Translação de cônicas
Definição. Sejam XY e X ' Y ' dois sistemas de coordenadas retangulares cartesianos e seja
O '  h, k  a origem do sistema X ' Y ' em relação ao sistema XY. Diz-se que o sistema X ' Y '
é uma translação do sistema XY quando os eixos OX e OX’ bem como OY e OY’ são
paralelos e tem a mesma orientação, e h, k não são ambos nulos, como mostra a Figura a
seguir.
Figura 6.12
Sejam  x ', y ' as coordenadas de um ponto P no sistema X ' Y ' e  x, y  as coordenadas do
mesmo ponto no sistema XY. Então, estas coordenadas estão relacionadas da seguinte
forma:
x'  x h

y'  y  k
(19)
Com base nessas relações, chamadas de relações de translação, as equações das cônicas
com translação são obtidas.
Equação de translação da elipse
Considere uma elipse no sistema X ' Y ' com a equação canônica:
x' 2 y ' 2

1
a2 b2
.
A elipse tem centro na origem do sistema X ' Y ' e seus eixos focal e normal concidem com
O ' X ' e O ' Y ' , respectivamente, como mostra a Figura:
Figura 6.15
Sejam  x ', y ' e  x, y  as coordenadas de um mesmo ponto da elipse nos sistemas X ' Y '
e XY , respectivamente. Usando as relações de translação x '  x  h e y '  y  k , obtemos:
( x  h) 2 ( y  k ) 2

1
a2
b2
(20)
Esta é a equação da elipse no sistema XY , chamada de equação de translação da elipse.
Essa equação representa uma elipse com centro no ponto  h, k  e eixos focal e normal
paralelos aos eixos OX e OY , respectivamente. No sistema XY o eixo focal é a reta y  k
e o eixo normal é a reta x  h .
Exemplo. Obter a equação de translação da elipse com centro no ponto P  2,1 , semi-eixo
maior igual a 5 e semi-eixo menor igual a 2. Determine seus vértices e focos.
Solução. Pelas informações dadas tem-se a  5 e b  2 , h  2 e k  1 e a equação é
( x  2) 2 ( y  1) 2

1
25
4
A elipse tem vértices V1  3,1 , V2  7,1 , A1  2,3 , A2  2, 1 . Usando a relação




c2  a 2  b2 obtemos c  21 e as coordenadas dos focos: F1 2  21,1 e F2 2  21,1 .
A equação ainda pode ser expressa na forma 4 x  25 y  16 x  50 y  59  0 .
2
2
Exemplo. Desenvolva a equação e determine as coordenadas dos vértices e focos da elipse
com equação de translação
( x  2)2 ( y  3)2

1
9
4
Solução. Comparando com a equação de translação da elipse vemos que o centro da elipse
é o ponto C  2,3 , seu semi-eixo maior tem comprimento a  3 , semi-eixo menor tem
comprimento b  2 . A distância dos focos ao centro é c  a 2  b2  5 . Portanto, seus
vértices são os pontos V1 (1,3) , V2 (5,3) , A1 (2,5) e A2 (2,1) . Os focos são os pontos
F1 (2  5,3) e F2 (2  5,3) . A equação dada ainda pode ser expressa na forma
Equação de translação da parábola
Considere uma parábola no sistema X ' Y ' com a equação
 y '
2
 4 px ' .
Isso significa que no sistema X ' Y ' a parábola tem centro na origem desse sistema e seus
eixos focal e normal concidem com OX ' e OY ' , respectivamente, como mostra a Figura
abaixo para p  0 :
Figura 6.16
Nosso objetivo é o de obter a equação da parábola no sistema XY . Sejam  x ', y ' e  x, y 
as coordenadas de um ponto da parábola nos sistemas X ' Y ' e XY , respectivamente.
Substituindo as relações de translação x '  x  h e y '  y  k na equação y '2  4 px '
obtemos
(21)
( y  k ) 2  4 p( x  h)
Esta é a equação da parábola no sistema XY , chamada de equação de translação da
parábola.
A equação (21) representa uma parábola com vértice no ponto  h, k  e eixos focal e
normal paralelos aos eixos OX e OY , respectivamente. A distância do foco ao vértice da
parábola é p . O vértice tem coordenadas V  h, k  . O foco então tem coordenadas
F  h  p, k  . O eixo focal é a reta y  k , e o eixo normal é a reta x  h . A diretriz é a reta
.
Exemplo. Determine as coordenadas do vértice, foco e as equações dos eixos focal, normal
e da diretriz da parábola ( y  1)2  12( x  2) . Desenvolva a equação.
Solução. Comparando com a equação de translação da parábola, o vértice tem coordenadas
V  2, 1 . Sendo p  3 , o foco está no ponto F (5, 1) e a diretriz tem equação x  1 . O
eixo focal tem equação y  1 e o eixo normal, x  2 . A equação pode ser colocada na
forma
.
Equação de translação da hipérbole
Considere a hipérbole com a equação
x' 2 y ' 2

1
a2 b2
no sistema X ' Y ' .
Figura 6.17
Como nos casos anteriores, substituindo as relações x '  x  h e y '  y  k na equação
acima obtemos a equação da hipérbole no sistema XY :
( x  h) 2 ( y  k ) 2

1
a2
b2
(22)
chamada de equação de translação da hipérbole.
As coordenadas dos vértices no sistema XY são V1  h  a, k  , V2  h  a, k  . Os focos tem
coordenadas F1  h  c, k  e F2  h  c, k  onde c  a 2  b2 é a distância dos focos ao
centro da hipérbole. A equação do eixo focal é y  k e do eixo normal é x  h .
No sistema X ' Y ' as assíntotas tem equação y '  
b
x ' . Logo, no sistema XY as equações
a
das assíntotas são
b
y  k   ( x  h) .
a
(23)
Exemplo. Determine os vértices, centro, focos, assíntotas, eixo focal e normal da hipérbole
com a equação de translação
( x  1) 2 ( y  2) 2

1
4
25
Desenvolva esta equação.
Solução. Comparando com a equação de translação da hipérbole o centro é o ponto C (1, 2) .
Seu eixo focal é a reta y  2 e o eixo normal é a reta x  1 . Da equação também obtemos
a  2 e b  5 . Logo, os vértices são V1 (1, 2) e V2 (3, 2) . A distância do centro a cada um
dos focos é c  a 2  b2  29 . Portanto, os focos são F1 (1  29, 2) e F2 (1  29, 2) . As
5
assíntotas tem equações y  2   ( x  1) . A equação pode ser colocada na forma
2
.
Exercícios
1) Determine os vértices, os focos, o centro, os eixos focal e normal das elipses com as
seguintes equações de translação. Desenvolva a equação.
a)
b)
c)
 x  1
 y  2

2
9
2
1
4
 x  2
2
16
 y  3

2
1
4
 x  3
2
25
 y  3

2
1
9
2) Determine os vértices, os focos, o centro, os eixos focal e normal e as assíntotas das
seguintes hipérboles com translação. Desenvolva a equação.
a)
b)
c)
 x  2
2
16
 x  3
2
1
4
2
25
 x  4
64
 y  3

 y  4

2
16
2
 y  5

49
1
2
1
3) Determinar o vértice, o foco, a diretriz e os eixos focal e normal das seguintes
parábolas com translação. Desenvolva a equação.
a)
b)
c)
d)
 y  3  4  x  3 
2
 y  2  24  x  2
2
 y  4  32  x  2
2
 2 y  8  64 x  32
2