PROFESSOR : ALEXANDRE PORTELA
MATÉRIA: MATEMATICA
ASSUNTO: PROPORCIONALIDADE
REQUISITO BÁSICO: FRAÇÕES
Assim, por exemplo, se tivermos uma pizza inteira e a
dividimos em tres partes iguais, cada parte representará
uma fração da pizza.
RAZÃO:
Na matemática, a razão é uma relação entre
duas grandezas proporcionais (qualquer
dimensão ), e algumas vezes representada
aritmeticamente como um quociente adimensional
das duas quantidades (não necessariamente
um inteiro).
EXEMPLO:
Os índios Baniwa fazem parte do complexo cultural de 22
povos indígenas da Amazônia brasileira. Somam cerca
de 12 mil pessoas, das quais 4 mil vivem no Brasil e o
restante, na Colômbia e na Venezuela. A razão entre o
número de índios Baniwa que vivem no Brasil e que
vivem no exterior é:
(A) 1 / 2 (B) 1 / 3 (C) 1 / 4 (D) 2 / 3 (E) 3 / 4
SOLUÇÃO:
SOLUÇÃO:
PROFESSOR : ALEXANDRE PORTELA
MATÉRIA: MATEMATICA
ASSUNTO: TEORIA DE CONJUNTOS
Teoria dos conjuntos é o ramo
da matemática que estuda conjuntos, que
são coleções de elementos. No estudo de
Conjuntos, trabalhamos com alguns
conceitos primitivos, que devem ser
entendidos e aceitos sem definição.
2. Notação e Representação
A notação dos conjuntos é feita mediante a
utilização de uma letra maiúscula do nosso
alfabeto e a representação de
um conjunto pode ser feita de diversas
maneiras:
EXEMPLOS:
FORMA TABULAR:
1º) Seja A o conjunto das cores da bandeira brasileira, então:
A = {verde, amarelo, azul, branco}
2º) Seja B o conjunto das vogais do nosso alfabeto, então:
B = {a, e, i, o, u}
3º) Seja C o conjunto dos algarismos do sistema decimal de
numeração, então:
C = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
Propriedade de seus elementos:
A = {x / x possui uma determinada propriedade P}
Exemplos
1º) Seja B o conjunto das vogais do nosso alfabeto, então:
B = {x / x é vogal do nosso alfabeto}
2º) Seja C o conjunto dos algarismos do sistema decimal
de numeração, então:
C = {x/x é algarismo do sistema decimal de numeração}
Diagrama de Euller-Ven:
Exemplo
Importante – A relação de pertinência relaciona um
elemento a um conjunto e a relação de inclusão referese, sempre, a dois conjuntos.
Número de Elementos do conjunto de
partes
Exemplo: Em uma sala existem 6 lâmpadas que podem
ser ligadas por 6 interruptores independentes. De
quantas formas podemos iluminar essa sala com pelo
menos uma dessas lâmpadas?
Diferença entre dois conjuntos. –
Dados dois conjuntos A e B chama-se conjunto
diferença ou diferença entre A e B o conjunto formado
pelos elementos de A que não pertencem a B.
O conjunto diferença é representado por A – B.
Exemplo 1:
A = {1,2,3,4,5} e B = {3,4,5,6,7} a diferença dos
Conjuntos é:
A – B = {1,2}
Exemplo 2:
A = {1,2,3,4,5} e B = {8,9,10} a diferença
dos conjuntos é:
A – B = {1,2,3,4,5}
PROFESSOR : ALEXANDRE PORTELA
MATÉRIA: MATEMATICA
ASSUNTO: DIVISÃO PROPORCIONAL E REGRAS DE TRES
DIVISÃO PROPORCIONAL
Definição:
Podemos definir uma DIVISÃO PROPORCIONAL,
como uma forma de divisão no qual determinamse valores que, divididos por quocientes
previamente determinados, mantêm-se uma razão
que não tem variação.
A divisão proporcional pode ser:
- Direta
- Inversa
- Direta e Inversa ao mesmo tempo.
Divisão em partes diretamente proporcionais
O total dos números a ser dividido está para a
soma dos proporcionais, assim como o número
proporcional está para a parte que a representa.
EXEMPLO:
As famílias de duas irmãs, Alda e Berta, vivem na
mesma casa e a divisão das despesas mensais é
proporcional ao número de pessoas de cada
família. Na família de Alda são três pessoas e na
de Berta, cinco. Se a despesa, num certo mês, foi
de R$ 1 280,00, quanto pagou, em reais, a família
de Alda?
(A) 320,00 (B) 410,00 (C) 450,00
(D) 480,00 (E) 520,00
SOLUÇÃO:
EXEMPLO:
João vai dividir R$24.000,00 com seus primos, em
3 partes diretamente proporcionais a 1, 2 e 3,
respectivamente. Sabendo-se que o mais velho é o
que receberá o maior valor, a parte deste
corresponderá, em reais, a
(A) 12.000,00 (B) 10.000,00 (C) 8.000,00
(D) 4.000,00 (E) 3.000,00
SOLUÇÃO:
DIVISÃO EM PARTES INVERSAMENTE
PROPORCIONAIS:
Para decompor um número em partes inversamente
proporcionais é decompor este número em partes
diretamente proporcionais aos inversos das constantes
dadas.
EXEMPLOS:
Dois funcionários receberam a incumbência de catalogar
153 documentos e os dividiram entre si, na razão inversa de
suas respectivas idades: 32 e 40 anos. O número de
documentos catalogados pelo mais jovem foi
(A) 87 (B))85 (C) 70 (D) 68 (E) 75
SOLUÇÃO:
EXEMPLO:
As 1430 latas de suco de um supermercado foram
distribuídas em 3 caixas de tamanhos diferentes, de forma
que as quantidades de latas nas caixas fossem
inversamente proporcionais aos números 2, 3 e 4. Quantas
latas a caixa maior recebeu?
(A) 660 (B) 440 (C) 330 (D) 220 (E) 110
SOLUÇÃO:
DIVISÃO EM PARTES DIRETAMENTE E INVERSAMENTE
PROPORCIONAIS:
Sejam x, y, z números tais que x é diretamente proporcional
a 2, y é diretamente proporcional a 3 e z é inversamente
proporcional a 4. Se x + y + z = 210 , o valor de xy / z é:
A) 720 B) 810 C) 900 D) 960 E) 980
SOLUÇÃO:
REGRAS DE TRÊS:
A proporcionalidade, para a matemática, a química e
a física, é a mais simples e comum relação entre
grandezas. A proporcionalidade direta é um conceito
matemático amplamente difundido na população leiga pois
é bastante útil e de fácil resolução através da “Regra de
Três".
REGRAS DE TRÊS SIMPLES DIRETA:
Quando existe proporcionalidade direta, a razão (divisão)
entre os correspondentes valores das duas grandezas
relacionadas é uma constante, e a esta constante dá-se o
nome de constante de proporcionalidade.
Exemplo :
Para fazer 600 pães, são gastos, em uma padaria, 100 Kg
de farinha. Quantos pães podem ser feitos com 25kg de
farinha?
Estabelecemos a seguinte relação:
600 -------------- 100
x -------------- 25
Podem ser feitos 150 pães.
REGRAS DE TRÊS SIMPLES INVERSA:
Quando existe proporcionalidade inversa, a razão (divisão)
entre os correspondentes valores das duas grandezas
relacionadas são inversas, quando uma divide a outra
multiplica na mesma constante proporcional.
EXEMPLO:
Doze pedreiros trabalhando juntos conseguem construir um
certo muro em 6 horas de trabalho. Se ao invés de doze,
fossem dezoito pedreiros, em quantas horas tal muro
poderia ser construído?
SOLUÇÃO:
Regra de três composta:
A regra de três composta é utilizada em problemas com
mais de duas grandezas, direta ou inversamente
proporcionais.
EXEMPLO:
Para fabricar 12 máquinas de empacotar remédios, 5
operários trabalham durante 10 dias. O número de
operários que devem trabalhar para que uma encomenda
de 48 máquinas possa ser entregue em 8 dias é igual a:
A) 15 B) 20 C) 25 D) 30 E) 35
SOLUÇÃO:
PROFESSOR : ALEXANDRE PORTELA
MATÉRIA: MATEMATICA
ASSUNTO: JUROS SIMPLES E COMPOSTOS.
PORCENTAGEM OU PERCENTAGEM
Percentagem ou Porcentagem (do latim per centum, significando "por
cento", "a cada centena") é uma medida de razão com base 100 (cem).
É um modo de expressar uma proporção ou uma relação entre 2 (dois)
valores (um é a parte e o outro é o inteiro) a partir de uma fração cujo
denominador é 100 (cem), ou seja, é dividir um número por 100 (cem).
Observação1:
Todo percentual depende de referencial.
Exemplo:
Segundo dados do IBGE, a média de ocupação de
um domicílio no Brasil caiu de 5 pessoas, nos anos
70, para 3,5, nos dias atuais. Em relação aos anos
70, a média de ocupação de um domicílio brasileiro
foi reduzida em:
(A) 15% (B) 30% (C) 40% (D) 55% (E) 70%
SOLUÇÃO:
Observação2:
Todo percentual depende de referencial . Quando
não houver referencial use o valor 100, porque:
18% de 100kg = 18kg
27,5litros são 27,5% de 100 litros
Uma empresa tem, em sua tabela de preços de
venda de produtos aos clientes, o valor sem
desconto (cheio) para pagamento à vista de seus
produtos. No mês de janeiro de 2008, a empresa
deu aos clientes um desconto de 50% sobre o
valor da tabela. Já em fevereiro, o desconto
passou a 40%. No mês de fevereiro,
comparativamente a janeiro, houve, em relação
aos preços,
(A) aumento de 20% (B) aumento de 10%
(C) redução de 10% (D) redução de 20%
(E) redução de 25%
Uma empresa tem, em sua tabela de preços de
venda de produtos aos clientes, o valor sem
desconto (cheio) para pagamento à vista de seus
produtos. No mês de janeiro de 2008, a empresa
deu aos clientes um desconto de 50% sobre o
valor da tabela. Já em fevereiro, o desconto
passou a 40%. No mês de fevereiro,
comparativamente a janeiro, houve, em relação
aos preços,
(A) aumento de 20% (B) aumento de 10%
(C) redução de 10% (D) redução de 20%
(E) redução de 25%
SOLUÇÃO:
MONTANTE OU RESGATE:
No final de n períodos, é claro que o capital será igual ao
capital inicial adicionado aos juros produzidos no período. O
capital inicial adicionado aos juros do período é
denominado MONTANTE (M). Logo, teríamos:
M=C+J
M = montante final
C = capital
J = juros
EXEMPLO:
Um capital de R$ 15.000,00, aplicados a 5% ao
ano, durante 8 anos, qual o juros produzido?
A) 7.000,00 B) 6.000,00 C) 8.000,00
D) 9.000,00 E) 10.000,00
SOLUÇÃO:
EXEMPLO:
Se uma pessoa deseja obter um rendimento de R$
27 000,00 dispondo de R$ 90 000,00 capital, a que
taxa de juros simples quinzenal o dinheiro deverá
ser aplicado no prazo de 5 meses:
A) 10% B) 5% C) 6% D) 3% E) 4%
SOLUÇÃO:
EXEMPLO:
Hugo emprestou certa quantia a Inácio a juros simples, com
taxa mensal de 6%. Inácio quitou sua dívida em um único
pagamento feito 4 meses depois. Se os juros pagos por
Inácio foram de R$ 156,00, a quantia emprestada por Hugo
foi
(A) menor do que R$ 500,00.
(B) maior do que R$ 500,00 e menor do que R$ 1.000,00.
(C) maior do que R$ 1.000,00 e menor do que R$ 2.000,00.
(D) maior do que R$ 2.000,00 e menor do que R$ 2.500,00.
(E) maior do que R$ 2.500,00.
SOLUÇÃO:
EXEMPLO:
Se o capital for igual a 2 / 3 do montante e o prazo de
aplicação for de 2 anos, qual será a taxa de juros simples
considerada?
(A) 1,04% a.m. (B) 16,67% a.m. (C) 25% a.m.
(D) 16,67% a.a. (E) 25% a.a.
SOLUÇÃO:
EXEMPLO:
Marcelo emprestou certa quantia a Augusto, cobrando juros
simples de 4% ao mês. Cinco meses mais tarde, Augusto
pagou o empréstimo, e Marcelo recebeu R$ 420,00. Qual
foi, em reais, a quantia que Marcelo emprestou a Augusto?
(A) 320,00 (B) 336,00 (C) 350,00 (D) 382,00 (E) 400,00
SOLUÇÃO:
EXEMPLO:
O valor, em reais, mais próximo do montante da aplicação
de R$ 2.000,00 a juros compostos de taxa mensal 4% por
dois meses é
(A) 2.040 (B) 2.080 (C) 2.160 (D) 2.163 (E) 2.180
SOLUÇÃO:
EXEMPLO:
Qual é o investimento necessário, em reais, para gerar um
montante de R$ 18.634,00, após 3 anos, a uma taxa
composta de 10% a.a.?
(A) 14.325,00 (B) 14.000,00 (C) 13.425,00
(D) 12.000,00 (E) 10.000,00
SOLUÇÃO:
EXEMPLO:
Uma empresa nordestina produz atualmente 360 toneladas
de óleo de babaçu por ano. Com o aumento das
exportações, essa empresa pretende, nos próximos anos,
aumentar sua produção em 15% ao ano. Sendo assim, qual
será, em toneladas, a produção de óleo de babaçu dessa
empresa daqui a dois anos?
(A) 468,0 (B) 472,2 (C) 476,1 (D) 484,0 (E) 492,3
SOLUÇÃO:
EXEMPLO:
Aplicando-se R$ 5.000,00 a juros compostos, à taxa
nominal de 24% ao ano, com capitalização bimestral, o
montante, em reais, ao fim de 4 meses, será
(A) 5.400,00 (B) 5.405,00 (C) 5.408,00
(D) 6.272,00 (E) 6.275,00
SOLUÇÃO:
EXEMPLO:
Um investimento rende a taxa nominal de 12% ao ano com
capitalização trimestral. A taxa efetiva anual do rendimento
correspondente é,aproximadamente,
(A) 12% (B) 12,49% (C) 12,55%
(D) 13% (E) 13,43%
SOLUÇÃO:
EXEMPLO:
Um capital foi aplicado, sob regime de juros compostos,
durante dois meses, à taxa de juros de 20% ao mês. A taxa
de inflação, durante esse mesmo período, foi de 8%. A
verdadeira taxa de rendimento obtida nessa aplicação é de,
aproximadamente,
(A) 30% (B) 32% (C) 33% (D) 35% (E) 36%
SOLUÇÃO:
COMPARAÇÕES ENTRE OS JUROS SIMPLES E OS
JUROS COMPOSTOS:
MATEMATICA BÁSICA
Professor: Alexandre Portela
Assunto: Progressões e Funções
PROGRESSÕES
Uma progressão
aritmética (abreviadamente, P. A.)
é uma sequência numérica em que
cada termo, a partir do segundo, é
igual à soma do termo anterior
com uma constante O número é
chamado de razão.
PROGRESSÕES
Alguns exemplos de progressões
aritméticas:
1, 4, 7, 10, 13, ..., é P.A. de razão 3.
-2, -4, -6, -8, -10, ..., é P.A. de r =-2
6, 6, 6, 6, 6, ..., é P.A. de r = 0
PROGRESSÕES
Em uma progressão aritmética
podemos determinar qualquer
termo com base no valor da razão
e do 1º termo. Para tal , basta
utilizar a seguinte expressão do
termo geral:
an = a1 + (n – 1) * r
PROGRESSÕES
Exemplo 1
Sabendo que o 1º termo de uma PA é igual a
2 e que a razão equivale a 5, determine o
valor do 18º termo dessa sequência
numérica.
a18 = 2 + (18 – 1) * 5
a18 = 2 + 17 * 5
a18 = 2 + 85
a18 = 87
O 18º termo da PA em questão é igual a 87.
PROGRESSÕES
Em algumas situações ocorre a necessidade de
determinar o somatório dos termos de uma progressão
aritmética. Nesses casos a expressão
matemática determina a soma dos termos de uma PA.
PROGRESSÕES
Exemplo 2
Na sequência numérica (–1, 3, 7, 11, 15, ...), determine
a soma dos 20 primeiros termos.
Cálculo da razão da PA
3 – (–1) = 3 + 1 = 4
7–3=4
11 – 7 = 4
15 – 11 = 4
PROGRESSÕES
Determinando o 20º termo da PA
a20 = –1 + (20 – 1) * 4
a20 = – 1 + 19 * 4
a20 = – 1 + 76
a20 = 75
PROGRESSÕES
Soma dos termos
PROGRESSÕES
Uma progressão geométrica(ou P.G.) é uma sequência
numérica em que cada termo, a partir do segundo, é
igual ao produto do termo anterior por
uma constante Esta constante é chamada razão da
progressão geométrica. A letra q foi escolhida por ser
inicial da palavra quociente.
PROGRESSÕES
Crescente (q > 0)
Na PG crescente, a razão é sempre positiva, e por isto a
sequência será formada por números crescentes, como:
(1, 3, 9, 27, 81, …), onde a razão é 3
PROGRESSÕES
Constante
Nesta PG, a sequência numérica tem sempre os
mesmos números, podendo ter a excessão do primeiro.
Para isso, a razão deve ser sempre 0 ou 1:
(4, 0, 0,0,0,0,0,0,0, …) onde a razão é 0
(4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, …) onde a razão é 1
PROGRESSÕES
Decrescente
As progressões geométricas decrescentes tem a razão
sempre positiva e diferente de zero, e os números da
sequência são sempre menores do que o número
anterior:
(64, 32, 16, 8, 4, 2, 1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, ...) razão =
1/2
(-1, -3, -9, -27, -81, …) onde a razão é 3 (observe que na
PG crescente temos um exemplo com a mesma razão,
porém o número inicial aqui é negativo, alterando toda
a sequência)
PROGRESSÕES
Fórmula do termo geral: an = a1 . qn-1
Exemplo a) Dada a PG (2,4,8,... ), pede-se calcular o
décimo termo.
Temos: a1 = 2, q = 4/2 = 8/4 = ... = 2.
a10 = a1 . q9 = 2 . 29 = 2. 512 = 1024
PROGRESSÕES
Exemplo b) Sabe-se que o quarto termo de uma PG
crescente é igual a 20 e o oitavo termo é igual a 320.
Qual a razão desta PG?
Temos a4 = 20 e a8 = 320. Logo, podemos escrever: a8 =
a4 . q8-4 . Daí, vem: 320 = 20.q4
Então q4 =16 e portanto q = 2.
PROGRESSÕES
Soma dos n primeiros termos de uma PG:
PROGRESSÕES
Exemplo:
Calcule a soma dos 10 primeiros termos da PG
(1,2,4,8,...)
Temos:
Observe que neste caso a1 = 1.
PROGRESSÕES
Soma dos termos de uma PG decrescente e ilimitada
Considere uma PG ILIMITADA ( infinitos termos) e
decrescente. Nestas condições, podemos considerar
que no limite teremos an = 0. Substituindo na fórmula
anterior, encontraremos:
PROGRESSÕES
Exemplo:
Calcule a soma dos termos da P. G. (2, 1, 1/2, 1/4...).
Solução:
Temos: a1 = 2 , q = 1/2
A soma dos termos dessa P. G. infinita é:
PROGRESSÕES
Exemplo:
Resolva a equação: x + x/2 + x/4 + x/8 + x/16 + ... =100
Ora, o primeiro membro é uma PG de primeiro termo x e razão
1/2. Logo, substituindo na fórmula, vem:
Daí, vem: x = 100 . 1/2 = 50
FUNÇÕES
Função é um dos conceitos mais importantes da matemática.
Existem várias definições, dependendo da forma como são
escolhidos os axiomas. Uma relação entre dois conjuntos, onde
há uma relação entre cada um de seus elementos. Também pode
ser uma lei que para cada valor x é correspondido por um
elemento y, também denotado por ƒ(x).
FUNÇÕES
Existem inúmeros tipos de funções matemáticas, entre as
principais temos: função sobrejetora, função injetora, função
bijetora, função trigonométrica, Função linear, função
modular, função quadrática, função exponencial,função
logarítmica, função polinomial, dentre inúmeras outras
FUNÇÕES
Injetora ou injetiva:
Cada elemento da imagem está associado a apenas um elemento
do domínio, isto é, quando x ≠ y no domínio tem-se f(x) ≠ f(y) no
contradomínio.
FUNÇÕES
Sobrejetora ou sobrejetiva :
Todos os elementos do contradomínio estão associados a algum
elemento do domínio.
FUNÇÕES
Bijetora ou bijetiva :
São ao mesmo tempo sobrejetoras e injetoras, isto é, cada
elemento do domínio está associado a um único elemento do
contradomínio e vice-versa.
FUNÇÕES
Função de 1º grau
Definição
Chama-se função polinomial do 1º grau, ou função afim, a
qualquer função f de IR em IR dada por uma lei da forma f(x) =
ax + b, onde a e b são números reais dados e a0.
Na função f(x) = ax + b, o número a é chamado de coeficiente
de x e o número b é chamado termo constante.
Veja alguns exemplos de funções polinomiais do 1º grau:
f(x) = 5x - 3, onde a = 5 e b = - 3
f(x) = -2x - 7, onde a = -2 e b = - 7
f(x) = 11x, onde a = 11 e b = 0
FUNÇÕES
FUNÇÕES
Eixo Cartesiano:
FUNÇÕES
f(x) = 5x - 3, onde a = 5 e b = - 3
FUNÇÕES
f(x) = -2x - 7, onde a = -2 e b = - 7
FUNÇÕES
f(x) = 11x, onde a = 11 e b = 0
MATEMATICA BÁSICA
Professor: Alexandre Portela
Assunto: Análise Combinatória e Probabilidade
PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA
CONTAGEM
Princípio fundamental da contagem
Princípio Fundamental da Contagem é o
mesmo que a Regra do Produto, um princípio
combinatório que indica quantas vezes e as
diferentes formas que um acontecimento pode
ocorrer.
O acontecimento é formado por dois estágios
caracterizados como sucessivos e
independentes:
PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA
CONTAGEM
• O primeiro estágio pode ocorrer de m modos
distintos.
• O segundo estágio pode ocorrer de n modos
distintos.
Desse modo, podemos dizer que o número de
formas diferente que pode ocorrer em um
acontecimento é igual ao produto m . n.
PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA
CONTAGEM
Por exemplo, para montar um computador, temos 3
diferentes tipos de monitores, 4 tipos de teclados, 2
tipos de impressoras e 3 tipos de “CPU”.
SOLUÇÃO:
Para saber o numero de diferentes possibilidades de
computadores que podem ser montados com essas
peças, somente multiplicamos as opções:
3 x 4 x 2 x 3 = 72
Então, têm-se 72 possibilidades de configurações
diferentes.
PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA
CONTAGEM
Quantos pratos diferentes podem ser
solicitados por um cliente de restaurante,
tendo disponível 3 tipos de arroz, 2 de feijão, 3
de macarrão, 2 tipos de cervejas e 3 tipos de
refrigerante, sendo que o cliente não pode
pedir cerveja e refrigerante ao mesmo tempo,
e que ele obrigatoriamente tenha de escolher
uma opção de cada alimento?
PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA
CONTAGEM
A resolução é simples: 3 x 2 x 3 = 18 , somente
pela comida. Como o cliente não pode pedir
cerveja e refrigerantes juntos, não podemos
multiplicar as opções de refrigerante pelas
opções de cerveja. O que devemos fazer aqui é
apenas somar essas possibilidades:
(3 x 2 x 3) x (2 + 3) = 90
PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA
CONTAGEM
EXEMPLOS:
Quantos são os números naturais de dois
algarismos que são múltiplos de 5?
PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA
CONTAGEM
Como o zero à esquerda de um número não é
significativo, para que tenhamos um número
natural com dois algarismos ele deve começar
com um dígito de 1 a 9, temos
portanto 9 possibilidades.
PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA
CONTAGEM
Para que o número seja um múltiplo de 5, o
mesmo deve terminar em 0 ou 5, portanto
temos apenas 2possibilidades.
PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA
CONTAGEM
A multiplicação de 9 por 2 nos dará o resultado
desejado.
Logo:
São 18 os números naturais de dois
algarismos que são múltiplos de 5.
PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA
CONTAGEM
EXEMPLO:
Eu possuo 4 pares de sapatos e 10 pares de
meias. De quantas maneiras poderei me
calçar utilizando um par de meias e um de
sapatos?
PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA
CONTAGEM
Pelo princípio fundamental da contagem
temos que multiplicar 4, que é o número de
elementos do primeiro conjunto, por 10 que
corresponde ao número de elementos do
segundo conjunto.
Portanto:
Poderei me calçar de 40 maneiras diferentes.
PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA
CONTAGEM
EXEMPLO:
De quantas formas podemos dispor as letras
da palavra FLUOR de sorte que a última letra
seja sempre a letra R?.
PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA
CONTAGEM
Para a última letra, segundo o enunciado
temos apenas uma possibilidade que é a
letra R.
Para a primeira, segunda, terceira e quarta
letras temos
respectivamente 4, 3, 2 e 1 possibilidades.
Assim temos:
PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA
CONTAGEM
Podemos dispor as letras da palavra FLUOR de
24 formas diferentes, tal que a última letra
seja sempre a letra R.
PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA
CONTAGEM
EXEMPLO:
Ao lançarmos uma moeda e um dado temos as
seguintes possibilidades:
Moeda: cara ou coroa (duas possibilidades)
Dado: 1, 2, 3, 4, 5, 6 (seis possibilidades)
Observando o ocorrido, vemos que o evento tem duas
etapas com 2 possibilidades em uma e 6 em outra,
totalizando 2*6 = 12 possibilidades.
PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA
CONTAGEM
EXEMPLO:
Quantos números de 3 algarismos podemos
escrever com os algarismos 2, 4 e 6, de forma
que os algarismos sejam distintos?
Três algarismos distintos: 3 * 2 * 1 = 6 números
de 3 algarismos distintos.
NÚMERO FATORIAL
Fatorial
Considerando n um número natural maior que
1 (um), podemos definir como fatorial desse
número n (n!) o número:
n! = n(n – 1)(n – 2)(n – 3) * ...* 3 * 2 * 1
Lê-se n! como n fatorial ou fatorial de n.
NÚMERO FATORIAL
Veja alguns exemplos:
0!= 1
1! = 1
2! = 1*2
3! = 1*2* 3
4! = 1*2*3*4
5! = 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 120
6! = 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 720
PERMUTAÇÃO SIMPLES
Permutação Simples
A cada um dos agrupamentos que podemos
formar com certo número de elementos
distintos, tal que a diferença entre um
agrupamento e outro se dê apenas pela
mudança de posição entre seus elementos,
damos o nome de permutação simples.
PERMUTAÇÃO SIMPLES
Exemplo:
Seja A um conjunto com os elementos {a, b, c}.
As permutações de A são:
{(a,b,c);(a,c,b);(b,a,c);(b,c,a);(c,a,b);(c,b,a)}.
PERMUTAÇÃO SIMPLES
Fórmula da Permutação Simples
Pn = n!
PERMUTAÇÃO SIMPLES
EXEMPLO:
Na fila do caixa de uma padaria estão três
pessoas. De quantas maneiras elas podem estar
posicionadas nesta fila?
Temos que calcular P3, então:
P3 = 3! = 3 . 2 . 1 = 6
Logo:
As três pessoas podem estar posicionas de seis
maneiras diferentes na fila.
PERMUTAÇÃO SIMPLES
Um anagrama é uma espécie de jogo de
palavras, resultando do rearranjo das letras de
uma palavra para produzir outras palavras,
utilizando todas as letras originais.
Normalmente as palavras ou frases resultantes
são sem significado, como já era de se esperar.
PERMUTAÇÃO SIMPLES
EXEMPLO:
Quantos anagramas a palavra oba possui?
As permutações da palavra dada são:
{(oba);(oab);(bao);(boa);(abo);(aob)}
Calculo de permutações por fatorial:
n! = n.(n – 1). (n – 2). (n – 3)…3.2.1 = 6
PERMUTAÇÃO SIMPLES
EXEMPLO:
Quantos anagramas podemos formar a partir
da palavra ORDEM?
Como a palavra ORDEM possui 5 letras
distintas, devemos calcular o número de
permutações calculando P5. Temos então:
P5 = 5! = 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 120
Fórmula da Permutação com Elementos
Repetidos
Se em um dado conjunto um elemento é
repetido a vezes, outro elemento é
repetido b vezes e assim sucessivamente, o
número total de permutações que podemos
obter é dada por:
Permutação com Elementos Repetidos
EXEMPLO:
Quantos anagramas podemos obter a partir
das letras da palavra PARAR?
Como a palavra PARAR possui 5 letras, mas
duas delas são repetidas duas vezes cada, na
solução do exemplo vamos calcular P5(2, 2):
Permutação com Elementos Repetidos
EXEMPLO:
Quantos são os anagramas possíveis com as
letras da palavra: ARARA?
A letra A aparece 3 vezes e a letra R aparece 2
vezes.
Resposta: P = 5!/(3!2!)=10
PERMUTAÇÃO CIRCULAR
Na matemática, permutação circular é um tipo
de permutação composta por um ou
mais conjuntos em ordem cíclica. Ocorre
quando temos grupos com m elementos
distintos formando uma circunferência de
círculo.
É definida pela fórmula:
Pc(N) = (N – 1)!
PERMUTAÇÃO CIRCULAR
Exemplo :
Seja um conjunto com 4 pessoas. De quantos
modos distintos estas pessoas poderão sentarse junto a uma mesa circular para realizar o
jantar sem que haja repetição das posições?
P(4) = (4-1)! = 3! = 6
PERMUTAÇÃO CIRCULAR
Exemplo :
5 crianças desejam brincar de roda. De
quantos modos distintos estas crianças podem
formar a roda sem que haja repetição?
P(5) = (5-1)! = 4! = 24
ARRANJOS E COMBINAÇÕES SIMPLES
A análise combinatória estuda dois tipos de
agrupamentos:
Arranjos e combinações.
Sendo que diferem em arranjos simples,
combinações simples.
ARRANJOS E COMBINAÇÕES SIMPLES
Para que tenhamos arranjos simples é preciso
ter um conjunto de elementos distintos com
uma quantidade qualquer de elementos,
sendo que os arranjos simples formados irão
possuir n elementos, sendo que essa
quantidade será igual ou menor que a
quantidade de elementos do conjunto.
ARRANJOS E COMBINAÇÕES SIMPLES
Arranjos são agrupamentos nos quais a ordem dos seus
elementos faz a diferença.
Por exemplo, os números de três algarismos formados
pelos elementos {1, 2 e 3} são:
312, 321, 132, 123, 213, 231
Esse agrupamento é um arranjo, pois a ordem dos
elementos 1, 2 e 3 diferem. E é considerado simples,
pois os elementos não se repetem.
.
ARRANJOS E COMBINAÇÕES SIMPLES
ARRANJOS E COMBINAÇÕES SIMPLES
EXEMPLO:
Dado o conjunto B = {5,6,7}, veja os possíveis
agrupamentos formados com 2 elementos de
B.
ARRANJOS E COMBINAÇÕES SIMPLES
EXEMPLO:
Quantas “palavras” (com sentido ou não) de 5
letras distintas podemos formar com as 20
primeiras letras do nosso alfabeto?
ARRANJOS E COMBINAÇÕES SIMPLES
COMBINAÇÕES SIMPLES:
Na combinação simples, a ordem dos
elementos no agrupamento não interfere.
Portanto, se temos um conjunto A formado por
n elementos tomados p a p, qualquer
subconjunto de A formado por p elementos
será uma combinação, dada pela seguinte
expressão:
ARRANJOS E COMBINAÇÕES SIMPLES
ARRANJOS E COMBINAÇÕES SIMPLES
Exemplo:
Em um curso de língua estrangeira estudam
trinta alunos. O coordenador do curso quer
formar um grupo de três alunos para realizar
um intercâmbio em outro país. Quantas
possíveis equipes podem ser formadas?
ARRANJOS E COMBINAÇÕES SIMPLES
Exemplo:
Com 12 bolas de cores distintas, posso separálas de quantos modos diferentes em
saquinhos, se o fizer colocando 4 bolas em
cada saco?
ARRANJOS E COMBINAÇÕES SIMPLES
Exemplo:
Um fabricante de sorvetes possui a disposição
7 variedades de frutas tropicais do nordeste
brasileiro e pretende misturá-las duas a duas
na fabricação de sorvetes. Quantos serão os
tipos de sorvete disponíveis?
ARRANJOS E COMBINAÇÕES SIMPLES
Exemplo:
Uma empresa tem um quadro de funcionários
formado por 3 supervisores e 10 técnicos. Todo
dia, é escalada para o trabalho uma equipe
com 1 supervisor e 4 técnicos. Quantas turmas
diferentes podem ser escaladas?
(A) 15120 (B) 3780 (C) 840 (D) 630 (E) 510
MATEMATICA BÁSICA
Professor: Alexandre Portela
Assunto: PROBABILIDADE
PROBABILIDADE
A teoria da probabilidade permite
que se calcule a chance de
ocorrência de um número em um
experimento aleatório.
PROBABILIDADE
Experimento Aleatório
É aquele experimento que
quando repetido em iguais
condições, podem fornecer
resultados diferentes, ou seja, são
resultados explicados ao acaso.
PROBABILIDADE
Espaço Amostral
É o conjunto de todos os
resultados possíveis de um
experimento aleatório. A letra que
representa o espaço amostral, é S.
PROBABILIDADE
Ao lançarmos uma moeda não sabemos qual
será a face que ficará para cima, no entanto
podemos afirmar com toda certeza que ou
será cara, ou será coroa, pois uma moeda só
possui estas duas faces. No caso da moeda
representamos o seu espaço amostral por:
S = { cara, coroa }
Se novamente ao invés de uma moeda, o
objeto a ser lançado for um dado, o espaço
amostral será:
S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }
PROBABILIDADE
Evento
Quando lançamos um dado ou uma
moeda, chamamos a ocorrência deste
fato de evento. Qualquer subconjunto
de um espaço amostral é um evento.
PROBABILIDADE
Classificação de Eventos
Podemos classificar os eventos por
vários tipos. Vejamos alguns deles:
PROBABILIDADE
Evento Simples
Classificamos assim os eventos que são
formados por um único elemento do
espaço amostral.
A = { 5 } é a representação de um evento
simples do lançamento de um dado cuja
face para cima é divisível por5. Nenhuma
das outras possibilidades são divisíveis
por 5.
PROBABILIDADE
Evento Certo
Ao lançarmos um dado o conjunto A será o
conjunto dos eventos múltiplos de 1
O conjunto A = { 2, 3, 5, 6, 4, 1 } representa
um evento certo pois ele possui todos os
elementos do espaço amostral S = { 1, 2, 3,
4, 5, 6 }.
PROBABILIDADE
Evento Impossível
No lançamento conjunto de dois dados
qual é a possibilidade de a soma dos
números contidos nas duas faces para
cima, ser igual a 15?
Este é um evento impossível, pois o valor
máximo que podemos obter é igual a doze.
Podemos representá-lo por A = {}.
PROBABILIDADE
Conceito de probabilidade
Se em um fenômeno aleatório as
possibilidades são igualmente prováveis,
então a probabilidade de ocorrer um
evento A é:
PROBABILIDADE
EXEMPLO:
Um dado é lançado. Qual é a probabilidade de obtermos um
número divisor de 6?
Como vimos acima, o espaço amostral do lançamento de um
dado é:
S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }
Como estamos interessados apenas nos
resultados divisores de 6, o evento E é representado por:
E = { 1, 2, 3, 6 }
Então n(E) = 4 e n(S) = 6, portanto:
PROBABILIDADE
PROBABILIDADES CONDICIONAIS:
A probabilidade condicional trata da probabilidade de
ocorrer um evento A, tendo ocorrido um evento B,
ambos do espaço amostral S, ou seja, ela é calculada
sobre o evento B e não em função o espaço amostral S.
PROBABILIDADE
EXEMPLO:
No lançamento de dois dados honestos, qual a
probabilidade de se obter soma igual a 5?
A) 1 / 8 B) 1 / 9 C) 1 / 16 D) 5 / 36 E) 1 / 6
PROBABILIDADE
EXEMPLO:
Pedro está jogando com seu irmão e vai lançar
dois dados perfeitos. Qual a probabilidade de
que Pedro obtenha pelo menos 9 pontos ao
lançar esses dois dados?
(A)1 / 9 (B) 1 / 4 (C) 5 / 9
(D) 5 / 18 (E) 7 / 36
PROBABILIDADE
EXEMPLO:
Em um grupo de 500 estudantes, 80 estudam
Engenharia, 150 estudam Economia e 10
estudam Engenharia e Economia. Se um aluno é
escolhido ao acaso, a probabilidade de que ele
estude Engenharia ou Economia é igual a:
A) 45% B) 44% C) 46% D) 48% E) 50%
PROBABILIDADE
EXEMPLO:
A turma de Marcelo foi dividida em 4 grupos. Cada
grupo deverá fazer um trabalho sobre um derivado
do petróleo: diesel, gasolina, nafta ou óleo
combustível. Se a professora vai sortear um tema
diferente para cada grupo, qual é a probabilidade de
que o primeiro grupo a realizar o sorteio faça um
trabalho sobre gasolina e o segundo, sobre diesel?
(A) 1 / 4 (B) 1 / 6 (C) 1 / 8 (D) 1 / 12 (E) 1 / 16
PROBABILIDADE
EXEMPLO:
Numa urna existem 6 bolas azuis e 4 bolas
amarelas. Qual é a probabilidade de se retirarem
2 bolas sucessivamente, sem reposição, sendo a
primeira azul e a segunda amarela?
(A)6 / 25 (B) 4 / 25 (C) 4 / 15
(D) 4 / 20 (E) 3 / 25
PROBABILIDADE
EXEMPLO:
Analisando um lote de 360 peças para
computador, o departamento de controle de
qualidade de uma fábrica constatou que 40
peças estavam com defeito. Retirando-se uma
das 360 peças, ao acaso, a probabilidade de esta
peça NÃO ser defeituosa é:
(A) 1 / 9 (B) 2 / 9 (C) 5 / 9 (D) 7 / 9 (E) 8 / 9
PROBABILIDADE
EXEMPLO:
Uma moeda é lançada 4 vezes. Qual é a
probabilidade de obtermos ao menos uma
coroa?
MATEMATICA BÁSICA
Professor: Alexandre Portela
Assunto: FUNÇÕES DE 1º E 2º GRAUS
FUNÇÃO DO 1ºGRAU
EXEMPLO:
Determine a função f(x) = ax + b, sabendo-se que
f(2) = 5 e f(3) = -10.
FUNÇÃO DO 1ºGRAU
EXEMPLO:
A função f é definida por f(x) = ax + b. Sabe-se
que f(-1) = 3 e f(3) = 1, então podemos afirmar
que f(1) é
igual a:
a) 2 b) -2 c) 0
d) 3 e) -3
FUNÇÃO DO 1ºGRAU
EXEMPLO:
Sabendo que a função
f(x) = mx + n admite 3 como raiz e f(1) = -8,
calcule os valores de m e n:
a) m = 4 e n = -12
b) m = -4 e n = 10
c) m = 3 e n = 4
d) m = 14 e n = 10
FUNÇÃO DO 1ºGRAU
EXEMPLO:
O gráfico a seguir representa a posição de um carro em
movimento numa estrada.
Determine a posição do carro no instante 7h.
a) 90 km b) 105 km
c) 110 km d) 120 km
FUNÇÃO DO 2ºGRAU
Uma função para ser do 2º grau precisa assumir
algumas características, definida pela
fórmula f(x) = ax2 + bx + c, sendo que a, b e c são
números reais com a diferente de zero.
Concluímos que a condição para que uma
função seja do 2º grau é que o valor de a, da
forma geral, não pode ser igual a zero.
FUNÇÃO DO 2ºGRAU
Então, podemos dizer que a definição de função
do 2º grau é:
f: R→ R definida por f(x) = ax2 + bx + c, com a Є R* e b e c Є R.
Numa função do segundo grau, os valores de b e c podem ser
iguais a zero, quando isso ocorrer, a equação do segundo grau
será considerada incompleta.
FUNÇÃO DO 2ºGRAU
Veja alguns exemplos de Função do 2º grau:
f(x) = 5x2 – 2x + 8; a = 5, b = – 2 e c = 8 (Completa)
f(x) = x2 – 2x; a = 1, b = – 2 e c = 0 (Incompleta)
f(x) = – x2; a = –1, b = 0 e c = 0 (Incompleta)
Toda função do 2º grau também terá
domínio, imagem e contradomínio.
FUNÇÃO DO 2ºGRAU
Exemplo:
Com relação à função f(x) = 3x2 – 5x + m2 – 9,
sabe-se que f(0) = 0. Calcule o valor de m.
FUNÇÃO DO 2ºGRAU
Sua representação gráfica é dada em torno de
eixos:
FUNÇÃO DO 2ºGRAU
Concavidade da parábola:
Coeficiente a > 0, parábola com a concavidade voltada para cima
Coeficiente a < 0, parábola com a concavidade voltada para baixo
FUNÇÃO DO 2ºGRAU
Concavidade da parábola:
FUNÇÃO DO 2ºGRAU
Pontos notáveis do gráfico de uma função do 2º grau:
A equação do 2º grau possui duas soluções distintas, isto é, a
função do 2º grau terá duas raízes reais e distintas. A parábola
intersecta o eixo das abscissas (x) em dois pontos.
FUNÇÃO DO 2ºGRAU
Pontos notáveis do gráfico de uma função do 2º grau:
Quando o valor do coeficiente a for menor que zero, a parábola
possuirá valor máximo.
FUNÇÃO DO 2ºGRAU
Pontos notáveis do gráfico de uma função do 2º grau:
Quando o valor do coeficiente a for maior que zero, a parábola
possuirá valor mínimo.
FUNÇÃO DO 2ºGRAU
Pontos notáveis do gráfico de uma função do 2º grau:
Outra relação importante na função do 2º grau é o ponto onde a
parábola corta o eixo y. Verifica-se que o valor do coeficiente c na
lei de formação da função corresponde ao valor do eixo y onde a
parábola o intercepta.
FUNÇÃO DO 2ºGRAU
Raízes e termo independente: Exemplo f(x) = x2 - 4
FUNÇÃO DO 2ºGRAU
Raízes e termo independente: Exemplo f(x) = -x2 + 4
FUNÇÃO DO 2ºGRAU
Raízes e termo independente: Exemplo: y=-x²-4x-3
FUNÇÃO DO 2ºGRAU
Raízes e termo independente: Exemplo: y = f(x) = x²-x+2
MATEMATICA BÁSICA
Professor: Alexandre Portela
Assunto: EQUAÇÕES EXPONENCIAIS
EQUAÇÃO EXPONENCIAL
Para termos uma equação devemos ter
uma igualdade, ou seja, alguma coisa igualada à
outra. E para ser equação exponencial devemos
ter uma igualdade que tenha uma variável
(normalmente X) colocada no expoente
(potência).
EQUAÇÃO EXPONENCIAL
Não existe uma fórmula mágica para resolução
de equações exponenciais, existe um objetivo a
ser alcançado. Quando nos deparamos com uma
equação exponencial devemos procurar um
método de IGUALAR AS BASES A NÚMEROS
PRIMOS de ambos os lados da igualdade.
EQUAÇÃO EXPONENCIAL
EXEMPLO:
EQUAÇÃO EXPONENCIAL
EXEMPLO:
EQUAÇÃO EXPONENCIAL
EXEMPLO:
EQUAÇÃO EXPONENCIAL
EXEMPLO:
4x+3(2x+1)=16
.
EQUAÇÃO EXPONENCIAL
EXEMPLO:
22x-12(2x)=-32.
EQUAÇÃO EXPONENCIAL
EXEMPLO:
3x7x=(441)1/4.
EQUAÇÃO EXPONENCIAL
EXEMPLO:
A população de peixes em um lago está
diminuindo devido à contaminação de água por
resíduos industriais.
A lei n(t) = 5000 – 10.2t–1 fornece uma estimativa
do número de espécies vivas (n(t)) em função do
número de anos (t) transcorridos após a
instalação do parque industrial na região.
EQUAÇÃO EXPONENCIAL
PERGUNTA 1)
Estime a quantidade de peixes que viviam no
lago no ano da instalação do parque industrial.
EQUAÇÃO EXPONENCIAL
PERGUNTA 2)
Algum tempo após as indústrias começarem a
operar, constatou-se que havia no lago menos de
4920 peixes. Para que valores de t vale essa
condição?
EQUAÇÃO EXPONENCIAL
EXEMPLO:
Suponha que, e, 2003, o PIB (Produto Interno
Bruto) de um país seja 500 bilhões de dólares. Se
o PIB crescer 3% ao ano, de forma cumulativa,
qual será o PIB do país em 2023, dado em
bilhões de dólares? (Use a aproximação 1,0320=
1,80.)
a) 900
b) 950
c) 1000
d) 1050
e) 1100
MATEMATICA BÁSICA
Professor: Alexandre Portela
Assunto: LOGARITMOS
LOGARITMOS
LOGARITMOS
LOGARITMOS
LOGARITMOS
Exemplo:
LOGARITMOS
Exemplo:
LOGARITMOS
Exemplo:
LOGARITMOS
Exemplo:
LOGARITMOS
Exemplo:
LOGARITMOS
Exemplo:
LOGARITMOS
Propriedades:
a) O logaritmo de um número, na base de valor
igual a ele mesmo, é sempre igual a 1.
logb b = 1.
Exemplo:
log8 8 = 1.
LOGARITMOS
Propriedades:
b) O logaritmo de 1 em qualquer base é sempre
igual a 0.
logb 1 = 0
Exemplo:
log9 1 = 0
LOGARITMOS
Propriedades:
c) Logaritmo de uma potência
logb ay = y. logb a
Exemplo:
Log2 34 = 4. log2 3
LOGARITMOS
Propriedades:
d) O logaritmo de um número b, na base b,
elevado a um expoente x é sempre igual a x.
logb bx = x
Exemplo:
Log3 37 = 7
LOGARITMOS
LOGARITMOS
LOGARITMOS
LOGARITMOS
Propriedades:
g) Logaritmo decimal
Dizemos que o logaritmo é decimal quando a base é 10.
Neste caso, na representação matemática a gente
economiza e não escreve o 10, veja:
Exemplo:
Log 100 = 2
LOGARITMOS
Exemplos:
Assinale a propriedade válida sempre:
a) log (a . b) = log a . log b
b) log (a + b) = log a + log b
c) log m . a = m . log a
d) log am = log m . a
e) log am = m . log a
(Supor válidas as condições de existências dos
logaritmos)?
LOGARITMOS
Exemplos:
Se log10123 = 2,09, o valor de log101,23 é:
a) 0,0209
b) 0,09
c) 0,209
d) 1,09
e) 1,209
LOGARITMOS
Exemplos:
Os valores de x que satisfazem log x + log (x - 5)
= log 36 são:
a) 9 e -4
b) 9 e 4
c) -4
d) 9
e) 5 e -4
MATEMATICA BÁSICA
Professor: Alexandre Portela
Assunto: EQUAÇÕES DE 2º GRAU E
PROBLEMAS
EQUAÇÃO DO 2ºGRAU
DEFINIÇÃO
Uma equação do 2º grau com uma variável tem a forma:
ax² + bx + c = 0
onde os números reais a, b e c são os coeficientes da equação,
sendo que a deve ser diferente de zero. Essa equação é
também chamada de equação quadrática, pois o termo de
maior grau está elevado ao quadrado
x é a incógnita
a,b, e c números reais, chamados de coeficientes
EQUAÇÃO DO 2ºGRAU
Equação Completa do segundo grau
Uma equação do segundo grau é completa, se todos
os coeficientes a, b e c são diferentes de zero.
Exemplos:
1) 2 x² + 7x + 5 = 0, onde a = 2, b = 7 e c = 5
2) 3 x² + x + 2 = 0, onde a = 3 , b = 1 e c = 2
EQUAÇÃO DO 2ºGRAU
EQUAÇÃO DO 2ºGRAU
EXEMPLO:
1) x² + 9 x + 8 = 0
EQUAÇÃO DO 2ºGRAU
EXEMPLO:
2) 9 x² - 24 x + 16 = 0
EQUAÇÃO DO 2ºGRAU
EXEMPLO:
3) x² - 2 x + 4 = 0
EQUAÇÃO DO 2ºGRAU
EXEMPLO:
4) 3 x² - 15 x + 12 = 0
PROBLEMAS DO 2ºGRAU
PROBLEMAS DO 2ºGRAU
PROBLEMAS DO 2ºGRAU
PROBLEMAS DO 2ºGRAU
Exemplo:
Um azulejista usou 2000 azulejos quadrados e iguais para
revestir 45m2 de parede. Qual é a medida do lado de cada
azulejo?
PROBLEMAS DO 2ºGRAU
EXEMPLO:
A área de um retângulo é de 64cm2. Nessas condições,
determine as dimensões do retângulo sabendo que
o comprimento mede (x+6) m e a largura mede (x- 6) m.
PROBLEMAS DO 2ºGRAU
EXEMPLO:
Se você multiplicar um número positivo por ele mesmo e , do
resultado , subtrair 9, você obterá 112. Qual é o número?
PROBLEMAS DO 2ºGRAU
EXEMO quadrado de um número é igual ao produto desse
número por 3, mais 18. Qual é esse numero?