Ensinos Fundamental e Médio
Professor: Alexandre
Disciplina: Matemática
Nome:_______________________________________________________
MATERIAL COMPLEMENTAR
DIVISIBILIDADE
Proposição 1: Sejam
i)
ii)
,
Tem-se que
e
.
.
Proposição 2: Sejam
então
Proposição 3: Sejam
tais que
Proposição 4: Se
. Então
são tais que
então
Proposição 5: Dados
,
, para todo
, temos que
.
Proposição 6:
. Temos que
Proposição 7:
. Temos que
Proposição 8:
. Temos que
Problemas:
1) Mostre que
.
2/06/2015.
2) Mostre que, para todo n,
a)
d)
g)
b)
e)
h)
c)
f)
i)
(OBM – 2012) Qual é a maior potência de 2 que divide
?
A) 2
B) 4
C) 8
D) 16
E) 32
PRODUTOS NOTÁVEIS
Diferença de quadrados
Soma e diferença de cubos
Quadrado perfeito
Cubo perfeito
Exercícios:
a3  b3
01 – A fração 2
, quando a = 93 e b = 92, é igual a:
a  ab  b 2
a)
b)
c)
d)
e)
0
185
932 - 922
1
185/2
x 8  y 8
02 – Se x e y são números reais tais que x. y  0 e x  y , a expressão  2  2
é
x . y .( x 4  y 4 )
equivalente a:
a) x y ( x  y)( x  y)
2
2
b) x y ( x  y)
2
2
2
 y x  y x 
 .  
 x y  x y 
2
2
d) xy ( x  y )
 y2 x2 
e) xy  2  2 
y 
x
c) 
a 2 b 2  a 3b
03 – Se a = 0,1 e b = 0,2 , o valor da expressão
é:
b2  a2
a) 1/300
b) 1/150
c) 1/100
d) 1/75
e) 1/200
04 - Simplificando a expressão
x y yz zx
, para x . y . z  0, obtemos:


x. y
y.z
z.x
a) – 1
b) 0
c) 1
d) x + y + z
e) x . y . z
05 – Calcule o valor da expressão
06 – Se
e
(
, determine
).
.
(OBM – 2013) Sejam a, b reais positivos tais que
. O valor de
A) 4
a  b
ab
2
é:
B) 3  3
C) 2  2 2
D) 2  5
E) 5
(OBM – 2013) Determine x + y, onde x e y são reais, sabendo que x3  y 3  9 e
xy 2  x2 y  6.
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
(OBM – 2014) A soma das raízes da equação
é:
A)
B)
C)
D)
E)
(OBM – 2014) As raízes da equação
são diferentes de zero e são os
quadrados das raízes da equação
. As raízes das equações não são
necessariamente reais, mas e são reais. Então o valor de é:
A) √
B) √
C) √
D) √
E) √
OLIMPÍADAS NO BRASIL E NO MUNDO(exercícios variados)
(EUA) Se
, determine o valor de
.
(OBM) Sejam a, b, c números reais positivos tais que a(b+c) = 152, b(c+a) = 162 e
c(a + b) = 170. Determine o valor de abc.
(Cone Sul 1989 - adaptado) Na figura abaixo temos dois quadrados, um de lado dois e
outro de lado um. Determine o raio do círculo que é tangente aos lados do maior e
passa pelo vértice do menor.