Análise combinatória
Árvore de possibilidades
Se lançarmos uma moeda três vezes ao acaso, quais e
quantos são os possíveis resultados?
K K , K , K 
K
K
C
K
C
C
C K , K , C 
K K , C , K 
C K , C , C 
K C, K , K 
C C, K , C 
K C, C, K 
C C, C, C 
Se lançarmos um dado e uma moeda ao acaso, quais e
quantos são os possíveis resultados?
K,1
K
1
2
3
4
5
6
C
1
2
3
4
5
6
K, 2
K, 3
K, 4
K, 5
K, 6
C, 1
C, 2
C, 3
C, 4
C, 5
C, 6
Quantos casais heterossexuais podemos formar com os
alunos desta sala ?
01. De quantas formas distintas podemos ir da cidade A para cidade D,
passando pelos caminhos da figura que segue e passando
obrigatoriamente por B e C? De quantas formas usando a mesma figura,
podemos ir de A para D e voltar para A? E de quantas maneiras podemos
ir de A para D e voltar para A, mas na volta não podemos usar os
caminhos da ida?
3 . ___
4  24
2 . ___
___
3 . ___
4 . ___
2  576
3 . ___
2 . ___
4 . ___
___
3 . ___
3 . ___
2 . ___
1  144
4 . ___
2 . ___
___
02. Observe o diagrama. O número de ligações
distintas entre X e Z é
a) 39

Para sair de X e chegar em
Z podemos ir de:
X, R e
ou
b) 41
X, S e
ou
c) 35
X,Y e
ou
d) 45
X , R, Y e
ou
Alternativa correta, letra B. X , S , Y e
Z
3
Z
6
Z
2
Z
18
Z
12
41

03. De quantas formas distintas podemos colorir as listras da bandeira
que segue usando apenas as cores ROXO, LARANJA e VERDE? De
quantas formas podemos colorir a mesma bandeira com as mesmas
cores, mas com uma restrição: não pode haver listras adjacentes com a
mesma cor?
3 . ___
3 . ___
3  81
3 . ___
___
3 . ___
2 . ___
2 . ___
2  24
___
04. (OBM-XXVI). O desenho ao lado mostra o mapa de um país
(imaginário) constituído por cincos estados. Deseja-se colorir esse mapa
com as cores verdes, azul e amarela, de modo que dois estados vizinhos
não possuam a mesma cor. De quantas maneiras diferentes o mapa pode
ser pintado?
a) 6
b) 10
c) 12
3
2
1 . ___
1 . ___
1 6
___ . ___ . ___
d) 24
e) 120
Alternativa correta, letra A.
05. O mapa abaixo representa a divisão do Brasil em suas
regiões. O mapa deve ser colorido de maneira que regiões com
uma fronteira em comum sejam coloridas com cores distintas.
Determine o número (n) de maneiras de se colorir o mapa,
usando-se 5 cores.
Vamos usar as cinco cores abaixo
e preencher o mapa de algumas
maneiras como segue:
verde
vermelho
roxo
amarelo
cinza
Agora iremos preencher o mapa segundo as regras
impostas pela questão e simultaneamente usar o
principio fundamental da contagem:
5 . ___
4 . ___
3 . ___
3 . ___
3  540
___
06. Quantos números de 3 algarismos podemos formar usando
os elementos do conjunto A   1, 6, 7, 8, 9  ?
total:
5 . ___
5 . ___
5  125
___
pares:
5 . ___
5 . ___
2  50
___
ímpares: ___
5 . ___
5 . ___
3  75
07. Quantos números de 3 algarismos podemos formar usando
os elementos do conjunto B   0, 6, 7, 8, 9  ?
total:
5 . ___
5  100
4 . ___
___
pares:
5 . ___
3  60
4 . ___
___
ímpares: ___
5 . ___
4 . ___
2  40
08. Quantos números de 3 algarismos distintos podemos
formar usando os elementos do conjunto A   1, 6, 7, 8, 9  ?
total:
5 . ___
3  60
4 . ___
___
pares:
3 . ___
4 . ___
2  24
___
ímpares: ___
3 . ___
3  36
4 . ___
09. Quantos números de 3 algarismos distintos podemos
formar usando os elementos do conjunto B   0, 6, 7, 8, 9  ?
total: ___
3  48
4 . ___
4 . ___
pares terminados em 6 ou 8:
3 . ___
3 . ___
2  18
___
pares terminados em 0:
3 . ___
4 . ___
1  12
___
30 pares

ímpares:

3 . ___
3 . ___
2  18
___
18 ímpares
Técnica de contagem na multiplicação
Fatorial
É o produto de n fatores naturais consecutivos de n até 1.
n ! n  n  1  n  2  n  33  2  1
Por definição temos que:
0! 1 e 1! 1
2! 1 2  2
3! 1 2  3  6
4! 1 2  3  4  24
5! 1 2  3  4  5 120
6! 1 2  3  4  5  6  720
7! 1 2  3  4  5  6  7  5.040
8! 1 2  3  4  5  6  7  8 40.320
19. Simplifique as expressões:
51 ! 51 50 !
 51
a)

50 !
50 !
1
26 !
26 !


b)
27 ! 27  26 ! 27
10 !  21 ! 10  9 !  21 ! 10 5

 
c)
22 !  9 ! 22  21 !  9 ! 22 11
21 !  20 ! 21  20 !  20 ! 20 ! (21  1)
 22


d)
20 !
20 !
20 !
9  8!
9  8! 9
9  8!
9!



e)

10 !  8 ! 10  9  8 !  8 ! 8 !(10  9  1) 8 !  91 91
20. Simplifique a expressão
n  2!n  1! n  2 n  1  n !n  1 n !
n!
n!
n  1  n !  n  2  1 n  1  n  1
n!
 n  1
2
21. Resolvas equações:
a) n  2!n  1! 15  n!
n  2 n  1  n !  n  1 n ! 15  n!
n  1  n !  n  2  1  15  n!

n  1  n  3  15
2

n
 4n  12  0 a  1, b  4 e c  12
n  3n  n  3  15
2
  16  4 1  12  64
 4  8 n1  2
n
2
n2  6
S  2
b) n  2!n  1! n!
n  2 n  1  n !n  1 n ! n!
n  1  n !  n  2 1  n!
n  1
 n  1  n  1  1
 1  n  1   1  n  1  1
n1  0
n  1 1
S 0 
n2  2
2
Arranjo simples
É o tipo de agrupamento que não possui elementos repetidos
e a ordem dos elementos difere nos agrupamentos.
An , p
n!
n  p 

n  p !
22. Em um campeonato de futebol com 10 times inscritos, de
quantas formas pode terminar tal torneio em relação aos 3
primeiros lugares?
1
A10, 3
2
3
10!
10 ! 10  9  8  7 !



 720
10  3! 7 !
7!
23. Quantos números de 2 algarismos distintos podemos
formar usando os algarismos 1, 2, 3, 4 e 5?
12  21
44
A5, 2
5!
5! 5  4  3 !

 
 20
5  2! 3!
3!
Permutação simples
É um arranjo simples onde n  p.
n!
n  p  An, n 
 Pn  n !
n  n!
24. De quantas formas podemos perfilar uma família com 5
membros (pai, mãe e três filhos) de modo que?
a) Os pais fiquem sempre juntos em determinada ordem (o pai
na esquerda e a mãe na direita;
b) Os pais fiquem sempre juntos;
c) Os pais fiquem sempre separados;
d) Os filhos fiquem sempre juntos em ordem de nascimento;
e) Os filhos fiquem sempre juntos;
f) Os filhos fiquem sempre separados;
Total 5 ! 120
a) 4 !  24
b) 2 !  4 !  48
c) 120  48  72
d) 3!  6
e) 3 !  3 !  36
f) 3
2 . ___
2 . ___
1 . ___
1  12
___ . ___
25. Quantos anagramas podemos formar com as letras da
palavra GIBRAN de modo que:
a) As vogais fiquem sempre juntas em ordem alfabética;
b) As vogais fiquem sempre juntas;
c) As consoantes fiquem sempre juntas sempre em ordem
alfabética;
d) As consoantes fiquem sempre juntas;
e) As letras G e I fiquem sempre juntas e as letras B e R
fiquem sempre separadas.
3 . ___
5 . ___
6 . ___
4 . ___
2 . ___
1  6 !  720
Total : ___
a) B A I N R G  5 ! 120
b) G N A I R B  2 !  5 ! 240
c ) I A B G N R  3 ! 6
d ) I A B G N R  4 !  3 ! 144
e) B A G I R N  5 !  2 ! 2 !  2 !  4 !  240  96



144
Combinação simples
São agrupamentos que não possuem elementos repetidos e a
ordem dos elementos não difere os agrupamentos.
n!
Cn , p 
(n  p)
n  p! p !
26. Em uma sala com 10 alunos deseja-se escolher 4 para uma
excursão em pleno carnaval em Salvador. De quantos modos
pode-se realizar tal sorteio?

10 !
10 !
 210

C10, 4 
10  4 !  4 ! 6 !  4 !
27. Quantos triângulos podemos formar com vértices nos
pontos em cada figura abaixo:
J
 ABC   BCA
A
FFF  
B
I
C
D
H
E
G
F
10 !
 120
C10, 3 
7 ! 3!
C10, 3  C4, 3  120  4  116
primeiro modo:
C10, 3  C4, 3 C6, 3  120  4  20  96
segundo modo: C6, 2  4  C4, 2  6
 15  4  6  6  96
Permutação com repetição
São permutações com elementos repetidos.
1 , 2 , k
Pn
1   2     k  n
Pn

P1  P 2  P k
28. Quantos anagramas podemos formar com as letras da
palavra:
A1 LA2 LA1 A2
a) ALA
b) ARARA
c) MACACO
A1 A2 L
A2 LA1 LA2 A1 A2 A1L
P53, 2 
5!
 10
3! 2 !
P62, 2 
6!
 180
2 ! 2 !
P32 
3!
3
2!
29. De quantas maneiras podemos ir de A para B usando os
caminhos do mapa abaixo e realizando apenas dois tipos de
movimentos: Esquerda para direita e de baixo para cima?
9!
P 
 126
4 ! 5 !
4, 5
9
2, 2
4
P
 P52, 3  60
03. (UESC BA/2007). O valor de
( x  2)!(2x  2)!
 40
(2x  1)!( x  1) x!
xN,
tal que
é:
a)
( x  2)( x  1) x!(2 x  2)(2 x  1)!
(x  2)!(2x  2)!
 40
6 (2x  1)!(x  1)x!  40 
(2 x  1)!( x  1) x!
b)
3
c)
4
d)
5
a  1, b  3 e c  18
e)
2
 3  9 x1  3
x
2
x2  6  IN
( x  2)  (2 x  2)  40  ( x  2)  ( x  1)  20
x  x  2 x  2  20  x  3x 18  0
2
2
  9  4 1 18  81
Alternativa correta, letra B.
09.(UFU MG/2008).Um programa de computador, utilizando
apenas os algarismos 1, 2, 3 e 4, gera aleatoriamente senhas de
exatamente dez dígitos. Dentre todas as senhas possíveis
geradas por esse programa, a quantidade daquelas em que o
algarismo 4 aparece exatamente uma vez é igual a:
a) 410 – 39
b) 410 – 310
Como o algarismo 4 pode aparecer apenas uma e
somente uma vez no número de 10 algarismos,
vamos deixá-lo fixo de modo que ele apareça
apenas no primeiro algarismo. Pelo princípio
multiplicativo temos:
4
c) 10.39
3 . ___
3 . ___
3 . ___
3 . ___
3 . ___
3 . ___
3 . ___
3
3 . ___
___ . ___
d) 10.49
Como o algarismo 4 pode ficar em apenas
uma das casas, basta multiplicar o resultado
por 10.
9
10 3
Alternativa correta, letra C.
Permutações circulares
De quantos modos podemos colocar n objetos distintos em n lugares
equiespaçados em torno de um círculo, se considerarmos equivalentes
disposições que possam coincidir por rotação?
A resposta desse problema será representado por ( PC) n , o número de
permutações circulares de n objetos distintos. É fácil ver que ( PC) n é em
geral, diferente de Pn . Por exemplo, no caso n=3 temos P3  3! 6 modos
de colocar 3 objetos distintos em 3 lugares.
1
3
3
2
2
1
2
1
2
2
3
3
3
1
3
1
1
2
No entretanto as três primeiras disposições podem coincidir
entre sim por rotação e o mesmo ocorre com as três últimas,
de modo que ( PC )3  2 . Repare que nas permutações simples
importam os lugares que os objetos ocupam ao passo que nas
permutações circulares o que importa é a posição relativa dos
objetos entre si.
fórmula: ( PC ) n  n  1 !
Quantas rodas de ciranda podem ser formadas com 7 crianças?
Como a roda gira, o que importa não é o lugar relativo de cada criança
e sim a posição relativa das crianças entre si. A resposta é:
( PC )7  7  1 !  6 !  720
13.(UFPA/2008).O número de possibilidades de colocar seis
pessoas em círculo igualmente espaçadas, de modo que duas
delas não possam ficar em posições opostas, é:
A
a) 96
F
B
b) 120
E
C
D
D A D
F
D
E
B
D
C
c) 24
d) 72
e) 60
PC 5  5 1 !  4 !  24
24 4  96
Alternativa correta, letra A.
14.(UNIMONTES MG/2008).De quantos modos podemos repartir 8
brinquedos diferentes entre 3 crianças, para que as duas mais velhas
recebam, cada uma, 3 brinquedos e a mais nova, 2 brinquedos?
a) 560.
b) 1120.
c) 280.
d) 56.
A primeira criança pode escolher de C8, 3 modos os três
brinquedos. Após a escolha da primeira criança restam 5
brinquedos para a segunda criança escolher de C5, 3
modos. E por último restam 2 brinquedos para a terceira
criança escolher de C2, 2 .
Pelo princípio multiplicativo temos:
8!
5!
2!
C8, 3  C5, 3  C2, 2 
 56 10 1  560


3!  5! 3!  2! 2!  0!
Alternativa correta, letra A.
15. (FFFCMPA RS/2008). Um campeonato de futebol é disputado
por 20 equipes, de acordo com o seguinte esquema:
1º- Formam-se 4 grupos de 5 equipes. Em cada grupo, as equipes jogam
todas entre si, em turno e returno, saindo um campeão de cada grupo.
2º- Os quatro campeões dos grupos jogam entre si, também em dois
turnos, para apontar o campeão.
O número total de jogos disputados é
a) 46
b) 89
c) 92
d) 94
e) 96
Vamos analisar o que acontece em um grupo. O que ocorrer em um
grupo ocorrerá nos outros três:
São 5 times que vão jogar todos entre si em turno e returno (jogos de
ida e volta). Como a ordem não importa (o time A jogar com o time B é a
mesma coisa que o time B jogar com o time A), então temos uma
combinação de 5 elementos tomados 2 a 2 multiplicado por 2.
2  C5, 2
5!
 2
 20
2!  3!
Como são 4 grupos, cada um com 20 jogos, contabilizamos 80 jogos
na primeira fase.
Sai um campeão de cada grupo, totalizando 4 times. Os 4 times
jogarão entre si com turno e returno, contabilizamos uma combinação de
4 elementos tomados 2 a 2 multiplicado por 2.
2  C4 , 2
4!
 2
 12
2!  2!
80  12  92
Alternativa correta, letra C.
16. (FEI SP/2008). Num grupo com n pessoas é possível formar
exatamente 66 pares distintos ou 66 grupos distintos de 2 pessoas. Então
o valor de n é:
a) 11
Temos um grupo com n pessoas:
G  p1 , p2 , p3 , , pn 
Se formarmos um par com as pessoas p1 e p2 é o mesmo par
b) 10
formado pelas pessoas p2 e p1 , ou seja, uma combinação de n
pessoas tomadas 2 a 2 sendo igual a 66
c) 12
n!
 66  n n  1  132
Cn , 2  66 
2 !n  2  !
d) 6
n  n  132  0
2
e) 9
  1  4 1  132  529
1 23
n
2
n1  12  12
n2  11
pessoas
Alternativa correta, letra C.
20. (UFPel RS/2007). A boa e velha Loteria Federal é a que dá ao
apostador as maiores chances de ganhar, mas por não pagar grandes
fortunas não está entre as loterias que mais recebe apostas. As mais
populares são Mega-Sena, Quina, Loto-fácil e Lotomania. Na Loto-fácil,
o apostador marca 15 dos 25 números que constam na cartela e tem uma
em 3.268.760 chances, de acertar.
Super Interessante 229 –agosto 2006 [adapt.].
Se fosse criada uma nova loteria, em que o apostador marcasse 10 dos
16 números disponíveis numa cartela, a chance de acertar uma aposta
passaria a ser de uma em
Como em qualquer cartão da Mega, Quina e Loto a
a)1600. ordem dos números sorteados não importa, temos que o
b)6006. total de cartões que podem ser jogados é:
c)8008.
16!
d)8060.

C

8008
16
,
10
e)6800.
10!  6!
Alternativa correta, letra C.
22.(MACK SP/2008). Para se cadastrar em um site de compras, cada
cliente digitava uma senha com quatro algarismos. Com o objetivo de
aumentar a segurança, todos os clientes foram solicitados a adotar novas
senhas com cinco algarismos. Se definirmos o nível de segurança com a
quantidade possível de senhas, então a segurança nesse site aumentou em
a) 10%
b) 25%
c) 125%
d) 900%
A quantidade de senhas com 4 algarismos é de:
10 . ___
10 . ___
10 . ___
10  10
___
4
A quantidade de senhas com 5 algarismos é de:
10  10
10 . ___
10 . ___
10 . ___
10 . ___
___
5
Aplicando uma regra de três simples, temos:
e) 1.100%
104  100%
105  x
 x  1000%
Alternativa correta, letra D.
23. (FGV /2008). O número de permutações da palavra ECONOMIA que
não começam nem terminam com a letra O é
A palavra ECONOMIA tem duas letras O e 6 restantes
sem repetição. Existem 6 possibilidades para a primeira
b) 9 600 casa e 5 para última.
a) 9 400
2

6 . ___ . ___ . ___
P6 . ___
___
c) 9 800
5
. ___ . ___. ___
Ficarão 6 letras restantes para permutar em seis lugares,
d) 10 200 incluindo duas letras O. Logo podemos concluir que temos
uma permutação de 6 elementos com um dos elementos
e) 10 800 repetidos duas vezes:
6!
6  5  P  30   30  360  10.800
2!
2
6
Alternativa correta, letra E.
27. (FGV /2007). Colocando em ordem os números resultantes das
permutações dos algarismos 1, 2, 3, 4, 5, que posição ocupará o número
35 241?
a) 55ª
b) 70ª
c) 56ª
d) 69ª
e) 72ª
O número 35241 é precedido pelos números da forma:
1
II 2
III
3
IV
3
V
3
VI
3
VII
3
I
___ . ___ . ___ . ___
que são em número de P4  4!
___ . ___ . ___ . ___
que são em número de P4  4!
que são em número de P3  3!
1
que são em número de P  3!
___
.
___
.
___
2
que são em número de P  3!
___
.
___
.
___
4
5 1 . ___ . ___ que são em número de P  2!
5 2 . ___ . ___ que são em número de P  2!
___ . ___ . ___
3
3
2
2
Contabilizamos 4!+4!+3!+3!+3!+2!+2!=70
Alternativa correta, letra B.
30. (FGV /2006). José quer dispor 8 CDs numa disqueteira tipo torre de
8 lugares. São 5 CDs de diferentes bandas de rock, além de 3 outros de
jazz, de bandas distintas. De quantos modos eles podem ser dispostos, de
maneira que tanto os CDs de rock quanto os de jazz estejam numa
determinada ordem, podendo estar misturados os CDs dos dois tipos de
música?
a) 336
b) 20160
c) 56
d) 6720
e) 40320
Observe algumas possibilidades de dispor os CDs na torre, segundo
as regras do enunciado:
Perceba que os CDs de rock e jazz não podem permutar entre sim.
Vamos considerar que os CDs de rock e jazz são iguais. Veja o exemplo
segue:
R1R2 R3 R4 R5 J1 J 2 J 3 R R R R R J J J
J1R1 J 2 R2 R3 R4 R5 J 3 J R J R R R R J
R1 J1R2 R3 J 2 R4 J 3 R5 R J R R J R J R
A questão está resumida em calcular todas as permutações de 8
elementos com 5 e 3 elementos repetidos:
5, 3
8
P
8!

 56
5 ! 3!
Alternativa correta, letra C.
34. (UFPI/2006). Sob as retas paralelas não-coincidentes r e s , marcamse 5 e 9 pontos distintos, respectivamente. O número de quadriláteros
convexos com vértices nesses pontos é:
a) 720
b) 360
c) 260
d) 148
e) 46
r
r//s
s
Para formar um quadrilátero convexo na figura acima, basta tomar
dois pontos aleatórios na reta de cima e dois na reta de baixo. Veja
também que a ordem dos pontos não importa. Vamos usar as fórmulas de
combinação em conjunto com o princípio multiplicativo:
C9, 2  C5, 2
9!
5!


 3610  360
7 ! 2 ! 3! 2 !
Alternativa correta, letra B.
35. (UEPB/2005). Com os números 2, 3, 5, 7 e 9, quantos números da
forma p/q diferente de 1 podemos escrever?
a) 22
As frações iguais a 1 são quando p=q. Não esqueça que p/q é
diferente de q/p.
b) 20
Usando o princípio multiplicativo, temos:
c) 26
d) 24
5 . ___
4  20
___
e) 18
Alternativa correta, letra B.
37. (CEFET PR/2008). A “FACULDADE HIPOTENUSA” dispõe de 13
professores de uma disciplina “X”, sendo que, desses, apenas 4 são
doutores. Para poder lançar no mercado um novo curso, são necessários
5 professores dessa disciplina “X”, dos quais pelo menos um deve ser
doutor. De quantas maneiras podemos dispor esses professores para que
se cumpra essa exigência?
a) 1161
b) 1287
c) 126
d) 154440
e) 139320
PRIMEIRO MODO:
Calcular todas as maneiras uma a uma.
Um doutor e quatro graduados: C4, 1  C9, 4  4126  504
Dois doutores e três graduados: C4, 2  C9, 3  6 84  504
Três doutores e dois graduados: C4, 3  C9, 2  4 36  144
Quatro doutores e um graduado: C4, 4  C9, 1  1  9  9


1.161
SEGUNDO MODO:
Vamos calcular todos os grupos com cinco professores e tirar os
grupos com cinco graduados.
C13, 5  C9, 5  1287 126  1.161
Alternativa correta, letra A.
46. (MACK SP/2007). Em uma sala de aula há 25 alunos, quatro deles
considerados gênios. O número de grupos, com três alunos, que pode ser
formado, incluindo pelo menos um dos gênios, é
a) 580
Vamos calcular todos os grupos com três alunos e tirar os
grupos apenas com alunos não gênios.
b) 1200
C25, 3  C21, 3  2.300 1.330  970
c) 970
d) 1050
e) 780
Alternativa correta, letra C.
48. (UFPA/2007). No cartão da mega-sena existe a opção de aposta em
que o apostador marca oito números inteiros de 1 a 60. Suponha que o
apostador conheça um pouco de Análise Combinatória e que ele
percebeu que é mais vantajoso marcar um determinado número de
cartões, usando apenas os oito números, de modo que, se os seis números
sorteados estiverem entre os oito números escolhidos, ele ganha, além da
sena, algumas quinas e algumas quadras. Supondo que cada aposta seja
feita usando apenas seis números, a quantidade de cartões que o
apostador deve apostar é
a) 8
b) 25
c) 28
d) 19
e) 17
Um breve comentário sobre a Mega-Sena
Vamos analisar os jogos com mais de 6 dezenas em um cartão, ou
seja, com 7, 8, 9 ou 10.
Para isto vamos primeiro ver como é o jogo da mega-sena pelo caixa
econômica federal. Veja um volante da mega-sena.
08  23  26  42  50  55  58
08  23  26  42  50  55
08  23  26  42  50  58
08  23  26  42  55  58
08  23  26  50  55  58
08  23  42  50  55  58
08  26  42  50  55  58
23  26  42  50  55  58
7!
C7 , 6 
7
6!  1 !
7  2  R$ 14
01  04  08 14  28  35  43  59
08 14  28  35  43  59 01 14  28  35  43  59 01  04 14  35  43  59
01  04  08  28  35  43
04 14  28  35  43  59 01  08  28  35  43  59 01  04 14  28  43  59
01  04  08 14  43  59
04  08  28  35  43  59 01  08 14  35  43  59 01  04 14  28  35  59
01  04  08 14  35  59
04  08 14  35  43  59 01  08 14  28  43  59 01  04 14  28  35  43
01  04  08 14  35  43
04  08 14  28  43  59 01  08 14  28  35  59 01  04  08  35  43  59
01  04  08 14  28  59
04  08 14  28  35  59 01  08 14  28  35  43 01  04  08  28  43  59
01  04  08 14  28  43
04  08 14  28  35  43 01  04  28  35  43  59 01  04  08  28  35  59
01  04  08 14  28  35
8!
C8, 6 
 28 28  2  R$ 56
6!  2 !
Alternativa correta, letra C.
50. (UEPB/2006). Existem n maneiras distintas de marcar 6 círculos na
figura ao lado, marcando exatamente 2 em cada coluna e 1 em cada
linha. O valor de n é
Vamos preencher os círculos de algumas
a) 36 maneiras possíveis dentro das condições do
problema.
b) 120
De quantas formas podemos escolher 2
círculos na primeira coluna:
6!
c) 45
C6 , 2 
d) 90
e) 60
2 ! 4 !
 15
De quantas formas podemos escolher 2
círculos na segunda coluna:
C4 , 2
4!

6
2 ! 2 !
De quantas formas podemos escolher 2
círculos na terceira coluna:
PFC : 15  6 1  90
C2 , 2
2!

1
Alternativa correta, letra D.
2 ! 0 !
01. (UFRN RN/2000). Em virtude de uma crise financeira, uma fábrica
dispõe de apenas quatro vigilantes para ocuparem sete postos de
vigilância. Considerando que, em cada posto, fica, no máximo, um
vigilante e que o posto da entrada principal não pode ficar
desguarnecido, indique a opção correspondente ao número de maneiras
distintas de que o chefe de segurança pode dispor para distribuir os
vigilantes.
Obs.: Duas maneiras são ditas idênticas se, em ambas, os vigilantes
ocupam os mesmos postos e cada posto é ocupado pelo mesmo vigilante;
caso contrário, são ditas distintas.
a) 35
b) 80
c) 480
d) 840
Lembrando que em cada posto fica no máximo, um vigilante e o
posto da entrada principal não pode ficar vazio, logo temos:
p1 p2 p3 p4 p5 p6 p7
Ora, para ocupar o portão principal (que necessariamente deve ser
ocupado) temos 4 possibilidades (qualquer um dos 4 vigilantes). Agora
resta escolher 3 dos 6 lugares restantes para colocar os 3 outros
vigilantes e isto pode ser feito de 6x5x4=120 modos distintos. Assim
pelo princípio fundamental da contagem temos 4x120=480 modos
distintos de distribuir os vigilantes nos postos obedecendo as exigências
impostas pelo enunciado.
Alternativa correta, letra C.
03. (UFRN RN/2003). Um fenômeno raro em termos de data ocorreu às
20h02min de 20 de fevereiro de 2002. No caso, 20:02 20/02 2002 forma
uma seqüência de algarismos que permanece inalterada se reescrita de
trás para a frente. A isso denominamos capicua. Desconsiderando as
capicuas começadas por zero, a quantidade de capicuas formadas com
cinco algarismos não necessariamente diferentes é:
a) 120
Os algarismos disponíveis são 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9.
Assim podemos formar as seguintes capicuas (palíndromos):
b) 720
c) 900
9 . ___
10 . ___
10 . ___
1  900
1 . ___
___
d) 1000
Alternativa correta, letra C.
04. (UFRN RN/2005). Um painel eletrônico é constituído por 100100
pequenos retângulos, cada um deles com três minúsculos pontos
luminosos das três cores fundamentais: vermelho, amarelo e azul, com,
respectivamente, 100, 90 e 80 tonalidades. A combinação dessas
tonalidades produz uma gama de novas cores, para formar as imagens no
painel. Considerando-se que todas as distintas imagens no painel são
formadas a partir da combinação de todas as possíveis tonalidades de
cores de cada retângulo, pode-se provar que o número máximo das
imagens produzidas no painel que não contêm tons de azul é:
Como a tonalidade não deve conter azul podemos
escolher 100 tons de vermelho e 90 tons de amarelo e além
disto são 100x100=10.000 retângulos. Assim a quantidade
b) 72106
de configurações possíveis é:
a) 80106
c) 100106
100 100 100  90  90 10
6
d) 90106
Alternativa correta, letra D.
06. (UFRN RN/2008). Numa caixa, são colocadas dez bolas que têm a
mesma dimensão. Três dessas bolas são brancas, e cada uma das outras
sete é de uma cor diferente. O número total de maneiras de se escolher
um subconjunto de três bolas, dentre essas dez, é:
a) 32
b) 128
c) 64
d) 256
Temos as seguintes possibilidades:
As três bolas serem brancas; Neste caso temos evidentemente apenas
uma possibilidade de retirarmos três bolas brancas, visto que só existem
três bolas brancas na caixa:
C3, 3  1
Podemos retirar uma bola branca e duas outras de cores diferentes, o
que pode ser feito de:
C7 , 2  21
Outra possibilidade seria retirar duas bolas brancas e apenas uma de
cor distinta, o que pode ser feito de 7 maneiras .
Finalmente temos a possibilidade de não retirarmos nenhuma branca,
o que pode ser feito de:
C7 , 3  35
1  21  7  35  64
Alternativa correta, letra C.
01. (ITA). Uma escola possui 18 professores sendo 7 de Matemática, 3
de Física e 4 de Química. De quantas maneiras podemos formar
comissões de 12 professores de modo que cada uma contenha
exatamente 5 professores de Matemática, com no mínimo 2 de Física e
no máximo 2 de Química ?
a) 875
b) 1877
c) 1995
d) 2877
e) n.d.a.
Vamos analisar todos os possíveis casos:
C7, 5  C3, 2  C4, 0  C4, ? 

C7, 5  C3, 2  C4, 1  C4, 4  21 3  4 1  252
C7, 5  C3, 2  C4, 2  C4, 3  21 3  6  4  1.512
C7, 5  C3, 3  C4, 0  C4, 4  21111  21
C7, 5  C3, 3  C4, 1  C4, 3  211 4  4  336
C7, 5  C3, 3  C4, 2  C4, 2  211 6  6  756
252  1.521  21  336  756  2877
Alternativa correta, letra D.
02. (Espcex). Numa classe de 30 alunos da EsPCEx, 10 são oriundos de
Colégios Militares (CM) e 20, de Colégios Civis (CC). Pretende-se
formar grupos com três alunos, de tal forma que um seja oriundo de CM
e dois de CC. O número de grupos distintos que podem ser constituídos
dessa forma é:
a) 200
b) 900
c) 1260
d) 1900
e) 4060
Como temos que escolher dois alunos oriundos
colégios civis, temos uma combinação de 20 elementos
tomados 2 a 2:
C20, 2  190
Agora temos que escolher um aluno oriundo entre 10
dos colégios militares. Usando o principio multiplicativo,
temos:
190 10  1.900
Alternativa correta, letra D.
05. (Espcex-2005). Uma prova de um concurso público engloba as
disciplinas Matemática e Inglês, contendo dez questões de cada uma.
Segundo o edital, para ser aprovado, o candidato precisa acertar, no
mínimo, 70% das questões da prova, além de obter acerto maior do que
ou igual a 60% em cada disciplina. Em relação às questões da prova,
quantas possibilidades diferentes terá um candidato de alcançar,
exatamente, o índice mínimo de aprovação?
a) 18 900
b) 33 300
c) 38 760
d) 77 520
e) 125 970
São 20 questões, 10 de matemática e 10 de inglês.
Mínimo de 70% das questões (14) e 60% em cada disciplina (6 de
cada prova, ao todo 12).
Primeiro caso: 6 de 10 em matemática e 8 de 10 em inglês:
C10, 6  C10, 8  210  45  9.450
Segundo caso: 6 de 10 em inglês e 8 de 10 em matemática:
C10, 6  C10, 8  210  45  9.450
Terceiro caso: 7 de 10 em inglês e 7 de 10 em matemática:
C10, 7  C10, 7  120 120  14.400
9.450  9.450  14.400  33.300
Alternativa correta, letra B.
06. (ITA-2002) Quantos anagramas com 4 letras distintas podemos
formar com as 10 primeiras letras do alfabeto e que contenham 2 das
letras a, b e c?
a) 1692
b) 1572
c) 1520
Primeira parte: Temos que escolher duas letras entre a, b e c
C3, 2  3
Segunda parte: Temos que escolher duas letras entre as 7
restantes.
C7 , 2  21
d) 1512
Terceira parte: As 4 letras escolhidas pode permutar entre si.
e) 1392
Pelo princípio multiplicativo, temos:
C3, 2 C7, 2  4 ! 3  21 24  1.512
Alternativa correta, letra D.