APOSTILA – UP-GRADE
MATEMÁTICA
Prof. Sabará
AULAS 01 E 02: PROGRESSÕES ARITMÉTICAS
Fórmula do Termo
Geral
a n = a1 + (n − 1) ⋅ r
Soma dos Termos
Sn =
PA (a , b , c )
Três Termos
em PA
Quatro Termos
em PA
Cinco Termos
em PA
Soma de DOIS
termos em PA
a 8 = a1 + 7 ⋅ r
(a1 + a n ) ⋅ n
2
S10 =
⇒ 2 ⋅ ( b )= a +c
(a1 + a10 ) ⋅ 10
= (a1 + a10 ) ⋅ 5
2
PA ( 10, 20 , 30 )
⇒ 2 ⋅ (20) = 10 + 30
PA ( x – r , x , x + r )
Soma: 3x
2
2
Produto: x · (x – r )
PA (x – 3 r, x - r, x + r, x + 3r)
Soma: 4x
Use o mesmo raciocínio para PA’s com número par de termos.
PA ( x – 2r, x – r , x , x + r, x + 2r )
Use o mesmo raciocínio para PA’s com número ímpar de termos.
am + an = a p + a q
PA ( 10, 20 , 30, 40 , 50, 60, 70, 80)
Se (m + n) = (p + q)
a1 + a 7 = a 2 + a 6 = a 3 + a 5 = a 4 + a 4
a1 a 2 a 3 a 4 a 6 a 5 a 7 a 8
Triângulo Retângulo
com os lados
em PA
( x − r ) + x + ( x + r ) = 180 º
3x = 180 º
Ângulos internos
de um Triângulo
em PA
x = 60º
Necessariamente um dos ângulos é 60º.
A progressão aritmética deverá
ter quantidade ímpar de termos
Sendo “n” um número ímpar e representando a
quantidade de termos da progressão aritmética:
n+1
Posição do Termo Central PC =
2
Na PA ( a1, a 2 , a 3 , a 4 , a5 ) , com 5 termos,
5 +1
= 3ª
2
PA ( 10, 20 , 30, 40 , 50, 60, 70 )
A posição do termo central é PC =
Termo Central
a1 a 2 a 3 a 4 a 6 a 5 a 7
O dobro do Termo Central é
igual à soma dos equidistantes
Termo central TC =
1
2 ⋅ ( 40 ) = 30 + 50 = 20 + 60 = 10 + 70
(a1 + an )
2
e Sn =
(a1 + an ).n =(T ).n
C
2
APOSTILA - UP-GRADE
AULAS 01 e 02 – SÉRIE AULA
1. (Iezzi) Os aprovados em um concurso público foram, ao longo de um ano, convocados para ocupar os
respectivos cargos. Em janeiro, foram chamadas 18 pessoas; em fevereiro, 30; em março, 42, e assim
por diante.
a) Quantas pessoas foram convocadas no mês de agosto?
b) Quantas pessoas foram chamadas no último trimestre do ano?
c) Qual o total de aprovados no concurso em questão?
2. (Iezzi adaptada) Duas lojas A e B oferecem a seus clientes o mesmo produto. Em certo mês, venderam,
respectivamente, 134 e 231 unidades desse produto. Suponha que, a partir daí, o número de unidades
mensais vendidas nas lojas A e B varie segundo progressões aritméticas de razões
5 e 3, respectivamente.
Considerando que as quantidades vendidas (134 e 231) correspondem ao primeiro mês de vendas,
respectivamente paras as lojas A e B, pede-se:
a) Quantos produtos foram vendidos pela loja B no vigésimo quarto mês?
b) Qual é o número mínimo de meses necessários para que as vendas mensais de A ultrapassem as
de B?
c) Qual o número total de produtos vendidos pela loja B no período do 4º ao 24º mês?
Texto para as questões 03 e 04.
Na Grécia Antiga, Pitágoras estudou várias propriedades dos chamados números figurados, como,
por exemplo, os números triangulares. Os primeiros cinco números triangulares são:
O número triangular Tn é a soma dos n números naturais de 1 a n.
A soma da sequência dos números inteiros de 1 a n pode ser obtida considerando-se que a soma
do primeiro termo com o último é igual à do segundo termo com o penúltimo e assim por diante. Desse
modo, o resultado pode ser obtido, somando-se o primeiro termo ao último e multiplicando-se o valor
encontrado pela metade do número de termos da sequência.
3. (PASUSP 2009) O nono número triangular T9 é
a) 66
b) 55
c) 45
d) 36
e) 28
4. (PASUSP 2009) Pode-se utilizar a noção de números triangulares para resolver o problema dos apertos
de mão, segundo o qual, se em uma festa todos se cumprimentam uma única vez, o número de apertos
de mão é um número triangular. Se forem dados 78 apertos de mão em uma festa, em que todos os
presentes se cumprimentem uma única vez, com um aperto de mão, quantas pessoas haverá na festa?
a) 10
b) 13
c) 16
d) 19
e) 22
5. (UP 2012) O Financiamento de um imóvel em dez anos prevê, para cada ano, doze prestações iguais.
O valor da prestação mensal em um determinado ano é R$ 20,00 a mais que o valor pago,
mensalmente, no ano anterior. Sabendo que, no primeiro ano, a prestação mensal era de
R$ 200,00, determine:
a) o valor da prestação a ser paga em setembro do 6º ano;
b) o total a ser pago nesse financiamento.
6. (Unifesp 2009) Uma pessoa resolveu fazer sua caminhada matinal passando a percorrer, a cada dia,
100 metros mais do que no dia anterior. Ao completar o 21º dia de caminhada, observou ter percorrido,
nesse dia, 6000 metros. A distância total percorrida nos 21 dias foi de:
a) 125 500 m.
b) 105 000 m.
c) 90 000 m.
d) 87 500 m.
e) 80 000 m.
2
APOSTILA – UP-GRADE
7. (Iezzi) Em uma cidade, 1200 famílias carentes inscreveram-se em um programa social desenvolvido
pela prefeitura. Por não haver a verba total imediata necessária para implementar o programa, decidiuse atender 180 famílias no primeiro mês e, em cada mês subsequente, 15 famílias a menos que o
número correspondente às famílias assistidas no mês anterior.
a) Quantas famílias foram atendidas nos três primeiros meses do programa?
b) Qual a porcentagem de famílias inscritas não assistidas ao final de um ano?
8. (UP 2012) O UP Centro Educacional efetuou a convocação dos seus funcionários para exame médico
(rotina anual) e para tal decidiu numerá-los de 1 a 500. Na primeira semana, foram convocados os
funcionários cujos números representavam múltiplos de 2 e, na segunda semana, foram convocados
identificados por múltiplos de 3 e que ainda não haviam sido chamados. Determine:
a) Quantos funcionários possuíam numeração que representavam múltiplos de 2 e de 3 simultaneamente?
b) Quantos funcionários foram convocados na segunda semana?
c) Qual o número de funcionários que não haviam sido convocados após essas duas semanas?
9. (UFSM-RS 2007) O diretório acadêmico de uma Universidade organizou palestras de esclarecimento
sobre o plano de governo dos candidatos a governador. O anfiteatro, onde foram realizados os
encontros, possuía 12 filas de poltronas distribuídas da seguinte forma: na primeira fila 21 poltronas, na
segunda 25, na terceira 29, e assim sucessivamente. Sabendo que, num determinado dia, todas as
poltronas foram ocupadas e que 42 pessoas ficaram em pé, o total de participantes, excluído o
palestrante, foi de
a) 474
b) 516
c) 557
d) 558
e) 559
AULAS 01 e 02 – SÉRIE CASA
1. (Vunesp 2009) Um viveiro clandestino com quase trezentos pássaros foi encontrado por autoridades
ambientais. Pretende-se soltar esses pássaros seguindo um cronograma, de acordo com uma
progressão aritmética, de modo que no primeiro dia sejam soltos cinco pássaros, no segundo dia sete
pássaros, no terceiro nove, e assim por diante. Quantos pássaros serão soltos no décimo quinto dia?
a) 55.
b) 43.
c) 33.
d) 32.
e) 30.
2. (UP 2012) as medidas (em cm) dos lados de um triângulo retângulo são pares consecutivos. Determine:
a) o perímetro desse triângulo;
b) a área desse triângulo.
3. (UFU–MG) Sabe-se que a soma dos dez primeiros termos de uma progressão aritmética é igual a 500.
A soma do terceiro e do oitavo termos dessa progressão é igual a
a) 50.
b) 100.
c) 25.
d) 125.
4. (FGV-SP 2009) Carlos tem oito anos de idade. É um aluno brilhante, porém comportou-se mal na aula,
e a professora mandou-o calcular a soma dos mil primeiros números ímpares. Carlos resolveu o
problema em dois minutos, deixando a professora impressionada. A resposta correta encontrada por
Carlos foi:
a) 512.000
c) 1.000.000
e) 2.048.000
b) 780.324
d) 1.210.020
5. (PUC–MG) De segunda a sexta-feira, uma pessoa caminha na pista de 670 metros que contorna certa
praça. A cada dia, ela percorre sempre uma volta a mais do que no dia anterior. Se, após andar cinco
dias, ela tiver percorrido um total de 23,45 km, pode-se afirmar que, no terceiro dia, essa pessoa deu x
voltas em torno da praça. O valor de x é:
a) 6
b) 7
c) 8
d) 9
6. (Mack–SP) A caixa d’água reserva de um edifício, que tem capacidade para 25 000 litros, contém, em
um determinado dia, 9 600 litros. Contrata-se uma empresa para fornecer 400 litros de água nesse dia,
600 litros no dia seguinte, 800 litros no próximo e assim por diante, aumentando em 200 litros o
fornecimento de cada dia.
O número de dias necessários para que a caixa atinja a sua capacidade total é:
a) 11
b) 13
c) 14
d) 12
e) 10
3
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7. (PUCCAMP-SP) Um pai resolve depositar todos os meses uma certa quantia na caderneta de
poupança de sua filha. Pretende começar com R$ 5,00 e aumentar R$ 5,00 por mês, ou seja, depositar
R$ 10,00 no segundo mês, R$ 15,00 no terceiro mês e assim por diante. Após efetuar o décimo quinto
depósito, a quantia total depositada por ele será de
a) R$ 150,00
c) R$ 400,00
e) R$ 600,00
b) R$ 250,00
d) R$ 520,00
8. (UNESP 2007) Um fazendeiro plantou 3960 árvores em sua propriedade no período de 24 meses. A
plantação foi feita mês a mês, em progressão aritmética. No primeiro mês foram plantadas x árvores, no
mês seguinte ( x + r ) árvores, r > 0, e assim sucessivamente, sempre plantando no mês seguinte r
árvores a mais do que no mês anterior. Sabendo-se que ao término do décimo quinto mês do início do
plantio ainda restavam 2160 árvores para serem plantadas, o número de árvores plantadas no primeiro
mês foi:
a) 50.
b) 75.
c) 100.
d) 150.
e) 165.
9. (Mack–SP) A quantidade de números naturais ímpares compreendidos entre 10 e 100, não divisíveis
por 3 e nem por 11, é:
a) 25
b) 28
c) 26
d) 24
e) 27
10. (UEL-PR modificada) Considere a sequência ( 1, 2 , 4 , 5 , 7 , 8 ,10 , 11, . . . ) , cujos termos são os números
inteiros positivos que não são múltiplos de 3. O 100º termo desta sequência vale:
a) 149
b) 147
c) 146
d) 145
e) 143
AULA 01 e 02: RESPOSTAS SÉRIE AULA
01) a) 102.
02) a) 300.
03) C
05) a) R$ 300,00.
06) B
08) a) 83.
09) D
01) b) 414.
02) b) 50 meses.
04) B
05) b) R$ 34.800,00.
07) a) 495.
08) b) 83.
01) c) 1008
02) c) 5670 produtos.
07) b) 2,5%.
08) c) 167.
AULA 01 e 02: RESPOSTAS SÉRIE CASA
01
C
02
(*)
03
B
04
C
05
B
06
A
07
E
08
A
09
E
10
A
(*) 02) a) 24 cm.
02) b) 24 cm².
AULAS 03 E 04: PROGRESSÕES GEOMÉTRICAS
Fórmula do Termo
Geral
Soma de n Termos
a n = a1 ⋅ q(n −1)
Sn =
an ⋅ q − a1
q −1
Soma dos
Infinitos Termos
S10 =
S∞ =
PA ( a, b , c )
Três Termos
em PG
a 8 = a1 ⋅ q 7
⎛
PG ⎜⎜
⎝
⇒ ( b )2 = a ⋅ c
a10 ⋅ q − a1
q−1
a1
; 0< q<1
1− q
PG ( 2, 4 , 8 )
⎞
x
, x , x ⋅ q ⎟⎟
q
⎠
⇒ ( 4 )2 = 2 ⋅ 8
Produto: x³
4
APOSTILA – UP-GRADE
PG ( 2 , 4 , 8 , 16 , 32 , 64 , 128 )
a1 a 2 a 3 a 4
a5
a6
a7
a1 ⋅ a 3 = a 2 ⋅ a 2 ; pois ( 1 + 3 ) = ( 2 + 2 )
am ⋅ an = ap ⋅ a q
a1 ⋅ a 4 = a 2 ⋅ a 3 ; pois ( 1 + 4 ) = ( 2 + 3 )
Produto de DOIS
termos em PA
a1 ⋅ a 5 = a 2 ⋅ a 4 ; pois ( 1 + 5 ) = ( 2 + 4 )
a1 ⋅ a 5 = a 3 ⋅ a 3 ; pois ( 1 + 5 ) = ( 3 + 3 )
Se (m + n) = (p + q)
a1 ⋅ a 6 = a 2 ⋅ a 5 ; pois (1 + 6 ) = ( 3 + 5 )
a1 ⋅ a 7 = a 4 ⋅ a 4 ; pois ( 1 + 7 ) = ( 4 + 4 )
a 2 ⋅ a 6 = a 3 ⋅ a 5 ; pois ( 2 + 6 ) = ( 3 + 5 )
A progressão geométrica
deverá ter quantidade ímpar de
termos
Termo Central
Sendo “n” um número ímpar e representando a
quantidade de termos da progressão aritmética:
n+1
Posição do Termo Central PC =
2
Na PG ( a1, a 2 , a 3 , a 4 , a 5 ) , com 5 termos,
A posição do termo central é PC =
5 +1
= 3ª
2
Termo central(Tc )2 =( a1 . a n )
O quadrado do Termo Central é igual ao produto dos Termos Equidistantes.
AULAS 03 e 04 – SÉRIE AULA
1. (UFSM-RS 2009) Os dados da tabela fornecem o número N de mudas de uma determinada espécie,
ameaçada de extinção, que vem sendo plantada em um jardim botânico, no ano t, contado a partir do
início do experimento.
O número de mudas cresce, a cada ano, em progressão __________________
de razão ____ . Quando t = 10, o número de mudas plantadas é igual a _____.
Assinale a alternativa que completa corretamente as lacunas.
10
c) geométrica – 10 – 10 · 210
a) geométrica – 10 – 2
10
10
b) aritmética – 2 – 10 · 2
d) geométrica – 2 – 10 · 2
10
e) aritmética – 10 – 2
2. (FUVEST-SP 2007) Um biólogo está analisando a reprodução de uma população de bactérias, que se
iniciou com 100 indivíduos. Admite-se que a taxa de mortalidade das bactérias é nula. Os resultados
obtidos, na primeira hora, são:
Tempo decorrido
Número de
(minutos)
bactérias
0
100
20
200
40
400
60
800
Supondo-se que as condições de reprodução continuem válidas nas horas que se seguem, após 4
horas do início do experimento, a população de bactérias será de
a) 51.200
c) 409.600
e) 1.638.400
b) 102.400
d) 819.200
5
APOSTILA - UP-GRADE
3. (UNO-M.Paiva) Há bactérias que se reproduzem por bipartição, isto é, cada uma delas se divide em duas ao
atingir determinado tamanho. Suponha que em uma cultura há 3.27 dessas bactérias e que cada uma delas
se divida em duas, dando origem à 1ª geração; cada bactéria da 1ª geração se divida em duas, dando
origem à 2ª geração, e assim por diante. Em que geração o número de bactérias será 3.225 ?
a) 19ª
b) 18ª
c) 17ª
d) 16ª
e) 15ª
4. (UFMG 2004) A população de uma colônia da bactéria E.coli dobra a cada 20 minutos. Em um
experimento, colocou-se, inicialmente, em um tubo de ensaio, uma amostra com 1.000 bactérias por
6
mililitro. No final do experimento, obteve-se um total de 4,096 · 10 bactérias por mililitro. Assim sendo,
o tempo do experimento foi de:
a) 3 horas e 40 minutos
c) 3 horas e 20 minutos
b) 3 horas
d) 4 horas
5. (ESPM–SP) Uma sequência de 7 números é tal que os quatro primeiros formam uma PG de razão 2 e
os quatro últimos formam uma PA de razão 7. Se o primeiro e o último termo são iguais, podemos
afirmar que o menor termo dessa sequência vale:
a) – 6
b) – 30
c) – 17
d) – 3
e) – 24
6. (UFSM-RS modificada) Numa plantação de eucaliptos, as árvores são atacadas por uma praga,
semana após semana. De acordo com as observações feitas, uma árvore adoeceu na primeira semana;
outras duas, na segunda semana; mais quatro, na terceira semana e, assim por diante, até que, na
décima semana, praticamente toda a plantação ficou doente, exceto sete árvores. O número total de
árvores dessa plantação era igual a:
a) 1 010 árvores.
c) 1 030 árvores.
e) 1 050 árvores.
b) 1 020 árvores.
d) 1 040 árvores.
7. (UFOP-MG) Num determinado jogo de apostas, o prêmio pago a cada jogador vencedor é 2 vezes o
valor de sua aposta. Maria adotou o seguinte esquema de apostas: na 1ª tentativa, apostaria R$ 10,00;
na 2ª tentativa, apostaria R$ 20,00; na 3ª tentativa, apostaria R$ 40,00 e assim por diante, até conseguir
vencer. Num certo dia, Maria só conseguiu vencer na 10ª tentativa. Nesse dia, ela teve lucro ou
prejuízo? De quanto?
8. (UFOP–MG) A soma dos n primeiros termos de uma P.G. é dada por S n = 3n − 1, sendo n ∈ N − {0 }
. Pede-se:
a) Encontre o primeiro e o segundo termos da P.G.
b) Obtenha a razão da P.G.
c) Expresse o termo geral na da P.G.
9. (UFES-modificada) O lado de um quadrado mede 2 cm . Unindo-se os pontos médios de seus lados,
obtém-se um novo quadrado; unindo-se os pontos médios deste, obtém-se outro quadrado, e assim
sucessivamente. Calcule o limite da soma das áreas de todos os quadrados assim obtidos.
2 cm2 .
c)
e) 4 cm2
a) 3 2 cm2 .
b)
2 2 cm2 .
d)
2 cm2 .
10. (UFRJ) A região fractal F, constituída a partir de um quadrado de lado 1 cm, é constituída por uma
infinidade de quadrados e construída em uma infinidade de etapas.
A cada nova etapa consideram-se os quadrados de menor lado (L) acrescentados na etapa anterior e
acrescentam-se, para cada um destes, três novos quadrados de lado L / 3.
As três primeiras etapas de construção de F são apresentadas a seguir.
Calcule a área F.
6
APOSTILA – UP-GRADE
AULAS 03 e 04 – SÉRIE CASA
1. (UP 2012) Em uma experiência de laboratório, um frasco recebe, no primeiro dia do mês, 3 gotas de um
determinado líquido; no segundo dia recebe 9 gotas; no terceiro dia recebe 27 gotas; e assim por
diante. No dia em que recebeu 2 187 gotas ficou completamente cheio. Em que dia do mês
isso aconteceu?
a) 10º
b) 7º
c) 8º
d) 6º
e) 5º
2. (UEL-PR) Numa aplicação financeira, chama-se montante em certa data a soma da quantia aplicada
com os juros acumulados até aquela data. Suponha uma aplicação de R$ 50.000,00 a juros compostos,
à taxa de 3% ao mês. Nesse caso, os montantes em reais, no início de cada período de um mês,
formam uma progressão geométrica em que o 1º termo é 50.000 e a razão é 1,03.
Os juros acumulados ao completar 10 meses de aplicação são:
(Dado: 1,0310 = 1,3439)
a) R$ 10.300,00
c) R$ 17.195,00
e) R$ 134.390,00
b) R$ 15.000,00
d) R$ 21.847,00
3. (SANTA CASA–SP) A soma dos vinte primeiros termos de uma progressão aritmética é –15. A soma do
sexto termo dessa P.A., com o décimo quinto termo, vale:
a) 3,0
b) 1,0
c) 1,5
d) -1,5
e) -3,0
4. (UFCG 2007) Um estudante prepara-se para uma competição de natação e corrida na sua escola. No
primeiro dia de sua preparação, ele nada 25m e corre 1500m. Sabendo-se que ele nada sempre o
dobro do que nadou no dia anterior, corre sempre 300m a mais do que correu no dia anterior e que nos
primeiros N dias, somando-se as distâncias que ele nadou encontramos 3.175m, podemos afirmar que
o estudante correu durante estes N dias a quantidade de:
a) 17.500 m
c) 15.400 m
e) 16. 800 m
b) 19.500 m
d) 13. 200 m
5. (UFSM-RS 2009) Suponha que o crescimento no cultivo com sementes transgênicas se dê em
progressão geométrica e seja de 10% ao ano. A expressão que representa a projeção da quantidade
total de sementes transgênicas cultivadas de 2008 a 2030 para uma quantidade Q 0 cultivada em 2008
é igual a
e) [ (1,1)23 − 1 ] ⋅ Q0
(1,1)22 − 1
(1,1)23 − 1
⋅ Q0
⋅ Q0
c)
a)
10
10
b) 10[ (1,1)23 − 1 ] ⋅ Q0
d) 10[ (1,1)22 − 1 ] ⋅ Q0
6. (Vunesp-SP 2000) No dia 1 de dezembro, uma pessoa enviou pela internet uma mensagem para x
pessoas. No dia 2, cada uma das x pessoas que recebeu a mensagem no dia 1 enviou a mesma para
outras duas novas pessoas. No dia 3, cada pessoa que recebeu a mensagem no dia 2 também enviou a
mesma para outras duas novas pessoas. E, assim, sucessivamente. Se, do dia 1 até o final do dia 9 de
dezembro, 10 220 pessoas haviam recebido a mensagem, o valor de x é:
a) 16.
b) 20.
c) 22.
d) 24.
e) 32.
7. (UFRJ) Uma forte chuva começa a cair na UFRRJ formando uma goteira no teto de uma das salas de
aula. Uma primeira gota cai e 30 segundos depois cai uma segunda gota. A chuva se intensifica de tal
forma que uma terceira gota cai 15 segundos após a queda da segunda gota. Assim, o intervalo de
tempo entre as quedas de duas gotas consecutivas reduz-se à metade na medida em que a chuva
piora. Se a situação assim se mantiver, em quanto tempo, aproximadamente, desde a queda da
primeira gota, a goteira se transformará em um fio contínuo de água?
8.
a)
b)
c)
d)
e)
(UP 2012) A soma dos termos da PG (5, 50, ..., 500.000) é:
222.222
333.333
444.444
555.555
666.666
7
APOSTILA - UP-GRADE
9. (UA-AM) Um micróbio de tamanho desprezível parte da origem de um sistema de coordenadas.
Inicialmente ele se desloca uma unidade e chega ao ponto (1,0). Aí, ele vira 90° no sentido anti-horário
e anda 1/2 unidade até o ponto (1,1/2). Ele continua dessa maneira, sempre descrevendo ângulos de
90° no sentido anti-horário e andando a metade da distância da vez anterior. Continuando
indefinidamente, ele vai se aproximar cada vez mais de um determinado ponto. Quais são as
coordenadas desse ponto?
10.
a)
b)
c)
d)
e)
(UFLA) A soma dos elementos da sequência numérica infinita (3; 0,9; 0,09; 0,009; …) é:
3,1
3,9
3,99
3,999
4
AULAS 03 e 04: RESPOSTAS SÉRIE AULA
01
D
02
C
03
B
04
D
05
E
06
C
07
(*)
08
(**)
09
E
10
(***)
(*) 7) Lucro. R$ 10,00.
(**) 8) a) a 1 = 2 e a 2 = 6
c) a n = 2 ⋅ 3 n−1 .
b) q = 3
(***)10) 1,5 cm².
AULAS 03 e 04: RESPOSTAS SÉRIE CASA
01
B
02
C
03
D
04
E
05
B
06
B
07
(*)
08
D
09
(**)
10
E
(*) 07) 1 minuto.
(**)
08)
⎛4 2⎞
⎜ , ⎟.
⎝5 5⎠
TEORIA DOS CONJUNTOS
SÍMBOLOS
: pertence
: existe
: não pertence
: não existe
: está contido
: para todo (ou qualquer que seja)
: não está contido
: conjunto vazio
: contém
N: conjunto dos números naturais
: não contém
Z : conjunto dos números inteiros
/ : tal que
Q: conjunto dos números racionais
: implica que
Q'= I: conjunto dos números irracionais
: se, e somente se
R: conjunto dos números reais
8
APOSTILA – UP-GRADE
CONCEITOS DE CONJUNTOS
Conjunto vazio: é um conjunto que não possui elementos. O conjunto vazio é representado por { } ou
.
Subconjuntos: quando todos os elementos de um conjunto A qualquer pertencem a um outro conjunto B,
diz-se, então, que A é um subconjunto de B, ou seja A
B. Observações:
•
Todo o conjunto A é subconjunto dele próprio, ou seja
•
O conjunto vazio, por convenção, é subconjunto de qualquer conjunto, ou seja
;
União de Conjuntos: dados os conjuntos A e B, define-se como união dos conjuntos A e B ao conjunto
representado por
, formado por todos os elementos pertencentes a A ou B, ou seja:
Intersecção de Conjuntos: dados os conjuntos A e B, define-se como intersecção dos conjuntos A e B ao
conjunto representado por
, formado por todos os elementos pertencentes a A e B,
simultaneamente, ou seja:
Diferença de Conjuntos: dados os conjuntos A e B, define-se como diferença entre A e B (nesta ordem) ao
conjunto representado por A-B, formado por todos os elementos pertencentes a A, mas que não pertencem
a B, ou seja
Produto Cartesiano: dados os conjuntos A e B, chama-se peoduto cartesiano A com B, ao conjunto AxB,
formado por todos os pares ordenados (x,y), onde x é elemento de A e y é elemento de B, ou seja
n
Número de subconjuntos de um conjunto: se um conjunto A possuir n elementos, então existirão 2
subconjuntos de A.
9
APOSTILA - UP-GRADE
CONJUNTOS
3. Assinale nos diagramas abaixo os seguintes conjuntos:
a) A ∩ B ∩ C
A
B
C
b) A ∩ ( B ∪ C )
A
B
C
c) A ∪ ( B ∩ C )
A
B
C
d) A ∪ B ∪ C
A
B
C
4. Sejam os conjuntos A = {a, b, c, d }, B = {c, d, e, f, g } e C = {b, d, e, g }. Determine:
a) A – B =
b) B – A =
c) C – B =
d) (A ∪ C) – B =
e) A – (B ∩ C) =
f)
(A ∪ B) – (A ∩ C)
5. Considere os conjuntos A, B e C, representados ao lado, e sabendo que:
n(A ∪ B) = 24
n(A ∩ B) = 4
n(B ∪ C) = 16
n(A – C) = 11
n(B – C) = 10
Calcule:
a) n(A – B) =
b) n(A ∩ B ∩ C) =
c) n(B – (C ∪ A)) =
d) n(A ∩ (B – C)) =
e) n(B – (A ∩ B)) =
10
APOSTILA – UP-GRADE
6. Numa classe de 30 alunos, 16 gostam de Matemática e 20 de História. Calcule o número de alunos, no
mínimo, que gostam de Matemática e História.
7. Em uma turma de 60 alunos, 21 praticam natação e futebol, 39 praticam natação e 33 praticam futebol.
a) Qual a porcentagem de alunos que praticam um, e somente um, desses esportes?
b) Qual a porcentagem de alunos que não pratica nenhum desses esportes?
8. Em uma empresa, 60% dos funcionários leem a revista A, 80% leem a revista B, e todo funcionário é
leitor de pelo menos uma dessas revistas. Calcule o percentual de funcionários que leem as
duas revistas.
9. As marcas de cerveja mais consumidas em um bar, num certo dia, foram A, B e S. Os garçons
constataram que o consumo se deu de acordo com a tabela a seguir:
a)
b)
c)
d)
Quantos beberam cerveja no bar, nesse dia?
Dentre os consumidores de A, B e S, quantos beberam apenas duas dessas marcas?
Quantos não consumiram a cerveja S?
Quantos não consumiram a marca B nem a marca S?
10. Foi realizada uma pesquisa para avaliar o consumo de três produtos designados por A, B, C. Todas as
pessoas consultadas responderam à pesquisa e os resultados estão indicados no quadro a seguir:
Observação: O consumidor de dois produtos está incluído também como consumidor de cada um
desses dois produtos. Com base nesses dados, calcule o número total de pessoas consultadas.
11. Uma pesquisa foi feita com um grupo de pessoas que frequenta, pelo menos, uma das três livrarias, A,
B e C. Foram obtidos os seguintes dados:
das 90 pessoas que frequentam a Livraria A, 28 não frequentam as demais;
das 84 pessoas que frequentam a Livraria B, 26 não frequentam as demais;
das 86 pessoas que frequentam a Livraria C, 24 não frequentam as demais;
oito pessoas frequentam as três livrarias.
a) DETERMINE o número de pessoas que frequentam apenas uma das livrarias.
b) DETERMINE o número de pessoas que frequentam, pelo menos, duas livrarias.
c) DETERMINE o número total de pessoas ouvidas nessa pesquisa.
12. Uma pesquisa de mercado sobre o consumo de três marcas A, B e C de um determinado produto
apresentou os seguintes resultados:
A - 48%
B - 45%
C - 50%
nenhuma das 3 - 5%
A e B - 18%
B e C - 25%
A e C - 15%
a) Qual é a porcentagem dos entrevistados que consomem as três marcas A, B e C?
b) Qual é a porcentagem dos entrevistados que consomem uma e apenas uma das três marcas?
11
APOSTILA - UP-GRADE
13. Em uma pesquisa de opinião, foram obtidos estes dados:
40% dos entrevistados leem o jornal A.
55% dos entrevistados leem o jornal B.
35% dos entrevistados leem o jornal C.
12% dos entrevistados leem os jornais A e B.
15% dos entrevistados leem os jornais A e C.
19% dos entrevistados leem os jornais B e C.
7% dos entrevistados leem os três jornais.
135 pessoas entrevistadas não leem nenhum dos três jornais.
Considerando-se esses dados, calcule o número total de entrevistados.
14. Em um posto de saúde foram atendidas, em determinado dia,
160 pessoas com a mesma doença, apresentando, pelo
menos, os sintomas diarréia, febre ou dor no corpo,
isoladamente ou não.
A partir dos dados registrados nas fichas de atendimento dessas
pessoas, foi elaborada a tabela ao lado.
Na tabela, X corresponde ao número de pessoas que
apresentaram, ao mesmo tempo, os três sintomas. Calcule X.
15. Uma amostra de 100 caixas de pílulas anticoncepcionais fabricadas pela Nascebem S.A. foi enviada
para a fiscalização sanitária.
No teste de qualidade, 60 foram aprovadas e 40 reprovadas, por conterem pílulas de farinha. No teste
de quantidade, 74 foram aprovadas e 26 reprovadas, por conterem um número menor de pílulas que
o especificado.
O resultado dos dois testes mostrou que 14 caixas foram reprovadas em ambos os testes.
Quantas caixas foram aprovadas em ambos os testes?
16. Numa escola de música, 65% das pessoas matriculadas estudam teclado e as restantes estudam
violão. Sabe-se que 60% das pessoas matriculadas são do sexo masculino e que as do sexo feminino
que estudam violão são apenas 5% do total. Nessas condições, escolhendo-se uma matrícula ao acaso,
qual é a probabilidade de ser a de uma pessoa do sexo masculino e estudante de teclado?
17. Considere um grupo de 50 pessoas que foram identificadas em relação a duas categorias: quanto à cor
dos cabelos, louras ou morenas; quanto à cor dos olhos, azuis ou castanhos. De acordo com essa
identificação, sabe-se que 14 pessoas no grupo são louras com olhos azuis, que 31 pessoas são
morenas e que 18 têm olhos castanhos.
Calcule, no grupo, o número de pessoas morenas com olhos castanhos.
18. Tendo sido feito o levantamento estatístico dos resultados do CENSO POPULACIONAL em uma
cidade, descobriu-se, sobre a população, que:
I.
II.
III.
IV.
V.
VI.
VII.
44% têm idade superior a 30 anos;
68% são homens;
37% são homens com mais de 30 anos;
25% são homens solteiros;
4% são homens solteiros com mais de 30 anos;
45% são indivíduos solteiros;
6% são indivíduos solteiros com mais de 30 anos.
Com base nos dados anteriores, calcule a porcentagem da população dessa cidade que representa as
mulheres casadas com idade igual ou inferior a 30 anos.
19. Trinta e cinco estudantes estrangeiros vieram ao Brasil. 16 visitaram Manaus; 16, S. Paulo e 11,
Salvador. Desses estudantes, 5 visitaram Manaus e Salvador e , desses 5, 3 visitaram também São
Paulo. Qual o número de estudantes que visitaram Manaus ou São Paulo?
20. Uma empresa tem 5 000 funcionários. Desses, 48% têm mais de 30 anos, 36% são especializados e
1400 têm mais de 30 anos e são especializados. Com base nesses dados, pergunta-se:
a) Quantos funcionários têm até 30 anos e não são especializados?
b) Escolhendo um funcionário ao acaso, qual a probabilidade de ele ter até 30 anos e ser especializado?
12
APOSTILA – UP-GRADE
21. Depois de n dias de férias, um estudante observa que:
I.
choveu 7 vezes, de manhã ou à tarde
II.
quando chove de manhã, não chove à tarde.
III.
houve 5 tardes sem chuva
IV.
houve 6 manhãs sem chuva
Calcule n.
22. Eu tenho o triplo da idade que você tinha quando eu tinha a idade que você tem, Quando você tiver
minha idade, a soma de nossas idades serão 77. Calcule a idade que eu tinha quando você nasceu.
23. (Desafio) Os 87 alunos do 3º ano do ensino médio de uma certa escola prestaram vestibular para três
universidades: A, B e C. Todos os alunos dessa escola foram aprovados em pelo menos uma das
universidades, mas somente um terço do total obteve aprovação em todas elas. As provas da
universidade A foram mais difíceis e todos os alunos aprovados nesta foram também aprovados em
pelo menos uma das outras duas.
Os totais de alunos aprovados nas universidades A e B foram, respectivamente, 51 e 65. Sabe-se que,
dos alunos aprovados em B, 50 foram também aprovados em C. Sabe-se também que o número de
aprovados em A e em B é igual ao de aprovados em A e em C.
Quantos alunos foram aprovados em apenas um dos três vestibulares prestados? Justifique.
GABARITOS
3.
RESOLUÇÃO EM SALA.
4.
RESPOSTAS:
a) {a, b}
b) {e, f, g}
c) {b}
d) {a, b}
e) {a, b, c}
f) {a, c, e, f, g}
5.
RESPOSTAS:
a) 8
b) 1
c) 7
d) 3
e) 12
6.
RESPOSTA: 6 alunos.
7.
RESPOSTA:
a) 50%.
b) 15%.
8.
RESPOSTA: 40 %
13
APOSTILA - UP-GRADE
9.
RESPOSTAS:
a) 315
b) 75
c) 235
10.
RESPOSTA: 71 pessoas.
11.
RESOLUÇÃO:
a) Apenas uma = 28+26+24 = 78 pessoas
b) Pelo menos uma = x + y + z + 8 = 87 pessoas.
c) Total = 165 pessoas
12.
RESPOSTAS:
a) 10 %
b) 57 %
13.
RESPOSTA: 1 500.
14.
RESPOSTA: X = 6
15.
RESPOSTA: 48
16.
RESPOSTA: 3/10
17.
RESPOSTA: número de pessoas morenas com olhos castanhos = 13
18.
RESPOSTA: 7%
19.
RESPOSTA: 29
20.
RESOLUÇÃO:
14
d) 155
APOSTILA – UP-GRADE
21.
RESPOSTA: n = 9 dias
22.
RESPOSTA: 11 anos
23.
RESPOSTA: 15 alunos.
RESOLUÇÃO
Observe a figura a seguir:
Classificando os 87 alunos segundo o diagrama, temos os seguintes dados do
problema (representamos por **X o número de elementos do conjunto X):
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
x+y+z+v+u+w+29 = 87
z=0
v+w+z+29 = 51
u+29 = 50
x+v+29 = 65
v+29 = w+29
Queremos x + y + z.
De (2) temos z = 0, o que nos dá x + y + z = x + y.
Substituindo (4) em (1) e subtraindo (3), obtemos x+y+21=87-51=36.
Logo, x + y + z = 36 - 21 = 15 alunos.
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ANOTAÇÕES
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