Exercı́cio: Mostre que
n
X
k2 =
k=1
n(n + 1)(2n + 1)
.
6
Solução 1 (professor): Seja S =
n
X
k 2 = 12 + 22 + · · · + n2 . Podemos escrever S como a
k=1
soma de todos os elementos abaixo
(n + 1)n
2
(n + 2)(n − 1)
2 + 3 + 4 + ··· + n =
2
(n + 3)(n − 2)
3 + 4 + ··· + n =
2
(n + 4)(n − 3)
4 + ··· + n =
2
..
.
(n + n) n − (n − 1)
.
n =
2
1 + 2 + 3 + 4 + ··· + n =
Deste modo temos
2S = [(n + 1) + (n + 2) + · · · + (n + n)] n − [(n + 2) + 2(n + 3) + · · · + (n − 1)(n + n)]
(n
+
1)n
= n2 +
n − [1 · 2 + 2 · 3 + · · · + (n − 1)n] − [1 + 2 + 3 + · · · + (n − 1)] n
2
n2 (n − 1)
(n + 1)n2
− [1 · 2 + 2 · 3 + · · · + (n − 1)n] −
.
= n3 +
2
2
Resta calcular o valor da expressão a = 1 · 2 + 2 · 3 + · · · + (n − 1)n. Note que
a=
n−1
X
k(k + 1) =
k=1
n−1
X
k=1
2
k +
n−1
X
k = S − n2 +
k=1
n(n − 1)
.
2
Com isso obtemos
2S = n3 +
n(n − 1) n2 (n − 1)
(n + 1)n2
− S + n2 −
−
,
2
2
2
donde segue que
S=
n(n + 1)(2n + 1)
.
6
Solução 2 (aluno):
n
n
n
n
n
n
X
X
X
X
X
X
3
3
2
3
2
(k + 1) =
(k + 3k + 3k + 1) =
k +3
k +3
k+
1. Portanto
Temos
k=1
k=1
3
k=1
Pn
2
=
k=1 k
n
X
(k + 1)3 −
k=1
=
=
=
=
n
X
k=1
k3 − 3
k=1
n
X
k=1
k−
k=1
n(n + 1)
−n
(n + 1) − 1 − 3
2
n(n + 1)
(n + 1)3 − 3
− (n + 1)
2
3n
2
−1
(n + 1) (n + 1) −
2
n(n + 1)(2n + 1)
.
2
3
donde segue que
n
X
k=1
k2 =
n(n + 1)(2n + 1)
.
6
Parabéns ao aluno, cuja solução foi muito melhor que a minha!
n
X
k=1
k=1
1