Física – Arquitectura Paisagística
Análise de erros
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ANÁLISE DE ERROS
A observação de um fenómeno físico não é completa se não pudermos quantificá-lo.
Para é isso é necessário medir uma propriedade física. O processo de medida consiste
em atribuir um número a uma propriedade física; é o resultado da comparação entre
quantidades semelhantes, sendo que uma delas é padronizada e considerada unidade.
Exemplos:
Comprimento: 5 m (metro).
Tempo: 5 s (segundo).
Massa: 5 kg (quilograma).
Todas as medidas das grandezas físicas deverão estar sempre acompanhadas da sua
dimensão (unidades)!
ERROS
Todas as medidas têm sempre algum grau de erro experimental por causa das limitações
impostas pelo próprio processo de medida bem como pela limitação do instrumento de
medida:
Erros sistemáticos → podem ser causados por falhas do aparelho de medida, calibração
incorrecta, etc.….
Erro de leitura → é o erro do aparelho de medida. Quando a medida corresponde a uma
fracção da menor divisão da escala do instrumento, há uma certa imprecisão na medida.
Podemos quantificar esse erro.
• Considera-se que o erro de leitura de um aparelho com escala graduada
(régua, aparelho analógico) seja igual a metade da menor divisão da
escala do aparelho.
• Considera-se que o erro de leitura de um aparelho digital é a menor
divisão da escala do aparelho.
O erro de leitura representa a limitação do instrumento!
Podemos escrever qualquer medida individual como sendo:
x ± δxleit
(1)
onde δxleit corresponde ao erro de leitura.
Exemplo numérico:
Numa medida de comprimento escrevemos o valor do comprimento e o erro de leitura:
l = 5.0 ± 0.5 cm .
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Ana Rodrigues
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Significa que a medida se encontra no intervalo
[4.5 cm, 5.5 cm].
[5.0 − 0.5 cm, 5.0 + 0.5 cm]
ou
•
O resultado de uma medida deve vir sempre acompanhado pelo erro de
leitura do instrumento em que foi realizada.
•
O número de casas decimais do resultado da medida deve ser igual ao
número de casas decimais do erro de leitura do instrumento.
O erro de leitura determina o número de algarismos significativos, que são aqueles
números que têm significado físico. Quando fazemos uma medida os algarismos lidos,
farão parte de nossa medida, e os algarismos que podem ser inferidos através do nosso
instrumento de medida, deverão ser levados em conta. Portanto este último algarismo
pode ser considerado como significativo. Denominaremos este algarismo de duvidoso.
Exemplo de medida com algarismo significativo:
Medida do comprimento de um bloco usando uma régua graduada em centímetros
Observando a figura ao lado, podemos
inferir que a medida feita com a régua
nos dá um valor aproximado de
0.83cm. É claro que o valor inferido,
ou seja, o algarismo 3 (significativo e
duvidoso), está dentro da imprecisão
do nosso instrumento de medida, que
no caso é décimos de milímetros. Mas
mesmo assim podemos considerá-lo
como aproximado. Por outro lado, se a
régua fosse graduada em milímetros, a
imprecisão estaria na casa dos
centésimos de milímetros, e assim por
diante.
Regras básicas para os algarismos significativos
•
A soma de grandezas físicas homogéneas deve conter apenas um
algarismo duvidoso, ou seja, o resultado deverá possuir o mesmo número
de algarismos significativos da parcela de menor precisão.
Exemplo: Se somarmos os comprimentos parciais lidos utilizando
diferentes réguas: 22.34 m, 12.345 m, 32.4 m e 28.86 m. O comprimento
resultante da soma desses comprimentos será 95.9 m.
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•
O produto ou divisão de grandezas físicas não pode ter mais algarismos
significativos do que a do factor de menor precisão.
Exemplo: No exemplo do item a) o valor médio do comprimento será 24
m.
Erro aleatório → às vezes, as condições sob as quais uma medida é realizada podem
não ser exactamente as mesmas e cada vez que se realiza a medida o resultado é
ligeiramente diferente. Por exemplo, as situações em que se mede o tempo com um
cronómetro (existe um tempo de reflexo do operador). Há então uma flutuação aleatória
em torno de um valor, chamado de valor mais provável. Neste caso uma boa estimativa
para o valor correcto da grandeza será a média aritmética dos valores medidos:
N
∑x
i
x=
(2)
i =1
N
onde xi é o valor individual de cada medida e N é o valor total das medidas feitas.
Exemplo: Fizemos 3 medidas de comprimento: 4.0 m, 4.1 m e 3.9 m. O valor médio
4.0 + 4.1 + 3.9
será: x =
= 4. 0 m
3
Desvio em relação ao valor médio
A diferença entre o valor individual de cada medida, xi, e o valor médio x , chama-se
desvio em relação ao valor médio, δxi :
(3)
δxi = xi − x
dão uma medida de quantos os valores se afastam do valor médio.
Desvio médio
δ obs =
1 n
1 n
x
=
xi − x
δ
∑ i n∑
n i=1
i =1
(4)
O desvio médio quantifica o efeito dos erros aleatórios.
O subscrito “obs” significa observacional. Este erro constitui o erro observacional.
Chamamos assim para o distinguir do erro de leitura.
O erro de leitura, δ leit quantifica o erro associado à escala do instrumento e o erro
observacional, δ obs , quantifica o efeito dos erros aleatórios!
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•
O número de casas decimais de x e de δ obs deve ser igual ao n.º de casa
decimais de δ leit .
Quando existem os dois tipos de erro: o erro observacional e erro de leitura, o erro que
devemos considerar é o maior dos dois erros:
x = x ± Max{∆ obs , ∆ leit }
(5)
Para um número de medidas superior a 10, utilizamos os erros estatísticos.
A estatística mostra que o erro observacional pode ser estimado através do desvio
padrão da média ou erro padrão. Assim:
σm =
N
1
∑ ( xi − x )2
n(n − 1) i =1
(6)
Para escrever a medida com sendo
x = x ±σm
(7)
onde trocamos δ obs por σ m .
Não calcularemos os erros aleatórios.
PROPAGAÇÃO DE ERROS
Podemos ter situações onde é necessário que se realizem cálculos que envolvam duas ou
mais grandezas físicas às quais já têm associados os seus respectivos erros. À medida
que manipulamos essas grandezas matematicamente, os erros vão se acumulando e os
resultados são menos precisos do que se os valores fossem determinados directamente
através de uma só medida. Para que isso não aconteça, existem regras, chamadas regras
de propagação de erros, para determinar o erro associado a uma grandeza calculada a
partir dessas grandezas. Não vamos fazer cálculos de propagação de erros mas é
importante saber que existem regras relativamente ao cálculo do erro quando temos uma
grandeza resultante da soma, subtracção, produto ou divisão de grandezas.
ERRO PARA UM ÚNICO VALOR MEDIDO
Quando realizamos uma medida e queremos compara-la a uma medida teórica (ou
medida feita por um outro método), dizemos que a diferença entre o valor obtido e o
valor teórico é o erro da nossa medida. Podemos trabalhar com esta medida da seguinte
forma:
• Chamamos de erro absoluto a diferença entre o valor medido e o valor
teórico.
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•
•
Chamamos de erro relativo a razão entre o erro absoluto e o valor
teórico.
Chamamos de erro relativo percentual o produto entre o erro relativo
pelo factor cem (100).
Exemplo: O comprimento de uma haste possui um valor descrito pelo fabricante de 1.5
m, mas ao fazermos uma medida com uma régua o valor encontrado foi de 1.34 m.
Neste caso teremos para os erros:
Erro absoluto = 1.34 − 1.5 = 0.16 m .
0.16
= 0.11
1. 5
0.16
Erro relativo percentual =
× 100 = 10.7%
1.5
Erro relativo =
Portanto o comprimento tem um erro percentual de 10.7%. Note que nos valores de erro
apresentados somente o primeiro apresenta as unidades, enquanto os outros valores,
pelo fato de termos feito a divisão pelo valor de mesma unidade, o erro relativo e o erro
relativo percentual não têm dimensão.
Utilizaremos com frequência nas experiências o erro percentual. Podemos, então,
escrever a medida na forma:
l = 1.34 m ± 10,7% .
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