INTRODUZINDO O CONCEITO DE LOGARITMO COM A CALCULADORA
CIENTÍFICA
Erivam Lima Laureano
Secretaria de Educação do Estado de Pernambuco-Brasil
[email protected]
Kátia Maria de Medeiros
Universidade Estadual da Paraíba-Brasil
[email protected]
Resumo: Este artigo apresenta uma experiência didáctica que teve como problema de pesquisa
saber como os alunos iniciam o estudo do conceito de logaritmo através de uma situação-problema, com o
uso da calculadora científica. Os logaritmos são abordados no ensino da Matemática, nomeadamente,
aspectos referentes a este tema na História da Educação Matemática Brasileira e situações nas quais o uso
dos logaritmos se mostra pertinente. No contexto da História da Educação Matemática Brasileira
emergem duas concepções: a concepção aritmética e a concepção algébrico-formal. A relação entre os
logaritmos e a calculadora científica é feita na secção seguinte, na qual tratamos, a princípio, do uso da
calculadora defendido em alguns documentos curriculares internacionais e nacionais. Também abordamos
alguns aspectos fundamentais referentes ao uso da calculadora na sala de aula de Matemática, bem como
as estratégias dos alunos durante seu uso e os novos papéis que este instrumento requer naquele ambiente.
A Didáctica da Matemática Francesa é o referencial teórico para interpretarmos a situação-problema, para
a qual fizemos uma análise a priori, a fim de prever potencialidades e limites da mesma, quando de sua
utilização pelos alunos. A experiência didáctica foi desenvolvida em uma turma de 1º ano do Ensino
Médio, nocturno, de uma escola pública estadual do município de Massaranduba, na Paraíba. As
actividades na sala de aula ocorreram em duas sessões. Na primeira, buscamos, a princípio, familiarizar
os alunos com o uso da calculadora de quatro funções e depois da calculadora científica. Na sessão
seguinte, apresentamos uma situação-problema, na qual o uso da calculadora científica foi um recurso
importante para o início da compreensão do conceito de logaritmo. Os resultados mostram a utilização da
calculadora científica como elemento catalisador da compreensão inicial do conceito de logaritmo,
durante a resolução da situação-problema nas duplas.
Introdução
Nesta experiência didáctica partimos, a princípio, como fundamentação teórica,
da abordagem sobre os logaritmos e o ensino da Matemática, apresentando duas
concepções importantes para este tema: a concepção aritmética e a concepção algébrico
– funcional. De seguida, vamos abordar a calculadora científica e o ensino dos
logaritmos, onde a aprendizagem dos logaritmos é incrementada pelo uso deste
instrumento. A situação-problema na Didáctica da Matemática Francesa, fundamentou o
tipo de situação-problema que vamos utilizar em nossa experiência didáctica. Na
metodologia apresentamos como pretendemos chegar à consecução dos objectivos
142
propostos e na análise a priori, levantamos algumas possibilidades de resolução da
situação-problema pelos alunos. Por fim, analisamos os resultados e concluímos.
Os logaritmos no ensino da matemática
Por fim, os autores mostram diversos tipos de situações nas quais os logaritmos
poderiam intervir e desempenhar algum papel. Alguns exemplos dessas situações são o
crescimento de bactérias em um meio em função do tempo, a quantificação de níveis de
intensidade sonora, a resolução de problemas envolvendo juros compostos e o estudo
quantitativo da relação entre a altura e a freqüência dos sons emitidos por notas
musicais. Os autores fazem o estudo mais detalhado de apenas duas delas: a quantidade
de níveis de intensidade sonora (os logaritmos e os decibéis) e a relação entre a altura e
a freqüência dos sons emitidos por notas musicais (os logaritmos e as teclas do piano).
A calculadora científica e o ensino de logaritmos
O uso das calculadoras vem sendo defendido em diversos documentos
curriculares no âmbito nacional e internacional. No Brasil, os Parâmetros Curriculares
Nacionais para o Ensino Fundamental (PCN,1997) apontam a calculadora, juntamente
com o computador, como um dos quatro recursos a que o professor de Matemática pode
recorrer17. Nas Orientações Complementares aos Parâmetros Curriculares Nacionais.
Ciências da Natureza, Matemática e suas Tecnologias, (PCN+ Ensino Médio, 2002) o
uso das calculadoras também é sublinhado. Neste documento curricular, o uso das
calculadoras é defendido, uma vez que permite abordar problemas com dados reais, ao
mesmo tempo que o aluno pode se familiarizar com as máquinas.
No âmbito internacional, o NCTM (National Council Teachers of Mathematics)
dos EUA, em seu Yearbook de 1992 (NCTM, 1992) apresenta alguns exemplos de
utilização das calculadoras nos Estados Unidos, Reino Unido e Suécia. Neste
documento curricular, são apresentadas actividades com a calculadora científica, nas
quais esse intrumento é um recurso didáctico que pode contribuir na compreensão de
alguns conceitos importantes, como o de limite. Um outro documento internacional, da
Escócia, foi apresentado pelo Scottish CCC’s Review Group Advanced Calculators and
Mathematics Education (SCCC,1998). Este documento recebeu muitas propostas de
apoio da comunidade educacional daquele país. Nele, na secção 2, onde são
apresentadas perspectivas sobre as calculadoras e a Educação Matemática, o Grupo
afirma que as calculadoras eletrônicas foram inventadas há, aproximadamente, trinta
anos atrás. A partir de então, elas têm-se tornado mais sofisticadas e poderosas. As
principais envolviam os tipo de quatro funções, que permitem ao usuário trabalhar com
as quatro operações da aritmética. As calculadoras científicas, por sua vez, permitem a
realização de cálculos mais sofisticados. Este tipo de calculadora tem mudado
significativamente, o modo através do qual a Matemática é ensinada, permitindo que
mais tempo seja gasto em aplicações e compreensões conceptuais. As calculadoras
científicas têm apoiado alguns objectivos principais da Educação Matemática, uma vez
que tornam mais fácil, para os alunos, resolver problemas em situações da vida real.
17
Os outros três são a Resolução de Problemas, a História da Matemática e os Jogos.
143
Raízes quadradas tabelas trigonométricas e logarítmicas têm sido superadas pelas
funções incorporadas nas calculadoras científicas. Além dessas funções, mais
recentemente, têm sido construídas versões com funções estatísticas e lógica algébrica
directa. Durante os anos 80, capacidades gráficas, antes só encontradas em
computadores, foram acrescentadas às calculadoras. Os quatro tipos de calculadora:
quatro funções, científica, gráficas e as CAS (Computer Algebra System) são
apresentadas no apêndice do documento.
Apesar do inegável potencial que possuem as calculadoras para a Educação
Matemática, o documento escocês (SCCC,1998) enfatiza que as calculadoras não
devem substituir a proficiência pessoal, com o que concordamos, pois defendemos um
uso criterioso deste instrumento, em qualquer nível de ensino.
Durante anos ensinou-se a calcular com logaritmos na escola de segundo grau (o
actual Ensino Médio no Brasil) ou no início dos cursos superiores de Matemática.
Também por muitos anos, a régua de cálculo logarítmica, (Campagner, 2008) pendurada
no cinto, num bonito estojo de couro, foi o símbolo do estudante de engenharia no
campus universitário. Hoje, porém, com o advento das espantosas e cada vez mais
baratas calculadoras portáteis, ninguém mais, em sã consciência, usa uma tábua de
logaritmos ou uma régua de cálculos para fins computacionais.
Karrer e Magina (2000) em um estudo preliminar sobre o processo de ensinoaprendizagem dos logaritmos, com alunos da 1ª Série do Ensino Médio, relatam que um
ponto importante do mesmo foi o comportamento inicial das alunas diante da utilização
da calculadora científica. Uma das alunas participantes mostrou, no primeiro encontro,
uma certa repulsa em utilizá-la, como se este uso fosse vergonhoso ou indicasse
incompetência. Essa crença da aluna ficou exposta quando ela afirmou que não era
necessário resolver as contas através da calculadora, porque ela sabia fazer sozinha. Por
isso, as outras alunas que usavam a calculadora, terminavam o exercício mais rápido
que ela. As autoras ainda constataram que as alunas não sabiam operar com a
calculadora científica, talvez porque o ensino actual praticamente não admite o uso
desta máquina. Diante desta situação, as autoras passaram a orientá-las para o uso deste
instrumento para o cálculo de potências. Uma das conclusões deste estudo foi que a
calculadora científica, antes considerada como uma ferramenta desnecessária, passou a
assumir um papel de facilitadora dos cálculos.
No estudo referido acima, a calculadora científica passou a ter, portanto, uma
função de ferramenta cognitiva. Ruthven (1992) afirma que, idealmente, uma
ferramenta cognitiva não seria apenas capaz de permitir assimilação para estabelecer
modos de pensamento, mas também apoiar o crescimento cognitivo e a mudança nas
concepções do usuário. Para este autor, um importante elemento do uso racional das
calculadoras na sala de aula de Matemática é o facto de elas não oferecerem
simplesmente um mecanismo para calcular e/ou desenhar, mas um meio capaz de
propiciar pensamento e aprendizagem.
A utilização da calculadora na sala de aula de Matemática, a partir da perspectiva
defendida por diversos autores (Imenes et al., 1992; Karrer & Magina, 2000; Lopes,
1998; Medeiros, 2003; Ruthven, 1992) implica em novos papéis a serem assumidos pelo
professor, pelo aluno e uma nova concepção de conhecimento matemático. O professor
não tem mais o papel de detentor do conhecimento, mas o de organizador das condições
didácticas e o conhecimento não sendo mais concebido linearmente, em
compartimentos estanques, mas em rede de relações (Machado, 2005), o que também
permite abordá-lo em diferentes quadros (Douady, 1986).
144
Podemos depreender, portanto, dos documentos curriculares apresentados, do
estudo de Karrer e Magina (2000) e das afirmações de Ruthven (1992) que a
calculadora científica pode ser uma importante ferramenta para a compreensão do
conceito de logaritmo. Entretanto, ainda é importante, no Brasil, a modificação de
crenças que impedem ou limitam a exploração deste instrumento de modo mais eficaz
na sala de aula de Matemática.
Situação-problema na didática da matemática francesa
Ao observamos a História da Matemática, podemos perceber que a Matemática
se desenvolveu e se desenvolve a partir de problemas que surgem no cotidiano de uma
determinada cultura, em um certo momento, a partir de problemas motivados por outras
ciências, problemas do cotidiano ou problemas internos, que se referem exclusivamente
ao conhecimento matemático (PCN, 1997). Em todos os casos que citamos, podemos
perceber a existência de um problema que motiva o desenvolvimento de um conceito
matemático.
Uma situação-problema possui características distintas de um problema, mas
também pode propiciar o desenvolvimento de conceitos matemáticos significativos, fora
da sala de aula e também no interior deste ambiente. Na Didáctica da Matemática
Francesa, como afirma Henry (1991), uma situação-problema é a escolha de questões
abertas, numa situação mais ou menos matematizada, envolvendo um campo de
problemas colocando-se num ou nos vários quadros18. Para Almouloud (1997) a função
principal de uma situação-problema é a utilização implícita, depois explícita, de novas
ferramentas matemáticas, através de questões que o aluno se coloca no momento de sua
pesquisa.
Os didactas, segundo este autor, definiram as condições para que uma situaçãoproblema conduza à aquisição de novas ferramentas: (i) Os alunos compreendem
facilmente os dados e podem começar a exploração desses dados com conhecimentos
antigos. Podem conceber claramente o que é uma resposta possível e pertinente à
questão colocada; (ii) A situação-problema se refere a um campo conceptual19que
desejamos efectivamente explorar, e onde situam-se as aprendizagens visadas; (iii) Os
conhecimentos antigos dos alunos são insuficientes para a resolução imediata do
problema; (iv) Os conhecimentos, objectos de aprendizagem, fornecem as ferramentas
adaptadas para obter a solução; (v) A questão pode ser formulada nos vários quadros:
quadros algébrico, geométrico, gráfico e numérico, por exemplo. No caso de nossa
experiência didáctica aqui apresentada é o quadro algébrico e o quadro gráfico.
Este autor apresenta alguns exemplos de situações-problema, destacaremos aqui
dois exemplos. No primeiro exemplo, temos a consideração da aproximação como
método bastante geral e poderoso na Matemática, Douady (1993), propõe uma
18
O jogo de quadros ou mudança de quadros é uma noção usada para obter diferentes formulações de
um problema. Ela pode permitir que o aluno utilize diferentes dimensões do conhecimento matemático
durante a resolução de um problema. Por exemplo, o quadro dos números, o quadro algébrico, o quadro
geométrico, o quadro gráfico.
19
Campo Conceptual, segundo Vergnaud (1991), é o espaço de problemas ou situações-problema, cujo
tratamento envolve conceitos ou processos de vários tipos, em estreita conexão. Por exemplo, o campo
conceptual das estruturas aditivas, se refere a tarefas que envolvem operações de adição e subtracção; o
campo conceptual das estruturas multiplicativas, se refere a tarefas que envolvem as operações de
multiplicação e divisão.
145
engenharia didáctica centrada num problema cujo objectivo é a busca de medida de
comprimento. O problema foi proposto para alunos de 14-15 anos. A situação-problema
é: Sejam dois números a e b. Procura-se um rectângulo de perímetro 2a cm e de área b
cm2.
No caso que estas medidas são irracionais, a aproximação com fracções ou
números decimais é a ferramenta adequada. O objectivo final é a introdução dos
números irracionais.
No segundo exemplo, encontrado em Almouloud (1997), temos uma situaçãoproblema com logaritmo, criada pelo Grupo MATH do IREM de Paris VII. O objectivo
da situação-problema é permitir aos alunos utilizar os logaritmos como ferramenta de
cálculo, transformar os produtos em somas para simplificar os cálculos. Isso pode ajudar
os alunos para não mais confundir ln(x + y) e ln(xy).
A situação-problema é: A construção da curva logarítmica.
O Curso Normal (na França) deve os ajudar a memorizar melhor a imagem do
logaritmo. A forma da curva e os limites serão assim melhor retidos. A manipulação de
log√x , log√xy, por exemplo, visando a construção da curva, auxilia os alunos a adquirir
a prática deste tipo de cálculo.
Os logaritmos surgiram, de acordo com Boyer (1996), para facilitar cálculos
trabalhosos, usados, por exemplo, na Astronomia. Além disso, a sua utilização está
associada a diversas situações, como enfatizaram Miorim e Miguel (2002). Nesta
experiência didáctica relacionamos, como apresentamos de seguida, uma situaçãoproblema visando a construção do conceito de logaritmo, na qual estão os juros
compostos e a calculadora científica, como recurso didáctico significativo na construção
deste conceito.
Esta experiência didáctica teve como problema de pesquisa saber como os
alunos iniciam o estudo do conceito de logaritmo através de uma situação-problema,
com o uso da calculadora científica. Para operacionalizar este problema, consideramos
as seguintes questões:
1.
A calculadora científica é um recurso significativo na construção
do conceito de logaritmo?
2.
Como os alunos vão utilizar o conceito de logaritmo para resolver
a situação-problema?
Metodologia
Para respondermos às questões propostas, utilizamos uma pesquisa qualitativa, da
qual os participantes eram integrantes de uma turma de 30 alunos, de uma escola
pública estadual da cidade de Massaranduba, na Paraíba, no mês de Novembro de 2005.
A princípio, utilizamos duas aulas de 50 minutos cada, para familiarizar os alunos com
o uso da calculadora de quatro funções e, depois, com a calculadora científica.
146
Na segunda etapa do trabalho, apresentamos uma situação-problema para a
introdução do conceito de logaritmo, usando a calculadora científica. Para isso,
dispusemos novamente de duas aulas de 50 minutos cada. Os alunos estavam
organizados em duplas. Utilizamos as respostas escritas dos alunos, para resolver a
situação-problema, como instrumento de recolha de dados. Nessa situação-problema,
utilizamos o seguinte problema de juros compostos: Um investidor aplicou R$ 3.500, 00
em uma instituição que paga 1,2% a.m. Após certo período de tempo, ele recebeu R$
3.896,66, estando neste valor incluídos os juros compostos e o capital investido. Quanto
tempo o dinheiro ficou aplicado?
Análise a priori de uma situação-problema na experiência didáctica
Almouloud (1997) afirma que a análise a priori é importantíssima, pois de sua
qualidade depende o sucesso da situação-problema e, sobretudo, o facto de o professor
poder controlar a realização das actividades dos alunos, de poder também identificar e
compreender os efeitos observados. Assim, as numerosas conjecturas que vão aparecer
poderão ser levadas em conta e uma dentro delas será objecto do debate científico na
sala de aula de Matemática. Esse debate, segundo Garnier et al. (1996), é uma
simulação do que ocorre na comunidade científica, mas possui um potencial didáctico
relevante.
Arsac et al. (1991) apresenta algumas questões para construir ou analisar uma
situação-problema a respeito de uma noção. A construção e/ou a análise a priori de uma
situação-problema fazem-se através das seguintes etapas:
1-Abordagem epistemológica; 2-Papel dessa noção no ensino; 3-Concepções
iniciais dos alunos (antes do ensino); 4-Concepção final desejada. Os três pontos
anteriores referem-se a aspectos exteriores à aplicação da situação-problema na sala de
aula e, o quarto, coincide com os objectivos de nossa experiência de ensino. 5-Análise a
priori da situação-problema: a) O que é que os alunos vão fazer?
- Poderiam encaminhar-se num processo de resolução?
- Quais critérios os alunos terão para saber se a solução que propõem está certa?
- Será que a noção que se deseja introduzir é indispensável para resolver o
problema?
- Como o aluno vai construir a nova ferramenta?
Essas questões permitem evidenciar as variáveis didácticas20 da situaçãoproblema e escolhê-las em função dos objectivos de aprendizagem.
b) Qual a gestão da sala de aula a prever?
- A pesquisa faz-se em grupo? Como constituir os grupos?
20
Variáveis didácticas são aquelas que estão à disposição do professor e que determinam a situação
didáctica. Elas podem ser de situação (por exemplo: aulas expositivas ou escolhas de actividades,
resolução de problemas ou regras de aprendizagem, tratamento de erros, utilização de materiais), de
contrato (por exemplo: contrato existente entre o professor, os alunos e um conhecimento específico), de
transposição (por exemplo, apresentação da noção estudada, adaptação de pré-requisitos, uso de material
específico) (Henry 1991; Almouloud,1997).
147
- Quais ordens dar aos alunos?
- Qual será o papel do professor na fase de pesquisa?
- Haverá uma fase de formulação? De validação?
6-Avaliação
- O que se deve avaliar? Os saberes e saber-fazer dos alunos, além de evolução
das concepções dos alunos?
- Qual ferramenta de avaliação levar para isso?
- Será que as concepções dos alunos evoluíram?
7-Análise a posteriori:
- Com relação ao que foi previsto, quais são as diferenças com o que se passou
realmente? Por que essas diferenças?
- Quais mudanças prever para uma nova sessão?
Até o ponto 4 o professor analisará aspectos anteriores ao ensino-aprendizagem
que pode ocorrer na situação-problema. Do ponto 5 em diante, trata-se da situaçãoproblema em si e é, a partir deste ponto, que trabalharemos na secção seguinte. No
entanto, o ponto 6, referente à avaliação, não será abordado, pois não faz parte dos
objectivos desta experiência didáctica.
Análise a priori da situação-problema apresentada na experiência didáctica
No caso da situação-problema apresentada nesta experiência didáctica, os alunos
podem encaminhar-se num processo de resolução, pois nesta altura, pelo menos a
maioria estudou juros e percentagem. O conceito de logaritmo vai ser necessário,
porque o aluno não vai, usando equações exponenciais, resolver a equação (1,012)t =
1,11. O trabalho com o texto de Imenes et al. (1992) poderá permitir ao aluno avançar
na compreensão do conceito de logaritmo, podendo a calculadora científica tornar-se
um recurso significativo para isto. Os alunos poderão usar a fórmula M = C (1 + i)n,
onde n = t, t é o tempo, como critério para saber se a solução que propõem está certa. A
noção que se deseja introduzir é indispensável para resolver o problema, porque o aluno
vai começar a construir o conceito de logaritmo a partir da impossibilidade de resolver a
situação-problema com o uso das equações exponenciais e vai precisar realizar a
mudança de base, pois na calculadora científica, só existem as bases 10 e e. A situaçãoproblema poderá ser resolvida utilizando a mudança para a base 10 ou para a base e.
Os alunos trabalharão em duplas e os professores-pesquisadores pedirão para
eles interagirem com o colega da dupla e com ele. Na fase de pesquisa os alunos
tentarão encontrar um modo de resolver a situação-problema, na fase de formulação
eles trocarão informações referentes a esse ou esses modos de resolução e, na fase de
validação, por sua vez, será a etapa na qual os alunos poderão mostrar por que o modo
que criaram é válido. A fase de validação tem como objectivo principal o debate sobre a
certeza das asserções e as interações com o meio são organizadas em conseqüência
deste debate. Esse modo de gerir a sala de aula de Matemática, pode contribuir para
uma aprendizagem matemática significativa do conceito de logaritmo.
148
Analisando os resultados
Apresentamos de seguida, a análise da experiência didáctica. Na primeira sessão,
descrevemos os procedimentos utilizados, os quais tiveram a finalidade de familiarizar
os alunos com a calculadora científica. Na segunda sessão, a calculadora científica
passou a ser um recurso didáctico significativo na resolução de uma situação-problema,
envolvendo juros compostos.
1ª Sessão: Logaritmos e calculadora científica
Nº de alunos: 31
Horário: 20:50 às 22:00h.
Data: 18 / 11 / 05
Começamos a sessão com a utilização da Apostila intitulada Actividades com a
Calculadora para a Sala de Aula (mimeo). Explicamos a utilização de teclas de
memória, a tecla log e a tecla 10 x, ressaltando a relação de inversão entre elas e
resolvemos algumas questões mais recreativas da referida apostila. Queríamos
familiarizar os alunos com o uso da calculadora científica.
A seguir, passamos a utilizar o texto Logaritmos decimais e equações
exponenciais (Imenes et al., 1992), no qual os alunos puderam ler um texto que aborda,
em dois exemplos, o conceito de logaritmo de base 10, associado ao uso de uma
calculadora cientíica. Após estes exemplos, há uma generalização para os logaritmos de
base 10 e exercícios envolvendo estes logaritmos com a utilização de uma calculadora
científica. Deixamos alguns exercícios desse texto no final da sessão.
Os alunos mostraram curiosidade em compreender o modo como a calculadora
funcionava e responderam bem às questões.
2ª Sessão: Logaritmos e calculadora científica
Nº de alunos: 19
Horário : 20: 50 às 22:00 h.
Data: 01 / 12 / 05
A essa sessão faltaram 12 alunos e havia um aluno trabalhando sozinho. Nos
primeiros vinte minutos, começamos perguntando se os alunos sabiam juros compostos.
Alguns disseram que já tinham estudado, mas fazia tempo. O estudo dos juros
compostos ocorre na 6ª série no Brasil, usando potenciação e retorna no Ensino Médio,
quando são novamente estudados na Matemática Financeira, em um nível mais
avançado, relacionado ao conceito de função exponencial, cujo domínio é o conjunto
dos números naturais. Esta retomada de um conceito presente no currículo, em um
nível mais avançado, é o que ocorre com a utilização de um currículo em espiral
149
(Imenes,1999). De seguida, durante os diálogos com os alunos, apresentamos a fórmula
M = C(1 + i)n . Fizemos uma breve revisão do conceito de percentagem, porque,
contrariamente ao que esperávamos, no início da experiência didáctica, muitos alunos
ainda não tinham incorporado este conceito ou estavam esquecidos dele. Demos um
tempo para eles tentarem resolver a situação-problema.
No segundo momento, as duplas já tinham chegado a (1,02)t = 1,11. Foi
necessário utilizar a tecla Yx , que explicamos sua utilização.
No terceiro momento, identificamos uma dupla que encontrou os resultados
utilizando Yx .Logo a seguir, surgiram várias duplas chegando ao resultado, usando o
procedimento acima, no qual se utilizou tentativas na calculadora científica.
Depois levantamos a hipótese de que se na expressão (1,012)t = 1,11, o segundo
membro fosse maior, iria gastar mais tempo para encontrar o valor de t. A partir daí,
afirmamos, no decorrer dos diálogos com a turma, que os logaritmos trariam um ganho
de tempo nos cálculos.
Nesse momento, relacionamos o texto Logaritmos Decimais e Equações
Exponenciais, aos Logaritmos Decimais. Então surgiu a expressão 1,11 = 10x, que foi
resolvida pelos alunos digitando: 1,11 log = 0,045322978. Nessa etapa, explicamos
que o log 1,11 = 0,045322978, tem base 10, através de questionamentos. Voltamos para
(1,012)t = 1,11, onde questionamos qual era a base. Houve dificuldades de
compreensão, mas conseguiram encontrar a base e escrevemos log 1,11
= t. Isso
1,012
gerou um conflito, pois a calculadora científica só possui as bases 10 e e = 2,71 ... Esse
conflito gerou a pergunta: Como posso utilizar a calculadora científica apenas com as
bases que ela possui para resolver esse problema? Essa questão possibilitou a
necessidade de abordarmos a mudança de base. Foram levantadas algumas hipóteses:
1ª : log 1,11
2ª: log 1,11
10
3ª:
9
log 1,11
1,012
4ª: log (1,11)
(1,012)
Nenhuma dessas dava certo. Então chegaram à 5ª hipótese: log 1,11 = t
log1,012
Os alunos sabiam fazer as aproximações adequadamente, o que lhes permitiu
chegar à resposta certa. Pedimos para substituirem o valor encontrado em (1,02)t = 1,11,
para verificar a validade do valor encontrado. O uso da calculadora gerou um conflito
que levou à necessidade de abordar a mudança de base do logaritmo. A mudança de
base, associada ao uso da calculadora científica, permitiu aos alunos encontrarem a
resposta à situação-problema.
Conclusão
150
Com o término das duas sessões que compuseram essa experiência didáctica,
pudemos perceber, mais uma vez, só que agora com a calculadora científica, que esse
instrumento pode trazer, se usado criteriosamente, mudanças significativas na sala de
aula de Matemática. Na primeira sessão, buscamos familiarizar os alunos com a
calculadora científica, de modo que eles percebecem como ela pode ser útil e, ao mesmo
tempo, lúdica. O uso de Imenes (1992) contribuiu, na sessão seguinte, para os alunos
relacionarem, em um diálogo conosco, as equações exponenciais aos logaritmos
decimais. Com esta relação, a calculadora científica contribuiu para a problematização
do conceito de logaritmo e passsou a ser uma ferramenta cognitiva, nos termos de
Ruthven (1992). Nesta problematização, estava presente a concepçção algébricofuncional (Miorim & Miguel, 2002) dos logaritmos, uma vez que havia o tempo a ser
encontrado, como valor desconhecido, apesar de não ter ocorrido, por conta da
exigüidade de tempo, a representação funcional dos logaritmos.
A situação-problema utilizada nesta experiência didáctica, propiciou condições
que conduziram os alunos ao início da aquisição de uma nova ferramenta, no caso, o
conceito de logaritmo, pois pudemos identificar os cinco pontos sublinhados pelos
didactas da Matemática e enfatizados por Almouloud (1997). Primeiramente, os alunos
compreenderam facilmente os dados e, com isso, puderam começar a exploração dos
mesmos utilizando conhecimentos antigos. Além disso, a situação-problema se refere ao
campo conceptual das estruturas multiplicativas o qual desejamos explorar
efectivamente. Um outro factor importante, aparece no terceiro ponto, os conhecimentos
anteriores dos alunos eram insuficientes para a resolução imediata do problema., como
vemos na passagem onde não é possível resolver com o uso de equações exponenciais.
No quarto ponto, os conhecimentos objectos de aprendizagem, fornecem as ferramentas
adaptadas para obter a solução, foi o que vimos quando os alunos passaram a usar o
conceito de logaritmo, com a calculadora científica, sendo esta usada como recurso
significativo, para resolver a situação-problema. O quinto e último ponto, a questão
pode ser formulada nos vários quadros, nos termos de Douady (1986). Nesta
experiência, podemos ver a possibilidade de abordagem nos quadros algébrico e gráfico,
no entanto, houve o predomínio do quadro algébrico e numérico.
No que se refere às questões desta experiência didáctica, podemos afirmar que o
início do estudo do conceito de logaritmo foi bem sucedido, a calculadora científica foi
utilizada como recurso significativo na construção deste conceito, pois agilizou o
cálculos, permitindo que os alunos pudessem se concentrar em aspectos significativos
do problema e, além disso, seu uso estava imbricado em uma propriedade importante
deste conceito, que foi usada na resolução da situação-problema, a mudança de base.
Em relação ao que prevemos na análise a priori da situação-problema, pudemos
perceber que nossas expectativas, em relação aos conhecimentos anteriores dos alunos
referentes a juros e percentagem, foram em parte frustradas, pois a maioria ou não
lembrava destes conceitos ou não os tinha estudado ainda, apesar disso, consideramos
que a compreensão dos alunos em relação a tais conceitos desenvolveu-se bem durante
as sessões. Em uma nova sessão, seria importante que os alunos já tivessem pleno
domínio desses conceitos e terem clara a possibilidade de relacionar os juros compostos
às funções.
Na fase de pesquisa os alunos tentaram encontrar um modo de resolver a
situação-problema que exploraria o uso da fórmula M = C(1 + i)n. Na fase de
formulação, eles trocaram informações referentes a modos de resolução, nesta fase, os
alunos usam os logaritmos através da calculadora científica e, na fase de validação, por
sua vez, foi a etapa na qual eles puderam mostrar porque o modo que criaram é válido,
151
nesta fase aparece (1,012)t = 1,11, para verificar a validade do resultado. A fase de
validação, teve como objectivo principal, o debate sobre a certeza das asserções e as
interacções com o meio foram organizadas em consequência deste debate.
Por fim, o professor-pesquisador institucionalizou o conhecimento sobre
logaritmos, generalizando, se t = a é um número positivo, log a é o expoente ao qual se
deve elevar 10 para que a potência seja igual a a.
Referências
Almouloud, S. A. (1997). Fundamentos da Didática da Matemática e Metodologia de
Pesquisa, Caderno de Educação Matemática Vol. III, PUC - SP.
Arsac, G., Germain, G. & Mante, M. (1991). Probleme ouvert et situation-problème.
Presses Universitaires.
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