UNIVERSIDADE FEDERAL DE JUIZ DE FORA
INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
PROFESSORES: JOANA DARC E TATIANA
AULA 6 - TUTORIA DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS I
Questão 1. Considere a sequência definida recursivamente por
y1 = 1
e
yn+1 = 3 −
1
,
yn
para
n ≥ 1.
(a) Mostre que a sequência (yn )n∈N é crescente.
(b) Mostre que a sequência é convergente.
(c) Determine o limite da sequência.
(a) Uma sequência (an )n∈N é crescente se an+1 > an para todo n ∈ N.
Usaremos indução para provar o que se pede. Observe inicialmente que y2 = 3 − 1 = 2 e
1
> y1n , ou ainda,
que y2 > y1 . Suponhamos agora que yn > yn−1 para n > 2. Então yn−1
1
− y1n > − yn−1
.
Portanto yn+1 = 3 −
1
yn
>3−
1
yn−1
= yn . O que significa que a sequência é crescente.
(b) Vamos provar que a sequência é limitada, ou seja, que existem números reais N e M tais que
N ≤ yn ≤ M para todo n ∈ N.
Inicialmente observe que, como a sequência é crescente e y1 > 0, todos os elementos da
sequência são positivos. Portanto da relação yn+1 = 3 − y1n , segue que yn ≤ 3 para todo
n ∈ N. Logo
0 ≤ yn ≤ 3 para todo n ∈ N.
Usando o Teorema que garante que toda sequência monótona limitada é convergente, podemos concluir que a sequência (yn )n∈N é convergente.
(c) Como o limite lim yn = a ∈ R, podemos usar as propriedades de limites na igualdade
n→∞
yn+1 = 3 − y1n para obter a relação a = 3 − a1 . Logo a deve satisfazer a relação a2 − 3a + 1 = 0.
Resolvendo-se esta última obtemos que
√
3+ 5
a=
.
2
Portanto a sequência (yn )n∈N converge para
√
3+ 5
a=
.
2
Questão 2. Considere a sequência (an )n∈N dada por
a1 = 1 e an+1 = an + (n + 1),
para todo n > 1.
Decida se a sequência dada é convergente ou divergente.
Observemos que a2 = 1 + 2, a3 = a2 + 3 = 1 + 2 + 3, a4 = a3 + 4 = 1 + 2 + 3 + 4, .... Provemos
inicialmente que an = 1 + 2 + · · · + n. Suponhamos, por indução, que an−1 = 1 + 2 + 3 + · · · + n − 1.
Então
an = an−1 + n = 1 + 2 + 3 + · · · + n − 1 + n.
Agora provaremos que an =
por indução que
n(n + 1)
para todo n ∈ N. De fato, a1 = 1 =
2
an−1 =
1(1+1)
.
2
Suponhamos
(n − 1)(n − 1 + 1)
, onde n > 1.
2
Então
an = an−1 + n =
(n − 1)(n − 1 + 1)
(n − 1)n
(n − 1)n + 2n
(n + 1)n
+n=
+n=
=
.
2
2
2
2
Consideremos a função f : (0, +∞) → R definida por
f (x) =
x(x + 1)
.
2
Como lim f (x) = +∞, segue que a sequência (an )n∈N diverge e lim an = +∞.
x→+∞
n→+∞
Questão 3. Decida se a sequência dada é convergente ou divergente.
n
e cos n
(a)
3n
n∈N
n+4
(b)
n! + 2 n∈N
1
2
+
(c) −
n sen (1/n) n n∈N
1
ln n
√
(d)
2 n n∈N
(e) ln(2n2 + 1) − ln(n2 + 1) n∈N
1
(f) n −
n n∈N
en cos n
(a)
3n
n∈N
Observe que como | cos n| ≤ 1, então
en
en cos n
en
− n ≤
≤ n.
3
3n
3
Como a sequência
en
3n
=
n∈N
n e n o
3
n∈N
n e e/3 < 1 segue que esta sequência converge para zero. Logo a sequência − 3en n∈N também
converge para zero. Usando a propriedade de sequências que diz que se (an )n∈N e (bn )n∈N são
sequências que convergem para o mesmo limite L e (cn )n∈N é uma outra sequência tal que
an ≤ cn ≤ bn , para todo n ∈ N, então a sequência (cn )n∈N também converge e converge para
L, concluı́mos que a sequência dada converge para zero.
n+4
(b)
n! + 2 n∈N
n+4
n+n
2
n+4
≤
≤
=
, se n > 4.
Observe que 0 ≤
n! + 2
n!
n!
(n − 1)!
1
Como limx→+∞
= 0, segue que a sequência dada converge para zero.
(n − 1)!
2
1
(c) −
+
n sen (1/n) n n∈N
Como
1/x
y
1
= lim
= lim
= 1,
lim
x→+∞ sen (1/x)
y→0 sen y
x→+∞ x sen (1/x)
1
1
segue que a sequência
converge para 1. Além disso, a sequência
n sen (1/n) n∈N
n n∈N
converge para zero. Como o produto de uma sequência convergente por uma constante é
convergente e a diferença de sequências convergentes é também uma sequência convergente,
segue que a sequência é convergente e converge para -2.
1
ln n
√
(d)
2 n n∈N
Da relação
√
ln n1
− ln n
√ = √
2 n
n
e do fato que
lnx
1/x
= lim
= 0,
x→+∞ x
x→+∞ 1
segue a sequência converge para zero.
lim
(e)
ln(2n2 + 1) − ln(n2 + 1)
n∈N
Observe que as sequências ln(2n2 + 1) n∈N e ln(n2 + 1) n∈N são divergentes. Logo não
podemos usar a propriedade que nos dá informação sobre a diferença de sequências.
Neste caso observamos que
2
2n + 1
2
2
.
ln(2n + 1) − ln(n + 1) n∈N = ln
n2 + 1
n∈N
Como
2n2 + 1
= 2,
x→+∞ n2 + 1
segue que a sequência converge para ln(2).
1
(f) n −
n n∈N
1
Como a sequência {n}n∈N diverge e a sequência
converge para zero, afirmamos que
n n∈N
a sequência dada é divergente. De fato, se tal sequência fosse convergente então a sequência
1
1
{n}n∈N =
+ n−
n n∈N
n n∈N
lim
seria convergente (pois a soma de sequências convergentes é também convergente). O que é
um absurdo.