GEOMETRIA URBANA: CONSTRUINDO OS CONCEITOS DAS CÔNICAS Claudianny Amorim Noronha (UFRN – PPGEd) [email protected] John Andrew Fossa (UFRN – PPGEd) [email protected] 1 Introdução Atualmente, o ensino da Geometria vem recebendo a importância que lhe cabe, como um dos estudos mais ligados à prática social e eficiente no desenvolvimento do raciocínio lógico-dedutivo. Desde então, contribuir para a prática de ensino de conceitos que assegurem essa importância, bem como o seu avanço, torna-se interessante para todos aqueles envolvidos com a aprendizagem. Dessa forma, objetivando contribuir para o avanço do ensino da Geometria, desenvolvemos um estudo que se direciona para a compreensão das definições das cônicas, cujas propriedades têm considerável importância para a construção de instrumentos que facilitam a vida de um grande número de pessoas e cujas formas são vistas cotidianamente. Como exemplo, temos o jato de água lançado por uma mangueira, os faróis de um carro, a antena parabólica e outros. Entretanto, ao serem abordadas nas escolas, são vistas apenas como gráficos derivados de uma determinada função. Neste texto, apresentaremos a descrição dos resultados da pesquisa que realizamos com o objetivo de propor uma abordagem metodológica do ensino da Geometria, baseada na relação entre a Geometria do Táxi, a modelagem e o uso da intuição, pelos alunos, para construção dos conceitos de cônicas. Durante a elaboração da proposta nos pareceu conveniente abordarmos alguns assuntos que nos proporcionam um trabalho interdisciplinar, como por exemplo, a importância social das disposições físicas das cidades e os benefícios que essas nos trazem quando pensamos na locomoção, no comércio, etc., além de ser indiscutível os benefícios que a utilização das propriedades das cônicas oferecem para o desenvolvimento tecnológico, e de seus usos em diferentes áreas, como por exemplo, a Geografia, a Física e outras. Anais do VIII ENEM - Comunicação Científica GT 2 - Educação Matemática nas séries finais do Ensino Fundamental 2 Elaboramos atividades baseadas na resolução de problemas, permitindo que os alunos levantem hipóteses, testem-nas, discutam com os colegas e tirem suas conclusões. Estes problemas baseiam-se no que conhecemos como modelagem matemática, “conjunto de símbolos e relações matemáticas que procura traduzir de alguma forma, um problema em questão ou problema de situação real” (BIEMBENGUT, 2000, p. 12), ou seja, utiliza-se da representação de algo que já se conhece, mas que nem sempre é representado em sua essência e sim como uma imitação, modelo, para resolver problemas que requerem um raciocínio matemático. A “Geometria do Táxi” (KRAUSE, 1986, p. 2) ou “Geometria Urbana” (FOSSA, 2001, p. 87), cujas propriedades podem ser encontradas com melhor descrição em Fossa (2003), contribui com este trabalho ao permitir que se utilize como modelo algo que faz parte do cotidiano dos moradores das cidades, o espaço urbano, apresentado de forma simplificada de modo a imaginarmos uma cidade bem planejada, onde os quarteirões tem o mesmo tamanho e as ruas são percorridos no sentido norte-sul e leste-oeste. O espaço é semelhante ao das coordenada cartesiana usual, mas permitirá que a distância entre dois pontos seja encontrado de forma diferente da métrica euclidiana, com a qual estamos acostumados, pois reflete a realidade de uma cidade, onde nos limitamos a percorrer as ruas. A distância d ente dois pontos, A (x1, y1) e B (x2, y2), é definida na Geometria Urbana através da soma das distancias horizontais e verticais, dq( AB) = x 2 − x1 + y 2 − y1 . Usa-se o módulo das diferenças para garantir que a distância seja não-negativa. Assim, a distância horizontal x entre quaisquer dois pontos é a diferença entre os valores das coordenadas de x desses pontos. Semelhante a distância vertical y é a diferença entre os valores de y. Exemplo: Um carro sai do ponto A (1, 1) para o ponto B (4, 3), como mostra a figura 1. Considerando que este carro não poderá passar por cima das casas e prédios, como faremos para calcular a distância que ele percorrerá entre os dois pontos? dq( A, B) = 4 − 1 + 3 − 1 B dq( A, B) = 3 + 2 = 5 A 0 Figura 1 Resposta: a distância percorrida pelo carro será de 5 quarteirões. Anais do VIII ENEM - Comunicação Científica GT 2 - Educação Matemática nas séries finais do Ensino Fundamental 3 2 A pesquisa Como já mencionamos acima, elaboramos atividades baseadas na modelagem urbana, com as quais o aluno teria a oportunidade de construir o seu entendimento de cônicas a partir de sua intuição. Para mais detalhes, ver Noronha (2003). Estas atividades foram aplicadas com alunos de 7ª e 8ª série da escola Estadual Castro Alves (Natal-RN). As atividades foram desenvolvidas em forma de curso extra e teve total apoio das professoras que, ao terem conhecimento do conteúdo, faziam referências ao curso durante as aulas e também cobravam a participação dos alunos neste como forma de avaliação de seus desempenhos. O curso foi aplicado no mês de Outubro de 2001 e teve duração de duas horas diária durante cinco dias. Ocorreu fora do horário de aula, pois devido ao excesso de paralisações ocorridas durante o ano letivo, tornou-se inviável que os professores dispusessem de suas horas-aulas. Os nossos dados incluem transcrições de entrevistas, notas de campo e as atividades resolvidas pelos alunos. Durante a realização das atividades, procuramos dar ênfase ao processo utilizado pelo aluno para chegar às suas conclusões, para que pudéssemos compreender como eles entendiam e experimentavam o que lhes foi atribuído através da atividade e, ainda, saber se havia alguma diferença em relação ao nível cognitivo entre os alunos das séries em questão. É importante ressaltar que, ao utilizar a Geometria Urbana, não objetivamos distanciar os alunos da Geometria euclidiana, admitida pela escola como a geometria padrão. Apenas utilizamos uma métrica diferente da usual e mais condizente com a realidade do sujeito para chegar ao conteúdo curricular e efetivar a aprendizagem. Procuramos elaborar situações-problema que permitissem ao aluno, como sujeito epistemológico, construir seu conhecimento. Assim, recolocamos o escrito de Fossa (2001, p. 89): (...) o conhecimento é sempre uma construção do sujeito epistemológico e, portanto, embora feito dentro de um mileau social, é uma construção individual e, conseqüentemente, não é possível transmiti-lo de uma forma acabada de uma pessoa para outra como comumente se supõe. Anais do VIII ENEM - Comunicação Científica GT 2 - Educação Matemática nas séries finais do Ensino Fundamental 4 As turmas de ambas as séries estudavam no turno matutino. Dessa forma o curso foi realizado no horário vespertino para a 7ª e, no noturno, para a 8ª série. Utilizamos como espaço o auditório da escola, onde havia carteiras escolares como as da sala de aula e um quadro de giz. A turma da 7ª série tinha 25 alunos, cuja faixa etária estava entre os 12 e os 16 anos. Nenhum deles repetia esta série, mas todos se queixavam de dificuldades em aprender os conteúdos de Matemática e assistiam à aula para poder melhorar as notas na disciplina. A turma da 8ª série tinha 15 alunos, cuja faixa etária entre os 14 e os 18 anos. Nenhum deles repetia o ano letivo. Os alunos que freqüentavam regularmente o curso tinham como objetivo complementar o conteúdo dado em sala de aula, para ter mais condições de realizar a prova de seleção do CEFET (Centro Federal de Educação Tecnológica), e, muitas vezes, ficavam após o curso para tirar algumas dúvidas do conteúdo de sala de aula. As atividades envolviam um contexto, a exemplo da primeira que relatava a história de roubo de um supermercado, cabendo aos alunos decidirem se o sargento Gomes, personagem da história, havia decidido certo entre duas patrulhas de policia disponíveis para ir ao local do roubo. No início da atividade muitos alunos, tanto da 7ª quanto da 8ª série, tiveram dificuldades em assimilar o mapa descrito na história (Figura 2) como um mapa urbano com ruas e prédios. B Sendo: A, B- Carros de patrulha; S- Supermercado preço Sorridente. G- Estação de polícia, onde Gomes trabalha. Caminhos Gomes A S G Figura 2 – Mapa da 1ª atividade. traçados por Anais do VIII ENEM - Comunicação Científica GT 2 - Educação Matemática nas séries finais do Ensino Fundamental 5 Os alunos afirmaram que o carro B chegaria mais rápido, pois levaram em consideração a medição dos dois caminhos que eles fizeram com a régua. Assim, todos os grupos responderam que a solução dada pelo sargento era correta. Então, precisamos lembrá-los de que estavam lhe dando com um mapa urbano da área de atuação de Gomes na cidade e pedimos que pensassem mais um pouco sobre a situação. A grande maioria quis desistir de achar outra solução. Alguns diziam que Gomes estava errado, mas não apresentavam outra solução. Era evidente que achavam que era a resposta que nós queríamos escutar por insistirmos tanto que eles refletissem sobre a questão. Sem alternativa e sem querer dizer a eles o que fazer para não descaracterizar o trabalho e repetir o que parecia fazer parte da realidade de sala de aula, resolvemos dar algumas pistas, lembrando-os que o mapa se tratava do mapa de uma cidade, pedimos que analisassem se o caminho escolhido por Gomes seria possível. Os alunos refizeram as medições e encontraram o caminho que percorreria a patrulha A como o mais curto e o que deveria ser escolhido por Gomes. Se estes alunos tivessem usado devidamente a noção que possuem de espaço urbano, logo perceberiam que Gomes estaria errado, já que seria inviável que os carros passassem por cima dos quarteirões, mas talvez por não estarem muito acostumados com questões que lhes fizessem refletir da forma como eles precisaram, buscando experiências que já possuíam, tornou-se bem mais difícil resolver a questão. Depois de ter encontrado as respostas das questões acima explicamos a eles o que era um plano cartesiano. Citamos porque e em que o plano cartesiano é útil no diaa-dia, assim eles entenderam porque Gomes idealizou o mapa da forma vista, isso nos deu o “gancho” para a introdução dos termos Geometria Euclidiana e Geometria Urbana, dando ênfase às noções de distância das duas métricas (não trabalhamos com fórmulas), ressaltando que a que é vista regularmente no conteúdo de sala de aula é a primeira, mas que, por estar relacionado com as experiências vividas por eles no espaço urbano, nós utilizaríamos a segunda geometria para que eles pudessem, mais facilmente, conhecer alguns dos conteúdos da primeira. É importante ressaltar que as atividades obedeciam a uma seqüência, da qual uma dava subsídios para a resolução da próxima, possibilitando que os alunos criassem seus esquemas para um melhor entendimento. As primeiras atividades são caracterizadas, principalmente, pela identificação das distâncias entre dois pontos através da contagem dos quarteirões. Além de trabalhar a noção de distância, podemos, com estas atividades revisar as operações com frações e Anais do VIII ENEM - Comunicação Científica GT 2 - Educação Matemática nas séries finais do Ensino Fundamental 6 números decimais. No caso da 8ª série estas questões possibilitam ainda, trabalhar a localização de pontos no plano cartesiano, assim o professor (a) poderá pedir que os alunos indiquem a localização de cada ponto através de suas coordenadas no plano. No decorrer destas atividades muitos alunos começaram medindo as distâncias através da régua, então precisamos lembrá-los que estávamos usando a Geometria Urbana e que eles deveriam buscar a distância entre os pontos solicitados na questão como se fosse o mapa utilizado por Gomes nas questões anteriores. Com a turma de 8ª série, além de trabalhar as distâncias, adequamos o quadro para trabalhar as coordenadas dos pontos no plano cartesiano. Assim, além de informar a distância entre os pontos solicitados nas duas questões, pedimos que os alunos desta série nos indicassem as coordenadas desses pontos. Para isso acrescentamos em cada uma das questões mais um ponto que seria a origem do plano. Não apresentamos a atividade com a origem já acrescentada para a 8ª série, porque ainda não tínhamos pensado em trabalhar as coordenadas até que no decorrer da aula percebemos o interesse dos alunos e que, apesar destes estarem quase no final do ano letivo, ainda não tinham visto o assunto. y y A C B R E D F D 0 x G x C Figura 3 – Mostra a origem do plano, acrescentada para turma de 8ª série. Figura 4 – Mostra a alteração na origem do plano. Numa atividade, como podemos observar na figura 3, as coordenadas de todos os pontos eram positivas, enquanto que noutra, considerando que os alunos já trabalham em sala-de-aula com operações com números negativos, estabelecemos no quadro (Figura 4) a origem num ponto em que houvesse um certo equilíbrio em relação a isso. Durante a resolução do objetivo principal das referidas atividades, que era encontrar a distância urbana entre os pontos, percebeu-se a grande dificuldade que os alunos das duas séries tinham em contar os meios de caminhos que precisavam de um conhecimento de operações com frações ou com números decimais. Anais do VIII ENEM - Comunicação Científica GT 2 - Educação Matemática nas séries finais do Ensino Fundamental 7 Para garantir um melhor entendimento da atividade, precisamos fazer uma revisão sobre o assunto que incluiu conhecer as partes fracionárias de um inteiro, a conversão destas partes em números decimais e as operações de adição e subtração com estes números. Em conseqüência, para desenvolver as primeiras cinco atividades, necessitamos de dois dias do curso e, ainda, de meia hora a mais nestes dias. Nas próximas quatro atividades, os alunos tiveram a oportunidade de conhecer a circunferência urbana e, considerando que esta circunferência tem a mesma definição da euclidiana, pudemos trabalhar a primeira dando referências a segunda e, além disso, trabalhar também as definições de raio e diâmetro. Aproveitamos ainda, para trabalhar a definição de losango e quadrado, nomes dados pelos alunos para a figura encontrada (Figura 5) nestas atividades, pois muitos não levaram em conta o método que utilizaram para encontrar a figura e a relação deste com a definição de circunferência, vista por eles através da pesquisa feita em sala, ou até mesmo por não aceitar uma outra forma para a circunferência se não a redonda. Figura encontrada pelos alunos. O Figura 5 – Nesta atividade os alunos teriam que encontrar todos os pontos com distância de 3 unidades do centro O. Os alunos de ambas as séries se encontravam no mesmo nível de dificuldade. Foram várias as barreiras encontradas para resolução das atividades de forma geral. Entre elas, estava a dificuldade de interpretação, de reflexão, enfim, de uso do raciocínio. Foi preciso muita conversa para que não os deixasse desistir, durante esta tarefa. A primeira autora, ministrante do curso, aproximou-se muito da turma a ponto de ser deixada em casa depois da aula, já que sua casa, aí usamos a noção de distância da Geometria em questão, situava-se a 4 quarteirões da escola. Outra dificuldade foi que os alunos tinham estudado muito pouco de geometria e nada sobre a circunferência neste ano letivo, tentando buscar, por exemplo, o entendimento que os alunos tinham sobre raio ou diâmetro, não obtivemos qualquer retorno. Durante a resolução das atividades, a ministrante do curso, estava sempre caminhando entre os grupos, participando de suas discussões para resolução do Anais do VIII ENEM - Comunicação Científica GT 2 - Educação Matemática nas séries finais do Ensino Fundamental 8 problema, conversando com os componentes e, assim, fazendo de forma informal pequenas entrevistas e, nestas ocasiões, eles sempre conversavam muito sobre o dia-adia de sala de aula, sobre o que faziam quando não estavam na escola e, principalmente, sobre a preocupação com as notas da disciplina. Após encontrarem as figuras, os grupos trocavam idéias e eles mesmos avaliavam a proposta de cada grupo. Em seguida, o trabalho passava a ser de pesquisa, pois os grupos relacionavam o método que utilizaram para encontrar a figura, sua forma e a definição destas nos livros didáticos, fazendo comparações entre estas e as urbanas. O mesmo procedimento foi utilizado nas outras questões, onde foram trabalhados os conceitos de elipse, hipérbole e parábola. Para cada figura, fazíamos a relação desta com alguns instrumentos do dia-a-dia, ressaltando a sua utilidade (nos telescópios, nas órbitas dos planetas, na construção de pontes, nas antenas de transmissão de imagens e sons, etc.). Os exemplos dados impressionavam muito os alunos, em especial os meninos que pretendiam fazer cursos técnicos ao passarem para o nível médio. 3 Conclusão Durante a realização do curso, nos deparamos com algumas dificuldades, com as quais não contávamos, à exemplo da falta de domínio nas operações com frações e números decimais, em interpretação e outros aspectos. Entretanto, não vimos a possibilidade de prorrogar o período do curso, pois na semana seguinte viria o período de prova e, a seguir, os jogos escolares. Mas, estas dificuldades nos ajudaram a ver um outro lado do trabalho que propomos, como, por exemplo, o uso do modelo urbano para a realização de atividades com frações. No que se refere às atividades, durante as entrevistas informais e através da participação dos alunos, percebemos que estes conseguiram desenvolver uma compreensão do que define as cônicas, através da atividade que os fez refletir e usar da intuição para resolvê-la. O uso da modelagem de um centro urbano bem planejado e a teoria desenvolvida sobre a Geometria Urbana contribuíram bastante, proporcionando que os alunos partissem de algo que já conheciam para a construção dos conceitos propostos. Através da atividade de pesquisa, possibilitou-se ao aluno fazer uma comparação da variação das formas das cônicas nos dois espaços apresentados, ajudando-os a ter uma compreensão melhor do que define estes gráficos. Anais do VIII ENEM - Comunicação Científica GT 2 - Educação Matemática nas séries finais do Ensino Fundamental 9 A atividade possibilitou-nos trabalhar alguns assuntos que nos proporcionam um trabalho interdisciplinar, tais como a importância social das disposições físicas das cidades e os benefícios que essa nos traz, quando pensamos em situações como a locomoção, o comércio e outros; a utilização das propriedades das cônicas no desenvolvimento de instrumentos tecnológicos, a exemplo do microscópio, da antena parabólica; os movimentos dos planetas; localizações geográficas, etc. A partir do terceiro dia, percebemos que os alunos já resistiam menos às atividades propostas e procuravam resolver suas atividades encontrando suas estratégias, fossem elas baseadas totalmente em raciocínios matemáticos, a exemplo dos pontos eqüidistantes da elipse, ou na sorte, com uma dose de matemática. Durante a realização de nosso trabalho de pesquisa, deparamo-nos com uma certa deficiência, não apenas no que se refere ao ensino da Geometria, mas, até mesmo, da Aritmética. Este fato nos fez repensar o tempo determinado para a realização das atividades e, ainda, as finalidades de nossa proposta. Para abordar um conteúdo de forma interdisciplinar, precisamos ocupar um pouco mais de tempo e, até mesmo obter ajuda de professores de outras disciplinas. Repensamos também as finalidades de nossa proposta, porque vimos a oportunidade de abordar outros assuntos, a exemplo do estudo de frações. De acordo com as orientações e entrevistas informais que fazíamos durante o curso, nossa atividade atingiu seus objetivos, concernente a realizar uma abordagem metodológica de ensino da Geometria e, mais especificamente, para a construção dos conceitos das cônicas, com os quais os alunos tiveram a oportunidade de, a partir do uso de sua intuição, levantar hipóteses, testar, discutir com os colegas e tirar suas conclusões, visto que eles conseguiram compreender não apenas o que define estes gráficos, mas também suas variações de acordo com o espaço. REFERÊNCIAS BIEMBENGUT, M. S.; HEIN, N. Modelagem matemática no ensino. São Paulo: Contexto, 2000. FOSSA, J. A. Ensaios sobre a educação matemática. Belém: EDUEPA, 2001 (Educação 2). Anais do VIII ENEM - Comunicação Científica GT 2 - Educação Matemática nas séries finais do Ensino Fundamental 10 FOSSA, J. A. Geometria Urbana. João Pessoa: UFPb, 2003. KRAUSE, E. F. Taxicab Geometry: an adventure in Non – Euclidean Geometry. New York: Cover Publications, 1986. NORONHA, C. A. A modelagem e a geometria urbana: uma proposta para a construção dos conceitos das cônicas. 2003. Dissertação (Mestrado em Educação) – Universidade Federal do Rio Grande do Norte. Natal, 2003.