Trabalho de cálculo I
1. Dentre todos os retângulos de área 49 cm2, qual tem perímetro mínimo?
2. Um arame de comprimento 12m é cortado em dois pedaços, sendo que um pedaço é dobrado em
forma de quadrado cujo lado é l; e o outro pedaço é dobrado em forma de círculo cujo raio é R:
Como devemos cortar o arame para que a soma das áreas englobadas pelos dois pedaços seja
mínima?
3. Um produto farmacêutico é fabricado por uma firma farmacêutica e vendido a um preço de
R$100,00 a unidade. O custo total para a produção de x unidades é de: C(x)=100.000 + 40x +
0,0025x2e a produção máxima for de 40.000 unidades durante um período de tempo
especificado. Quantas unidades devem ser fabricadas e vendidas neste período de tempo para se
obter o lucro máximo?
4. Um fazendeiro tem 200 bois, cada um pesando 300 kg. Até agora ele gastou R$380.000,00 para
criar os bois e continuará gastando R$ 2,00 por dia para manter um boi. Os bois aumentam de
peso a uma razão de 1,5 kg por dia. Seu preço de venda, hoje, é de R$ 18,00 o quilo, mas o preço
cai 5 centavos por dia. Quantos dias deveria o fazendeiro aguardar para maximizar seu lucro?
5. Uma agência de turismo está organizando um serviço de barcas, de uma ilha situada a 40 km de
uma costa quase reta, para uma cidade que dista 100 km, como mostra a figura a seguir. Se a
barca tem uma velocidade de 18 km por hora, e os carros têm uma velocidade média de 50 km/h,
onde deverá estar situada a estação das barcas a fim de tornar a viagem a mais rápida possível?
6. Um quadrado se expande de tal maneira que seu lado aumenta à razão de 5 m/s. Calcule a taxa
de variação da área no instante em que a lado do quadrado mede 10 m.
7. Um tanque tem a forma de um cone invertido, tendo altura de 20 m e raio de 4 m. A água está
fluindo para dentro do tanque a uma taxa de 2 m3/min. Quão rápido se eleva o nível de água no
tanque quando a água estiver com 5 m de profundidade?
8. Um cilindro é comprimido lateralmente e, ao mesmo tempo, alongado, de forma que o raio da
base decresce a uma taxa de 4 cm/s e a altura do cilindro aumenta a uma taxa de 5 cm/s.
Encontre a taxa de variação do volume do cilindro quando o raio da base mede 6 cm e a altura 8
cm.
9. Dois carros se deslocam em estradas perpendiculares, um para o norte com velocidade média de
48 km/h e o outro para o leste, com velocidade média de 60 km/h. O segundo carro passou pelo
cruzamento das estradas 2 horas depois do primeiro. Determine a taxa de variação da distância
entre os carros 3 horas após o segundo carro passar pelo cruzamento.
10.
Um trem deixa uma estação, num certo instante, e vai para a direção norte à razão de 80
km/h. Um segundo trem deixa a mesma estação 2 horas depois e vai na direção leste à razão de
95 km/h. Achar a taxa na qual estão se separando os dois trens 2 horas e 30 minutos depois do
segundo trem deixar a estação.