1.
O que são números?
Até agora não temos uma explicação clara e definitiva1 para dizermos o que é
um número. Por isso, iremos considerar que o agrupamento de símbolos, conhecidos ou
combinados anteriormente, e algarismos2 é um número.
Exemplos:
* 1  é um número e um algarismo;
* 24  é um número e tem dois algarismos;
* 0,1  é um número; agrupa algarismos e a vírgula;
* 0,3...  nº3; agrupa algarismos, a vírgula e as reticências4;
*
*
*
 número; agrupa algarismos, a vírgula e o traço;
 número; agrupa algarismos e a barra de divisão;
 números; agrupam algarismos e os sinais “–”e “+”;
*
 número;
*
 número; agrupa algarismos e o símbolo √;
*
*
 número;
 número pi;
* número ;
* i  número imaginário que representa a
;
 números; agrupam abreviaturas de operadores
*
matemáticos e objetos que estão sendo operados.
*
 número; agrupa a abreviatura de um operador matemático e objetos
que estão sendo operados.
*
 número; agrupa algarismos, o símbolo √ e a operação
matemática que não pode ser realizada com os números neste formato;
*
5
 número; agrupa todos os números que já vimos e a
operação matemática que está indicada.
1
Chamamos, na matemática, as explicações claras e definitivas de definição.
Algarismos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9. Existem 10.
3
Abreviação de número.
4
3 pontos na horizontal que dão a ideia de continuação
5
Determinante.
2
Não consideraremos números: expressões algébricas6, equações7 e matrizes8.
São símbolos matemáticos que fazem referência a números.
2. Números naturais9
Se uma pessoa pede a outra que pense em um número, o mais comum é que este
número se pareça com 1, 2, 5, 25, 27, 50, 155 etc. A estes números, que vem a nossa
mente com naturalidade, e que são apenas agrupamentos de algarismos, damos o nome
de números naturais. No sistema de numeração indo-arábico10 (o que tem 10 algarismos
e é conhecido, também, como sistema decimal) a posição do número é que diz o seu
valor. Ou seja, quanto mais à esquerda11 um algarismo estiver, na escrita de um número,
maior será a quantidade representada por ele.
Exemplo:
Em 563, 5 representa uma quantidade maior que o algarismo 6, pois 5 está na
posição das centenas, representando número 500, e os 6 está na posição das dezenas,
representando a quantidade de 60.
O valor que um algarismo assume, de acordo com a posição que ele ocupa na
composição de um número, chama-se valor relativo12 ou valor posicional.
A posição que um algarismo ocupa em um número é conhecida como ordem. A
cada três algarismos (três ordens), da direita para esquerda, formamos uma classe. A
primeira classe de algarismos (as três ordens mais a direita) recebe o nome de classe das
unidades. Nesta classe encontramos a ordem das unidades, a ordem das dezenas de
unidades (ou dezenas) e a ordem das centenas de unidades (ou centenas).
Como assim:
CLASSE DAS UNIDADES
C
D
U
CENTENAS DE UNIDADES DEZENAS DE UNIDADES UNIDADES
Depois vem a classe dos milhares:
6
x2, é uma expressão algébrica.
sen 30° = 0,5 é uma equação.
8
Matrizes = uma tabela de números cercada por colchetes [ ] ou parênteses ( ).
9
Muitas faculdades contém a disciplina de matemática discreta. Costuma ser uma disciplina difícil,
embora lide com os números naturais.
10
Os símbolos e as estruturas deste sistema foram criados pelos hindus e espalhados pelo mundo através
dos árabes.
11
Nós, brasileiros, somos um dos povos que escreve da esquerda para a direita. ()
12
Relativo é quando existe uma relação. O valor é relativo, pois existe uma relação entre a posição e a
quantidade representada pelo algarismo.
7
CLASSE DOS MILHARES
CM
DM
CENTENA
DE MILHAR
DEZENA
DE
MILHAR
CLASSE DAS UNIDADES
UM
UNIDADE
DE MILHAR
C
D
U
CENTENA DEZENA UNIDADE
Podemos colocar um ponto (.) para separarmos as classes.
Após a classe dos milhares vem a dos milhões depois, dos bilhões, depois dos
trilhões...
A partir da classe dos milhares o “nome” do número tem de trazer o
complemento da classe pertence.
Como assim:
Para escrever, como se lê, o número 483044, escrevemos quatrocentos e oitenta
e três mil e quarenta e quatro. Ou seja, escrevo a classe dos milhares e acrescento a
palavra mil. Em seguida, escrevo a classe das unidades.
Atenção para quando houver zeros no número.
2. 1 Reta dos naturais e outras particularidades
Já vimos que os números naturais são os números que existem pelo
agrupamento de algarismos e que podem conter pontos na separação de classes. Vamos
dizer que os números naturais começam no zero (alguns grupos matemáticos dizem que
começa no um), assim, para conseguirmos o próximo natural adicionamos um. Para
conseguirmos o próximo, adicionamos mais um e seguimos assim sucessivamente.13
Por isso dizemos que “qualquer número natural, exceto o zero, possui um
antecessor menor que ele.”
Por esse motivo dizemos que os números naturais são infinitos.
Todos os número naturais formam o conjunto dos números naturais que recebe o
símbolo
para identificá-los. Quando não queremos considerar o zero, escrevemos
Podemos organizar os números naturais (para poder compará-los) em uma reta
que recebe o nome de reta numérica. Essa reta tem o seu crescimento da esquerda para
direita, por esse motivo dizemos que ela é orientada.
13
Existe uma forma, na matemática, para tratar esses comportamentos contínuos dos números naturais e
provar que os naturais são obtidos da soma de 1 em 1. Chama-se indução.
.
Como o sucessor é sempre maior, podemos dizer que existe uma ordem nos
números naturais. Por isso foram criados símbolos para ajudar na comparação dos
números naturais. São eles: “menor que” (<) e “maior que” (>). Para não confundir
esses símbolos é importante pensar para onde o bico aponta. O número menor deve
estar sempre à frente do bico e o maior a frente da boca. Se não for assim, a afirmação
será mentira.
Como assim:
7 < 9 é verdade;
2 > 50 é mentira;
8 < 6 é mentira;
6 > 4 é verdade;
5 > 27 é mentira;
2 > 2 é mentira;
3 < 10 é verdade;
4 < 4 é mentira.
Existe também o “maior ou igual que” ( ) e o “menor ou igual que” ( ). Para
estes símbolos, os números podem até ser iguais, em cada lado do símbolo.
Exemplos: 7
4; 8
8; 9
7; 99
99; 5
73; 60
60.14
Quando queremos saber quantos números estão entre dois outros números,
precisamos saber se os números mencionados estão na contagem ou não.
Exemplo: 1) Se lemos um livro de 63 páginas e queremos saber quantas páginas
lemos, começando na página 1 e lendo todo o livro, temos de fazer 64 - 1 ou 63 - 0, pois
a página 1 foi lida. Se começássemos na página 5, teríamos que fazer ou 64 - 5 ou 63 4, pelos mesmos motivos.
2) Alguém que entrou em um curso universitário em 2009 e sabe que o curso
deve durar, no mínimo 4 anos, pode tentar fazer tal conta assim: 2009 + 4 = 2013. Mas é
preciso lembrar que em 2009 o curso já estará sendo cursado. Assim, o ano em que o
status do curso era ainda zero é 2008 (2008 + 4 = 2012), ou a pessoa pode contar os
anos nas mãos para confirmar o resultado: 2009, 2010, 2011, 2012. Como podemos ver,
se 2009 já faz parte da nossa contagem, não podemos somar15 quatro anos a ele para
descobrir qual será o último ano que a pessoa estará cursando a universidade, isto é, em
nossa régua do tempo ele já é a posição 1 do curso, e como devemos medir começando
em zero, ...
14
15
Todas as afirmações desta parte são verdadeiras.
Somar significa juntar, contar junto.
Dentro dos números naturais existem outras sequências importantes de números:

Números pares: São aqueles em que, se tivermos uma
quantidade de objetos que conseguimos reunir em duplas, essa
quantidade será par. Também são conhecidos por terem os algarismos 0,
2, 4, 6 e 8 na ordem das unidades.

Números ímpares: São aqueles em que, se tivermos uma
quantidade de objetos que conseguimos reunir em duplas e sempre sobra
um, essa quantidade será ímpar. Também são conhecidos por terem os
algarismos 1, 3, 5, 7 e 9 na ordem das unidades.

Quadrados perfeitos: formam um quadrado perfeito.

Triangulares: formam triângulos perfeitos.

Primos: só podem ser divididos por 1 e por eles mesmos
(2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 21, 23, 29, ...)
Outra particularidade desse conjunto é que se dois números são vizinhos (são
sucessor e antecessor) eles nunca estarão na mesma tabuada exceto do a do um.
Como vimos os números naturais têm ordem. Nesta, por usarmos os símbolos
indo-arábicos, a cada reunião de dez objetos que estamos trabalhando, passamos para a
próxima ordem.
Então,

A cada 10 unidades, temos uma dezena;

A cada 10 dezenas, temos uma centena;

A cada 10 centenas, temos um milhar;
Sendo assim, quando vemos um número natural podemos agrupá-lo ou
desagrupá-lo16.
Exemplo: 1198 = 1000 + 100 + 90 + 8
4099 = 4000 + 90 + 9
5709 = 5000 + 700 + 9
2. 2 Adição de números naturais
Existem duas ideias básicas em torno da adição: juntar quantidades e
acrescentar uma quantidade a outra já existente.
Exemplo:
○○○ + ○○○○ = ○○○ ○○○○
3+
4=
7
○○ + ○○○○○○ = ○○ ○○○○○○
2+
6=
8
Faça a tabuada das adições.
Depois que os antigos perceberam essas regularidades, criaram um mecanismo17
para soma utilizando o quadro de organizar os números.
Exm.:
U
C D U
M
1 3 0 2
+ 1 5 3 4
2 8 3 6
Assim, colocamos unidade debaixo de unidade, dezena debaixo de dezena,
centena debaixo de centena e assim por diante. Após, juntamos unidades com unidade,
dezena com dezena, centena com centena e assim por diante.
Acontece que a adição de algumas quantidades de unidades ultrapassam o valor
9 (algarismo de valor mais alto) virando dezenas agrupadas, ou não, com mais unidades.
Por isso, precisamos passar para as dezenas a dezena encontrada.
16
17
Escrevê-lo como uma soma dos valores relativos.
Chamamos os mecanismos em matemática de algoritmos.
2000 + 800 +
+ 9000 + 300 +
11000 + 1100 +
40
20
60
+
+
+
7
6
13
10000 + 1000 + 1000 + 100 + 60 + 10 + 3
10000 + 2000 + 100 + 70 + 3 =
12173
Cada número que é adicionado, no algoritmo16 da soma, recebe o nome de
parcela. O resultado chama-se soma ou total.
2. 2. 1 Propriedade18 comutativa
Em uma adição, trocando as parcelas de lugar, a soma continua a mesma.
Exm.: 1) Quatro reais mais vinte e sete reais que tenho na carteira é igual a vinte
e sete reais que eu tenho, mais quatro que estou ganhando. 28 + 29 + 30 + 31
4 + 27 = 27 + 4 =31
2) Dois pássaros parados em um galho mais cinco voando é igual a cinco
pássaros mais dois parados.
2+5=5+2=7
2. 2. 2 Propriedade associativa
Para obter a soma de três parcelas, podemos juntar duas parcelas quaisquer e
depois adicionar o resultado à terceira parcela.
Exm.: 1) Se tenho uma nota de 10, uma de 5 e uma de 2 posso contar essa
quantia assim: (10 + 5) + 2 = 15 + 2 = 17 ou 10 + (5 + 2) = 10 + 7 = 17
2) Comprei uma blusa por 24 reais, um colar por 8 reais e, por último, um chinelo
por 12 reais. Posso fazer a soma dos gastos assim: (24 + 8) + 12 = 32 + 12 = 44. Mas, se
quiser lembrar melhor do meu gasto, posso fazer essa soma assim: 24 + (8 + 12) = 24 +
20 = 44. Posso ainda, usando a comutatividade, fazer: 24 + (12 + 8) = 24 + 20 = 44.
2. 2. 3 Elemento neutro
Numa adição se uma das parcelas é igual a zero, o resultado é igual a outra
parcela. O zero é o elemento neutro da adição.
Exm.: Num campeonato de futebol os resultados alcançados por 3 equipes foram
os seguintes:
18
Característica, particularidade.
TIME
VITÓRIAS EMPATES DERROTAS
UNIÃO
5
0
4
GARRA
3
6
0
FORÇA
0
7
2
Quantos jogos cada equipe disputou?
União: 5 + 10 + 4 = 5 + 4 + 0 = 9 + 0 = 9 (Pela propriedade comutativa, pela
propriedade associativa e pelo elemento neutro).
Garra: 3 + 6 + 0 = 9 + 0 = 9 (Pela propriedade associativa e pelo elemento
neutro).
Força: 0 + 7 + 2 = 0 + 9 = 9 (Pela propriedade associativa, pela propriedade
comutativa e pelo elemento neutro).
2. 3 Subtração de números naturais
Existem três ideias básicas em torno da subtração: tirar uma quantidade de outra,
completar quantidades e comparar quantidades.
Exm.: 1) Norberto tem 227 reais para comprar uma calça. Se a mesma custa
R$ 55,00; com quanto ele vai ficar?
Ou seja, ele precisa tirar 55 de 227.
227 – 55 = 172.
2) Juvenal tem 359 reais guardados e quer saber quanto falta para comprar
uma TV que custa R$ 600,00?
600 – 359 = 600 – (300 + 50 + 9)
600 – 300 = 300
300 – 50 = 250 
250 – 9 = 241
3) A pontuação de três crianças, que participaram de um jogo, foi esta:
Lucas
Rosana
Nando
1278 pontos 1895 pontos 2188 pontos
Podemos concluir que:
a) Rosana fez 617 pontos a mais do que Lucas: 1895 – 1278 = 617.
b) Rosana fez 293 pontos a menos que Nando: 2188 – 1835 = 293.
c) A diferença entre Nando e Lucas foi 910: 2188 – 1278 = 910
O algoritmo16 da subtração é semelhante ao da adição, mas é preciso estar
atento a alguns detalhes: O número que fica em cima chama-se minuendo; o de baixo,
subtraendo; e o resultado, resto ou diferença.
Dito isso, devemos sempre observar que, nos números naturais o minuendo tem
que ser maior que o subtraendo e que o resto (ou diferença).
Exm.:
U
C D U
M
1 9 5 4  Minuendo
–
6 1 2  Subtraendo
1 3 4 2  Resto ou diferença
Não dá para fazer 2 – 5.
Então vamos transformar uma dezena em 10 unidades.
U
C D U
M
3 4 6 12 Transformando uma centena
– 1 2 8 5
em 10 dezenas
? 7
2. 3. 1 Outros modos de subtrair
2000 – 1695 = ?
2000 – 1000 = 1000
1000 – 600 = 400 
400 – 90 = 310
310 – 5 = 305
Também:
2 0 0 0
– 1 6 9 5

1 9 9 9 + 1
– 1 6 9 5
0 3 0 4 + 1 = 305
E:
2 0 0 0 –1
– 1 6 9 5 –1 
1 9 9 9
– 1 6 9 4
3 0 5
2. 3. 2 Existem propriedades para a subtração?
Vejamos:

7 – 4 = 3;

4 – 7 = não existe nos naturais.
Logo, a subtração não é comutativa.

7 – (5 – 3) = 7 – 2 = 5;

(7 – 5) – 3 = 2 – 3 = não existe nos naturais.
Então, a subtração não é associativa.

5 – 0 = 5;

0 – 5 = não existe nos naturais.
Então, a subtração não tem elemento neutro.
Preciso contar a vocês que ninguém consegue somar mais do que duas parcelas
por vez. Assim, quando fazemos 136 + 155 + 147 somamos primeiro 136 + 155 e
depois juntamos o 147. Ou
1 3 6
1 5 5
+ 1 4 7
Primeiro somamos 6 + 5, ou 6 +
7, e depois adicionamos a unidade que
falta.
Vocês podem dizer que isso não quer dizer nada, mas isso é muito importante
para a subtração.
Pelo fato de as pessoas acharem que podem somar várias parcelas, também
acham que podem ter vários subtraendos. Mas isso não é verdade! O que podemos ver é
que a subtração não tem as mesmas propriedades que a soma e isso nos dias que se que
queremos fazer várias subtrações de um número, primeiro, devemos somá-las para
depois subtraí-las ou subtraí-las uma a uma.
Pegando o exemplo da blusa, colar e chinelo, e dizendo que temos 60 reais para
pagar, qual é o método correto para calcular o troco?
60 – (24 – 8) – 12 =
60 – (16 – 12) =
60 – (24 + 8 + 12) =
OU
60 – 44 = 16
60 – 4 = 56
2. 4 Revendo a reta numérica
Essa reta não é muito diferente de uma régua, mas só temos números naturais.
Assim:
O que ela nos diz?
Poderíamos desenhar a reta para o outro lado, mas por convenção não o faremos.
Só direi que ela pode ser desenhada de pé.
2. 4. 1 Reta na adição
E se ao invés de 7 tivéssemos 8? O resultado ficaria uma unidade maior. Seria 13.
Se tirássemos 1 dos 5? Teríamos um resultado uma unidade menor, 11.
Se tirássemos 3 dos 5 e acrescentássemos 3 aos 7? 7 + 3 = 10, 5 – 3 =2 e 10 + 2 = 12.
2. 4. 2 Reta na subtração

Mostramos que o terceiro algoritmo16, de subtrair uma mesma
quantidade do minuendo e do subtraendo, não altera o resultado.

Se diminuirmos só o minuendo do resto diminui.

Também mostramos o segundo algoritmo16.

Por fim, mostramos que aumentando o subtraendo, diminui o resto;
diminuindo o subtraendo, aumenta o resto.
2. 5 Multiplicação
Existem quatro ideias básicas em torno da multiplicação: adicionar parcelas iguais,
disposição retangular, número de possibilidades ou combinações e proporcionalidade.
Exm.: 1) Imagine um ferro de passar que está sendo anunciado a 10 vezes de 9
reais. Quanto pagarão por ele, ao todo? Vamos ter
9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9=
Logo
19
= 90
18 + 18 + 18 + 18 + 18=
36 + 36 + 18=
72 + 18 = 90
2) Quantos quadradinhos existem na malha abaixo?
Não precisamos contar um por um, apenas multiplicar
= 20 quadradinhos.
3) Uma fábrica, ao ser instalado num certo país, começou suas atividades
produzindo apenas três tipos de veículo: carros, camionetas e peruas. Esses veículos
eram fabricados nas cores branca e verde. Quantas configurações possíveis existem para
um veículo dessa fábrica?
19
Usaremos o ponto como sinal de.e multiplicação.
4) Cada rolo de arame contém 25 metros (m). Quantos metros temos com 2
rolos, 3 rolos e 15 rolos?
O algoritmo16 da multiplicação não é tão rígido para o caso de um número vezes
um algarismo, mas imitamos o algoritmo16 da soma para melhor visualizarmos os
acontecimentos.
 Passando a dezena do resultado para as dezenas gerais.
C D U
1
2
1
4
4
8
+ 1
2
0
1
6
8
O algoritmo16 da multiplicação pode ser mostrado com desenhos, através de uma malha
quadriculada. 13 16
30
100
(
)
60
(
18
)
(
)
Fazendo a decomposição de cada número podemos escrever 13 16 deste modo:
(10 + 3) (10 + 6) .
Assim:
13 16 = (10 + 3) (10 + 6)
= (10 10) + (10 3) + (3 10) + (3 6)
= 100 + 60 + 30 + 18
= 208
10 + 6
10 + 3
30 + 18
+ 100 + 60
130 + 78
208
Cada parte da multiplicação se chama fator que o resultado é o produto.

Não é errado colocar um zero na segunda parcela do algoritmo16 de
multiplicação por um número de dois algarismos.
16 13 = 16 (10 + 3) = 16 10 + 16 3 = 160 + 48 = 208
16
10 + 3
48
+
160
208
2. 5. 1 Propriedades
2. 5. 1. 1 Comutativa
A ordem dos fatores não altera o produto.
5 3 = 3 5.
(Tabuada)!
2. 5. 1. 2 Associativa
Para obter o produto de 3 ou mais fatores, fazemos o produto de dois e depois
com o terceiro.
2. 5. 1. 3 Elemento neutro
1 7 = 7 e 7 1 = 7; 12 1 = 12 e 1 12 = 12
O algarismo 1 é o elemento neutro da multiplicação. Qualquer número vezes um
não se altera.
2. 5. 1. 4 Elemento nulo
O zero é o elemento nulo da multiplicação, pois qualquer número vezes zero é
zero.
2. 5. 1. 5 Distributiva frente à soma
Em uma hora de trabalho, um funcionário faz 7 ovos de Páscoa pequenos e dois
grandes. Quantos ovos fará em cinco horas de trabalho?
Veja os cálculos que Ângela é Álvaro fizeram para achar o total de ovos.
Ângela
Álvaro
O total de ovos feitos em uma hora
A confeitaria faz 7 ovos pequenos e 2
igual a:
grandes por hora.
7 + 2 = 9 ovos.
Assim, em 5 horas fará:
Como em uma hora são feitos 9 ovos,
= 35 ovos pequenos.
em 5 horas serão feitos
= 10 ovos grandes.
= 45 ovos.
Resumindo:
O total de ovos é igual a: 35 + 10 = 45
Ângela faz assim:
ovos.
Resumindo:
Álvaro faz assim:
.
Calculando de modo diferente, Ângela e Álvaro obtiveram o mesmo resultado, isto é:
Esta é a propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição. Ela
também se aplica à subtração.
2. 5. 2 Nomes especiais
Quando multiplicamos por 2, podemos dizer que queremos o dobro de um
número ou seu valor duplo. Por 3, triplo. Por 4, quádruplo. Por 5, quíntuplo. Por 6,
sêxtuplo...
2. 5. 3 Multiplicação por potências de 10
Quando multiplicamos um número por números do tipo
, apenas
acrescentamos a quantidade de zeros de I atrás do outro que está sendo multiplicado.