3a Lista de Exercı́cios - Cálculo 1
Profa. Júlia Silva Silveira Borges
1. Calcule e justifique:
x3 + 1
x→−1 x2 − 1
x3 − 5x2 + 8x − 4
x→2
x4 − 5x − 6
3
x − p3
(f) lim
x→p x − p
√
√
x− 7
√
(g) lim √
x→7
x + 7 − 14
(a) lim
(e) lim
x3 + x2
x→0 3x3 + x4 + x
x2 − 9
(c) lim
x→3 x − 3
√
√
3
x− 3p
(d) lim
x→p
x−p
(b) lim
(h) lim
x→2
1
x
− 12
x−2
2. Determine L para que a função dada seja contı́nua no ponto dado:
( 2
x +x
, se x 6= −1
(a) f (x) = x+1
, em p = −1
L,
se x = −1
( 3
x −8
, se x 6= 2
(b) f (x) = x−2
, em p = 2
L,
se x = 2
(√ √
x− 3
se x 6= 3
x−3 ,
(c) f (x) =
, em p = 3
L,
se x = 3
3. Prove: lim f (x) = L ⇔ lim [f (x) − L] = 0
x→p
x→p
4. Calcule, caso exista. Se não existir, justifique:
|x − 1|
x−1
|x − 1|
(b) lim
x→1− x − 1
|x − 1|
(c) lim
x→1 x − 1
(a) lim
x→1+
(
x + 1, se x ≥ 1
f (x) − f (1)
(d) lim
, onde f (x) =
+
x−1
x→1
2x,
se x < 1
(
x2 ,
se x ≤ 1
f (x) − f (1)
, onde f (x) =
(e) lim
x→1
x−1
2x − 1, se x > 1
5. A afirmação
00
lim f (x) = lim f (x) ⇒ f contı́nua em p00
x→p+
x→p−
é falsa ou verdadeira. Justifique.
(√ 3 2
x −6x
, se x 6= 0
x
6. Considere f (x) =
6,
se x = 0
1
(a) Calcule lim f (x)
x→0
(b) Verifique se lim f (x) = f (0). f é contı́nua em 0
x→0
7. Detemine o maior subconjunto onde a função é contı́nua. Justifique sua resposta.
(a) f (x) =
(b) f (x) =
3x−5
2x2 −x−3
x2 −9
x−3
(c) f (x) =
(d) f (x) =
√
2x − 3 + x2
√x−1
x2 −1
8. Calcule:
√
3
r
x3 + 1
(a) lim
x→−1
x+1
√
2
x +3−2
(b) lim
x→1
x2 − 1
3
(c) lim
x→1
√
3
(d) lim
x→1
x+7−2
x−1
3x + 5 − 2
x2 − 1
f (x)
= 1. Calcule:
x→0 x
9. Seja f definidaR. Suponha que lim
f (x2 − 1)
x→1
x−1
f (7x)
(d) lim
x→0 3x
f (3x)
x→0
x
f (x2 )
(b) lim
x→0
x
(a) lim
(c) lim
10. Calcule:
1 − cos x
x→0
x
1
(h) lim x sin
x→0
x
tan x
x→0 x
x
lim
x→0 sin x
sin 3x
lim
x→0
x
sin x
lim
x→π x − π
x2
lim
x→0 sin x
tan 3x
lim
x→0 sin 4x
(a) lim
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g) lim
tan(x − p)
x→p x2 − p2
(i) lim
sin(x2 − p2 )
x→p
x−p
(j) lim
(k) lim
x→1
sin(πx)
x−1
11. Analise a continuidade das funções abaixo nos seus domı́nios:
q
x−1


 √ x2 −1 x 6= ±1
2
(a) f (x) =
x=1
2 ,


0,
x = −1.
(
sin(2x)
x , x 6= 0
(b) f (x) =
2,
x=0


x≤2
3x,
12. Determine A e B de modo que a função f (x) = Ax + B, 2 < x < 5 , seja contı́nua


−6x,
x≥5
em R. Esboce o gráfico de f .
2
13. Seja f uma função definida em R tal que para todo x 6= 1, −x2 + 3x ≤ f (x) <
Calcule lim f (x) e justifique.
x2 −1
x−1 .
x→1
14. Seja f definida em R e tal que, para todo x, |f (x) − 3| ≤ 2|x − 1|. Calcule lim f (x) e
x→1
justifique.
15. Suponha que, para todo x, |g(x)| ≤ x4 . Calcule lim
x→0
g(x)
x
16. Seja f definida em R e suponha que existe M > 0 tal que, para todo x, |f (x) − f (p)| ≤
M |x − p|2 .
(a) Mostre que f é contı́nua em p.
f (x) − f (p)
(b) Calcule, caso exista, lim
.
x→p
x−p
3