CE-003: Estatı́stica II, turma L
1a Prova (segunda chamada) - 2o semestre 2006 (16 Outubro de 2006)
1. (15 pontos) Sessenta percento dos alunos de uma auto-escola passam no teste de habilitação na primeira
tentativa, e o demais são reprovados. A auto-escola decide fazer um pré-teste antes do teste oficial. Dos alunos
que passam no teste oficial, 80% passam no pre-teste. Dos alunos que falham no teste oficial, 10% passam no
pré-teste.
(a) forneça o valor das seguintes probabilidades:
i.
ii.
iii.
iv.
v.
vi.
passar no teste oficial na primeira tentativa
não passar no teste oficial na primeira tentativa
ter passado no pré-teste sabendo-se que passou no teste oficial
não ter passado no pré-teste sabendo-se que passou no teste oficial
ter passado no pré-teste sabendo-se que não passou no teste oficial
não ter passado no pré-teste sabendo-se que não passou no teste oficial
Respostas: Notação:
P [A] : probabilidade de passar no teste oficial
P [B] : probabilidade de passar no pré-teste
i.
ii.
iii.
iv.
v.
vi.
P [A] = 0, 60
P [Ac ] = 1 − P [A] = 0, 40
P [B|A] = 0, 80
P [B c |A] = 1 − P [B c |A] = 0, 20
P [B|Ac ] = 0, 10
P [B c |Ac ] = 1 − P [B c |Ac ] = 0, 90
(b) forneça o valor das seguintes probabilidades:
i. passar no pré-teste
ii. não passar no pré-teste
Respostas:
i. P [B] = P [B|A] ∗ P [A] + P [B|Ac ] ∗ P [Ac ] = (0, 80)(0, 60) + (0, 10)(0, 40) = 0, 52
ii. P [B c ] = 1 − P [B] = 0, 48(= P [B c |A] ∗ P [A] + P [B c |Ac ] ∗ P [Ac ])
(c) forneça o valor das seguintes probabilidades:
i.
ii.
iii.
iv.
passar no teste oficial sabendo-se que
não passar no teste oficial sabendo-se
passar no teste oficial sabendo-se que
não passar no teste oficial sabendo-se
passou no pré teste
que passou no pré-teste
não passou no pré-teste
que não passou no pré-teste
Respostas:
i. P [A|B] =
ii.
P [Ac |B]
=
(0,80)(0,60)
(0,80)(0,60)+(0,10)(0,40)
= 0, 923
= 1 − P [A|B] = 0, 077
P [B c |A]∗P [A]
P [B c |A]∗P [A]+P [B c |Ac ]∗P [Ac ]
P [Ac |B c ] = 1 − P [A|B c ] = 0.75
iii. P [A|B c ] =
iv.
P [B|A]∗P [A]
P [B|A]∗P [A]+P [B|Ac ]∗P [Ac ]
=
(0,20)(0,60)
(0,20)(0,60)+(0,90)(0.40)
= 0, 25
(d) interprete as probabilidades obtidas discutindo se o pré-teste forneceu informações suficientes para avaliar
melhor as chances de se passar no teste oficial.
2. (10 pontos) O número de chamadas na central da polı́cia em certa cidade, às sextas feiras a noite é uma variável
aleatória X com média E[X] = 3.5 a cada meia hora. Assuma um distribuição de probabilidades adequada,
que estamos no perı́odo noturno e responda as seguintes perguntas:
(a) qual a probabilidade de não haver chamadas na próxima meia hora?
(b) qual a probabilidade haver exatamente três chamadas neste perı́odo?
(c) qual a probabilidade haver mais de quatro chamadas na próxima hora?
(d) se forem anotados o número de chamadas em várias sexta-feiras, que a número médio de chamadas por
hora esperado? e qual a variância esperada do número de chamadas por hora?
Respostas:
X : número de chamadas a cada meia hora X ∼ P (3, 5)
Y : número de chamadas por hora X ∼ P (7)
(a) P [X = 0]
> dpois(0, lam = 3.5)
[1] 0.03019738
(b) P [X = 3]
> dpois(3, lam = 3.5)
[1] 0.2157855
(c) P [Y > 4] = 1 − P [Y ≤ 4]
> ppois(4, lam = 7, lower = F)
[1] 0.8270084
(d) E(Y ) = 7 e V ar[Y ] = 7
3. (09 pontos) No contexto do problema anterior, considere agora o intervalo de tempo entre as chamadas com
distribuição exponencial de média 8.5 minutos. Qual a probabilidade de:
(a) não haver chamadas por um perı́odo de 20 minutos?
(b) haver uma chamada entre 5 e 15 minutos
(c) tendo havido uma chamada num intervalo de 10 minutos, qual a probabilidade de haver outra chamada
nos próximos 10 minutos?
Respostas:
X : tempo entre chamadas X ∼ exp(1/8, 5)
(a) P [X ≥ 20]
> pexp(20, rate = 1/8.5)
[1] 0.904911
(b) P [5 < X < 15]
> diff(pexp(c(5, 15), rate = 1/8.5))
[1] 0.3840692
(c) P [10 < X < 20|X > 10]
> diff(pexp(c(10, 20), rate = 1/8.5))/pexp(10, rate = 1/8.5, lower = T)
[1] 0.3083652
4. (06 pontos) Comente quando devem ser utilizadas e como devem ser interpretadas as seguinte medidas:
(a) coeficiente de correlação de Pearson
(b) coeficiente de contingência
5. (10 pontos) A distribuição dos pesos de toras de madeira pode ser representada por uma distribuição normal,
com média 5 kg e desvio padrão de 0,8 kg. Um cliente irá comprar 10.000 toras e pretende classificá-las de
acordo com o peso, do seguinte modo: 25% dos mais leves como Classe A, as 55% seguintes como Classe B, as
15% seguinte como Classe C e as demais como Classe D.
(a) quais os limites de peso de cada classe?
(b) se o preço a ser pago é de 0,80 unidades de preço (U.P.) por material abaixo de 3.5 kg; 1 U.P. por material
entre 3,5 e 6,0 e 1.15 U.P. por material acima de 6,0 kg, quanto espera-se pagar pelo lote a ser comprado?
> qnorm(cumsum(c(0.25, 0.55, 0.15)), mean = 5, sd = 0.8)
[1] 4.460408 5.673297 6.315883
> sum(c(0.8, 1, 1.15) * diff(pnorm(c(-Inf, 3.5, 6, Inf), mean = 5,
+
sd = 0.8)) * 10000)
[1] 10097.68