RESUMO DE TRABALHO
Autor: Roberto Carlos Alvarenga Da Silva Júnior.
Instituição: Instituto de Biociências Letras e Ciências Exatas - UNESP.
São José do Rio Preto.
Tı́tulo: O teorema de Bézout.
Sessão temática: Geometria Algébrica.
Resumo: Sabemos que, a criação do plano projetivo, vem com o intuito de
abolir o paralelismo de retas, assim em geral todas as cuvas se intersecionam, seja
a distância finita, ou infinita. Neste trabalho mais precisamente vamos estudar
a cardinalidade de interseção de duas curvas, veremos que contados os pontos no
infinito e multiplicidades , o número de interseção de duas curvas projetivas é igual
ao produto do seus graus, fornecendo-nos o celebre teorema de Bézout.
O objetivo central deste trabalho é apresentar uma demonstração do teorema
de Bézout para curvas algébricas projetivas planas, em que seu resultado vem
”resolver”o problema de contagem dos pontos de interseção de duas curvas
projetivas. Observe o enunciado:
Teorema de Bézout: Se F , G são curvas planas projetivas sem componente em
comum então o número de pontos na interseção f ∩G, contados com a multiplicidade,
é igual a deg(F ) · deg(G).
Para chegar na demonstração do teorema de Bézout teremos que construir toda
uma teoria necessária para a demonstração.
Vamos introduzir resultados base para a demonstração, como por exemplo
a finitude de interseção de duas curvas projetivas sem componente em comum.
Apresentaremos também conceitos e resultados de modulos, espaços vetorias e
sequências exatas.
Começemos com algumas definições basicas de variedades ou conjuntos
algébricos, modulos, sequências exatas e o plano projetivo (P2 ).
Algumas noções basicas da teoria de anéis será necessária para o desenvolvimento
deste trabalho também, mas a maioria se faz pressuposto que o leitor tenha como
pré-requisito.
Outro conceito muito importante na teoria de interseção de curvas é a resultante,
que vem de um meio muito pratico calcular os pontos de interseção e suas respectivas
multiplicidades. A partir daı́ é notarmos que todo ponto que anula o polinômio que
define a resultante será um ponto de interseção das curvas.
Para valer o resultado do teorema de Bézout, é essencial admitirmos os pontos no
infinito , eles veem completar os pontos que faltam a distância finita, esses pontos
vem com a teoria e construção do plano projetivo, que em sua essencia resolve o
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problema de interseção de duas curvas, agora todas elas se intersecionaram , seja
a distância finita como duas retas concorrentes, ou a distância infinita como duas
retas paralelas.
Por fim, usaremos um pouco de álgebra linear, mais abrangente teoria de
modulos, uma vez que todo k-espaço vetorial é um K-modulo, pois todo corpo é um
anel, veremos propriedades basicas, definições e resultados que se fazem necessários
para obtenção do resultado principal.
E então demonstraremos o teorema de Bézout, fazendo uso de resultados
enunciados e demonstrados neste mesmo trabalho, garantimos a finitude quando
as curvas em questão não apresentem componente em comum, e a partir daı́ ,
”contar”os pontos de interseção a distância finita e infinita, usando sequências
exatas, dimensão de espaço vatorial , modulos e isomorfismos de anéis e de modulos.
Assim pretendemos dar de forma clara e abrangente não só o teorema, mas sim
todo o entorno necessário para sua demonstração, para que seja qual for o leitor,
respeitando , claro, os pré-requisitos, possa ler, acompanhar e entender todos os
passos da demonstração do celebre teorema de Bézout.
Bibliografia:
Algebraic Curves - Fulton W.
Introdução às Curvas Algébricas Planas - Vainsencher I, Coleção
Matemática Universsitária - IMPA.
Introdução à Geometria Projetiva Hefez A. - IMPA.
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