Teoria das Comunicações
2.5 Teorema da Amostragem e
Transformada de Fourier Discreta
Profs. Lucio M. Silva / André Noll Barreto
Princípios de Comunicação
TEOREMA DA AMOSTRAGEM
Profs. Lucio M. Silva / André Noll Barreto
Princípios de Comunicação
Amostragem de Sinais
Instantes de amostragem
x(t)
Ts
t
Ts(t)
t
xs(t) = x(t)Ts(t)
t
xs (t ) 


 x(t ) (t  nT )   x(nT ) (t  nT )
n  
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s
n  
Princípios de Comunicação
s
s
Espectro de Sinal Amostrado
X s ( f )  fs


k 
X ( f  k fs )
X( f )
A
Se fs > 2B
-B
0
f
B
Xs( f )
A fs
-2fs
-fs
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-B
0
B
Princípios de Comunicação
fs
2fs
f
Espectro de Sinal Amostrado
X s ( f )  fs


k 
X ( f  k fs )
Se fs < 2B
X( f )
A
-B
aliasing
B
f
Xs( f )
A fs
-fs -B
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0
0
B fs
Princípios de Comunicação
f
Teorema da Amostragem
| X( f )|
Ts  1
2B
-B
0
Para reconstrui r x ( t ),
sem qualquer erro,
x(t)
são suficiente s
as amostras
x ( nTs ), n  0,  1,  2, ,
desde que Ts  1 .
2B
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B
f s  2B
f
Instantes de amostragem
Ts
t
Princípios de Comunicação
Definições
Taxa (de amostragem) de Nyquist: taxa de amostragem
mínima teórica para um sinal de banda básica
limitado frequencialmente a B hertz, isto é,
fs, Nyquist = 2 B
Frequência de Nyquist: Dado um amostrador que opera com
a taxa de amostragem fs, denomina-se frequência de
Nyquist a
fNyquist = fs /2,
ou seja, fNyquist é o valor máximo teórico para a mais
alta frequência que o sinal a ser amostrado pode
conter.
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Princípios de Comunicação
Reconstrução do sinal original)
Xs( f )
1 fs
H( f )
A fs
-2fs
-fs
 fs 2
-B
0
B
fs 2
Filtro passa-baixa ideal
h(t)  H( f )
fcorte = fs /2
xs(t)
Xs( f )
fs
2fs
f
y(t) = x(t)
Y( f ) = X( f )
Y( f ) = X( f )
A
-B
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0
B
Princípios de Comunicação
f
Resposta impulsional de um filtro passabaixa ideal
h(t )
H( f )
1
Ts
 Ts

fs
2
0
fs
2
f
 f 
H ( f )  Ts rect 
 fs 
Ts
0
 2Ts
h(t )  Ts f s sincf s t 
 sincf s t 


 sinc  t 
 Ts 
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2Ts
Princípios de Comunicação
t
Reconstrução do sinal contínuo usando
interpolador ideal

x( t )   x( nTs ) sinc f s ( t  nTs )
n  
x(t )
Ts
kTs
( k 1)Ts
( k  2)Ts
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( k  3)Ts
( k  5)Ts
Princípios de Comunicação
( k  6)Ts
( k  7)Ts
t
Dobramento espectral (ou aliasing)
Espectro de um
sinal amostrado a
uma taxa fs < 2B:
Filtro PB
interpolado
r
X s( f )
- fs
-B
- fs
2
0
fs
2
B
fs
f
Y( f )
Espectro
original, X( f )
- fs
-B
Faixa
perdida
rebatida
- fs
2
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0
fs
2
Princípios de Comunicação
B
Faixa
perdida
fs
f
Filtro de reconstrução
Xs( f )
Af s
 fs  B
 fs
 f s  B B
0
B
Hr ( f )
 fs
 f s  B B
0
fs
fs  B
f
fs  B
f
Faixa de transição
f s  2B
1 fs
 fs  B
fs  B
B
fs  B
fs
X( f )
A
B
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0
B
Princípios de Comunicação
f
Escolha prática da taxa de amostragem
Na prática, os filtros antialiasing e de reconstrução
não são filtros ideais e, por isso, a taxa de
amostragem precisa ser maior que 2B. Utiliza-se,
geralmente, valores de fs na faixa
1,1 2B  f s  1,3 2B
onde, B é a frequência de corte do filtro antialiasing.
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Princípios de Comunicação
TRANSFORMADA DISCRETA
DE FOURIER (DFT)
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Princípios de Comunicação
Transformada de Fourier Discreta (1)
• Podemos amostrar sinal limitado no tempo dentre um intervalo de
tamanho T0 a uma taxa fs = 1/Ts
• Temos N = T0 / Ts amostras
g (t )
T0
t
• A transformada de Fourier do sinal pode ser aproximada pelas suas
amostras
T0
G( f )   g (t )e
 j 2ft
0
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N 1
dt   Ts g (nTs )e  j 2fnTs
n 0
Princípios de Comunicação
Transformada de Fourier Discreta (2)
• Podemos amostrar a transformada de Fourier G(f) em intervalos f s 
G( f )
0
•
Fazendo
g n  Ts g (nTs ) e Gk  G(kfs )
N 1
Gk   g n e  j 2kn / N
n 0
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Transformada de Fourier Discreta
(DFT)
Princípios de Comunicação
1
T0
Transformada de Fourier Discreta (3)
• Podemos mostrar que
Gk  N  Gk
• Ou seja, a DFT Gk é periódica
• Só existem N valores diferentes de Gk
G( f )
0
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Princípios de Comunicação
Transformada de Fourier Discreta Inversa
• A Transformada de Fourier Discreta Inversa (IDFT) pode ser obtida
por
1
gn 
N
N 1
j 2kn / N
G
e
 k
k 0
• Podemos mostrar que
com período N
g n N  g n , ou seja, g n também é periódico
gk
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Princípios de Comunicação
FFT/IFFT
• Tranformada de Fourier Discreta é normalmente
implementada por meio do algoritmo rápido
• Fast Fourier Transform (IFT)
• Complexidade
•
2
DFT: O( N )
•
FFT: O( N log N )
• O mesmo vale para a transformada inversa
• IFFT
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Princípios de Comunicação
Deslocamento Circular
• Deslocamento de uma
sequência periódica de
período N
=
• Deslocamento circular de
uma sequência de N
amostras
• Ex.
g  [1,2,3,4,5,6,7,8]
2 1 8
Com deslocamento circular 1
g n1  g (1)  [8,1,2,3,4,5,6,7]
Com deslocamento circular 4
g n4  g
( 4)
 [5,6,7,8,1,2,3,4]
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Princípios de Comunicação
3
7
4
5
6
Deslocamento Circular
• Se
F
g n  Gk
• então
g n n0
F
 Gk e  j 2kn0 / N
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Princípios de Comunicação
Convolução Circular
• Convolução de uma
sequência periódica de
período N
=
• Convolução circular de
uma sequência de N
amostras
N 1
yn  g n  xn   g m xn m
m 0
• Ex.
g  [1,2,3,4]
x  [1,1,0,0]
Lembrando que gn e xn são periódicos
com período N
y0  g 0 x0  g1 x1  g 2 x 2  g 3 x3
 g 0 x0  g1 x3  g 2 x2  g 3 x1
 1(1)  2(0)  3(0)  4(1)  3
y1  g 0 x1  g1 x0  g 2 x1  g 3 x2
 g 0 x1  g1 x0  g 2 x3  g 3 x2
 1(1)  2(1)  3(0)  4(0)  1
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Princípios de Comunicação
Convolução Circular
• Se
F
g n  Gk
F
xn  X k
• então
F
g n  xn  Gk X k
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Princípios de Comunicação