RESUMO DE TRABALHO
Autor: Roberto Carlos Alvarenga Da Silva Júnior.
Instituição: Instituto de Biociências Letras e Ciências Exatas - UNESP.
São José do Rio Preto.
Tı́tulo: O teorema de Bézout.
Sessão temática: Geometria Algébrica.
Resumo: Sabemos que, a criação do plano projetivo, vem com o intuito de
abolir o paralelismo de retas, assim em geral todas as cuvas se intersecionam, seja
a distância finita, ou infinita. Neste trabalho mais precisamente vamos estudar
a cardinalidade de interseção de duas curvas, veremos que contados os pontos no
infinito e multiplicidades , o número de interseção de duas curvas projetivas é igual
ao produto do seus graus, fornecendo-nos o celebre teorema de Bézout.
O objetivo central deste trabalho é apresentar uma demonstração do teorema
de Bézout para curvas algébricas projetivas planas, em que seu resultado vem
”resolver”o problema de contagem dos pontos de interseção de duas curvas
projetivas. Observe o enunciado:
Teorema de Bézout: Se F , G são curvas planas projetivas sem componente em
comum então o número de pontos na interseção f ∩G, contados com a multiplicidade,
é igual a deg(F ) · deg(G).
Para chegar na demonstração do teorema de Bézout teremos que construir toda
uma teoria necessária para a demonstração.
Vamos introduzir resultados base para a demonstração, como por exemplo
a finitude de interseção de duas curvas projetivas sem componente em comum.
Apresentaremos também conceitos e resultados de modulos, espaços vetorias e
sequências exatas.
Começemos com algumas definições basicas de variedades ou conjuntos
algébricos, modulos, sequências exatas e o plano projetivo (P2 ).
Algumas noções basicas da teoria de anéis será necessária para o desenvolvimento
deste trabalho também, mas a maioria se faz pressuposto que o leitor tenha como
pré-requisito.
Outro conceito muito importante na teoria de interseção de curvas é a resultante,
que vem de um meio muito pratico calcular os pontos de interseção e suas respectivas
multiplicidades. A partir daı́ é notarmos que todo ponto que anula o polinômio que
define a resultante será um ponto de interseção das curvas.
Para valer o resultado do teorema de Bézout, é essencial admitirmos os pontos no
infinito , eles veem completar os pontos que faltam a distância finita, esses pontos
vem com a teoria e construção do plano projetivo, que em sua essencia resolve o
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problema de interseção de duas curvas, agora todas elas se intersecionaram , seja
a distância finita como duas retas concorrentes, ou a distância infinita como duas
retas paralelas.
Por fim, usaremos um pouco de álgebra linear, mais abrangente teoria de
modulos, uma vez que todo k-espaço vetorial é um K-modulo, pois todo corpo é um
anel, veremos propriedades basicas, definições e resultados que se fazem necessários
para obtenção do resultado principal.
E então demonstraremos o teorema de Bézout, fazendo uso de resultados
enunciados e demonstrados neste mesmo trabalho, garantimos a finitude quando
as curvas em questão não apresentem componente em comum, e a partir daı́ ,
”contar”os pontos de interseção a distância finita e infinita, usando sequências
exatas, dimensão de espaço vatorial , modulos e isomorfismos de anéis e de modulos.
Assim pretendemos dar de forma clara e abrangente não só o teorema, mas sim
todo o entorno necessário para sua demonstração, para que seja qual for o leitor,
respeitando , claro, os pré-requisitos, possa ler, acompanhar e entender todos os
passos da demonstração do celebre teorema de Bézout.
Bibliografia:
Algebraic Curves - Fulton W.
Introdução às Curvas Algébricas Planas - Vainsencher I, Coleção
Matemática Universsitária - IMPA.
Introdução à Geometria Projetiva Hefez A. - IMPA.
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