Geometria Simplética 2015, Lista 7
Prof. H. Bursztyn
Entrega dia 14/05
Problema 1: Seja G um grupo de Lie. Seja X : G → T G um campo de vetores (i.e., uma
seção da projeção T G → G), não necessariamente suave. Mostre que se X é invariante à
esquerda (i.e., dLg (X) = X ◦ Lg para todo g ∈ G), então X é automaticamente suave.
Conclua um resultado análogo para formas diferenciais: se uma seção η : G → ∧k T ∗ G é
invariante à esquerda (L∗g η = η), então η é uma k-forma suave.
Problema 2: Considere os grupos de Lie SU (2) = {A ∈ M2 (C) | AA∗ = Id, det(A) = 1}
e SO(3) = {A ∈ M3 (R) | AAt = Id, det(A) = 1}.
a) Verifique que podemos escrever
a b
2
2
, a, b ∈ C, |a| + |b| = 1 .
SU (2) =
−b a
Conclua que, como variedade, SU (2) é difeomorfo a S 3 (portanto é simplesmente
conexo).
Lembre a definição dos quaternions H. Mostre que a esfera S 3 , vista como os
quaternions de norma 1, herda uma estrutura de grupo, com respeito a qual é
isomorfa a SU (2).
b) Verifique que
su(2) =
iα
β
, α ∈ R, β ∈ C .
−β −iα
Considere a identificação su(2) ∼
= R3 , que leva o elemento de su(2) determinado por
α, β ao vetor (α, Reβ, Imβ) em R3 . Observe que, com respeito a esta identificação,
det em su(2) corresponde a k · k2 em R3 .
c) Verifique que cada elemento A ∈ SU (2) define uma transformação linear no espaço
vetorial su(2) por conjugação: B 7→ ABA−1 . Mostre que, com a identificação
su(2) ∼
= R3 , obtemos uma representação (i.e., uma ação linear) de SU (2) em R3
preservando sua norma. Conclua que temos um homomorfismo φ : SU (2) → O(3),
verificando que sua imagem é SO(3) e seu núcleo é {Id, −Id}.
d) Conclua que SU (2) ∼
= S 3 é um recobrimento duplo de SO(3) (e, por ser simplesmente conexo, é seu recobrimento universal), e que a aplicação de recobrimento
identifica pontos antipodais de S 3 . Com isso, SO(3) pode ser identificado com RP 3
como variedades.
Problema 3: Seja g a álgebra de Lie de um grupo de Lie G, e seja k : g × g → R uma
forma bilinear simétrica e Ad-invariante (i.e., k(Adg (u), Adg (v)) = k(u, v) para g ∈ G).
a) Mostre que a aplicação k ] : g → g∗ , k ] (u)(v) = k(u, v), é G-equivariante:
k ] ◦ Adg = (Ad∗ )g ◦ k ] , ∀g ∈ G.
(1)
[Lembrando que (Ad∗ )g := (Adg−1 )∗ ]. Em particular, quando k é não-degenerada
(i.e., k ] é um isomorfismo), as ações adjunta e co-adjunta são equivalentes.
b) Verifique que (1) implica que k([w, u], v) = −k(u, [w, v]), ∀u, v, w ∈ g, e que as duas
condições são equivalentes quando G é conexo.
Problema 4: Para qualquer álgebra de Lie g, temos uma forma bilinear canônica k :
g × g → R, chamada forma de Killing, definida por:
k(u, v) = tr(adu adv ).
(Lembre que adu : g → g, adu (v) = [u, v].)
a) Note que k é simétrica, e verifique que é Ad-invariante.
b) Uma álgebra de Lie é dita semi-simples se k é não-degenerada. Prove que so(3) é
semi-simples.
[Obs: Sempre assumimos que álgebras e grupos de Lie são de dimensão finita]
Problema 5: Considere o isomorfismo linear R3 → so(3), dado por


0 −z y
0 −x
v = (x, y, z) 7→ vb :=  z
−y x
0
a) Descreva o colchete de Lie induzido em R3 pelo comutador de so(3), e o produto
interno em so(3) que corresponde ao produto interno canônico de R3 .
b) Descreva a ação de SO(3) em R3 que corresponde a ação adjunta, suas órbitas, assim
como seus geradores infinitesimais. Ache (sem fazer qualquer conta!) a descrição da
ação coadjunta em R3 (identificado com (R3 )∗ através do produto interno canônico).
Problema 6: Seja (V, Ω) um espaço vetorial simplético, e considere H := V × R =
{(v, t)}. O espaço H, com a multiplicação
1
(v1 , t1 ) · (v2 , t2 ) = (v1 + v2 , Ω(v1 , v2 ) + t1 + t2 ),
2
é um grupo de Lie, chamado grupo de Heisenberg (verifique quem são o elemento identidade e as inversas em H).
(a) Mostre (diretamente da fórmula para conjugação em H) que Ad(v,t) (X, r) = (X, r +
Ω(v, X)), para (X, r) ∈ h = Lie(H) = V × R. Descreva as órbitas adjuntas,
verificando que suas possı́veis dimensões são zero e um.
(b) Verifique que ad(Y,s) (X, r) = (0, Ω(Y, X)). [Lembrando que ad(Y,s) (X, r) = [(Y, s), (X, r)],
obtemos assim a fórmula para o colchete de Lie em h.]
(c) Descreva a ação coadjunta de H em h∗ = V ∗ × R∗ e as suas órbitas, analisando suas
possı́veis dimensões.