CURRICULUM VITAE
de
RUI MANUEL AGOSTINHO DILÃO
Fevereiro de 2002
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CURRICULUM VITAE
de
RUI MANUEL AGOSTINHO DILÃO
Elementos Biográficos
Nasceu em Lisboa a 13 de Julho de 1955.
Nacionalidade Portuguesa e portador do BI 4565601.
Filho de Artur Eduardo Ramalho Dilão e de Maria Manuela da Piedade Agostinho
Dilão.
Residência: Rua Carlos Calisto n0 3, 30 Esq., 1400-043 Lisboa.
Estado Civil: casado.
Prifissão: Professor Universitário.
Formação Académica
Licenciado em Fı́sica pela Faculdade de Ciências da Universidade Clássica de Lisboa
em Outubro de 1980, com a média final de dezasseis valores.
Prestou provas de aptidão pedagógica e capacidade cientı́fica no Instituto Superior Técnico em 13 de Julho de 1984, com a classificação final de muito bom.
Doutorado em Fı́sica pelo Instituto Superior Técnico em 10 de Abril de 1986, com a
classificação final de louvor e distinção.
Agregado em Fı́sica pelo Instituto Superior Técnico em 19 de Março de 1997.
Actividade Profissional e Académica
Assistente Estagiário do Departamento de Fı́sica do Instituto Superior Técnico de 5 de
Julho de 1981 a 13 de Julho de 1984.
Assistente do Departamento de Fı́sica do Instituto Superior Técnico de 14 de Julho de
1984 a 10 de Abril de 1986.
Professor Auxiliar no Departamento de Fı́sica do Instituto Superior Técnico desde 11
de Abril 1986. Nomeação definitiva em 1991.
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Fellow no CERN de Outubro de 1986 a Setembro de 1987. Senior Fellow de Outubro
de 1987 a Setembro de 1988.
Crı́tico cientı́fico (reviewer) dos Mathematical Reviews, secção 58F, desde Janeiro de
1984.
Fundou o Grupo de Dinâmica Não-Linear do Instituto Superior Técnico, em Janeiro de
1997 e aprovado pela Fundação para a Ciência e Tecnologia em Dezembro de 1998.
Membro do Steering Committee do projecto ”REACTOR, Nonlinear Chemistry in Complex Reactors: Models and Experiments”, financiado pela European Science Foundation,
2000-2004.
Referee das áreas de Sistemas Dinâmicos e Caos da European Science Foundation.
Professor convidado do Fritz Haber Institut der Max Planck Gesellchaft, Junho de 2000.
Professor convidado do Center for Complex and Nonlinear Sciences, Technical University of Budapest, Setembro de 2000.
Participação como consultor no projecto ”Latitude e Longitude — Instrumentos e
Medição” (programa de comemorações sobre Pedro Nunes).
Monografias Académicas
Propriedades Ergódicas de Sistemas Dinâmicos; monografia de Licenciatura, Faculdade
de Ciências de Lisboa, 1980.
Aplicações de um Intervalo: Dinâmica Simbólica e Entropia Topológica; monografia
apresentada para a prova de capacidade cientı́fica, Instituto Superior Técnico, 1984.
Ressonância Paramétrica: O Baloiço; monografia apresentada para a prova de aptidão
pedagógica, Instituto Superior Técnico, 1984.
Aplicações dum Intervalo: Dinâmica Simbólica, Entropia Topológica e Comportamento
Periódico; tese de doutoramento, Instituto Superior Técnico, 1985.
Técnicas de Sistemas Dinâmicos no Design de Aceleradores de Partı́culas; Lição de
Sı́ntese para as provas de Agregação, Instituto Superior Técnico, 1997.
O ensino das Técnicas Matemáticas da Fı́sica no Curso de Engenharia Fı́sica Tecnológica
do Instituto Superior Técnico; Relatório de Grupo de Disciplinas para as provas de
Agregação, Instituto Superior Técnico, 1997.
Publicações em Revistas Cientı́ficas com Referee
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1– J. Dias de Deus, R. Dilão e J. Taborda Duarte, Topological Entropy and Approaches to Chaos in Dynamics of the Interval, Physics Letters A vol. 90 (1982)
pág. 1–4.
2– J. Dias de Deus, R. Dilão e J. Taborda Duarte, Topological Entropy, Characteristic
Exponents and Scaling Behaviour in Dynamics of the Interval, Physics Letters A
vol. 93 (1982) pág. 1–3.
3– J. Cascais, R. Dilão e A. Noronha da Costa, Chaos and Reverse Bifurcations in a
RCL circuit, Physics Letters A vol. 93 (1983) pág. 213–216.
4– J. Dias de Deus, R. Dilão e A. Noronha da Costa, Intermittency and Sequences
of Periodic Regions in One Dimensional Maps of the Interval, Physics Letters A
vol. 101 (1984) pág. 495–463.
5– R. Cordovil, R. Dilão e A. Noronha da Costa, Periodic Orbits for Additive Cellular
Automata, Discrete and Computational Geometry vol. 1 (1986) pág. 277–288.
6– J. Dias de Deus, R. Dilão e A. Noronha da Costa, Scaling Behaviour of Windows
and Intermittency in One-Dimensional Maps, Physics Letters A vol. 124 (1987)
pág. 433–436.
7– R. Dilão, Periodic Points and Entropies for Cellular Automata, Complex Systems
vol. 3 (1989) pág. 117–128.
8– J. Dias de Deus, R. Dilão e A. Noronha da Costa, Phenomenology of Periodic
Windows in One–Dimensional Maps, Europhysics Letters vol. 9 (1989) pág. 303–
308.
9– R. Alves Pires e R. Dilão, Elimination of Transverse Beam Instabilities in Accumulation Rings by Application of an External Periodic Force, Physical Review A
vol. 45 (1992) pág. 2567–2571.
10– R. Dilão, Nonlinear Phenomena in Circular Accelerators I: Sextupolar Nonlinearities, International Journal of Bifurcation and Chaos vol. 3 (1993) 1083–1102.
11– R. Alves Pires e R. Dilão, Nonlinear Phenomena in Circular Accelerators II: BeamBeam Interaction, International Journal of Bifurcation and Chaos vol. 3 (1993)
1411–1422.
12– C. Underwood, D. Brock, P. Williams, S. Kim, R. Dilão, P. Ribeiro Santos, M.
Brito, C. Dyer e A. Sims, Radiation Environment Measurements with the Cosmic
Ray Experiments On-Board the KITSAT-1 and PoSAT-1 Micro-Satellites, IEEE
Transactions on Nuclear Sciences vol. 41 (1994) 2353–2360.
13– R. Dilão e R. Schiappa, Stable Knotted Strings, Physics Letters B vol. 404 (1997)
pág. 57–65.
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14– R. Dilão e J. Sainhas, Validation and Calibration of Models for Reaction-Diffusion
Systems, International Journal of Bifurcation and Chaos vol. 8, n. 6 (1998) 11631182.
15– R. Alves Pires e R. Dilão, The Design of Synchrotron Accelerators, Mathematica
in Education and Research, vol. 7 (1998) 6-11.
16– J. Sainhas e R. Dilão, Wave Optics in Reaction-Diffusion Systems, Physical Review
Letters, vol. 80 (1998) 5216-5219.
17– R. Schiappa e R. Dilão, The Dynamics of Knotted Strings Attached to D-Branes,
Physics Letters B, vol. 427 (1998) 26-32.
18– I. Alcobia, R. Dilão e L. Parreira, Spatial Association of Centromeres in the Nuclei
of Hematopoietic Cells: Evidence for cell-type-specific organizational patterns,
Blood, vol. 95 (2000) 1608-1615 (Erratum, Blood, vol. 96 (2000) 987).
19– R. Dilão e T. Domingos, A General Approach to the Modelling of Trophic Chains,
Ecological Modelling vol. 132 no 3 (2000) 191-202.
20– R. Dilão e T. Domingos, Periodic and Quasi-Periodic Behavior in Resource Dependent Age Structured Population Models, Bulletin of Mathematical Biology
vol. 63 (2001) 207-230.
Capı́tulos em Livros
1– R. Dilão, Mathematical Models in Population Dynamics and Ecology, in Topics
in Applied Mathematics, J. C. Misra ed., Tatra, Bombay, 2002.
Prémios
Prémio LabMed 1999, Isabel Alcobia, Rui Dilão e Leonor Parreira. (Prémio atribuı́do
a um trabalho original sobre Medicina Laboratorial, http://www.labmed.pt/premiolabmed/venc-p99.htm).
Impacto Internacional do Trabalho de Investigação
1– O artigo publicado na Physical Review Letters, vol. 80 (1998) 5216-5219, foi escolhido como artigo da semana da American Physical Society com um comentário na
Physical Review Focus. M. Antia, Waves Will be Waves, Physical Review Focus, 8 de
Junho de 1998, http://publish.aps.org/FOCUS/v1/st19.html.
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Livros
1– R. Dilão e R. Alves Pires, Nonlinear Dynamics in Particle Accelerators, World
Scientific Series in Nonlinear Science, Series A, World Scientific Publishing, ISBN 981–
02–2517–2, 1996. Anexo 1.
Publicações Cientı́ficas em Proceedings Internacionais com Referee
1– J. Dias de Deus, R. Dilão e J. Taborda Duarte, Topological Entropy and Scaling
Behaviour, Lecture Notes in Physics vol. 179 (1983) pág. 225–226.
2– R. Alves Pires e R. Dilão, Dynamical Systems Methods in Accelerator Physics:
The Dynamic Aperture Problem, Lecture Notes in Physics vol. 355 (1990) pág.
251–259.
3– J. Toste-Rêgo e R. Dilão, A fast parallel computing machine for real time decision
making: Applications to real time processing, war games, forest fire and fluid dynamics models, AGARD-CP-557 (1995) pág. 29.1-29.6, Advisory Group for Aerospace Research & Development (AGARD) Conference 557, Tactical Aerospace
C 3 I in Coming Years, North Atlantic Treaty Organization (NATO), Paris, 1995.
4– Rui Alves-Pires, Rui Dilão, Hélia Neves, Leonor Parreira e Joaquim Sainhas,
Anisotropy-free Laplacian filters, contour detection, and 3D image reconstruction
for confocal microscopy imaging, Proceedings of the RecPad98’, 10th Portuguese
Conference on Pattern Recognition, Muge, F., Piedade, M. & Pinto, J. C. (ed.)
CVRM/IST, ISBN 972-97711-0-3, pp. 247-251, 1998.
Outras Publicações Cientı́ficas
1– R. Dilão, José M. Ferreira e J. Taborda Duarte, On the Existence of Invariant
Cones, CFMC E6/83 (1983).
2– J. Dias de Deus, R. Dilão e J. Taborda Duarte, On the Construction of Graphs
of the Iterates of One Dimensional Maps on the Interval, CFMC E3/84 (1984).
Com várias citações em revistas cientı́ficas com referee.
3– J. Dias de Deus, R. Dilão e A. Noronha da Costa, Binary Numbers and One Dimensional Deterministic Dynamical Systems, CFMC E13/84 (1984).Com várias
citações em revistas cientı́ficas.
4– R. Dilão e F. Schmidt, Reconstruction of Phase Space from Time Series in Accelerator Beam Dynamics, CERN Report SPS/88-48 (AMS) (1988).
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Patentes
1– R. Dilão e P. Dias, FASTGRAF 1.0, DGE número 25938 de 1995. Conjunto de
programas gráficos e de programas de cálculo cientı́fico, em formato de subroutina,
para a inclusão de interfaces gráficas em programas escritos na linguagem ANSI
C.
2– R. Alves-Pires e R. Dilão, Design.m, Ministério da Cultura n0 51776 de 18/3/1998,
aceite em 23 /4/1998, ofı́cio n0 1001 IGAC. Pacote de software para o dimensionamento e design de aceleradores sincrotrão.
Publicações de Divulgação Cientı́fica
1– R. Dilão, Autómatos Celulares, dos Modelos Matemáticos à Connection Machine,
Futuro, ano 1 número 7 (1987) 22-25.
2– R. Alves Pires e R. Dilão, Como se fazem e para que servem os aceleradores de
partı́culas?, Gazeta de Fı́sica, vol. 15 (1992) pág. 56–66.
3– R. Dilão, Autómatos Celulares, Máquinas de Turing ou a Natureza como Máquina
de Cálculo, Colóquio Ciências, número 12 (1993) pág. 3–20.
4– R. Dilão, A Ciência dos Sistemas Complexos, Técnica, número 1/95 (1995) pág.
1–15.
5– R. Alves Pires e R. Dilão, The Design of Particle Accelerators, IST Science and
Technology, número 3 (1998) pág. 13–15.
6– J. Sainhas e R. Dilão, Morfogénese em Sistemas de Reacção-Difusão, Ciência,
número 9 (1998) 35-40.
7– R. Dilão e J. Sainhas, Morphogenesis: an interdisciplinary scientific field, Buletim
de Biotecnologia, número 63 (1999) 2-4.
Textos para o Ensino Universitário
1– R. Dilão, Mecânica Analı́tica, IST, 1989. Abordagem geométrica da mecânica
analı́tica em que se introduzem as técnicas qualitativas de análise no espaço de
fases. Anexo 4.
2– R. Dilão, Técnicas Matemáticas da Fı́sica, IST, 1995, Associação de Estudantes.
Notas de apoio para a cadeira de Técnicas Matemáticas da Fı́sica I. Introdução
aos métodos funcionais em Fı́sica. Anexo 2.
3– R. Dilão, Introdução Informal aos Sistemas Dinâmicos, IST. Notas para a cadeira
de Técnicas Matemáticas da Fı́sica III. Anexo 3.
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4– R. Dilão, Termodinâmica, IST. Notas para a cadeira de Fı́sica II. Anexo 5.
5– R. Dilão, Tópicos de Sistemas Dinâmicos, IST. Notas para a cadeira de Tópicos
Especiais II (Licenciatura em Matemática). Anexo 6.
Livros de Divulgação Cientı́fica (Ensino Básico e Secundário)
1– Onde Estás?, Materiais para Observar e Experimentar, publicado pelo Ministério
da Ciência e da Tecnologia, Agência Ciência Viva, 1999, ISBN: 972–97805–1–X.
Versão inglesa: ISBN: 972–97805–7–9.
2– Latitudes e Longitudes, publicado pelo Ministério da Ciência e da Tecnologia,
Agência Ciência Viva, 1999, ISBN: 972–97805–2–8. Versão inglesa: ISBN: 972–
97805–8–7.
Actividade Pedagógica
No perı́odo pré-doutoramento foi assistente da cadeira de Mecânica Geral em que
leccionou aulas práticas e de laboratório. Depois do doutoramento leccionou a componente de laboratório de uma cadeira de Electromagnetismo. Deu aulas teóricas e
práticas das cadeiras de Mecânica Analı́tica e Termodinâmica. De 1990 a 1999 foi responsável pelas cadeiras de Técnicas Matemáticas da Fı́sica I e Técnicas Matemáticas
da Fı́sica III. Tem vindo a orientar vários projectos de licenciatura de alunos do Curso
de Engenharia Fı́sica e de Engenharia Electrotécnica e de Computadores.
Orientação de Teses de Doutoramento
1– Orientou a tese de doutoramento do Doutor Rui Alves Pires, intitulada ”Nonlinear
Transverse Beam Dynamics in Synchrotron Accelerators (With Emphasis on the
Interaction of the Beam with Pockets of Ions)”. As provas foram realizadas em
Maio de 1992, no Instituto Superior Técnico, e a classificação final foi de louvor e
distinção.
2– Orientou a tese de doutoramento do Doutor Joaquim Sainhas, intitulada ”Morfogénese em Sistemas de Reacção-Difusão”. As provas foram realizadas em 19 de
Novembro de 1999, no Instituto Superior Técnico, e a classificação final foi de
aprovado.
3– Orientou a tese de doutoramento do Engenheiro Tiago Delgado Domingos, intitulada ”Theory and Modelling of Ecological Systems”. As provas foram realizadas
em 23 de Abril de 2001, no Instituto Superior Técnico, e a classificação final foi
de aprovado.
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Orientação de projectos de Pós-doutoramento
1– Elman Shahverdiev, Outubro de 2000 a Dezembro de 2000.
2– András Volford, Maio de 2001 a Julho de 2001.
3– Abdelkader Lakmeche, Outubro de 2001 a Setembro de 2002.
Orientação de Projectos de Licenciatura
1– Orientou o projecto do Licenciado Miguel Lobo, intitulado ”Sincronização de Sistemas Caóticos”, 1994. Classificação final de 20 valores.
2– Orientou o projecto do Licenciado Ricardo Schiappa, intitulado ”O Problema de
Cauchy para Cordas Relativistas Não-Lineares”, 1994. Classificação final de 20
valores.
3– Orientou o projecto do Licenciado João Correia, intitulado ”A Estrutura em Larga
Escala do Universo”, 1994. Classificação final de 20 valores.
4– Orientou o projecto do Licenciado Tiago Delagado Domingos, intitulado ”An Ecological Approach to Game Theory”, 1994. Cassificação final de 19 valores.
5– Orientou o projecto do Licenciado Ruy Ribeiro, intitulado ”Classificação de Padrões em Sistemas de Reacção-Difusão”, 1994. Classificação final de 19 valores.
6– Orientou o projecto dos Licenciados Pedro Ribeiro Santos e Miguel Centeno Brito,
intitulado ”The Cosmic Ray Experiment on PoSat1, Data Analysis”, 1994. Classificação final de 18 valores.
7– Orientou o projecto dos Licenciados Madalena Chaves e Miguel Preto, intitulado
”Propagação de ondas de Choque num Sistema Estendido com Atrito SólidoSólido”, 1995. Classificação final de 20 valores.
8– Orientou o projecto do Licenciado Francisco Dionı́sio, intitulado ”Filotaxia: Princı́pios de Auto-Organização”, 1995. Classificação final de 19 valores.
9– Orientou o projecto do Licenciado Tiago Simas, intitulado ”Instalação de uma
rede de microcomputadores com hardware não trademark”, 1995. Classificação
final de 18 valores.
10– Orientou o projecto do Licenciado Jorge Rebelo, intitulado ”O Equilı́brio Termodinâmico das Estrelas”, 1996. Classificação final de 18 valores.
11– Orientou o projecto do Licenciado Sofia Isabel Sousa, intitulado ”Estudo de Núcleos de Linfócitos Humanos, Cálculo de Volumes e Interdistâncias Génicas”, 1999.
Classificação final de 17 valores.
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12– Orientou o projecto do Licenciado Nuno Loureiro, intitulado ”Algoritmos de Simulação de Processos de Reflectometria de Microondas em Plasmas Não-Homogéneos
a 1-Dimensão”, 2000. Classificação final de 20 valores.
13– Orientou o projecto do Licenciado João Graciano, intitulado ”Alguns problemas
em teoria de jogos e dinâmica de populações”, 2001. Classificação final de 19
valores.
14– Orientou o projecto do Licenciado Tiago Paixão, intitulado ”Estados de equilı́brio no modelo de Frenkel-Kontorova e a sua transição para o contı́nuo”, 2001.
Classificação final de 18 valores.
15– Orientou o projecto do Licenciado Pedro Torres, intitulado ”Neuron tissues”, 2001.
Classificação final de 19 valores.
16– Orientou o projecto do Licenciado Miguel Atanásio Carvalho, intitulado ”Controlo Óptimo do Crescimento Macroeconómico. Existência de Ciclos Demográficoeconómicos”, 2002. Classificação final de 20 valores.
17– Orientou o projecto do Licenciado José Carlos Brás, intitulado ”Um modelo para
a circulação sanguı́nea”, 2002. Classificação final de 18 valores.
18– Orientou o projecto do Licenciado Bruno Ferreira, intitulado ”Valuation of European options on underlying paying discrete dividends”, 2002. Classificação final
de 20 valores.
Coordenação de Projectos de Investigação com Financiamento
1– Programa MATER: ”Máquinas de tomada de decisão em tempo real”, Projecto
3: ”Modelos de Autómatos Celulares para o Estudo da Evolução de Sistemas em
Tempo Real”, IST–LNETI–MDN, 1991-1995.
2– ”Dynamical Systems Techniques for the Design of Particle Accelerators”,
CERN/P/CA/6/90, JNICT, 1991-1992.
3– ”Collective Phenomena in Particle Accelerators”, CERN/C/FAE/73/91, JNICT,
1992-1995.
4– ”Técnicas de Sistemas Dinâmicos em Fı́sica de Aceleradores de Partı́culas”,
STRD/C/FAE/1000/92, JNICT, 1992-1995.
5– ”Programa de Exploração Cientı́fica do Satélite PoSAT-1”, Consórcio PoSAT-1,
Ministério da Indústria e Energia, 1993-1994.
6– ”Sistemas de Reacção-Difusão: Simulação e Experiência”, PRAXIS, PCEX/P/FIS
/26/96, Praxis XXI, 1997-1998.
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7– ”Análise Matemática e Processamento de Imagem em Microscopia Confocal”,
PRAXIS, PSAU/C/SAU/30/96, Praxis XXI, 1997-1998.
8– ”Formação de Padrões através de Mecanismos de Reacção-Difusão”, PRAXIS
XXI, PRAXIS/P/FIS/13161/1998, 1999-2001.
Participação em Projectos de Investigação Internacionais com Financiamento
1– ”REACTOR, Nonlinear Chemistry in Complex Reactors: Models and Experiments”, projecto internacional com a participação de investigadores de nove paı́ses europeus e financiado pela European Science Foundation. Membro do Steering Committee,
2000-2004.
Participação em Projectos de Investigação Nacionais com Financiamento
1– ”Predicting Radiation Doses in the Internal Van Allen Belt”, PRAXIS XXI,
PRAXIS/P/FIS/10117/1998, 1999-2001.
Funções de Organização e Gestão
1– Foi o responsável pela Biblioteca do Departamento de Fı́sica, de 1989 a Dezembro
de 1992, e de Outubro de 1994 a Outubro de 1998. Organizou e reestruturou os
serviços de biblioteca e documentação cientı́fica do Departamento de Fı́sica do
IST.
2– Foi o representante do Departamento de Fı́sica ao Conselho de Bibliotecas do IST,
desde que este foi formado em 1990 a Outubro de 1998.
3– É o coordenador do Grupo de Dinâmica Não-Linear, desde Janeiro de 1997.
Comunicações em Congressos Internacionais,
Escolas Internacionais e Academias
1– Rui Dilão, Topological Entropy and Scaling Behaviour in Maps of the Interval,
Sitges, Barcelona, Junho 1982.
2– Rui Dilão, Topological Entropy and Lyapunov Exponents in Maps of the Interval,
Copenhaga, Junho 1983.
3– Rui Dilão, The measure of complexity in cellular automata, 1988 SIAM Annual
Meeting, July 11-15, Minneapolis, Minnesota.
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4– Rui Dilão, Non-linear Phenomena in Particle Accelerators, Dynamics Days 1993,
Poznam, July 8-11, Polónia.
5– J. Toste-Rêgo e R. Dilão, A fast parallel computing machine for real time decision
making: Applications to real time processing, war games, forest fire and fluid dynamics models, Conference 557, Tactical Aerospace C 3 I in Coming Years, North
Atlantic Treaty Organization (NATO), Instituto de Defesa Nacional, 1995.
6– Rui Dilão, Chaos, CERN School on Particle Accelerators, Cascais, Setembro 1-15,
1996.
7– Rui Dilão, Morfogénese de padrões naturais, uma abordagem teórica à biologia do
desenvolvimento, Primeiro Forum da Sociedade das Ciências Médicas, Academia
Portuguesa de Medicina, Lisboa, 28 de Fevereiro de 1997.
8– Rui Dilão e Tiago Domingos, A generic model for population dynamics, International Society for Ecological Modelling, Meeting 1997, Montreal, Quebec, Canada,
3-7 August 1997.
9– Tiago Domingos e Rui Dilão, A mechanistic deduction for a trophic interaction
model, International Society for Ecological Modelling, Meeting 1997, Montreal,
Quebec, Canada, 3-7 August 1997.
10– Joaquim Sainhas e Rui Dilão, Simulating chemical waves in extended systems, Second European Conference on Computational Chemistry, EUCO-CC2, 2-6 September, 1997, Faculty of Sciences, Lisbon.
11– Rui Dilão e Joaquim Sainhas, Validation and Calibration of Models for ReactionDiffusion Systems Non-Linear Dynamics and Stochastic Behaviour in Spatially
Extended, Complex Systems, Budapest, Hungary, 24-28 October 1997.
12– Joaquim Sainhas e Rui Dilão, Wave Optics in Reaction-Diffusion Systems, ”Patterns, Non-Linear Dynamics and Stochastic Behaviour in Spatially Extended,
Complex Systems”, Budapest, Hungary, 24-28 October 1997.
13– Rui Alves-Pires, Rui Dilão, Hélia Neves, Leonor Parreira e Joaquim Sainhas,
Anisotropy-free Laplacian filters, contour detection, and 3D image reconstruction for confocal microscopy imaging, RecPad’ 98, 10th Portuguese Conference
on Pattern Recognition, Lisboa, Março 26-27, 1998.
14– Joaquim Sainhas e Rui Dilão, A model for the development of butterfly eyespot
patterns, Patterns, ”The Mathematical Biology of Pattern and Process”, University of Bath, 5-9 April 1998.
15– Tiago Domingos e Rui Dilão, A General Model for Trophic Chain Dynamics,
1998 Meeting, International Society for Ecological Modeling, Baltimore, Maryland, USA, 2-6 August.
16– Tiago Domingos e Rui Dilão, A General Approach to the Modelling of Trophic
Chains, 1999 SMB Annual Meeting, Theory and Mathematics in Biology and
Medicine, Amsterdam, Netherland, 29 June-3 July, 1999.
17– Rui Dilão, Waves, spirals and pinwheels in non-linear reaction-diffusion systems,
Symposium Engineering of Chemical Complexity, Fritz Haber Institute der Max
Planck Gesellschaft, Berlin, 14-16 June 2000.
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18– Filipa Alves e Rui Dilão, Segmentation through a reaction-diffusion mechanism
in Drosophila early development, Berkeley, 14-16 July 2000.
19– Filipa Alves e Rui Dilão, Segmentation through a reaction-diffusion mechanism
in Drosophila early development, International Conference on Mathematics in
Biology, Annual Meeting of The Society for Mathematical Biology, August 3-5,
2000, Salt Lake City, Utah.
20– Rui Dilão, Pattern formation near a Hopf singularity. Center for Complex and
Nonlinear Systems, Technical University of Budapest, Budapest, 19 de Setembro
de 2000 Budapest.
21– Rui Dilão, Pattern formation in biology. Center for Complex and Nonlinear Systems, Technical University of Budapest, Budapest, 20 de Setembro de 2000 Budapest.
22– Rui Dilão, The morphogenesis problem in biology. Case studies: The Drosophila
segmentation and Butterfly patterns. Mathematical Models in Biology. Instituto
Gulbenkian de Ciência, 9-14 Outubro de 2000.
23– Rui Dilão, Nonlinearity, chaos, robustness, sensitivity to initial conditions and
strange attractors: their importance in life sciences. Mathematical Models in Biology. Instituto Gulbenkian de Ciência, 9-14 Outubro de 2000.
24– Rui Dilão, Does chaos exists in population dynamics? Mathematical Models in
Biology. Instituto Gulbenkian de Ciência, 9-14 Outubro de 2000.
25– Rui Dilão e Joaquim Sainhas, Modelling the development of butterfly wing eyespot
patterns. Gordon Research Conference on Nonlinear Science, June 17-22, 2001,
Mount Holyoke College, South Hadley, MA.
26– Filipa Alves e Rui Dilão, Mathematical models for positive and negative regulation
of gene expression. International Conference on Mathematical and Theoretical
Biology, Annual Meeting of The Society for Mathematical Biology, July 16-19,
2001, University of Hawaii at Hilo, Hawaii.
27– Rui Dilão and Tiago Domingos, Periodic and quasi-periodic behavior in resource
dependent age structured population models. International Conference on Mathematical and Theoretical Biology, Annual Meeting of The Society for Mathematical
Biology, July 16-19, 2001, University of Hawaii at Hilo, Hawaii.
28– Rui Dilão, Tiago Domingos and Elman M. Shahverdiev, Harvesting in a resource
dependent age structured population model. International Conference on Mathematical and Theoretical Biology, Annual Meeting of The Society for Mathematical
Biology, July 16-19, 2001, University of Hawaii at Hilo, Hawaii.
29– Rui Dilão, Activity waves from excitable dynamics in extended chemical and neuronal systems. 4th Gulbenkian Autumn Meeting/1st Portuguese Meeting on Theoretical and Computational Biology, 23rd-26th of October 2001, Instituto Gulbenkian de Ciência Oeiras.
30– Filipa Alves and Rui Dilão, Mathematical models for positive and negative regulation of gene expression. 4th Gulbenkian Autumn Meeting/1st Portuguese Meeting
on Theoretical and Computational Biology, 23rd-26th of October 2001, Instituto
14
Gulbenkian de Ciência Oeiras.
31– Rui Dilão, Modelos Matemáticos em Ecologia e Dinâmica de Populações. Departamento de Fı́sica da Universidade do Porto, 11 de Janeiro de 2002.
32– Rui Dilão, Diffusion and Reaction-Diffusion in Physics, Chemistry and Biology:
The BZ paradigm. Instituto Gulbenkian de Ciência, Programa de Formação em
Biologia Teórica. 26 de Março de 2002.
33– Rui Dilão, Reaction-Diffusion models for the understanding of morphogenesis.
Instituto Gulbenkian de Ciência, Programa de Formação em Biologia Teórica. 26
de Março de 2002.
34– Rui Dilão, As várias perspectivas na modelação matemática de sistemas biológicos.
Bioinformática 2002. 10 de Abril de 2002.
35– Filipa Alves and Rui Dilão, Mathematical models for the regulation of gene expression in prokaryotes, Gordon Research Conference on Theoretical Biology and
Biomathematics, June 9-14, 2002, Tilton, NH, USA.
36– Rui Dilão, Turing patterns in the neighborhood of a Hopf bifurcation, 12th International Workshop on Dynamics and Control of Complex Systems in Nature and
Society, August 19-21, 2002, Los Angeles, CA, USA.
Pareceres
1– R. Alves-Pires e R. Dilão, Parecer técnico sobre a eventual instalação em Portugal
do acelerador de electrões de 1 GeV do Nikhef. Parecer para o Ministério da Ciência e
Tecnologia, Dezembro de 1997.
Rui Manuel Agostinho Dilão
15
Anexo 1
Nonlinear Dynamics in Particle Accelerators
(World Scientific Publishing, ISBN 981–02–2517–2)
Table of Contents
Preface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . v
Conventions and notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ix
1 Introduction to accelerator physics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Accelerators in medicine and industry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3 Nonlinear phenomena in particle accelerators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6
1.4 Acceleration and guiding of charged particles.
Physical principles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.5 Accelerator types . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.5.1 Linear accelerators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.5.2 The cyclotron . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.5.3 The isochronous cyclotron . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.5.4 The synchrocyclotron . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.5.5 The betatron . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.5.6 The synchrotron . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.6 How to build a synchrotron accelerator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.6.1 Confinement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.6.2 Acceleration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.6.3 Focusing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.7 Synchrotron radiation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.8 A short guide to accelerator bibliography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2 Equations of motion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.1 Equations of motion in the transverse plane. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.1.1 Transverse motion in straight sections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.1.2 Transverse motion in straight sections with special purpose magnets 34
2.1.3 Transverse motion inside dipoles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.2 The design orbit and its stability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.3 Focusing properties of pairs of quadrupoles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.4 Longitudinal motion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3 Introduction to the qualitative theory of nonlinear differential equations
63
3.1 Phase space, fixed points and stability. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.2 Floquet theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
3.3 Poincaré maps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
3.4 Maps of the plane. Homoclinic and heteroclinic orbits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
16
3.5 Normal forms for two dimensional conservative maps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
3.6 Tune, tune shift and resonance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
4 Dynamics and stability of guiding and focusing. Linear optics of synchrotrons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .103
4.1 Transfer matrices, Poincaré maps and integrability of the
equations of motion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
4.2 The Courant and Snyder β-function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
4.3 Invariants, emittance, beam envelope and admittance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
4.4 Simple examples of synchrotron design . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .121
4.5 Off-momentum motion. The dispersion function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
4.6 Focusing-defocusing (FD) and focusing-bending-defocusing (FBD)
basic cells . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
4.6.1 The FD cell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .132
4.6.2 The FBD cell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
4.7 Chromaticity and chromatic correction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
4.8 Linear field errors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
4.9 The design of a synchrotron . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
5 Nonlinear motion in the transverse plane: sextupoles . . . . . . . . . . . . . . . . 153
5.1 Nonlinear equations of motion in the thin lens approximation . . . . . . . . . . . 155
5.2 Tracking simulations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
5.3 Chromatic correction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
5.4 Beam lines with one sextupolar error . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
5.5 Coupled motion in the two transverse directions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
6 The beam-beam interaction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
6.1 Equations of motion for the beam-beam effect . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
6.2 The general Poincaré map for localized interactions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
6.3 The beam-beam force . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
6.4 Dynamics of the linearized beam-beam Poincaré map . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
6.5 The nonlinear beam-beam map . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
6.6 Beam-beam tune shift . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
Appendices
A1 Motion of relativistic charged particles in uniform
electromagnetic fields . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
A2 An accelerator design program . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .199
A3 The p̄ accumulator design . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
Subject index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
17
Anexo 2
Técnicas Matemáticas da Fı́sica
1- Introdução à Análise Funcional e aos Espaços de Hilbert.
1.1- Medida e Integração. Integral de Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2- Espaços de funções e espaços de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.3- Base de um Espaço de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.4- Séries de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .37
1.5- Distribuições . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
1.6- A equação das ondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
2- Transformadas de Fourier e Laplace.
2.1- Transformada de Fourier e Funções de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
2.2- A equação do calor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
2.3- Transformada de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
2.4- Reflexão de ondas. Meios dispersivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
2.5- Transformada de Fourier Discreta (FFT) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
3- Equações às derivadas parciais.
3.1- Forma canónica para as equações às derivadas parciais de duas variáveis . 125
3.2- Equação das caracterı́sticas e problema de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
4- Tópicos de Seminário.
4.1- Caos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
4.2- Solitões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
4.3- Wavelets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
Apêndice 1- Resı́duos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
Apêndice 2- Exercı́cios de Exames . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
Apêndice 3- Introdução ao MATHEMATICA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
18
Anexo 3
Uma Introdução Informal aos Sistemas Dinâmicos
1 Introdução aos sistemas dinâmicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1 Equações diferenciais como sistemas dinâmicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Sistemas hamiltonianos e equações diferenciais no cı́rculo e no toro . . . . . . . 10
1.3 Aplicações do intervalo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.4 Dinâmica simbólica e funções lineares no toro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
1.5 Processos de Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
1.6 Autómatos celulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
1.7 Aplicações do plano complexo, conjuntos fractais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2 Sistemas dinâmicos não-lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.1 Conjuntos limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
2.2 Funções de Poincaré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
2.3 O teorema de Poincaré-Bendixon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
2.4 As variedades estável, instável e central . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
2.5 Dinâmica na variedade central . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
2.6 Ressonância paramétrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
3 Caos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
3.1 A ferradura de Smale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
3.2 Conjuntos de Cantor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
3.3 Caos e sensibilidade em relação às condições iniciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
4 Introdução à teoria ergódica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
4.1 Medidas invariantes e operador de Frobenius-Perron . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
4.2 Ergodicidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
4.3 Mixing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
4.4 Existência de medidas invariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .111
4.5 Koopmanismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
4.6 A hipótese ergódica de Boltzmann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
5 Grandezas que medem o caos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
5.1 Expoentes de Liapunov e teorema de Oseledec . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
5.2 Informação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
5.3 Entropia Métrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
Apêndices
A1 Aspectos elementares de topologia, variedades e teoria da medida . . . . . . . . . . . . 175
A1.1 Espaços topológicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
A1.2 Variedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
A1.3 Medida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
A2 Integração de equações diferenciais lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
19
1.
2.
3.
4.
5.
Anexo 4
NOTAS DE MECÂNICA ANALÍTICA
Princı́pios de Mecânica Newtoniana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
Ligações, Coordenadas Generalizadas e Espaço de Fases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
Métodos Variacionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
Princı́pios de Conservação e Teorema de Noether . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
Mecânica Hamiltoniana e Invariância do Volume de Fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
Bibliografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
20
Anexo 5
Termodinâmica
1 As bases fı́sicas da termodinâmica.
1.1 - Sistemas termodinâmicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 - Calor e temperatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3 - As leis dos gases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2 O primeiro princı́pio da termodinâmica.
2.1 O primeiro princı́pio da termodinâmica e o trabalho mecânico . . . . . . . . . . . . 18
2.1 Capacidade calorı́fica e energia interna de gases ideais. Equipartição da energia
21
2.1 Processos adiabáticos em gases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3 O segundo princı́pio da termodinâmica.
3.1 O segundo princı́pio, máquinas térmicas e o ciclo de Carnot . . . . . . . . . . . . . . 30
3.1 Entropia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4 As reacções quı́micas e os potenciais termodinâmicos.
4.1 A entalpia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.1 A energia livre e a função de Gibbs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.1 As relações de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
5 Radiação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
5.1
21
Anexo 6
Tópicos de Sistemas Dinâmicos
1 Introdução à Teoria Ergódica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1 Medidas invariantes e operador de Forbenius-Perron . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1
1.2 Ergodicidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3 Mixing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4 Existência de medidas invariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.5 Koopmanismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.6 Hipótese ergódica de Boltzman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.7 Bilhares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.8 Grandes números e limite central . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2 Solitões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.1 Solitões como soluções particulares da equação das ondas . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.2 Redes cristalinas com interacções não-lineres: a equação de Korteweg e de
Vries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3 Geometria das equações às derivadas parciais de primeira ordem . . . . . . . . . . . . . . 35
3.1 Propagação de singularidades e perestroikas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.2 A transformação de Hopf-Cole e a regra das fases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.3 Resolução da equação quasi-linear das ondas pelo método das caracterı́sticas
43
4 Cinética quı́mica e equações de reacção-difusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.1 As equações da cinética quı́mica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.2 O mecanismo enzimático de Michaelis-Menten: perturbações singulares . . . 51
4.3 Sistemas de reacção-difusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
5 Modelos em ecologia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
5.1 A equação logı́stica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
5.2 O modelo de Lotka-Volterra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
5.3 O modelo de Leslie: classes de idades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
5.4 Predação, competição e simbiose . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
5.5 Um modelo discreto com controlo logı́stico nos recursos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
5.6 Harvesting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
5.7 Um modelo para uma cadeia trófica simples: carnı́voro-herbı́voro-erva . . . . 64
6 Teoria dos jogos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
6.1 Estratégias puras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
6.2 Estratégias mistas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
6.3 Dinâmica de jogos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
22