f(x) g(x) = Ha0 + a1 + a2 x2 + . . . L Hb 0 + b1 + b2 x2 + . . . L
a0 b0 + Ha0 b1 + a1 b0 L x + Ha0 b2 + a1 b1 + a2 b0 L x2 + . . .
=
Essa regra de multiplicação , juntamente com o teorema anterior sobre unicidade, permite-nos obter, facilmente, a
série quociente de duas séries.
EXEMPLO 1. Vamos obter os primeiros termos da série da função ex
fatores que ai aparecem
ex
In[1]:=
Out[1]=
2
3
4
2
3
è!!!!!!!!!!
j1 + x + x + x + x + . . .y
zi
j1 + x − x + x − . . . y
z
1+x =i
2
2
6
24
8
16
k
{k
{
3
7 2 17 3
= 1 +
x+
x +
x + ..
2
8
48
H∗ Os primeiros termos da série da função ex
è!!!!!!!!!!
SeriesA x 1 + x , 8x, 0, 5<E
1+
Out[2]=
è!!!!!!!!!!!!!!
1 + x ∗L
3x
7 x2
17 x3
11 x4
107 x5
+
+
+
+
+ O@xD6
2
8
48
128
3840
EXEMPLO 2. Obter os primeiros termos da série (1 + sen x)-1
In[2]:=
è!!!!!!!!!!!!!
1 + x em potências de x, multiplicando os
H∗ Os primeiros termos da série da função ex
Series@1 ê H1 + Sin@xDL, 8x, 0, 5<D
1 − x + x2 −
è!!!!!!!!!!!!!!
1 + x ∗L
5 x3
2 x4
61 x5
+
−
+ O@xD6
6
3
120
Cálculando limites
O desenvolvimento em séries de potências é um recurso muito eficaz
para elucidaras indeterminações 0 ê 0. Por exemplo, o desenvolvimento,
x3
x5
x2
x4
z
sen HxL = x −
+
− ... = xi
+
− ...y
j1 −
6
120
6
120
k
{
mostra claramente o fator x na função sen x, de sorte que
sen x
x2
x4
=1 −
+
x
6
120
donde segue que sen x ê x → com x → 0.
Séries definem novas funções
A importância das séries de potências reside no fato delas serem usadas para definir funções que não têm uma
definição elementar. Por exemplo a função de Bessel J0 HxL e J1 HxL defenidad, respectivamente por
x
x
J0 HxL = 1 - ÅÅÅÅ
ÅÅ + ÅÅÅÅ
ÅÅ - . . . = ‚
4
64
2
4
H−1Ln
2
n = 0 Hn !L
∞
H
x
2
L2 n
Rijo Cal 2 Capitulo 5.nb
9
x
x
J1 HxL = ÅÅÅÅ2x - ÅÅÅÅ
ÅÅ + ÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅ - . . . = ‚
16
384
3
H−1Ln
n = 0 n! H1 + n L!
∞
5
H
x
2
L2 n + 1
amplamente usada em Geofísica.
In[5]:=
Out[5]=
In[6]:=
Out[6]=
In[10]:=
H∗ Função de Bessel J1 HxL ∗L
Series@BesselJ@0, xD, 8x, 0, 6<D
1−
x2
x4
x6
+
−
+ O@xD7
4
64
2304
H∗ Função de Bessel J1 HxL ∗L
Series@BesselJ@1, xD, 8x, 0, 6<D
x
x3
x5
−
+
+ O@xD7
2
16
384
H∗ Gráficos das funções de Bessel J0 HxL HvermelhoL e J1 HxL HazulL ∗L
Plot@8BesselJ@0, xD, BesselJ@1, xD<, 8x, 0, 10<,
PlotStyle → 88RGBColor@1, 0, 0D<, 8RGBColor@0, 0, 1D<<D;
1
0.8
0.6
0.4
0.2
2
-0.2
-0.4
4
6
8
10
CAPÍTULO 6
Equações Diferenciais
Iniciar o MathKernel
In[1]:=
Out[1]=
2 + 2 H∗ Este comando inicia o MathKernel ∗L
4
6.1 Primeiros exemplos
Chama-se equações diferenciais a uma equação que envolve uma ou mais derivadas de uma função que se deseja
encontrar. Assim, se y = y(x) é uma função da variável independente x, são equações diferenciais cada uma das
seguintes equações:
y' + 3 x y = 2,
y - sen x y y' = 7,
y'' + 9 x y' -7 y = x.
As duas primeiras dessas equações são de primeira ordem, por envolverem apenas a derivasda primeira da função y: já
a terceira é uma equação de segunda ordem, visto ser esta a ordem mais alta das derivadas que nela comparecem.
Um dos problemas mais simples que se formula naturalmente em termo de uma equação diferencial ocorre toda vez
que a taxa de variação de uma função é propocional à própria função. Simbolicamente,
y' = k y
o que corresponde à equação diferencial
y' - k y = 0
A única função que a sua derivada é proporcional a própria função é a função exponencial. Assim, a solução da
equação
y' - k y = 0
é a função y = C ek x
2
Rijo Cal 2 Capitulo 6.nb
Dsolve[equation, y[x], x] fornece a solução geral, y[x], da equação diferencial
equation cuja variável idependente é x.
In[28]:=
Out[29]=
H∗ Soluciona a equação diferencial y'− k y = 0 ∗L
Clear@x, yD;
DSolve@y '@xD − k y@xD
0, y@xD, xD
88y@xD →
kx
C@1D<<
PlotVectorField[f, {x, x0, x1}, {y, y0, y1}, options] produz um campo de
vetores da função vetorial f bidimensional.
options:
Axes -> Automatic
traça os eixos x e y.
HeadLength -> α determina o tamanho da seta que representa o vetor. α = 0,
suprime a ponta da seta.
In[175]:=
<< Graphics`PlotField`
Clear@x, yD;
PlotVectorField@81, .2 y<, 8x, −1, 8<,
8y, −2, 5<, Axes → Automatic, HeadLength → 0D;
5
4
3
2
1
2
4
6
8
-1
-2
In[35]:=
Out[36]=
H∗ Soluciona a equação diferencial y'− k y =
0 con valor inicial y H0L = 1 ∗L
Clear@x, yD
DSolve@8y '@xD == k y@xD, y@0D == 1<, y@xD, xD
88y@xD →
kx
<<
Rijo Cal 2 Capitulo 6.nb
3
A expressão y = C ek x chama-se solução geral da equação y' - k y = 0 . Isto porque qualquer solução particular pode
ser obtida a partir da solução geral, com ajuste conveniente da constante C. A situação com equações diferenciais é
sempre assim, elas possuem infinitas soluções. Em geral, quando se modela um problema por meio de uma equação
diferencial, é necessário prescrever condiçõies adicionais para individualizar a solução do problema que se deseja
resolver. Assim, o problema típico envolvendo uma equação diferencial é o problema de valor inicial, que consiste em
resolver a equação, sujeita à condição inicial y(0) = C, onde C é um valor dado.
In[160]:=
<< Graphics`PlotField`
Clear@x, yD;
p1 = PlotVectorField@81, .2 y<, 8x, −1, 8<, 8y, −1, 5<,
Axes → Automatic, HeadLength → 0, DisplayFunction → IdentityD;
sol = DSolve@8y '@xD − .2 y@xD
0, y@0D == 1<, y@xD, xD;
p2 = Plot@y@xD ê. sol, 8x, −1, 8.3<,
PlotStyle → 8RGBColor@1, 0, 0D<, DisplayFunction → Identity D;
Show@8p1, p2<, DisplayFunction → $DisplayFunctionD;
5
4
3
2
1
2
4
6
8
-1
In[2]:=
Out[2]=
H∗ Série de potências da função esponencial ∗L
xn
, 8n, 0, ∞<E
SumA
n!
x
Problema do pára-quedista
O problema que vamos considerar agora é o de encontrar a velocidade de um pára-quedista que salta de um avião. Calcularemos sua velocidade verticala partir da velocidade zero no instante inicial, provando que esta velocidade tende para um
valor constante. Isto acontece devido aà resistência do ar.
Seja v = v(t) a velocidade do pára-quedista. Ele está sujeito à ação da força-peso mg (onde m é sua massa e g a acelaração
da gravidade) e da força de resistência do ar. Experimentalmente, sabe-se que , para velocidades não muito grandes, esta
força é proporcional `a própria velocidade v. Denotando por k a constante de proporcionalidade, e levando em conta que a
resistência do ar atua contrariamente ao movimento, a segunda lei de Newton se exprime na forma
m dv/dt = m g - k v,
4
Rijo Cal 2 Capitulo 6.nb
ou seja, pondo w = k/m,
v'=g-wv
In[193]:=
Out[194]=
In[207]:=
H∗ Problema do pára−quedista, v H0L = 0 ∗L
Clear@g, ω, t, vD
DSolve@8v '@tD == g − ω v@tD, v@0D 0<, v@tD, tD êê Simplify
99v@tD →
−t ω
g−
ω
g
==
g = 9.8; ω = 1;
Plot@g H1 − −ω t L ê ω, 8t, 0, 5<, PlotRange → 80, 10<D;
10
8
6
4
2
1
In[256]:=
Out[257]=
In[252]:=
Out[253]=
In[258]:=
Out[259]=
2
3
4
5
H∗ Problema do pára−quedista, v H0L = 1 ∗L
Clear@g, ω, t, vD
sol1 = DSolve@8v '@tD == g − ω v@tD, v@0D 1<, v@tD, tD êê Simplify
99v@tD →
−t ω
HH−1 +
ω
t ωL
HH−1 +
t ωL
g + ωL
==
H∗ Problema do pára−quedista, v H0L = 5 ∗L
Clear@g, ω, t, vD
sol2 = DSolve@8v '@tD == g − ω v@tD, v@0D 5<, v@tD, tD êê Simplify
99v@tD →
−t ω
ω
g + 5 ωL
==
H∗ Problema do pára−quedista, v H0L = 10 ∗L
Clear@g, ω, t, vD
sol3 = DSolve@8v '@tD == g − ω v@tD, v@0D 10<, v@tD, tD êê Simplify
99v@tD →
−t ω
HH−1 +
t ωL
ω
g + 10 ωL
==
Rijo Cal 2 Capitulo 6.nb
In[268]:=
Out[269]=
In[276]:=
5
H∗ Problema do pára−quedista, v H0L = 15 ∗L
Clear@g, ω, t, vD
sol4 = DSolve@8v '@tD == g − ω v@tD, v@0D 15<, v@tD, tD êê Simplify
99v@tD →
−t ω
HH−1 +
t ωL
g + 15 ωL
ω
==
g = 9.8; ω = 1;
Plot@8v@tD ê. sol1, v@tD ê. sol2, v@tD ê. sol3, v@tD ê. sol4<,
8t, 0, 5<, PlotRange → 80, 16<D;
16
14
12
10
8
6
4
2
1
2
3
4
5
Equações e operradores lineares
A equação v ' = g - w v é do tipo chamado equação linear não-homogênea. Linear porque ela pode ser escrita na
forma Lv = g, onde g é o operador linear L = d/dt + w, que atua na função v(t) da seguinte maneira
L v = (d/dt + w ) v = dv/dt + w v
Operador é um ente que age sobre funções, transformando em outras funções.
Um operador é dito linear quando ele tem a seguinte propriedade: quaisquer que sejam as funções u e v, e quaisquer
que sejam as constantes a e b,
L(a u + b v) = a L u + b L v.
Estamos interessados em operadores diferenciais, aqueles que executam derivações. Eis aqui outro exemplo de
operador diferencial linear:
d
d
L1 = ÅÅÅÅ
ÅÅÅÅ + f HtL ÅÅÅÅ
Å + gHtL
dt
dt2
2
onde f e g são funções com o mesmo domínioque as funções que o operador deve atuar. Este último é um operador de
segunda ordem, assim chamado por ser 2 a derivação de ordem mais alta que nele aparece.
A importância da linearidade de um operador reside na seguinte propriedade: se L é um operador linear, e u e v são
soluções da equação L u = 0, então qualquer combinação linear de u e v também é solução, isto é, L(a u + b v) = 0,
quaisquer que sejam as constantes a e b.
6
Rijo Cal 2 Capitulo 6.nb
Dado um operador L e uma função h, as equações L u = 0 e L u = h são chamadas de equação homogênea e equação
não-homogênea, respectivamente. Um outro fato importante sobre operadores lineares é que qualquer solução da
equação não=homogênea pode ser obtida como a soma de uma soluçãio particular qualquer desta equação com uma
solução conveniente da equação homogênea. Mais explicitamente, de v0 satisfaz L v0 = 0, ebtão qualquer solução v
de L v = h pode ser escrtita na forma v = u + v0 , onde u é uma solução conveniente de L u = 0.
Exercícios
7. Verifique que a função y(x) = -1 - x + (1 + C) ex é solução do seguinte problema de valor inicial: y ' - y = x, y(0) = C.
In[278]:=
Out[279]=
H∗ Soluciona a equação diferencial y'− y = x ∗L
Clear@x, yD;
DSolve@y '@xD − y@xD
x, y@xD, xD
88y@xD → −1 − x +
x
C@1D<<
11. Mostre que sen(w t) e cos(wt) são soluções da equação u '' + w2 u = 0.
In[280]:=
Out[281]=
H∗ Soluciona a equação diferencial u''+ ω2 u = 0 ∗L
Clear@t, uD;
0, u@tD, tD
DSolve@u ''@tD + ω2 u@tD
88u@tD → C@1D Cos@tD + C@2D Sin@tD<<
6.2 Equações de segunda ordem
Vamos considerar nesta seção, três exemplos de equação de segunda ordem que aparecem em Geofísica. A equaçãodas
das vibrações harmônicas, a equação de Bessel e a equação de Airy.
Vibrações harmônicas
A equação das vibrações harmônicas é dada por
x'' + w2 x = 0
em que x(t).
In[3]:=
Out[4]=
H∗ Soluciona a equação dasvibrações harmônicas ∗L
Clear@x, tD;
0, x@tD, tD
DSolve@x ''@tD + ω2 x@tD
88x@tD → C@1D Cos@t ωD + C@2D Sin@t ωD<<
Equação de Bessel de ordem n
Rijo Cal 2 Capitulo 6.nb
7
A equação de Bessel de ordem zero é dada por
x y'' + x y' + x2 y = 0
em que x(t).
In[9]:=
Out[10]=
H∗ Soluciona a equação de Bessel ∗L
Clear@x, tD;
DSolve@x2 y ''@xD + x y '@xD + x2 y@xD
88y@xD → BesselJ@0, xD C@1D + BesselY@0, xD C@2D<<
A equação de Bessel de ordem um é dada por
0, y@xD, xD
x y'' + x y' + Hx2 - 1L y = 0
em que x(t).
In[11]:=
Out[12]=
H∗ Soluciona a equação de Bessel ∗L
Clear@x, tD;
DSolve@x2 y ''@xD + x y '@xD + Hx2 − 1L y@xD
88y@xD → BesselJ@1, xD C@1D + BesselY@1, xD C@2D<<
A equação de Bessel de ordem n é dada por
0, y@xD, xD
x y'' + x y' + Hx2 - n2 L y = 0
em que x(t).
In[13]:=
Out[14]=
H∗ Soluciona a equação de Bessel ∗L
Clear@x, yD;
DSolve@x2 y ''@xD + x y '@xD + Hx2 − n2 L y@xD
88y@xD → BesselJ@n, xD C@1D + BesselY@n, xD C@2D<<
0, y@xD, xD
Equação de Airy
A equação de Airy é dada por
y'' + x y = 0
em que x(t).
In[17]:=
Out[18]=
H∗ Soluciona a equação de Airy ∗L
Clear@x, yD;
DSolve@ y ''@xD + x y@xD
0, y@xD, xD
88y@xD → AiryAi@H−1L1ê3 xD C@1D + AiryBi@H−1L1ê3 xD C@2D<<
8
Rijo Cal 2 Capitulo 6.nb
6.3 Modelos populacionais
O problema de valor inicial
p'(t) = k p(t), p(0) = p0 ,
que tem solução p(t) = p0 e-kt , é o mais simples de crescimento populacional. Este modelo, chamado modelo maltusiano, é valido para intervalo de tempo não muito grande.
O modelo logístico
Um modelo mais preciso que o maltusiano foi proposto em 1883 pelo matemático-biólogo holandês F. W. Verhulst.
p'(t) = (a - b p(t)) p(t), p(0) = p0 ,
em que a é a constante de proporcionalidade que aparece na taxa de nascimento ap(t), e b a constante associada à taxa
de mortalidade bp(t). Verhulst chamou esta equação diferencial de equação logística.
In[19]:=
H∗ Soluciona a equação de Airy ∗L
Clear@t, pD;
DSolve@8 p '@tD == Ha − b p@tDL p@tD, p@0D
p0<, p@tD, tD
Solve::ifun :
Inverse functions are being used by Solve, so some solutions may
not be found; use Reduce for complete solution information. More…
Out[20]=
99p@tD →
a a t p0
==
a − b p0 + b a t p0
CAPÍTULO 7
Limites e integrais impróprias
Iniciar o MathKernel
In[1]:=
Out[1]=
2 + 2 H∗ Este comando inicia o MathKernel ∗L
4
7.1 Limite de uma função no infinito
Diz-se que uma função f(x), com x Ø +¶ se , dado qualquer número e > 0, for sempre possível encontrar um
número R tal que
x > R ï | f(x) - L | < e.
Escreve-se
limx Ø +¶ f HxL = L
ou mesmo
limx Ø ¶ f HxL = L.
EXEMPLO 1. A função L + sen(x)/x converge para L com x Ø +¶
In[58]:=
Out[58]=
H∗ Limte de L + sen HxLêx com x Ø + ¶ ∗L
Limit@L + Sin@xD ê x, x → ∞D
L
EXEMPLO 2. A função x/(x + 12) converge para 1 com x Ø +¶
In[59]:=
Out[59]=
H∗ Limte de xêHx + 12L com x Ø + ¶ ∗L
Limit@x ê Hx + 12L , x → ∞D
1
EXEMPLO 3. A função ax com a < 1 converge para 0 com x Ø +¶
In[60]:=
Out[61]=
H∗ Limte de ax com x Ø + ¶ ∗L
Clear@aD
Limit@ax , x → ∞, Assumptions → a < 1D
Limit@ax , x → ∞, Assumptions → a < 1D
2
Rijo Cal 2 Capítulo 7.nb
EXEMPLO 4. A função Hx2 + cos2 xL ê H3 x + 10L diverge para + ¶ com x Ø +¶
In[62]:=
Out[63]=
H∗ Limte de Hx2 + cos2 xLêH3 x + 10L com x Ø + ¶ ∗L
Clear@aD
Limit@ Hx 2 + Cos@xD2 L ê H3 x + 10L, x → ∞D
∞
A definição de que f(x) ö L com x Ø ¶ é inteiramente análoga à definição anterior.
Diz-se que uma função f(x), com x Ø -¶ se , dado qualquer número e > 0, for sempre possível encontrar um
número R tal que
x > R ï | f(x) - L | < e.
Do mesmo modo, as definições de
limx Ø + ¶ f HxL = + ¶,
limx Ø - ¶ f HxL = + ¶,
limx Ø + ¶ f HxL = - ¶,
limx Ø - ¶ f HxL = - ¶,
são formuladas de maneira semelhante.
Teorema. Sejam f e g duas funções definidas num semi-eixo x > x0 , tendo limites F e G, respectivamente, com x
Ø ¶. Então, f + g, f g, (k f), onde k uma constante qualquer, são funções convergentes além de que,
(a)
limx Ø ¶ @- f HxL D = -F
limx Ø ¶ @ f HxL + gHxLD = limx Ø ¶ f HxL + limx Ø ¶ gHxL = F + G;
(b)
limx Ø ¶ k f HxL = k limx Ø ¶ f HxL = k F; em particular, k = -1 nos dá
(c)
limx Ø ¶ @ f HxL gHxLD = limx Ø ¶ f HxL . limx Ø ¶ gHxL = F G;
(d)
se, além das hipóteses acima, G ∫ 0, wntão existe limite de f ê g , igual F/G.
Exercícios
Em cada um dos Exercícios 3 a 6 calcule o limite
3. limx Ø ¶ @3 ê x2 D
In[64]:=
Out[65]=
H∗ Limte de 3êx2 com x Ø + ¶ ∗L
Clear@xD
Limit@ 3 ê x 2 , x → ∞D
0
4. limx Ø ¶ A 5 cosHxL ë
In[66]:=
è!!!
xE
H∗ Limte de
è!!!
5 cosHxLë x com x Ø + ¶ ∗L
Clear@xD
LimitA 5 Cos@xD ë
Out[67]=
0
5. limx Ø ¶ @H6 x + 1L ê H2 x + 3LD
è!!!!
x , x → ∞E
Rijo Cal 2 Capítulo 7.nb
In[68]:=
Out[69]=
3
H∗ Limte de H6 x + 1LêH2 x + 3L com x Ø + ¶ ∗L
Clear@xD
Limit@ H6 x + 1L ê H2 x + 3L, x → ∞D
3
è!!!
6. limx Ø ¶ AH3 x + 1L ë I x + 1ME
In[70]:=
è!!!
H∗ Limte de H3 x +1LëI x + 1M com x Ø + ¶ ∗L
è!!!!
LimitA H3 x + 1L ë I x + 1M, x → ∞E
Clear@aD
Out[71]=
∞
Em cada um dos Exercícios 7 a 26 calcule o limite proposto
è!!!
7. limx Ø ¶ AI2 x + x M ë Hx - cos xLE
In[80]:=
Out[80]=
è!!!
I2 x + x MëHx - cos xL com x Ø + ¶ ∗L
è!!!!
LimitA I2 x +
x M ë Hx − Cos@xDL, x → ∞E
H∗ Limte de
2 Null
8. limx Ø ¶ AIsen x - 3 x
In[82]:=
è!!!
x M ë H cos x + 5 x2 LE
H∗ Limte de Isen x − 3 x
Clear@xD
LimitA ISin@xD − 3 x
Out[83]=
è!!!
x MëH cos x + 5 x2 L com x Ø + ¶ ∗L
è!!!!
x M ë HCos@xD + 5 x2 L, x → ∞E
0
9. limx Ø ¶ @H1 + x + 3 x2 L ê H 1 - 7 x + 2 x2 LD
In[84]:=
Out[84]=
H∗ Limte de H1 + x + 3 x2 LêH1 − 7 x + 2 x2 L com x Ø - ¶ ∗L
Limit@ H1 + x + 3 x2 L ê H1 − 7 x + 2 x2 L, x → −∞D
3 Null
2
10. limx Ø ¶ AI1 + x
In[85]:=
Out[85]=
è!!!
è!!!
x M ë I x - 3ME
è!!!
è!!!
H∗ Limte de I1 x x MëI x −3M com x Ø ¶ ∗L
è!!!!
è!!!!
LimitA I1 x x M ë I x − 3M, x → ∞E
Null ∞
11. limx Ø ¶ AIsen x +
In[86]:=
Out[86]=
è!!!!!!!
-x M ë H 2 + cos xLE
è!!!!!!
H∗ Limte de Isen x +
−x MëH2 + cos xL com x Ø - ¶ ∗L
è!!!!!!
LimitA ISin@xD +
−x M ë H2 + Cos@xDL, x → −∞E
Null ∞
12. limx Ø ¶ @ln x ê H 1 + ln xLD
In[89]:=
H∗ Limte de ln xêH1 + ln xL com x Ø ¶ ∗L
Limit@ Log@xD ê H1 + Log@xDL, x → ∞D
4
Rijo Cal 2 Capítulo 7.nb
13. limx Ø ¶ @H1 - x2 L ê H 3 + ex LD
In[90]:=
Out[90]=
H∗ Limte de H1 − x2 LêH3 + ex L com x Ø -¶ ∗L
Limit@ H1 − x2 L ê H3 + x L, x → −∞D
Null H−∞L
14. limx Ø ¶ AI3 x2 - x
In[91]:=
Out[91]=
è!!!
è!!!
x M ë I 4 x2 + x - x ME
è!!!
è!!!
H∗ Limte de I3 x2 − x x MëI4 x2 + x − x M com x Ø ¶ ∗L
è!!!!
è!!!!
LimitA I3 x2 − x x M ë I4 x2 + x −
x M, x → ∞E
3 Null
4
è!!!
è!!!
15. limx Ø ¶ AI x + ln xM ë I x ln x - 1ME
In[92]:=
Out[92]=
è!!!
è!!!
H∗ Limte de I x = ln xMëI x ln x −1M com x Ø ¶ ∗L
è!!!!
è!!!!
LimitA I x + Log@xDM ë I x Log@xD − 1M, x → ∞E
0
7.2 Integrais impróprias - intervalo ilimitado
Teorema. Seja f(x) uma função não decrescente e limitada superiormente num semi-eixo x ¥ a. Então, f(x)
converge para o seu supremo com x Ø ¶.
Ÿa
Teorema. Sejam f e g funções contínuas no semi-eixo x ¥ a. Se
¶
0 § f (x) § g (x) e
g HxL „ x
converge, emtão também converge a integral imprópria de f, isto é
¶
Ÿa f HxL „ x < ¶.
Por outro lado, se
0 § f (x) § g (x) e
diverge, emtão também converge a integral imprópria de g, isto é
¶
Ÿa g HxL „ x < ¶..
EXEMPLO 1. Determine a integral
Ÿ1
¶ è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
H1 - cos xL ê x3 „ x
Ÿa f
¶
HxL „ x
Rijo Cal 2 Capítulo 7.nb
In[93]:=
5
H∗ Integral imprópria exata ∗L
è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
!!!!!!!
IntegrateA H1 − Cos@xDL ê x3 , 8x, 1, ∞<E
1 − Cos@xD
%%%%%%%%%%
‡ $%%%%%%%%%%%%%%%%
x3
1
∞
Out[93]=
x
NIntegrate[f, {x, xmin, xmax}] acha uma aproximação numérica da integral de com respeito à
variável x de xmin a xmax.
In[96]:=
H∗ Integral imprópria numérica ∗L
è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
!!!!!!!
NIntegrateA H1 − Cos@xDL ê x3 , 8x, 1, ∞<E
NIntegrate::slwcon :
Numerical integration converging too slowly; suspect one
of the following: singularity, value of the integration
being 0, oscillatory integrand, or insufficient
WorkingPrecision. If your integrand is oscillatory try
using the option Method−>Oscillatory in NIntegrate. More…
NIntegrate::ncvb :
NIntegrate failed to converge to prescribed accuracy after 7
recursive bisections in x near x = 284.6830912420604`. More…
Out[96]=
1.97467
EXEMPLO 2. Determine a integral
In[97]:=
Out[97]=
Ÿ1 ‰-x
¶
è!!!!
x
è!!!!!!!!!!!!!!2!
1 + x „x
H∗ Integral imprópria exata ∗L
è!!!! è!!!!!!!!!!!!!!!
1 + x2 , 8x, 1, ∞<E
IntegrateA − x
‡
∞
è!!!!
− x
è!!!!!!!!!!!!2!
1+x
x
1
In[98]:=
Out[98]=
H∗ Integral imprópria numérica ∗L
è!!!! è!!!!!!!!!!!!!!!
1 + x2 , 8x, 1, ∞<E
NIntegrateA − x
11.9775
EXEMPLO 3. Determine a integral
In[103]:=
Ÿ1
¶ è!!!
x x ë Hx2 + 1L „ x
H∗ Integral imprópria exata ∗L
è!!!!
IntegrateAx x ë Hx2 + 1L, 8x, 0, ∞<E
Integrate::idiv : Integral of
Out[103]=
‡
∞
0
x3ê2
1 + x2
x3ê2
does not converge on 80, ∞<. More…
1 + x2
x
Outros tipos de integrais impróprias
EXEMPLO 4. Determine a integral
2
Ÿ1 Hx + 4L ë HHx -
¶
1L6 + 1L „ x
6
Rijo Cal 2 Capítulo 7.nb
In[113]:=
H∗ Integral imprópria exata ∗L
Integrate@Hx + 4 L2 ê HHx − 1L6 + 1L, 8x, −∞, ∞<D
N@%D
Out[113]=
17 π
Out[114]=
53.4071
In[111]:=
Out[111]=
H∗ Integral imprópria numérica ∗L
NIntegrate@Hx + 4 L2 ê HHx − 1L6 + 1L, 8x, −∞, ∞<D
53.4071
Os valores das integrais exata e numérica coincidem até a quarta casa decimal.
Integrais absolutamente convergentes
Teorema. Seja f (x) uma função contínua para x ¥ a. Então, a integral imprópriae
¶
Ÿa f HxL „ x
converge se ela for absolutamente convergente, isto é, se for convergente a integral
¶
Ÿa » f HxL … „ x.
EXEMPLO 5. Determine a integral
In[105]:=
Out[105]=
Ÿ1 senHxL ê x2 „ x
¶
H∗ Integral imprópria analítica ∗L
Integrate@Abs@Sin@xD ê x2 D, 8x, 1, ∞<D
−CosIntegral@1D + Sin@1D
A integral dada é absolutamente convergente
In[115]:=
H∗ Integral imprópria analítica ∗L
Integrate@Sin@xD ê x2 , 8x, 1, ∞<D
N@%D
Out[115]=
−CosIntegral@1D + Sin@1D
Out[116]=
0.504067
In[108]:=
H∗ Integral imprópria analítica ∗L
NIntegrate@Sin@xD ê x2 , 8x, 1, ∞<D
NIntegrate::slwcon :
Numerical integration converging too slowly; suspect one
of the following: singularity, value of the integration
being 0, oscillatory integrand, or insufficient
WorkingPrecision. If your integrand is oscillatory try
using the option Method−>Oscillatory in NIntegrate. More…
NIntegrate::ncvb :
NIntegrate failed to converge to prescribed accuracy after 7
recursive bisections in x near x = 284.6830912420604`. More…
Out[108]=
0.504894
Rijo Cal 2 Capítulo 7.nb
7
Os valores das integrais exata e numérica coincidem até a terceira casa decimal.
¶
senHxL ê x „ x
EXEMPLO 6. Determine a integral Ÿ
1
A integral dada é absolutamente convergente
In[118]:=
Out[118]=
Out[119]=
In[123]:=
Out[123]=
H∗ Integral imprópria analítica ∗L
Integrate@Sin@xD ê x, 8x, 1, ∞<D
N@%D
1
Hπ − 2 SinIntegral@1DL
2
0.624713
H∗ Integral imprópria analítica ∗L
NIntegrate@Sin@xD ê x, 8x, 1, ∞<, Method → OscillatoryD
0.624713
Exercícios
Em cada um dos Exercícios 1 a 28 verifique se a integral dada converge ou diverge
¶
x ê Hx3 + 2L „ x
1. Ÿ
0
In[124]:=
Out[124]=
Out[125]=
In[126]:=
Out[126]=
2.
H∗ Integral imprópria analítica ∗L
Integrate@x ê Hx3 + 2L, 8x, 0, ∞<D
N@%D
22ê3 π
è!!!
3 3
0.959742
H∗ Integral imprópria analítica ∗L
NIntegrate@x ê Hx3 + 2L, 8x, 0, ∞<D
0.959742
Ÿ0 x ê Hx2 + x + 1L „ x
¶
In[130]:=
Out[130]=
H∗ Integral imprópria analítica ∗L
Integrate@x ê Hx2 + x + 1L, 8x, 0, ∞<D
x
Integrate::idiv : Integral of
does not converge on 80, ∞<. More…
1 + x + x2
‡
∞
0
x
1 + x + x2
x
8
Rijo Cal 2 Capítulo 7.nb
In[129]:=
H∗ Integral imprópria analítica ∗L
NIntegrate@x ê Hx2 + x + 1L, 8x, 0, ∞<D
NIntegrate::slwcon :
Numerical integration converging too slowly; suspect one
of the following: singularity, value of the integration
being 0, oscillatory integrand, or insufficient
WorkingPrecision. If your integrand is oscillatory try
using the option Method−>Oscillatory in NIntegrate. More…
NIntegrate::ncvb :
NIntegrate failed to converge to prescribed accuracy after 7
recursive bisections in x near x = 2.288332793335697`*^56. More…
Out[129]=
3.
Ÿ0
¶
In[131]:=
Out[131]=
4.
23952.5
Hx2 - x - 1L ê Hx4 + 1L „ x
H∗ Integral imprópria exata ∗L
Integrate@Hx2 − x − 1L ê Hx4 + 1L, 8x, 0, ∞<D
π
−
4
è!!!
Ÿ1 cos2 x ë Ix x M „ x
¶
In[141]:=
H∗ Integral imprópria exata ∗L
è!!!!
IntegrateACos@xD2 ë Ix x M, 8x, 1, ∞<E
N@%D
Out[141]=
1 + Cos@2D +
Out[142]=
0.806647
In[137]:=
2 y
è!!! i
π j
j−1 + 2 FresnelSA è!!! Ez
z
k
π {
H∗ Integral imprópria exata ∗L
è!!!!
NIntegrateACos@xD2 ë Ix x M, 8x, 1, ∞<E
NIntegrate::slwcon :
Numerical integration converging too slowly; suspect one
of the following: singularity, value of the integration
being 0, oscillatory integrand, or insufficient
WorkingPrecision. If your integrand is oscillatory try
using the option Method−>Oscillatory in NIntegrate. More…
NIntegrate::ncvb :
NIntegrate failed to converge to prescribed accuracy after 7
recursive bisections in x near x = 365.6296662523593`. More…
Out[137]=
6.
0.808726
Ÿ1 ln x ê x3 „ x
¶
Rijo Cal 2 Capítulo 7.nb
In[146]:=
Out[146]=
Out[147]=
In[148]:=
Out[148]=
7.
9
H∗ Integral imprópria exata ∗L
Integrate@Log@xD ê x3 , 8x, 1, ∞<D
N@%D
1
4
0.25
H∗ Integral imprópria exata ∗L
Integrate@Log@xD ê x3 , 8x, 1, ∞<D
1
4
è!!!
Ÿ1 ln x ë Ix x M „ x
¶
In[149]:=
H∗ Integral imprópria exata ∗L
è!!!!
IntegrateALog@xD ë Ix x M, 8x, 1, ∞<E
N@%D
Out[149]=
4
Out[150]=
4.
In[152]:=
4
Ÿ1 Hln xL
Out[152]=
8.
H∗ Integral imprópria exata ∗L
è!!!!
IntegrateALog@xD ë Ix x M, 8x, 1, ∞<E
¶
In[153]:=
8
í Ix
è!!!
x M„x
H∗ Integral imprópria exata ∗L
è!!!!
IntegrateALog@xD8 ë Ix x M, 8x, 1, ∞<E
N@%D
Out[153]=
20643840
Out[154]=
2.06438 × 107
In[155]:=
¶
In[163]:=
Out[163]=
10.
20643840
Ÿ1 Hln xL
Out[155]=
9.
H∗ Integral imprópria exata ∗L
è!!!!
IntegrateALog@xD8 ë Ix x M, 8x, 1, ∞<E
r
ë x1 + e „ x
H∗ Integral imprópria exata ∗L
Integrate@Log@xDr ê x1 + ε , 8x, 1, ∞<, Assumptions → 8r > 0, ε > 0<D
ε−1−r Gamma@1 + rD
Ÿ1 x ln x ê Hx + 1L2
¶
„x
10
Rijo Cal 2 Capítulo 7.nb
In[164]:=
H∗ Integral imprópria exata ∗L
Integrate@x Log@xD ê Hx + 1L2 , 8x, 1, ∞<D
Integrate::idiv : Integral of
Out[164]=
‡
∞
1
In[165]:=
x Log@xD
H1 + xL2
x Log@xD
does not converge on 81, ∞<. More…
H1 + xL2
x
H∗ Integral imprópria exata ∗L
NIntegrate@x Log@xD ê Hx + 1L2 , 8x, 1, ∞<D
NIntegrate::slwcon :
Numerical integration converging too slowly; suspect one
of the following: singularity, value of the integration
being 0, oscillatory integrand, or insufficient
WorkingPrecision. If your integrand is oscillatory try
using the option Method−>Oscillatory in NIntegrate. More…
NIntegrate::ncvb :
NIntegrate failed to converge to prescribed accuracy after 7
recursive bisections in x near x = 2.288332793335697`*^56. More…
Out[165]=
11.
Ÿ10 1 ê Hx - 5L3ê2 „ x
¶
In[166]:=
Out[166]=
12.
H∗ Integral imprópria exata ∗L
Integrate@1 ê Hx − 5L3ê2 , 8x, 10, ∞<D
2
è!!!
5
2
Ÿ10 Hx + 1L ë Hx4
¶
In[167]:=
Out[167]=
13.
1.75681 × 108
Ÿ1
¶
In[168]:=
+ 1L „ x
H∗ Integral imprópria exata ∗L
Integrate@Hx + 1L2 ê Hx4 + 1L, 8x, −∞, 0<D
1
è!!!
I−1 + 2 M π
2
x ê Hx + sen xL2 „ x
H∗ Integral imprópria exata ∗L
Integrate@x ê Hx + Sin@xDL2 , 8x, 1, ∞<D
x
does not converge on 81, ∞<. More…
Hx + Sin@xDL2
Integrate::idiv :
Integral of
Out[168]=
‡
∞
1
x
Hx + Sin@xDL2
x
Rijo Cal 2 Capítulo 7.nb
In[171]:=
11
H∗ Integral imprópria exata ∗L
NIntegrate@x ê Hx + Sin@xDL2 , 8x, 1, ∞<D
NIntegrate::slwcon :
Numerical integration converging too slowly; suspect one
of the following: singularity, value of the integration
being 0, oscillatory integrand, or insufficient
WorkingPrecision. If your integrand is oscillatory try
using the option Method−>Oscillatory in NIntegrate. More…
NIntegrate::ncvb :
NIntegrate failed to converge to prescribed accuracy after 7
recursive bisections in x near x = 2.288332793335697`*^56. More…
Out[171]=
14.
Ÿ1
¶
In[172]:=
Out[172]=
23952.7
x ê Hx + cos xL3 „ x
H∗ Integral imprópria exata ∗L
Integrate@x ê Hx + Cos@xDL3 , 8x, 1, ∞<D
‡
∞
1
In[173]:=
x
Hx + Cos@xDL3
x
H∗ Integral imprópria exata ∗L
NIntegrate@x ê Hx + Cos@xDL3 , 8x, 1, ∞<D
NIntegrate::slwcon :
Numerical integration converging too slowly; suspect one
of the following: singularity, value of the integration
being 0, oscillatory integrand, or insufficient
WorkingPrecision. If your integrand is oscillatory try
using the option Method−>Oscillatory in NIntegrate. More…
NIntegrate::ncvb :
NIntegrate failed to converge to prescribed accuracy after 7
recursive bisections in x near x = 115.50720492118647`. More…
Out[173]=
15.
Ÿ0
¶
In[174]:=
Out[174]=
16.
1.33986
Hx4 + x3 + 1L ‰-x „ x
H∗ Integral imprópria exata ∗L
Integrate@Hx4 + x3 + 1L −x , 8x, 0, ∞<D
31
Ÿ0 ‰ ¶
In[25]:=
è!!!
x lnHx + 1L „ x
H∗ Integral imprópria exata ∗L
è!!!!
IntegrateA −
x Log@x + 1D, 8x, 0, ∞<E
Integrate::idiv :
è!!!
Integral of − x Log@1 + xD does not converge on 80, ∞<. More…
‡ I −
∞
Out[25]=
0
è!!!
x Log@1 + xDM x
12
Rijo Cal 2 Capítulo 7.nb
A integral dada não converge
¶ -x2
‰ Hx + 1L2 „ x
17. Ÿ
-¶
In[26]:=
H∗ Integral imprópria exata ∗L
è!!!
π
2
IntegrateA
Out[26]=
18.
3
Ÿ-¶ H‰x
¶
In[28]:=
−x2
Hx + 1L2 , 8x, −∞, ∞<E
- ‰-x L ê Hx2 + 1L „ x
H∗ Integral imprópria exata ∗L
Integrate@H x + −x L ê Hx2 + 1L, 8x, −∞, ∞<D
Integrate::idiv :
−x
Integral of
Out[28]=
‡
∞
−∞
1+
x2
+
x
1 + x2
does not converge on 8−∞, ∞<. More…
−x
+ x
1 + x2
x
A integral dada não converge
19.
Ÿ-¶ ‰-x ê Hx4
0
In[29]:=
+ 1L „ x
H∗ Integral imprópria exata ∗L
Integrate@ −x ê Hx4 + 1L, 8x, −∞, 0<D
−x
Integrate::idiv : Integral of
Out[29]=
‡
0
−∞
1 + x4
does not converge on 8−∞, 0<. More…
−x
1 + x4
x
A integral dada não converge
20.
Ÿ-¶ ‰x Hx4
0
In[30]:=
25
¶
In[31]:=
Out[31]=
In[32]:=
+ 1L „ x
H∗ Integral imprópria exata ∗L
Integrate@Sin@xD ê Hx2 + 1L, 8x, 0, ∞<D
1 è!!!
1
1
1
1
π MeijerGA99 =, 8<=, 99 ,
=, 80<=,
E
2
2
2
2
4
N@%D
0.646761
è!!!
Ÿ0 cosHxL ê Ix x + 1M „ x
Out[32]=
22.
H∗ Integral imprópria exata ∗L
Integrate@ x Hx4 + 1L, 8x, −∞, 0<D
Ÿ0 senHxL ê Hx2
Out[30]=
21.
+ 1L „ x
¶
Rijo Cal 2 Capítulo 7.nb
In[33]:=
13
H∗ Integral imprópria exata ∗L
è!!!!
IntegrateACos@xD ë Ix x + 1M, 8x, 0, ∞<E
MeijerG@88
Out[33]=
In[34]:=
Out[35]=
In[36]:=
Out[37]=
In[39]:=
Out[39]=
25.
<, 8<<, 880,
, 13 ,
è!!! 5ê2
4 3 π
1
12
1
3
,
7
12
,
2
3
,
5
6
<, 8
1
6
,
1
2
<<,
1
46656
D
Hx + 1L2 „ x
1 + 3 Cos@1D CosIntegral@1D −
3
π Sin@1D + 3 Sin@1D SinIntegral@1D
2
N@%D
−0.0301339
Hx + 1L3ê2 „ x
H∗ Integral imprópria exata ∗L
Integrate@Sin@x2 + 1D ê Hx + 1L3ê2 , 8x, 0, ∞<D
1
96
JCos@1D J−6 CosA
π
1
5
9
1
3
5
E J16 GammaA E HypergeometricPFQA9 ,
=, 9 ,
,
=,
8
4
8
8
2
4
4
1
5
− E + 15 GammaA− E HypergeometricPFQA
4
4
7
11
3
5
3
1
3π
9 ,
=, 9 ,
,
=, − EN + 3 CosA
E
8
8
4
4
2
4
8
3
3
7
1
1
3
1
=, 9 ,
,
=, − E +
J64 GammaA E HypergeometricPFQA9 ,
4
8
8
4
2
4
4
7
9
13
5
3
7
1
35 GammaA− E HypergeometricPFQA9 ,
=, 9 ,
,
=, − EN +
4
8
8
4
2
4
4
3
5
5
7
9
11
1
512 HypergeometricPFQA9 , 1,
=, 9 ,
,
,
=, − EN +
4
4
8
8
8
8
4
π
3
3
7
1
1
3
1
3 J−64 CosA E GammaA E HypergeometricPFQA9 ,
=, 9 ,
,
=, − E +
8
4
8
8
4
2
4
4
3π
1
5
9
1
3
5
1
32 CosA
E GammaA E HypergeometricPFQA9 ,
=, 9 ,
,
=, − E +
8
4
8
8
2
4
4
4
5π
5
30 CosA
E GammaA− E
8
4
7
11
3
5
3
1
7π
HypergeometricPFQA9 ,
=, 9 ,
,
=, − E − 35 CosA
E
8
8
4
4
2
4
8
7
9
13
5
3
7
1
GammaA− E HypergeometricPFQA9 ,
=, 9 ,
,
=, − E +
4
8
8
4
2
4
4
1
3
1
3
5
7
1
64 HypergeometricPFQA9 ,
, 1=, 9 ,
,
,
=, − EN Sin@1DN
4
4
8
8
8
8
4
N@%D
0.541044
Ÿ0 I1 + 2 cos
¶
7
12
H∗ Integral imprópria exata ∗L
Integrate@H1 − 3 Sin@xDL ê Hx + 1L2 , 8x, 0, ∞<D
¶
In[37]:=
,
0.474241
Ÿ0 senHx2 + 1L ê
Out[36]=
1
3
N@%D
¶
In[35]:=
24.
,
Ÿ0 H1 - 3 senHxLL ê
Out[34]=
23.
1
12
è!!!!!!!!!!!!!
!
x2 + 1 M ë
Hx + 1L2 „ x
14
Rijo Cal 2 Capítulo 7.nb
In[40]:=
Out[40]=
H∗ Integral imprópria exata ∗L
è!!!!!!!!!!!!!!
IntegrateAI1 + 2 CosA x2 + 1 EM ë Hx + 1L2 , 8x, 0, ∞<E
‡
∞
è!!!!!!!!!!!!!
1 + 2 CosA 1 + x2 E
H1 + xL2
0
In[41]:=
x
N@%D
NIntegrate::ncvb :
NIntegrate failed to converge to prescribed accuracy after 7
recursive bisections in x near x = 983.9478762308564`. More…
26.
1.20122
Ÿ2 1 ê Hx lnxL „ x
Out[41]=
¶
In[42]:=
H∗ Integral imprópria exata ∗L
Integrate@1 ê Hx Log@xDL, 8x, 2, ∞<D
Integrate::idiv : Integral of
Out[42]=
‡
∞
¶
In[43]:=
Out[43]=
28.
x
Ÿ2 1 ê HxH ln xLr L „ x
2
27.
1
x Log@xD
1
does not converge on 82, ∞<. More…
x Log@xD
Ÿ1
¶
In[44]:=
Out[44]=
In[45]:=
H∗ Integral imprópria exata ∗L
Integrate@1 ê Hx Log@xDr L, 8x, 2, ∞<, Assumptions → r > 1D
Log@2D1−r
−1 + r
xr H ln xLs ‰-x „ x
H∗ Integral imprópria exata ∗L
Integrate@xr Log@xDs −x , 8x, 1, ∞<, Assumptions → 8 r > 0, s > 0<D
Integrate@
−x
xr Log@xDs , 8x, 1, ∞<, Assumptions → 8r > 0, s > 0<D
N@%D
NIntegrate::inum :
Integrand −x xr Log@xDs is not numerical at 8x< = 82.<. More…
NIntegrate::inum :
Integrand −x xr Log@xDs is not numerical at 8x< = 82.<. More…
NIntegrate::inum :
Integrand −x xr Log@xDs is not numerical at 8x< = 82.<. More…
General::stop : Further output of NIntegrate::inum will
be suppressed during this calculation. More…
Out[45]=
29.
Ÿ1
¶
NIntegrate@
xx ‰-x „ x
−x
xr Log@xDs , 8x, 1, ∞<D
Rijo Cal 2 Capítulo 7.nb
In[46]:=
Out[46]=
30.
Ÿ1
¶
In[47]:=
Out[47]=
31.
H∗ Integral imprópria exata ∗L
Integrate@Cos@xD ê x, 8x, 1, ∞<D
−CosIntegral@1D
H∗ Integral imprópria exata ∗L
Integrate@Sin@xD ê x, 8x, −∞, ∞<D
π
è!!!
Ÿ1 senHxL ë x „ x
¶
In[49]:=
Out[49]=
H∗ Integral imprópria exata ∗L
è!!!!
IntegrateASin@xD ë x , 8x, 1, ∞<E
π
$%%%%%%
2
i
y
j
2 z
j
j
z
Ez
j
j1 − 2 FresnelSA$%%%%%%
z
π z
k
{
è!!!
Ÿ1 cosHxL ë x „ x
¶
In[50]:=
Out[50]=
34.
cosHxL ê x „ x
¶
Out[48]=
33.
Gamma@1 + r, 1D
Ÿ-¶ senHxL ê x „ x
In[48]:=
32.
H∗ Integral imprópria exata ∗L
Integrate@xr −x , 8x, 1, ∞<D
3
H∗ Integral imprópria exata ∗L
3
è!!!
!
IntegrateACos@xD ë x , 8x, 1, ∞<E
1
1
1
2
5
J2 JExpIntegralEA , − E + ExpIntegralEA , E + GammaA EN − 3 GammaA EN
4
3
3
3
3
Ÿ1 senHx2 L „ x
¶
In[51]:=
Out[51]=
H∗ Integral imprópria exata ∗L
Integrate@Sin@x2 D, 8x, 1, ∞<D
i
y
1
π j
2 z
j
z
1 − 2 FresnelSA$%%%%%% Ez
$%%%%%% j
j
z
j
2
2
π z
k
{
15
16
Rijo Cal 2 Capítulo 7.nb
7.3 Limites e integrais impróprias - intervalo limitado
Teorema. Seja f(x) uma função não-decrescente e limitada superiormente num semi-eixo a § x < b. Então, f(x)
converge para o seu supremo S com x Ø b_ .
Teorema. Sejam f e g funções contínuas e não limitadas no intervalo a § x < b. Se
b
0 § f (x) § g (x) e Ÿ g HxL „ x
a
converge, emtão também converge a integral imprópria de f, isto é
b
b
Ÿa f HxL „ x = limx Ø b- Ÿa
Por outro lado, se
0 § f (x) § g (x) e
Ÿa f
b
f
HxL „ x < ¶.
HxL „ x
diverge, emtão também converge a integral imprópria de g, isto é
¶
Ÿa g HxL „ x = ¶..
Teorema. Seja f (x) uma função contínua em a § x < b, não-limitada e não necessariamente positiva. Então, a
integral
b
Ÿa f HxL „ x
converge se ela for absolutamente convergente, isto é, se for convergente a integral
b
Ÿa » f HxL … „ x .
EXEMPLO 1. Determine a integral
è!!!!!!!!!!!!!!!! è!!!!!!!!!!!!
Ÿ0 t H1 + t2 L ë 1 - t „ t
x
Rijo Cal 2 Capítulo 7.nb
In[190]:=
17
H∗ Gráfico da função ∗L
è!!!!!!!!!!!!! è!!!!!!!!!!!!!
PlotAt 1 + t2 ë 1 − t , 8t, 0, 1<E;
35
30
25
20
15
10
5
0.2
In[186]:=
0.4
0.6
0.8
H∗ Integral imprópria exata ∗L
è!!!!!!!!!!!!! è!!!!!!!!!!!!!
IntegrateAt 1 + t2 ë 1 − t , 8t, 0, 1<E
1
N@%D
Out[186]=
4
15
i
j
1
è!!!!!!!!!!
j
j
2 + 7 1 + EllipticEA ArcSinhA$%%%%%%%%
− %%%%%%%%
− %% E, − E −
j
j
2
2
k
y
z
1
è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
z
−31 + 17 EllipticFA ArcSinhA$%%%%%%%%
− %%%%%%%%
− %% E, − Ez
z
z
2
2
{
Out[187]//Short=
1.72418 − 2.36848 × 10−16
EXEMPLO 2. Determine a integral
In[189]:=
Ÿ0
x
sen@1 ê H1 - tLD ë
è!!!!!!!!!!!!
1 - t „t
H∗ Gráfico da função ∗L
è!!!!!!!!!!!!!
PlotASin@1 ê H1 − tLD ë 1 − t , 8t, 0, 1<E;
10
5
0.2
-5
-10
0.4
0.6
0.8
1
18
Rijo Cal 2 Capítulo 7.nb
In[191]:=
H∗ Integral imprópria exata ∗L
è!!!!!!!!!!!!!
IntegrateASin@1 ê H1 − tLD ë 1 − t , 8t, 0, 1<E
N@%D
i
j
z
2 y
j
j
z + 2 Sin@1D
Ez
j
j1 − 2 FresnelCA$%%%%%%
z
π z
k
{
Out[191]=
è!!!!!!!
2π
Out[192]=
0.571473
EXEMPLO 3. Determine a integral
In[189]:=
In[197]:=
Out[197]=
Plot@
−t
Ÿ0
1
‰-t ta - 1 „ t
ta − 1 , 8t, 0, 1<D;
H∗ Integral imprópria exata ∗L
Integrate@ −t ta − 1 , , 8t, 0, 1<, Assumptions → a > 0D
Null HGamma@aD − Gamma@a, 1DL
Exercícios
è!!
Ÿ0 cosHtL ê t „ t
Em cada um dos Exercícios 1 a 18 verifique se a integral dada converge ou diverge
1.
1
In[200]:=
H∗ Gráfico da função ∗L
è!!!!
PlotACos@tD ë t , 8t, 0, 1<E;
25
20
15
10
5
0.2
In[201]:=
0.4
H∗ Integral imprópria exata ∗L
è!!!!
IntegrateACos@tD ë t , 8t, 0, 1<E
N@%D
Out[201]=
Out[202]=
2.
2
è!!!!!!!
2 π FresnelCA$%%%%%% E
π
1.80905
è!!!!!!!!!!!!!!!
Ÿ0 sen x2 + 1 ê Hx2ê3 Hx2
1
0.6
+ 1LL „ x
0.8
1
Rijo Cal 2 Capítulo 7.nb
In[203]:=
19
H∗ Gráfico da função ∗L
è!!!!!!!!!!!!!!
PlotASinA x2 + 1 E ë Hx2ê3 Hx2 + 1LL, 8x, 0, 1<E;
40
30
20
10
0.2
In[204]:=
0.4
0.6
0.8
1
H∗ Integral imprópria exata ∗L
è!!!!!!!!!!!!!!
IntegrateASinA x2 + 1 E ë Hx2ê3 Hx2 + 1LL, 8x, 0, 1<E
è!!!!!!!!!!!!!
SinA 1 + x2 E
x2ê3 H1 + x2 L
N@%D
Out[204]=
‡
1
0
Out[205]=
3.
2.34022
Ÿ0 ‰x ê Hx3ê2 Hx2
1
In[207]:=
x
+ 1LL „ x
H∗ Gráfico da função ∗L
Plot@ x ê Hx3ê2 Hx2 + 1LL, 8x, 0, 1<D;
1500
1000
500
0.2
0.4
0.6
0.8
1
20
Rijo Cal 2 Capítulo 7.nb
In[210]:=
H∗ Integral imprópria exata ∗L
Integrate@ x ê Hx3ê2 Hx2 + 1LL, 8x, 0, 1<D
Integrate::idiv :
H1 + x2 L
x
Integral of
Out[210]=
4.
Ÿ0
1
‡
1
In[211]:=
H1 + x2 L
does not converge on 80, 1<. More…
x
x3ê2
lnH1 - tL ê
0
x3ê2
x
è!!!!!!!!!!!!!2!
1 - t „t
H∗ Gráfico da função ∗L
è!!!!!!!!!!!!!!!
PlotALog@1 − tD ë 1 − t2 , 8t, 0, 1<E;
0.2
0.4
0.6
0.8
1
-20
-40
-60
-80
In[212]:=
H∗ Integral imprópria exata ∗L
è!!!!!!!!!!!!!!!
IntegrateALog@1 − tD ë 1 − t2 , 8t, 0, 1<E
$RecursionLimit::reclim : Recursion depth of 256 exceeded. More…
$RecursionLimit::reclim : Recursion depth of 256 exceeded. More…
$RecursionLimit::reclim : Recursion depth of 256 exceeded. More…
General::stop : Further output of $RecursionLimit::reclim will
be suppressed during this calculation. More…
Out[212]=
In[213]:=
Out[213]=
In[214]:=
Out[214]=
5.
Ÿ0
¶
−2 Catalan −
1
π Log@2D
2
N@%D
−2.92072
H∗ Integral imprópria numérica ∗L
è!!!!!!!!!!!!!!!
NIntegrateALog@1 − tD ë 1 − t2 , 8t, 0, 1<E
−2.92072 + 6.05189 × 10−51
1ê
è!!!!!!!!
!!!!!!!!!!!!
xHx2 + 1L „ x
Rijo Cal 2 Capítulo 7.nb
In[215]:=
21
H∗ Integral imprópria exata ∗L
è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
IntegrateA1 ë x Hx2 + 1L , 8x, 0, ∞<E
8 Gamma@ 54 D
è!!!
π
2
Out[215]=
6.
Ÿ0 ‰-x ê Hx2
¶
In[218]:=
3ê2
- 1L
„x
H∗ Integral imprópria exata ∗L
IntegrateA
−x
ë Hx2 − 1L
3ê2
Integrate::idiv :
H−1 + x2 L3ê2
−x
Integral of
Out[218]=
‡
∞
Ÿ-¶ ‰x ê
0
7.
0
In[220]:=
H−1 + x2 L3ê2
8.
Ÿ0
¶
In[221]:=
does not converge on 80, ∞<. More…
−x
x
è!!!!!!!!3!
-x „ x
H∗ Integral imprópria exata ∗L
è!!!!!!!!
IntegrateA −x ë −x3 , 8x, −∞, 0<E
Integrate::idiv :
−x è!!!!!!!!
−x3
Integral of
x3
Out[220]=
, 8x, 0, ∞<E
‡
−1
è!!!!!!!!
−x3
tanhHtL ê
−∞
does not converge on 8−∞, −1<. More…
−x
x
è!!
t „t
H∗ Integral imprópria exata ∗L
è!!!!
IntegrateATanh@tD ë t , 8t, 0, ∞<E
Integrate::idiv : Integral of
Out[221]=
‡
∞
9.
Tanh@tD
è!!!
t
è!!!!!!!!!!!!!!!!!!
Ÿ0 ‰x ê xH1 - xL „ x
0
1
t
Tanh@tD
does not converge on 80, ∞<. More…
è!!!
t
22
Rijo Cal 2 Capítulo 7.nb
In[223]:=
H∗ Gráfico da função ∗L
è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
PlotA x ë x H1 − xL , 8x, 0, 1<E;
40
30
20
10
0.2
In[222]:=
Out[222]=
10.
0.4
0.6
H∗ Integral imprópria exata ∗L
è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
IntegrateA x ë x H1 − xL , 8x, 0, 1<E
è!!!
π BesselIA0, −
è!!!!!!!!!!!!!!!!!!
Ÿ0 1 ê 5 x - x2 „ x
0.8
1
4
5
1
E
2
5
In[224]:=
H∗ Gráfico da função ∗L
è!!!!!!!!!!!!!!!!!
PlotA1 ë 5 x − x2 , 8x, 0, 5<E;
4
3
2
1
1
In[225]:=
Out[225]=
11.
3
H∗ Integral imprópria exata ∗L
è!!!!!!!!!!!!!!!!!
IntegrateA1 ë 5 x − x2 , 8x, 0, 5<E
π
è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
Ÿ1 ln x ê 6 x - x2 - 5 „ x
5
2
Rijo Cal 2 Capítulo 7.nb
23
H∗ Gráfico da função ∗L
è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
PlotALog@xD ë 6 x − x2 − 5 , 8x, 1, 5<E;
In[226]:=
10
8
6
4
2
2
4
H∗ Integral imprópria exata ∗L
è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
IntegrateALog@xD ë 6 x − x2 − 5 , 8x, 1, 5<E
In[227]:=
N@%D
In[228]:=
4.52785
è!!!!!!!!!!!!
Ÿ0 ln t ê t3 + t „ t
Out[228]=
¶
In[229]:=
H∗ Integral imprópria exata ∗L
è!!!!!!!!!!!!!!
IntegrateALog@tD ë t3 + t , 8t, 0, ∞<E
Log@tD
Integrate::idiv : Integral of è!!!!!!!!!!!!!
t + t3
Out[229]=
13.
Ÿ0
2
In[1]:=
‡
∞
0
Log@tD
è!!!!!!!!!!!!3!
t+t
‰t ë H4 - t2 L
3ê2
t
H∗ Integral imprópria exata ∗L
t
ë H4 − t2 L
3ê2
Integrate::idiv :
H4 − t2 L3ê2
t
Integral of
Out[1]=
‡
2
0
Ÿ-2 1 ë
2
does not converge on 80, ∞<. More…
„t
IntegrateA
14.
5
4
32
3
5
5
4
1
è!!!
+
HypergeometricPFQA91,
, 2=, 9 ,
=,
E + π LogA I3 + 5 ME
3
243
2
2
2
9
2
Out[227]=
12.
3
H4 − t2 L3ê2
t
è!!!!!!!!!!!!!2!
4 - t „t
t
, 8t, 0, 2<E
does not converge on 80, 2<. More…
24
Rijo Cal 2 Capítulo 7.nb
H∗ Integral imprópria exata ∗L
è!!!!!!!!!!!!!!!
IntegrateA1 ë 4 − t2 , 8t, −2, 2<E
In[2]:=
π
Out[2]=
15.
Ÿ0
1
1ë
è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
x + sen x „ x
H∗ Integral imprópria exata ∗L
è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
IntegrateA1 ë x + Sin@xD , 8x, 0, 1<E
In[3]:=
‡
Out[3]=
1
0
1.42608
Out[4]=
Ÿ0
¶
In[5]:=
x
H∗ Integral imprópria numérica ∗L
è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
NIntegrateA1 ë x + Sin@xD , 8x, 0, 1<E
In[4]:=
16.
1
è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
x + Sin@xD
1ë
è!!!!!!!!!!!!!3!
x + x „x
H∗ Integral imprópria exata ∗L
è!!!!!!!!!!!!!!
IntegrateA1 ë x + x3 , 8x, 0, ∞<E
8 Gamma@ 54 D
è!!!
π
2
Out[5]=
18.
Ÿ0
1
In[7]:=
cosHxL ê xr „ x, r ¥ 1
H∗ Integral imprópria exata ∗L
Integrate@Cos@xD ê xr , 8x, 0, 1<, Assumptions → r ≥ 1D
Integrate::gener : Unable to check convergence. More…
Out[7]=
IfAr < 3,
Integrate@x−r
In[10]:=
− r2 <, 8 12 , 32 − r2 <, − 14 D
,
1−r
Cos@xD, 8x, 0, 1<, Assumptions → r ≥ 3DE
HypergeometricPFQ@8
1
2
H∗ Integral imprópria exata ∗L
Integrate@Cos@xD ê xr , 8x, 0, 1<, Assumptions → 1 ≤ r < 3D
Integrate::gener : Unable to check convergence. More…
HypergeometricPFQ@8
Out[10]=
In[11]:=
Out[11]=
19.
Ÿ0
1
In[13]:=
Out[13]=
N@%D ê. r → 2
− r2 <, 8
1−r
1
2
1
2
−1.48639
‰-1êt ê t2 „ t
H∗ Integral imprópria exata ∗L
Integrate@ −1êt ê t2 , 8t, 0, 1<D
1
,
3
2
−
r
2
<, −
1
4
D
Rijo Cal 2 Capítulo 7.nb
20.
N
Ÿ0 t ‰-1êt „ t
1
H∗ Integral imprópria exata ∗L
Integrate@tN −1êt , 8t, 0, 1<D
In[14]:=
Gamma@−1 − N, 1D
Out[14]=
21.
25
Ÿ0
¶
In[19]:=
Out[19]=
‰-t t x -1 „ t
H∗ Integral imprópria exata ∗L
Integrate@ −t tx − 1 , 8t, 0, ∞<, Assumptions → x > 0D
Gamma@xD
Integrais impróprias importantes em geofísica
1.
Ÿ0
¶
In[7]:=
Out[7]=
2.
Ÿ0
¶
In[8]:=
Out[8]=
‰a t cosHw tL dt = a ê Ha2 + w2 L
Integrate@
α
α2 + ω2
−α t
Cos@ω tD, 8t, 0, ∞<, Assumptions → 8ω ≥ 0, α ≥ 0<D
‰a t senHw tL dt = w ê Ha2 + w2 L
Integrate@
ω
α2 + ω2
−α t
Sin@ω tD, 8t, 0, ∞<, Assumptions → 8ω ≥ 0, α ≥ 0<D
¶
3. 2/pŸ HsenHw L cosHw tLL ê w dw = (sign(1 - t) + sign(1 + t))/2
0
In[23]:=
Out[23]=
In[27]:=
2 ê π Integrate@HSin@ω D Cos@ω tDL ê ω,
8ω, 0, ∞<, Assumptions → 8ω ≥ 0, −∞ < t < ∞<D
1
HSign@1 − tD + Sign@1 + tDL
2
Plot@H Sign@1 − tD + Sign@1 + tDL ê 2,
8t, −3, 3<, PlotStyle → RGBColor@1, 0, 0DD;
1
0.8
0.6
0.4
0.2
-3
-2
-1
1
2
3
26
Rijo Cal 2 Capítulo 7.nb
In[28]:=
H∗ Gráfico da função f HtL = 1 se »t» < 1, f HtL = 0 se »t» > 1 ∗L
Plot@Sign@tD, 8t, −2, 2<, PlotStyle → RGBColor@1, 0, 0DD;
1
0.5
-2
-1
1
2
-0.5
4.
Ÿ0
¶
In[4]:=
Out[4]=
5.
J1 Hl rL „ l = 1 ê r
H∗ Integral de Lipschitz ∗L
Integrate@BesselJ@1, λ rD, 8λ, 0, ∞<, Assumptions → r > 0D
1
r
2
Ÿ0 1 ë l
¶
In[31]:=
Out[31]=
6.
-1
"##################2
+ g J1 Hl rL „ l = H1 - ‰- r g L ê Hr gL
IntegrateA1 ë
è!!!!!!!!
!!!!!!!!!
λ2 + γ2 BesselJ@1, λ rD,
8λ, 0, ∞<, Assumptions → 8r > 0, γ > 0<E
1 − −r γ
rγ
è!!!!!!!!!!!!!!!!
Ÿ0 ‰-l z J0 Hl rL „ l = 1 ë r2 + z2
¶
In[3]:=
Out[3]=
Integrate@
1
è!!!!!!!!
!!!!!!!
2
r + z2
−λ z
BesselJ@0, λ rD, 8λ, 0, ∞<, Assumptions → 8r > 0, z ≥ 0<D
CAPÍTULO 8
Seções Cônicas
Iniciar o MathKernel
In[1]:=
Out[1]=
2 + 2 H∗ Este comando inicia o MathKernel ∗L
4
Já falamos da perábola e da hipérbole no primeiro volume, porém, apenas como gráficos das funções y = k x2 e y
= k/x, e de funções obtidas dessas por translação.
8.1 A Elipse
A elipse é o lugar geométrico dos pontos do plano cuja soma das distâncias a dois pontos fixos é F− e F+ é
constante. Os pontos F− e F+ são chamados focos da elipse e o ponto médio do segmento F− F+ = 2c é chamado
centro.
2
2
y
x
ÅÅ + ÅÅÅÅ
ÅÅ = 1. Os segmentos a e b são chamados semi-eixos maior e menor da elipse,
Equação canônica da elipse ÅÅÅÅ
a2
b2
respectivamente. A excentridade da elipse é definida pelo qociente e = c/a.
A circunferência é uma elípse em que a = b = r. O segmento r é chamado o raio da circunferência.
In[1]:=
<< Graphics`ImplicitPlot`
Show@Graphics@Circle@80, 0<, 82, 1<DD,
Axes → True, AspectRatio → AutomaticD;
1
0.5
-2
-1
1
2
-0.5
-1
EXEMPLO 1. H∗ A equação 2 x2 + 3 y2 = 6 ∗L
2
Rijo Cal 2 Capítulo 8.nb
In[3]:=
<< Graphics`ImplicitPlot`
H2 x ^ 2 + 3 y ^ 2 − 6L ê 6 êê Expand;
Print@% + 1, "= 1" D
x2
y2
+
= 1
3
2
Os semi − eixos da elípse são a =
In[6]:=
è!!!
è!!!
3 e b = 2.
è!!!! è!!!!
ShowAGraphicsACircleA80, 0<, 9 3 , 2 =EE,
Axes → True, AspectRatio → AutomaticE;
1
0.5
-1.5
-1
-0.5
0.5
1
1.5
-0.5
-1
EXEMPLO 2. H∗ A equação 9 x2 + 4 y2 + 54 x − 16 y + 61 = 0 representa um elipse∗L
9 x2 + 4 y2 +54 x - 16 y + 61 =0
Agrupando os termos em x e em y, vem
9 Hx2 + 6 xL + 4 Hy2 - 4 yL + 61 = 0
Completando os quadrados
9 Hx2 + 3L - 81 + 4 Hy2 - 2L - 16 + 61 = 0
2
2
ou
9 Hx2 + 3L + 4 Hy2 - 2L
2
2
= 36
Dividindo amnos os lados por 36, resulta
Hy - 2L
Hx + 3L
ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ + ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ = 1.
4
9
2
2
Os semi-eixos são: a = 2 e b = 3.
Rijo Cal 2 Capítulo 8.nb
In[7]:=
3
Show@Show@Graphics@Circle@8−3, 2<, 82, 3<DD,
Axes → True, PlotRange → 88−6, 1<, 8−2, 6<<,
AspectRatio → Automatic, DisplayFunction → IdentityD,
ListPlot@88−3, 0<, 8−3, 2<, 80, 2<<, PlotJoined → True,
PlotStyle → [email protected]<D<, DisplayFunction → IdentityD,
DisplayFunction → $DisplayFunctionD;
6
5
4
3
2
1
-6 -5 -4 -3 -2 -1
1
-1
-2
EXEMPLO 3. (* Achar a equação da elipse de semi eixo a = 3 e b = 3/2 centrada no ponto (2,-1) *)
Do exemplo anterior podemos afirmar que a equação canônica da elipse de aimi-eixos a e b centrada no ponto (x0,y0)
é dada por
Hy-y0L
Hx-x0L
ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ + ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ = 1
a2
b2
2
2
Portanto, a equação canônica da elipse de aimi-eixos a = 3 e b = 3/2 centrada no ponto (x0,y0) = (2,-1) é
Hy+1L
Hx-2L
ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅ + ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅ = 1.
9
9ê4
2
2
Multiplicado os dois lados da equação por 9 vem
Hx - 2L2 + 4(y +1L2 = 9.
Efetuando os quadrados obtemos a equação da elipse.
x2 + 4 y2 - 4 x + 8 y - 1 = 0
In[8]:=
Show@Show@Graphics@Circle@82, −1<, 83, 3 ê 2<DD,
Axes → True, PlotRange → 88−2, 6<, 8−3, 2<<,
AspectRatio → Automatic, DisplayFunction → IdentityD,
ListPlot@880, −1<, 82, −1<, 82, 0<<, PlotJoined → True,
PlotStyle → [email protected]<D<, DisplayFunction → IdentityD,
DisplayFunction → $DisplayFunctionD;
2
1
-2 -1
1
-1
-2
-3
2
3
4
5
6
4
Rijo Cal 2 Capítulo 8.nb
Exercícios
Determinar os semi-eixos a e b, os focos e a ecentricidade das elipses de equações dadas nos Exercícios 1 a 6. Faça os
gráficos respectivos.
1.
x2 + 4 y2 = 8
A equação canônica da elipse é
x2
y2
+
= 1.
8
2
è!!!!
In[1]:= a =
8
è!!!!
b= 2
c = Sqrt@a ^ 2 − b ^ 2D
e = cêa
è!!!
Out[1]= 2
2
è!!!
Out[2]=
2
è!!!
6
Out[3]=
è!!!
3
Out[4]=
2
è!!!
è!!!
è!!!
è!!!
Os semi-eixos a = 2 2 e b = 2 , os focos ± 6 e a ecentricidade c = 3 /2 .
In[5]:=
Show@Graphics@Circle@80, 0<, 82 Sqrt@2D, Sqrt@2D<DD,
Axes → True, AspectRatio → AutomaticD;
1
0.5
-2
-1
-0.5
1
-1
2.
9 x2 + 2 y2 = 18
A equação canônica da elipse é
y2
x2
+
= 1.
2
9
è!!!!
In[6]:= a =
2
b=3
c = Sqrt@b ^ 2 − a ^ 2D
e = cêa
è!!!
Out[6]=
2
Out[7]=
Out[8]=
Out[9]=
3
è!!!
7
7
$%%%%%%
2
2
Rijo Cal 2 Capítulo 8.nb
Os semi-eixos a =
In[10]:=
è!!!
è!!!
è!!!!!!!!!
2 e b = 3 , os focos ± 7 e a ecentricidade c = 7 ê 2 .
Show@Graphics@Circle@80, 0<, 8Sqrt@2D, 3<DD,
Axes → True, AspectRatio → AutomaticD;
3
2
1
-1-0.5 0.5 1
-1
-2
-3
3. 3 x2 + 5 y2 = 10
A equação canônica da elipse é
x2
y2
+
= 1.
10 ê 3
2
è!!!!!!!!!!!!!
In[11]:= a =
10 ê 3
è!!!!
b= 2
c = Sqrt@a ^ 2 − b ^ 2D
e = cêa
Out[11]=
Out[12]=
Out[13]=
Out[14]=
10 %
$%%%%%%%%
3
è!!!
2
2
è!!!
3
2
$%%%%%%
5
Os semi-eixos a =
è!!!!!!!!!!!
è!!!
è!!!
è!!!!!!!!!
10 ê 3 e b = 2 , os focos ±2/ 3 e a ecentricidade c = 2 ê 5 .
5
6
Rijo Cal 2 Capítulo 8.nb
In[15]:=
Show@Graphics@Circle@80, 0<, 8Sqrt@10 ê 3D, Sqrt@2D<DD,
Axes → True, AspectRatio → AutomaticD;
1
0.5
-1.5 -1 -0.5
-0.5
0.5
1
1.5
-1
4. 4 x2 + 9 y2 + 4 x - 12 y - 31 = 0
Primeiro,vamos determinar a equação canônica da elípse.
Agrupando os termos em x e em y, vem
4 Hx2 + xL + 9 Hy2 - 4 y ê 3L - 31 = 0
Completando os quadrados
4 Hx + 1 ê 2L2 - 1 + 9 Hy - 2 ê 3L2 - 4 - 31= 0
ou
4 Hx + 1 ê 2L2 + 9 Hy - 2 ê 3L2 - 36 = 0
Dividindo amnos os lados por 36, resulta
Hy - 2ê3L
Hx + 1ê2L
ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅ + ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅ = 1.
9
4
2
2
In[16]:=
Out[16]=
Out[17]=
Out[18]=
Out[19]=
a=3
b=2
c = Sqrt@a ^ 2 − b ^ 2D
e = cêa
3
2
è!!!
5
è!!!
5
3
è!!!
è!!!
Os semi-eixos a = 3 e b = 2 , os focos ± 5 e a ecentricidade c = 5 ë 3 .
Rijo Cal 2 Capítulo 8.nb
In[20]:=
7
Show@Show@Graphics@Circle@8−1 ê 2, 2 ê 3<, 83, 2<DD,
Axes → True, PlotRange → 88−4, 3<, 8−2, 3<<,
AspectRatio → Automatic, DisplayFunction → IdentityD,
ListPlot@88−1 ê 2, 0<, 8−1 ê 2, 2 ê 3<, 80, 2 ê 3<<, PlotJoined → True,
PlotStyle → [email protected]<D<, DisplayFunction → IdentityD,
DisplayFunction → $DisplayFunctionD;
3
2
1
-4
-3
-2
-1
1
2
3
-1
-2
5. 5 x2 + 9 y2 - 10 x + 18 y - 31 = 0
Primeiro,vamos determinar a equação canônica da elípse.
Agrupando os termos em x e em y, vem
5 Hx2 - 2 xL + 9 Hy2 + 2 yL - 31 = 0
Completando os quadrados
5 Hx - 1L2 - 5 + 9(y + 1L2 - 9 - 31= 0
ou
5(x -1L2 + 9(y +1L2 - 45 = 0
Dividindo amnos os lados por 45, resulta
Hy + 1L
Hx -1L
ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ + ÅÅÅÅÅÅÅÅ
Å5ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ = 1.
9
2
2
In[21]:=
Out[21]=
Out[22]=
Out[24]=
a=3
è!!!!
b= 5
c = Sqrt@a ^ 2 − b ^ 2D;
e = cêa
3
è!!!
5
2
3
Os semi-eixos a = 3 e b =
è!!!
5 , os focos e a ecentricidade c = 2 ê 3 .
8
Rijo Cal 2 Capítulo 8.nb
In[25]:=
ShowAShowAGraphicsACircleA81, −1<, 93,
è!!!!
5 =EE,
Axes → True, PlotRange → 88−3, 6<, 8−4, 2<<,
AspectRatio → Automatic, DisplayFunction → IdentityE,
ListPlot@881, 0<, 81, −1<, 80, −1<<, PlotJoined → True,
PlotStyle → [email protected]<D<, DisplayFunction → IdentityD,
DisplayFunction → $DisplayFunctionE;
2
1
-2
2
4
6
-1
-2
-3
-4
6. 10 x2 + 4 y2 + 40 x - 24 y + 36 = 0
Primeiro,vamos determinar a equação canônica da elípse.
Agrupando os termos em x e em y, vem
10 Hx2 + 4 xL + 4 Hy2 - 6 yL + 36 = 0
Completando os quadrados
10 Hx + 2L2 - 40 + 4(y - 3L2 - 36 + 36= 0
ou
10(x + 2L2 + 4(y - 3L2 - 40 = 0
Dividindo amnos os lados por 45, resulta
Hy - 3L
Hx + 2L
ÅÅÅÅÅÅÅÅ
Å4ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ + ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ = 1.
10
2
In[26]:=
Out[26]=
Out[27]=
Out[28]=
Out[29]=
2
a=2
è!!!!!!
b = 10
c = Sqrt@b ^ 2 − a ^ 2D
e = cêa
2
è!!!!!!
10
è!!!
6
3
$%%%%%%
2
Os semi-eixos a = 2 e b =
è!!!!!!
è!!!
è!!!!!!!!!
10 , os focos c = ± 6 e a ecentricidade e = 3 ê 2 .
Rijo Cal 2 Capítulo 8.nb
In[30]:=
9
ShowAShowAGraphicsACircleA8−2, 3<, 92,
è!!!!!!
10 =EE,
Axes → True, PlotRange → 88−4, 1<, 8−1, 8<<,
AspectRatio → Automatic, DisplayFunction → IdentityE,
ListPlot@88−2, 0<, 8−2, 3<, 80, 3<<, PlotJoined → True,
PlotStyle → [email protected]<D<, DisplayFunction → IdentityD,
DisplayFunction → $DisplayFunctionE;
8
6
4
2
-4 -3 -2 -1
10.
1
Calcule o semi-- eixo menor da órbita da Terra. Ecentricidade igual a 0,017. Trace o gráfico da órbita
In[31]:=
Out[33]=
In[34]:=
Clear@aD
b = 10;
Solve@Sqrt@b ^ 2 − a ^ 2D ê a
88a → 9.99856<<
0.017, aD
Show@Graphics@Circle@80, 0<, 89.99856, 10<DD,
Axes → True, AspectRatio → AutomaticD;
10
5
-10
-5
5
10
-5
-10
11. Desenhe as óbtitas de Mercúrio (ecentricidade igual a 0,206) e de Marte (ecentricidade igual a 0,093
Órbita de Mercúrio
10
Rijo Cal 2 Capítulo 8.nb
In[35]:=
Out[37]=
In[38]:=
Clear@aD
b = 10;
Solve@Sqrt@b ^ 2 − a ^ 2D ê a
88a → 9.79434<<
0.206, aD
Show@Graphics@Circle@80, 0<, 89.79434, b<DD,
Axes → True, AspectRatio → AutomaticD;
10
5
-10
-5
5
10
-5
-10
Órbita de Marte
In[39]:=
Out[41]=
In[42]:=
Clear@aD
b = 10;
Solve@Sqrt@b ^ 2 − a ^ 2D ê a
88a → 9.95703<<
0.093, aD
Show@Graphics@Circle@80, 0<, 89.95703, b<DD,
Axes → True, AspectRatio → AutomaticD;
10
5
-10
-5
5
-5
-10
10
Rijo Cal 2 Capítulo 8.nb
11
8.2 A Hipérbole
A hiperbóle é o lugar geométrico dos pontos do plano cuja diferença das distâncias a dois pontos fixos é F− e F+
é constante. Os pontos F− e F+ são chamados focos da hipérbole e o ponto médio do segmento F− F+ = 2c é
chamado centro.
2
2
y
x
ÅÅ - ÅÅÅÅ
ÅÅ = 1. Os segmentos a e b são chamados semi-eixos maior e menor da hipérEquação canônica da elipse ÅÅÅÅ
a2
b2
pole, respectivamente. A excentridade da elipse é definida pelo qociente e = c/a.
Uma hipérbole é dita equlátera quando a = b. Neste caso a equação canônica passa a ser x2 + y2 = a2 .
Os gráficos da hiperbóle x2 ê b2 - y2 ê b2 = 1 e das duas assintotas y = ± b x/a, sendo a = 4 e b = 4 ë
In[1]:=
è!!!
2
<< Graphics`ImplicitPlot`
a = 4;
b = 4 ê Sqrt@2D;
Show@8Plot@8b ê a x, −b ê a x<, 8x, −10, 10<, DisplayFunction → IdentityD,
1,
ImplicitPlot@x2 ê a2 − y2 ê b2
8x, −10, 10<, DisplayFunction → IdentityD<,
AspectRatio → Automatic, DisplayFunction → $DisplayFunctionD;
6
4
2
-10
-5
5
10
-2
-4
-6
Os gráficos da hiperbóle equilátera x2 - y2 = a2 e das duas assintotas y = ± x, sendo a = 4.
12
Rijo Cal 2 Capítulo 8.nb
In[5]:=
a = 4;
Show@8Plot@8x, −x<, 8x, −10, 10<, DisplayFunction → IdentityD,
a2 , 8x, −10, 10<, DisplayFunction → IdentityD<,
ImplicitPlot@x2 − y2
AspectRatio → Automatic, DisplayFunction → $DisplayFunctionD;
10
5
-10
-5
5
10
-5
-10
Os gráficos da hiperbóle equilátera y2 - x2 = a2 e das duas assintotas y = ± x, sendo a = 4.
In[7]:=
a = 4; Show@8Plot@8x, −x<, 8x, −10, 10<, DisplayFunction → IdentityD,
a2 , 8x, −10, 10<, DisplayFunction → IdentityD<,
ImplicitPlot@y2 − x2
AspectRatio → Automatic, DisplayFunction → $DisplayFunctionD;
10
5
-10
-5
5
10
-5
-10
Exercícios
Determinar os semi-eixos a e b, os focos e a ecentricidade das hipérboles de equações dadas nos Exercícios 1 a 16.
Faça os gráficos respectivos.
1.
x2 ê 9 - y2 ê 4 = 1
A equação canônica da hipérbole é
x2
y2
−
= 1.
9
4
Rijo Cal 2 Capítulo 8.nb
In[1]:=
Out[1]=
Out[2]=
Out[3]=
Out[4]=
13
a=3
b=2
è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
c = a^2 + b^2
e = cêa
3
2
è!!!!!!
13
è!!!!!!
13
3
è!!!!!!
è!!!!!!
Os semi-eixos a = 3 e b = 2 , os focos (± 13 , 0 ) e a ecentricidade c = 13 /3 .
In[5]:=
Show@8Plot@8b ê a x, −b ê a x<, 8x, −10, 10<, DisplayFunction → IdentityD,
ImplicitPlot@x ^ 2 ê a2 − y ^ 2 ê b2 − 1 0,
8x, −10, 10<, DisplayFunction → IdentityD<,
AspectRatio → Automatic, DisplayFunction → $DisplayFunctionD;
6
4
2
-10
-5
5
10
-2
-4
-6
2.
x2 ê 4 - y2 ê 9 = 1
A equação canônica da hipérbole é
x2
y2
−
= 1.
4
9
In[6]:=
Out[6]=
Out[7]=
Out[8]=
Out[9]=
a=2
b=3
è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
c = a^2 + b^2
e = cêa
2
3
è!!!!!!
13
è!!!!!!
13
2
è!!!!!!
è!!!!!!
Os semi-eixos a = 2 e b = 3 , os focos (± 13 , 0 ) e a ecentricidade c = 13 /3 .
14
Rijo Cal 2 Capítulo 8.nb
In[10]:=
Show@8Plot@8b ê a x, −b ê a x<, 8x, −10, 10<, DisplayFunction → IdentityD,
ImplicitPlot@x ^ 2 ê a2 − y ^ 2 ê b2 − 1 0,
8x, −10, 10<, DisplayFunction → IdentityD<,
AspectRatio → Automatic, DisplayFunction → $DisplayFunctionD;
15
10
5
-10
-5
5
10
-5
-10
-15
3. 4 x2 - 25 y2 = 100
Dividindo os dois lados da equação 4 x2 − 25 y2 = 100 por 100, vem
y2
x2
−
= 1.
25
4
In[11]:=
Out[11]=
Out[12]=
Out[13]=
Out[14]=
a=5
b=2
è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
c = a^2 + b^2
e = cêa
5
2
è!!!!!!
29
è!!!!!!
29
5
è!!!!!!
è!!!!!!
Os semi-eixos a = 5 e b = 2 , os focos (± 29 , 0 ) e a ecentricidade c = 29 /5 .
In[15]:=
Show@8Plot@8b ê a x, −b ê a x<, 8x, −10, 10<, DisplayFunction → IdentityD,
ImplicitPlot@x ^ 2 ê a2 − y ^ 2 ê b2 − 1 0,
8x, −10, 10<, DisplayFunction → IdentityD<,
AspectRatio → Automatic, DisplayFunction → $DisplayFunctionD;
4
2
-10
-5
5
-2
-4
4. 25 x2 - 9 y2 = 225
10
Rijo Cal 2 Capítulo 8.nb
15
Dividindo os dois lados da equação 25 x2 − 9 y2 = 225 por 225, vem
x2
y2
−
= 1.
9
25
In[16]:=
Out[16]=
Out[17]=
Out[18]=
Out[19]=
a=3
b=5
è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
c = a^2 + b^2
e = cêa
3
5
è!!!!!!
34
è!!!!!!
34
3
è!!!!!!
è!!!!!!
Os semi-eixos a = 3 e b = 5 , os focos (± 34 , 0 ) e a ecentricidade c = 34 /3 .
In[20]:=
Show@8Plot@8b ê a x, −b ê a x<, 8x, −10, 10<, DisplayFunction → IdentityD,
ImplicitPlot@x ^ 2 ê a2 − y ^ 2 ê b2 − 1 0,
8x, −10, 10<, DisplayFunction → IdentityD<,
AspectRatio → Automatic, DisplayFunction → $DisplayFunctionD;
15
10
5
-10
-5
5
10
-5
-10
-15
5.
x2 - y2 = 9
Dividindo os dois lados da equação x2 − y2 = 9 por 9, vem
x2
y2
−
= 1.
9
9
16
Rijo Cal 2 Capítulo 8.nb
In[21]:=
a=3
b=3
è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
c = a^2 + b^2
e = cêa
Out[21]=
3
Out[22]=
3
Out[23]=
Out[24]=
è!!!
3 2
è!!!
2
Os semi-eixos a = 3 e b = 3 , os focos (±3
In[25]:=
è!!!
è!!!
2 , 0 ) e a ecentricidade c = 2 .
Show@8Plot@8x, −x<, 8x, −10, 10<, DisplayFunction → IdentityD,
ImplicitPlot@x ^ 2 − y ^ 2 9, 8x, −10, 10<, DisplayFunction → IdentityD<,
AspectRatio → Automatic, DisplayFunction → $DisplayFunctionD;
10
5
-10
-5
5
10
-5
-10
6.
y2 - x2 = 25
Dividindo os dois lados da equação y2 − x2 = 25 por 25, vem
y2
x2
−
= 1.
25
25
In[26]:=
a=5
b=5
è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
c = a^2 + b^2
e = cêa
Out[26]=
5
Out[27]=
5
Out[28]=
Out[29]=
è!!!
5 2
è!!!
2
Os semi-eixos a = 5 e b = 5 , os focos (±5
è!!!
è!!!
2 , 0 ) e a ecentricidade c = 2 .
Rijo Cal 2 Capítulo 8.nb
In[30]:=
17
Show@8Plot@8x, −x<, 8x, −10, 10<, DisplayFunction → IdentityD,
ImplicitPlot@y ^ 2 − x ^ 2 25, 8x, −10, 10<, DisplayFunction → IdentityD<,
AspectRatio → Automatic, DisplayFunction → $DisplayFunctionD;
10
5
-10
-5
5
10
-5
-10
7.
x2 - y2 = 4
Dividindo os dois lados da equação x2 − y2 = 4 por 4, vem
x2
y2
−
= 1.
4
4
In[31]:=
a=2
b=2
è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
c = a^2 + b^2
e = cêa
Out[31]=
2
Out[32]=
2
Out[33]=
Out[34]=
è!!!
2 2
è!!!
2
è!!!
è!!!
Os semi-eixos a = 2 e b = 25 , os focos (±2 2 , 0 ) e a ecentricidade c = 2 .
In[35]:=
Show@8Plot@8x, −x<, 8x, −10, 10<, DisplayFunction → IdentityD, ImplicitPlot@
x ^ 2 ê a2 − y ^ 2 ê b2 − 1 0, 8x, −10, 10<, DisplayFunction → IdentityD<,
AspectRatio → Automatic, DisplayFunction → $DisplayFunctionD;
10
5
-10
-5
5
10
-5
-10
8.
y2 - x2 = 4
Dividindo os dois lados da equação y2 − x2 = 4 por 4, vem
y2
x2
−
= 1.
4
4
18
Rijo Cal 2 Capítulo 8.nb
In[36]:=
a=2
b=2
è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
c = a^2 + b^2
e = cêa
Out[36]=
2
Out[37]=
2
Out[38]=
Out[39]=
è!!!
2 2
è!!!
2
è!!!
è!!!
Os semi-eixos a = 2 e b = 2 , os focos (±2 2 , 0 ) e a ecentricidade c = 2 .
In[40]:=
Show@8Plot@8x, −x<, 8x, −10, 10<, DisplayFunction → IdentityD, ImplicitPlot@
y ^ 2 ê a2 − x ^ 2 ê b2 − 1 0, 8x, −10, 10<, DisplayFunction → IdentityD<,
AspectRatio → Automatic, DisplayFunction → $DisplayFunctionD;
10
5
-10
-5
5
10
-5
-10
9.
x2 - 4 y2 = 1
Reescrevendo da equação x2 − 4 y2 = 1, vem
x2
y2
−
= 1.
1
1ê4
In[41]:=
Out[41]=
Out[42]=
Out[43]=
Out[44]=
a=1
è!!!!!!!!!!
b = 1ê4
è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
c = a^2 + b^2
e = cêa
1
1
2
è!!!
5
2
è!!!
5
2
è!!!
è!!!
Os semi-eixos a = 1 e b = 1/2 , os focos (± 5 ë 2, 0 ) e a ecentricidade c = 5 /2 .
Rijo Cal 2 Capítulo 8.nb
In[45]:=
19
Show@8Plot@8b ê a x, −b ê a x<, 8x, −4, 4<, DisplayFunction → IdentityD,
ImplicitPlot@x ^ 2 − 4 y ^ 2 − 1 0, 8x, −4, 4<, DisplayFunction → IdentityD<,
AspectRatio → Automatic, DisplayFunction → $DisplayFunctionD;
2
1
-4
-2
2
4
-1
-2
10. 9 x2 - y2 = 1
Reescrevendo da equação 9 x2 − y2 = 1, vem
y2
x2
−
= 1.
1ê9
1
è!!!!!!!!!!
In[46]:= a =
1ê9
b=1
c = Sqrt@a ^ 2 + b ^ 2D
e = cêa
Out[46]=
Out[47]=
Out[48]=
Out[49]=
1
3
1
è!!!!!!
10
3
è!!!!!!
10
è!!!!!!
è!!!!!!
Os semi-eixos a = 1/3 e b = 1 , os focos (± 10 ë 3, 0 ) e a ecentricidade c = 10 .
In[50]:=
Show@8Plot@8b ê a x, −b ê a x<, 8x, −1, 1<, DisplayFunction → IdentityD,
ImplicitPlot@9 x ^ 2 − y ^ 2 − 1 0, 8x, −1, 1<, DisplayFunction → IdentityD<,
AspectRatio → Automatic, DisplayFunction → $DisplayFunctionD;
3
2
1
-1-0.5 0.5 1
-1
-2
-3
11.
x2 - 25 y2 = 1
20
Rijo Cal 2 Capítulo 8.nb
Reescrevendo a equação x2 − 25 y2 = 1, vem
x2
y2
−
= 1.
1
1 ê 25
In[51]:=
Out[51]=
Out[52]=
Out[53]=
Out[54]=
a=1
b = 1ê5
è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
c = a^2 + b^2
e = cêa
1
1
5
è!!!!!!
26
5
è!!!!!!
26
5
è!!!!!!
è!!!!!!
Os semi-eixos a = 1 e b =1/ 5 , os focos (± 26 ë 5, 0 ) e a ecentricidade c = 26 /5 .
In[55]:=
Show@8Plot@8b ê a x, −b ê a x<, 8x, −4, 4<,
PlotRange → 8−2, 2<, DisplayFunction → IdentityD, ImplicitPlot@
x ^ 2 − 25 y ^ 2 − 1 0, 8x, −4, 4<, DisplayFunction → IdentityD<,
AspectRatio → Automatic, DisplayFunction → $DisplayFunctionD;
2
1.5
1
0.5
-4
-2
-0.5
-1
-1.5
-2
2
4
12. 4 y2 - x2 = 1
Reescrevendo a equação 4 y2 − x2 = 1, vem
y2
x2
−
= 1.
1ê4
1
In[56]:=
Out[56]=
Out[57]=
Out[58]=
Out[59]=
a = 1ê2
b=1
è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
c = a^2 + b^2
e = cêa
1
2
1
è!!!
5
2
è!!!
5
è!!!
è!!!
Os semi-eixos a = 1/2 e b = 1 , os focos (± 5 ë 2, 0 ) e a ecentricidade c = 5 .
Rijo Cal 2 Capítulo 8.nb
In[60]:=
21
Show@8Plot@8a ê b x, −a ê b x<, 8x, −2, 2<,
PlotRange → 8−2, 2<, DisplayFunction → IdentityD,
ImplicitPlot@4 y ^ 2 − x ^ 2 − 1 0, 8x, −2, 2<, DisplayFunction → IdentityD<,
AspectRatio → Automatic, DisplayFunction → $DisplayFunctionD;
2
1.5
1
0.5
-2
-1
1
2
-0.5
-1
-1.5
-2
13. 4 x2 - 9 y2 - 8 x - 36 y - 68 = 0
Agrupando os termos em x e em y, vem
4 Hx2 - 2 xL - 9 Hy2 + 4 yL - 68 = 0
Completando os quadrados
4 Hx - 1L2 - 4 - 9 Hy + 2L2 + 36 - 68= 0
ou
4(x - 1L2 - 9(y + 2L2 - 36 = 0
Dividindo amnos os lados por 36, resulta
Hy + 2L
Hx -1L
ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ - ÅÅÅÅÅÅÅÅ
Å4ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ = 1.
9
2
2
In[61]:=
Out[61]=
Out[62]=
Out[63]=
Out[64]=
a=3
b=2
è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
c = a^2 + b^2
e = cêa
3
2
è!!!!!!
13
è!!!!!!
13
3
è!!!!!!
è!!!!!!
Os semi-eixos a = 3 e b = 2 , os focos ± 13 e a ecentricidade c = 13 ë 3 .
22
Rijo Cal 2 Capítulo 8.nb
In[65]:=
Show@8Plot@8b ê a Hx − 1L − 2, −b ê a Hx − 1L − 2<,
8x, −10, 12<, PlotRange → 8−10, 8<, DisplayFunction → IdentityD,
ImplicitPlot@Hx − 1L ^ 2 ê 9 − Hy + 2L ^ 2 ê 4 − 1 0,
8x, −10, 12<, DisplayFunction → IdentityD<,
AspectRatio → Automatic, DisplayFunction → $DisplayFunctionD;
7.5
5
2.5
-10
-5
5
10
-2.5
-5
-7.5
-10
y2 - x2 + 2 x - 4 y - 22 = 0
14.
Agrupando os termos em x e em y, vem
- Hx2 - 2 xL + Hy2 - 4 yL - 22 = 0
Completando os quadrados
- Hx - 1L2 + 1 + Hy2 - 2L - 4 - 22= 0
2
ou
(x - 1L2 + (y + 2L2 - 25 = 0
Dividindo amnos os lados por 25, resulta
Hy + 2L
Hx -1L
ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ - ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ = 1.
25
25
2
2
In[66]:=
a=5
b=5
è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
c = a^2 + b^2
e = cêa
Out[66]=
5
Out[67]=
5
Out[68]=
Out[69]=
è!!!
5 2
è!!!
2
è!!!
è!!!
Os semi-eixos a = 5 e b = 5 , os focos 5 2 e a ecentricidade c = 2 .
Rijo Cal 2 Capítulo 8.nb
In[70]:=
23
Show@8Plot@8Hx − 1L − 2, −Hx − 1L − 2<, 8x, −10, 12<,
PlotRange → 8−10, 12<, DisplayFunction → IdentityD, ImplicitPlot@
Hx − 1L ^ 2 − Hy + 2L ^ 2
25, 8x, −10, 12<, DisplayFunction → IdentityD<,
AspectRatio → Automatic, DisplayFunction → $DisplayFunctionD;
10
5
-10
-5
5
10
-5
-10
15.
x2 - y2 + 4 x - 6 y - 9 = 0
Agrupando os termos em x e em y, vem
Hx2 + 4 xL - Hy2 + 6 yL - 9 = 0
Completando os quadrados
(x + 2L2 - 4 - Hy + 3L2 + 9 - 9 = 0
ou
(x + 2L2 - (y + 3L2 - 4 = 0
Dividindo amnos os lados por 4, resulta
Hy + 3L
Hx + 2 L
ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ - ÅÅÅÅÅÅÅÅ
Å4ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ = 1.
4
2
2
In[71]:=
a=2
b=2
è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
c = a^2 + b^2
e = cêa
Out[71]=
2
Out[72]=
2
Out[73]=
Out[74]=
è!!!
2 2
è!!!
2
è!!!
è!!!
Os semi-eixos a = 2 e b = 2 , os focos 2 2 e a ecentricidade c = 2 .
24
Rijo Cal 2 Capítulo 8.nb
In[75]:=
Show@8Plot@8Hx + 2L − 3, −Hx + 2L − 3<, 8x, −10, 6<,
PlotRange → 8−10, 6<, DisplayFunction → IdentityD, ImplicitPlot@
Hx + 2L ^ 2 − Hy + 3L ^ 2
4, 8x, −10, 6<, DisplayFunction → IdentityD<,
AspectRatio → Automatic, DisplayFunction → $DisplayFunctionD;
6
4
2
-10 -7.5 -5 -2.5
-2
2.5
5
-4
-6
-8
-10
16. 2 y2 - 3 x2 + 12 x - 12 y + 12 = 0
Agrupando os termos em x e em y, vem
2Hy2 - 6 yL - 3 Hx2 - 4 xL + 12 = 0
Completando os quadrados
2(y - 3L2 - 18 - 3 Hx - 2L2 + 12 + 12 = 0
ou
2(y - 3L2 - 3 (x - 2L2 - 6 = 0
Dividindo amnos os lados por 6, resulta
Hy - 3 L2
Hx - 2L
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ3ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ - ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ = 1.
2
In[76]:=
Out[76]=
Out[77]=
Out[78]=
Out[79]=
2
è!!!!
3
è!!!!
b= 2
è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
c = a^2 + b^2
e = cêa
è!!!
3
è!!!
2
è!!!
5
a=
5
$%%%%%%
3
è!!!
è!!!
Os semi-eixos a = 1 e b = 1 , os focos 2 2 e a ecentricidade c = 2 .
Rijo Cal 2 Capítulo 8.nb
In[80]:=
25
è!!!!!!!!!!
è!!!!!!!!!!
ShowA9PlotA9 3 ê 2 Hx − 2L + 3, − 3 ê 2 Hx − 2L + 3=,
8x, −3, 8<, PlotRange → 8−3, 8<, DisplayFunction → IdentityE,
ImplicitPlot@HHy − 3L ^ 2L ê 3 − HHx − 2L ^ 2L ê 2
8x, −3, 8<, DisplayFunction → IdentityD=,
1,
AspectRatio → Automatic, DisplayFunction → $DisplayFunctionE;
8
6
4
2
-2
2
4
6
8
-2
Em cada um dos Exercícios 17 a 20 ache a equação da hip[erbole de parâmetros dados e faça um gráfico.
17. Focos (-1, 0), (5, 0) e semi-eixo horizontal igual a 2.
y2
Hx - 2 L2
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ - ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ = 1.
4
5
In[81]:=
è!!!!
è!!!!
ShowA9PlotA9 5 ë 2 Hx − 2L, − 5 ë 2 Hx − 2L=, 8x, −4, 8<,
PlotRange → 8−8, 8<, DisplayFunction → IdentityE, ImplicitPlot@
HHx − 2L ^ 2L ê 4 − Hy ^ 2L ê 5
1, 8x, −4, 8<, DisplayFunction → IdentityD=,
AspectRatio → Automatic, DisplayFunction → $DisplayFunctionE;
8
6
4
2
-4
-2
2
4
6
8
-2
-4
-6
-8
18. Focos (-1, 0), (5, 0) e semi-eixo horizontal igual a 2.
x2
4 Hy - 3 ê 2 L2
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ - ÅÅÅÅÅÅÅÅ = 1.
25
1
26
Rijo Cal 2 Capítulo 8.nb
In[82]:=
Show@8Plot@85 ê 2 x + 3 ê 2, −5 ê 2 x + 3 ê 2<,
8x, −4, 4<, PlotRange → 8−8, 10<, DisplayFunction → IdentityD,
ImplicitPlot@4 HHy − 3 ê 2L ^ 2L ê 25 − Hx ^ 2L
1,
8x, −4, 4<, DisplayFunction → IdentityD<,
AspectRatio → Automatic, DisplayFunction → $DisplayFunctionD;
10
7.5
5
2.5
-4
-2
2
4
-2.5
-5
-7.5
19. Focos (-1, 1), (4, 1) e excentricidade e = 5/3.
Hy - 1 L2
4 Hx - 3 ê 2 L2
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ - ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ = 1.
9
4
In[83]:=
Show@8Plot@84 ê 3 Hx − 3 ê 2L + 1, −4 ê 3 Hx − 3 ê 2L + 1<,
8x, −6, 8<, PlotRange → 8−6, 8<, DisplayFunction → IdentityD,
ImplicitPlot@4 HHx − 3 ê 2L ^ 2L ê 9 − HHy − 1L ^ 2L ê 4
1,
8x, −6, 8<, DisplayFunction → IdentityD<,
AspectRatio → Automatic, DisplayFunction → $DisplayFunctionD;
8
6
4
2
-6 -4 -2
2
-2
-4
-6
4
6
8
Rijo Cal 2 Capítulo 8.nb
27
8.3 A Parábola
A parábola é o lugar geométrico dos pontos do plano que são equidistantes de uma reta fixa e de um ponto fixo. A
reta é chamada diretriz e o ponto fixo é o foco da parábola.
Equação canônica da parábola x2 + Hy - pL2 = Hy + pL2 ou equivalentemente x2 = 4 py. O eixo de simetria é
chamado o eixo da parábola. A origem do sistema de coordenadas, que pertence à parábola, é chama o deu
vértice. A equação da diretriz é y = - p e o foco é o ponto F = (0, p).
A equação y2 = 4 px também representa uma parábola em que a diretriz é x = p e o foco F = (p, 0).
In[1]:=
In[2]:=
In[3]:=
p1 = Show@Plot@x ^ 2, 8x, −2, 2<,
Epilog → 8Text@"F", 8.2, 1.5<D, Text@"D", 81.8, 0.3<D<,
DisplayFunction → IdentityD, ListPlot@88−2, −1<, 82, −1<<,
PlotJoined → True, DisplayFunction → IdentityD, ListPlot@880, 1.5<<,
PlotStyle → [email protected]<, DisplayFunction → IdentityD,
ListPlot@88−3 ê 2, −1<, 8−3 ê 2, 9 ê 4<, 80, 3 ê 2<<,
PlotJoined → True, DisplayFunction → IdentityDD;
p2 = Show@Plot@−x ^ 2, 8x, −2, 2<,
Epilog → 8Text@"F", 8.2, −1.5<D, Text@"D", 81.8, 0.7<D<,
DisplayFunction → IdentityD, ListPlot@88−2, 1<, 82, 1<<,
PlotJoined → True, DisplayFunction → IdentityD, ListPlot@880, −1.5<<,
PlotStyle → [email protected]<, DisplayFunction → IdentityD,
ListPlot@88−3 ê 2, 1<, 8−3 ê 2, −9 ê 4<, 80, −3 ê 2<<,
PlotJoined → True, DisplayFunction → IdentityDD;
Show@GraphicsArray@8p1, p2<, DisplayFunction → $DisplayFunctionDD;
4
1
3
-2
-1
2
1
-1
F
F
1
-2
D
-2
-1
1
2
-1
Exemplo 1
(* p.147 *)
H∗ Encontar a equação da parábola com foco F=
H1,2L e diretriz a reta y = −1 ∗L
Neste caso o vértice é o ponto V = (1, 3/2) e a equação da parábola é
Hx - 1L2 + Hy - 2L2 = Hy - 1L2
D
-3
-4
2
28
Rijo Cal 2 Capítulo 8.nb
isto é
x2 - 2 x + 1 - 4 y + 4 = -2 y + 1
e finalmente,
y = x2 ê 2 - x + 2
In[19]:=
<< Graphics`ImplicitPlot`
Show@Plot@81, x ^ 2 ê 2 − x + 2<, 8x, −2, 4<, PlotRange → 80, 4<,
Epilog → 8Text@"F", 81.2, 2.2<D, Text@"D", 83.8, 1.2<D<,
DisplayFunction → IdentityD,
ListPlot@881, 0<, 81, 2<, 80, 2<<, PlotJoined → True,
PlotStyle → [email protected]<D<, DisplayFunction → IdentityD,
ListPlot@881, 2<<, PlotStyle → [email protected]<,
DisplayFunction → IdentityD, DisplayFunction → $DisplayFunctionD;
4
3.5
3
2.5
F
2
1.5
D
1
0.5
-2
Exemplo 2
-1
1
2
3
4
(* p.147 *)
H∗ Toda equação do segundo grau y =
ax2 + bx + c representa uma parábola. ∗L
Para provarmos isso, cpmeçamos por completar o quadrado no dsegundo membro
y = aHx2 + 2 xb ê 2 aL + c =
= aHx2 + 2 xb ê 2 a + b2 ê 4 b2 L + c - b2 ê 4 b2 = aHx + b ê 2 aL2 + H4 ac - b^2L ê 4 a
Portanto,
Hx + 2 xb ê 2 a L2 = ÅÅÅÅ1a Hy + H b^2 - 4 ac L ê 4 a L
Isto sugere a transformação de eixo dada por,
X = x + b ê 2 a e Y = y + Hb2 - 4 acL/4a
Pondo ainda p = 1/4a, a equação da parabóla assume a forma canônica
X 2 = 4pY
O foco é ara provarmos isso, cpmeçamos por completar o quadrado no dsegundo membro
y = aHx2 + 2 xb ê 2 aL + c =
= aHx2 + 2 xb ê 2 a + b2 ê 4 b2 L + c - b2 ê 4 b2 = aHx + b ê 2 aL2 + H4 ac - b^2L ê 4 a
Rijo Cal 2 Capítulo 8.nb
29
Portanto,
Hx + 2 xb ê 2 a L2 = ÅÅÅÅ1a Hy + H b^2 - 4 ac L ê 4 a L
Isto sugere a transformação de eixo dada por,
X = x + b ê 2 a e Y = y + Hb2 - 4 acL/4a
Pondo ainda p = 1/4a, a equação da parabóla assume a forma canônica
X 2 = 4pY
Exercícios
Faça o gráfics das equações dadas nos Exercícios 1 a 7, indicando a diretriz, o foco e o vértice, em cada caso.
1.
y = x2
In[198]:=
<< Graphics`ImplicitPlot`
ImplicitPlot@y − x2 0, 8x, −2, 2<D;
4
3
2
1
-2
2.
-1
y2 = 6 x
In[34]:=
ImplicitPlot@y ^ 2 − 6 x
6
4
2
1 2 3 4 5 6
-2
-4
-6
3.
1
y2 = - 5 x
2
0, 8x, 0, 6<D;
30
Rijo Cal 2 Capítulo 8.nb
In[36]:=
ImplicitPlot@y ^ 2 + 5 x
0, 8x, −6, 0<D;
4
2
-6-5-4-3-2-1
-2
-4
4.
y = 4 - x2
In[44]:=
ImplicitPlot@y − 4 + x2
0, 8x, −3, 3<D;
4
2
-3 -2 -1
1 2 3
-2
-4
5.
y = x2 + 2 x - 1
In[46]:=
ImplicitPlot@y − x2 − 2 x + 1
6
4
2
-4 -3 -2 -1
-2
6.
y = 3 x2 + 12 x + 4
1 2
0, 8x, −4, 2<D;
Rijo Cal 2 Capítulo 8.nb
In[51]:=
31
ImplicitPlot@y − 3 x2 − 12 x − 4
0, 8x, −5, 1<D;
15
10
5
-5-4-3-2-1 1
-5
7.
x = 2 y2 + 6 y + 5
In[53]:=
ImplicitPlot@x − 2 y2 − 6 y − 5
1
-0.5
-1
-1.5
-2
-2.5
2
3
4
0, 8x, −2, 4<D;
32
Rijo Cal 2 Capítulo 8.nb
8.4 Rotação de eixos
In[183]:=
In[109]:=
In[184]:=
q1 = Show@[email protected], 5<<, Ticks → False, PlotRange → 88−1, 2<, 8−6, 6<<,
AxesLabel → 8"x", "y"<, PlotStyle → [email protected]<,
Epilog → 8Text@"X", 81.95, 3.8<D, Text@"Y", 8−.3, 5.5<D, Text@"θ",
8.5, .3<D, Text@"R", 8.8, 3.1<D<, DisplayFunction → IdentityD,
[email protected], 0<, 81.5, 5<, 80, 5<<, PlotJoined → True,
PlotStyle → [email protected]<D<, DisplayFunction → IdentityD,
ListPlot@880, 0<, 81.5, 5<<, PlotJoined → True,
PlotStyle → 8RGBColor@0, 0, 1D<, DisplayFunction → IdentityDD;
q2 = Show@ListPlot@880, 0<, 82.5, 4.2<<, PlotJoined → True,
PlotStyle → 8RGBColor@1, 0, 0D<, DisplayFunction → IdentityD,
[email protected], −14<, 8−.5, 14<<, PlotJoined → True,
PlotStyle → 8RGBColor@1, 0, 0D<, DisplayFunction → IdentityD,
[email protected], 3<, 81.5, 5<, 8−.1, 2.2<<, PlotJoined → True, PlotStyle →
[email protected]<D, RGBColor@1, 0, 0D<, DisplayFunction → IdentityDD;
Show@8q1, q2<, DisplayFunction → $DisplayFunctionD;
y
Y
X
R
θ
x
Transformção direta
Transformção inversa
x = X cosq - Y senq
X = x cosq + y senq
y = X senq + Y cosq
Y = -x senq + y cosq
A distância R da origem ao ponto (x, y) é um invariante, isto é, a distância R não varia com a rotação dos eixos.
Rijo Cal 2 Capítulo 8.nb
In[201]:=
33
k = 8;
Plot@8x, −x, k ê x<, 8x, −10, 10<,
PlotRange → 88−10, 10<, 8−10, 10<<, AspectRatio → AutomaticD;
10
7.5
5
2.5
-10-7.5 -5 -2.5
-2.5
2.5 5 7.5 10
-5
-7.5
-10
In[204]:=
k = −8;
Plot@8x, −x, k ê x<, 8x, −10, 10<,
PlotRange → 88−10, 10<, 8−10, 10<<, AspectRatio → AutomaticD;
10
7.5
5
2.5
-10-7.5 -5 -2.5
-2.5
-5
-7.5
-10
2.5 5 7.5 10
34
Rijo Cal 2 Capítulo 8.nb
8.5 As Quádricas
A equação geral do segundo grau em duas variáveis x e y tem a forma
ax2 + b x y + c y2 + dx + ey + f = 0 (1)
Chama-se quádricas toda curva plana cujos pontos (x, y) são soluções da equação (1).
O parâmetro D = 4 a c - b2 é chamado o discriminante da equação (1). O discriminante é invariante com relação
à rotação dos eixos de coordenadas.
O discriminante é usado para distinguir as quádricas:
Caso 1: D = 4 a c - b2 > 0. A equação (1) representa uma elípse, um ponto ou um conjunto vazio.
Caso 2: D = 4 a c - b2 < 0. A equação (1) representa uma hipérbole ou duas retas.
Caso 3: D = 4 a c - b2 = 0. A equação (1) representa uma parábola, duas retas paralelas, uma reta ou o conjunto vazio.
EXEMPLO 1.
è!!!
è!!!
A equação 13 x2 − 10 x y + 13 y2 + 34 2 x − 2 2 y − 22 = 0 representa uma elipse
Valor do discriminante D = 4 a c - b2
In[218]:=
Out[219]=
a = 13; b = −10; c = 13;
4 a c − b2
576
O discriminante é maior que zero, portanto a equação representa, de fato, uma elípse.
In[203]:=
<< Graphics`ImplicitPlot`
ImplicitPlotA
13 x ^ 2 − 10 x y + 13 y ^ 2 + 34
1
-4
-3
-2
-1
-1
-2
-3
è!!!!
è!!!!!
2 x − 2 2 y − 11
0, 8x, −6, 2<E;
Rijo Cal 2 Capítulo 8.nb
35
EXEMPLO 2. A equação 2 x2 − x y + 5 x − y + 3 = 0 representa duas retas
Valor do discriminante D = 4 a c - b2
In[220]:=
Out[221]=
a = 2; b = −1; c = 0;
4 a c − b2
−1
O discriminante é menor que zero, portanto a equação pode representa uma hipérbole ou duas retas.
In[113]:=
Out[113]=
Factor@2 x ^ 2 − x y + 5 x − y + 3D
H1 + xL H3 + 2 x − yL
Daqui segue-se que a equação original representa duas retas: x = -1 e y = 2x + 3.
In[115]:=
Plot@8−1, 2 x + 3<, 8x, −2, 2<D;
6
4
2
-2
-1
1
2
EXEMPLO 3. A equação x2 − 9 y2 + 2 x − 6 y = 0 representa duas retas
Valor do discriminante D = 4 a c - b2
In[222]:=
Out[223]=
a = 1; b = 0; c = −9;
4 a c − b2
−36
O discriminante é menor que zero, portanto a equação pode representa uma hipérbole ou duas retas.
In[122]:=
Out[122]=
Factor@x ^ 2 − 9 y ^ 2 + 2 x − 6 yD
Hx − 3 yL H2 + x + 3 yL
Daqui segue-se que a equação original representa duas retas: y = x/3 e y = -x/3 - 2/3.
In[124]:=
Plot@8x ê 3, −x ê 3 − 2 ê 3<, 8x, −2, 2<D;
0.5
-2
-1
1
-0.5
-1
2
36
Rijo Cal 2 Capítulo 8.nb
Exercícios
Indique, nos Exercícios 1 a 18, as quádricas de equações dadas e efetue as transformações necessárias para se obterm
as respectivas equações cônicas. Faça o gráfico em cada caso.
è!!!
1. 3 x2 + 2 3 x y + y2 - 5 x = 0
Valor do discriminante D = a c - b2
In[214]:=
Out[215]=
a = 3; b = 2
4 a c − b2
è!!!!
3 ; c = 1;
0
O discriminante é igual a zero, portanto a equação pode representar uma parábola.
In[133]:=
Out[133]=
In[134]:=
−5 x + 3 x2 + 2
è!!!!
3 x y + y2 − 5 xE
è!!!
3 x y + y2
FactorA3 x2 + 2
ImplicitPlotA3 x2 + 2
è!!!!
3 x y + y2 − 5 x
0, 8x, −2, 10<E;
2 4 6 8 10
-5
-10
-15
-20
-25
2.
x2 - 3 x y + x = 0
Valor do discriminante D = 4 a c - b2
In[216]:=
Out[217]=
a = 1; b = −3; c = 0;
4 a c − b2
−9
O discriminante é menor que zero, portanto a equação pode representa uma hipérbole ou duas retas.
In[138]:=
Out[138]=
Factor@x2 − 3 x y + xD
x H1 + x − 3 yL
Rijo Cal 2 Capítulo 8.nb
37
Daqui segue-se que a equação original representa duas retas: x = 0 e y = x/3 + 1/3.
In[140]:=
Plot@80, x ê 3 + 1 ê 3<, 8x, −2, 2<D;
1
0.8
0.6
0.4
0.2
-2
-1
1
2
-0.2
3. 2 x2 + 3 x y + 2 y2 - x - 5 = 0
Valor do discriminante D = 4 a c - b2
In[224]:=
Out[225]=
a = 2; b = 3; c = 2;
4 a c − b2
7
O discriminante é maior que zero, portanto a equação pode representa uma elípse, um ponto ou o conjunto vazio.
In[142]:=
Out[142]=
In[145]:=
Factor@2 x2 + 3 x y + 2 y2 − x − 5D
−5 − x + 2 x2 + 3 x y + 2 y2
ImplicitPlot@2 x2 + 3 x y + 2 y2 − x − 5
0, 8x, −2, 4<D;
2
1
-2
-1
1
2
3
-1
-2
-3
4. 2 y2 - 4 x y - y = 0
Valor do discriminante D = 4 a c - b2
In[226]:=
Out[227]=
a = 0; b = −4; c = 2;
4 a c − b2
−16
O discriminante é menor que zero, portanto a equação pode representa uma hipérbole ou duas retas.
In[147]:=
Out[147]=
Factor@2 y2 − 4 x y − yD
y H−1 − 4 x + 2 yL
Daqui segue-se que a equação original representa duas retas: y = 0 e y = 2x + 1/2.
38
Rijo Cal 2 Capítulo 8.nb
In[148]:=
Plot@80, 2 x + 1 ê 2<, 8x, −2, 2<D;
4
2
-2
-1
1
2
-2
5.
x2 - x y + 1 = 0
Valor do discriminante D = 4 a c - b2
In[228]:=
Out[229]=
a = 1; b = −1; c = 0;
4 a c − b2
−1
O discriminante é menor que zero, portanto a equação pode representa uma hipérbole ou duas retas.
In[156]:=
Out[156]=
In[167]:=
Factor@x2 − x y + 1D
1 + x2 − x y
ImplicitPlot@x2 − x y + 1
0, 8x, −3, 3<D;
4
2
-3 -2 -1
1
2
3
-2
-4
6.
x y+ x + y = 0
Valor do discriminante D = 4 a c - b2
In[230]:=
Out[231]=
a = 0; b = 1; c = 0;
4 a c − b2
−1
O discriminante é menor que zero, portanto a equação pode representa uma hipérbole ou duas retas.
Rijo Cal 2 Capítulo 8.nb
In[161]:=
Out[161]=
In[170]:=
39
Factor@x y + x + yD
x+y+xy
ImplicitPlot@x y + x + y
0, 8x, −3, 2<D;
2
1
-3
-2
-1
1
2
-1
-2
-3
-4
7.
xy - x + y - 1 = 0
Valor do discriminante D = 4 a c - b2
In[232]:=
Out[233]=
a = 0; b = 1; c = 0;
4 a c − b2
−1
O discriminante é menor que zero, portanto a equação pode representa uma hipérbole ou duas retas.
In[172]:=
Out[172]=
Factor@x y − x + y − 1D
H1 + xL H−1 + yL
Daqui segue-se que a equação original representa duas retas: x = -1 e y = 1.
In[175]:=
Show@Plot@1, 8x, −2, 2<, DisplayFunction → IdentityD,
ListPlot@88−1, −1<, 8−1, 2<<, PlotJoined → True,
DisplayFunction → IdentityD, DisplayFunction → $DisplayFunctionD;
2
1.5
1
0.5
-2
-1
1
-0.5
8.
x2 +
è!!!
3 x y -1 = 0
-1
Valor do discriminante D = 4 a c - b2
2
40
Rijo Cal 2 Capítulo 8.nb
In[234]:=
Out[235]=
a = 1; b =
4 a c − b2
è!!!!
3 ; c = 0;
−3
O discriminante é menor que zero, portanto a equação pode representa uma hipérbole ou duas retas.
In[177]:=
Out[177]=
In[185]:=
−1 + x2 +
è!!!!
3 xy
è!!!
3 xy
FactorAx2 +
− 1E
è!!!!
3 xy − 1
ImplicitPlotAx2 +
0, 8x, −2, 2<E;
3
2
1
-2
-1
1
2
-1
-2
-3
9.
x2 + 2 x y + y2 - 1 = 0
Valor do discriminante D = 4 a c - b2
In[236]:=
Out[237]=
a = 1; b = 2; c = 1;
4 a c − b2
0
O discriminante é menor que zero, portanto a equação pode representa uma parábola, duas retas paralelas,uma reta ou
o conjunto vazio.
In[187]:=
Out[187]=
Factor@x2 + 2 x y
+ y2 − 1D
H−1 + x + yL H1 + x + yL
Daqui segue-se que a equação original representa duas retas paralelas: y = -x + 1 e y = -x -1.
Rijo Cal 2 Capítulo 8.nb
In[188]:=
41
Plot@8−x + 1, −x − 1<, 8x, −2, 2<D;
3
2
1
-2
-1
1
2
-1
-2
-3
10.
x2 + x y + y2 + x - 2 y = 0
Valor do discriminante D = 4 a c - b2
In[238]:=
Out[239]=
a = 1; b = 1; c = 1;
4 a c − b2
3
O discriminante é maior que zero, portanto a equação pode representa uma elípse, um ponto ou o conjunto vazio.
In[190]:=
Out[190]=
In[192]:=
Factor@x2 + x y
+ y2 + x − 2 yD
x + x2 − 2 y + x y + y2
ImplicitPlot@x2 + x y
+ y2 + x − 2 y
0, 8x, −4, 2<D;
3.5
3
2.5
2
1.5
1
0.5
-3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5
11.
0.5
x2 - 4 x y + 4 y2 - 9 = 0
Valor do discriminante D = 4 a c - b2
In[240]:=
Out[241]=
a = 1; b = 4; c = 4;
4 a c − b2
0
O discriminante é igual a zero, portanto a equação pode representa uma parábola, duas retas paralelas,uma reta ou o
conjunto vazio.
In[194]:=
Out[194]=
Factor@x2 − 4 x y
+ 4 y2 − 9D
H−3 + x − 2 yL H3 + x − 2 yL
Daqui segue-se que a equação original representa duas retas paralelas: y = x/2 - 3/2 e y = x/2 + 3/2.
42
Rijo Cal 2 Capítulo 8.nb
In[195]:=
Plot@8x ê 2 − 3 ê 2, x ê 2 + 3 ê 2<, 8x, −2, 2<D;
2
1
-2
-1
1
2
-1
-2
12.
x2 + y2 - 3 x + y + 1 = 0
Valor do discriminante D = 4 a c - b2
In[242]:=
Out[243]=
a = 1; b = 0; c = 1;
4 a c − b2
4
O discriminante é maior que zero, portanto a equação pode representa uma elípse, um ponto ou o conjunto vazio.
In[197]:=
Out[197]=
In[199]:=
Factor@x2 + y2 − 3 x + y + 1D
1 − 3 x + x2 + y + y2
ImplicitPlot@x2 + y2 − 3 x + y + 1
0, 8x, 0, 3<D;
0.5
0.5
1
1.5
2
2.5
-0.5
-1
-1.5
13.
y2 - 4 x2 - 3 y + 6 x = 0
Valor do discriminante D = 4 a c - b2
In[244]:=
Out[245]=
a = −4; b = 0; c = 1;
4 a c − b2
−16
O discriminante é menor que zero, portanto a equação pode representa uma hiperbóle ou duas retas.
In[201]:=
Out[201]=
Factor@ y2 − 4 x2 − 3 y + 6 xD
−H2 x − yL H−3 + 2 x + yL
Daqui segue-se que a equação original representa duas retas paralelas: y = 2x e y = -2x + 3.
Rijo Cal 2 Capítulo 8.nb
In[202]:=
43
Plot@82 x, −2 x + 3<, 8x, −2, 2<D;
6
4
2
-2
-1
1
2
-2
-4
14. 4 x y + 4 x2 + y2 - x - y + 1 = 0
Valor do discriminante D = 4 a c - b2
In[246]:=
Out[247]=
a = 4; b = 4; c = 1;
4 a c − b2
0
O discriminante é igual a zero, portanto a equação pode representa uma parábola, duas retas paralelas, uma reta ou o
conjunto vazio.
In[6]:=
Factor@ 4 x y + 4 x2 + y2 − x − y + 1D
Out[6]=
1 − x + 4 x2 − y + 4 x y + y2
In[13]:=
ImplicitPlot@4 x y + 4 x2 + y2 − x − y + 1 0,
8x, −4, 0<, PlotRange → 88−4, 1<, 80, 12<<D;
12
10
8
6
4
2
-4-3 -2-1
15.
1
4 x y - x2 - 4 y2 = 0
Valor do discriminante D = 4 a c - b2
In[248]:=
Out[249]=
a = −1; b = 4; c = −4;
4 a c − b2
0
O discriminante é igual a zero, portanto a equação pode representa uma parábola, duas retas paralelas, uma reta ou o
conjunto vazio.
44
Rijo Cal 2 Capítulo 8.nb
In[15]:=
Out[15]=
Factor@ 4 x y − x2 − 4 y2 D
−Hx − 2 yL2
Daqui segue-se que a equação original representa uma reta: y = x/2.
In[16]:=
Plot@x ê 2, 8x, −2, 2<D;
1
0.5
-2
-1
1
2
-0.5
-1
16. 4 x2 + 12 x y + 9 y2 + y - 10 = 0
Valor do discriminante D = 4 a c - b2
In[250]:=
Out[251]=
a = 4; b = 12; c = 9;
4 a c − b2
0
O discriminante é igual a zero, portanto a equação pode representa uma parábola, duas retas paralelas, uma reta ou o
conjunto vazio.
In[18]:=
Out[18]=
In[21]:=
Factor@ 4 x2 + 12 x y + 9 y2 + y − 10D
−10 + 4 x2 + y + 12 x y + 9 y2
ImplicitPlot@ 4 x2 + 12 x y + 9 y2 + y − 10
0, 8x, −20, 20<D;
10
5
-15
-10
-5
5
-5
-10
-15
17.
x2 + x y + y2 = 0
Valor do discriminante D = 4 a c - b2
10
15
20
Rijo Cal 2 Capítulo 8.nb
In[252]:=
Out[253]=
45
a = 1; b = 1; c = 1;
4 a c − b2
3
O discriminante é maior que zero, portanto a equação pode representa uma elípse, um ponto ou o conjunto vazio.
In[23]:=
Out[23]=
Factor@ x2 + x y + y2 D
x2 + x y + y2
Daqui segue-se que a equação original representa o ponto (0, 0).
18.
x2 - 3 y2 + 2 x y - x + y = 0
Valor do discriminante D = 4 a c - b2
In[254]:=
Out[255]=
a = 1; b = 2; c = −3;
4 a c − b2
−16
O discriminante é menor que zero, portanto a equação pode representa uma hyperbóle ou duas retas.
In[27]:=
Out[27]=
Factor@ x2 − 3 y2 + 2 x y − x + yD
Hx − yL H−1 + x + 3 yL
Daqui segue-se que a equação original representa duas reta: y = x e y = -x/3 + 1/3
In[28]:=
Plot@8x, −x ê 3 + 1 ê 3<, 8x, −2, 2<D;
2
1
-2
-1
1
-1
-2
2
CAPÍTULO 9
Vetores e Curvas no Plano
Iniciar o MathKernel
In[1]:=
Out[1]=
2 + 2 H∗ Este comando inicia o MathKernel ∗L
4
Ativar o pacote Add-On para traçar setas.
In[2]:=
<< Graphics`Arrow`
9.1 Definição de vetores e intepretação geométrica
Um vetor no plano P = (x, y) nada mais é que um par ordenado de números reais, os quais são chamados as
componentes do vetor.
Dados um número real t (também chamado de escalar t) e os vetores P = (x, y) e P' = (x', y') definimos soma de
vetores e multiplicação por escalar:
P + P' = (x + x', y + y'),
tP = (tx, t y) .
Dado o vetor P = (x, y), o vetor -P = (-1) P = (-x, - y) é chamao o oposto de P. A diferença P - P' é definida
como sendo a soma de P com o oposto de P:
P - P' = P + (-P) = (x - x', y - y').
De modo analógo, a divisão de um vetor P = (x, y) por um escalar t ∫ 0, é definida como sendo o produto de P
pelo escalar 1/t:
P/t = (1/t)P = (x/t, y/t)
Representação gráfica
Graficamente, um vetor P = (x, y) é representado pelo segnento OP, orientado de O para P, por isto mesmo
÷÷÷÷÷”
indicado pelo símbolo OP .e desenhado por uma flexa de O para P.
2
Rijo Cal 2 Capítulo 9.nb
Ativar o pacote Add-On para traçar setas.
In[2]:=
In[79]:=
<< Graphics`Arrow`
H∗ Representação gráfica de vetores ∗L
<< Graphics`Arrow`
Show@Plot@0, 8x, 0, 2<, Axes → False,
Epilog → 8Text@"O", 80.12, −0.12<D, Text@"A", 81.1, 1.9<D,
Text@"C", 80.65, −0.5<D, Text@"D", 81.65, 1.4<D<,
DisplayFunction → IdentityD, Graphics@8Arrow@8−.5, 0<, 82, 0<D,
Arrow@80, −.5<, 80, 2<D, Arrow@80, 0<, 81, 2<D,
Arrow@81 ê 2, −1 ê 2<, 83 ê 2, 3 ê 2<D<, DisplayFunction → IdentityD,
AspectRatio → Automatic, DisplayFunction → $DisplayFunctionD;
A
D
O
C
Regra do paralelograma
÷÷÷÷÷” ÷÷÷÷÷÷”
÷÷÷÷÷÷”
Regra do Paralelograma: O vetor soma de dois voutros OP .e OQ , é o vetor OR que se obtém como uma das
÷÷÷÷÷” ÷÷÷÷÷÷”
÷÷÷÷÷” ÷÷÷÷÷÷”
÷÷÷÷÷”
diagonais do paralelograma de lados OP e OQ ; a otra diagonal QP , representa a diferença OP - OQ .
Rijo Cal 2 Capítulo 9.nb
In[90]:=
3
H∗ Soma e subtração de vetores ∗L
ShowAPlotA0, 8x, 0, 2.5<, Axes → False, Epilog →
9Text@"O", 80.1, −0.1<D, Text@"P", 8.55, 1.1<D, Text@"Q", 81.85, 1.1<D,
÷÷÷÷”
÷÷÷÷”
÷÷÷÷”
Text@"R", 82.4, 2.1<D, TextA"OR = OP + OQ", 81, 2.5<E,
÷÷÷÷”
÷÷÷÷”
÷÷÷÷”
TextA"QP = OP − OQ", 81, 2.2<E=, DisplayFunction → IdentityE,
Graphics@8Arrow@8−.5, 0<, 82.5, 0<D, Arrow@80, −.5<, 80, 3<D,
Arrow@80, 0<, 8.5, 1<D, Arrow@80, 0<, 81.8, 1.2<D,
Arrow@80, 0<, 82.3, 2.2<D, [email protected], 1.2<, 8.5, 1<D<,
DisplayFunction → IdentityD,
[email protected], 1.2<, 82.3, 2.2<<, PlotJoined → True,
PlotStyle → [email protected]<D<, DisplayFunction → IdentityD,
[email protected], 1<, 82.3, 2.2<<, PlotJoined → True,
PlotStyle → [email protected]<D<, DisplayFunction → IdentityD,
AspectRatio → Automatic, DisplayFunction → $DisplayFunctionE;
÷÷÷÷”
÷÷÷÷”
÷÷÷÷”
OR = OP + OQ
÷÷÷÷”
÷÷÷÷”
÷÷÷÷”
QP = OP − OQ
P
R
Q
O
÷÷÷÷”
÷÷÷÷”
÷÷÷÷”
Dados os vetores O vetor P = OP = H−2, 1L é o mesmo que AB ou CD onde A = H1, −2L,
B = H−1, −1L, C = H3, 1L, D = H1, 2L
Exemplo 1
In[63]:=
Out[67]=
Out[68]=
H∗ Soma HsubtraçãoL de vetores ∗L
a = 81, −2<;
b = 8−1, −1<;
c = 83, 1<;
d = 81, 2<;
ab = b − a
cd = d − c
8−2, 1<
8−2, 1<
4
Rijo Cal 2 Capítulo 9.nb
In[83]:=
H∗ Representação geométrica de vetores ∗L
Show@Plot@0, 8x, −3, 4<, Axes → False,
Epilog → 8Text@"O", 8−0.1, −0.3<D, Text@"P", 8−2, 1.2<D,
Text@"C", 83.2, 0.9<D, Text@"D", 81, 2.2<D, Text@"A", 81.2, −2.1<D,
Text@"B", 8−1.2, −1<D, Text@"3", 83.0, −.3<D, Text@"1", 81.2, −.3<D,
Text@"−2", 8−2, −.2<D, Text@"2", 8−.1, 2<D, Text@"1", 8−.1, 1.1<D,
Text@"−1", 8.3, −1<D, Text@"−1", 8−1.1, .2<D,
Text@"−2", 8−.2, −2.1<D<, DisplayFunction → IdentityD,
Graphics@8Arrow@8−2.5, 0<, 84, 0<D, Arrow@80, −2.5<, 80, 3<D,
Arrow@80, 0<, 8−2, 1<D, Arrow@83, 1<, 81, 2<D,
Arrow@81, −2<, 8−1, −1<D<, DisplayFunction → IdentityD,
ListPlot@883, 0<, 83, 1<, 8−2, 1<, 8−2, 0<<, PlotJoined → True,
PlotStyle → [email protected]<D<, DisplayFunction → IdentityD,
ListPlot@880, −2<, 81, −2<, 81, 2<, 80, 2<<, PlotJoined → True,
PlotStyle → [email protected]<D<, DisplayFunction → IdentityD,
ListPlot@880, −1<, 8−1, −1<, 8−1, 0<<, PlotJoined → True,
PlotStyle → [email protected]<D<, DisplayFunction → IdentityD,
AspectRatio → Automatic, DisplayFunction → $DisplayFunctionD;
D
2
P
1
C
−1
−2
O
−2
In[41]:=
Out[43]=
Out[44]=
p
q
p
p
=
=
+
−
A
O vetor P = (-3, 4) e Q = (-4, -1) calcular a soma P + Q e a diferença P - Q
8−3, 4<;
8−4, 1<;
q
q
8−7, 5<
81, 3<
3
−1
B
Exemplo 2
1
Rijo Cal 2 Capítulo 9.nb
In[84]:=
5
H∗ Soma e subtração de vetores ∗L
Show@Plot@0, 8x, −8, 3<, Axes → False, Epilog →
8Text@"O", 80.2, −0.3<D, Text@"Q", 8−4, −1.3<D, Text@"P", 8−3, 4.3<D,
Text@"P + Q", 8−7, 3.3<D, Text@"P − Q", 81.3, 5.3<D,
Text@"−7", 8−7, −.3<D, Text@"−4", 8−4, .3<D, Text@"−3", 8−3, −.3<D,
Text@"3", 8.3, 3<D, Text@"4", 8.3, 4<D, Text@"5", 8−.3, 5<D,
Text@"−1", 8.4, −1<D, Text@"−2", 8−.2, −2.1<D<,
DisplayFunction → IdentityD,
Graphics@8Arrow@8−8.5, 0<, 83, 0<D, Arrow@80, −2<, 80, 6<D,
Arrow@80, 0<, 8−7, 3<D, Arrow@80, 0<, 8−3, 4<D, Arrow@80, 0<, 8−4, −1<D,
Arrow@80, 0<, 81, 5<D<, DisplayFunction → IdentityD,
ListPlot@88−7, 0<, 8−7, 3<, 80, 3<<, PlotJoined → True,
PlotStyle → [email protected]<D<, DisplayFunction → IdentityD,
ListPlot@88−4, 0<, 8−4, −1<, 80, −1<<, PlotJoined → True,
PlotStyle → [email protected]<D<, DisplayFunction → IdentityD,
ListPlot@88−3, 0<, 8−3, 4<, 80, 4<<, PlotJoined → True,
PlotStyle → [email protected]<D<, DisplayFunction → IdentityD,
ListPlot@881, 0<, 81, 5<, 80, 5<<, PlotJoined → True,
PlotStyle → [email protected]<D<, DisplayFunction → IdentityD,
AspectRatio → Automatic, DisplayFunction → $DisplayFunctionD;
P − Q
5
P
4
P + Q
3
−4
−7
−3
O
−1
Q
−2
Propriedades
As definições anteriores e as conhecidas leis algébricas dos números reais permitem demostrar as seguintes
propriedades: quaisquer que sejam os vetores u, v e w tem-se
u + v = v + u, (u + v) + w = u + (v + w), u + 0 = u, u + (-u) = 0;
quais que que sejam os vetores u e v e os escalares r e s, tem-se
(r s)u = r (s u),
Exercício 3
(r + s)u = r u + su, r (u + v) = r u + r v,
Dados A =(1, -2), B = (-3, 4) efetue A + B, A - B, 3A + 2B
1.u = u.
6
Rijo Cal 2 Capítulo 9.nb
In[36]:=
Out[38]=
Out[39]=
Out[40]=
H∗ Operações com vetores ∗L
a = 81, −2<;
b = 8−3, 4<;
a + b
a − b
3a + 2b
8−2, 2<
84, −6<
8−3, 2<
Exercício 4
In[69]:=
Out[72]=
Out[73]=
Out[74]=
Out[75]=
Out[76]=
÷÷÷÷”
Dados A = H−1, 2L, B = H1, −2L e C = H3, 3L determine AB = B − A,
÷÷÷÷”
÷÷÷÷”
AC = C − A, BC = C − B,
÷÷÷÷” ÷÷÷÷”
÷÷÷÷”
÷÷÷÷”
AB + AC e AB − AC.
H∗ Operações com vetores ∗L
a = 81, 2<;
b = 81, −2<;
c = 83, 3<;
ab = b − a
ac = c − a
bc = c − b
ab + ac
ab − ac
80, −4<
82, 1<
82, 5<
82, −3<
8−2, −5<
Exercício 3
In[81]:=
Out[83]=
Out[84]=
÷÷÷÷÷”
” = H−1 ê 2, 1L, v
” = I1 ê 3, −1, calcule 2 ”
Dados u
u + 3ve4”
u − 6”
v
u = 8−1 ê 2, 1<;
v = 81 ê 3, −1<;
2u + 3v
4u − 6v
80, −1<
8−4, 10<
Dendência e independência linear
Chama-se combinação linear de n vetores v1 , v2 , . . . , vn a uma expressão do tipo
a1 v1 + a2 v2 + . . . + an vn
onde os coeficientes a1 , a2 , . . . , an são números quaisquer. Diz-se que os n vetores formam um conjunto linearmente dependente se existem coeficientes a1 , a2 , . . . , an , não todos nulos, tais que
a1 v1 + a2 v2 + . . . + an vn = 0
Rijo Cal 2 Capítulo 9.nb
7
Por exemplo, vetores paralelos são linearmente dependentes; e qualquer conjunto de vetores que inclui o vetor
nulo é linearmente dependente.
Um conjunto de vetores v1 , v2 , . . . , vn é linearmente independentes se satisfaz a negativa da condição de
dependência linear, isto é, se
a1 v1 + a2 v2 + . . . + an vn = 0 ï a1 = a2 = . . . = an = 0.
Espaço vetorial
Espaço vetorial é generalização (num serto sentido) do conjuto de vetores no plano. Por exemplo, vetores no
espeço tridimensional formam um espaço vetorial. Analogamente, o conjunto das matrizes 2 por 2 de niméros
reais também forma um espaço vetorial.
9.2 Produto escalar
Dado um vetor v” = (x, y), definimos o seu módulo, designado por »v” » , como sendo
è!!!!!!!!!!!!!!!!!!
»v” » = x2 + y2
In[85]:=
Show@Plot@0, 8x, 0, 2<, Axes → False,
Epilog → 8Text@"O", 80.1, −0.1<D, Text@"P", 8−1, 1.1<D,
”»", 8−.4, .6<D,
Text@"A", 80.5, .6<D, Text@"B", 81.6, −.5<D, Text@"»v
”»", 81.1, .1<D<, DisplayFunction → IdentityD, Graphics@
Text@"»v
8Arrow@8−1, 0<, 82, 0<D, Arrow@80, −.5<, 80, 2<D, Arrow@80, 0<, 8−1, 1<D,
[email protected], −.5<, 8.5, .5<D<, DisplayFunction → IdentityD,
AspectRatio → Automatic, DisplayFunction → $DisplayFunctionD;
P
”»
»v
A
”»
»v
O
B
Definição de produto escalar
O produto escalar ou produto interno de dois vetores um vetor v” 1 = (x1 , y1 ) e v” 2 = (x2 , y2 ) simbolizado por v” 1 .
v” 2 , é assim definido:
v” 1 . v” 2 = x1 x2 + y1 y2 .
8
Rijo Cal 2 Capítulo 9.nb
O produto escalar é comutativo
v” 1 . v” 2 =
v” 2 . v” 1 .
O produto escalar será sempre zero quando um dos vetores for o vetor nulo.
Geometricamente, o produto escalar de dois vetores é o produto de seus módulos pelo co-seno do ângulo que eles
formam:
v” 1 . v” 2 = | v” 1 | | v” 1 | cosq
Diz-se que dois vetores são ortogonais se o seu produto escalar for zero. Com efeito, basta fazer cos(p/2) = 0 na
expressão anterior.
O produto escalar dos vetores u = 8u1 , u2 < e v = 8v1 , v2 < é dado por u . v.
Vetores ortogonais
Diz-se que dois vetores são ortogonais se o seu produto escalar for zero. Com efeito, basta fazer cos(p/2) = 0 na
expressão v” 1 . v” 2 = | v” 1 | | v” 1 | cosq
Exemplo 1 Os vetores (1, 5/2) e (5, -2) são ortogonais
In[166]:=
Out[168]=
a = 81, 5 ê 2<;
b = 85, −2<;
a.b
0
Rijo Cal 2 Capítulo 9.nb
In[91]:=
9
Show@Plot@0, 8x, −1, 4<, Axes → False,
Epilog → 8Text@"O", 8−0.2, −0.2<D, Text@"2.5", 8−.5, 2.5<D,
Text@"−2", 8−.3, −2<D, Text@"1", 81, −.2<D, Text@"5", 85, .2<D<,
DisplayFunction → IdentityD, Graphics@8Arrow@8−1, 0<, 86, 0<D,
Arrow@80, −2.5<, 80, 3<D, Arrow@80, 0<, 81, 2.5<D,
Arrow@80, 0<, 85, −2<D<, DisplayFunction → IdentityD,
ListPlot@881, 0<, 81, 2.5<, 80, 2.5<<, PlotJoined → True,
PlotStyle → [email protected]<D<, DisplayFunction → IdentityD,
ListPlot@880, −2<, 85, −2<, 85, 0<<, PlotJoined → True,
PlotStyle → [email protected]<D<, DisplayFunction → IdentityD,
AspectRatio → Automatic, DisplayFunction → $DisplayFunctionD;
2.5
5
O
1
−2
Exemplo 2 Seja calcular o ângulo entre os vetores (2, 1) e (-3, 1) são ortogonais
In[178]:=
Out[180]=
Out[181]=
v1 = 82, 1<;
v2 = 8−3, 1<;
v1.v2 ê [email protected] [email protected]
ArcCos@%D
1
− è!!!
2
3π
4
10
Rijo Cal 2 Capítulo 9.nb
In[87]:=
Show@Plot@0, 8x, −4, 3<, Axes → False,
Epilog → 8Text@"O", 8−0.15, −0.15<D, Text@"−3", 8−3, −.15<D,
” »", 82, 1.15<D,
Text@"2", 82, −.15<D, Text@"1", 8.15, 1.1<D, Text@"»v
1
”
Text@"»v2 »", 8−3, 1.15<D, Text@"θ", 8−.2, .15<D<,
DisplayFunction → IdentityD, Graphics@8Arrow@8−4, 0<, 83, 0<D,
Arrow@80, −.5<, 80, 2<D, Arrow@80, 0<, 8−3, 1<D,
Arrow@80, 0<, 82, 1<D<, DisplayFunction → IdentityD,
ListPlot@88−3, 0<, 8−3, 1<, 82, 1<, 82, 0<<, PlotJoined → True,
PlotStyle → [email protected]<D<, DisplayFunction → IdentityD,
AspectRatio → Automatic, DisplayFunction → $DisplayFunctionD;
” »
»v
2
−3
1
θ
O
” »
»v
1
2
Exercícios
Nos Exercícios 1 a 8 determine o módulo de cada vetor dado e o vetor unitário na mesma direção.Represente cada
vetor por uma seta a partir da origem e por uma seta a partir do ponto p=(1,-2).
1.
In[3]:=
Out[5]=
Out[6]=
v = 81, 1<;
p = 81, −2<;
[email protected]
vê%
è!!!
2
1
1
9 è!!! , è!!! =
2
2
Rijo Cal 2 Capítulo 9.nb
In[10]:=
11
Show@Plot@0, 8x, 0, 2<, Axes → False,
Epilog → 8Text@"p", 81, −2.1<D<, DisplayFunction → IdentityD,
Graphics@8Arrow@8−.5, 0<, 82, 0<D, Arrow@80, −2.5<, 80, 1.5<D,
Arrow@80, 0<, vD, Arrow@p, v + pD<, DisplayFunction → IdentityD,
ListPlot@881, 0<, 81, −2<, 80, −2<<, PlotJoined → True,
PlotStyle → [email protected]<D<, DisplayFunction → IdentityD,
AspectRatio → Automatic, DisplayFunction → $DisplayFunctionD;
p
2.
In[11]:=
Out[13]=
Out[14]=
v = 81, 2<;
p = 81, −2<;
[email protected]
vê%
è!!!
5
1
2
9 è!!! , è!!! =
5
5
12
Rijo Cal 2 Capítulo 9.nb
In[17]:=
Show@Plot@0, 8x, 0, 2<, Axes → False,
Epilog → 8Text@"p", 81, −2.1<D<, DisplayFunction → IdentityD,
Graphics@8Arrow@8−.5, 0<, 82, 0<D, Arrow@80, −2.5<, 80, 2.5<D,
Arrow@80, 0<, vD, Arrow@p, v + pD<, DisplayFunction → IdentityD,
ListPlot@881, 0<, 81, −2<, 80, −2<<, PlotJoined → True,
PlotStyle → [email protected]<D<, DisplayFunction → IdentityD,
AspectRatio → Automatic, DisplayFunction → $DisplayFunctionD;
p
3.
In[18]:=
Out[20]=
Out[21]=
v = 81 ê 2, −1<;
p = 81, −2<;
[email protected]
vê%
è!!!
5
2
1
2
9 è!!! , − è!!! =
5
5
Rijo Cal 2 Capítulo 9.nb
In[27]:=
Show@Plot@0, 8x, 0, 1.5<, Axes → False,
Epilog → 8Text@"p", 8.9, −2.2<D<, DisplayFunction → IdentityD,
Graphics@8Arrow@8−.5, 0<, 81.5, 0<D, Arrow@80, −3<, 80, 1<D,
Arrow@80, 0<, vD, Arrow@p, v + pD<, DisplayFunction → IdentityD,
ListPlot@881, 0<, 81, −2<, 80, −2<<, PlotJoined → True,
PlotStyle → [email protected]<D<, DisplayFunction → IdentityD,
AspectRatio → Automatic, DisplayFunction → $DisplayFunctionD;
p
4.
In[28]:=
Out[30]=
Out[31]=
In[37]:=
v = 85 ê 2, −3<;
p = 81, −2<;
[email protected]
vê%
è!!!!!!
61
2
5
6
9 è!!!!!! , − è!!!!!! =
61
61
Show@Plot@0, 8x, −.5, 4<, Axes → False,
Epilog → 8Text@"p", 8.8, −2.3<D<, DisplayFunction → IdentityD,
Graphics@8Arrow@8−.5, 0<, 84, 0<D, Arrow@80, −5<, 80, 1<D,
Arrow@80, 0<, vD, Arrow@p, v + pD<, DisplayFunction → IdentityD,
ListPlot@881, 0<, 81, −2<, 80, −2<<, PlotJoined → True,
PlotStyle → [email protected]<D<, DisplayFunction → IdentityD,
AspectRatio → Automatic, DisplayFunction → $DisplayFunctionD;
p
5.
13
14
Rijo Cal 2 Capítulo 9.nb
In[39]:=
Out[41]=
Out[42]=
In[47]:=
v = 8−2, 1<;
p = 81, −2<;
[email protected]
vê%
è!!!
5
2
1
9− è!!! , è!!! =
5
5
Show@Plot@0, 8x, −2, 2<, Axes → False,
Epilog → 8Text@"p", 8.9, −2.2<D<, DisplayFunction → IdentityD,
Graphics@8Arrow@8−2, 0<, 82, 0<D, Arrow@80, −2.5<, 80, 2<D,
Arrow@80, 0<, vD, Arrow@p, v + pD<, DisplayFunction → IdentityD,
ListPlot@881, 0<, 81, −2<, 80, −2<<, PlotJoined → True,
PlotStyle → [email protected]<D<, DisplayFunction → IdentityD,
AspectRatio → Automatic, DisplayFunction → $DisplayFunctionD;
p
6.
In[48]:=
Out[50]=
Out[51]=
v = 8−4 ê 3, 5 ê 2<;
p = 81, −2<;
[email protected]
vê%
17
6
9−
8
15
,
=
17
17
Rijo Cal 2 Capítulo 9.nb
In[54]:=
15
Show@Plot@0, 8x, −2, 2<, Axes → False,
Epilog → 8Text@"p", 8.8, −2.3<D<, DisplayFunction → IdentityD,
Graphics@8Arrow@8−2, 0<, 82, 0<D, Arrow@80, −2.5<, 80, 3<D,
Arrow@80, 0<, vD, Arrow@p, v + pD<, DisplayFunction → IdentityD,
ListPlot@881, 0<, 81, −2<, 80, −2<<, PlotJoined → True,
PlotStyle → [email protected]<D<, DisplayFunction → IdentityD,
AspectRatio → Automatic, DisplayFunction → $DisplayFunctionD;
p
7.
In[56]:=
Out[58]=
Out[59]=
In[62]:=
v = 8−4, −3<;
p = 81, −2<;
[email protected]
vê%
5
9−
4
3
,− =
5
5
Show@Plot@0, 8x, −4, 2<, Axes → False,
Epilog → 8Text@"p", 81.2, −2.3<D<, DisplayFunction → IdentityD,
Graphics@8Arrow@8−4, 0<, 82, 0<D, Arrow@80, −5<, 80, 2<D,
Arrow@80, 0<, vD, Arrow@p, v + pD<, DisplayFunction → IdentityD,
ListPlot@881, 0<, 81, −2<, 80, −2<<, PlotJoined → True,
PlotStyle → [email protected]<D<, DisplayFunction → IdentityD,
AspectRatio → Automatic, DisplayFunction → $DisplayFunctionD;
p
8.
16
Rijo Cal 2 Capítulo 9.nb
In[63]:=
Out[65]=
Out[66]=
In[70]:=
v = 8−6 ê 5, −7 ê 2<;
p = 81, −2<;
[email protected]
vê%
37
10
9−
12
35
,−
=
37
37
Show@Plot@0, 8x, −2, 2<, Axes → False,
Epilog → 8Text@"p", 81.3, −2<D<, DisplayFunction → IdentityD,
Graphics@8Arrow@8−2, 0<, 82, 0<D, Arrow@80, −6<, 80, 1<D,
Arrow@80, 0<, vD, Arrow@p, v + pD<, DisplayFunction → IdentityD,
ListPlot@881, 0<, 81, −2<, 80, −2<<, PlotJoined → True,
PlotStyle → [email protected]<D<, DisplayFunction → IdentityD,
AspectRatio → Automatic, DisplayFunction → $DisplayFunctionD;
p
Nos Exercícios 9 a 14 determine o produto escalar e o ângulo entre os dois vetores.
9.
In[125]:=
v1 = 80, 1<;
è!!!!
v2 = 9 3 , 1=;
v1.v2
ArcCos@% ê [email protected] [email protected]
Out[127]=
Out[128]=
10.
1
π
3
Rijo Cal 2 Capítulo 9.nb
In[121]:=
v1 = 82, 1<;
v2 = 80, 1<;
v1.v2
ArcCos@% ê [email protected] [email protected] êê N
Out[123]=
1
Out[124]=
1.10715
11.
In[129]:=
è!!!!
v1 = 91,
3 =;
è!!!!
v2 = 9− 3 , 1=;
v1.v2
ArcCos@% ê [email protected] [email protected]
Out[131]=
Out[132]=
12.
In[137]:=
0
π
2
v1 = 8−1, 1<;
è!!!!
v2 = 9−1, − 3 =;
Out[139]=
v1.v2
ArcCos@% ê [email protected] [email protected] êê N
è!!!
1− 3
Out[140]=
1.8326
13.
In[141]:=
Out[143]=
Out[144]=
14.
In[145]:=
Out[147]=
Out[148]=
è!!!!
3 , 1=;
è!!!!
v2 = 9−3, − 3 =;
v1 = 9−
v1.v2
ArcCos@% ê [email protected] [email protected]
è!!!
2 3
π
3
v1 = 8−1, 0<;
è!!!!
v2 = 9− 3 , −3=;
v1.v2
ArcCos@% ê [email protected] [email protected]
è!!!
3
π
3
Nos Exercícios 15 a 22 determine os dois vetores unitários normais às direções dadas.
15.
17
18
In[218]:=
Out[222]=
Out[223]=
In[224]:=
Rijo Cal 2 Capítulo 9.nb
v = 81, 2<;
v1 = 81, 0<;
a = v.v1 ê [email protected] [email protected];
b = Sqrt@1 − a ^ 2D;
c = 8b, −a<
d = −c
2
1
9 è!!! , − è!!! =
5
5
2
1
9− è!!! , è!!! =
5
5
Show@Plot@0, 8x, −.1, 1<, Axes → False, Epilog →
8Text@"O", 8−0.1, −0.1<D, Text@"v", 8.8, 1.9<D, Text@"c", 8.8, −.5<D,
Text@"d", 8−.8, .5<D<, DisplayFunction → IdentityD, Graphics@
8Arrow@8−1, 0<, 81, 0<D, Arrow@80, −.5<, 80, 2<D, Arrow@80, 0<, vD,
Arrow@80, 0<, cD, Arrow@80, 0<, dD<, DisplayFunction → IdentityD,
AspectRatio → Automatic, DisplayFunction → $DisplayFunctionD;
v
d
O
c
16.
In[257]:=
Out[261]=
Out[262]=
v = 84, 3<;
v1 = 81, 0<;
a = v.v1 ê [email protected] [email protected];
b = Sqrt@1 − a ^ 2D;
c = 8b, −a<
d = −c
9
3
,−
5
3
9− ,
5
4
=
5
4
=
5
Rijo Cal 2 Capítulo 9.nb
In[264]:=
19
Show@Plot@0, 8x, −.1, 4<, Axes → False, Epilog →
8Text@"O", 8−0.15, −0.2<D, Text@"v", 83.5, 2.9<D, Text@"c", 8.8, −.5<D,
Text@"d", 8−.8, .5<D<, DisplayFunction → IdentityD,
Graphics@8Arrow@8−1, 0<, 84, 0<D, Arrow@80, −1<, 80, 3<D, Arrow@80, 0<, vD,
Arrow@80, 0<, cD, Arrow@80, 0<, dD<, DisplayFunction → IdentityD,
AspectRatio → Automatic, DisplayFunction → $DisplayFunctionD;
v
d
O
c
17.
In[237]:=
Out[241]=
Out[242]=
In[255]:=
v = 85 ê 2, −3<;
v1 = 8−1, 0<;
a = v.v1 ê [email protected] [email protected];
b = Sqrt@1 − a ^ 2D;
c = 8b, −a<
d = −c
6
5
9 è!!!!!! , è!!!!!! =
61
61
6
5
9− è!!!!!! , − è!!!!!! =
61
61
Show@Plot@0, 8x, −.1, 3<, Axes → False, Epilog →
8Text@"O", 8−0.15, 0.1<D, Text@"v", 82.7, −2.9<D, Text@"c", 8.8, .4<D,
Text@"d", 8−.8, −.4<D<, DisplayFunction → IdentityD,
Graphics@8Arrow@8−1, 0<, 83, 0<D, Arrow@80, −4<, 80, 1<D, Arrow@80, 0<, vD,
Arrow@80, 0<, cD, Arrow@80, 0<, dD<, DisplayFunction → IdentityD,
AspectRatio → Automatic, DisplayFunction → $DisplayFunctionD;
c
O
d
v
18.
20
In[292]:=
Out[296]=
Out[297]=
In[298]:=
Rijo Cal 2 Capítulo 9.nb
v = 8−1, 4 ê 3<;
v1 = 8−1, 0<;
a = v.v1 ê [email protected] [email protected];
b = Sqrt@1 − a ^ 2D;
c = 8b, a<
d = −c
9
4
3
,
=
5
5
4
3
9− , − =
5
5
Show@
Plot@0, 8x, −1.5, 1.5<, Axes → False, Epilog → 8Text@"O", 80.15, −0.15<D,
Text@"v", 8−1., 1<D, Text@"c", 8.8, .4<D, Text@"d", 8−.8, −.4<D<,
DisplayFunction → IdentityD, Graphics@8Arrow@8−1.5, 0<, 81.5, 0<D,
Arrow@80, −1.5<, 80, 1.5<D, Arrow@80, 0<, vD, Arrow@80, 0<, cD,
Arrow@80, 0<, dD<, DisplayFunction → IdentityD,
AspectRatio → Automatic, DisplayFunction → $DisplayFunctionD;
v
c
O
d
19.
In[299]:=
Out[303]=
Out[304]=
v = 8−1 ê 2, −1 ê 3<;
v1 = 8−1, 0<;
a = v.v1 ê [email protected] [email protected];
b = Sqrt@1 − a ^ 2D;
c = 8−b, a<
d = −c
2
3
9− è!!!!!! , è!!!!!! =
13
13
2
3
9 è!!!!!! , − è!!!!!! =
13
13
Rijo Cal 2 Capítulo 9.nb
In[317]:=
21
Show@Plot@0, 8x, −1, 1<, Axes → False, Epilog →
8Text@"O", 80.1, 0.1<D, Text@"v", 8−.3, −.35<D, Text@"c", 8−.6, .7<D,
Text@"d", 8.6, −.7<D<, DisplayFunction → IdentityD,
Graphics@8Arrow@8−1, 0<, 81, 0<D, Arrow@80, −1<, 80, 1<D, Arrow@80, 0<, vD,
Arrow@80, 0<, cD, Arrow@80, 0<, dD<, DisplayFunction → IdentityD,
AspectRatio → Automatic, DisplayFunction → $DisplayFunctionD;
c
O
v
d
20.
In[360]:=
Out[364]=
Out[365]=
In[366]:=
v = 82, −1<;
v1 = 81, 0<;
a = v.v1 ê [email protected] [email protected];
b = Sqrt@1 − a ^ 2D;
c = 8b, a<
d = −c
1
2
9 è!!! , è!!! =
5
5
1
2
9− è!!! , − è!!! =
5
5
Show@Plot@0, 8x, −.5, 2<, Axes → False, Epilog →
8Text@"O", 8−0.1, 0.1<D, Text@"v", 81.9, −.8<D, Text@"c", 8.3, .9<D,
Text@"d", 8−.3, −.9<D<, DisplayFunction → IdentityD, Graphics@
8Arrow@8−.5, 0<, 82, 0<D, Arrow@80, −1<, 80, 1<D, Arrow@80, 0<, vD,
Arrow@80, 0<, cD, Arrow@80, 0<, dD<, DisplayFunction → IdentityD,
AspectRatio → Automatic, DisplayFunction → $DisplayFunctionD;
c
O
d
21.
v
22
In[368]:=
Out[372]=
Out[373]=
In[377]:=
Rijo Cal 2 Capítulo 9.nb
v = 8−2, 1<;
v1 = 8−1, 0<;
a = v.v1 ê [email protected] [email protected];
b = Sqrt@1 − a ^ 2D;
c = 8b, a<
d = −c
1
2
9 è!!! , è!!! =
5
5
1
2
9− è!!! , − è!!! =
5
5
Show@Plot@0, 8x, −2, 1<, Axes → False, Epilog →
8Text@"O", 80.1, −0.13<D, Text@"v", 81.9, −.8<D, Text@"c", 8.3, .9<D,
Text@"d", 8−.3, −.9<D<, DisplayFunction → IdentityD,
Graphics@8Arrow@8−2, 0<, 81, 0<D, Arrow@80, −1<, 80, 1<D, Arrow@80, 0<, vD,
Arrow@80, 0<, cD, Arrow@80, 0<, dD<, DisplayFunction → IdentityD,
AspectRatio → Automatic, DisplayFunction → $DisplayFunctionD;
c
O
d
22.
In[407]:=
Out[411]=
Out[412]=
v = 8−5, −2<;
v1 = 8−1, 0<;
a = v.v1 ê [email protected] [email protected];
b = Sqrt@1 − a ^ 2D;
c = 8−b, a<
d = −c
2
5
9− è!!!!!! , è!!!!!! =
29
29
2
5
9 è!!!!!! , − è!!!!!! =
29
29
Rijo Cal 2 Capítulo 9.nb
In[413]:=
23
Show@Plot@0, 8x, −5, 2<, Axes → False, Epilog →
8Text@"O", 80.3, 0.2<D, Text@"v", 8−4.9, −1.6<D, Text@"c", 8−.7, .9<D,
Text@"d", 8.7, −.9<D<, DisplayFunction → IdentityD,
Graphics@8Arrow@8−5, 0<, 82, 0<D, Arrow@80, −2<, 80, 2<D, Arrow@80, 0<, vD,
Arrow@80, 0<, cD, Arrow@80, 0<, dD<, DisplayFunction → IdentityD,
AspectRatio → Automatic, DisplayFunction → $DisplayFunctionD;
c
O
d
v
Nos Exercícios 23 a 27 determine os dois vetores unitários que fazem o ângulo dado com o vetor dado.
23.
In[441]:=
v = 8Sqrt@3D, 1<;
v1 = 81, 0<;
a = [email protected] ê [email protected] [email protected]
24
Rijo Cal 2 Capítulo 9.nb
9.3 Equação da reta
Coma sabemos a equação da reta tem a forma
ax + by + c = 0.
Seja p0 = Hx0 , y0 ) um ponto fixo na reta e p = (x, y) um ponto genérico. Então,
ax0 + by0 + c = 0.
Substituindo esta equação da anterior, obtemos
aHx - x0 L + bHy - y0 L = 0.
Para interpretar este resultado em termos de vetor, seja v” = (a, b). Como p - p0 = ( x - x0 , y - y0 ), a última
equação pode ser escrita na forma
( x - x0 , y - y0 ).(a, b) = 0 ou (p - p0 ). v” = 0.
Geometricamente, esta equação traduz a condição de que os vetores p - p0 e v” são ortogonais. Em outras palavras,
toda reta de equação
ax + by + c = 0
Ha, bL
÷u” = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅ
è!!!!!!!!
2 !!!!!2!!!
é perpendivular ao vetor (a, b). O vetor unitário nesta direção
a +b
é o vetor normal unitário à reta. Note-se que os vetores (b, -a) e (-b, a) são normais ao vetor (a, b). Logo toda reta
de equação ax + by + c = 0 é paralela aos vetores (b, -a) e (-b, a).
Exemplo 1
A reta 3 x − 2 y + 4 =
0 é perpendicular ao vetor ”
u = H3, −2L. Como ela passa pelo ponto p0 = H0, 2L,
” = 0,
podemos escrever a sua equação na forma Hp − p0 L.u
em que o ponto p é seu ponto genérico.
Exemplo 2
Vamos obter a equação da reta pelo ponto p0 = H−1, 2L,
perpendicular à direção ”
u = H3, 2L. Então,
In[7]:=
Out[7]=
H8x, y< − 8−1, 2<L.83, 2<
3x+2y
0 êê Simplify
1
Equações paramétricas
Para obtermos a equação da reta por um ponto p0 = (x0 , y0 ), paralela a um vetor ÷u” = (m, n) ∫ 0, designamos por
p = (x, y) o ponto genérico da reta e impomos a condição de que p - p0 e ÷u” sejam colineares, isto é, Coma
Rijo Cal 2 Capítulo 9.nb
25
sabemos a equação da reta tem a forma
÷” ,
p - p0 = tu
onde t 'e um escalar variável. Esta condição equivale a
x - x0 = tm, y - y0 = tn,
ou
x = x0 + tm, y = y0 + tn.
Estas são as equações paramétricas da reta, justamente porque a variável independente é o parâmetro t: diferente
s valores de t conduzem a diferentes pontos p = (x, y) da reta.
Exemplo 3
Dada a reta de equação
2 x + 5 y − 10 = 0,
vamos determinar a equação da reta pelo ponto p0 = H4, 2L,
normal à reta dada. Então,
Solução 1
In[16]:=
Out[16]=
H8x, y< − 84, 2<L.85, −2<
5x
2 H8 + yL
Solução 2
(equaçoes paramétricas)
In[30]:=
Solve@x == 4 + 2 t, tD
Solve@y == 2 + 5 t, tD
Out[30]=
Out[31]=
In[32]:=
Out[32]=
0 êê Simplify
99t →
1
H−4 + xL==
2
1
99t →
H−2 + yL==
5
H−4 + xL ê 2
5x
H−2 + yL ê 5 êê Simplify
2 H8 + yL
Exemplo 4
Vamos determinar os ângulos formado pela duas retas de equações
3x + 5y = 0 e 2x − 3y −6 = 0
” = H5, −3L e u
” = H3, 2L, respectivamente. Então
Estas retas têm direções u
1
2
In[12]:=
Out[14]=
u1 = 85, −3<;
u2 = 83, 2<;
[email protected] ê [email protected] [email protected]
9
ArcCosA è!!!!!!!!! E
442
26
Rijo Cal 2 Capítulo 9.nb
6.4 Projeções e Bases
Sejam ÷u” = (u1 , u2 ) e v” = (v1 , v2 ) dois vetores não colineares (portanto, nenhum deles é o vetor nulo), então
qualquer outro vetor ÷w” = (a, b) pode ser expresso, de maneira unívoca, na forma
÷w” = xu
÷” + yv” .
Os números x e y são chamados as componentes de ÷w” relativamente aos vetores ÷u” e v” , respectivamente. Qualquer
par de vetores ÷u” e v” , não colineares, é chamado uma base. Dizemos que ÷w” é combinação linear de ÷u” e v” . Dize÷” é a projeção de ÷w” sobre a direção ÷u” segundo a direção v” . Do mesmo modo, yv” é a
mos também que o vetor xu
÷
”
projeção de w sobre a direção v” segundo a direção ÷u” .
÷” + yv” é equivalente ao sistema linear de equações
A equação ÷w” = xu
u1 x + v1 y = a,
u2 x + v2 y = b.
A solução deste sistema de equações fornece as coordenadas do vetor (a, b) com respeito à base formada pelos
vetores ÷u” = (u1 , u2 ) e
v” = (v1 , v2 ).
In[30]:=
Show@Plot@0, 8x, 0, 2.5<, PlotRange → 88−1.5, 2.5<, 8−1, 2.5<<,
”", 81, −0.2<D, Text@"u
”", 82, −.2<D,
Axes → False, Epilog → 8Text@"xu
”
”
”", 81.1, 2.1<D<,
Text@"v", 8−0.7, 1<D, Text@"yv", 8−1.2, 2<D, Text@"w
DisplayFunction → IdentityD, ListPlot@882, 0<, 81, 2<, 8−1, 2<<,
PlotJoined → True, PlotStyle → [email protected]<D<,
DisplayFunction → IdentityD, Graphics@8Arrow@80, 0<, 83, 0<D,
Arrow@80, 0<, 8−1, 2<D, Arrow@80, 0<, 81, 2<D, Arrow@80, 0<, 82, 0<D,
Arrow@80, 0<, 8−1 ê 2, 1<D<, DisplayFunction → IdentityD,
AspectRatio → Automatic, DisplayFunction → $DisplayFunctionD;
”
w
”
yv
”
v
”
xu
”
u
Rijo Cal 2 Capítulo 9.nb
27
Exemplo
Seja exprimir o vetor ÷w” = (7 ê 3, -8 ê 3) como combinação linear de ÷u” = (1, 2) e v” = (-1, 2).
Podemos escrever (3/3, - 8/3) = x (1, 2) + y (-1, 2) ou ainda
x - y = 7/3;
2x + 2y = - 8/3.
Resolvendo este sisyema:
In[34]:=
Out[34]=
Solve@8x − y == 7 ê 3, 2 x + 2 y == −8 ê 3<, 8x, y<D
99x →
1
11
,y→−
==
2
6
Logo, ÷w” = 1/2 ÷u” - 11/6 v” .
As bases mais usadas na prática são as bases ortonormais. Diz-se que uma base é e”1 e e”2 é ortogonal se os
vetores que a compõem são ortogonais e têm módulos unitários, isto é, e”1 . e”2 = 0, |e”1 | = |e”2 | = 1.
Neste caso é fácil determinar as componentes de um vetor ÷w” qualquer: ÷w” = xe”1 + ye”2 .
Para se obter x multiplicamos escalarmente esta equação por e”1 :
÷w” . e” = x (e” . e” ) + y (e” . e” ) = x.
1
1
1
2
1
Analogamente, multiplicando-se a equação escalarmente por e”2 , obtemos y = ÷w” . e”1 , logo
÷w” = ( ÷w” . e” ) e” + ( ÷w” . e” ) e” .
1
1
2
2
28
Rijo Cal 2 Capítulo 9.nb
In[85]:=
ShowAPlotA0, 8x, 0, 2.5<, PlotRange → 88−1.5, 3<, 8−.5, 2.5<<,
””
”
Axes → False, Epilog → 9Text@"e2 ", 8−.6, .8<D, TextA"e1 ", 8.8, .7<E,
”", 81.1, 2.1<D, Text@"w
÷”. ”
Text@"w
e1 ", 82.1, 1.2<D,
÷” ”
Text@"w . e2 ", 8−1, 2.2<D=, DisplayFunction → IdentityE,
ListPlot@881, 0<, 81, 2<, 80, 2<<, PlotJoined → True,
PlotStyle → [email protected]<D<, DisplayFunction → IdentityD,
[email protected], .8<, 81, 2<, 8−.6, 1.3<<, PlotJoined → True,
PlotStyle → [email protected]<D<, DisplayFunction → IdentityD,
Graphics@8Arrow@8−1, 0<, 82.5, 0<D, Arrow@80, −.5<, 80, 2.5<D,
Arrow@80, 0<, 82, 1<D, Arrow@80, 0<, 81, .5<D, Arrow@80, 0<, 8−1, 2<D,
Arrow@80, 0<, 8−.5, 1<D, Arrow@80, 0<, 8−1, 2<D,
Arrow@80, 0<, 81, 2<D<, DisplayFunction → IdentityD,
AspectRatio → Automatic, DisplayFunction → $DisplayFunctionE;
÷w”. ”
e2
”
w
”
e2
”
”
e1
÷w”. ”
e1
Nos Exercícios 1 a 27 determine as componentes de cada vetor dado relativamente à base ÷u” = (2, -1) e v” = (1, 1).
Faça gráficos em cada caso.
Para cada vetor podemos escrever (w1 , w2 ) = x (2, -1) + y (1, 1) ou ainda
2 x + y = w1 ,
- x + y = w2 .
1.
In[27]:=
Out[28]=
8w1, w2< = 81, 2<;
Solve@82 x + y == w1, −x + y == w2<, 8x, y<D
99x → −
1
5
,y→
==
3
3
Rijo Cal 2 Capítulo 9.nb
In[54]:=
29
Show@Plot@0, 8x, 0, 2.5<, PlotRange → 88−1.5, 3<, 8−2, 2.5<<,
”
”
Axes → False, Epilog → 8Text@"u", 82, −1.2<D, Text@"v", 8.9, .7<D,
”", 81.1, 2.1<D<, DisplayFunction → IdentityD,
Text@"w
ListPlot@881, 0<, 81, 2<, 80, 2<<, PlotJoined → True,
PlotStyle → [email protected]<D<, DisplayFunction → IdentityD,
Graphics@8Arrow@8−1, 0<, 82.5, 0<D, Arrow@80, −.5<, 80, 2.5<D,
Arrow@8−1, .5<, 82, −1<D, Arrow@8−1, .5<, 82.5, −1.25<D,
Arrow@80, 0<, 81, 1<D, Arrow@80, 0<, 82, 2<D,
Arrow@80, 0<, 81, 2<D<, DisplayFunction → IdentityD,
AspectRatio → Automatic, DisplayFunction → $DisplayFunctionD;
”
w
”
v
”
u
2.
In[25]:=
Out[26]=
3.
In[23]:=
Out[24]=
4.
In[21]:=
Out[22]=
5.
8w1, w2< = 81, 0<;
Solve@82 x + y == w1, −x + y == w2<, 8x, y<D
99x →
1
1
,y→
==
3
3
8w1, w2< = 80, 1<;
Solve@82 x + y == w1, −x + y == w2<, 8x, y<D
99x → −
1
2
,y→
==
3
3
8w1, w2< = 8−1, −1<;
Solve@82 x + y == w1, −x + y == w2<, 8x, y<D
88x → 0, y → −1<<
30
Rijo Cal 2 Capítulo 9.nb
In[19]:=
Out[20]=
6.
In[17]:=
Out[18]=
7.
In[15]:=
Out[16]=
8w1, w2< = 8−1, 1<;
Solve@82 x + y == w1, −x + y == w2<, 8x, y<D
99x → −
2
1
,y→
==
3
3
8w1, w2< = 82, −2<;
Solve@82 x + y == w1, −x + y == w2<, 8x, y<D
99x →
4
2
, y → − ==
3
3
8w1, w2< = 82, −3<;
Solve@82 x + y == w1, −x + y == w2<, 8x, y<D
99x →
5
4
, y → − ==
3
3
9.4 Equação Paramétrica de um Curva
Um modo muito conveniente de descrever uma curva no plano consiste em considerar as coordenadas x e y de seu
ponto genérico P = (a, b) como função de uma única variável independente t:
x = x(t) e y = y(t)
A variável t é chamado de parâmetro destas equações e estas, por sua vez, são as chamadas equações paramétrica
da curva.
Podemos considerar o próprio
÷”
vetor P = OP = (a, b) como função de t:
P = P(t) = (x(t), y(t)).
Este vetor costuma ser chamado vetor posição P .
Exemplo 1.
As equações paramétricas do movimento de uma partícula lançada horizontalmente com velocidade v são dadas por
x = vt e y = gt2 ê 2
onde g é a aceleração da gravidade. Estas duas funções da variável independente t descrevem uma curva, que é a
trajetória da particula.
Rijo Cal 2 Capítulo 9.nb
In[8]:=
31
H∗ Velocidade de lançamento v = 5 mês e g = 10 mês2 ∗L
ParametricPlot@85 t, −10 t ^ 2 ê 2<, 8t, 0, 10<D;
10
20
30
40
50
-100
-200
-300
-400
-500
Exemplo 2.
As equações paramétricas do movimento de uma partícula P em torno de uma circunferência de raio r são dadas por
x = r cos wt e y = r sen wt
onde w é a velocidade angular (radianos por segundo).
In[11]:=
H∗ Velocidade angular ω = 2 rdês ∗L
ParametricPlot@8Cos@2 tD , Sin@2 tD<, 8t, 0, 2 Pi<, AspectRatio → AutomaticD;
1
0.5
-1
-0.5
0.5
1
-0.5
-1
Exemplo 3.
As equações paramétricas da ciclóide são dadas por
x = rq - r sen q e y = r - r cos q
In[12]:=
H∗ r = 2 é o raio do círculo que gira sobre o eixo Ox .∗L
ParametricPlot@82 t − 2 Sin@tD , 2 − 2 Cos@tD<,
8t, 0, 2 Pi<, AspectRatio → AutomaticD;
4
3
2
1
2
4
6
8
10
12
32
Rijo Cal 2 Capítulo 9.nb
Uma função de uma variável real t representada por
f(t) = (x(t), y(t))
é denominada de função vetorial.
Exemplo 4.
A função vetorial
P(t) = (sen t, cos2 t ),
0 § t § p/2
é equivalente às equaçõws paramétricas
x = sen t e y = cos2 t , com 0 § t § p/2.
Como sen2 t + cos2 t = 1, estas equações nos conduzem à equação cartesiana
y = 1 - x2
que é uma equação de um parâbola.
In[14]:=
H∗ Ramo da parábola de 0 ≤ t ≤ πê2 ou de 0 ≤ x ≤ 1 ∗L
ParametricPlot@8Sin@tD , Cos@tD ^ 2<, 8t, 0, Pi ê 2<, AspectRatio → AutomaticD;
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0.2 0.4 0.6 0.8
1
Exemplo 5.
Traçar a curva de equações paramétricas
x = t3 e y = t2 , t real
Note que, da primeira equação, t = x1ê3 . Substituindo na segunda equação, obtemos y = x2ê3 , ou ainda, x2 = y3 .
Rijo Cal 2 Capítulo 9.nb
In[24]:=
33
H∗ Gráfico da curva parametrizada Ht3 , t2 L com t real ∗L
ParametricPlot@8t ^ 3 , t ^ 2<, 8t, −10, 10<, PlotRange → 80, 20.1<D;
20
15
10
5
-60
-40
-20
20
40
60
Exemplo 6.
Traçar a curva de equações paramétricas
è!!!
Notemos que x ¥ 0 e t = ± x . Substituindo estes valores na expressão de y, obtemos
è!!!
è!!!
y = x (x - 1) e y = - x (x - 1)
x = t2 e y = t3 - t, t real
In[29]:=
H∗ Ramo da parábola de 0 ≤ t ≤ πê2 ou de 0 ≤ x ≤ 1 ∗L
ParametricPlot@8t ^ 2 , t ^ 3 − t<, 8t, −2, 2<, PlotRange → 8−1, 1<D;
1
0.75
0.5
0.25
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
-0.25
-0.5
-0.75
-1
Exercícios
Nos Exercícios 1 a 18 faça o gráfico das curvas de equaões paramétricas.dadas,obtenha as respectivas equações
cartesianas.
1.
x = 2t, y = 3t - 1
34
Rijo Cal 2 Capítulo 9.nb
In[5]:=
H∗ Traçar o gráfico da curva x = 2 t, y = 3 t−1 ∗L
ParametricPlot@82 t, 3 t − 1<, 8t, −1, 1<D;
2
1
-2
-1
1
2
-1
-2
-3
-4
2.
x = 1 - 3t, y = 1 + 3t
In[6]:=
H∗ Traçar o gráfico da curva x = 1 − 3 t, y = 1 + 2 t ∗L
ParametricPlot@81 − 3 t, 1 + 2 t<, 8t, −1, 1<D;
3
2
1
-2
-1
1
2
3
4
-1
3.
x = 2 + 5 cos t, y = 1 - 3 cos t
In[12]:=
H∗ Traçar o gráfico da curva x = 2 + 5 cos t,
y = 1 − 3 cos t ∗L
ParametricPlot@82 + 5 Cos@tD, 1 − 3 Cos@tD<, 8t, −1, 1<D;
-0.6
-0.8
-1
-1.2
-1.4
-1.6
-1.8
5.5
4.
x = t2 - 1, y = 3 t2 + 2
6
6.5
7
Rijo Cal 2 Capítulo 9.nb
In[9]:=
35
H∗ Traçar o gráfico da curva x = t2 − 1, y = 3 t2 + 2 ∗L
ParametricPlot@8t ^ 2 − 1, 3 t ^ 2 + 2<, 8t, −2, 2<D;
14
12
10
8
6
4
2
-1
1
2
3
5.
x = 5et , y = 2 - 3et
In[9]:=
H∗ Traçar o gráfico da curva x = 5 et , y = 3 et + 2 ∗L
ParametricPlot@8t ^ 2 − 1, 3 t ^ 2 + 2<, 8t, −2, 2<D;
14
12
10
8
6
4
2
-1
1
2
3
6.
x = 3t, y = 3 t2
In[13]:=
H∗ Traçar o gráfico da curva x = 3 t, y = 5 t2 ∗L
ParametricPlot@83 t, 5 t ^ 2<, 8t, −2, 2<D;
20
15
10
5
-6
7.
x = t - 2, y = t2
-4
-2
2
4
6
36
Rijo Cal 2 Capítulo 9.nb
In[18]:=
H∗ Traçar o gráfico da curva x = t − 2, y = t2 ∗L
ParametricPlot@8 t − 2, t ^ 2<, 8t, −4, 4<D;
15
12.5
10
7.5
5
2.5
-6
-4
-2
2
8.
x = t + 1, y = t2 - 2
In[19]:=
H∗ Traçar o gráfico da curva x = t + 1, y = t2 − 2∗L
ParametricPlot@8 t + 1, t ^ 2 − 2<, 8t, −2, 2<D;
2
1
-1
1
2
3
-1
-2
9.
x = t2 + 2, y = t - 1
In[20]:=
H∗ Traçar o gráfico da curva x = t2 + 2, y = t − 1 ∗L
ParametricPlot@8 t ^ 2 + 2, t − 1<, 8t, −2, 2<D;
1
3
4
-1
-2
-3
10.
x = sen t, y = cos 2t , -p/2 § t § p/2
5
6
Rijo Cal 2 Capítulo 9.nb
In[21]:=
37
H∗ Traçar o gráfico da curva x = sen t, y = cos 2 t, −πê2 ≤ t ≤ πê2∗L
ParametricPlot@8 Sin@tD, Cos@2 tD<, 8t, −Pi ê 2, Pi ê 2<D;
1
0.5
-1
-0.5
0.5
1
-0.5
-1
11.
x = t - 1, y = t3 + 1
In[25]:=
H∗ Traçar o gráfico da curva x = t − 1, y = t3 + 1 ∗L
ParametricPlot@8 t − 1 , t ^ 3 + 1<, 8t, −1, 1<D;
1.02
1.01
-2
-1.5
-1
-0.5
0.99
0.98
12.
x = t3 - 2, y = 2 t + 1
In[26]:=
H∗ Traçar o gráfico da curva x = t3 − 2, y = 2 t + 1 ∗L
ParametricPlot@8 t ^ 3 − 2 , 2 t + 1<, 8t, −2, 1<D;
3
2
1
-2.3 -2.2 -2.1
-1.9 -1.8
-1
-2
-3
13.
x = 3 cos t, y = 2 sen t , 0 § t § p.
38
Rijo Cal 2 Capítulo 9.nb
In[27]:=
H∗ Traçar o gráfico da curva x = 3 cos t, y = 2 sen t, 0 ≤ t ≤ π∗L
ParametricPlot@8 3 Cos@tD, 2 Sin@tD<, 8t, 0, Pi<D;
2
1.5
1
0.5
-3
-2
-1
1
2
3
14.
x = 1 + 5 sen t, y = 3 cos t - 2 , -p § t § p.
In[28]:=
H∗ Traçar o gráfico da curva x = 1 + 5 sen t,
y = 3 cos t − 2, 0 ≤ t ≤ π∗L
ParametricPlot@8 1 + 5 Sin@tD, 3 Cos@tD − 2<, 8t, −Pi, Pi<D;
1
-4
-2
2
4
6
-1
-2
-3
-4
-5
16.
x = 2 cos2 t, y = sen t , 0 § t § p.
In[31]:=
H∗ Traçar o gráfico da curva x = cos2 t, y = sen 2 t , 0 ≤ t ≤ π ∗L
ParametricPlot@8 2 Cos@tD ^ 2, Sin@2 tD<, 8t, 0, Pi<D;
1
0.5
0.5
1
1.5
-0.5
-1
17.
x = 1 - cos t, y = sen t - 2 , -p § t § 0.
2
Rijo Cal 2 Capítulo 9.nb
In[32]:=
39
H∗ Traçar o gráfico da curva x = 1 − cost, y = sen t − 2 , −π ≤ t ≤ 0 ∗L
ParametricPlot@8 1 − Cos@tD, Sin@ tD − 2<, 8t, −Pi, 0<D;
-2
-2.2
-2.4
-2.6
-2.8
0.5
1
1.5
2
18.
x = 1 + 1/t , y = t - 1/t
In[33]:=
H∗ Traçar o gráfico da curva x = 1 + 1êt, y = t − 1êt ∗L
ParametricPlot@8 1 + 1 ê t, t − 1 ê t<, 8t, −1, 1<D;
40
20
-40
-20
20
40
-20
-40
9.5 Derivada de função vetorial
Diz-se que o vetor P(t) = (x(t), y(t)) tem por limite um vetor P0 = (x0 , y0 ), para t tendendo a t0 , se as componentes de P(t) têm por limite as componentes de P0 , respectivamente, isto é
limxØ0 P(t) = P0 = ó limxØ0 x(t) = x0 e limxØ0 y(t) = y0 .
Diz-se que a função vetorial P(t) = (x(t), y(t)) é contínua num ponto t = t0 se limxØ0 P(t) = P0 . Como se vê, a
continuidade de P(t) é equivalente à continuidade das suas componentes x(t) e y(t).
A função vetorial P(t) = (x(t), y(t)) é derivável se suas componentes são funções deriváveis e a derivada de é,
então, definida por
°
dy
dP
dx
P (t) = P(t) = ÅÅÅÅ
ÅÅÅÅ = ( ÅÅÅÅ
ÅÅ , ÅÅÅÅ
ÅÅ ).
dt
dt
dt
Exemplo 1.
40
Rijo Cal 2 Capítulo 9.nb
In[8]:=
Out[8]=
H∗ Determinar o vetor derivada da função vetorial P HtL = Ht2 ,t3 −tL ∗L
Clear@tD
D@8t ^ 2, t ^ 3 − t<, tD
82 t, −1 + 3 t2 <
Dadas uma função escalar f(t) e funções vetoriais ÷u” (t) e v” (t), todas deriváveis, então, valem as seguintes propriedades:
d ÷u” HtL
d v” HtL
d ÷”
ÅÅÅÅ
Å [u (t) + v” (t)] = ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅ + ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅ ,
dt
dt
dt
d
ÅÅÅÅ
Å [ f(t) v” (t)] = f'(t)v” HtL + f HtL v” ' HtL
dt
d ÷”
ÅÅÅÅ
Å [u (t) v” (t)] = ÷u” '(t) v” HtL + ÷u” (t) v” ' HtL .
dt
.
.
.
Vale também a regra da derivação em cadeia: se ÷u” = ÷u” (s) é derivável em relação à variável s e s = s(t) é derivável
em relação a t, então ÷u” = ÷u” (s(t)) é derivável como função de t e
d u HsL dsHtL
d ÷”
ÅÅÅÅ
Å u HsHtLL = ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅ . ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅ
dt
dt
dt
÷”
Comprimento de arco
O comprimento de arco s, contado a partir de um ponto A = P(a) de uma curva em forma paramétrica,
P = P(t) = (x(t), y(t)),
é dado por
dy%%%%%
dx 2 %%%%%%%%
H ÅÅÅÅ
ÅÅ L + I ÅÅÅÅ
ÅÅ M „ t .
s(b) = ‡ $%%%%%%%%%%%%%%%%
dt
dt
a
b
2
Exemplo 2.
Vamos calcular o comprimento de arco dado por
x(t) = sen t - t cos t
e y(t) = cos t + t sen t
onde -1 § t §1.
In[15]:=
Out[17]=
H∗ ∗L
Clear@tD
x@t_D := Sin@tD − t Cos@tD
y@t_D := Cos@tD + t Sin@tD
Integrate@Sqrt@D@x@tD, tD ^ 2 + D@y@tD, tD ^ 2D, 8t, −1, 1<D
1
Exercícios
Nos Exercícios 1 a 5 calcule o vetor tangente de cada curva dada e faça o gráfico.
1.
P(t) = r (sen wt, cos wt)
Rijo Cal 2 Capítulo 9.nb
In[19]:=
Out[19]=
41
H∗ Derivada de P HtL= r Hsen ωt,cos ωtL ∗L
Clear@tD
D@8r Sin@ω tD, r Cos@ω tD<, tD
8r ω Cos@t ωD, −r ω Sin@t ωD<
2.
P(q) = (rq - r sen q, r cos q - r)
In[21]:=
Out[21]=
H∗ Derivada de P Hθ L=Hrθ − r senθ , r cosθ − rL
Clear@tD
D@8r θ − r Sin@θD, r Cos@θD − r<, θD
8r − r Cos@θD, −r Sin@θD<
3.
P(t) = (t3 , t2 )
In[22]:=
Out[22]=
H∗ Derivada de P HtL=Ht3 , t2 L
Clear@tD
D@8t ^ 3, t ^ 2<, tD
∗L
83 t2 , 2 t<
4.
P(t) = (et , e-t )
In[23]:=
Out[23]=
H∗ Derivada de P HtL=Het , e−t L
Clear@tD
D@8Exp@tD, Exp@−tD<, tD
8
t
,−
−t
∗L
<
5.
P(t) = (t , 1 ê t ), t ∫ 0.
In[24]:=
Out[24]=
H∗ Derivada de P HtL=Ht, 1êtL
Clear@tD
D@8t, 1 ê t<, tD
91, −
∗L
1
=
t2
Nos Exercícios 7 a 12 calcule os comprimentos dos arcos dados.
7.
P(t) = (t , t2 ), 0 § t § 1.
∗L
42
Rijo Cal 2 Capítulo 9.nb
In[41]:=
Out[43]=
H∗ Comprimento do arco de P HtL = Ht, t2 L, 0 ≤ t ≤ 1. ∗L
Clear@tD
x@t_D := t
y@t_D := t ^ 2
Integrate@Sqrt@D@x@tD, tD ^ 2 + D@y@tD, tD ^ 2D, 8t, 0, 1<D
1
è!!!
I2 5 + ArcSinh@2DM
4
8.
P(t) = (sen3 t , cos3 t ), 0 § t § p/2.
In[48]:=
Out[50]=
H∗ Comprimento do arco de P HtL = Hsen3 t, cos3 tL, 0 ≤ t ≤ πê2. ∗L
Clear@tD
x@t_D := Sin@tD ^ 3
y@t_D := Cos@tD ^ 3
Integrate@Sqrt@D@x@tD, tD ^ 2 + D@y@tD, tD ^ 2D, 8t, 0, Pi ê 2<D
3
2
9.
P(t) = (sen3 t , cos3 t ), 0 § t § p
In[51]:=
Out[53]=
H∗ Comprimento do arco de P HtL = Hsen3 t, cos3 tL, 0 ≤ t ≤ π. ∗L
Clear@tD
x@t_D := Sin@tD ^ 3
y@t_D := Cos@tD ^ 3
Integrate@Sqrt@D@x@tD, tD ^ 2 + D@y@tD, tD ^ 2D, 8t, 0, Pi<D
3
10.
P(t) = (t2 , t3 ), -1 § t § 1.
In[54]:=
Out[56]=
H∗ Comprimento do arco de P HtL = Ht2 , t3 L, −1 ≤ t ≤ 1. ∗L
Clear@tD
x@t_D := t ^ 2
y@t_D := t ^ 3
Integrate@Sqrt@D@x@tD, tD ^ 2 + D@y@tD, tD ^ 2D, 8t, −1, 1<D
2
è!!!!!!
I−8 + 13 13 M
27
11.
P(t) = (t - sen t , 1 - cos t ), 0 § t § 2 p.
In[28]:=
Out[31]=
H∗ Comprimento do arco de P HtL = Ht − sen t, 1 − cos tL, 0 ≤ t ≤ 2 π. ∗L
Clear@tD
x@t_D := t − Sin@tD
y@t_D := 1 − Cos@tD
Integrate@Sqrt@D@x@tD, tD ^ 2 + D@y@tD, tD ^ 2D, 8t, 0, 2 Pi<D
8
Rijo Cal 2 Capítulo 9.nb
43
12.
P(t) = (t , log t ), 1 § t § 2.
In[66]:=
Out[68]=
H∗ Comprimento do arco de P HtL = Ht, log tL, 1 ≤ t ≤ 2. ∗L
Clear@tD
x@t_D := t
y@t_D := Log@tD
Integrate@Sqrt@D@x@tD, tD ^ 2 + D@y@tD, tD ^ 2D, 8t, 1, 2 <D êê FullSimplify
è!!! è!!!
− 2 + 5 − ArcCsch@2D + ArcSinh@1D
13.
Determine a equação da reta tangente à curva P(t) = (1 - t 2 , 1 + t ) no ponto P(2).
In[69]:=
Out[69]=
In[9]:=
Out[10]=
In[58]:=
H∗ Equação da reta tangente à curva P HtL =
H1 − t2 , 1 + tL no ponto P H2L. ∗L
Clear@tD
D@81 − t ^ 2, 1 + t<, tD
8−2 t, 1<
t = 2;
81, 2 t<.8x − 1 + t ^ 2, y − 1 − t<
x+4y
0 êê Simplify
9
Show@ParametricPlot@881 − t ^ 2, 1 + t<, 8t, −t ê 4 + 9 ê 4<<,
8t, −3, 3<, DisplayFunction → IdentityD,
ListPlot@88−3, 3<<, PlotStyle → [email protected]<,
DisplayFunction → IdentityD, DisplayFunction → $DisplayFunctionD;
4
3
2
1
-8
-6
-4
-2
2
-1
-2
13.
Determine a equação da reta tangente à curva P(t) = (t , 1/ t ) no ponto P(1/2).
In[24]:=
Out[25]=
H∗ Equação da reta tangente à curva P HtL = Ht, 1êtL no ponto P H1ê2L. ∗L
Clear@tD
D@8t, 1 ê t<, tD
91, −
1
=
t2
44
Rijo Cal 2 Capítulo 9.nb
In[13]:=
Out[14]=
In[16]:=
t = 1 ê 2;
8−1 ê t ^ 2, −1<.8x − t, y − 1 ê t<
4x+y
0 êê Simplify
4
Show@ParametricPlot@88t, 1 ê t<, 8t, −4 t + 4<<,
8t, 0, 1<, PlotRange → 80, 10<, DisplayFunction → IdentityD,
ListPlot@881 ê 2, 2<<, PlotStyle → [email protected]<,
DisplayFunction → IdentityD, DisplayFunction → $DisplayFunctionD;
10
8
6
4
2
0.2
0.4
0.6
0.8
1
15.
Determine o ângulo entre as retas às curvas P(t) = (t, t 2 - 1) e Q(t) = (t, (t - 1L2 ) no ponto onde ela se interceptam.
In[21]:=
Out[22]=
Out[23]=
In[146]:=
Out[146]=
In[147]:=
Out[147]=
H∗ Determine o ângulo entre as retas tangentes às curvas
P HtL =
Ht, t2 − 1L e Q HtL = Ht, Ht − 1L2 L no ponto onde ela se interceptam. ∗L
Clear@tD
u@t_D = D@8t, t2 − 1<, tD
v@t_D = D@8t, Ht − 1L2 <, tD
81, 2 t<
81, 2 H−1 + tL<
Solve@ t2 − 1 == Ht − 1L2 , tD
88t → 1<<
ArcCos@[email protected]@1D ê HSqrt@[email protected]@1DD Sqrt@[email protected]@1DDLD
1
ArcCosA è!!! E
5
Rijo Cal 2 Capítulo 9.nb
In[34]:=
45
Show@ParametricPlot@88t, t2 − 1<, 8t, Ht − 1L ^ 2<<,
8t, −1, 2<, DisplayFunction → IdentityD,
ListPlot@881, 0<<, PlotStyle → [email protected]<,
DisplayFunction → IdentityD,
Graphics@8Arrow@81, 0<, 82, 0<D, Arrow@81, 0<, 82, 2<D<,
DisplayFunction → IdentityD, DisplayFunction → $DisplayFunctionD;
4
3
2
1
-1
-0.5
0.5
1
1.5
2
-1
9.6 Coordenadas polares
As coordenadas polares de um ponto P = (x, y) do plano são as distâncias r = OP ¥ 0 e o ângulo q que o raio OP
faz com o eixo Ox.
In[57]:=
Show@Plot@0, 8x, 0, 2<, Axes → False,
Epilog → 8Text@"O", 8−0.12, −0.12<D, Text@"P", 81.6, 1.1<D,
Text@"x", 81.5, −.1<D, Text@"y", 8−.1, 1<D, Text@"r", 8.7, .6<D,
Text@"θ", 8.3, .07<D<, DisplayFunction → IdentityD,
[email protected], 0<, 81.5, 1<, 80, 1<<, PlotJoined → True,
PlotStyle → [email protected]<D<, DisplayFunction → IdentityD,
Graphics@8Arrow@8−.5, 0<, 82, 0<D, Arrow@80, −.5<, 80, 2<D,
Arrow@80, 0<, 81.5, 1<D<, DisplayFunction → IdentityD,
AspectRatio → Automatic, DisplayFunction → $DisplayFunctionD;
P
y
r
θ
O
x
46
Rijo Cal 2 Capítulo 9.nb
As cordenadas cartesianas x, y de um ponto P são obtidas de suas coordenadas polares r, q mediante as equações:
x = r cos q e y = r sen q.
Por outro lado, as cordenadas polares r, q de um ponto P são obtidas de suas coordenadas cartesianas x, y
mediante as equações:
è!!!!!!!!!!!!!!!!!
.
r = x2 + y2 e q = arc tg ÅÅÅÅxy .
In[58]:=
<< Graphics`Graphics`
Exemplo
In[8]:=
H∗ Coordenadas polares de um circunferência de raio r ∗L
A equação da cincunferência de raio r em coordenas polares é dada por
r = d cos
sendo d = 2r o diâmetro da circunferência e -p/2 § q § p/2.
In[67]:=
PolarPlot@2 Cos@tD, 8t, −Pi ê 2, Pi ê 2<D;
1
0.5
0.5
1
1.5
2
-0.5
-1
Exemplo
In[8]:=
In[63]:=
H∗ Traçar o gráfico da curva de equação r = cos 2 θ ∗L
PolarPlot@Cos@2 tD, 8t, −3 Pi ê 4, 5 Pi ê 4<D;
1
0.5
-1
-0.5
0.5
-0.5
-1
1