SISTEMAS DIGITAIS
SISTEMAS DE NUMERAÇÃO
E CÓDIGOS
Setembro de 04
H. Neto, N. Horta
SISTEMAS DE NUMERAÇÃO E CÓDIGOS - 2
SUMÁRIO:
SISTEMAS DE NUMERAÇÃO
DEFINIÇÃO DE SISTEMA DE NUMERAÇÃO
EQUIVALENTE DECIMAL
OPERAÇÕES ARITMÉTICAS BÁSICAS
MUDANÇA DE SISTEMA DE NUMERAÇÃO
CÓDIGOS
CÓDIGOS BINÁRIOS
CÓDIGOS DECIMAIS-BINÁRIOS
CÓDIGOS ALFANUMÉRICOS
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DEFINIÇÃO DE SISTEMA DE NUMERAÇÃO POSICIONAL
Um sistema de numeração é composto por:
Base - b
e.g. B = 16
Alfabeto Ordenado - conjunto de b símbolos distintos (dígitos)
e.g. [0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F]
Número - corresponde a uma sequência de dígitos.
e.g. N(b) <> … d2 d1 d0, d-1 d-2 …
Valor do Dígito (peso) - função do símb. e da pos. na sequência.
e.g. p2 = d2 b2
Exemplo:
S.N. : Decimal
2888610
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Binário
101011102
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Octal
52708
Hexadecimal
A32C16
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DETERMINAÇÃO DO EQUIVALENTE DECIMAL
Equivalente Decimal: Representação no sistema decimal de um número na base b.
+∞
N( 10 ) = ∑ dibi = ...+ d2b2 + d1b1 + d0b0 + d−1b−1 + ...
−∞
Exemplo:
S.N. : Binário
101011102
Decimal
(27+ 0 + 25+ 0 + 23 + 22+ 21 + 0)10
S.N. : Hexadecimal
A32C16
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17410
Decimal
(10x163 + 3x162+ 2x161 + 12)10
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4177210
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OPERAÇÕES ARITMÉTICAS BÁSICAS
Algoritmos em tudo semelhantes ao do sistema decimal, excepto na base utilizada.
Exemplo:
S.N. : Hexadecimal
S.N. : Binário
0110
+ 1101
10011
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10110
x 1101
10110
00000_
10110__
10110___
100011110
SISTEMAS DIGITAIS
5AF1
+ B32D
10E1E
A24
x 13
1E6C
A24_
C0AC
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MUDANÇA DE SISTEMA DE NUMERAÇÃO
CONVERSÃO DE BASES ( b1 ≠ 10 para a base b2 = 10 )
A conversão de um número numa base diferente de 10 para a base decimal reduz-se a representar
esse número como um polinómio e de seguida determinar o equivalente decimal (ver
Determinação do Equivalente Decimal)
CONVERSÃO DE BASES ( b1 = 10 para a base b2 ≠ 10 )
A conversão de um número na base 10 para uma base diferente realiza-se em duas fases:
(1) A parte inteira é convertida segundo o método das divisões sucessivas.
(2) A parte fraccionária é convertida segundo o método das multiplicações sucessivas.
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MUDANÇA DE SISTEMA DE NUMERAÇÃO
CONVERSÃO DE BASES (b1 = 10 para a base b2 ≠ 10 ) (cont.)
Exemplo:
S.N. : Decimal
20,35(10)
O número a converter e os
quocientes sucessivos são divididos
pela base.
A sequência de restos constitui o
resultado da conversão.
Binário
10100,...(2)
20 2
00 10 2
0 5 2
1 2 2
0 1 2
1 0
Hexadecimal
14,...(16)
20 16
4 1 16
1 0
1º resto = dígito menos significativo
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MUDANÇA DE SISTEMA DE NUMERAÇÃO
CONVERSÃO DE BASES ( b1 = 10 para a base b2 ≠ 10 ) (cont.)
Exemplo: (cont)
S.N. : Decimal
20,35(10)
Binário
10100,0101...(2)
0,35
X 2
0,70
X 2
1,40
X 2
0,80
X 2
1,60
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Hexadecimal
14,59...(16)
0,35
X 16
210
35_
5,60
X 16
360
60_
9,60
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MUDANÇA DE SISTEMA DE NUMERAÇÃO
CONVERSÃO DE BASES ( b1 = 2t para a base b2 = 2 e vice-versa)
Atendendo às propriedades das potências facilmente se infere que:
(1) Na conversão da base 2t para a base 2, transforma-se cada dígito da base 2t em t bits da
base 2.
(2) Na conversão da base 2 para a base 2t, transforma-se cada t bits da base 2 num dígito da
base 2t.
Exemplo:
Binário
0001 0100,0101(2)
1
4
, 5
(16)
Hexadecimal
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CÓDIGOS BINÁRIOS
CÓDIGO BINÁRIO
No presente contexto, por código binário, entende-se o código que estabelece a correspondência entre
palavras escritas num qualquer sistema de numeração e palavras constituídas por caracteres binários.
e.g. 12(10) <> 1100(2)
CÓDIGO BINÁRIO NATURAL (CBN)
Código ponderado, gerado pelo sistema de numeração de base 2, em que
os pesos das colunas são sucessivamente 2n-1, 2n-2, …, 21, 20.
CÓDIGO BINÁRIO REFLECTIDO (CBR) ou CÓDIGO DE GRAY
Código não ponderado, obtido do CBN por troca de símbolos do alfabeto
binário, i.e., na primeira coluna temos 01 10 em vez de 01 01 do CBN,
na segunda coluna temos 00 11 11 00 em vez de 00 11 00 11 do CBN
etc., daí a designação de CB reflectido.
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CBN
0 
000
1 
001
 


2
010
 


011
3
 ⇔

4
100 
 


5 
101 
6 
110 
 


7
111 
CBR
000
001


011


010


110 


111 
101 


100 
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CÓDIGOS DECIMAIS-BINÁRIOS
CÓDIGO DECIMAL-BINÁRIO
Código que estabelece a correspondência directa entre caracteres da palavra constituída por
símbolos da base 10 e a sua codificação binária.
CÓDIGO BCD (“Binary-Coded Decimal”)
O código BCD corresponde ao CBN com N=4.
e.g. 12(10) <> 0001 0010 (BCD)
Nota: Nas operações aritméticas deve ser introduzido um factor de
correcção, 6(10) <> 0110 (BCD), sempre que o resultado seja superior
ou igual a 10.
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BCD
0 0000
1 0001
 
2
0010
 
3 0011
4
0100
 ⇔
5 0101
6 0110
 
7 0111
8 1000  
9 1001 H. Neto, N. Horta
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CÓDIGOS ALFANUMÉRICOS
CÓDIGO ASCII (American Standard Code for Information InterChange):
Exemplo de código alfanumérico que permite codificar informação numérica, alfabética e também
caracteres de controlo.
B4B3B2B1
B7B6B5
0
1
2
3
4
5
6
7
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
NUL SOH STX ETX EOT ENQ ACK BEL BS HT
DLE DC1 DC2 DC3 DC4 NAK SYN ETB CAN EM
SP !
"
#
$
%
&
'
(
)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
@
A
B
C
D
E
F
G
H
I
P
Q
R
S
T
U
V
W
X
Y
`
a
b
c
d
e
f
g
h
i
p
q
r
s
t
u
v
w
x
y
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A
B
C
LF VT FF
SUB ESC FS
*
+
,
:
;
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K
L
Z
[
\
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~ DEL
H. Neto, N. Horta
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BIBLIOGRAFIA
[1] M. Morris Mano, Charles R. Kime, “Logic and Computer Design
Fundamentals”, Prentice-Hall International, Inc. (Capítulo 1, Secções 1.2-1.5)
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