Modelagem Matemática
em Composição Musical
Jônatas Manzolli
Adolfo Maia Jr.
Núcleo Interdisciplinar de Comunicação
Sonora - UNICAMP
26/06/2002 - IFT
Maia & Manzolli
A- Composição & Algoritmos
• Guido d’Arezzo (1026) - primeiro algorítmo em
música (método determinista).
• J. S. Bach (1685-1750) - simetria em música
• W.A. Mozart (1756 -1791) Jogo de dados de
Mozart (aleatoriedade)
• Formalized Music (Xenakis -1967)
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Técnicas Modernas
• Processos Estocásticos (rules-driven-by-noise) (Hiller &
Isaacson - 1959) -Suite Illiac
• Tendency Masks (Köening 1970) (PR01, PR02)
• Sistemas Iterativos Não -lineares (Pressing 1988,Scipio 1990,
Goggins 1991) - Caos, fractals,...
• Celular Automata, Generative Grammar (CAMUS by Miranda
1996)
• Cadeias de Markov e funções limitantes (Manzolli & Maia
1995)
• Neural and Evolutionary Computation (Vox Populi, Roboser)
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B- Síntese de Sons
•
•
•
•
•
•
Freqüência Modulada (Chowning 1973)
Digital Wave Shapping Synthesis (Le Brun 1979).
Síntese Granular (Gabor, Science 1943; Roads 1988)
Spectral Sound Synthesis (Serra, X. 1992)
Fracwave (Manzolli, J. 1993).
Physical Modelling Sound Synthesis (Smith 1992
CCRMA)
• ChaoSynth (Miranda 1998 - automato celular e síntese
granular)
• EESynth (Manzolli, Fornari, Maia - 2001)
• Novas Bases (Polinomios Ortogonais(1980), Wavelets 1993 -)
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Processamento de Síntese de Sons
Modelo
Matemático
Conjunto
Inicial de Sons
Processamento
Algorítmico
Output
Sonoro
Processo de
Avaliação
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C- Instrumentos Reais e Virtuais
• Modelagem computacional de instrumentos já
existentes (processo de aproximação)
• Extensão e/ou modificação do output sonoro de
instrumentos já existentes
• Criação de instrumentos virtuais controlados por
computador
• Centros de Pesquisa: IRCAM, CCRMA, NICS(*),
e outros.
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Maia & Manzolli
CATEGORIES AND FUNCTORS
A Category  is defined with three kinds of data
a)
A class of objects A, B, C…
b)
For each pair of objects A, B   we have a set
of applications (morphisms) M(A,B) from A to
B.
c)
For each triple of objects A, B, C   we have
a composition law for the morphisms
M(A,B)  M(B,C)  M(A,C)
(f,g)  g o f
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AXIOMS
A1) The sets of morphisms M(A,B) and M(C,D) are mutually
disjoints unless A = C and B = D.
A2) Associative Law: h(gf) = (hg)f .
A3) Existence of Identity: For each object A there exists a
morphism identity
 such that for any
f: A and
g: C we have
f o f and  g = g.
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FUNCTORES ( transporting structures)
Given two categories  and , a functor F between  and  is a
map
which associates each object A   to an object F(A)  
F:   
A  F(A)
and for each morphism f  M(A,B) associates a morphism F(f) 
M(F(A), F(B))
with the properties
F(gf) = F(g) F(f)
F(1A) = 1F(A)
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Exemplo de Functores
C2
C3
C1
f
g
F
F
F
F(f)
F(C1)
F(g)
F(C2)
F(C3)
F(g(f(C))) = F((gf)(C)) = F(g)F(f)(F(C))
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Functor de Espectros
1
C(x)
Input Spectrum
A

0
x
0
Amax
Output Spectrum
A
F
0
C  F(C) = C(A( ))
F:   
onde A() é o espectro inicial
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
Elementaridades: a Particle Physics Sound Functor
Elementary Particle
Model
Sound
Functor
PROTON
NEUTRON
SOUND
MODEL
TIME AXIS
Transfering Proton and Neutron Quark structure to a
Sound Environment
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Diagrama de Kyklos
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Kyklos: an environment to polymodal music
number of notes
number of scales
Barbour 1929
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2
11
3
55
4
165
5
330
6
462
7
462
8
330
C(p,11) = 11! / (p-1)! (12-p)!
Maia & Manzolli
9
165
10
55
11
11
Permutação de Células Sonoras
Vetores: [m1 m2 m3 m4] & [m1 m2 m3 m4 m5 ]
Matrizes de Transposição
A1
0
1
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
A2
0
0
0
0
1
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
B1
0
1
0
0
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1
0
0
0
0
0
0
1
0
0 
1 
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
A3
0
0
0
1
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
B2
0
0
1
0
0
1
0
0
1
0
0
0
0
0 
0 
1
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
A4
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
B3
0
0
1
0
0
0
0
1
1
0
0
0
0
1 
0 
0
0
1
0
0
0
A5
1
0
0
0
0
B4
0
0
0
1
0
0
1
0
0
1
0
0
Maia & Manzolli
1
0
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
1
0
1a linha: Beethoven Quarteto Opus 4
Vk = BKV0 com j  {1,2,3,4} , k = k(j) = 1,2,3...N, V0= [1 2 3 4],
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Maia & Manzolli
Permutação de Acordes
Fórmula Recorrente
Vk+1 = AK+1VK com j  {1,2,3,4} , k = k(j) = 1,2,3...N, V0= [1 2 3 4],
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Maia & Manzolli