OTIMIZAÇÃO DAS FORMAS DE CASCOS DE DESLOCAMENTO EM RELAÇÃO A
SUA RESISTÊNCIA AO AVANÇO
Rodrigo L. P. Alvarez
Departamento de Eng. Naval e Oceânica da Escola Politécnica da USP, SP, Brazil.
Marcelo. R. Martins
Departamento de Eng. Naval e Oceânica da Escola Politécnica da USP, SP, Brazil.
[email protected]
RESUMO
Devido à constante necessidade de construções de novas embarcações, quer seja pela demanda
do mercado, quer seja pela renovação da frota, o desenvolvimento de programas
computacionais capazes de ajudar no projeto das mesmas torna-se bastante útil, auxiliando
bastante nas etapas de projeto de um navio.
Assim, o desenvolvimento de um procedimento de análise que permita obter formas de melhor
desempenho vem a agregar valor na fase inicial de conceituação da geometria do navio.
O trabalho aqui apresentado tem como objetivo o desenvolvimento de um método capaz de
otimizar a geometria de um casco de deslocamento conhecido em relação a sua resistência ao
avanço, sem perder, porém, as suas características principais, como corpo paralelo médio, por
exemplo. Para tanto, dentro deste processo de otimização estão inseridas algumas restrições
que garantem a viabilidade da solução final, tais como variação máxima no comprimento, no
volume total e na estabilidade do navio.
A modelagem da embarcação pode ser feita através de funções B-Splines cúbicas de superfície,
cujos pontos de controle (parâmetros inerentes à função) podem ser modificados de tal sorte a
atingir um valor ótimo para a resistência ao avanço. Esta, por sua vez, será obtida através da
soma de duas parcelas, sendo uma referente ao atrito e outra à geração de ondas pelo casco.
Como a maior parte da resistência provém desta segunda parcela, a redução da resistência total
pode ser assumida como conseqüência da diminuição da resistência devido a ondas. Já esta
pode ser obtida através da formulação apresentada por Michell, em 1898.
O cálculo do deslocamento e de outras propriedades hidrostáticas tais como a estabilidade,
dada pelo KM transversal, e superfície molhada, usada para cálculo da resistência ao avanço,
pode ser encontrada fazendo-se uso do cálculo vetorial. O NAVSTAB é um programa que foi
desenvolvido em outro projeto e que aplica o conceito mencionado, gerando ao corpo flutuante
uma malha a partir da qual se pode aplicar o cálculo vetorial e encontrar suas propriedades
hidrostáticas.
O procedimento a ser descrito foi desenvolvido em linguagem C++ (modelagem do casco) e
com o auxílio do MATLAB (método de otimização). Este trabalho foi realizado dentro do
Departamento de Engenharia Naval e Oceânica da Universidade de São Paulo, Brasil.
1. INTRODUÇÃO
Atualmente, a construção de cascos de deslocamento1 e mais especificamente petroleiros, tem
se tornado quase uma produção em série em estaleiros de grande porte no hemisfério oriental,
principalmente em países como Coréia do Sul e Japão. Mais recentemente, a China vem
aplicando uma quantidade significativa de recursos em construções de estaleiros, portos e
aquisições de novas embarcações, com o intuito de continuar crescendo e expandindo suas
exportações, além de garantir entrada de matéria-prima para suas indústrias de base.
A necessidade de retomada do crescimento no setor naval, aliada a obsolescência da frota
brasileira para transporte de petróleo, conjeturou um ambiente propício ao incentivo e
alavancamento de novas oportunidades. A renovação da frota da Transpetro2 no início deste
século tem por idéia não somente reacender a indústria naval internamente como também
permitir um desenvolvimento de tecnologia e geração de milhares de novos empregos diretos e
indiretos.
A fim de poder auxiliar na etapa de projeto de uma nova embarcação, o procedimento de
otimização a ser apresentado neste trabalho tem por objetivo final alterar uma dada geometria
de casco de maneira que este tenha uma forma de melhor desempenho hidrodinâmico.
Pensando neste momento também na redução de custos de operação para o armador, um navio
capaz de andar em velocidade de cruzeiro superior a outro semelhante com uma mesma
potência instalada, seguramente terá preferência na seleção. A propriedade da embarcação que
garante isto é justamente a resistência ao avanço. A alteração na forma de um casco já existente
que permita uma redução desta propriedade é de grande valia desde que outras características
ou requisitos não sejam afetados como, por exemplo, o deslocamento e estabilidade.
Alguns outros trabalhos abordam o tema, como pode ser visto em Gammon 0, por exemplo. A
diferença do procedimento a ser proposto está na aplicação a formas de deslocamento em
específico e no método de busca da melhor solução. Gammon faz uso do algoritmo genético
para encontrar uma nova geometria de casco com menor resistência. Aqui, faz-se uso das
funções B-Splines cúbicas de superfície, como proposto por Nowacki, Bloor e Oleksiewicz 0 e
Harries e Nowacki 0.
Antigamente, mesmo com o conhecimento de métodos que auxiliassem em cálculos para
obtenção de geometrias mais favoráveis hidrodinamicamente, a grande dificuldade estava na
implementação computacional. Michelsen 0 propôs uma forma simplificada de se trabalhar
com cascos que pudessem ter sua geometria descrita por polinômios, o que facilitaria muito o
cálculo da resistência ao avanço segundo o método de Michell 0. No entanto, a dificuldade de
implementação numérica não permitia a análise de resultados concretos.
Hoje, com o advento da tecnologia, os métodos propostos podem ser melhor analisados e
obtidos de maneira mais rápida e precisa, o que reduz o tempo de projeto e aumenta a
performance do produto final.
1
Uma "embarcação de deslocamento" é aquela cujo peso, em situação estática ou dinâmica, é equilibrado
exclusivamente pelo empuxo.
2
A Petrobrás Transporte S.A. – Transpetro foi constituída em 1998 com a finalidade de construir e operar a
rede de transportes da Petrobrás.
A modelagem de cascos através de funções B-Splines permite o equacionamento de formas
complexas. Seu emprego é vasto, podendo servir até mesmo de base na criação de personagens
em filmes.
2. MODELAGEM DE NAVIOS POR FUNÇÕES B-SPLINES CÚBICAS
As funções B-Splines são fruto de um desenvolvimento do método de Bézier, como é
apresentado em Nowacki, Bloor e Oleksiewicz 0. A notação aqui adotada e as funções-bases
das B-Splines N kj (t ) ( k é o grau da B-Spline) podem ser encontradas em De Conti [2] e são
dadas por:
1, para t j −1 < t ≤ t j
N 0j (t ) = 
0, caso contrário.
 t − t j −1
 t − t , para t j −1 ≤ t ≤ t j
 j j −1
 t − t
N 1j (t ) =  j +1
, para t j < t ≤ t j +1
t
−
t
j
+
1
j

0, caso contrário.


 t − t j −1 t − t j −1
 t − t . t − t , para t j −1 ≤ t ≤ t j
 j +1 j −1 j j −1
 t − t
t − t t j +2 − t t − t j 
j −1

, para t j < t ≤ t j +1
. j +1
+
.
2
N j (t ) =  t j +1 − t j −1 t j +1 − t j t j + 2 − t j t j +1 − t j 

 t j + 2 − t . t j +2 − t , para t < t ≤ t
j +1
j+2
 t j +2 − t j t j + 2 − t j +1

0, caso contrário.
(1)
(2)
(3)
t − t j −1 t − t j −1
 t − t j −1
 t − t . t − t . t − t , para t j −1 ≤ t ≤ t j
 j +2 j −1 j+1 j −1 j j −1



 t − t j −1 . t − t j −1 . t j+1 − t + t j +2 − t . t − t j  +
 t j +2 − t j−1  t j +1 − t j −1 t j +1 − t j t j+2 − t j t j+1 − t j 

 t j +3 − t t − t j
t −tj 
+
.
.
, para t j < t ≤ t j +1
 t j +3 − t j t j +2 − t j t j+1 − t j 

t −t
t −t
t − t j+1 
 t − t  t − t j
+
N 3j (t ) =  j +3
.
. j+2
+ j +3
.

t −t t −t
t
−
t
t
−
t
t
−
t

j
+
3
j
j
+
2
j
j
+
2
j
+
1
j
+
3
j
+
1
j
+
2
j
+
1




 t − t j −1 t j +2 − t t j +2 − t 
+ t − t . t − t . t − t , para t j +1 < t ≤ t j +2
 j +2 j −1 j +2 j j +2 j +1 
 t j +3 − t t j +3 − t
t −t
.
. j +3
, para t j +2 < t ≤ t j +3

 t j +3 − t j t j +3 − t j +1 t j +3 − t j+2
0, caso contrário.



(4)
onde a Equação (1) refere-se à função-base de grau 0, a Equação (2) a de grau 1, a Equação (3)
a de grau 2 e a Equação (4) a de grau 3. t é o vetor de nós que serve de parâmetro para a curva.
De maneira recursiva, Farin [3] propõe:
t − t j −1
t − t k −1
N kj (t ) =
N kj −1 (t ) + j +k
N j +1 (t ), k = 1, 2,..., n
(5)
t j +k −1 − t j −1
t j+k − t j
As funções-bases podem ser utilizadas tanto para B-Splines de linha quanto de superfície. A
diferença está que na primeira é utilizado apenas um parâmetro, já que se está falando de uma
curva. No segundo, por se tratar de uma superfície, são necessários dois parâmetros para a
função.
2.1 Funções B-Splines de Linha
Segundo De Conti [2], se L é a quantidade de trechos3 que compõe uma curva, para uma BSpline cúbica ( k = 3 ), com base na expressão recorrente (Equação (5)), tem-se:
L + k −1 r
r
r ( t ) = ∑ d j .N kj ( t )
(6)
j =0
r
onde d j é o vetor que representa os L + 3 pontos de controle nas direções X , Y e Z . O
acréscimo de k índices a mais no somatório refere-se ao número adicional de nós que devem
ser inseridos e conseqüente aumento de k pontos de controle.
r
Utilizando-se a função r (t ) apresentada na Equação (6), realiza-se inicialmente uma primeira
interpolação para todas as linhas d’água de acordo a uma dada quantidade de pontos de
3
A quantidade de trechos que compõem uma curva é dada pela quantidade de nós desta curva menos 1.
controle definidos, os quais não necessitam ser iguais a quantidade de balizas para cada uma
delas. Esta interpolação vai permitir o equacionamento de cada linha d’água e a possível
inserção de novas balizas intermediárias, cujas quantidades também podem ser arbitradas.
Como parâmetro t , utiliza-se a posição longitudinal admensionalizada pelo comprimento na
linha dágua correspondente, variando entre 0 e 1. Isto significa dizer que o mesmo parâmetro t
para distintas linhas d’água não representará mesma posição longitudinal da baliza.
A Fig. 1 exemplifica a parametrização.
X
Baliza
Posição x
Posição t
1
x1
0
2
x2
(x2-x1)/(xN-x1)
3
x3
(x3-x1)/(xN-x1)
i
xi
N
xN
(xi-x1)/(xN-x1)
1
Fig. 1: Parametrização das linhas d’água do casco (vista de topo).
Como aplicação do método proposto até aqui para interpolação de curvas por B-Splines,
observe a embarcação apresentada na Fig. 2 cujas cotas foram retiradas de Versluis 0Erro!
Fonte de referência não encontrada..
Fig. 2: Casco de deslocamento usado na interpolação por B-Splines.
A Fig. 3 mostra a interpolação em duas dimensões usando 15 pontos de controle para as cotas
da embarcação tomada como exemplo na Fig. 2. Note que tanto na proa quanto na popa existe
uma limitação da linha d’água que é resultado da falta informação nestas regiões.
Fig. 3: Casco de deslocamento interpolado por B-Splines (plano de linhas d’água).
Percebe-se que o equacionamento utilizado é capaz de descrever o casco tomado como
referência, inclusive o costado do corpo paralelo médio. Tendo sido discretizada a forma em
duas dimensões, pode-se agora equacionar a superfície formada.
O fornecimento de informações do casco que se vai tomar como referência através de suas
cotas é fundamental para melhor descrição de sua geometria.
2.2 Funções B-Splines de Superfície
Introduzida a modelagem de um casco por B-Splines em 2D, propõe-se agora aplicar os
mesmos conceitos para a superfície da embarcação. Uma B-Spline de superfície é definida por
(De Conti, [2]):
La + ka −1 Lb + kb −1 r
r
r ( u , v ) = ∑ ∑ dij .N ika ( u ) .N kj b ( v )
(7)
i =0
j =0
onde u e v são os parâmetros que definem a superfície, La é a quantidade de trechos que
compõe o parâmetro u , Lb é a quantidade de trechos que compõe o parâmetro v , k a e k b são
r
os graus das funções-bases das B-Splines. Repare que os pontos de controle dij nas três
direções estão em forma matricial. N ika ( u ) e N kjb ( v ) podem ser obtidos pelas Equações (1) a
(4), dependendo do grau de cada uma delas.
Para este trabalho, está-se considerando La = Lb = L e ka = kb = 3 . As variáveis são dijs podem
ser obtidas de maneira rápida a partir da solução de um sistema de equações dado por:
{d }(
s
ij
L +3 )
2
[
]
{ }(
s
= N i3 (u m ).N 3j (v n ) ( L + 3)2 .×( L + 3)2 ∗ p mn
−1
L + 3 )2
(8)
onde s pode ser igual a X , Y ou Z com i , j , n e m = 0, 1, ..., L + k − 1 .
Como resultados obtidos para a interpolação da superfície por B-Splines cúbicas, pode-se
observar a Fig. 4. Para todos eles foram colocados 20 pontos de controle. A diferença entre
cada uma das figuras apresentadas está na quantidade de balizas e linhas d’água geradas. O
vazio encontrado na popa e proa da embarcação é causado pela pouca informação existente nas
duas extremidades. Esta discretização mais pobre na popa e proa não afeta o cálculo de suas
propriedades através do método proposto por Alvarez e Martins [1].
Por outro lado, nota-se nitidamente que quanto maior a quantidade de linhas inseridas à
embarcação, mais “carenada” ou “suave” fica sua geometria. A desvantagem está na
quantidade de pontos avaliados, o que necessita mais tempo de processamento.
Fig. 4: Interpolação de casco de deslocamento para (plano de balizas): 15 balizas e linhas
d’água (à esquerda e acima), 30 balizas e linhas d’água (à direita e acima), 60 balizas e
linhas d’água (à esquerda e abaixo), 150 balizas e linhas d’água (à direita e abaixo).
A Fig. 5 mostra o mesmo casco em três dimensões.
Fig. 5: Interpolação de casco de deslocamento para 300 balizas e linhas d’água (casco em
três dimensões).
3. CÁLCULO DAS PROPRIEDADES HIDROSTÁTICAS
O cálculo de algumas propriedades hidrostáticas faz-se necessário devido às restrições que são
impostas dentro do problema de otimização, tais como deslocamento e critérios de estabilidade
( KM transversal). Além disso, a superfície molhada faz parte da formulação para cálculo da
resistência ao avanço. Podem-se obter estas propriedades através da geração de uma malha
sobre a superfície do casco e fazendo-se uso do cálculo vetorial. O procedimento para o
levantamento das curvas hidrostáticas que será descrito aqui foi retirado de Alvarez e Martins
[1].
Imagine um cubo em que sejam conhecidas as posições dos centros de cada uma de suas faces
e que cada um dos vetores de módulo igual à área esteja posicionado exatamente sobre este
ponto, conforme mostra a Fig. 6.
Z
O
Y
X
Fig. 6: Cubo utilizado para exemplificação do procedimento para determinação das
características hidrostáticas a partir da geometria de um corpo (cubo com vetores-áreas
sobre painéis).
Com base na álgebra linear, pode-se mostrar que sendo Ci a coordenada do centro de cada uma
das faces em relação à origem O e Ai cada um dos vetores cujo módulo é a área da face do
cubo (com i = 1,..., 6), o volume do paralelepípedo pode ser expresso por:
 6

 6
  6

 ∑ Ai ∗ (Ci − O ) +  ∑ Ai ∗ (Ci − O ) +  ∑ Ai ∗ (Ci − O )
 i =1
 X  i =1
Y  i =1
Z
V=
3
(9)
Na verdade, o volume pode ser obtido unicamente por cada uma das três parcelas desta
expressão. Objetivando-se reduzir as imprecisões numéricas, calcula-se o volume como sendo
a média das três. Extrapolando-se o resultado para o caso de uma forma geométrica genérica
( n faces ou n painéis), vê-se que o volume de um sólido facetado é:
 n

 n
  n

 ∑ Ai ∗ (Ci − O ) +  ∑ Ai ∗ (Ci − O ) +  ∑ Ai ∗ (Ci − O )
(10)
 i =1
 X  i =1
Y  i =1
Z
V=
3
Com o mesmo princípio apresentado nesta formulação para o cálculo do volume, podem-se
encontrar as demais propriedades hidrostáticas de um corpo qualquer.
Considere inicialmente quatro pontos em um painel ( P1 , P2 , P3 e P4 ):
P1 = ( x1 , y1 , z1 ) , P2 = ( x2 , y2 , z2 ) , P3 = ( x3 , y3 , z3 ) e P4 = ( x4 , y4 , z4 )
r
r
r
r
v1 = P2 − P1 , v2 = P4 − P1 , v3 = P4 − P3 e v4 = P2 − P3
(11)
(12)
Com estes pontos, pode-se calcular a projeção da área nas três direções XYZ e a área do painel,
pelas expressões:
r r
r r
r
v1 × v2 ) + ( v3 × v4 )
(
(13)
A ( x, y , z ) =
2
r
A ( x, y , z ) = x 2 + y 2 + z 2
(14)
Para o cálculo da Equação (13) consideram-se dois painéis triangulares, garantindo-se que
ambos sejam planos.
Também é possível, através do cálculo vetorial, encontrar a distância ( Ci − O ) entre o centro
do painel e a origem do sistema de coordenadas, definindo, assim, as propriedades de cada
painel que serão utilizadas.
De posse da Equação (14), pode-se encontrar a área da superfície molhada, bastando para isso
somar o módulo das áreas de todos os painéis, ou ainda:
n
r
SW = ∑ Ai ( x, y, z )
(15)
i=0
Somando-se todas as projeções das áreas dos painéis no plano XY , pode-se obter a área do
plano da linha d’água, ou:
n
r
AWL = ∑ − Ai z
(16)
i =0
r
r
onde Aiz é a coordenada z do vetor Ai .
Para o cálculo do LCF , é necessário somente calcular o ponto no plano de flutuação onde a
área a ré deste é igual a área avante. Para isso, basta utilizar a expressão:
n
r
− Ai z .C X
∑
LCF = i = 0 n r
(17)
z
−
A
∑ i
i =0
onde C X é a coordenada x do ponto C .
Analogamente, o TCF pode ser obtido por:
rz
n
TCF =
∑ −A
i
i =0
.C Y
(18)
r
∑ − Ai z
n
i=0
onde C Y é a coordenada y do ponto C .
De posse destas duas propriedades, pode-se agora calcular os momentos de inércia longitudinal
e transversal da área do plano de flutuação. A dedução do momento de inércia próprio de cada
painel ( I Li e I Ti ) pode ser encontrada em Alvarez e Martins [1]. Assim, as expressões ficam:
n
r r
2
I L = ∑ − Ai z . CiX − TCF + I Li
(19)
( (
r r
= ∑ ( − A .(C
))
i =1
n
IT
z
i =1
i
Y
i
− LCF
) )+ I
2
i
T
(20)
Outra propriedade bastante importante é a posição do centro de carena. Como o centro de
carena está localizado no centro geométrico da parte submersa da unidade flutuante, suas
coordenadas podem ser obtidas por (em relação a cada eixo):
r
n
 r X r X CiX 
∑
 Ai * Ci *

(21)
2 
i =1 
X
LCB = CB =
V
r
n
r
 Y r Y CiY 
∑
 Ai * Ci *

(22)
2 
i =1 
Y
TCB = CB =
V
r
n
r
 Z r Z CiZ 
∑
 Ai * Ci *

(23)
2 
i =1 
Z
KB = CB =
V
(
)
(
)
(
)
r
onde V é o volume do corpo submerso, calculado pela Equação (10), e C iZ é a coordenada z
r
do vetor C i .
Por último, podem-se obter, a partir das propriedades já calculadas, o BM longitudinal e
transversal, respectivamente, pelas expressões:
IL
V
I
BM T = T
V
BM L =
(24)
(25)
Os resultados da aplicação destas propriedades podem ser encontrados em Alvarez e Martins
[1].
4. CÁLCULO DA RESISTÊNCIA AO AVANÇO
Basicamente, os métodos analíticos (Cf. Rawson e Tupper 0) consideram que a resistência total
Rt de um navio é composta por duas parcelas: residual ( Rr ) e atrito ( R f ) . Uma primeira
aproximação para a parcela residual pode ser obtida considerando-se somente a resistência
devido a ondas ( Rw ) .
Logo, pode-se modelar simplificadamente a resistência total de um casco por:
Rt = Rw + R f
(26)
O primeiro termo desta soma, Rw , pode ser obtido através do método proposto por Michell, em
1898 0.
No desenvolvimento de seu método, Michell considerou algumas hipóteses básicas, a saber:
•
•
•
•
•
•
•
A altura da onda é pequena quando comparada ao seu comprimento. Desta
forma, o movimento das partículas da água é tão pequeno em relação à
velocidade de avanço do navio que as derivadas de segunda ordem da
velocidade podem ser desprezadas;
Os efeitos de trim e banda são pequenos o suficiente para não afetar o
movimento das ondas substancialmente;
Os ângulos entre a superfície do casco e o plano de simetria longitudinal do
navio são pequenos em todos os pontos desta superfície (consideração de cascos
finos, ou ainda, cascos cuja relação comprimento-boca é grande);
A embarcação está em velocidade constante;
O fluido é não-viscoso e irrotacional, o que permite especificar um potencial de
velocidades φ ;
As condições de superfície livre devem satisfazer as condições de águas calmas
na superfície (em todos os pontos da superfície do casco, a velocidade normal
relativa a ele deve ser nula e a pressão na superfície da água deve ser igual à
atmosférica);
As condições de contorno a serem satisfeitas para a superfície do casco são
assumidas mantidas no plano transversal a meia-nau (seção média) e apenas a
componente da velocidade perpendicular a este plano é considerada (associada à
condição do item anterior).
Esta teoria tem sido bastante estudada no que se refere a sua aplicabilidade. Encontram-se na
literatura muitos experimentos atestando sua acuracidade, como apresentado por Havelock (0,
[8], [9], [10] e [11]) em muitos de seus trabalhos.
Em sua forma mais genérica, a expressão para cálculo da resistência devido a ondas por
Michell pode ser expressa da seguinte forma (Nowacki, Bloor e Oleksiewicz 0):
4 .ρ . g 2
Rw =
π .v02
π
∫ (H
2
2
s
+ H c2
0
) cosdθ θ
3
(27)
em que:
∂ζ ( x, z )  − v 2 . cos 2 θ 
 g .x 
.e
.sen 2
H s = ∫∫
dΩ
∂x
 v . cos θ 
Ω
(28)
∂ζ ( x, z )  − v 2 . cos 2 θ 
 g .x 
.e
. cos 2
H c = ∫∫
dΩ
∂x
 v . cos θ 
Ω
(29)


g .z
g .z


∂ζ ( x, z )
é a derivada no ponto (x, ζ (x, z ) ,z) em relação ao eixo longitudinal X , θ é o
∂x
ângulo que as ondas generalizadas formam com o eixo longitudinal da embarcação, g é a
onde
aceleração da gravidade e Ω é uma superfície plana definida em R 2 que contém o plano de
simetria XOZ onde a função ζ está definida.
Uma alternativa proposta em Nowacki, Bloor e Oleksiewicz 0 é aproximar a primeira integral
em θ por um somatório. Os autores propõem que a integral em θ seja calculada por:
2.ρ .g 2 n
Rw =
(30)
∑ H s2 + H c2 .sec3 θl
n.v 2 l =1
(
)
onde n − 1 é igual ao número de trechos que será dividido o intervalo de 0 a π 2 e
 2l − 1 
θl = 
π e 1 ≤ l ≤ n . Para o cálculo de H s e H c , pode-se utilizar o método de integração
 4n 
de Simpson, facilmente encontrado na literatura. Tuck; Scullen e Lazauskas 0 comentam, por
outro lado, que a utilização do método de quadratura por Filon [4] é mais preciso que este
quando θ → π 2 .
Segundo Lewis [12], o coeficiente Cw de resistência devido à geração de ondas pode ser dado
por:
Rw
Cw =
(31)
1
ρ .S .v 2
2
4.1 Validação do Método de Michell
Para validação da implementação do cálculo da resistência devido à geração de ondas (Rw ) por
Michell e de seu coeficiente Cw , foram feitas algumas simulações. No entanto, neste relatório
será apresentada uma só delas, a título de exemplo. Para todos os casos simulados, foram
comparados os resultados obtidos a partir da regressão de Holtrop [12]4 e também com os
obtidos experimentalmente pela série de Taylor 0. Retomando o que foi comentando no início
deste trabalho, os cascos em estudo são de deslocamento e possuem um corpo paralelo médio.
Conseqüentemente, têm um alto valor para o coeficiente de seção média (C M ) , definido pela
relação entre a área da seção média submersa a meia-nau e pelo produto de sua boca e calado.
A série de Taylor aplica-se aos cascos analisados, uma vez que suas formas são próximas as
estudadas por Morton 0.
No exemplo de casco aqui demonstrado, foi aplicada a teoria de Michell para cálculo da
resistência devido a geração de ondas, tomado como padrão da série de Taylor, cuja origem
remete às formas do navio de cruzeiro inglês Leviathan. Sua geometria está apresentada na Fig.
7.
Fig. 7: Vista superior do casco padrão da série de Taylor.
Sua forma possui um corpo paralelo médio pequeno quando comparado ao seu comprimento
total e relação L B = 11.39.
A Tabela 1 apresenta as características desta geometria e o Gráfico 1 o resultado obtido para a
curva de Cw em função do número de Froude. O comprimento do corpo paralelo médio é cerca
de 10% o comprimento do navio.
Tabela 1: Dimensões principais do casco padrão da série de Taylor.
Comprimento (L)
Comprimento na linha d’água (Lwl)
Boca (B)
Boca na linha d’água (Bwl)
Comprimento do corpo paralelo médio
Quantidade de intervalos em θ
Quantidade de balizas e linhas d’água
Faixa de variação da velocidade
20.00 m
19.88 m
1.76 m
1.74 m
2.00 m
40
150
Calado (H)
Smolhada
Vsubmerso
Cp
Cb
Cwp
CM
2 a 11 m/s
0.61 m
37.14 m2
10.82 m3
0.56
0.51
0.66
0.90
Verifica-se ainda a proximidade entre os resultados experimentais (Taylor) e a predição pelo
método de Michell. A estimativa por Holtrop apresenta uma variação dos resultados obtidos
quando comparados com os demais métodos, porém apresentando a mesma tendência.
4
Para o método de Holtrop, foi utilizado um programa desenvolvido por Parsons, M. G., 1996, e disponível em
http://www-personal.engin.umich.edu/~parsons/470web/software_manuals.htm. Não foi desenvolvida a
formulação deste método em um programa, pois como já comentado, este método não é usado como objetivo final
do trabalho, mas como uma referência apenas.
Estimativa da resistência a ondas por Holtrop
Estimativa da resistência a ondas por Taylor
Estimativa da resistência a ondas por Michell
Gráfico 1: Curva do coeficiente Cw para o casco padrão da série de Taylor, através dos
métodos de Holtrop, Michell e série de Taylor, em relação ao número de Froude.
Como conclusões gerais destes gráficos, pode-se afirmar que o método de Michell apresenta
resultados muito bons em termos qualitativos, conforme já havia sido concluído em outras
bibliografias (Michelsen 0, por exemplo). As principais distorções que surgem, em geral, são
geradas principalmente por:
•
•
•
Não considerar a viscosidade do fluido, principalmente em baixos números de
Froude, onde este efeito é mais acentuado;
Baixa relação comprimento-boca, já que as fontes e sorvedouros são
considerados no plano central da geometria do casco e não em sua superfície;
Não consideração da variação da parte submersa na popa (em caso de popa
transom) para valores de Froude mais altos, bem como a existência de trim.
•
Wigley apud Lewis 0 realizou uma investigação para entender melhor a imprecisão dos efeitos
de escala de Cw devido a não inclusão da viscosidade. Isto leva a algumas imprecisões
numéricas e maior oscilação das curvas deste coeficiente quando se compara a resultados
experimentais. Wigley atribui tais diferenças a três razões principais:
•
•
Erros devido a simplificações introduzidas para tornar possível a análise
matemática;
Erros gerados pela desconsideração dos efeitos viscosos em Rw ;
•
Erros devido ao efeito do movimento de ondas em R f .
•
Wigley comenta que o primeiro erro é reduzido com o aumento da velocidade do navio, já que
se torna desnecessária a hipótese de que a velocidade gerada pela formação de ondas seja
pequena em relação a da embarcação. O segundo erro depende do número de Reynolds e,
conseqüentemente, do tamanho do modelo, sendo reduzido com o aumento de seu
comprimento. Já a última consideração afeta as faixas de Froude mais altas, uma vez que não
há a consideração do trim e nem afundamento da popa transom, os quais ocorrem mais
rapidamente para altas velocidades.
Conforme apresentado na Equação (26), é possível traçar a curva total de resistência ao avanço
para um casco, assim como do coeficiente de resistência total Ct , que também pode ser
representado em um primeiro momento como sendo a soma das parcelas de Cw e C f .
5. MÉTODO DE OTIMIZAÇÃO DA RESISTÊNCIA AO AVANÇO
O método de otimização é fundamental em um trabalho que se propõe buscar um ponto ótimo
para um dado problema. Primeiramente porque ele depende da modelagem do problema
abordado, além de permitir ainda alterar e variar os parâmetros a serem otimizados ao mesmo
tempo que contempla as restrições impostas. Segundo, porque é um processo extremamente
custoso em grande parte das situações, já que deve buscar dentre as infinitas soluções aquela
que melhor atende às exigências consideradas.
Logo, o método de otimização deve estar diretamente relacionado ao tipo de problema que se
procura resolver (linear, não-linear, com restrições, sem restrições, etc.).
Neste caso em estudo, os parâmetros que serão variados estão relacionados a duas das
dimensões principais do navio: comprimento e boca.
Também este problema deverá conter restrições, de modo a garantir que a forma final do navio
seja preservada. Entenda-se forma aqui como sendo o tipo de casco, ou seja, espera-se que o
resultado seja também um casco de deslocamento e não de planeio, por exemplo. Contudo,
estas restrições não são muitas vezes simples equações lineares. Trata-se de inequações nãolineares, já que se está falando do cálculo de volume e estabilidade de um navio. Como já
comentado, para se ter uma idéia da complexidade do problema, eles são realizados em
programas desenvolvidos a parte, como é o caso do NAVSTAB. Daí, entende-se a dificuldade
de representação de restrições em simples equações lineares.
Como já visto também, embora sua utilização seja fundamental em todo processo de
otimização, a concepção do método não está sendo desenvolvida neste trabalho. Buscou-se um
método que estivesse disponível em programas comerciais de modo a aplicá-lo ao problema
abordado. Neste trabalho, fez-se uso da função fmincon do programa MATLAB®.
5.1 Procedimento de Otimização da Resistência ao Avanço
Após a modelagem de um navio através de funções B-Splines cúbicas de superfície cujas cotas
são fornecidas inicialmente, pode-se definir todo o casco através de equações. A partir destas é
possível gerar painéis e, com a ajuda do cálculo vetorial, calcular suas propriedades
hidrostáticas.
A definição do casco também permite o cálculo da resistência ao avanço através de métodos
analíticos, os quais levam em conta a forma da embarcação. Dentro deste contexto, e como já
descrito, o objetivo final deste trabalho é utilizar toda teoria até aqui apresentada e aplicar ao
caso da otimização da forma de um casco de deslocamento, de modo a garantir uma resistência
ao avanço menor que a do casco original para uma dada velocidade de avanço.
Considere o navio apresentado na Fig. 2 e que foi modelado por uma função B-Spline cúbica de
superfície, de acordo com a Equação (7). Com o intuito de reduzir a resistência ao avanço,
assuma que a maior parte dela é dada pela parcela de resistência a ondas Rw . Assuma ainda que
o número de Froude não é tão baixo, de modo a desconsiderar as oscilações iniciais, como
observado no Erro! Fonte de referência não encontrada.. Esta componente da resistência
pode ser calculada através do método de Michell apresentado na Equação (27).
Além da definição da função objetivo determinada por esta equação, são necessárias restrições
que garantam não somente que o casco terá ao final uma forma “aceitável” dentro do conceito
de um casco de deslocamento, mas também ajudem a reduzir o universo de busca da solução
ótima.
Dentre muitos parâmetros que definem a embarcação quanto a sua geometria, foram separados
neste trabalho alguns a serem usados de modo a assegurar que a forma final seja coerente com
a inicial imaginada (navio semelhante). Entre os parâmetros escolhidos neste estudo estão:
•
•
•
•
Comprimento: limite de variação máxima a partir do comprimento original da
embarcação;
Relação comprimento/boca: limite de variação máxima a partir da relação
original dado que este fator é importante na consideração da formulação de
Michell;
Volume: limite da variação máxima a partir do volume total original da
embarcação, garantindo que tanto alteração na boca quanto no comprimento não
afetem o volume total, de maneira a não descaracterizar a forma original do
casco e levando em consideração não somente as obras-vivas5;
Estabilidade ( KM transversal ) : limite de variação máxima do parâmetro que está
diretamente relacionado à estabilidade do navio a partir de sua estabilidade
inicial.
Além destas restrições relacionadas aos parâmetros do navio, deve-se buscar por um processo
cujo resultado final seja um casco com forma semelhante ao original ou, em outras palavras,
tenha aparência de casco de deslocamento e com a permanência de um corpo paralelo médio.
Uma das maneiras de se garantir isso é estabelecendo que os pontos onde as derivadas
primeiras das coordenadas y são nulas em relação ao eixo longitudinal da embarcação ( X )
(corpo paralelo médio) permaneçam nulas.
Além das derivadas constantes em relação ao eixo longitudinal no corpo paralelo médio, é
preciso certificar-se também que o costado do navio seja preservado. Para isso, pode-se adotar
que as derivadas das coordenadas y , agora em relação ao eixo vertical Z , permaneçam
constantes e iguais a zero. Esta restrição deve ser imposta de maneira que não haja distorção na
malha e que não ocorra ondulação ao longo do casco.
Outra limitação bastante importante e que à primeira vista pode parecer inútil é uma restrição
r
do tipo caixa para as variáveis de projeto dijx, y (pontos de controle da função B-Spline de
superfície). A imposição desta restrição garante uma busca da solução dentro de um domínio
5
Obras-vivas refere-se a parte do casco abaixo da linha d’água de projeto.
controlado. Assim, a cada solução ótima encontrada, pode-se permitir que a variável de projeto
tenha nova variação percentual a partir do seu valor ótimo encontrado, novamente limitada as
mesmas restrições.
Desta maneira, o problema de otimização proposto seria resumido por:
4.ρ.g 2
min
r x, y π .v02
dij
π
dθ
∫ ( H ( d ) + H ( d ) ) cos θ
2
2
s
r x, y
2
c
ij
r x, y
ij
3
sujeito a:
0
dijxmin ≤ dijx ≤ dijxmax
dijymin ≤ dijy ≤ dijymax
Lmin ≤ LT ≤ Lmax
L
 LT  ≤ LT
≤  T 
 B 
B
T min
T

 BT max
Volumemin ≤ VolumeT ≤ Volumemax
(32)
KM min ≤ KM t ≤ KM max
∂y ( u , v )

= 0

∂x
 ( ∗)
∂y ( u , v )
= 0
∂z

( ∗) somente nos pontos em que inicialmente tenham estes valores nulos.
( )
( )
r x, y
r x, y
onde H s dij
e Hc dij
são dadas pelas Equações (28) e (29), respectivamente, sendo que o
r x, y
parâmetro dij refere-se aos pontos de controle nas direções X e Y , dado que a cota na
direção Z (calado) não sofre variação. As restrições de inigualdade para comprimento ( LT ) ,
L
comprimento/boca  T B  , volume (VolumeT ) e estabilidade ( KMt ) são delimitadas por um

T 
valor de máximo e mínimo.
∂y ( u , v )
∂y ( u , v )
Já as duas derivadas
=0 e
= 0 resultam em:
∂x
∂z

ka 
x
La + ka −1 Lb + kb −1 r ∂N i  u =
Llag  k

d
.
.N j b ( v )
r
(33)
∑
∑
ij
∂r ( u , v )
∂
x
i =0
j =0
=
∂x
Llag
La + ka −1 Lb + kb −1
r
∂r ( u , v )
∂z
∑ ∑
=
i =0
j =0

∂N kj b  v = z

r k
D

bal

d ij .N i a ( u ) .
∂z
Dbal
(34)
onde o parâmetro u = x L (coordenada x do ponto em relação ao comprimento Llag da linha
lag
d’água), v = z
D
Dbal (coordenada z do ponto em relação ao pontal bal da baliza).
O problema de otimização proposto garante que a forma final da embarcação tenha mesma
característica da inicial. No entanto, o tempo de processamento do problema aumenta quanto
maior for a quantidade de variáveis (pontos de controle) a serem alteradas dentro da função
objetivo, ou seja, quanto maior a discretização do casco, maior o tempo até que a forma seja
otimizada.
6. CONCLUSÃO
Existem alguns trabalhos (Gammon, 0 e Harries e Nowacki, 0, por exemplo) que enveredam
por esta mesma linha de análise e redução da resistência ao avanço. No entanto, em sua grande
maioria, são feitas análises para cascos com formas um pouco mais simples. Geralmente com
geometrias de casco mais facilmente trabalhadas como é o caso do casco de Wigley.
A proposta deste trabalho visou principalmente estudar, modelar, descrever e propor um
método de otimização de embarcações com a existência de um corpo paralelo médio. Sua
natureza ocasiona complicações no procedimento de análise visto que a forma do casco não
pode ser descaracterizada. Para que isso não ocorra, abre-se mão de algumas “liberdades”
quanto a variação das variáveis de projeto, introduzindo-se restrições que não permitam uma
deformação ou ondulação na malha do casco.
Quanto a modelagem inicial através de curvas B-Splines cúbicas de superfície, notou-se a
importância em se ter uma informação das cotas do navio em sua popa e proa bastante
detalhada. A falta de uma informação precisa pode gerar um resultado menos preciso e acurado
ao final do processo. No entanto, ainda com esta deficiência de informação, percebe-se que o
resultado tanto da modelagem quanto das propriedades hidrostáticas é bastante preciso. Isso dá
uma maior segurança para afirmar que funções B-Splines cúbicas podem modelar um casco
com boa precisão.
No caso proposto neste trabalho, como a idéia da modelagem é poder gerar pontos iniciais para
um processo de otimização posterior, o processo de interpolação mostra-se bastante eficaz e
sua relação tempo de implementação-tempo de processamento é bem mais vantajosa.
Em particular, para o método de Michell usado neste trabalho, recomenda-se que algumas
análises prévias sejam feitas. Primeiro quanto a aderência das hipóteses adotadas pelo método
quanto à relação comprimento-boca, entre as demais levantadas no capítulo referente. Segundo
quanto a análise de sensibilidade de acordo com a variação dos parâmetros que compõem a
fórmula de Michell, como o intervalo de variação do ângulo θ , quantidade de balizas e linhas
d’água e principalmente a velocidade de projeto que se vai adotar para a otimização. Viu-se ao
longo deste trabalho que para um baixo número de Froude os resultados da resistência tendem
a ser menos precisos que para valores maiores, uma vez que o efeito da resistência de ondas é
maior no segundo caso, uma vez que um valor baixo para o número de Froude está associado à
resistência ao atrito.
Logo, é muito importante garantir antes de se aplicar o processo de otimização que o cálculo da
resistência a partir do método de Michell apresenta bons resultados e que são aplicáveis ao
problema formulado.
Já o método de otimização dado pela função fmincon do MATLAB® garante uma
convergência para o problema apresentado. Sua grande desvantagem está associada a
necessidade de estimativa da derivada de cada variável de projeto tanto para a função objetivo
como para as restrições não lineares. Assim, quanto maior a quantidade de variáveis de projeto,
maior o tempo de processamento. A redução sensível destas variáveis através da utilização de
fatores de escala mostrou-se bastante eficiente em termos de tempo de processamento, levando
a bons resultados. Há de se ressaltar que se deve trabalhar as variáveis de projeto dentro de um
universo controlado de possíveis, garantido através das restrições impostas.
As restrições são também eficientes para evitar distorções e discaracterizações na malha e
forma dos cascos. Pode ser que existam outras maneiras de se abordar o problema. Estas, no
entanto, mostraram que é possível trabalhar com cascos de deslocamento e obter variação da
forma sem que alterações em suas características prejudiquem sua forma.
Por último, a aplicação de toda a teoria consolidada neste trabalho permite a utilização para um
casco padrão de deslocamento, apresentado na Fig. 2. Trabalhos futuros podem seguir o
processo proposto nesta dissertação e criar novas possibilidades de avaliação da função
objetivo, melhorando o desempenho de processamento computacional e ampliando o escopo do
procedimento.
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Atributos de Embarcações. 2004. Tese (Livre Docência) – Escola Politécnica, Universidade
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Soc. Edinburgh, 1929. 49v, páginas 38-47.
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Wave Resistance for High-Speed Vessels. Japão: 24th Symposium on Naval Hydrodynamics,
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