Laboratório de Estrutura da Matéria II
Condutividade elétrica e efeito Hall
PRINCÍPIO E OBJETIVOS
A condutividade elétrica e o efeito Hall são investigados em função da temperatura e do campo magnético
aplicado em metais e semicondutores puros e dopados (tipo n e tipo p). A magnitude do gap de energia no
semicondutor e o coeficiente Hall são obtidos experimentalmente e comparados com valores esperados.
TÓPICOS RELACIONADOS
Condutividade elétrica, metais, semicondutores, dopagem, condução intrínseca e extrínseca, bandas de
energia, gap de energia, efeito Hall, magneto-resistência, livre caminho médio.
EQUIPAMENTO
Placas de circuito impresso contendo tira de cobre e amostras retangulares do semicondutor Ge (puro, tipo n
e tipo p), com conexões elétricas e termopar (Cu/CuNi) embutidos; multímetros, década de resistências;
gaussímetro equipado com sonda Hall transversal; eletroímã contendo bobinas, núcleos em U e barras
planas; fontes de potência (tensão AC e DC); suportes e cabos de conexão.
TAREFAS EXPERIMENTAIS
Condutividade elétrica em Ge puro e Cu
1. Medir a resistência elétrica de uma amostra de cobre e outra de Ge (puro) em função da temperatura.
2. A partir da variação da condutividade elétrica do Ge com a temperatura determinar o gap de energia
do Ge.
3. A partir da variação da resistência elétrica do Cu com a temperatura determinar o coeficiente de
temperatura da resistividade do Cu.
Efeito Hall em Ge tipo n (n-Ge)
4. Medir a tensão Hall em uma amostra de n-Ge à temperatura ambiente e sob campo magnético
constante em função da corrente elétrica através da placa.
5. Medir a resistência elétrica da amostra à temperatura ambiente em função do campo magnético
aplicado.
6. Medir a tensão Hall à temperatura ambiente e com corrente elétrica constante em função do campo
magnético aplicado.
7. Determinar o coeficiente Hall do n-Ge e obter o sinal dos portadores de carga.
1
Efeito Hall em Ge tipo p (p-Ge)
8. Repetir os itens 4-7 para o p-Ge.
PROCEDIMENTOS EM LABORATÓRIO
AULA 01
Condutividade elétrica do Ge puro e do Cu:
1. O arranjo experimental para esta etapa encontra-se esquematizado na Fig. 1 e as conexões elétricas
estão mostradas na Fig. 2.
Fig. 1: Arranjo experimental para realização das medidas de condutividade elétrica.
Fig. 2: Conexões elétricas para realização das medidas de condutividade elétrica.
2. A amostra retangular de Ge (com dimensões 20 × 10 × 1 mm3) é conectada à saída de tensão
contínua da fonte de tensão através de um resistor de proteção, cujo valor é ajustado utilizando a
2
década de resistências. A tensão aplicada e a corrente através da placa são medidas com multímetros
digitais. Observe a corrente máxima de 30 mA suportada pela amostra e ajuste o valor da resistência
de proteção e os controles de tensão/corrente da fonte para manter a corrente abaixo desse valor.
3. Na parte traseira da placa de circuito impresso encontra-se o enrolamento responsável pelo
aquecimento da amostra, o qual é alimentado pela tensão (AC) da fonte de tensão. Aumente
progressivamente a voltagem de aquecimento para permitir um lento aquecimento da amostra,
iniciando por exemplo com 2 V e elevando-a paulatinamente até 6 V.
4. A temperatura da amostra é monitorada através do milivoltímetro analógico conectado ao termopar
de Cu/CuNi. A temperatura máxima de 175ºC não pode ser excedida em hipótese alguma. A leitura
da tensão no termopar (Vterm) pode ser convertida em temperatura (T) através da expressão:
T = Vterm / α + Tamb , onde Tamb é a temperatura ambiente e α = 40 µV/K é uma constante
característica do termopar.
5. Para evitar aquecimento excessivo da amostra, desligue a voltagem de aquecimento assim que a
temperatura registrada pelo termopar atinja a faixa próxima a 150-170ºC (tensão Vterm em torno de 56 mV).
6. Registre os valores de tensão e corrente através da amostra juntamente com a tensão no termopar (ou
diretamente a temperatura). As medidas devem ser efetuadas tanto durante o aquecimento
(controlado) quanto durante o resfriamento (livre) da amostra e podem ser repetidas algumas vezes
para obtenção de valores médios.
7. Repita os procedimentos acima trocando a placa contento a amostra de Ge pela placa contendo a tira
de Cu (espessura de 35 µm). Observe a corrente máxima permitida nesse caso (1 A) e utilize
resistências de proteção apropriadas para limitar a corrente a um valor conveniente para as escalas
dos multímetros empregados.
AULA 02
Efeito Hall no n-Ge:
8. O arranjo experimental para esta etapa encontra-se esquematizado na Fig. 3 e as conexões elétricas
estão mostradas na Fig. 4. Mantenha inicialmente a fonte de tensão desligada e, como todos os
procedimentos a seguir serão efetuados à temperatura ambiente, não conecte os cabos de
alimentação ao enrolamento de aquecimento localizado atrás da placa de circuito impresso.
9. Introduza a placa contento a amostra de n-Ge (com dimensões 20 × 10 × 1 mm3) cuidadosamente
entre as faces do eletroímã inicialmente sem campo aplicado. Mantenha as bobinas do eletroímã sem
corrente (desconecte um dos cabos) e remova as peças magnéticas planas que completam o circuito
magnético do eletroímã para evitar campos residuais devidos à remanência dessas peças.
3
10. A corrente de controle (contínua) através da amostra é fornecida através de uma fonte de tensão DC,
conectada à placa através de um resistor de proteção, cujo valor é ajustado utilizando a década de
resistências. Observe a corrente máxima de 50 mA suportada pela amostra e ajuste o valor da
resistência de proteção e os controles de tensão/corrente da fonte para manter a corrente abaixo desse
valor.
Fig. 3: Arranjo experimental para realização das medidas envolvendo efeito Hall.
Fig. 4: Conexões elétricas para realização das medidas envolvendo efeito Hall.
Ajuste do circuito de compensação da tensão Hall:
11. Conecte os cabos que levam a corrente de controle à amostra na placa de circuito impresso entre os
pontos A e C, de modo que o circuito de compensação da tensão Hall (localizado na parte traseira da
placa de circuito impresso, entre os pontos B e C) esteja em operação. O diagrama esquemático
desse circuito encontra-se na Fig. 5.
4
12. A existência de ddp’s residuais não relacionadas ao efeito Hall (ocasionadas por exemplo por efeitos
termoelétricos ou pela existência de pequenos desvios ao longo da direção da corrente de controle
dos dois pontos onde é medida a tensão Hall) pode ser compensada com ajuste do potenciômetro
indicado na Fig. 5. Para tanto a corrente de controle deve ser estabelecida entre os pontos A e C sem
campo magnético aplicado e o potenciômetro deve ser ajustado de modo que o voltímetro que mede
a tensão Hall indique uma leitura nula.
Fig. 5: Circuito de compensação da tensão Hall e circuito estabilizador de corrente.
Medida da tensão Hall em função da corrente de controle:
13. A corrente de controle é conectada agora através dos pontos A e B indicados na placa de circuito
impresso. Nessa situação o circuito estabilizador de corrente e o circuito de compensação da
voltagem Hall (localizados na parte traseira da placa de circuito impresso, entre os pontos B e C)
encontram-se inoperantes. Ajuste a corrente de controle utilizando os controles da fonte de tensão
DC.
14. O campo magnético é gerado pelo eletroímã, sendo as bobinas conectadas em série à saída DC da
fonte. Ajuste o controle de tensão no máximo e monitore a corrente através das bobinas (e portanto o
campo magnético) com o controle de corrente. Dessa forma, a fonte atua como uma fonte de
corrente constante e portanto o campo magnético é pouco afetado por variações na resistência
elétrica das bobinas devido ao aquecimento dos enrolamentos.
15. A magnitude do campo magnético é medida com o gaussímetro, cuja leitura deve ser previamente
ajustada para zero na ausência de corrente elétrica e sem as peças magnéticas planas colocadas sobre
o núcleo em forma de U do eletroímã. A sonda Hall deve ser posicionada entre os pólos do
eletroímã, o mais próximo possível da amostra analisada, tomando o cuidado de evitar qualquer
tensão mecânica sobre ela.
16. As bobinas devem estar conectadas em série e de forma que os campos magnéticos por elas gerados
se somem na porção entre elas (onde é posicionada a placa). Teste as duas formas de conexão
possíveis entre as bobinas e verifique qual é a conexão correta, observando o valor do campo
magnético para uma dada corrente fixa e utilizando a regra da mão direita para compreender o
resultado.
5
17. Fixe o campo magnético em um valor constante (300 mT por exemplo) e meça a tensão Hall (VH)
em função da corrente de controle (IC) através da amostra de n-Ge. Faça medidas em ambas as
direções de corrente e varie-a entre 0 e 50 mA, registrando em torno de 10 pontos para cada direção.
18. Faça um desenho esquemático (similar à Fig. 6) contendo o sentido da corrente de controle, a
direção do campo magnético aplicado e a polaridade da tensão Hall medida, de modo que seja
possível determinar o sinal dos portadores de carga.
Medida da resistência elétrica em função do campo magnético:
19. Conecte agora os cabos que conduzem a corrente de controle entre os pontos A e C na placa de
circuito impresso contendo a amostra de n-Ge, de modo que o circuito estabilizador de corrente
embutido na placa passa a operar. Fixe a corrente através da placa em um valor em torno de 30 mA.
20. Meça a tensão entre os pontos A e B inicialmente sem campo aplicado (e sem as peças magnéticas
planas) e a seguir em função do campo magnético aplicado. Registre em torno de 10-15 pares de
valores tensão e corrente até o máximo valor possível do campo. (Com essas medidas será possível
determinar a magneto-resistência da amostra, ou seja, a variação relativa na resistência elétrica
devida à presença do campo magnético.)
Medida da tensão Hall em função do campo magnético:
21. Repita o procedimento de verificação da compensação da tensão Hall (itens 11 e 12).
22. Com os cabos que conduzem a corrente de controle entre os pontos A e C na placa de circuito
impresso contendo a amostra de n-Ge, meça a tensão Hall em função do campo magnético aplicado
para ambas as direções do campo. Registre no mínimo 10 pontos para cada direção e utilize toda a
faixa de variação do campo magnético disponível.
AULA 03
Efeito Hall no p-Ge:
23. Repita os passos 8-22 para a amostra de p-Ge.
CUIDADOS QUE DEVEM SER TOMADOS EM LABORATÓRIO
1. Não permita jamais que a temperatura da amostra analisada ultrapasse 175ºC.
2. Observe atentamente os limites máximo de corrente para cada amostra analisada.
3. Manipule sempre cuidadosamente as placas de circuito impresso contendo as amostras a serem
analisadas, evitando tocar na superfície das amostras e não submetendo as placas a qualquer tipo de
tensão mecânica.
4. Da mesma forma, manipule com cuidado a sonda Hall, evitando qualquer tensão mecânica sobre ela.
6
5. Observe com cuidado a ligação do capacitor ao circuito retificador, visto que o capacitor eletrolítico
possui uma polaridade definida.
FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA
1. A condutividade elétrica σ de um metal com n elétrons por unidade de volume pode ser calculada,
no modelo de elétrons livres, pela seguinte expressão:
σ=
ne 2 τ
,
m
(1)
onde e e m são respectivamente a carga e a massa do elétron e τ é um parâmetro denominado tempo
médio de colisão, o qual é característico de cada material e depende fundamentalmente da
temperatura e da presença de defeitos e impurezas.
2. A variação com a temperatura da resistividade elétrica (ρ) de metais (igual ao inverso da
condutividade elétrica) é usualmente descrita pela seguinte expressão de origem empírica:
ρ = ρ 0 [1 + α(T − T0 )] ,
(2)
onde α é denominado de coeficiente de temperatura da resistividade, T0 é uma temperatura de
referência arbitrária e ρ0 é a resistividade nessa temperatura. A relação acima é uma aproximação
linear válida geralmente em faixas limitadas de variação de temperatura dependendo do material.
3. A condutividade elétrica de semicondutores pode ser descrita por uma expressão similar à Eq. 1, mas
com a importante diferença de que pode haver mais de um tipo de portador de carga (elétrons e
buracos), inclusive com diferentes massas efetivas. Além disso, a concentração de portadores n, ao
invés de ser constante como nos metais, varia fortemente com a temperatura, devido à excitação
térmica de portadores nas bandas de valência e/ou de condução.
4. Pode-se mostrar que a condutividade elétrica dos semicondutores apresenta em determinadas faixas
de temperatura (em geral acima da temperatura ambiente) uma variação térmica da forma:
σ = σ0e
− E g / 2 kT
,
(3)
onde σ0 é uma constante, T é a temperatura absoluta, k é a constante de Boltzmann e Eg é a largura
da lacuna (ou gap) de energia entre a banda de valência e a banda de condução do semicondutor.
Esse regime de condução é denominado de regime intrínseco e corresponde à excitação térmica de
portadores de carga do próprio material, e não de elétrons devidos a impurezas.
5. A tensão Hall (VH) em uma placa retangular com espessura d conduzindo corrente elétrica i e
submetida a um campo magnético B (perpendicular ao plano da placa) é dada pela expressão:
VH =
RH Bi
Bi
=
,
d
dne
(4)
7
onde RH = 1/ne é o denominado coeficiente Hall, a partir do qual pode-se obter a concentração de
portadores (n) e o sinal da carga dos portadores. O esquema ilustrado na Fig. 6 indica como a
polaridade da tensão Hall se relaciona com esse sinal.
6. A resistividade elétrica de metais e semicondutores não magnéticos é influenciada pela aplicação de
um campo magnético, dando origem ao fenômeno de magneto-resistência. O livre caminho médio
dos portadores de carga é reduzido pela aplicação do campo magnético, o que leva a uma magnetoresistência (variação fracional da resistência) positiva. Para campos magnéticos com intensidade
moderada observa-se em geral uma dependência quadrática da magneto-resistência em relação à
intensidade do campo magnético.
Fig. 6: Ilustração do efeito Hall em uma amostra retangular. A polaridade indicada para a tensão Hall corresponde ao
efeito Hall “normal”, ou seja, com portadores de carga negativos.
QUESTÕES E CONCEITOS A SEREM PREVIAMENTE COMPREENDIDOS
1. Apresente claramente os conceitos de velocidade de deriva, livre caminho médio e tempo médio de
colisão para elétrons livres em metais e deduza a Eq. 1.
2. Explique fisicamente por que a resistividade elétrica de metais aumenta com a temperatura,
enquanto que a de semicondutores cai com o aquecimento do material.
3. Discuta o conceito de bandas de energia e esquematize como são as bandas de energia em metais,
semicondutores e isolantes.
4. Explique como se pode obter o gap de energia em semicondutores com os dados obtidos nesta
experiência.
5. Descreva detalhadamente o efeito Hall, explicando como se pode distinguir o sinal dos portadores de
carga a partir desse efeito e obtendo a Eq. 4.
6. Explique detalhadamente como funciona a ponte de diodos mostrada na Fig. 4 e qual o papel do
capacitor eletrolítico utilizado. Utilize argumentos numéricos para justificar o valor da capacitância
empregada.
8
PROCEDIMENTOS E CÁLCULOS A SEREM EFETUADOS NO RELATÓRIO
Condutividade elétrica do Ge puro e do Cu:
1. Organize em uma tabela os valores de tensão, corrente, condutividade elétrica e temperatura (com
incertezas) para as medidas efetuadas com a amostra de Ge. (A condutividade elétrica da amostra é
calculada a partir dos valores de tensão e corrente e das dimensões da amostra.)
2. Faça um gráfico de condutividade elétrica em função da temperatura absoluta (em escala linear).
Discuta o comportamento observado.
3. Faça agora um gráfico de condutividade elétrica em função do inverso da temperatura absoluta (em
K-1) em escala logarítmica (mono-log), de modo a linearizar a Eq. 3.
4. Obtenha por ajuste linear o valor de Eg (em eV) para o Ge e compare com valores de literatura.
5. Organize em uma tabela os valores de tensão, corrente, resistência elétrica e temperatura (com
incertezas) para as medidas efetuadas com a amostra de Cu. (A resistência elétrica da amostra é
calculada a partir dos valores de tensão e corrente.)
6. Faça um gráfico de resistência elétrica em função da temperatura absoluta (em escala linear).
Discuta o comportamento observado.
7. Obtenha a partir desse gráfico por ajuste linear o valor do coeficiente de temperatura da resistividade
(parâmetro α na Eq. 2), tomando T0 como a temperatura ambiente. Compare com valores de
literatura.
Efeito Hall no n-Ge:
Medida da tensão Hall em função da corrente de controle:
8. Discuta o sinal dos portadores de carga do n-Ge a partir do esquema feito em laboratório (item 18)
contendo o sentido da corrente de controle, a direção do campo magnético aplicado e a polaridade da
tensão Hall medida.
9. Organize em uma tabela os valores de tensão Hall e corrente de controle (com incertezas),
fornecendo o valor constante de campo magnético.
10. Monte um gráfico da tensão Hall em função da corrente de controle e obtenha por ajuste linear o
coeficiente Hall (RH) da amostra de n-Ge (usando a Eq. 4).
11. Determine a partir de RH a concentração de portadores na amostra de n-Ge. Compare com valores
típicos encontrados na literatura (para Ge puro e/ou dopado) e discuta o resultado encontrado.
9
Medida da resistência elétrica em função do campo magnético:
12. Organize em uma tabela os valores de resistência elétrica e campo magnético (com incertezas),
fornecendo o valor constante da corrente de controle. Inclua nessa tabela uma coluna contendo a
magneto-resistência (variação porcentual da resistência elétrica na presença do campo magnético).
13. Monte uma gráfico da magneto-resistência em função da intensidade do campo magnético e
verifique se magneto-resistência varia com o quadrado da intensidade do campo magnético. Discuta
o resultado obtido.
Medida da tensão Hall em função do campo magnético:
14. Organize em uma tabela os valores de tensão Hall e intensidade do campo magnético (com
incertezas), fornecendo o valor constante da corrente de controle.
15. Monte um gráfico da tensão Hall em função da intensidade do campo magnético e obtenha por
ajuste linear o coeficiente Hall (RH) da amostra de n-Ge (usando a Eq. 4).
16. Determine a partir de RH a concentração de portadores na amostra de n-Ge. Compare com o valor
encontrado no item 11 e com valores típicos encontrados na literatura (para Ge puro e/ou dopado).
Discuta o resultado encontrado.
Efeito Hall no p-Ge:
17. Discuta o sinal dos portadores de carga do p-Ge a partir do esquema feito em laboratório contendo o
sentido da corrente de controle, a direção do campo magnético aplicado e a polaridade da tensão
Hall medida.
18. Repita os passos 9-16 para a amostra de p-Ge.
DISCUSSÕES ADICIONAIS
1. Em que consiste a dopagem de semicondutores? Qual o interesse em dopar um semicondutor? Dê
exemplos de dopagem tipo p e tipo n em semicondutores típicos (como Ge ou Si) e calcule
numericamente como varia a concentração de portadores de carga com a dopagem nesses exemplos.
2. Explique o significado físico dos “buracos” responsáveis pela condução elétrica em semicondutores
do tipo p.
3. A fração de elétrons excitados através do gap de energia em semicondutores intrínsecos (não
dopados) varia com a temperatura aproximadamente segundo o fator e
− E g / 2 kT
(o que justifica a
variação térmica na condutividade elétrica expressa na Eq. 3). Estime quanto vale esse fator para os
semicondutores Si (Eg ≅ 1,1 eV) e Ge (Eg ≅ 0,7 eV) e para o diamante (isolante, com Eg ≅ 5,5 eV),
tanto à temperatura ambiente quanto a 150ºC. Comente o resultado encontrado.
4. Explique por que o efeito Hall é em geral mais facilmente medido em semicondutores dopados
(como os utilizados nessa prática) do que em metais. Utilize valores numéricos razoáveis na Eq. 4
10
para comparar a magnitude do efeito em uma amostra de Ge dopado (p ou n) e em uma amostra de
Cu, ambas com as mesmas dimensões e submetidas a condições experimentais (tensão aplicada,
campo magnético, etc) similares.
5. A descoberta do efeito Hall quântico valeu o prêmio Nobel de 1985 ao físico alemão Klaus von
Klitzing. Descreva brevemente em que consiste tal efeito, explique em que condições ele pode ser
observado e esboce um gráfico que ilustre a natureza quântica do fenômeno.
6. Descreva como o efeito Hall é utilizado para construção de sensores de campo magnético.
7. Enquanto a magneto-resistência de metais e semicondutores corresponde a uma pequena variação
relativa na resistividade elétrica na presença de um campo magnético, em alguns materiais com
propriedades ferromagnéticas esse efeito pode ser bem mais intenso, dando origem a fenômenos
conhecidos como magneto-resistência gigante (GMR) e magneto-resistência colossal (CMR).
Comente sobre os materiais onde esses fenômenos são observados e aplicações dessas propriedades
na fabricação de dispositivos de gravação e leitura (veja as referências 5 e 6).
BIBLIOGRAFIA
1. D. Halliday, R. Resnick, J. Walker, Fundamentos de Física, Vols. 3 e 4, LTC, 4a ed., Rio de Janeiro,
1993.
2. P. A. Tipler, Física, Vol. 2, LTC, 4a ed,. Rio de Janeiro, 2000.
3. R. Eisberg, R. Resnick, Física Quântica, Ed. Campus, Rio de Janeiro, 1979.
4. Laboratory Experiments in Physics, 5.3.01, 5.3.02 e 5.3.04, Phywe Systeme GmbH, Göttingen,
1999.
5. Sérgio M. Rezende, A Física dos Materiais e Dispositivos Eletrônicos. Ed. Universidade Federal de
Pernambuco, Recife, 1996.
6. J. López, P. N. Lisboa Filho, W. A. C. Passos, W. A. Ortiz, F. M. Araujo-Moreira, “Breve
introdução à magneto-resistência colossal e outros efeitos correlacionados”, Rev. Bras. Ens. Fís.,
Vol. 22(3), p. 378, 2000.
7. N. W. Ashcroft, N. D. Mermin, Solid State Physics, Saunders College, Philadelphia, 1976.
8. P. H. Beeforth, H. J. Goldsmid, Physics of solid state devices, Pion Limited, London, 1970.
Redação: Prof. Jair C. C. Freitas
Colaboração: Monitores Danilo Oliveira de Souza e Alan Gomes Bossois.
11
Grupo ___: ___________________; ___________________;__________________
Data: ____________
FOLHA DE DADOS
AULA 01: Condutividade elétrica do Ge puro e do Cu:
Germânio Puro – Dimensões: _____ x _____ x _____ (_____)
1ª Série
2ª Série
3ª Série
V (__) I (__) Vterm (__) T (__) V (__) I (__) Vterm (__) T (__) V (__) I (__) Vterm (__) T (__)
Temperatura Ambiente:_________
12
Grupo ___: ___________________; ___________________;__________________
V (__)
Cu (espessura de 35 µm)
1ª Série
2ª Série
i (__) Vterm (__) V (__) i (__) Vterm (__) V (__)
Data: ____________
3ª Série
i (__) Vterm (__)
Temperatura Ambiente:_________
13
Grupo ___: ___________________; ___________________;__________________
Data: ____________
AULA 02: Efeito Hall no n-Ge:
Medida da tensão Hall em função da corrente de controle:
Campo magnético: B=_____ (___)
ic (__)
VH (__)
corrente invertida
ic (__)
VH (__)
Medida da resistência elétrica em função do campo magnético:
Corrente de controle ic = _____ (___)
B (mT)
Vc (V)
14
Grupo ___: ___________________; ___________________;__________________
Data: ____________
Medida da tensão Hall em função do campo magnético:
Corrente de controle
B (__)
VH (__)
campo invertido
B (__)
VH (__)
Esquema para a obtenção do sinal dos portadores de cargas:
15
Grupo ___: ___________________; ___________________;__________________
Data: ____________
AULA 03: Efeito Hall no p-Ge:
Medida da tensão Hall em função da corrente de controle:
Campo magnético: B=_____ (___)
ic (__)
VH (__)
corrente invertida
ic (__)
VH (__)
Medida da resistência elétrica em função do campo magnético:
Corrente de controle ic = _____ (___)
B (mT)
Vc (V)
16
Grupo ___: ___________________; ___________________;__________________
Data: ____________
Medida da tensão Hall em função do campo magnético:
Corrente de controle
B (__)
VH (__)
campo invertido
B (__)
VH (__)
Esquema para a obtenção do sinal dos portadores de cargas:
17