UNIVERSIDADE ESTADUAL DO SUDOESTE DA BAHIA – UESB
DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS – DCE
CURSO DE LICENCIATURA EM MATEMÁTICA
PROFESSORA: ROBERTA D’ANGELA MENDUNI
NEURACI DIAS AMARAL
RELATÓRIO DO ESTÁGIO
SUPERVISIONADO III
VITÓRIA DA CONQUISTA – BAHIA
AGOSTO DE 2011
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RELATÓRIO DO ESTÁGIO
SUPERVISIONADO III
Relatório de estágio apresentado ao Curso
de Licenciatura em Matemática como parte
da exigência da disciplina Estágio
Supervisionado III, sob a orientação da
Profª Msc. Roberta D’Angela Menduni
Bortoloti.
VITÓRIA DA CONQUISTA – BAHIA
AGOSTO DE 2011
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FICHA DE CADASTRO
01. NOME:
Neuraci Dias Amaral
02. ENDEREÇO:
Rua 07 de Setembro, 140, Centro – Vitória da Conquista – Bahia.
03. INSTITUIÇÃO ONDE REALIZOU O ESTÁGIO:
Centro Integrado de Educação Navarro de Brito
04. ENDEREÇO DA INSTITUIÇÃO:
Av. Frei Benjamim - Vitória da Conquista - Bahia
05. NOME DA DIRETORA:
Nayara Vasconcelos
06. NOME DO PROFESSOR REGENTE:
Enoque Alves de Matos
07. INÍCIO DA OBSERVAÇÃO:
22 de março
08. INÍCIO DA COPARTICIPAÇÃO:
04/04/2011
09. INÍCIO DA REGÊNCIA:
25/04/2011
10. TÉRMINO DO ESTÁGIO:
11/08/2011
ATIVIDADES REALIZADAS NO ESTÁGIO
HORAS PREVISTAS HORAS REALIZADAS
OBSERVAÇÃO
08
08
COPARTICIPAÇÃO
08
10
REGÊNCIA
32
32
TOTAL DE HORAS
44
46
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AGRADECIMENTOS
Agradeço primeiramente ao meu bom Deus, que se faz presente sempre em
minha vida, me abençoando até o momento com saúde, força, persistência e
determinação.
Agradeço a minha família, em especial a minha mãe (a dona Neuza), por sempre
estarem presentes, preocupados comigo e com minha formação intelectual e moral.
Agradeço a professora Roberta, orientadora do estágio, que fez o seu trabalho
com seriedade, compromisso e dedicação.
Agradeço aos meus colegas de disciplina que compartilharam experiências,
discutindo trabalhos, que deram certo ou que não deram tão certo, ao longo do estágio.
Enfim, agradeço a todos que participaram direto ou indiretamente deste processo
desafiante que foi e é o estágio.
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MEMORIAL
Inseri-me no contexto escolar aos 6 anos de idade, quando minha mãe me
matriculou em uma escolinha pública de minha cidade natal Caraíbas, o Centro
Educacional Jesuíno Flores, a única da parte urbana da cidade. Lá, fui alfabetizada, e
cursei até a 8ª série do ensino fundamental. Naquela época eu admirava minhas
professoras, mas sonhava em ser cantora, mesmo sem ter o menor talento, lembro-me
que era o auge dos sucessos de Sandy e Júnior e a escola era meu local preferido, o
lugar onde encontrava minhas coleguinhas para cantar, dançar, jogar baleado no
horário do recreio e, é claro, para estudar.
Aos 15 anos, me matriculei no Colégio Estadual Luís Eduardo Magalhães
(CELEM) para cursar o ensino médio, onde vivi uma das melhores fases de minha
vida. Já estava na adolescência e encarava as coisas de uma forma diferente. Modéstia
à parte eu era a CDF da turma, não que eu fosse uma aluna muito inteligente, mas
como o nível de meus colegas era baixo, eu acabava me destacando em meio a eles
em relação às notas, até então, nunca tinha feito uma recuperação, sempre procurei ser
uma aluna compromissada com os estudos. Nesta unidade escolar conheci pessoas que
se tornaram inesquecíveis, conheci colegas, tive paqueras (que também faz parte) e
professores que se tornaram amigos e me incentivavam sempre a estudar.
A equipe de professores do CELEM era admirável, embora se tratasse de
ensino público e lá também tivessem professores ruins1. Lembro-me com carinho de
cada um: a professora de português, Adimara: como ela era dedicada ao seu trabalho e
adorável como pessoa; o professor de biologia, Jailson, carinhosamente chamado de
Jai por todos, ele era muito “doido”! Com todo respeito, suas aulas eram fantásticas,
me lembro de cada “mergulho” que fazíamos ao estudar biologia e pra descontrair das
piadinhas no fim da aula, por que embora estivéssemos num colégio, “ninguém é de
ferro”; outro que deixou boas recordações foi o professor de física, meu amigo até
hoje, o Márcio (o famoso Marcinho rapadura); e, por fim, aquele que mesmo sem
1
Digo ruins por que, a meu ver, se tratavam de professores com metodologias que não me agradava, aulas
chatas e monótonas, de difícil compreensão e de predicados pessoais que deixavam a desejar, o que não
quer dizer que outras pessoas os achassem ruins também.
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saber, foi o responsável pelo meu interesse pela matemática: Roberto, era o professor
de matemática, na época, formado em ciências contábeis, mas apaixonado pela
matemática que despertou em mim o interesse pela disciplina. Suas aulas eram ótimas,
muita descontração mesmo quando o assunto parecia difícil, ele com sua explicação
dava um “show” na aula, que me fascinava.
No ano em que concluí o ensino médio não sabia ao certo para qual das
licenciaturas prestar vestibular, pois, na verdade, em especial, eu adorava física,
matemática e biologia. Na dúvida acabei optando por biologia. Naquele ano não
cheguei a passar, mas não desanimei, pois, era muito nova, tinha 17 anos e me sentia
despreparada para deixar minha família e ir para outra cidade.
O tempo foi passando e nos anos que vieram acabei me acostumando com a
vida que levava. No ano em que concluí trabalhava com minha tia, em uma loja de
roupas e acabei dando uma estacionada nos estudos. Alguns anos depois, resolvi
voltar a dar uma estudada em meu acervo do ensino médio, foi quando decidi que iria
fazer matemática. Estudei bastante para passar e no fim de 2006, prestei vestibular
para matemática para UNEB, campus de Caetité e para UESB, campus de Vitória da
conquista. Eu tinha certeza que ia passar, pois estava me sentido preparada. E assim
aconteceu, fui aprovada nas duas instituições e fiquei muito feliz. Por incrível que
pareça quem não gostou da ideia foi minha mãe, pois para ela, vindo de uma cultura
totalmente diferente e com uma postura bem antiquada, era “o fim de o mundo” uma
moça sair para morar sem alguém da família em outra cidade. Ela quase enfartou
quando arrumei minha mochila para vir morar em uma república em Vitória da
Conquista. Graças a Deus, nada de mal lhe aconteceu e hoje, embora ela ainda tenha
suas queixas, tudo está bem.
No segundo semestre de 2007 daria início ao curso de matemática na UESB,
mas devido a uma greve de professores reivindicando melhorias salariais só foi
possível no primeiro semestre de 2008. Chegando à Universidade, tive uma surpresa:
encontrei meu professor de matemática do ensino médio terminando a graduação em
Licenciatura em matemática e me fazendo ameaças de trote. Em relação aos
professores do ensino superior, percebi que a relação aluno-professor era diferente,
existia certo distanciamento entre eles, e as conversas se limitavam a pouquíssimas
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perguntas e dúvidas em sala de aula. Notei que na UESB existem os bons e os ruins
professores, aqueles que admiro e aqueles que não gostaria de ser semelhante quanto à
postura em sala de aula ao ministrar as aulas. Nem sempre títulos equivalem a
conhecimento e mais uma vez, são nos bons que devemos nos espelhar, e mesmo que
não consiga ser semelhante à eles, ao menos aprender já é válido.
Ao iniciar o curso de licenciatura em matemática tive uma grande decepção,
descobri que sabia muito pouco, minhas deficiências eram muitas, cheguei até a
pensar em desistir, mas em consideração ao meu orgulho e a vontade de fazer o curso
decidi “tocar o barco em frente”. Estudar as disciplinas que envolvem a álgebra foi um
problema, pois estava habituada apenas aplicar os conteúdos.
Em 2008 tive minha primeira experiência docente em uma substituição, que
durou 15 dias no Colégio Estadual Carlos Santana em Vitória da Conquista. Não tive
dificuldades, trabalhei com turmas de Educação de jovens e adultos e foi bastante
gratificante. Em 2009 comecei trabalhar com turmas de ensino fundamental II no
Centro educacional de Caraíbas que fica em Caraíbas. Nesta experiência trabalhei
com crianças principalmente de 5ª série (atual 6º ano) e percebi que o trabalho de um
professor vai além do papel de ensinar conteúdos, a indisciplina é um dos fatores mais
desgastantes, muitos alunos sequer respeitam pais, direção e professores. Uma luta
diária em sala de aula a fim, onde era preciso suprir educação moral que deveria vir de
casa e educação voltada para o conhecimento escolar. No segundo semestre de 2009
começei trabalhar no Colégio Estadual Luís Eduardo Magalhães, também em
Caraíbas, foi a melhor experiência que tive, durou 6 meses. A direção era excelente, a
equipe de professores muito unida e competente, e os alunos com uma postura
completamente diferente das turmas que tive anteriormente. Tratavam se de jovens,
onde a maioria eram interessados, o clima em sala de aula era descontraído, os alunos
me respeitaram e me trataram muitíssimo bem. Hoje, continuo a trabalhar no Centro
Educacional de Caraíbas, aprendizagem constante, ora com turmas onde dá pra
desenvolver um trabalho bacana, colocar aulas diferentes com materiais concretos,
jogos e dinâmicas, onde que dá pra perceber que os alunos estão aprendendo, ora com
turmas mais difíceis que de certa forma me limitam e me fazem mudar de estratégias
de ensino constantemente. Hoje, estou no 8º semestre, após cumprir o estágio
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curricular II (fundamental de 7ª ou 8ª séries), pois o estágio I fui dispensada, me
encontro agora finalizando o relatórios deste estágio (Ensino Médio regular) e do
estágio IV que se trata da Educação de Jovens e Adultos (EJA). O estágio II foi uma
experiência boa, mas eu não diria a melhor, pois o 9º ano que foi a turma que estagiei
no Colégio Estadual Abdias Menezes em Vitória da Conquista, se referia à
adolescentes, nos quais nem todos estavam com interesse de aprender, tinha alunos
que mais parece que ia à aula para incomodar os colegas e ao professor. Já no estágio
III, que se refere ao estágio deste relatório, foi com uma turma de 3º ano do Ensino
Médio, foi uma experiência excelente, a melhor entre os estágios. Por fim, o estágio
IV foi uma experiência com turma de EJA, 6º e 7º anos, foi uma experiência também
que veio a somar embora tenha sido bem curta, acredito, inclusive, que deveria haver
mudanças em relação à forma como que se desenvolve este estágio no curso.
Neste semestre, 2011.1 deveria terminar o curso, mas ainda devo as disciplinas:
teoria dos números, análise na reta e variáveis complexas.
Espero em minha vida profissional como professora, desenvolver um bom
trabalho, não me desanimar com as dificuldades, não apenas ensinar a resolver
equações e problemas, mas desenvolver uma postura crítica em meus alunos, discutir
problemas sociais quando for conveniente e não causar traumas em ninguém, se
possível for, minimizar o assombro dos alunos perante a matemática.
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“Trocávamos idéias sobre tudo. Submetíamos nossos trabalhos um ao outro. Juntos
reformulávamos nossos valores, e descobrimos o mundo.”
Fernando Sabino
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SUMÁRIO
1. INTRODUÇÃO ........................................................................................................ 12
2. FASE DE OBSERVAÇÃO ...................................................................................... 14
2.1. ASPECTOS OBSERVADOS NA INSTITUIÇÃO .......................................... 15
2.2. REGISTRO DE ATIVIDADES OBSERVADAS ............................................ 19
2.3. SÍNTESE DA FASE DE OBSERVAÇÃO ....................................................... 20
3. FASE DE COPARTICIPAÇÃO .............................................................................. 26
3.1. REGISTRO DE ATIVIDADES......................................................................... 27
3.2. SÍNTESE DA FASE DE COPARTICIPAÇÃO .............................................. 28
4. FASE DE REGÊNCIA .............................................................................................. 30
4.1. HORÁRIO DO ESTÁGIO................................................................................. 31
4.2. PLANO DE UNIDADE ..................................................................................... 32
4.3. PLANO DE AULA 1: O QUE É UM POLINÔMIO ...................................... 36
4.4. PLANO DE AULA 2: OPERAÇÕES COM POLINÔMIOS – SOMA,
SUBTRAÇÃO E MULTIPLICAÇÃO ..................................................................... 44
4.5. PLANO DE AULA 3: IDENTIDADE DE POLINÔMIOS ............................ 49
4.6. PLANO DE AULA 4: DIVISÃO DE POLINÔMIOS ..................................... 53
4.7. PLANO DE AULA 5: MÉTODO DOS CARTÕES ........................................ 68
4.8. INTRODUÇÃO À ANÁLISE COMBINATÓRIA POR MEIO DE
RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS ........................................................................... 78
4.9. REGISTRO DAS ATIVIDADES ...................................................................... 98
4.10. RELATOS DAS AULAS DE REGÊNCIA................................................... 101
4.10. ANÁLISE DO QUESTIONÁRIO SÓCIO-ECONÔMICO ........................ 127
4.11. QUADRO DE NOTAS ................................................................................... 145
4.12. CONCLUSÃO ................................................................................................. 147
6. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ................................................................... 149
7. ANEXOS ................................................................................................................... 151
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INTRODUÇÃO
O estágio de licenciatura é uma exigência da lei de diretrizes e bases da
educação nacional2 (nº 9394/96) e o cumprimento de se sua respectiva carga horária é
requisito exigido para conclusão de curso. O presente trabalho tem por objetivo relatar
as atividades desenvolvidas durante o Estágio Supervisionado III do curso de
Licenciatura Plena em Matemática – UESB. Neste documento está inserido todo o
trajeto do meu estágio que ocorreu entre o período de 22 de Março a 18 de Julho de
2011 no Centro de Integração Educacional Navarro de Brito – CIENB, no 3º ano “A”
do Ensino Médio, em Vitória da Conquista – Bahia, cujo processo teve início na I
unidade, com a observação e a coparticipação, e concluído na II unidade com a
regência.
Sabe-se que a matemática sempre foi considerada para uma grande maioria de
pessoas como “um bicho de sete cabeças” acarretando uma enorme rejeição pelas
pessoas em estudá-la. É algo comum os alunos indagarem: “ufa! Passei! Graças a Deus
me livrei de matemática!” ou “odeio matemática!” E não é a toa que pensem e falem
desse jeito, realmente a maioria delas tem um histórico com esta disciplina que de
alguma forma lhe traumatizaram. Muitos alunos enfrentaram ou enfrentam uma
matemática desmotivadora, “seca”, sem significado real em suas vidas, rigorosa e que
se limita a técnicas monótonas em suas escolas. Diante de tudo isso é fácil notar porque
a matemática ainda é considerada esse “bicho papão”. Cabe a mim como futura
professora de matemática tentar mudar essa realidade dando minha contribuição em
todos os locais pelos quais passar. Mas, antes de dar início à profissão é obrigatório o
cumprimento dos estágios supervisionados exigidos pelos cursos de formação de
professores. É no estágio que começamos a ganhar experiência, estar com os alunos, por
em prática os conhecimentos adquiridos, conhecer a realidade de uma sala de aula,
saber que o desafio é muito maior do que imaginamos. Desafios como de minimizar a
exclusão dos educandos em relação à matemática.
2
http://portal.mec.gov.br/arquivos/pdf/ldb.pdf
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O estágio é fase de conhecimento, uma primeira experiência no meio escolar. É
preparo total? Ensina a ser professor? Com certeza não, pois enfrentaremos situações
novas sempre que estivermos atuando em uma sala de aula. Entretanto, o estágio é um
preparo prévio, no qual podemos contar com as orientações de nossos professores
orientadores, muitas vezes interventores, para que nós como futuros professores
tenhamos pelo menos uma ideia do que pode ser feito.
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FASE
DE
OBSERVAÇÃO
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ASPECTOS OBSERVADOS NA INSTITUIÇÃO
O Centro Integrado de Educação Navarro de Brito, foi inaugurado em março de
1970. Começou a funcionar com 12 salas de aula, mas logo depois o Dr. Rafael Spínola
elevou para 42 o número de salas. Nesta época o colégio começou a oferecer os cursos
de Magistério de 1º Grau, Técnico de Contabilidade e Auxiliar de Enfermagem, além do
ensino de 1º Grau, tornando-se a maior escola de Vitória da Conquista, uma cidadela
com mais de quatro mil alunos3. Hoje, o CIENB, atende cerca de 2700 alunos, possui
um quadro de 85 professores, sendo uma escola de grande porte, oferece curso de nível
fundamental e Médio, distribuídos nos turnos matutino, vespertino e noturno. A
estrutura física da escola tem uma boa qualidade, não apresenta escadas, organizada da
seguinte forma: uma sala ampla para professores com banheiros, uma sala de vídeo,
uma secretaria, uma sala para reprografia e impressões para uso dos professores, vinte e
seis salas de aula, todas equipadas com televisores a pen drive, são utilizados
ventiladores, quadro branco e possuem uma boa iluminação. Há também, uma sala para
a direção, uma sala de xadrez, cozinha, almoxarifado, pátio interno e externo, banheiros
masculino e feminino, laboratório de informática contendo 12 computadores,
lanchonete (privada), cantina que oferece merenda escolar apenas aos alunos do ensino
fundamental, reprografia para alunos (privada), quadra poli esportiva, auditório amplo,
biblioteca com uma quantidade razoável de livros didáticos, revistas, jornais e livros de
literatura e estacionamento.
No CIENB, são desenvolvidos alguns projetos: Resgatando as Tradições
Juninas;
CIENB
Vida;
JÁ-Juventude;
Historia
e
Comunidade;
Reciclagem;
Ressignificação de Dependência; Programa Mais Educação; Ensino Médio Inovador.
Mantendo dessa forma uma Proposta Pedagógica voltada ao construtivismo, no período
em que procurei a direção para obter informações sobre as propostas políticas
pedagógicas ela me informou não seria possível, pois estava sofrendo algumas
mudanças pela equipe responsável;
3
Disponível em: http://blogdirec20.com.br/2010/06/02/centro-integrado-de-educacao-navarro-de-britocomemora-40-anos-de-inauguracao/
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SALAS DE AULA
CARACTERÍSTICAS DA CLASSE
A turma é composta por 38 estudantes sendo 27 mulheres e 11 homens. Destes,
apenas cerca de 32 alunos costumam frequentar as aulas de matemática. Destes últimos,
cerca de 20 alunos são muito interessados em aprender. Eles costumam fazer perguntas
relacionadas ao conteúdo, demonstram interesse em fazer as atividades e prestam muita
atenção às explicações.
ESTRUTURA FÍSICA DA SALA
É uma sala grande, bem arejada, com aproximadamente 40 carteiras para os
alunos, uma mesa com uma cadeira para o professor, um quadro branco e uma TV
pendrive.
DOCENTE
O professor geralmente não falta ao trabalho, aparenta ser organizado e tem um
bom relacionamento com os colegas de trabalho. Em relação aos alunos me parece que
o professor tem fama de “carrasco”. Ministra as aulas de forma expositiva, iniciando-as
da forma tradicional, escrevendo no quadro e os alunos copiando em seus cadernos,
após explicar o conteúdo costuma resolver muitos exercícios para fixação e depois
aplica outros para que os alunos os façam. Ele não costuma seguir um único livro,
aplicando exercícios de fontes diferentes.
AVALIAÇÃO DO DOCENTE
A meu ver, quanto ao ensino, o professor é aparentemente organizado, tem
“domínio” ao abordar o conteúdo e é sempre muito firme nas colocações em sala. Mas
acredito que ele poderia ser mais flexível quanto à sua relação com os alunos, pois me
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pareceu que existe certa resistência dos alunos quanto à algumas atitudes
comportamentais do professor.
TÉCNICAS E RECURSOS UTILIZADOS PELO PROFESSOR
As aulas são expositivas, tradicionais, utilizando: quadro, pincel, apagador e o
livro didático.
ATIVIDADES DE ENSINO
O professor inicia o conteúdo da forma tradicional, escrevendo no quadro e os
alunos copiando. Em seguida, explica o conteúdo e faz exercícios para fixação. A
avaliação é feita através de um teste e uma prova.
CONTEÚDOS
Os conteúdos trabalhados nas aulas em que observei e coparticipei foram:
Números Complexos e Fatoriais. Ambos os conteúdos foram trabalhados de forma
expositiva e sem nenhuma contextualização. Os exercícios se basearam na mecânica de
“como resolver” e não para que serve, ou dentro de qualquer situação contextualizada.
Para o primeiro conteúdo os alunos me pareceram ter mais dificuldade. Para o segundo,
a compreensão de modo geral foi maior.
ASPECTOS EXTERIORES À SALA DE AULA
SALA DOS PROFESSORES
Na sala de professores tem alguns sofás móveis, uma mesa no centro da sala,
usada para colocar os diários de classe, antes e entre as aulas, um bebedouro, uma
pequena mesa onde se coloca merenda escolar e garrafas com chá e café. Há também,
uma mesa usada pela diretora ou vice-diretora, um sanitário feminino e um masculino.
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A maior concentração de professores nesta sala costuma acontecer no horário de
intervalo e entre uma aula e outra. No período em que estagiei, não presenciei nenhuma
reunião, mas é nesta sala que estas costumam acontecer.
BIBLIOTECA
No colégio existe uma biblioteca de pequeno porte na qual existe um sistema de
empréstimo para os alunos. Ficando disponível no horário letivo e sempre tendo alunos
utilizando-a. segundo os alunos, o professor de matemática não costuma levar os alunos
para a biblioteca.
LABORATÓRIO DE INFORMÁTICA
A sala de informática possui 12 computadores em funcionamento, com acesso à
internet à disposição de alunos e professores. Funciona no horário letivo e para utilizálo é preciso agendar antes.
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OBSERVAÇÃO
CENTRO INTEGRADO DE EDUCAÇÃO NAVARRO DE BRITO – CIENB
PROFESSOR REGENTE: Enoque Alves de Matos
ESTAGIÁRIA: Neuraci Dias Amaral
DISCIPLINA: Matemática
CURSO: Ensino Médio
SÉRIE: 3º
UNIDADE: I
TURMA: A TURNO: Matutino
FASE DE OBSERVAÇÃO: 22 à 30 de março de 2011
REGISTRO DE ATIVIDADES OBSERVADAS4
DATA
HORÁRIO
ATIVIDADES
N° DE AULAS
22/03/2011
8:10 às 9:50
Teste I unidade sobre
Números complexos
2
28/03/2011
7:20 às 8:10
Abordagem do
conteúdo Fatorial:
1
29/03/2011
8:10 às 9:50
30/03/11
8:00 às 10:30
4
Resolução de alguns
exemplos sobre o
conteúdo Fatorial e
aplicação de exercícios.
AC dos professores da
área de Matemática e
suas Tecnologias e
reunião entre as duas
estagiárias e o professor
regente de matemática.
2
3
Os registros assinados pelo regente nas fases de observação, coparticipação e regência estão no anexo 4.
19
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CENTRO INTEGRADO DE EDUCAÇÃO NAVARRO DE BRITO – CIENB
PROFESSOR REGENTE: Enoque Alves de Matos
ESTAGIÁRIA: Neuraci Dias Amaral
DISCIPLINA: Matemática
CURSO: Ensino Médio
SÉRIE: 3º TURMA: A TURNO: Matutino
UNIDADE: I
FASE DE OBSERVAÇÃO: 22 à 30 de março de 2011
SÍNTESE DA FASE DE OBSERVAÇÃO
A Observação constitui a primeira fase do Estágio Supervisionado. Foi realizado
no Centro Integrado de Educação Navarro de Brito - CIENB, localizado à Av. Frei
Benjamin, Brasil - Vitória da Conquista - Bahia, entre 22 e 30 de março, na turma de 3º
ano, turma “A”, sob a regência do professor Enoque Alves de Matos.
Minha primeira aula de observação aconteceu no dia 22 de março de 2011.
Cheguei ao CIENB por volta das 08h00min da manhã para dar início às observações em
sala de aula. Antes de entrar em sala o professor havia me informado que naquele dia
aconteceria uma avaliação. Ao entrar em sala, o professor apresentou-me à turma,
dizendo que eu estaria com eles a partir daquele dia como estagiária da disciplina,
informando-os também que a princípio eu estaria observando e coparticipando e a partir
da segunda unidade assumiria a turma como regente. Em seguida, o professor entregou
a avaliação e uma folha em branco esclarecendo-os que:
- A avaliação era composta por 11 questões, das quais os alunos poderiam escolher 5
para responder;
- Não seriam aceitas questões rasuradas;
- As respostas só seriam válidas acompanhadas com seus respectivos cálculos;
- Só seria permitido sair da sala, mesmo que houvesse terminado o teste, após 1 horário
(50 minutos);
- Havia uma questão desafio ao fim da avaliação que tinha valor extra e, segundo ele,
era “presente de Natal.”
Desejou aos alunos bom trabalho e sentou-se. Nesse momento, entreguei lhe o ofício
(anexo 1) , documento que me encaminhava para estagiar na turma.
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Durante a avaliação predominou o silêncio. Os alunos ficaram muito
concentrados e só se manifestaram para perguntar se a ordem das questões poderia ser
aleatória, tipo:
- “posso começar a fazer a 11 e depois voltar para a 2?”
No entanto, uma aluna rapidamente entregou ao professor a sua avaliação. O professor
olhando para mim fez um infeliz comentário:
- forte candidata a estar aqui de novo ano que vem...
Foi então que a aluna retrucou:
- vou queimar sua língua!
E o professor novamente falou:
- sua prova já está corrigida...
Apesar do ocorrido, o andamento da prova foi tranquilo.
Por volta das 08h:45min uma professora da instituição apareceu na sala
convidando os alunos para uma palestra às 9h:00 min sobre marketing empresarial, que
iria ocorrer no auditório da escola. O professor então disse aos alunos que aqueles que
fossem terminando o teste poderiam se encaminhar para o auditório.
No dia 28 cheguei ao colégio por volta das 7h:20min para
uma nova
observação. O professor ao chegar deu bom dia e iniciou a aula escrevendo no quadro o
conteúdo Fatorial e, logo abaixo, alguns exemplos, como:
5! = 5x4x3x2x1
Falou para os alunos repararem que a partir do número dado em todos os exemplos
tinha-se o produto em ordem decrescente até chegar ao número 1, como visto acima. A
seguir, aguardou os alunos copiarem e falou a definição em voz alta por duas vezes,
dizendo que a seguir seria a vez dos alunos dizerem em “coro” as palavras que ele havia
dito e assim os alunos fizeram. Na sequencia perguntou se os alunos haviam entendido e
após confirmação, perguntou novamente:
- E qual o fatorial de “n”?
O professor aguardou a resposta por alguns instantes, mas diante o silêncio dos
alunos ele começou a dizer que não havia motivos para espanto. O fato de se depararem
com uma letra em meio àqueles exercícios indicava que de um modo geral n
representava um número qualquer e dessa forma teríamos:
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n! = (n)x(n-1)x(n-2)x...x(1)
Exemplo: 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120
Após ter feito isso, colocou alguns exercícios similares no quadro para que os
alunos fizessem em casa, finalizando a aula às 08h10min.
Na aula seguinte, dia 29 de março, que teve início às 9h10min, após
cumprimentar os alunos dando bom dia, o professor perguntou se haviam feito as
atividades em casa e após perceber que a maioria não havia feito, deu um breve
“sermão” ressaltando que os alunos querem que ele passe a avaliar os vistos em caderno
mas eles próprios não fazem as atividades. Após corrigi-las, o professor colocou no
quadro “novos” exercícios como:

5!/3!

20!/18!

5!4!/3!2!

n!/(n-1)!
E disse: “façam!”
Logo após, deu uma “circulada” pela sala e percebeu que os alunos estavam
desenvolvendo cada fatorial por completo para depois fazer a divisão. Então, o
professor Enoque os disse que: “matemático é preguiçoso” e a vida exige praticidade,
então seria mais conveniente simplificar o termo maior, independente dele estar no
numerador ou denominador, até chegar ao valor do menor e usar o “corte” isto é, veja
como fazer no primeiro exemplo:
•
5!/3! = (5x4x3!)/3! = 20
Fazendo uma ressalva em relação à fala do professor, eu não creio que os
matemáticos sejam preguiçosos, mas sim que desenvolveram certas habilidades que
simplificam determinadas ações trabalhosas. Em seguida aplicou mais alguns exercícios
para fixação aguardou os alunos fazerem até que estes foram interrompidos pela
campainha do colégio que anunciou o fim da aula daquele dia.
Na manhã do dia 30 (quarta-feira), dia de AC da Área de Matemática e suas
Tecnologias retornei ao colégio para juntamente com a minha colega, de disciplina no
curso de matemática e de estágio no CIENB, Maria das Graças, para conversar com o
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professor Enoque. Durante essas atividades complementares são colocados em pauta
assuntos referentes ao CIENB e passadas informações diversas. Nesses encontros, os
professores costumam também fazer correções de atividades e planejar aulas.
O professor Enoque fez alguns comunicados, os quais foram discutidos pelos
demais professores:
- Está aberta a inscrição para certificação, que pelos comentários se refere à uma prova
que testa conhecimentos dos professores, e oferece um pequeno bônus salarial aos
aprovados mensalmente;
- Tem uma nova lei que está no congresso referente aos professores que tem tempo
integral nas escolas;
- O Departamento de Ciências Naturais da UESB encaminhou uma lista de estagiários
para os respectivos professores do CIENB, citando turno e turma;
- Sugeriu que o Colegiado de Matemática ou Departamento de Ciências Exatas- DCE
também mandasse uma relação dos estagiários por professor, série e turno;
A questão da certificação gerou certa discussão. Uma professora questionou que
“os únicos funcionários que são avaliados por meio de provas são eles e que isso só
acontece porque eles sempre aceitaram de forma passiva. Nem mesmo os alunos hoje
em dia são avaliados nas escolas por este instrumento.” Outra professora
complementou que “este dinheiro deveria ser investido em capacitação por que este
tipo de coisa não mede as práticas de ninguém. O que deveria era ser feito um relatório
de cada professor por parte da coordenação ou direção da escola, por que o que
acontece em sala de aula não dá para ser medido em 20 linhas de uma dissertação na
qual não se pode usar lápis, nem borracha e nem fazer rascunho. Só é permitido usar
uma caneta!”. Embora eu não esteja tão informada sobre a certificação, os objetivos
desta proposta do governo, concordo com as professoras em relação às suas
colocações.
Ficou definido que nos ACs seguintes ficariam assim: 1ª hora de reunião para
discutir questões institucionais e nas horas seguintes tirar o tempo para estudar para a
prova da certificação. Os professores socializaram alguns materiais, dando fim a reunião
e prosseguindo cada um com suas particularidades.
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Num momento a seguir, o professor se direcionou a mim e à minha colega Maria das
Graças para discutirmos sobre o nosso estágio. A princípio ele disse que o assunto da
unidade II que iriamos trabalhar com os alunos de 3º ano seria Polinômios.
Posteriormente, entregou-nos o calendário acadêmico, a partir do qual, definimos as
datas de inicio e término da regência: início em 18 de Abril e término em 18 de julho 5
com a entrega dos resultados das avaliações aos alunos. Enoque nos disse que entre 11 e
15 de Abril aconteceria a semana de provas e nós daríamos continuidade a nossa
coparticipação, aplicando as provas aos alunos conforme escala preparada por
professores do CIENB. Falou-nos também em relação à sua avaliação: costuma aplicar
duas: um teste e uma prova, cada uma valendo 5 pontos.
Segundo ele, não há
necessidade de pontuar vistos em cadernos, pois é dever do aluno fazer isso. Ele
também não é a favor de pontuar listas de exercícios, pois, segundo ele, um aluno faz e
30 copiam. Em seguida, nos disse que havia esquecido o Plano de unidade e nos
acompanhou até a biblioteca para que pegássemos emprestado o livro adotado pelos
professores de matemática do CIENB, informando-nos que não costuma usá-lo, pois
gosta de preparar suas aulas com exercícios de outros livros. A seguir, acompanhou-nos
novamente, desta vez até a sala da vice-diretora, nos apresentou a ela, e disse que em
breve as turmas de terceiros anos A e B estariam sob nossa responsabilidade. E
encerramos assim nossas atividades no CIENB na manhã desta quarta-feira, encerrando
também a fase observação.
Durante a fase de observações no CIENB, foi possível notar: como é o
relacionamento dos alunos com o professor e do professor com alguns colegas de
trabalho, o perfil dos alunos e a forma como o professor aborda os conteúdos e age com
os alunos. Pelo que pude perceber, ele é respeitado pelos demais professores e apresenta
relacionamento meio distante com grande parte dos alunos da turma. Percebi que a
grande maioria dos alunos do 3º A mantém silêncio durante as aulas de matemática
ministradas pelo professor e eles respondem as atividades aplicadas. É importante citar
que o professor durante as aulas geminadas conversou bastante com os alunos sobre a
importância de se ter uma profissão, de se preparar para o vestibular e de passar em uma
5
A definição da data de início e término do meu estágio foi diferente em relação à de minha colega, pois
estagio às segundas e terças enquanto ela estagia às terças e quintas.
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instituição pública. Nessas aulas alguns alunos comentaram quais cursos pretendem
fazer e em que universidades pretendem prestar vestibular. Achei interessante o fato de
o professor apresentar em determinados momentos uma postura mais “dura”, não dando
muita abertura para “piadinhas”, embora ele tenha o costume de fazê-las em
determinados momentos. Em geral, o perfil dos alunos do 3º ano é bem diferente dos
alunos de uma 8ª série, (série em que estagiei na disciplina Estágio II). São mais
“maduros”, apresentam uma postura mais séria diante das aulas, prestam mais atenção,
entre outras diferenças que pude perceber e que por hora não foram citadas.
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FASE
DE
COPARTICIPAÇÃO
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COPARTICIPAÇÃO
CENTRO INTEGRADO DE EDUCAÇÃO NAVARRO DE BRITO – CIENB
PROFESSOR REGENTE: Enoque Alves de Matos
ESTAGIÁRIA: Neuraci Dias Amaral
DISCIPLINA: Matemática
CURSO: Ensino Médio
SÉRIE: 3º
UNIDADE: I
TURMA: A TURNO: Matutino
FASE DE COPARTICIPAÇÃO: 04 à 19 de abril de 2011
REGISTRO DE ATIVIDADES
DATA
HORÁRIO
ATIVIDADES
N° DE AULAS
04/04/2011
7:20 às 8:10
Aplicação do conteúdo
Fatorial.
1
05/04/2011
8:10 às 9:50
Correção de atividades
propostas na aula anterior.
2
11/04/2011
7:30 às 9:50
Aplicação da avaliação de
Biologia e Sociologia.
2
12/04/2011
7:30 às 9:50
Aplicação da prova de
Português, Inglês e
Redação.
2
18/04/2011
7:20 às 8:10
Correção de atividades.
1
7:30 às 9:50
Correção da avaliação
final da I unidade.
2
19/04/2011
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COPARTICIPAÇÃO
CENTRO INTEGRADO DE EDUCAÇÃO NAVARRO DE BRITO – CIENB
PROFESSOR REGENTE: Enoque Alves de Matos
ESTAGIÁRIA: Neuraci Dias Amaral
DISCIPLINA: Matemática
CURSO: Ensino Médio
SÉRIE: 3º
UNIDADE: II
TURMA: A TURNO: Matutino
FASE DE REGÊNCIA: 04 a 19 de abril de 2011
SÍNTESE DA COPARTICIPAÇÃO
A coparticipação é a segunda etapa do Estágio Supervisionado. Ocorreu de 04 a
18 de abril, totalizando 10 horas/aula. Foi uma fase importante no meu estágio, assim
como as outras, pois neste período tive a oportunidade de participar como auxiliar do
professor, realizando, como por exemplo, correções de atividades.
Minha primeira aula de coparticipação aconteceu no dia 04 de abril, no
primeiro horário, que acontece entre 07h20min e 08h10min. Neste dia, o professor
aplicou exercícios sobre o conteúdo explanado na aula anterior: fatorial. Na
coparticipação, auxiliei alguns alunos na resolução dos exercícios e pude começar a
conhecer melhor o perfil dos alunos, aqueles que tinham maior facilidade para entender
o assunto e aqueles que tinham mais dificuldade de aprendizagem quanto aos
exercícios.
No dia 05 de abril o professor aguardou alguns instantes para que os alunos
fizessem as atividades e em seguida fez as devidas correções. Neste dia continuamos a
esclarecer algumas dúvidas dos alunos, individualmente de carteira em carteira à
aqueles que solicitavam auxílio. Ao corrigir as atividades no quadro, o professor
explicou passo-a-passo a “mecânica” envolvida nos exercícios.
Nos dias 11 e 12 de abril estava acontecendo a semana de provas no CIENB. No
dia 11 fiscalizei a turma enquanto eles faziam a avaliações de Biologia e Sociologia e
no dia 12 enquanto faziam as avaliações de Língua Portuguesa, Inglês e Redação.
Durante todas as avaliações (provas escritas) os alunos permaneceram em silencio,
contribuindo para o bom andamento das atividades.
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No dia 18 de abril, a aula, como de costume nas segundas feiras, começou com
atraso, cerca de 20 minutos. Sendo assim, ao chegar o professor apenas aplicou alguns
exercícios na lousa e não deu tempo dos alunos começarem a resolver.
No dia 19 de abril, o professor me entregou a avaliação da 1ª unidade para que
eu pudesse fazer a correção para a turma. Assim então foi feito, resolvi questão por
questão, enquanto isso os alunos permanecerem em silencio. Ao perguntar se eles
estavam entendendo, confirmaram que sim, mas disseram que o professor não havia
explicado daquela forma não, disseram ainda ser mais fácil da forma que eu havia feito.
Bom, eu afirmei que as respostas estavam corretas, mas que uma mesma questão pode
ser resolvida de formas diferentes. O professor, como estava em sala, afirmou que havia
explicado sim e desta forma foi encerrando o período de coparticipação.
Durante a coparticipação pude conhecer um pouco dos alunos, observando as
facilidades e dificuldades de alguns. Foi um momento importante também, pois eles
começaram a me conhecer como “professora” e me tratar como tal.
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FASE
DE
REGÊNCIA
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REGÊNCIA
CENTRO INTEGRADO DE EDUCAÇÃO NAVARRO DE BRITO – CIENB
PROFESSOR REGENTE: Enoque Alves de Matos
ESTAGIÁRIA: Neuraci Dias Amaral
DISCIPLINA: Matemática
CURSO: Ensino Médio
SÉRIE: 3º
UNIDADE: II
TURMA: A TURNO: Matutino
FASE DE REGÊNCIA: 25 de abril a 18 de julho
DISTRIBUIÇÃO DO TEMPO
Número de horas/aula semanais: 3h
HORÁRIO
Horário
Segunda
7:20
Matemática
Terça
8:10
Matemática
9:00
Matemática
Quarta
Quinta
Sexta
10:00
10:50
11:40
Dados sobre a turma do estágio:
Números de alunos: 38
Sexo masculino: 11
Sexo feminino: 27
Procedência: Escola Pública Estadual
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REGÊNCIA
CENTRO INTEGRADO DE EDUCAÇÃO NAVARRO DE BRITO – CIENB
PROFESSOR REGENTE: Enoque Alves de Matos
ESTAGIÁRIA: Neuraci Dias Amaral
DISCIPLINA: Matemática
CURSO: Ensino Médio
SÉRIE: 3º
UNIDADE: II
TURMA: A TURNO: Matutino
FASE DE REGÊNCIA: 25 de abril a 18 de julho
PLANO DE UNIDADE
II UNIDADE
Este plano de unidade foi solicitado como requisito da disciplina Estágio
Supervisionado III pela professora Roberta Bortoloti e será aplicado para alunos de 3º
ano do Centro Integrado de Educação Navarro de Brito-CIENB, localizado à Av. Frei
Benjamin, Brasil - Vitória da Conquista – Bahia. Tem como objetivo colocar em prática
as teorias e metodologias adquiridas ao longo do curso de Licenciatura Plena em
Matemática.
OBJETIVOS GERAIS DA UNIDADE:
- Contribuir com o desenvolvimento do saber matemático (do aluno);
- Compreender o que é um polinômio;
- Apresentar situações práticas que levam à ideia de polinômio;
- Manipular expressões algébricas envolvendo polinômios;
- Mostrar os métodos de resolução das operações com polinômios;
- Apresentar situações-problema envolvendo análise combinatória;
Conteúdo previsto
Número de aulas previstas
O que é um polinômio:
- Introdução
4
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- Definição
- Grau
- valor numérico
Polinômio identicamente nulo
e identidade de
2
Adição, subtração e multiplicação de polinômios
6
polinômios;
(incluindo teste);
Divisão de polinômios
-Método da chave;
-Teorema do resto;
7
- Teorema de D’Alembert;
- Dispositivo prático de Briot-Ruffini
As quatro operações com polinômios utilizando o
4
Método dos cartões6.
Oficina: Análise combinatória através de resolução de
4
problemas.
Conselho de classe II unidade.
3
Total previsto de aulas da regência.
30
PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS QUE PRETENDE UTILIZAR:
A metodologia utilizada em sala de aula será baseada em aulas teóricas, que
serão de caráter expositivo-participativo, e aulas práticas, utilizando materiais concretos.
No primeiro momento serão realizadas aulas expositivo-participativas. Nestas,
tentarei mostrar para os alunos algumas situações em que a partir das quais originam
equações ou expressões que envolvem polinômios.
Depois serão abordadas algumas técnicas, estratégias e opções de como se
resolver essas equações ou expressões que envolvam polinômios, ou mesmo as
6
Este método aqui titulado como “Método dos cartões” trata se um recurso no qual os alunos irão utilizar
figuras em formato de retângulos e quadrados feitos com cartolinas coloridas para efetuar as quatro
operações com polinômios.
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operações com o conteúdo polinômios. Para isso, mostrarei tanto a parte algébrica
quanto a geométrica (quando possível) para que os alunos tenham essas duas visões nos
problemas. Nestas aulas vamos utilizar além do recurso “lápis-papel”, recortes de papel
em forma de quadrados e retângulos, para efetuar as operações com polinômios,
relacionando com as supostas áreas das figuras.
Para fixar as técnicas e torna-los hábeis para responder questões sobre este
conteúdo no vestibular, pois muitos deles pretendem fazê-lo, aplicarei questões que
caíram nos últimos vestibulares.
Na parte final da regência, será realizado um projeto de ensino sobre análise
combinatória, utilizando materiais concretos para resolução de problemas, que tem por
objetivo facilitar a compreensão do conteúdo permitindo assim inserir metodologias
diferentes nas aulas de matemática.
RECURSOS UTILIZADOS:
- Cartões em cartolina
- Quadro
- Livro didático
- Pincel
- EVA
- Isopor
INSTRUMENTOS AVALIATIVOS QUE PRETENDE APLICAR:
A avaliação será sistemática e se dará ao longo de todo o processo de
aprendizagem. Levantarei informações sobre o conhecimento prévio do aluno e
observarei as dificuldades e as facilidades de cada um.
Será avaliada no decorrer das aulas a participação, o comportamento, as
atividades extraclasses, teste e prova avaliativa, individual somando 10 pontos.
A minha distribuição de notas será a seguinte:
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 9 pontos para provas escritas: será realizado um teste de valor 3,0 pontos e uma
prova valendo 6,0 pontos;
 1 ponto extra pela participação na oficina sobre análise combinatória;
 1 pontos pela participação, comportamento e cumprimento das atividades
propostas (listas e exercícios em sala).
REFERÊNCIAS
DANTE, Luíz Roberto. Matemática: ensino médio, vol. único. Editora Ática, 1ª ed. São
Paulo, 2005.
GIOVANI, José Ruy. BONJORNO, José Roberto. Vontade de saber matemática, vol.3.
Editora FTD, 1ª ed. São Paulo, 2001.
IEZZI, Gelson; DOLCE, Osvaldo; DEGENSZAJN, David; PÉRIGO, Roberto.
Matemática volume único: Ensino Médio, Editora Atual, São Paulo, 2007.
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PROFESSOR REGENTE: Enoque Alves de Matos
ESTAGIÁRIA: Neuraci Dias Amaral
DISCIPLINA: Matemática
CURSO: Ensino Médio
SÉRIE: 3º
UNIDADE: II
TURMA: A TURNO: Matutino
FASE DE REGÊNCIA: 25 de abril a 18 de julho
PLANO DE AULA 1: O QUE É UM POLINÔMIO
1. OBJETIVOS
1.1 OBJETIVOS GERAIS
 Mostrar a ocorrência de expressões denominadas polinomiais.
 Apresentar a definição de: polinômio, grau de um polinômio e valor numérico de
um polinômio;
1.2 OBJETIVOS ESPECÍFICOS
 Reconhecer expressões polinomiais na resolução de problemas;
 Identificar o grau de monômios e consequentemente de polinômios;
 Determinar o valor numérico de um polinômio.
2. CONTEÚDO
Polinômios:
- Introdução
- Definição
- Grau de um polinômio
- Valor numérico
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3. PRÉ-REQUSITO
- Potenciação;
- Números complexos.
4. METODOLOGIA/PROCEDIMENTO
As aulas serão expositivo-participativas. O tempo estimado para abordar o
conteúdo é de 200 minutos (4 aulas), sendo duas aulas utilizadas para: expor e explicar
as definições de polinômio, grau e valor numérico de um polinômio e sua presença na
resolução de problemas. As duas aulas seguintes serão utilizadas para realizar alguns
exercícios.
Antes de iniciar o conteúdo a ser abordado é importante fazer um breve
apanhado sobre a álgebra. Ela é considerada a aritmética simbólica porque emprega
letras para representar números. Essas expressões matemáticas formadas por letras e
símbolos numéricos são chamadas expressões literais ou, genericamente, expressões
algébricas e na resolução de problemas é muito comum ocorrerem situações em que a
leitura e a compreensão do enunciado nos levam a formular expressões que permitam
depois a resolução do problema, por meio de uma equação oriunda das expressões
obtidas. Por exemplo, veja algumas:
1) Se x é a idade de Ana, a idade que ela tinha há 5 anos é dada por x – 5.
2) O triplo da idade de Ana daqui há 4 anos é dado por 3(x + 4).
3) 25% de uma quantia é dado por x/4.
Falarei aos alunos que essas são algumas simples exemplificações do uso das
expressões algébricas. Instantes depois desenharei as figuras abaixo no quadro e direi
para que os alunos imaginem por exemplo que, em determinados problemas, os
enunciados nos levem às seguintes figuras e suas dimensões:
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Na primeira figura temos uma região retangular de dimensões x e x + 3. Perguntarei aos
alunos como se calcula o perímetro e a área do retângulo. Após ouvi-los e verificar se a
resposta está certa, direi que o perímetro (P) é indicado pela expressão:
P(x) = 2(x + 3) + 2x ou P(x) = 4x + 6
A segunda figura é um cubo com arestas de medidas x, cuja área total (At) é
indicada por:
At = 6x²
e cujo volume (v) é dado por:
v = x³
A terceira figura é outro cubo com arestas x + 2, cuja área total é dada por:
At = 6(x + 2 )(x + 2) ou (6x + 12)(x + 2) ou 6x² + 12x + 12x +24 ou 6x² + 24x + 24
Donde, simplificando, isto é dividindo toda expressão por 6, lembrando que At = x² +
4x + 4 não é equação, temos: At = x² + 4x + 4
Todas essas expressões são chamadas de expressões polinomiais ou
simplesmente polinômios, cujo estudo vocês já iniciaram no ensino fundamental e será
aprofundado agora.
Antes de apresentar a definição de polinômios, é conveniente apresentar a
definição de monômios. Logo a seguir, apresentarei as definições de grau de um
polinômio e de como se calcula o valor numérico de um polinômio.
FUNÇÃO MONOMIAL
Definição
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Dado um número complexo (C) a e um numero natural n, consideremos a
função f: C em C definida por f(x) = axn.
A função complexa f é chamada função monomial ou monômio na variável x.
O número complexo a é denominado coeficiente do monômio e o numero
natural n é chamado de grau do monômio. Assim, vejamos alguns exemplos:
At(x) = 6x² é um monômio de grau 2.
v(x) = x³ é um monômio de grau 3.
Em seguida direi para os alunos que: “o polinômio representa a soma algébrica de
monômios na variável x.”. São exemplos de polinômios:
At(x)= x² + 4x + 4 é um polinômio de grau 2.
P(x) = 4x + 6 é um polinômio de grau 1
FUNÇÃO POLINOMIAL
Definição
Sejam an, an – 1, ..., a2, a1, a0 números complexos e considere a função
F(x) = anxn + an – 1 x n – 1 +... + a2x2 +a1x + ao
A função f é denominada função polinomial ou polinômio na variável x.
Os números complexos an, an – 1, ..., a2, a1, a0 são os coeficientes do polinômio.
Notemos que o polinômio representa a soma algébrica de monômios na variável
x.
São exemplos de polinômios:
f(x) = 3x² + 2x – 1, onde a2 = 3,a1 = 2 e a0 = - 1
g(x) = -4 x³ + x + 1/2, onde a3 = -4, a2 = 0, a1 = 1 e a0 = ½
h(x) = -2x³ + x/3, onde a3 = -2, a2 = 0,a1 = 1/3 e a0 = 0
Observação: não representam polinômios:
a) f(x) = x + x¹/² + 2, devido ao expoente fracionário, pois por definição dado
monômio, seja ele f(x) = axn, n é sempre um numero natural, o que não é o caso
deste exemplo.
b) g(x) = -1 + 2x + x-³, devido ao expoente negativo, pois -3 não é um numero
natural.
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GRAU DE UM POLINÔMIO
Definição
Grau de um polinômio P(x) é o máximo grau observado entre os graus de seus
monômios. O coeficiente do monômio de grau máximo é chamado coeficiente
dominante do polinômio.
Exemplo 1
Vamos identificar o grau e o coeficiente em cada caso:
a) p1(x) = 2x³ + x² - 3x – 5 é um polinômio de grau 3 e coeficiente dominante igual
a 2.
b) p2(x) = -31/2x4 + x³ -x²/2 – 1 é um polinômio de grau 4 e coeficiente dominante
igual a -31/2.
c) p3(x) = x + 1 é um polinômio de grau 1 e coeficiente dominante igual a 1.
Exemplo 2
Seja o polinômio p(x) = (m – 1)x³ + x² - 3x + 1
O grau desse polinômio será 3, desde que o coeficiente x³ não se anule, isto é,
desde que tenhamos m – 1 ≠ 0 → m ≠ 1.
VALOR NUMÉRICO
Definição
Considere um polinômio p(x) e um numero real α. O valor numérico do polinômio p(x)
para x = α é o número que se obtém substituindo x por α e efetuando os cálculos
necessários. Indica-se por p(α).
Se p(α) = 0, o número α é chamado de raiz ou zero de p(x).
Exemplo 3
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Vamos determinar o valor numérico do polinômio p(x) = 2x² - 3x + 5 para x = 4
p(4) = 2(4)² - 3(4) + 5
p(4) = 2(16) – 12 + 5
p(4) = 32 – 12 + 5
logo, p(4) = 25
Após tirar as eventuais dúvidas, aplicarei inicialmente uma lista de exercícios,
que segue abaixo, afim de que os alunos apliquem os conhecimentos acima e
desenvolvam habilidades acerca do assunto.
CENTRO INTEGRADO DE EDUCAÇÃO NAVARRO DE BRITO – CIENB
PROFESSOR REGENTE: Enoque Alves de Matos
ESTAGIÁRIA: Neuraci Dias Amaral
DISCIPLINA: Matemática
CURSO: Ensino Médio
SÉRIE: 3º
UNIDADE: II
TURMA: A TURNO: Matutino
1ª lista da unidade II
1.
Identifique o grau de cada polinômio e o coeficiente dominante:
a)
b)
c)
d)
p(x) = 4x³ - 6x² + 5
g(x) = 2/3x² - x + 5/3
f(x) = -8x² + 12x -20
h(x) = 2x² - 3x + 5
2.
Diga quais das seguintes funções são polinômios e justifique.
a)
b)
c)
d)
e)
p(x) = x7 + 1
q(x) = 5x4 – 3x2 + x-1 + 2
h(x) = 1/x² + 7x- 3
u(x) = 5x³ -2x1/4 + 1
f(x) = x² - 6x1/2 -8
3.
Sendo p(x) = x³ + 4x – 1, calcular:
a) P(3)
b) P(4)
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c) P(m + 1)
d) P(-2)
4.
Verificar se 2 é raiz do polinômio p(x) = x² - 5x +6
5.
(PUCC-SP) Dado o polinômio p(x) = xn + xn-1 + ... + x² + x + 3, se n for ímpar,
então p(-1) vale:
a)
-1
6.
(ITA) Um polinômio P(x) ax³ + bx² + cx + d é tal que P(-2)=-2 ,
P(-1) =3 , P(1) = -3 e P(2) = 2. Temos então que:
(a) b=0
7.
b) 0
(b) b=1
c) 2
(c ) b=2
d) 1
(d) b=3
e) 3
(e) N.D.A.
Considere o polinômio p(x + 1) = 3x² -x + 5, determinar p(x).
5. RECURSOS
- Lousa;
- Pincel;
- Apagador;
6. AVALIAÇÃO
Os alunos serão avaliados continuamente através da participação nas aulas e no
cumprimento das atividades propostas.
7. BIBLIOGRAFIA
DANTE, Luíz Roberto. Matemática: ensino médio, vol. único. Editora Ática, 1ª ed. São
Paulo, 2005.
GIOVANI, José Ruy. BONJORNO, José Roberto. Vontade de saber matemática, vol.3.
Editora FTD, 1ª ed. São Paulo,2001.
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PROFESSORA: ROBERTA D’ANGELA MENDUNI
IEZZI, Gelson; DOLCE, Osvaldo; DEGENSZAJN, David; PÉRIGO, Roberto.
Matemática volume único: Ensino Médio, Editora Atual, São Paulo, 2007.
SILVA, Cláudio Xavier da. Aula por aula. Editora FTD, 2ª ed. Renovada, São Paulo,
2005.
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REGÊNCIA
CENTRO INTEGRADO DE EDUCAÇÃO NAVARRO DE BRITO – CIENB
PROFESSOR REGENTE: Enoque Alves de Matos
ESTAGIÁRIA: Neuraci Dias Amaral
DISCIPLINA: Matemática
CURSO: Ensino Médio
SÉRIE: 3º
UNIDADE: II
TURMA: A TURNO: Matutino
FASE DE REGÊNCIA: 25 de abril a 18 de julho
PLANO DE AULA 2: OPERAÇÕES COM POLINÔMIOS
– SOMA,
SUBTRAÇÃO E MULTIPLICAÇÃO.
1. OBJETIVOS
1.1 OBJETIVOS GERAIS
- Explicar o uso das operações adição, subtração e multiplicação com polinômios;
- Mostrar a soma, subtração e multiplicação de polinômios relacionando-os com áreas
de figuras geométricas;
- Contribuir para que o aluno entenda e resolva as operações com polinômios.
1.2 OBJETIVOS ESPECÍFICOS
- Efetuar a adição, subtração e multiplicação de polinômios;
- Operar algebricamente com polinômios relacionando-os com áreas de figuras
geométricas.
2. CONTEÚDO
Operações com polinômios:
- Adição
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- Subtração
- Multiplicação
2. PRÉ-REQUSITO
- Operações com expressões algébricas;
- Área de uma região delimitada por quadrados e retângulos.
4. METODOLOGIA/PROCEDIMENTO
As aulas serão expositivo-participativas e utilizaremos recursos manipuláveis. O
tempo estimado para abordar o conteúdo é de 200 minutos (4 aulas), sendo duas aulas
utilizadas para: expor e explicar a soma,
subtração e multiplicação algébrica de
polinômios e aplicar alguns exercícios em sala de aula. Nas duas aulas seguintes serão
utilizadas figuras em cartolina para entender o uso de polinômios no contexto de áreas
de figuras (retângulos e quadrados), possibilitando o aluno perceber a álgebra e a
geometria ao utilizar este conteúdo na resolução das atividades dadas.
Nas primeiras duas aulas lembrarei aos alunos que as operações de soma e
subtração de polinômios seguem os procedimentos de Álgebra estudados no ensino
fundamental. Por meio de exemplos, vamos retomar essas operações conhecidas, no
estudo de expressões algébricas. Em seguida, nas aulas futuras estudaremos a
multiplicação e depois de forma mais detalhada estudaremos a divisão de polinômios.
Exemplo 1
Considere os polinômios P(x) = x³ + 2x² - 3 e Q(x) = x² + x + 1. Calcule:
a) P(x) + Q(x)
b) P(x) - Q(x)
c) P(x) . Q(x)
Solução:
Calculamos a soma adicionando os coeficientes de termos semelhantes:
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P(x) + Q(x) = (x³ + 2x² - 3) + (x² + x + 1)
P(x) + Q(x) = x³ + 2x² - 3 + x² + x + 1
P(x) + Q(x) = x³ + 3x² + x – 2
Observe que o grau da soma é igual ao grau maior entre os graus de P(x) e
Q(x), que nesse caso é o de P(x).
a) Calculamos a diferença subtraindo os coeficientes dos termos semelhantes:
P(x) - Q(x) = (x³ + 2x² - 3) - (x² + x + 1)
P(x) - Q(x) = x³ + 2x² - 3 - x² - x - 1
P(x) - Q(x) = x³ + x² - x – 4
b) Calculamos o produto de dois polinômios fazendo a multiplicação de cada termo
de um deles, por todos os termos do outro. Posteriormente, faremos a adição dos
resultados:
P(x) . Q(x) = (x³ + 2x² - 3) . (x² + x + 1)
P(x) . Q(x) = x³. x² + x³ . x + x³ . 1 + 2x² . x² + 2x² . x + 2x² . 1 + (-3) . (x²) +
(-3) . (x) + (-3) . 1
P(x) . Q(x) = x5 + x4 + x³ + 2x4 + 2x³ + 2x² - 3x² - 3x – 3
P(x) . Q(x) = x5 + 3 x4 + 3x³ - x² - 3x - 3
Exemplo 2
Considere p(x) = 4x² - 3x – 2 e Q(x) = –x² + x -1. Calcular a soma destes
polinômios.
Solução: P(x) + Q(x) = (4x² - 3x – 2) + (–x² + x - 1)
Operando com os termos semelhantes, temos:
P(x) + Q(x) = 4x² - x² - 3x + x - 2 – 1 logo, P(x) + Q(x) = 3x² -2x -3
Após explicar os procedimentos acima, aplicarei os exercícios 20 (letras a e c), 21
(letras a e b) e 22 da página 187 e o exercício 23 e 24 (letra b) da página 188 do livro
Matemática aula por aula (adotado pela escola), que seguem abaixo. Ao terminarem de
fazer, farei a correção.
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5. RECURSOS
- Lousa;
- Pincel;
- Apagador;
6. AVALIAÇÃO
Os alunos serão avaliados mediante a participação e o interesse durante a
exposição do conteúdo e na resolução das atividades.
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7. BIBLIOGRAFIA
DANTE, Luíz Roberto. Matemática: ensino médio, vol. único. Editora Ática, 1ª ed. São
Paulo, 2005.
GIOVANI, José Ruy. BONJORNO, José Roberto. Vontade de saber matemática, vol.3.
Editora FTD, 1ª ed. São Paulo,2001.
IEZZI, Gelson; DOLCE, Osvaldo; DEGENSZAJN, David; PÉRIGO, Roberto.
Matemática volume único: Ensino Médio, Editora Atual, São Paulo, 2007.
SILVA, Cláudio Xavier da. Aula por aula. Editora FTD, 2ª ed. Renovada, São Paulo,
2005.
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REGÊNCIA
CENTRO INTEGRADO DE EDUCAÇÃO NAVARRO DE BRITO – CIENB
PROFESSOR REGENTE: Enoque Alves de Matos
ESTAGIÁRIA: Neuraci Dias Amaral
DISCIPLINA: Matemática
CURSO: Ensino Médio
SÉRIE: 3º
UNIDADE: II
TURMA: A TURNO: Matutino
FASE DE REGÊNCIA: 25 de abril a 18 de julho
PLANO DE AULA 3: IDENTIDADE DE POLINÔMIOS
1. OBJETIVOS
1.1 OBJETIVO GERAL
- Apresentar as definições sobre identidade de polinômios;
1.2 OBJETIVO ESPECÍFICO
- Reconhecer ou identificar a identidade de polinômios;
2. CONTEÚDO
Identidade de polinômios:
- Polinômios idênticos;
- Polinômio nulo.
3. PRÉ-REQUSITOS
- Potenciação;
- Números complexos.
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4. METODOLOGIA/PROCEDIMENTO
As aulas serão expositivo-participativas. O tempo estimado para abordar o
conteúdo é de 100 minutos (2 aulas), sendo utilizadas para: expor e explicar identidade
de polinômios e realizar alguns exercícios.
A princípio apresentarei aos alunos as definições:
Polinômios idênticos
Considerando dois polinômios P(x) e Q(x), dizemos que esses polinômios são
idênticos se, e somente se, os coeficientes dos termos correspondentes forem iguais.
P(x) = a0 + a1x +a2x2 + ... + anxn
Sendo:
temos:
2
Q(x) = b0 + b1x +b2x + ... + bnx
n
P(x) ≡ Q(x) ↔ a0 = b0, a1 = b1, a2 = b2,..., an = bn
Exemplo 1
Dados os polinômios idênticos P(x) = ax² + 3x = 8 e Q(x) = 4x² + 3x + b e sendo
P(x) ≡ Q(x), temos: a = 4 e b = - 8
Exemplo 2
Os polinômios f(x) = ax² + (b – 1)x + 3 e g(x) = -2x² + 5x – c são idênticos, então:
a = -2,
b–1=5↔b=6
e –c = 3 ↔ c = -3
Exemplo 3
A igualdade (x + 3)/(x² - 4) = a/(x + 2) + b/(x – 2) ocorre quando:
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(x + 3)/(x² - 4) = [a(x + 2) + b(x – 2)]/ (x + 2)(x – 2) →a(x – 2) + b(x + 2) ≡ x + 3→ ax
– 2ª + bx + 2b ≡ x + 3. Agrupando os termos semelhantes, vem:
(a + b)x + (-2ª + 2b) = x + 3
Da identidade de polinômios segue que:
a+b=1
-2a + 2b = 3a = -1/4 e b = 5/4
Polinômio nulo
Polinômio nulo ou polinômio identicamente nulo é aquele que tem todos os
coeficientes são iguais a zero. Indicamos p(x) ≡ 0.
Exemplo 4
Dado o polinômio p(x) = (a + 3)x² + (3b - 9)x + c, para que seja identicamente nulo
temos: igualando cada um de seus coeficientes iguais a zero segue que a = -3, b = 3 e
c = 0.
Para que os alunos adquiram habilidades acerca das definições dadas serão
aplicados os exercícios 11, 12, 14, 15 e 18 da página 185 do livro adotado pela escola,
que seguem abaixo:
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5. RECURSOS
- Lousa;
- Pincel;
- Apagador.
6. AVALIAÇÃO
Os alunos serão avaliados continuamente através da participação nas aulas e no
cumprimento das atividades propostas.
7. BIBLIOGRAFIA
DANTE, Luíz Roberto. Matemática: ensino médio, vol. único. Editora Ática, 1ª ed. São
Paulo, 2005.
GIOVANI, José Ruy. BONJORNO, José Roberto. Vontade de saber matemática, vol.3.
Editora FTD, 1ª ed. São Paulo, 2001.
IEZZI, Gelson; DOLCE, Osvaldo; DEGENSZAJN, David; PÉRIGO, Roberto.
Matemática volume único: Ensino Médio, Editora Atual, São Paulo, 2007.
SILVA, Cláudio Xavier da. Aula por aula. Editora FTD, 2ª ed. Renovada, São Paulo,
2005.
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REGÊNCIA
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PROFESSOR REGENTE: Enoque Alves de Matos
ESTAGIÁRIA: Neuraci Dias Amaral
DISCIPLINA: Matemática
CURSO: Ensino Médio
SÉRIE: 3º
UNIDADE: II
TURMA: A TURNO: Matutino
FASE DE REGÊNCIA: 25 de abril a 18 de julho
PLANO DE AULA 4: DIVISÃO DE POLINÔMIOS
1. OBJETIVOS
1.1 OBJETIVOS GERAIS
- Desenvolver estratégias de divisão de polinômios através de diferentes técnicas;
- Mostrar as técnicas de divisão com polinômios;
- Apresentar a divisão de polinômios relacionada com figuras geométricas;
- Contribuir para que o aluno entenda e resolva a divisão com polinômios, pelo método
que achar conveniente.
1.2 OBJETIVOS ESPECÍFICOS
- Aplicar a divisão de polinômios relacionando-a com áreas de figuras geométricas;
- Escolher a técnica que lhe for conveniente para resolver a divisão de polinômios.
2. CONTEÚDO
Operações com polinômios: Divisão
- Método da chave;
- Teorema do resto;
- Teorema de D´Alembert;
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- Dispositivo prático de Briot-Ruffini.
3. PRÉ-REQUISITOS
- Área de uma região quadrada e retangular;
- Multiplicação de polinômios.
4. METODOLOGIA/PROCEDIMENTO
As aulas serão expositivo-participativas e o tempo estimado para abordar o
conteúdo é de 350 minutos (7 aulas), sendo utilizadas para: expor e explicar as técnicas
de divisão de polinômios, aplicar alguns exercícios em sala de aula e realizar um teste.
Divisão de polinômios
Dividir um número inteiro a por outro inteiro b (b ≠ 0) consiste em encontrar
dois inteiros q e r, com o ≤ r < d, tal que:
→
a=q.b+r
Donde,
a = dividendo
b = divisor
q = quociente
r = resto
Por exemplo:
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Da mesma forma, efetuar a divisão do polinômio A(x) pelo polinômio B(x), com B(x) ≠
0, é determinar dois polinômios Q(x) e R(x) que satisfaçam as seguintes condições:
A(x) = Q(x) . B(x) + R(x) em que:
A(x) = dividendo
B(x) = divisor
Q(x) = quociente
R(x) = resto
Indicando na chave, temos:
Observe que:
- O grau de Q(x) é igual à diferença dos graus de A(x) e de B(x). Exemplo:
Neste caso, grau de A(x) = 2, grau de B(x) = 1, logo grau de Q(x) = 2 – 1 = 1.
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- O grau do resto R(x) para R(x) não nulo será sempre menor que o grau do divisor
B(x).
Exemplo:
Nesse caso, grau do resto = grau de 1.x0 = 0 e grau do divisor B(x) = 1, isto é grau de
R(x) é menor que o grau de B(x).
Método da chave
Para efetuar a divisão, usando o método da chave, convém seguir os seguintes
passos:
1. Escrever os polinômios (dividendo e divisor) em ordem decrescente dos seus
expoentes, e completa-los, quando necessário, com termos de coeficiente zero.
2. Dividir o termo de maior grau do dividendo pelo de maior grau do divisor, o
resultado será um termo do quociente.
3. Multiplicar o termo obtido no passo 2 pelo divisor e subtrair esse produto do
dividendo.
- Se o grau da diferença for menor do que o grau do divisor, a diferença será o
resto da divisão e a divisão termina aqui.
- Caso contrário, retoma-se o passo 2, considerando a diferença como um novo
dividendo.
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Exemplo 1: Determinar o quociente de A(x) = x³ + 4x² + x – 6 por B(x) = x + 2.
Solução: sendo Q(x) o quociente de A(x) por B(x) e R(x) o resto:
Gr(Q) = gr(A) – gr(B) = 2
Como gr(R) < gr(B) = 1, então gr(R) = 0 ou R(x) = 0.
x³ + 4x² + x – 6
x+2
-x³- 2x² + x - 6
x² + 2x - 3→ quociente: Q(x)
2x² + x - 6
-2x² - 4x
-3x - 6
+3x + 6
Resto:R(x) = 0
Verificamos, facilmente que: A(x) = B(x).Q(x) + r(x):
x³ + 4x² + x – 6 ≡ (x + 2)(x² + 2x – 3) + 0
Exemplo 2: o polinômio A(x) = x³ + px + q é divisível por x² + 2x + 5. Calcular os
valores de p e q.
Solução: Note que gr(Q) = 3 – 2 = 1 e R(x) ≡ 0, Utilizando o método da chave:
O resto deve ser um polinômio identicamente nulo, logo:
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P – 1 = 0 e q + 10 = 0
P = 1 e q = -10
Observe que: x³ + x – 10 = (x² + 2x + 5)( x – 2)
Teorema do resto
O resto da divisão de um polinômio P(x) por um binômio (x – a) é o próprio valor
numérico do polinômio para x = a, que indicamos por P(a).
De acordo com a definição de divisão, temos:
P(x) = (x – a) . Q(x) + R(x), onde R(x) = K (constante), pois gr(x - a) = 1
P(a) = (a – a) . Q(a) + k → P(a) = K
Logo: R(x) = P(a)
Exemplo 1
Podemos determinar o resto da divisão de f(X) = 3x4 – x³ + 2 por g(x) = x – 1 sem
efetuar a divisão. Basta notar que:
- raiz do divisor é x – 1 = 0 → x = 1.
- Pelo teorema do resto, temos que: r = f(1), isto é, r = 3 . 14 – 1³ + 2 = 4.
Exemplo 2
Da mesma forma que no exemplo anterior, para determinar o resto da divisão de P(x) =
x5 – x3 + 2 por h(x) = x + 3, fazemos:
- A raiz de h(x) é x + 3 = 0 → x = -3.
- Utilizando o teorema do resto, vem: r = p(-3) = (-3)5 – (-3)3 + 2 = -243 – (-27) + 2 = 214.
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Teorema de D’Alembert
A divisão de um polinômio P(x) por um binômio (x – a) é exata se, e somente se, P(a) =0.
Pelo teorema do resto, temos que R(x) = P(a).
Se a divisão é exata e R(x) = 0, então P(a) = 0.
Se P(a) = 0, então R(x) = 0, logo a divisão é exata.
Exemplo 1
A divisão do polinômio P(x) = x³ + x² - 11x + 10 pelo binômio (x – 2) é exata, pois:
P(2) = 2³ + 2² - 11 . 2 + 10
P(2) = 8 + 4 - 22 + 10
P(2) = 0
Dispositivo Prático de Briot-Ruffini
Neste item vamos utilizar um dispositivo muito simples e prático para efetuar a de um
polinômio P(x) por um binômio da forma ax + b. É o chamado dispositivo de BriotRuffini.
Para utilizarmos o Dispositivo Prático De Briot-Ruffini, temos duas restrições,
quais sejam:
1ª restrição: o divisor tem que ser de grau 1;
2ª restrição: o coeficiente do divisor deverá ser igual a 1.
Vejamos o roteiro desse dispositivo para efetuar, por exemplo, a divisão de P(x) = 3x³ –
5x² + x – 2 por x – 2.
1º) Colocamos a raiz do divisor seguida dos coeficientes do dividendo, em ordem
decrescente dos expoentes de x, no seguinte dispositivo:
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raiz do divisor
coeficientes do dividendo
2
3
-5
1
-2
2º) Repetimos, abaixo da linha, o primeiro coeficiente do dividendo.
2
3
-5
1
-2
3
3º) Multiplicamos a raiz do divisor pelo coeficiente repetido e adicionamos o produto
com o segundo coeficiente do dividendo, colocando o resultado abaixo deste.
2
3
-5
3
1
1
-2
2 . 3 + (-5) = 1
4º) Multiplicamos a raiz do divisor pelo número colocado abaixo do 2º coeficiente e
adicionamos o produto com o terceiro coeficiente, colocando o resultado abaixo deste, e
assim sucessivamente.
2
3
-5
3
1
1
-2
3
4
2. 3 + (-2) = 4
2.1+1=3
5º) Separamos o último número formado, que é igual ao resto da divisão; os números
que ficam à esquerda deste são os coeficientes do quociente.
2
3
-5
1
-2
3
1
3
4
Coeficientes do quociente
resto
Logo, Q(x) = 3x² + x + 3 e R = 4
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Exemplo 1
Determinar o quociente e o resto da divisão de P(x) = 5x² - 4x + 2 por (3x – 1).
1/3
5
-4
2
5
-7/3
11/9
(1/3) . (-7/3) + 2 = 11/9
-7/3= (1/3) . 5 – 4
Observe que o coeficiente de x no binômio não é igual a 1; fizemos, então, a divisão de
P(X) por (x – 1/3) e para termos os coeficientes de Q(x) devemos dividir os coeficientes
obtidos no dispositivo prático por 3.
Q(x) = (5/3)x – 7/9 e R = 11/9
Exemplo 2
Verifique se o polinômio P(x) = 2x³ - 3x² - 8x é divisível por (x - 3)(x + 1).
Dividindo P(x) por (x – 3)
3
2
-3
2
3
-8
-3
1
0
..................Q1(x)................. ...........R1........
Dividindo Q1(x) por (x + 1):
-1
2
2
3
1
1
0
...............Q2(x)....... ...........R2........
Como R1 = 0 e R2 = 0 podemos afirmar que P(x) é divisível pelo produto (x – 3)(x + 1).
A seguir, aplicarei os exercícios propostos sobre polinômios que estão no livro
adotado pela escola: exercícios 26, 28 e 29:
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.
Página 191: exercícios 32 e 33:
Página 194: exercícios 34 (letras a e b) e 36:
62
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Página 197: exercício 42 (letras a e b):
Página 198: exercícios 50, 51, 52 e 54:
63
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Os exercícios são para complementar a aula a respeito de polinômios. Darei o visto na
atividade na aula seguinte como forma de incentivo.
5. RECURSOS
- Lousa;
- Pincel;
- Apagador;
- Livro didático;
6. AVALIAÇÃO
Os alunos serão avaliados sobre a divisão mediante uma prova no fim da unidade. A
seguir este conteúdo foi feita a aplicação de um teste sobre os conteúdos abordados com
exceção da divisão, que segue na página posterior á esta.
7. BIBLIOGRAFIA
DANTE, Luíz Roberto. Matemática: ensino médio, vol. único. Editora Ática, 1ª ed. São
Paulo, 2005.
GIOVANI, José Ruy. BONJORNO, José Roberto. Vontade de saber matemática, vol.3.
Editora FTD, 1ª ed. São Paulo,2001.
IEZZI, Gelson; DOLCE, Osvaldo; DEGENSZAJN, David; PÉRIGO, Roberto.
Matemática volume único: Ensino Médio, Editora Atual, São Paulo, 2007.
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CENTRO INTEGRADO DE EDUCAÇÃO NAVARRO DE BRITO – CIENB
PROFESSOR REGENTE: Enoque Alves de Matos
ESTAGIÁRIA: Neuraci Dias Amaral
DISCIPLINA: Matemática
CURSO: Ensino Médio
SÉRIE: 3º
UNIDADE: II
TURMA: A TURNO: Matutino
Teste da unidade II - 06/06/2011
Atenção:







Cada questão tem valor 0,6 somando ao todo 3,0 pontos;
Leia atentamente o que se pede e comece pela questão que você acredita que seja mais
fácil;
Só serão aceitas as respostas acompanhadas com os respectivos cálculos;
Assinale com um x em uma única alternativa, nas questões de marca r e deixe os cálculos
ao lado;
As respostas finais devem ser colocadas a caneta;
Não serão aceitas questões rasuradas;
Não é permitido o uso de calculadora, ou quaisquer aparelhos eletrônicos.
1. (F. Porto Alegrense-RS) Dado o polinômio p(x) = x4 - 5x² + 6, o valor de p( 2 )
é:
a) 4
b) 0
c) √2
d) 6 + √2
e) √2 + 1
2. (FABRAI-MG) Se p(x) = x³ + x² + x + 1, então o valor de p(m – 1) é:
a)
b)
c)
d)
e)
m³ + 4m² - 4m
m³ - 2m² - 4m +2
m³ - 2m² + 2
m³ + 4m² + 6m + 2
m³ - 2m² + 2m
3. Determine a e b a fim de que o grau do polinômio f(x) = (a – b)x² + (2a – 3b
+2)x + 2 seja igual a zero.
4. Sejam os polinômios f(x) = 2x – 3, g(x) = -4 – x e h(x) = x² - x + 1, determine
P(x) = f(x) . g(x) + h(x).
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5. (UNIFOR-CE) se os polinômios f = x³ + (a – b)x² + (a – b – 2)x + 4 e g = x³ +
2ax² + (3a – b) são idênticos, então:
a)
b)
c)
d)
e)
ab = 3
a = 3b
b = 3a
a/b = 1
a.b = -1
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REGÊNCIA
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PROFESSOR REGENTE: Enoque Alves de Matos
ESTAGIÁRIA: Neuraci Dias Amaral
DISCIPLINA: Matemática
CURSO: Ensino Médio
SÉRIE: 3º
UNIDADE: II
TURMA: A TURNO: Matutino
FASE DE REGÊNCIA: 25 de abril a 18 de julho de 2011
PLANO DE AULA 5: MÉTODO DOS CARTÕES (OPERAÇÕES COM
POLINÔMIOS)
1. OBJETIVOS
1.1 OBJETIVOS GERAIS
- Mostrar as operações com polinômios em figuras geométricas;
- Contribuir para que o aluno entenda a relação entre a álgebra e a geometria “utilizando
áreas” ao fazer uma operação polinomial;
1.2 OBJETIVOS ESPECÍFICOS
- Aplicar as operações com polinômios relacionando-as com áreas de figuras
geométricas;
- Efetuar as operações com polinômios através de cartões;
2. CONTEÚDO
- Operações com polinômios;
3. PRÉ-REQUSITO
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- Polinômios.
4. METODOLOGIA/PROCEDIMENTO
Após ter explicado as quatro operações com polinômios nas aulas anteriores, irei
apresentar estas operações no contexto de áreas de figuras como retângulos e quadrados
em cartolina. O tempo previsto para realizar esta atividade é de 4 aulas.
Nas atividades a seguir, resolveremos questões que envolvam soma, subtração,
multiplicação e divisão de áreas representadas por polinômios. A atividade com cartões
de polinômios que segue abaixo foi apresentada em um artigo na revista Nova Escola
(n. 85, 1995, p. 22-25), na qual fizemos algumas adaptações. A aula será iniciada da
seguinte forma: Levarei os alunos para a biblioteca, onde a turma será dividida em
grupos de 4 pessoas, cada grupo irá receber o seguinte material didático:
· 5 quadrados grandes azuis, com medidas 10 x 10;
· 5 quadrados grandes vermelhos, 10 x10;
· 5 retângulos azuis, com medidas 10 x 3;
· 5 retângulos vermelhos, 10 x 3;
· 10 quadrados pequenos azuis, com medidas 3 x 3;
· 10 quadrados pequenos vermelhos, 3 x 3.
Apresentarei algumas regras relacionadas às atividades aos alunos para que haja um
bom desenvolvimento da atividade, para isso serão estabelecidas as seguintes
considerações:
Peças
Dimensões
Área
Quadrado grande
X.X
X²
Retângulo
1.X
X
Quadrado pequeno
1.1
1
As peças de mesma área representam termos semelhantes.
As peças de mesma área e cores diferentes são opostas e se anulam.
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Convencionamos que as figuras vermelhas são negativas (-) e as azuis são positivas (+).
Em seguida, mostrarei exemplos em que os alunos irão resolver situações com o
material concreto envolvendo as operações adição e subtração de polinômios e a
transformação geométrica em álgebra e vice-versa:
1 – Soma de polinômios
Sabendo que o polinômio p(x) = 2x² - 3x - 4 representa a área de uma região, e o
polinômio Q(x) = –x² + x -1 representa a área de outra região, veja como se resolve
a soma destas regiões usando as figuras que você tem em mãos:
P(x) + Q(x) = (2x² - 3x – 4) + (-x² + x – 1)
Somando as figuras semelhantes temos:
2x² +(-x²) é dado por:
+
(-4) + (-1) equivale a:
e -3x + x é dado por:
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Donde se conclui que:
2 – Oposto de um polinômio:
Exemplo 2: Dado o polinômio x² - x + 2
Seu oposto será:
3 – Subtração de polinômios:
Exemplo 1: (2x² - 3x – 4) – (-x² + x – 1) = ?
4 – Multiplicação de polinômios:
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Exemplo 1: Multiplicar 2x por (2x - 3)
Exemplo 2: Multiplicar (-x + 1) por (2x – 1)
5 - Divisão de polinômios
Com o material utilizado nas aulas de soma, subtração e multiplicação de
polinômios irei agora mostrar como se dá a divisão de polinômios com as figuras
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geométricas. É importante lembrar que nem sempre podemos dispor deste recurso,
assim é de fundamental importância conhecê-lo, entendê-lo, mas conhecer as outras
técnicas existentes, pois através delas poderemos resolver a divisão entre polinômios.
Exemplo 1: Vamos fazer a divisão de (x² - x) : (-x)
Conclusão: (x² - x) : (-x) = -x + 1
Exemplo 2: Dividir (x² - 7x + 10) por (x - 2)
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Com os procedimentos acima explicados aplicarei as seguintes atividades:
1. Represente utilizando as figuras, o perímetro (soma das medidas de todos os
lados de uma figura) de um terreno de lados respectivamente iguais a 4x e 2x. Se
x valer 4 metros, qual o perímetro do terreno?
2. Escreva o oposto de: -x² +4
3. Determine a expressão polinomial que representa o perímetro de um retângulo
de lados 3x + 1 e x – 4 e a expressão que representa a área.
4. Resolva:
a) (6x² + 3x) + (2x² - 4x -1)
b) (-4x² + 2x + 8) – (-x² +2x +6)
c) (3x² + 2x) : (x)
d) (4x² - x) : (-x)
Durante o processo de resolução caso haja dúvidas tentarei esclarecê-las e ao fim da
aula farei as devidas correções.
5. RECURSOS
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- Retângulos e quadrados em papel duplex;
6. AVALIAÇÃO
Os alunos serão avaliados mediante a participação e o interesse durante a
exposição do conteúdo e na resolução das atividades. Como este foi o último plano de
aula, na aula seguinte será aplicada a prova da unidade, que segue na próxima página.
7.
BIBLIOGRAFIA:
NOVA Escola: Para professores do 1 grau. Ano X - n. 85, Junho, 1995, p. 22-25.
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PROFESSOR REGENTE: Enoque Alves de Matos
ESTAGIÁRIA: Neuraci Dias Amaral
DISCIPLINA: Matemática
CURSO: Ensino Médio
SÉRIE: 3º
UNIDADE: II
TURMA: A TURNO: Matutino
Avaliação final da unidade II - 13/07/2011
Atenção:
 Cada questão tem valor 1,2 somando ao todo 6,0 pontos;
 Leia atentamente o que se pede e comece pela questão que você acredita que seja mais
fácil;
 Só serão aceitas as respostas acompanhadas com os respectivos cálculos;
 Assinale com um x em uma única alternativa, nas questões de marcar e deixe os
cálculos ao lado;
 As respostas finais devem ser colocadas à caneta;
 Não serão aceitas questões rasuradas;
 Não é permitido o uso de calculadora, ou quaisquer aparelhos eletrônicos.
Utilize o método da chave para resolver a questão 1.
1) (Unificado) O resto da divisão do polinômio p(x) = x³ - x + 1 pelo polinômio d(x) =
x² + x + 1 é igual a:
a) 0
b) x + 2
c) x – 2
d) – x + 2
e) – x – 2
Use o teorema do resto para resolver a questão 2.
2) (FABRAI-MG) O resto da divisão de P(x) = x4 +x³ - 3x² + 2x – 1 por q(x) = x – 2 é:
a)
b)
c)
d)
e)
14
15
16
17
18
3) Através do dispositivo de Briot-Ruffini, obter o quociente e o resto da divisão de f(x)
= x5 – 3x³ + 2x² + 4 por g(x) = x + 1.
4) Dado o polinômio p(x) = 2x4 - 5x² + 6, o valor de p(-2) é:
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a) 18
b) -3
c) -6
d) -18
e) Nenhuma das anteriores
5) Use o método que a char conveniente para encontrar o resto da divisão de p(x) = x³
+ x² + x + 1 por x² - x + 1.
6) Questão extra-valor 0,5 ponto: quantos são os anagramas da palavra CIENB?
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INTRODUÇÃO À COMBINATÓRIA POR MEIO DE RESOLUÇÃO
DE PROBLEMA
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LUCIENE DA COSTA SANTOS
MARIA DAS GRAÇAS MASCARENHAS
NEURACI DIAS AMARAL
INTRODUÇÃO À COMBINATÓRIA POR MEIO DE RESOLUÇÃO DE
PROBLEMAS
Trabalho desenvolvido no Colégio Centro
Integrado de Educação Navarro de Brito
como forma de avaliação para a disciplina
Estágio Supervisionado III do Curso de
Licenciatura Plena em Matemática por
Luciene da Costa, Maria das Graças
Mascarenhas e Neuraci Dias Amaral à
professora
Msc.
Roberta
Bortoloti,
orientadora da disciplina, no I semestre de
2011.
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Quando alguém encontra seu caminho precisa ter
coragem suficiente para dar passos errados. As
decepções, as derrotas, o desânimo são
ferramentas que Deus utiliza para mostrar a
estrada.
Paulo Freire
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SUMÁRIO
1 - INTRODUÇÃO ............................................................................................................................. 82
2. ABORDAGEM HISTÓRICA .................................................................................................. 83
3. ABORDAGEM TEÓRICA ....................................................................................................... 88
4. PROPOSTA DA ATIVIDADE ................................................................................................ 90
4.1 OBJETIVOS. ...................................................................................................... 91
4.2. DEFINIÇÕES A SEREM DESENVOLVIDAS ........................................ 92
4.3. MATERIAIS DIDÁTICO E AMBIENTE PARA ENSINO................... 92
5. DESENVOLVIMENTO ............................................................................................................ 92
6. RESULTADOS ESPERADOS ................................................................................................. 96
7. REFERÊNCIAS .......................................................................................................................... 97
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1. INTRODUÇÃO
Quando se fala em matemática a primeira ideia que vem à cabeça das pessoas é
algo do tipo: muitos números, fórmulas, um “negócio” de “x”, de “y”, que é uma
matéria difícil, “um bicho de sete cabeças”. E quando a pergunta é a seguinte: onde
você encontra matemática? O que elas dizem também não foge desse raciocínio da
resposta anterior. Geralmente respondem: “nas contas, no supermercado, na escola, para
contar dinheiro, etc.” Geralmente a grande maioria da população não se dá conta de que
“respiramos” matemática. usamo-la em situações diversas. Mas, afinal de contas dá para
se resolver determinados problemas de matemática sem “decorar” algoritmos? Sem
fórmulas prontas?
Análise a seguinte situação problema:
No antigo sistema de emplacamento de veículos as placas eram construídas de uma
sequência de duas letras distintas e de três algarismos. Devido o aumento considerável
do número de veículos, atualmente as placas de licenciamento de automóveis constam
de 7 símbolos, sendo três letras, dentre as 26 do alfabeto, seguida de 4 algarismos. Qual
o número máximo de placas possíveis no antigo e no novo sistema de emplacamento?
Muita pessoas sequer tem ideia que a organização da identificação da placa de
seus automóveis foi pensada com base em um assunto de matemática: a análise
combinatória. Este, entre outros problemas, envolve o cálculo do número de
agrupamentos dos elementos de determinado conjunto sob certas condições.
Nosso objetivo neste trabalho é focalizar o ensino da análise combinatória
através da resolução de problemas, com a aplicação do Princípio Multiplicativo, usando
estratégias diferentes, manuseando materiais concretos e visualizando as possibilidades
de organização de agrupamentos, sem deixar de citar as a possibilidade de se resolver
problemas de análise combinatória através das técnicas de contagem: Arranjos,
Permutações e Combinações.
Para abordar o conteúdo no primeiro momento fizemos uma pesquisa
bibliográfica sobre a história da combinatória e sobre a metodologia de resolução de
problemas.
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2. ABORDAGEM HISTORICA7
Combinatória é a parte da Matemática que analisa estruturas e relações discretas.
Dela faz parte a Análise Combinatória que, aliás, esteve na sua origem e que trata
essencialmente de: demonstrar a existência de subconjuntos de elementos de um
conjunto finito dado, satisfazendo certas condições, e contar ou classificar esses
subconjuntos, sem que seja necessário enumerar os seus elementos.
Aparentemente, a Análise Combinatória teve origem no tempo de Arquimedes
(287 a. C. – 212 a. C.). Estudos de velhos pergaminhos e manuscritos feitos pelo
historiador de Matemática, Reviel Netz, da Universidade de Stanford, na Califórnia
parecem confirmar que Arquimedes terá sido pioneiro nessa área da Matemática.
Os pergaminhos passaram pelas mãos de vários povos durante a Idade Média e,
para além de quase terem sido destruídos pelo mofo, foram usados por monges que, por
cima dos textos originais, neles escreviam as suas orações.
Vieram a ser reencontrados e analisados nos últimos anos por cientistas,
matemáticos e especialistas em grego. Com o auxílio de raios ultravioleta e de
programas de computador, foi possível obter a escrita original, transcrição do trabalho
de Arquimedes, designado por Stomachion8 que, segundo Reviel Netz, é um autêntico
tratado sobre Análise Combinatória. O Stomachion é, aparentemente, um jogo,
semelhante ao Tangran (um jogo chinês de 7 peças bastante conhecido), mas constituído
por 14 peças que devem ser encaixadas de maneira a formarem um quadrado. Os
estudos de Arquimedes pretendiam determinar de quantas maneiras as peças se podiam
colocar, de forma a construir o quadrado. Não se sabe ao certo se Arquimedes
conseguiu resolver esse problema, mas estudos recentes mostraram que existem 17152
ou 268 soluções considerando ou não, respectivamente, as soluções simétricas9.
7
8
Texto adaptado de Fernanda Maria de Souza Viera.
Não se sabe o significado preciso desta palavra apenas que tem a mesma raiz que a palavra grega para
estômago.
9
536 soluções podem ser vistas em:
http://www.maa.org/editorial/mathgames/mathgames_11_17_03.html
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Figura 1 - Stomachion
O desenvolvimento da Análise Combinatória deve-se, em grande parte,
necessidade de resolver problemas de contagem, originados na teoria das
probabilidades.
A noção de probabilidade tem a sua origem mais remota ligada à instituição dos
seguros usados já pelas civilizações mais antigas, nomeadamente pelos fenícios, a fim
de protegerem a sua actividade comercial marítima. Esta prática foi continuada pelos
gregos e pelos romanos, tendo chegado até a civilização cristã medieval através dos
comerciantes marítimos italianos. Pouco se sabe das técnicas então utilizadas pelos
seguradores mas, parece que se baseavam em estimativas empíricas das probabilidades
de acidentes, para estipularem as taxas e os prêmios correspondentes.
No fim da Idade Média com o crescimento dos centros urbanos, surge um novo
tipo de seguro, o seguro de vida. O primeiro estudo matemático sobre este seguro devese a Girolano Cardan (1501-1576), em 1570, apresentado no seu livro “De
proportionibus Libri V)” mas parece ter-se revelado muito teórico e pouco prático. Foi
Halley quem, em 1693, no seu trabalho, “Degree of Mortality of Mankind”, mostrou
como calcular o valor da anuidade do seguro em função da expectativa de vida e da
probabilidade da pessoa sobreviver por um ou mais anos. A consolidação da aplicação
da matemática nos seguros surge com o trabalho de Daniel Bernoulli (1700-1782).
Calculou o número esperado de sobreviventes após n anos a partir do número de
nascimentos e inovou na criação de novos tipos de seguros, calculando, por exemplo, a
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mortalidade causada pela varíola em pessoas de determinada idade. É nesta altura que
surgem as primeiras grandes companhias de seguros.
Outro fator que contribuiu para o desenvolvimento da Análise Combinatória
foram os problemas originados nos chamados jogos de azar. É curioso que se designem
por jogos de azar muitos daqueles que dependem apenas do acaso, tais como o de
dados, a roleta, certos jogos de cartas, etc.
Todos envolvem um fenômeno de acaso cujo resultado só muito raramente é
favorável ao jogador. Daí ser, de fato, apropriado chamar-lhes jogos de azar. A palavra
“azar” é proveniente do árabe “az-zahar”, por sua vez proveniente do persa “az-zar”,
significando jogos de dados. Os jogos de azar são, provavelmente, tão antigos como a
Humanidade. As mais antigas ligações destes jogos com a matemática reduzem-se à
enumeração das possibilidades de se obter um dado resultado no jogo, sem referência ao
cálculo da probabilidade de se obter esse resultado. Os jogadores queriam encontrar
formas seguras de ganhar em jogos de cartas, dados ou moedas. É no século XVI que os
matemáticos italianos Luca Paccioli (1445-1518), Cardan e Niccoló Tartaglia (14991557) apresentam as primeiras considerações matemáticas sobre os jogos de azar. É de
Cardan a primeira obra sobre jogos de azar, “De ludo Aleae” publicado apenas em
1663. No entanto, o contributo decisivo para o início da Teoria das Probabilidades foi
dado através da correspondência entre os matemáticos franceses Blaise Pascal e Pierre
Fermat acerca de problemas surgidos nos jogos de azar.
O Conde de Méré, nobre francês e jogador assíduo, colocaram a Pascal vários
problemas dos quais se apresenta o seguinte:
“Eu e um amigo meu estávamos a jogar quando recebemos uma mensagem e tivemos
de interromper o jogo. Tínhamos colocado em jogo 32 pistolas10 cada um. Ganharia as
64 pistolas o que primeiro obtivesse 3 pontos, isto é, 3 vezes o número que escolheu no
lançamento de um dado.
Eu tinha escolhido o 6 e quando o jogo foi interrompido eu já tinha obtido o 6
duas vezes. O meu amigo escolheu o 1 e, quando interrompemos o jogo, tinha obtido o
1 uma vez. Como dividir as 64 pistolas?”
10
Moeda de ouro utilizada em vários países europeus até ao século XIX.
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Vejamos uma resolução possível: No próximo lançamento válido, ou sai o 6 e ganha o
Conde, sendo a probabilidade de isso acontecer ½, ou sai o 1 (também com
probabilidade ½) e o jogo tem de continuar. No lançamento seguinte, se sair o 6, ganha
o Conde, neste caso com probabilidade ¼ = ½ , se sair o 1 ganha o amigo, também com
probabilidade de ¼ .
Assim, a probabilidade de o Conde ganhar o jogo é de ¾ = ½ + ¼ , logo deve
receber ¾ das 64 pistolas, ou seja, 48 pistolas. Pascal interessou-se por este problema da
divisão das apostas, que anteriormente já tinha motivado outros matemáticos, como
Paccioli, Cardan e Tartaglia, mas estes não tinham conseguido obter a solução correta.
Sobre o assunto, Pascal trocou idéias com o seu amigo Fermat e chegou a várias
conclusões, ainda hoje válidas. Uma dessas conclusões constitui o seguinte teorema:
Teorema: Suponha-se que um jogo é interrompido quando faltam r jogos ao
primeiro jogador para vencer, enquanto que ao segundo jogador faltam s jogos,
sendo r e s superiores a zero. O montante das apostas deve ser dividido de maneira que
o primeiro jogador fique com a proporção de
para n2, onde n = r + s - 1
(número máximo de jogos que faltam efetuar).11
Aplicando este teorema ao problema anterior, temos que r =1, visto que
o Conde já tem dois pontos e só lhe falta 1 para ganhar e s = 2, visto que o amigo
precisa de mais dois pontos para ganhar. Então a proporção da aposta que o Conde deve
receber é:
/ 2n =
/ 22 = 1+2/4 = ¾
Além dos matemáticos já referidos, pelo seu contributo no desenvolvimento da
Análise Combinatória, devemos salientar, também, os trabalhos realizados nessa área
por Leibniz (1646-1716), Jacques Bernoulli (1654-1705), Moivre (1667-1754), Newton
(1646-1727), Euler (1707-1783), entre outros.
11
A demonstração deste teorema pode ser analisada no site:
http://www.educ.fc.ul.pt/docentes/opombo/seminario/pasca_l/probabilidades.htm
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Leibniz escreveu, em 1666, “Dissertatio de Arte Combinatória”, resultado
dos seus estudos na Universidade de Leipzig em diferentes áreas, Filosofia, História,
Matemática e Direito. Nesse trabalho, apresenta as suas idéias fundamentais sobre
combinatória e reduz todo o raciocínio, toda a descoberta, a uma combinação de
elementos básicos tais como números, letras, sons ou cores.
Eis o tipo de idéia característico de Leibniz. Tentar reduzir problemas
matemáticos a uma forma simples e básica, que não só permitisse o seu entendimento,
como também a sua rápida resolução.
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4. ABORDAGEM TEÓRICA
Desde os primórdios da humanidade o homem se depara com problemas
matemáticos. Tais questões eram para resolver situações do seu cotidiano. Ainda hoje
nos deparamos a todo o momento com problema, que exige respostas rápidas. Segundo
Newell e Simon (1972, p. 3), “um problema é uma situação na qual um indivíduo deseja
fazer algo, porém desconhece o caminho das ações necessárias para concretizar a sua
ação”.
A utilização da metodologia de resolução de problema em matemática ajuda no
desenvolvimento do raciocínio crítico dos alunos e faz com que a matemática saia de
todo o formalismo existente na sala de aula e vai para a vida cotidiana.
O problema passa a ser um ponto de partida e os professores, através da
resolução do problema, devem fazer conexões com outras ciências e entre os diferentes
ramos da matemática, gerando novos conceitos e novos conteúdos. (ALLEVATO;
ONUCHIC, 2003).
Este ponto de partida permite que os alunos resolvam problemas utilizando todo
o conhecimento adquirido durante sua vida, não focalizando apenas em um conteúdo
especifico, mas em todo o conjunto de saber matemático adquirido com o tempo.
A dificuldade encontrada para planejar uma aula com resolução de problemas é
grande, pois tem que estar procurando problemas que tenham sentido real. O professor
tem que estar procurando estratégias para que a resolução do problema seja apresentada
para o aluno de uma forma prática e fácil, mostrando uma matemática dinâmica e móvel
que é afetada por uma contínua expansão de seus conceitos.
O professor tem que planejar as questões-chave, para conduzir os alunos na
análise dos resultados apresentados e na busca de um consenso sobre os resultados
obtidos; preparar a melhor formalização dos novos conceitos e novos conteúdos
construídos a partir do problema dado. (ALLEVATO; ONUCHIC, 2006). Segundo
Ramos (et. al., 2001, p. 5), os problemas matemáticos podem ser organizados em quatro
tipos:
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1. Problemas de sondagem: para a introdução natural e intuitiva de um novo conceito;
2. Problemas de aprendizagem: para reforçar e familiarizar o aluno com um novo
conceito;
3. Problemas de análise: para a descoberta de novos resultados derivados de conceitos
já aprendidos e mais fáceis que os problemas de sondagem;
4. e problemas de revisão e aprofundamento: para revisar os tópicos já vistos e
aprofundar alguns conceitos.
Aplicando este tipo de metodologia o professor poderá estar partindo de
problemas práticos para o abstrato. Ajudando desta forma que o aluno entenda que a
matemática esta relacionada diretamente com a sua vida. E desta forma desconstruindo
a ideia que a matemática é imóvel e homogênea e que ela não poderá ajudar na sua vida.
Segundo os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN) de Matemática de 5ª
à 8ª série (BRASIL, 1998, p.42):
Resolver um problema não se resume em compreender o que foi proposto e
em dar respostas aplicando procedimentos adequados. Aprender a dar uma
resposta correta, que tenha sentido, pode ser suficiente para que ela seja
aceita e até seja convincente, mas não é garantia de apropriação do
conhecimento envolvido. Além disso, é necessário desenvolver habilidades
que permitam provar os resultados, testar seus efeitos, comparar diferentes
caminhos para obter a solução. Nessa forma de trabalho, a importância da
resposta correta cede lugar à importância do processo de resolução.
Percebe-se que a resolução de problemas vai mais além da apropriação do
conteúdo. Pois não basta decorar a fórmula para determinada questão tem que
compreender o processo de resolução do problema.
Dos conteúdos de matemática, a peça-chave para trabalhar resolução de
problemas é a Análise Combinatória. É um dos conteúdos mais fáceis para aplicar a
metodologia resolução de problemas. Segundo os Parâmetros Curriculares Nacionais
(PCN) “a resolução de problemas é peça central para o ensino de matemática, pois o
pensar e o fazer se mobilizam e se desenvolvem quando o indivíduo está engajado
ativamente no enfrentamento de desafios” (BRASIL, 1998, p. 112).
A Combinatória, embora possa não ser percebida, contribui decisivamente, cada
vez mais, para a resolução dos problemas da vida moderna. Podendo ser apresentada de
uma forma em que motive o aluno a buscar resultados, a fazer questionamentos, em que
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eles possam estar constatando de forma investigativa os padrões existentes entre alguns
problemas propostos.
Infelizmente a análise combinatória é um conteúdo desprivilegiado do ensino
médio. Que é apresentado ao aluno de uma forma pronta e acabada não permitindo que
este como autor de seu próprio conhecimento utilize sua criatividade para resolver este
problema. De acordo com (Almeida e Ferreira, 2009, p. 4):
Outro aspecto importante é a dinâmica de sala de aula. Estimular o trabalho
em conjunto proporciona muitos benefícios aos alunos. Eles aprendem a
questionar, trocam idéias uns com os outros e aprendem a trabalhar
coletivamente. A experiência coletiva contribui para a individual e favorece a
cooperação entre indivíduos. Mas é necessário tornar os alunos aptos a este
tipo de trabalho, pois alguns alunos deixam as tarefas por conta do grupo e
não permanecem ativos nas atividades, não assimilando o conteúdo. O estudo
individual também é importante para que o aluno tenha a capacidade de
trabalhar por si só.
Problemas de análise combinatória podem ser olhado pelo aspecto da
multiplicidade de opções para resolução de um problema. O mesmo problema pode ser
resolvido de vários modos, mas para isso precisa estar interpretando o problema,
podendo ainda muitas vezes estar relacionando com aspectos do dia-a-dia.
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4. PROPOSTA DA ATIVIDADE
4.1. OBJETIVOS GERAIS
- Contribuir com o desenvolvimento da capacidade de raciocinar logicamente.
- Ajudar no desenvolvimento da capacidade de relacionar análise combinatória com
problemas práticos.
- Desenvolver espírito crítico e criativo.
- Familiarizar-se com problemas que envolvam contagem;
- Entender o princípio multiplicativo.
- Proporcionar a oportunidade de discussão em grupo dos problemas sugeridos.
- Desenvolver a capacidade de argumentação e socialização de ideias.
- Detectar possíveis erros cometidos na resolução de problemas.
- Ajudar a encontrar melhores estratégias para resolução dos problemas.
4.2. OBJETIVOS ESPECIFICOS
Que o aluno/a seja capaz de:
- Criar estratégias e esquemas práticos para a solução dos problemas.
- Manusear materiais concretos para visualizarem as estratégias a serem tomadas para
resolução de problemas.
- Resolver problemas de multiplicação que envolvam relações de análise combinatória.
- Analisar situações problemas e refletir qual a melhor maneira de resolvê-las;
- Calcular as possibilidades de agrupamento de um determinado conjunto.
- Permutar os elementos de determinados conjuntos.
- Calcular as combinações possíveis para determinadas situações.
- Registrar os problemas propostos.
- Diferenciar Combinação, Arranjo e Permutação através de exemplos do cotidiano e da
utilização de materiais concretos.
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4.3. DEFINIÇÕES A SEREM DESENVOLVIDAS
ARRAJO SIMPLES – Denomina-se arranjo simples dos n elementos de E, p a p,
toda sequência de p elementos distintos de E.
ANAGRAMA – É um código formado pela transposição (troca) de todas as letras
de uma palavra, podendo ou não esta palavra ter significado na língua de
origem.
PERMUTAÇÃO SIMPLES – Chama-se permutação simples dos n elementos,
qualquer agrupamento (sequência) de n elementos distintos de E.
COMBINAÇÃO SIMPLES – Chama-se combinação simples dos n elementos de E,
p a p, todo subconjunto de E com p elementos.
4.4. MATERIAIS DIDÁTICOS E AMBIENTES PARA O ENSINO
Para esse trabalho serão utilizados materiais concretos para visualização dos
problemas propostos, emborrachados, letras do alfabeto e os algarismos cortados em
emborrachados, folha de atividades, livros, quadro branco e pincel. O projeto será
desenvolvido na Universidade Estadual do Sudoeste da Bahia, no Laboratório de
Matemática.
DESENVOLVIMENTO
Este projeto será dividido em duas etapas para que seja desenvolvido.
Primeiramente a sala será organizada em grupos de 5 pessoas.
PRIMEIRA ETAPA: No primeiro momento serão realizados vários problemas
propostos em conjunto.
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PROBLEMA 1: Com 5 homens e 5 mulheres, de quantos modos se pode formar um
casal?
Para encontrarmos a solução, irei convidar os próprios alunos, sendo eles 5
meninos e 5 meninas, para vir até o centro da sala e começaremos a fazer a contagem.
Para eles visualizarem as possibilidades de formação de casais faremos o seguinte:
Para cada menina entregarei 5 cordões, os quais elas entregará um a cada um dos
meninos. Após este procedimento, perguntarei novamente de quantos modos podemos
formar um casal com 5 homens e 5 mulheres. Isto é, quantas ligações podem ser feitas
utilizando aqueles cordões? Após obter a resposta vinda dos alunos, irei explicar da
seguinte forma:
 A primeira menina tem opção de ser a parceira de 5 meninos.
 A segunda, a terceira, a quarta e a quinta menina também têm a mesma
quantidade de opções.
Assim, temos:
 5 meninas com cada uma tendo 5 opções, isto é 5 x 5 = 25.
Após resolver este problema juntamente com os alunos, lançaremos um novo
problema, o qual iremos resolver, passo-a-passo, com eles novamente.
PROBLEMA 2: De quantos modos 3 pessoas podem se sentar em 5 cadeiras em fila?
Os objetivos dos problemas I e II são para que os alunos possam perceber a
importância do princípio multiplicativo. Em seguida, recordarei para eles novamente o
principio da contagem, pois em aulas anteriores eles já tinham visto a definição.
Dizendo para eles que: “se há x modos de tomar uma decisão D1, há y modos de tomar
uma decisão D2, então o número de modos de tomar sucessivamente as decisões D1 e D2
é xy.” (ELON, p. 85, 1998).
Após relembrar o Princípio Fundamental da Contagem (PFC), em alguns casos
conhecido como Teorema Fundamental da Contagem (TFC), falarei para os alunos que
segundo (IEZZI, 1998,p. 426):
Todo problema de contagem pode ser resolvido, pelo menos teoricamente
pelo TFC. Porém, na prática, a resolução de alguns desses problemas pode se
tornar muito complicada. Dessa forma, estudaremos técnicas de contagem de
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determinados agrupamentos – baseadas no TFC – as quais simplificarão a
resolução de muitos problemas.
Depois irei apresentar para cada grupo um novo problema para que eles tentem
resolver. Para realizar estas atividades confeccionarei materiais que permitam visualizar
em miniatura o problema dado. Enquanto os alunos estiverem tentando encontrar a
solução dos problemas irei auxiliá-los
PROBLEMA 3: Quantas são as possibilidades de arrumações das letras de palavra
AMOR?
PROBLEMA 4: Quantas são as possibilidades de arrumações das letras de palavra
AMORA?
PROBLEMA 5: Uma bandeira deve ser pintada com 3 cores diferentes de forma que
não é permitido colorir as listras da região de fronteira com a mesma cor. Desse modo,
calcule o número de maneiras diferentes que pode ser pintada essa bandeira, sabendo
que ela é composta por 6 listras.
PROBLEMA 6: Contar a quantidade de números formados por 2 algarismos distintos
pelos algarismos 1, 2, 3 e 4.
PROBLEMA 7: Otávio, João, Mário, e Fábio estão apostando corrida. Quantos são os
agrupamentos possíveis para os três primeiros colocados?
PROBLEMA 8: Fruta na alimentação: Segundo a classificação de alimento mais aceita
atualmente, as frutas estão no grupo dos alimentos reguladores, pois atuam no equilíbrio
de diversas funções do organismo, como digestão, o funcionamento do intestino e a
absorção de nutrientes. Além disso, contribui para melhorar a resistência contra
infecções. Por isso, em uma cesta contendo 10 frutas: 6 maçãs e 4 peras. Daniela quer
retirar, uma a uma, as 10 frutas dessa cesta. De quantas maneiras ela poderá retirá-las?
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SEGUNDA ETAPA: Para iniciar esta etapa será passado um vídeo do Novo Telecurso
2000- aula 51- para os alunos estarem aprendendo combinações, outra técnica de
agrupamento, em problemas que envolvem, por exemplo, o esporte.
A seguir, será entregue, um problema para cada grupo, no qual quando
solucionado será revezado entre os grupos até que todos sejam resolvidos por cada
grupo. O objetivo é que os alunos aprendam a resolver problemas de análise
combinatória sem utilizar mecanicamente as fórmulas. E quando usá-las consciente da
lógica contida na problemática de determinada questão.
PROBLEMA 9: Para ir ao cinema, Júnior deseja usar uma camiseta, uma bermuda e
um par de tênis. Sabendo que ele dispõe de 3 camisetas, quatro bermudas e dois pares
de tênis, de quantas maneiras distintas ele poderá se vestir?
PROBLEMA 10: Quatro homens e uma mulher estão em uma sala de espera, onde há
apenas um banco de quatro lugares. De quantas maneiras diferentes os homens podem
se sentar, nunca deixando em pé a mulher?
PROBLEMA 11: Uma urna contém 8 bolas: 5 azuis e 3 cinzas. De quantas maneiras é
possível retirar, uma a uma, as 8 bolas dessa urna?
PROBLEMA 12: De quantas maneiras é possível escalar um time de futebol de salão
com 8 jogadores? (no jogo só pode ter 6 jogadores)
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6. RESULTADOS ESPERADOS
Através deste trabalho de ensino pretendemos ensinar de uma forma diferente o
conteúdo Análise Combinatória. Para que os alunos possam estar vendo a matemática
envolta dele, analisando a necessidade em estar aprendendo este conteúdo e percebendo
que a matemática ajuda no desenvolvimento do raciocínio lógico e também o crítico.
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7. REFERENCIAS
ALLEVATO, N. S. G.; ONUCHIC, L. R. A resolução de problemas e o uso do
computador na construção do conceito de Taxa Média de Variação. Revista de
Educação Matemática, São Paulo, n.8, p.37-42. 2003.
ALMEIDA, Adriana Luziê de; FERREIRA, Ana Cristina. A Comunicação Matemática
como ferramenta para o ensino e a aprendizagem da Análise Combinatória no 2º ano do
Ensino Médio em uma escola pública de Itabirito (MG). Itabirito, MG [s. n.] 2009.
Disponível em:
<d.yimg.com/kq/groups/22309893/175814723/.../CCAdrianaAlmeida.do> Acesso em:
22 maio 2011.
BRASIL - Ministério da Educação. Parâmetros Curriculares Nacionais. Brasília, 1998.
Fundação Roberto Marinho; FIESP. Telecurso 2000. Ensino médio – Matemática.
Disponível em: <http://www.youtube.com/watch?v=yqM0asBZl_A > Acessado em: 20
de maio de 2011.
GIOVANNI, José Ruy; BONJORNO, José Roberto. Matemática Completa. 2.ed. São
Paulo: FTD,2005.
LIMA, Elon Lages. et. al. A matemática do Ensino Médio. Rio de Janeiro: Sociedade
Brasileira de Matemática, 1998.
RAMOS, Agnelo Pires. et. al. Problemas matemáticos: caracterização, importância e
estratégias de resolução. São Paulo: IME- USP. 2001. Disponível em:
www.esev.ipv.pt/.../mat450-2001242-seminario-8-resolucao_problemas.pdf. Acesso: 22
maio 2011.
VIERA, Fernanda Maria de Souza. Uma introdução á combinatória: Técnicas de
contagem Tese (Mestre em Matemática) – Universidade Portucalense, Porto, 2007.
Disponível em:
www.diaadiaeducacao.pr.gov.br/diaadia/diadia/modules/.../visit.php?cid... Acessado
em: 22 de maio 2011.
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CENTRO INTEGRADO DE EDUCAÇÃO NAVARRO DE BRITO – CIENB
PROFESSOR REGENTE: Enoque Alves de Matos
ESTAGIÁRIA: Neuraci Dias Amaral
DISCIPLINA: Matemática
CURSO: Ensino Médio
SÉRIE: 3º
UNIDADE: II
TURMA: A TURNO: Matutino
FASE DE REGÊNCIA: 25 de abril a 18 de julho
CUMPRIMENTO DAS ATIVIDADES DE REGÊNCIA
DATA
HORÁRIO
25/04/2011
07h20min às 08h10min
26/04/2011
02/05/2011
ATIVIDADES
N° DE AULAS
Apresentei-me
à
turma e introduzi o
conteúdo Polinômios.
Definições:
- O que é um
polinômio
08h10min às 09h50min Grau de um
polinômio
- Valor numérico de
um polinômio.
Não houve aula –
Conselho de classe I
unidade.
1
2
Não participei.
08h10min às 09h50min
Visto na lista e início
a correção.
2
07h20min às 08h10min
Continuação
da
correção da lista.
1
10/05/2011
08h10min às 09h50min
Soma, subtração e
multiplicação
de
polinômios.
2
16/05/2011
07h20min às 08h10min
Verificação
de
atividades e correção.
1
17/05/2011
Identidade
polinômios
08h10min às 09h50min
aplicação
questionário
03/05/2011
09/05/2011
de
e
do
2
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socioeconômico.
23/05/2011
24/05/2011
30/05/2011
31/05/2011
07h20min às 08h10min
Correção
atividades.
de
Divisão
de
polinômios: método
08h10min às 09h50min da chave, teorema do
resto e teorema de
D’Alembert.
Divisão
de
polinômios:
07h20min às 08h10min
Dispositivo prático
de Briott-Ruffini.
Paralisação estadual
08h10min às 09h50min nas escolas da rede
estadual na Bahia.
1
2
1
-
06/06/2011
07h20min às 9h10min
(professor de Química Teste.
cedeu uma aula)
07/06/2011
08h10min às 09h50min
Atividades e correção
sobre divisão de
polinômios.
2
13/06/2011
07h20min às 08h10min
Correção
atividades.
1
14/06/2011
Atividades
08h10min às 09h50min divisão
polinômios.
15/06/2011
08h20min às 11h30min
Oficina sobre Análise
combinatória
3
04 e 05/07/2011
Vestibular da UESB
08h10min às 09h50min – Não houve aula na
escola.
-
11/07/2011
Semana de provas
-
-
12/07/2011
Das 8h:00min as
10h:00min
Avaliação de Inglês,
Português e Redação.
2
18/07/2011
Das 9h:00min as
10h:00min
Entrega das
avaliações II unidade
e registro de notas no
diário de classe.
2
2
de
sobre
de
2
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11/08/2011
Das 8h:20min às 10: 30
Conselho de classe II
unidade.
3
Total de aulas
-
-
32
100
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CENTRO INTEGRADO DE EDUCAÇÃO NAVARRO DE BRITO – CIENB
PROFESSOR REGENTE: Enoque Alves de Matos
ESTAGIÁRIA: Neuraci Dias Amaral
DISCIPLINA: Matemática
CURSO: Ensino Médio
SÉRIE: 3º
UNIDADE: II
TURMA: A TURNO: Matutino
FASE DE REGÊNCIA: 25 de abril à 12 de julho
RELATO DAS AULAS DA REGÊNCIA
A regência é a terceira etapa do Estágio Supervisionado. Assim como as etapas
anteriores, foi realizada no Centro Integrado de Educação Navarro de Brito-CIENB,
localizado à Av. Frei Benjamin, Brasil - Vitória da Conquista – Bahia, entre 25 de abril
e 11 de Agosto, na turma do 3º ano A, sob a regência do professor Enoque Alves de
Matos.
Minha primeira aula de regência aconteceu no dia 25 de abril de 2011. Teve
início por volta das 8h10min da manhã. Neste dia me apresentei à turma e os
comuniquei que estaria como professora deles por toda a II unidade. Para iniciar os
trabalhos, falei um pouco sobre o conteúdo que iríamos estudar: polinômios, a forma de
avaliação que iria utilizar: pontuando as atividades deixadas para fazer em casa, um
teste, aplicação de projeto de ensino e por fim uma prova. Minutos após o início da aula,
o professor regente, chegou à sala, cumprimentou á todos e sentou-se no fundo sala, o
qual permaneceu assistindo a aula até o fim da mesma.
Para introduzir o conteúdo, comecei fazendo um breve apanhado sobre a
álgebra. Ela é considerada a aritmética simbólica porque emprega letras para representar
números. Essas expressões matemáticas formadas por letras e símbolos numéricos são
chamadas expressões literais ou, genericamente, expressões algébricas. Na resolução de
problemas é muito comum ocorrerem situações em que a leitura e a compreensão do
enunciado nos levam a formular expressões que permitam depois a resolução do
problema, por meio de uma equação oriunda das expressões obtidas.
Após ter feito esse breve comentário copiei no quadro os três exemplos abaixo:
4) Se x é a idade de Ana, a idade que ela tinha há 5 anos é dada por: x – 5.
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5) O triplo da idade de Ana daqui há 4 anos é dado por: 3(x + 4).
6) 25% de uma quantia é dado por: x/4.
Falei aos alunos que essas são algumas simples exemplificações do uso das expressões
algébricas.
Instante depois, desenhei as figuras abaixo no quadro e disse para eles que
imaginassem, por exemplo, que em determinados problemas os enunciados nos levem
às seguintes figuras e suas dimensões:
Na primeira figura temos uma região retangular de dimensões x e x + 3. Perguntei aos
alunos como se calcula o perímetro e a área do retângulo. Neste momento, não houve
nenhum palpite, então reformulei a pergunta: “alguém, aqui, sabe como se calcula o
perímetro e a área de um retângulo, de um quadrado ou... de qualquer figura?” Após
aguardar mais um momento de silêncio, disse que: o perímetro de uma determinada
figura, objeto, região, seja de que formato for, sejam eles por exemplo da forma:
quadrado ou retângulo, é dado pela soma das medidas de todos os lados, isto é:
Na primeira figura, representando perímetro por “P”, como se trata de um retângulo, e
por definição seus lados paralelos tem a mesma medida, segue que,
P = x + x + (x + 3) + (x + 3) ou P = 2 . x + 2 . (x + 3) = 4x + 6
Assim, como em relação ao perímetro, expliquei aos alunos como se calculava a área de
uma região no formato de um quadrado ou de um retângulo, que esta é dada pelo
produto da medida de um lado, a quem chamamos de base pelo outro, a quem
chamamos de altura. Assim, num quadrado como os lados tem medidas iguais,
representando lado por “l” e área por A, segue que A = l².
Na primeira figura a área do retângulo é dada por A = (x) . (x + 3)
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Em seguida, os expliquei que na segunda figura se tratava de um cubo com arestas de
medidas x, ou seja, cada face tem forma de um quadrado e como o cubo é composto por
6 faces, a área total (At) é indicada por:
At = 6x²
Disse aos alunos ainda que poderíamos calcular o volume (v), que, no caso do cubo é
dado pelo produto da largura pelo comprimento e pela altura, isto é: x . x . x, donde
aplicando as propriedades de potencia que conhecemos, ou pelo menos deveríamos
conhecer, desde a 6ª série (atual 7º ano), temos:
V = x³
A seguir, perguntei novamente a eles: “agora, quero que vocês me respondam:
qual a área total representada na terceira figura?” então, eles me disseram que seria
preciso calcular a área de um quadrado e depois multiplicar por 6, como de fato ocorre.
Percebi que eles haviam entendido, e então segui o procedimento citado:
At = 6(x + 2 )(x + 2) ou (6x + 12)(x + 2) ou 6x² + 12x + 12x +24 ou 6x² + 24x + 24
Falei aos alunos que poderíamos simplificar, isto é, dividindo toda expressão por 6,
lembrando que At = x² + 4x + 4 não é equação, e sim uma expressão, temos:
At = x² + 4x + 4
Para concluir, disse que: todas essas expressões são chamadas de expressões
polinomiais ou simplesmente polinômios, cujo estudo eles iniciaram no ensino
fundamental e seria aprofundado agora. Em seguida, com o fim do tempo, a aula foi
finalizada às 8h10min.
No dia 26 de maio, a aula teve início as 8h10min. Ao chegar à sala, os
cumprimentei como sempre, e antes de mostrar a definição de polinômios, desenhei no
quadro novamente as figuras da aula anterior com as expressões da área e do perímetro
obtidas e a seguir apresentei a definição de monômios. Logo depois, apresentei as
definições de grau de um polinômio e de como se calcula o valor numérico de um
polinômio, conforme plano de aula.
Em seguida, perguntei a eles se as expressões obtidas se enquadravam na
definição de polinômios. Eles me confirmaram que sim.
Em seguida disse para os alunos que: “o polinômio representa a soma algébrica
de monômios na variável x.” Deste modo, as expressões:
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At(x)= x² + 4x + 4 .
P(x) = 4x + 6
São classificadas como polinômios, quer dizer:
- A primeira das expressões acima tem 3 termos e é chamada de trinômio;
- A segunda delas tem 2 termos e é chamada de binômio, pois bi implica em dois;
Mas, generalizando, chamamos de polinômios a soma de monômios. Expliquei-os que
poli é sinônimo de muitos.
Após esta fala um aluno me questionou se o números 4 e 6 eram monômios, e então o
expliquei que:
O 4 poderia ser escrito como: 4.x0, da mesmo forma que o 6 pode ser escrito como 6.x0,
pois todo numero elevado a zero dá 1. Assim, 4 e 6 se enquadram na definição de
monômios, pois zero é um expoente pertencente ao conjunto dos números naturais.
Nesta aula brinquei ainda com ele: mostre aqui para a turma por que um numero
elevado a zero dá 1, que te dou 1 ponto! Extra!!!
Ele disse que não queria, em tom risonho. Então achei interessante mostrar a eles:
Vejam:
20 pode ser escrito como 2a-a , que equivale a 2ª/2ª, como todo valor dividido
por ele mesmo dá 1, temos: 20 = 1.
Após a prova acima, eu os disse e escrevi no quadro a definição de função
polinomial.
FUNÇÃO POLINOMIAL
Definição
Sejam an, an – 1, ..., a2, a1, a0 números complexos e considere a função
F(x) = anxn + an – 1 x n – 1 +... + a2x2 +a1x + ao
A função f é denominada função polinomial ou polinômio na variável x.
Os números complexos an, an – 1, ..., a2, a1, a0 são os coeficientes do polinômio.
Notemos que o polinômio representa a soma algébrica de monômios na variável
x.
São exemplos de polinômios:
f(x) = 3x² + 2x – 1, onde a2 = 3,a1 = 2 e a0 = - 1
g(x) = -4 x³ + x + 1/2, onde a3 = -4, a2 = 0, a1 = 1 e a0 = ½
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h(x) = -2x³ + x/3, onde a3 = -2, a2 = 0,a1 = 1/3 e a0 = 0
Em seguida perguntei aos alunos se os itens a e b representam polinômios:
a) f(x) = x + x¹/² + 2
c) g(x) = -1 + 2x + x-³
Alguns disseram que a opção “a” representava, depois pararam e mudaram de ideia,
dizendo que não era polinômio pois em um dos termos o expoente é fracionário.
Complementando eu disse à turma que o colega tinha razão, pois por definição, dado
monômio, seja ele f(x) = axn, n é sempre um numero natural, o que não é o caso deste
exemplo, em n = 1/2.
Na opção “b” eu disse que também não se tratava de um polinômio devido ao
expoente negativo, pois -3 não é um número natural.
GRAU DE UM POLINÔMIO
Definição
Grau de um polinômio P(x) é o máximo grau observado entre os graus de seus
monômios. O coeficiente do monômio de grau máximo é chamado coeficiente
dominante do polinômio.
Exemplo 1
Vamos identificar o grau e o coeficiente em cada caso:
d) P1(x) = 2x³ + x² - 3x – 5 é um polinômio de grau 3 e coeficiente dominante igual
a 2.
e) p2(x) = -31/2x4 + x³ -x²/2 – 1 é um polinômio de grau 4 e coeficiente dominante
igual a -31/2.
f) p3(x) = x + 1 é um polinômio de grau 1 e coeficiente dominante igual a 1.
Exemplo 2
Seja o polinômio p(x) = (m – 1)x³ + x² - 3x + 1
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O grau desse polinômio será 3, desde que o coeficiente x³ não se anule, isto é,
desde que tenhamos m – 1 ≠ 0 → m ≠ 1.
VALOR NUMÉRICO
Definição
Considere um polinômio p(x) e um numero real α. O valor numérico do polinômio p(x)
para x = α é o número que se obtém substituindo x por α e efetuando os cálculos
necessários. Indica-se por p(α).
Se p(α) = 0, o número α é chamado de raiz ou zero de p(x).
Exemplo 3
Vamos determinar o valor numérico do polinômio p(x) = 2x² - 3x + 5 para x = 4
p(4) = 2(4)² - 3(4) + 5
p(4) = 2(16) – 12 + 5
p(4) = 32 – 12 + 5
Logo, p(4) = 25
Em relação a estas definições não houve grandes dúvidas, pelo menos nenhuma que eu
me recorde. Ao fim desta aula entreguei uma lista de exercícios, (anexada no plano de
aula) afim de que os alunos aplicassem os conhecimentos acima e desenvolvessem
habilidades acerca do assunto. A aula teve fim, na sequência, às 09h50min.
No dia 02 de maio retornei ao colégio para dar continuidade às atividades, mas
não houve aula, pois estava acontecendo um conselho de classe referente a I unidade,
então, como não me competia estar presente, não participei.
No dia 03 de maio, a aula teve início às 8h10min. Ao dar chegar à sala,
cumprimentei os alunos e comecei a verificar se haviam respondido a lista de
exercícios, passando de carteira em carteira dando o visto na atividade. Pude perceber
que a maioria deles havia feito. Eles me perguntaram quantos pontos valeria a lista e eu
os respondi que contava como uma atividade, e como havíamos conversado no primeiro
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dia de aula eu pontuaria as atividades. Assim, ao fim da unidade se eles tivessem todos
os vistos ganhariam 1 ponto, se não tivessem todos receberiam o referente ao total que
houvesse em seus cadernos.
Posteriormente, comecei a fazer a correção, pois houve algumas questões em
que os alunos não conseguiram responder.
- Em relação à atividade 1, que solicitava identificar o grau de cada polinômio e o
coeficiente dominante, os alunos fizeram tranquilamente, não apresentando nenhuma
dificuldade.
- No exercício 2: “Diga quais das seguintes funções são polinômios e justifique”os
alunos também responderam corretamente, dizendo que apenas o item “b” não
representava um polinômio, pois x-1não é um monômio, devido o expoente -1 não ser
um número natural.
- No exercício 3: Sendo p(x) = x³ + 4x – 1, calcular:
a) P(3)
b) P (4)
c) P(m + 1)
d) P(-2)
Os alunos apresentaram dificuldades em relação à opção c, então disse que se tratava do
mesmo procedimento: no lugar do x no polinômio dado era só substituir por (m + 1). Feito
isso, teríamos:
P(m + 1) = (m + 1)³ + 4(m + 1) – 1
Perguntei à eles como desenvolver o primeiro termo do polinômio, mas eles não
responderam, suponho que não sabiam. Assim, expliquei que uma das formas de resolver
(m + 1)³ é aplicando as propriedades de potenciação:
(m + 1)³ = (m+1)².(m+1)
Daí então ficaria mais simples de se desenvolver os termos. Mas neste momento ao
desenvolver o termo (m+1)², percebi que eles também não sabiam desenvolvê-lo. Então eu
disse que poderíamos desmembrar, mais uma vez, obtendo (m + 1) . (m + 1), que equivale
a; m² + 2m + 1. Outra forma de resolver seria:
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(m + 1)² = quadrado do primeiro termo (m²), mais o expoente 2 vezes o produto dos dois
termos, isto é: 2 x m x 1, mais o quadrado do segundo termo (1²), obtendo o mesmo
resultado: m² + 2m + 1.
Retomando, (m + 1)³ = (m+1)².(m+1) → (m + 1)³ = (m² + 2m + 1)(m + 1)
Fazendo o produto de cada termo de (m² + 2m + 1) por cada termo de (m + 1), segue que:
(m + 1)³ = m³ + m² + 2m² + 2m + m + 1. A partir daí basta somar aqueles termos
semelhantes, que obtemos:
(m + 1)³ = m³ + 3m² + 3m + 1.
Feito isso,
P(m + 1) = m³ + 3m² + 3m + 1 + 4(m + 1) – 1
P(m + 1) = m³ + 3m² + 3m + 1 + 4m +4 – 1
P(m + 1) = m³ + 3m² + 7m + 4
Confesso que não foi uma boa escolha ter colocado este exemplo antes de ter dado a
multiplicação de polinômios. Os alunos acharam “coisa de doido” este exercício. Mas
neste exercício percebi também que existem outras deficiências (como citadas
anteriormente, no decorrer da resolução de um exercício que envolvia produtos notáveis,
conteúdo estudado na 7ª série) e foi de suma importância abordá-las. Sei que nem todos,
em relação ao explicado, conseguirão eliminar essas dificuldades, mas espero que aos
poucos ao menos parte deles tenha entendido e consigam resolver algo do tipo numa futura
situação matemática.
Na questão 4: Verificar se 2 é raiz do polinômio p(x) = x² - 5x +6, eu os disse que para
verificar se 2 é raiz do polinômio dado, bastava calcular o valor numérico do polinômio,
quando x = 2. Se o resultado obtido for zero, isso significa que 2 é raiz do polinômio.

n
n-1
Na questão 5: (PUCC-SP) Dado o polinômio p(x) = x + x
+ ... + x² + x + 3, se
n for ímpar, então p(-1) vale:
b) -1
b) 0
c) 2
d) 1
e) 3
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Para resolver esta questão com os alunos, pois a maioria não fez, comecei dizendo que uma
das maneiras de se resolver seria: se n é ímpar, poderíamos substituir no polinômio dado
qualquer valor ímpar para “n”. Seja, por exemplo, n = 5. Assim, teríamos:
(-1)5 +(-1)4 + (-1)3 + (-1)2 + (-1) + 3 = -1 + 1 -1 + 1 – 1 + 3 = 0 + 0 – 1 + 3 = 2
Se substituirmos n = 7, ou outro valor qualquer, veremos que dará P(-1) = 2, alternativa “c”.
A aula teve fim, por volta das 9h:50min e as questões 6 e 7 foram resolvidas na aula
seguinte.
No dia 09 de maio, a aula que deveria começar às 7h:20min, mas que começa
sempre depois das 7h: 30min, foi feita a correção das questões 6 e 7 da lista.
Questão 6: (ITA) Um polinômio P(x) ax³ + bx² + cx + d é tal que P(-2)=-2 ,
P(-1) =3 , P(1) = -3 e P(2) = 2. Temos então que:
(a) b=0
(b) b=1
(c ) b=2
(d) b=3
(e) N.D.A.
A princípio eu disse aos alunos que: utilizando os dados oferecidos pela questão
tínhamos:
P(-2) = -2→ a(-2)³ + b(-2)² + c(-2) + d = -2 → -8a³ + 4b - 2c + d = -2, chamaremos esta
equação de I.
P(2) = 2 → a(2)³ +b(2)² + c(2) + d = 2 → 8a³ + 4b + 2c + d = 2, chamaremos esta
equação de II.
P(-1) = a(-1)³ + b(-1)² + c(-1) + d = 3 → -a + b - c + d = 3, chamaremos esta equação de
III.
P(1) = a(1)³ + b(1)² + c(-1) + d = -3 → a + b + c + d = -3, chamaremos esta equação de
IV.
Em seguida, chamei a atenção dos alunos para notar que obtemos um sistema:
-8a³ + 4b - 2c + d = -2 (I)
8a³ + 4b + 2c + d = 2 (II)
-a + b - c + d = 3 (III)
a + b + c + d = -3 (IV)
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Somando I com III temos 8b + 2d = 0 → 8b = -2d → d = -8b/2 = -4b, chamaremos esta
equação de V.
Somando III com IV, temos: 2b + 2d = 0, chamaremos esta equação de VI.
Substituindo o valor encontrado para d em (V), em VI, temos:
2b + 2(-4b) = 0 → 2b – 8b = 0 → -6b = 0 → b = -0/6 = 0. Logo alternativa (a).
Os alunos disseram ter visto este tipo de sistema no ano anterior, mas que não se
lembravam como se resolvia dizendo que eu não deveria colocar uma questão assim na
prova, pois então só daria tempo de fazer uma única questão.
 Na questão 7: Considere o polinômio p(x + 1) = 3x² - x + 5, determinar
p(x).
Eu disse assim: temos p(x + 1), então o termo anterior é o p(x-1) +1) = 3(x – 1)² - (x –
1) + 5 → p(x) = 3(x² - 2x + 1) – x + 1 + 5 = 3x² - 6x + 3 – x + 6 → p(x) = 3x² - 7x + 9.
A aula foi finalizada a seguir, pois o sinal sonoro tocou logo após a correção.
No dia 10 de maio de 2011, expliquei aos alunos como se dão as operações:
soma, subtração e multiplicação de polinômios. Comecei introduzindo o assunto
dizendo que na sétima série, atual oitavo ano, muito provável, eles estudaram
expressões algébricas, polinômios, e fizeram exercícios contendo estas operações: soma,
subtração, multiplicação e divisão com polinômios. Em seguida disse que na aula
daquele dia, iríamos relembrar, se fosse o caso, ou aprender como se dão as operações
citadas com polinômios.
Para dar início escrevi na lousa os procedimentos para cada caso: soma,
subtração e divisão. Em seguida, anotei também dois polinômios e exemplifiquei para
cada caso, conforme abaixo:
Considere os polinômios P(x) = x³ + 2x² - 3 e Q(x) = x² + x + 1. Calcule:
a) P(x) + Q(x)
b) P(x) - Q(x)
c) P(x) . Q(x)
c) Calculamos a soma adicionando os coeficientes de termos semelhantes:
P(x) + Q(x) = (x³ + 2x² - 3) + (x² + x + 1)
P(x) + Q(x) = x³ + 2x² - 3 + x² + x + 1
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P(x) + Q(x) = x³ + 3x² + x – 2
Observe que o grau da soma é igual ao grau maior entre os graus de P(x) e
Q(x), que nesse caso é o de P(x).
d) Calculamos a diferença subtraindo os coeficientes dos termos semelhantes:
P(x) - Q(x) = (x³ + 2x² - 3) - (x² + x + 1)
P(x) - Q(x) = x³ + 2x² - 3 - x² - x - 1
P(x) - Q(x) = x³ + x² - x – 4
e) Calculamos o produto de dois polinômios fazendo a multiplicação de cada termo
de um deles, por todos os termos do outro. Posteriormente, faremos a adição dos
resultados:
P(x) . Q(x) = (x³ + 2x² - 3) . (x² + x + 1)
P(x) . Q(x) = x³. x² + x³ . x + x³ . 1 + 2x² . x² + 2x² . x + 2x² . 1 + (-3) . (x²) +
(-3) . (x) + (-3) . 1
P(x) . Q(x) = x5 + x4 + x³ + 2x4 + 2x³ + 2x² - 3x² - 3x – 3
P(x) . Q(x) = x5 + 3 x4 + 3x³ - x² - 3x - 3
Após mostrar os exemplos acima, apliquei alguns exercícios, anotados também
na lousa, para que eles pudessem praticar as operações explicadas: questões 20 (a e c),
21 (letras a e b) e 22 da página 187 e o exercício 23 e 24 (letra b) da página 188 do livro
Matemática aula por aula (adotado pela escola). Em seguida auxiliei alguns alunos em
suas carteiras, tirando algumas dúvidas. A professora orientadora do estágio, que
também estava presente na sala, também os auxiliou.
Na resolução das questões, a atividade 21 os alunos entenderam tranquilamente,
pois deveriam apenas identificar o grau maior após resolver as operações pedidas. A
questão 22 foi um pouco mais trabalhosa e os alunos não conseguiram resolver à
princípio. Então expliquei aos alunos que na questão 22 eles deveriam resolver as
operações iniciais, depois agrupar os termos semelhantes, para em seguida estabelecer a
correspondência entre os termos que estão acompanhados com o mesmo termo
semelhante de um lado da igualdade com o termo que tiver do outro lado o mesmo
termo semelhante. Ao resolver no quadro para que eles pudessem entender melhor
foram feitos os seguintes procedimentos:
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A questão 24 foi bem semelhante com 21, na qual após fazer as operações devidas
deveriam identificar o grau, não apresentando grandes dificuldades. As correções destes
exercícios foram feitas na aula seguinte, que aconteceu no dia 16 de maio de 2011. Ao
iniciar a aula dei o visto nas atividades, enquanto isso eles abriam os cadernos. A seguir,
fiz a correção das atividades na lousa. Em relação à aula prevista em plano utilizando
recortes, houve uma mudança e pretendo realiza-la futuramente juntamente com a
divisão com os recortes, caso “o calendário permita”.
No dia 17 de maio a aula teve início por volta das 7h:30min. Neste dia, durante
o primeiro horário apliquei um questionário socioeconômico (em anexo nas páginas
140, 141 e 142) a fim de conhecer um pouco mais sobre o perfil dos alunos, com os
quais estamos preparando nossas aulas. A princípio, como de costume, por ser o
primeiro horário, nem todos estavam presentes, mas com o passar do tempo foram
chegando e começando a responder o questionário. Ao recebê-lo, alguns deles
questionaram se seria preciso se identificar. Outra dúvida foi: se nenhuma das opções ali
contidas para cada questão não se enquadrasse em suas respostas, o que fazer? Então eu
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lhes disse que se eles se sentissem à vontade para se identificar, seria bom, mas, se não
fosse o caso, deixassem sem preencher. Em relação à outra dúvida mencionada, eu disse
que poderiam escrever a opção que não estivesse ali, por exemplo: se seus pais têm
nível superior completo e a opção não estiver aí, coloque logo abaixo. Enquanto
respondiam as questões os alunos tem o hábito de comentar as respostas entre eles, um
deles, por exemplo, disse não ter o costume de ler livros, outro aluno comentou que em
relação ao acesso à internet, só Google e Orkut.
Pouco depois do fim do segundo horário, quando todos já haviam me devolvido
o questionário socioeconômico, abordei o conteúdo Identidade de polinômios. A
princípio, utilizando a lousa, fiz as devidas anotações e apresentei aos alunos sob quais
condições um polinômio era dito nulo, seguido de exemplos, e sob quais condições dois
polinômios são considerados idênticos, mostrando também alguns exemplos, seguindo a
risca o plano de aula.
Os alunos aparentaram entender o conteúdo, não demonstrando dificuldades.
Para complementar a aula e verificar se, de fato, os alunos entenderam como se dá a
identidade de polinômios, apliquei os exercícios 11, 12, 14, e 18 da página 185 do livro
adotado pela escola, fazendo as correções antes do fim da aula, que veio ocorrer as
9h00min.
No dia 23 de maio, cheguei ao colégio por volta das 7h20min. Ao entrar na sala
percebi que a maioria dos alunos ainda não havia chegado, talvez devido ao frio e à
garoa que estava fazendo nesta manhã. Aguardei alguns instantes para ver se chegavam
mais alguns alunos, que aos poucos foram chegando. Minutos depois, tivemos a visita
também de minha orientadora do Estágio Supervisionado II, professora Roberta
Bortoloti.
Para dar início à aula perguntei a eles se haviam feito as atividades deixadas na
aula anterior como dever de casa. Infelizmente minoria havia feito, então dei o visto,
como de costume, nos cadernos dos que fizeram o solicitado. Neste momento, a
professora Roberta se pronunciou com uma breve conversa com os alunos, os chamando
a atenção para a série que estava nesta semana sendo apresentada no Jornal Nacional
que retrata a situação da nossa educação no Brasil, citando que no balanço das
reportagens o especialista em educação apontou o não cumprimento do dever de casa
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como um dos fatores que influencia diretamente no rendimento do aluno. Entre outras
coisas, a professora citou ainda que é preciso estudar para ter uma condição de vida
melhor, dando o seu depoimento, falando um pouco de sua história de vida, vindo
também de uma escola pública, lutou, conseguiu passar no vestibular, se graduou, pós
graduou, sempre com muito esforço, trabalhando inclusive durante este processo, e hoje
como exemplo, se encontra em uma condição de vida melhor que alguns colegas de sua
cidade natal. E que desta forma os alunos deveriam começar por fazer a diferença
pensando no “dia de amanhã”. Após estas palavras, os alunos permaneceram em
silêncio, pois sabiam que estavam errados, então dei mais alguns minutos para que
tentassem fazer as atividades e em seguida fiz as seguintes correções das questões 11,
14 e 18, conforme abaixo:
11- Determine a, b e c para que o polinômio P(x) = (a – 8)x³ + (5b – 15)x² + cx, seja
identicamente nulo.
Solução: expliquei-os que para que um polinômio seja nulo, temos que:
a – 8 = 0 → a = 8, 5b – 15 = 0 → 5b = 15 → b= 15/5 →b = 3 e c = 0
logo a = 8, b = 3 e c = 0.
14- Calcule a e b, de modo que os polinômios P(x) =(2a – 6)x³ + (3b – 4)x² e Q(x) = x³
+3x² sejam idênticos.
Solução: inicialmente os relembres que; se um polinômio é idêntico ao outro então,
cada termo correspondente, isto é os termos semelhantes entre os monômios de P(x) e
os monômios de Q(x) são equivalentes, isto é:
2a – 6 = 1 → 2a = 7 → a = 7/2
e
3b – 4 = 3 → 3b = 7 → b = 7/3
18 - (OSEC-SP) Sejam os polinômios
F(x) = ax² - 2x + 1, g(x) = x + 2 e h(x) = x³ + bx² - 3x + c, os valores de a, b e c, tais que
f .g = h são, respectivamente:
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a) -1; 2 e 0
b) 0; 1 e 2
c) 1; -1 e 2
d) 1; 0 e 2
e) 2; -1 e 0
Solução: para iniciar, eu disse aos alunos que a questão nos dá o seguinte dado:
f . g = h, donde segue que: (ax² - 2x + 1) . (x + 2) = (x³ + bx² - 3x + c)
Logo,
ax³ + 2ax² - 2x² - 4x + x + 2 = x³ + bx² - 3x + c
Operando entre os termos semelhantes, temos:
ax³ + (2a - 2)x² - 3x + 2 = x³ + bx² - 3x + c, donde fazendo a correspondência
entre os termos semelhantes resulta, que:
a = 1,
2a – 2 = b, como a =1, isso implica que b = 0
ec=2
Assim, a alternativa correta é a opção (d). A aula teve fim com esta correção
por volta das 8h:10min.
No dia 24 de maio, dei início à “divisão de polinômios”. Inicialmente, como
previsto em plano de aula, os relembrei como se dá a divisão entre números inteiros:
Dividir um número inteiro a por outro inteiro b (b ≠ 0) consiste em encontrar dois
inteiros q e r, com o ≤ r < d, tal que:
→
a=q.b+r
Donde,
a = dividendo, b = divisor, q = quociente e r = resto.
Em seguida mostrei um exemplo prático, uma vez que os alunos questionaram estar
entendendo, mas que a visualização é melhor quando se tem um exemplo numérico,
pois, segundo eles, “quando coloca letra complica tudo”.
Veja:
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Segue então, que: 7 = 3 . 2 + 1.
A partir deste exemplo, expliquei aos alunos que com polinômios podemos realizar
também a divisão seguindo um procedimento bem similar através do MÉTODO DA
CHAVE, expondo-o:
Efetuar a divisão do polinômio A(x) pelo polinômio B(x), com B(x) ≠ 0, é determinar
dois polinômios Q(x) e R(x) que satisfaçam as seguintes condições:
A(x) = Q(x) . B(x) + R(x) em que:
A(x) = dividendo, B(x) = divisor, Q(x) = quociente e R(x) = resto
Indicando na chave, temos:
Em seguida, mudando um pouco o previsto em plano de aula, comecei mostrando a
divisão de A(x) por B(x) através de um exemplo:
Sendo A(x) = 6x³ - 2x + 1 e B(x) = x² + x, temos:
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Vale lembrar que, ao explicar os procedimentos acima, os alunos sentiram
dificuldades em acompanhar a mecânica deste método, tendo repetido e explicado cerca
de duas ou três vezes os passos. Fazendo durante a explicação algumas observações:
- O grau de Q(x) é igual à diferença dos graus de A(x) e de B(x).
- O grau do resto R(x) para R(x) não nulo será sempre menor que o grau do divisor
B(x).
- Se a divisão é exata, o resto R(x) é nulo, ou seja, o polinômio A(x) é divisível pelo
polinômio B(x).
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Repetindo, falei novamente que para efetuar a divisão, usando o método
da chave, convém seguir os seguintes passos:
4. Escrever os polinômios (dividendo e divisor) em ordem decrescente dos seus
expoentes, e completa-los, quando necessário, com termos de coeficiente zero.
5. Dividir o termo de maior grau do dividendo pelo de maior grau do divisor, o
resultado será um termo do quociente.
6. Multiplicar o termo obtido no passo 2 pelo divisor e subtrair esse produto do
dividendo.
- Se o grau da diferença for menor do que o grau do divisor, a diferença
será o resto da divisão e a divisão termina aqui.
- Caso contrário, retoma-se o passo 2, considerando a diferença como um
novo dividendo.
A seguir eles pediram que eu fizesse mais alguns exemplos para que eles pudessem
entender melhor. Assim, fiz mais um exemplo para eles:
Exemplo: Determinar o quociente de A(x) = x³ + 4x² + x – 6 por B(x) = x + 2.
Solução: sendo Q(x) o quociente de A(x) por B(x) e R(x) o resto:
Gr(Q) = gr(A) – gr(B) = 2
Como gr(R) < gr(B) = 1, então gr(R) = 0 ou R(x) = 0.
x³ + 4x² + x – 6
x+2
-x³- 2x² + x - 6
x² + 2x - 3→ quociente: Q(x)
2x² + x - 6
-2x² - 4x
-3x - 6
+3x + 6
Resto:R(x) = 0
Verificamos, facilmente que: A(x) = B(x).Q(x) + r(x):
x³ + 4x² + x – 6 ≡ (x + 2)(x² + 2x – 3) + 0
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Após explicar os procedimentos de divisão entre polinômios através do Método
da Chave, apresentei aos alunos o Teorema do resto e o Teorema de D’Alembert. E
explicando que, em alguns casos, a depender de qual elemento de um polinômio
queiramos encontrar, convém utilizar destes métodos, caso se desconheça ou por
motivos quaisquer não se queira utilizar outro método.
Teorema do resto
O resto da divisão de um polinômio P(x) por um binômio (x – a) é o próprio valor
numérico do polinômio para x = a, que indicamos por P(a).
De acordo com a definição de divisão, temos:
P(x) = (x – a) . Q(x) + R(x), onde R(x) = K (constante), pois gr(x - a) = 1
P(a) = (a – a) . Q(a) + k → P(a) = K
Logo: R(x) = P(a)
Exemplo 1
Podemos determinar o resto da divisão de f(x) = 3x4 – x³ + 2 por g(x) = x – 1 sem
efetuar a divisão. Basta notar que:
- A raiz do divisor é x – 1 = 0 → x = 1.
- Pelo teorema do resto, temos que: r = f(1), isto é, r = 3 . 14 – 1³ + 2 = 4.
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Exemplo 2
Da mesma forma que no exemplo anterior, para determinar o resto da divisão de P(x) =
x5 – x3 + 2 por h(x) = x + 3, fazemos:
- A raiz de h(x) é x + 3 = 0 → x = -3.
- Utilizando o teorema do resto, vem: r = p(-3) = (-3)5 – (-3)3 + 2 = -243 – (-27)
+ 2 = -214.
Teorema de D’Alembert
A divisão de um polinômio P(x) por um binômio (x – a) é exata se, e somente se, P(a) =0.
Pelo teorema do resto, temos que R(x) = P(a).
Se a divisão é exata e R(x) = 0, então P(a) = 0.
Se P(a) = 0, então R(x) = 0, logo a divisão é exata.
Exemplo 1
A divisão do polinômio P(x) = x³ + x² - 11x + 10 pelo binômio (x – 2) é exata, pois:
P(2) = 2³ + 2² - 11 . 2 + 10
P(2) = 8 + 4 - 22 + 10
P(2) = 0
Ao fim da segunda aula de matemática da manhã do dia 24 de maio, o professor
regente Enoque Alves de Matos, apareceu na turma para entregar as avaliações e
resultado final, referente à unidade I. Ao começar a entrega, percebi que a expressão no
rosto de grande parte dos alunos não foi das melhores. Uma aluna comentou: “é... tenho
que aproveitar para tirar 10 agora com você professora por que III e IV unidades é Ele
de novo!”, vale ressaltar, que este comentário partiu daquela aluna que durante minhas
observações, relatado anteriormente na fase de observação, teve um desentendimento
com o professor. Ao concluir a entrega, o professor deixou as avaliações dos alunos que
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não estavam presentes com o líder da turma, e assim, foi concluída a aula do dia 24, às
9h50min. A meu ver, no dia em que se entrega um resultado de uma avaliação para a
turma é interessante que o professor faça um breve comentário sobre o desempenho dos
alunos na avaliação, sucedida pela correção da prova na lousa.
No dia 30 de maio de 2011, dei continuidade aos métodos utilizados para divisão
de polinômios, explicando como funciona o Dispositivo Prático de Briot-Ruffini e
fazendo os dois exercícios sobre este método, conforme plano de aula. Em seguida,
apliquei os exercícios previstos, também em plano, e disse, que: “de nada adiantaria eles
terem observado e anotado os procedimentos apresentados no caderno se ao chegar em
suas casas não fizessem as atividades. Pois, o conhecimento, a aprendizagem, é algo que
se constrói individualmente. O professor é apenas um intermediador, que tenta facilitar
a escrita dos livros, prepara uma aula mais acessível e tenta contribuir para que a
aprendizagem ocorra.” É preciso que o aluno exercite, fazendo as atividades propostas,
tentando resolver problemas, quando possível, para que as teorias possam ser colocadas
em prática.
No dia 31 de maio de 2011 não houve aula, pois houve paralisação das
atividades na Bahia por parte dos professores da rede pública. Assim o teste que
havíamos marcado para este dia ficou adiado para a aula seguinte, que aconteceu no dia
06 de junho de 2011, no primeiro horário. Como o tempo era pouco, a pedido dos
próprios alunos, e em seguida por mim, o professor da aula seguinte (Professor de
Química), concordou em ceder o horário, que teve fim às 9h00min. No decorrer da
avaliação os alunos fizeram algumas perguntas sobre algumas questões, as quais fiz a
leitura e expliquei o que era para fazer em cada questão.
No dia 07 de junho foi feita a correção dos exercícios que haviam ficado por
fazer na aula do dia 30 de maio. Não foram resolvidos todos, pois eram 12 exercícios,
então nos exercícios que tinham letras a e b ou c, corrigi apenas uma de cada. Dizer que
não houve dificuldades creio que seria omitir os fatos, pois sempre têm na turma
aqueles que entendem quando o professor explica, mas na hora de fazer sentem
dificuldades. Segue abaixo, algumas das correções:
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Questão 28:
Esta questão foi resolvida de forma clara e é semelhante às questões 50, 51 e 52
(nesta porém, após achar os valores finais, a questão pede a soma desses valores). Em
todas envolvem a questão da divisibilidade, cujo resto de um polinômio divisível por
outro deixa resto igual à zero.
Questão 33:
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Questão 34:
Na questão 54 era só pra resolver utilizando o método conveniente, e encontrar o
resto. De modo geral os alunos resolveram os exercícios, apresentando facilidade em
resolver alguns, mais dificuldades em resolver outros. Enfim, finalizamos a aula do dia
07 de junho, com o fim do horário da aula. Foi uma aula produtiva, pois ao resolver os
exercícios os alunos vão amadurecendo as ideias, adquirindo habilidades, conhecendo
as estratégias de resolução dos exercícios, fixando melhor o conteúdo e tirando as
eventuais dúvidas.
Nos dias 13 e 14 de junho, a pedido dos alunos fiz uma breve revisão sobre os
métodos utilizados para divisão de polinômios. No dia 14, entreguei também o teste que
eles haviam feito, fazendo sua respectiva correção no quadro. No geral, a maior dos
dificuldade dos alunos foi em relação à questão 3. A maioria não conseguiu encontrar os
valores pedidos, para que o grau do polinômio fosse zero. No mais, tiveram um
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desempenho melhor nas outras questões (1, 2, 4 e 5). Os resultados não foram
excelentes, mas a maioria obteve uma pontuação acima de 50% em relação às notas, o
que já considero satisfatório.
No dia 15 de junho aconteceu uma oficina sobre Análise Combinatória. Foi
realizada no laboratório de matemática na UESB, um ambiente tranquilo, ideal para os
alunos desenvolverem as atividades e também uma oportunidade dos alunos estarem
conhecendo um pouco da estrutura física da Universidade. A oficina teve início por
volta das 8h:20min e terminou por volta das 11h:30min. Estava presente a minha
professora orientadora do estágio Roberta e a minha colega Maria das Graças, que me
ajudaram na realização da oficina.
Para dar início às atividades da oficina, convidei para ir até o centro da sala três
meninos e três meninas, pois não havia muitos homens na sala, então fizemos uma
adaptação para realizar o problema 1. Em seguida, pedi que três deles permanecessem
para realizar o problema 2. Ao realizar as atividades os alunos participaram, se sentiram
à vontade e, ao que percebi, entenderam os problemas abordados. Logo depois, solicitei
que os alunos se organizassem em grupos de 4 ou 5 pessoas para que pudéssemos
resolver os demais problemas (ver fotos no anexo 2).
Em seguida entreguei um roteiro de problemas (são os problemas contidos no
projeto de ensino, primeira etapa: do 1 ao 8, visto anteriormente) para que eles
pudessem resolver. Os alunos se mostraram muito empenhados em encontrar as
soluções de cada problema.
Para o problema 3 entregamos as letras da palavra amor em material
emborrachado para que eles encontrassem as possibilidades diferentes de arrumações
dessas letras. A princípio eles começaram fazendo de uma em uma, contando cada
arrumação diferente. Em seguida falei para eles se lembrarem dos problemas anteriores,
que seria mais fácil usar o princípio multiplicativo.
Desta forma eles fizeram:
poderíamos começar as arrumações com: 4 possibilidades para a segunda letra, ficaria 3
possibilidades para a terceira letra, 2 possibilidades para a terceira letra e para a quarta
letra apenas 1 possibilidade, desta forma utilizando o princípio multiplicativo: 4 x 3x 2
x 1 = 24 formas diferente de arrumações das letras da palavra AMOR.
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Após os alunos entenderem a forma de resolução desta palavra entregamos mais
uma letra: a letra A. assim, eles construíram a apalavra AMORA. Ao tentar resolver eles
perceberam que tinha duas letras A e que elas sendo iguais ao trocar uma pela outra não
alterava o sentido da palavra. Então explicamos que quando há letras iguais a estratégia
é contar essas possibilidades, mas depois eliminá-las. Isto é, seguindo o procedimento
anterior: como são 5 letras, 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 5! Como duas letras se repetem: 2 x 1 =
2! Assim os alunos devem fazer 5! / 2! = 120/2 = 60 formas diferentes de arrumar as
letras da palavra amora.
Para resolver o problema 5 entregamos uma bandeira e as faixas em cores
diferentes conforme as fotos 3,4 e 5 em no anexo 2. Os alunos demoraram bastante para
tentar resolver o problema, “quebraram a cabeça” e os grupos não conseguiram resolver.
Com algumas dicas e sugestões acabamos explicando que era a mesma estratégia das
outras questões: como não poderia repetir cor o procedimento foi o seguinte:
- primeira listra: 3 opções de cores;
- segunda listra: não poderia repetir a cor escolhida para a primeira listra, então 2 opções
de cores;
- terceira listra: não poderia repetir a cor escolhida para a segunda listra, então 2 opções
de cores;
- Quarta listra: não poderia repetir a cor escolhida para a terceira listra, então 2 opções
de cores;
- Quinta listra: não poderia repetir a cor escolhida para a quarta listra, então 2 opções de
cores;
- sexta listra: não poderia repetir a cor escolhida para a quinta listra, então 2 opções de
cores;
Usando o princípio multiplicativo, 3 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 96 possibilidades diferentes de
pintar a bandeira.
Para o problema 6 entregamos os algarismos e uma placa conforme foto 1 do
anexo 2. Para o problema 7 entregamos os carrinhos e a pista, conforme foto 8 no anexo
2 e para o problema 8 foram entregues frutas para um dos grupos que já haviam
terminado as outras atividades, eles não conseguiram resolver o problema 8. Como a
estratégia fugia um pouco da estratégia de resolução das outras atividades, achamos
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melhor não entrega-la aos outros grupos, pois a questão não foi muito bem trabalhada a
meu ver. Achei melhor não entrega-la aos outros grupos.
Por volta das 10h:00min fizemos uma pausa pra um breve lanche. Nesse
momento os alunos aproveitaram para dar uma “circulada” pela UESB e conhecer um
pouco mais a Universidade. Por volta das 10h:30min retomamos as atividades, e
realizamos a 2ª etapa da oficina, composta pelas perguntas de 9 a 12, conforme previsto
em projeto de ensino. Antes, porém, apresentamos uma vídeo-aula de número 51 do
novo telecurso para os alunos estarem aprendendo outras técnicas de agrupamento.
Para cada problema da segunda etapa, assim como anteriormente, foi entregue os
materiais para os alunos estarem tentando resolver os problemas. Ao fim da oficina
houve uma conversa com os alunos, deixei minhas considerações acerca da experiência
na sala deles e os sugeri que estudassem, pois nós só nos veríamos novamente na
semana de provas. A professora orientadora do estágio os perguntou se a experiência
manipulando aqueles materiais tinha sido válida, eles confirmaram que sim, que tinha
sido muito bom. Para mm foi uma experiência interessante, acho que dá para melhorar
um pouco mais em relação aos problemas da segunda etapa.
A oficina de analise combinatória através de resolução de situações-problemas
representou um momento diferente, para eles e para mim, no qual foi bem proveitoso.
Após ter feito esta oficina, aproveitei este material inclusive, adaptando para trabalhar
com meus alunos de 6ª série com probleminhas mais simples. Eles adoraram, ficaram
super felizes ao resolver os probleminhas em sala de aula. Pude perceber que a
resolução de problemas utilizando materiais concretos pelos alunos, foi atrativo,
dinâmico, despertou a curiosidade e vontade de descobrir a forma de resolver e achar a
resposta certa, despertando o gosto pela matemática, dinamizando a aula e promovendo
de forma prazerosa o aprendizado.
Entre 11 e 15 de julho aconteceu a semana de provas do CIENB, referente a
segunda unidade, no dia 12 estive na Instituição entre
as 8h:00min e 10h:00min
fiscalizando as avaliações de Inglês, Redação e Língua portuguesa, que foi tranquilo,
sem maiores transtornos. Quanto a avaliação de matemática foi aplicada no dia 13 sob a
fiscalização de outro professor.
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No dia 18 de julho, por volta das antes de entregar ás avaliações ao professor,
10h:00min cheguei ao CIENB para entregar as avaliações aos alunos. Antes, porém,
fiquei na sala dos professores passando as notas do teste e da prova para a caderneta,
com o respectivo fechamento de notas da unidade. gostaria de ter feito uma análise com
notas da unidade II em relação as notas da unidade I, no entanto não foi possível pois o
professor ainda não as tinha passado para a caderneta de notas. Ficou de me mandar por
e-mail, no entanto também não o fez. A seguir, como os alunos estavam em aula de
outra disciplina, entreguei as avaliações ao professor regente, com quem conversei
sobre os resultados. A maioria (19) atingiu nota satisfatória. Acredito que o resultado
poderia ter sido melhor, mas como os alunos passaram cerca de um mês em recesso e
retornaram já para fazer as provas, arrisco um palpite de que eles não estudaram tanto
nas férias.
No dia 11 de agosto aconteceu o conselho de classe da segunda unidade. Por
volta das 8h:20min os professores se reuniram por turmas para dar início as atividades.
Alguns professores que trabalhavam em mais de uma série ficaram alternando entre
salas. Na reunião estavam presentes também os líderes de classe do 3º ano, turmas B e
C, infelizmente não estavam presentes os líderes dos demais terceiros anos. A princípio
foi discutido sobre o comportamento dos alunos. Um dos líderes fez um depoimento
sobre a turma reconhecendo que o 3º B é uma turma difícil. Instantes depois, quando os
líderes já haviam se retirado da sala, foram citados alguns nomes de alunos para que
fossem chamados à atenção e houvesse uma conversa futuramente. Foi discutido de
modo geral, sobre o desempenho de todas as turmas, que foi considerado como bom. O
conselho de classe é sempre um momento em que o que mais se discute são sobre os
alunos que apresentaram “problemas”. Ao citar os nomes de alunos e os supostos
motivos que levaram eles a baixar o nível de desempenho, os professores demonstraram
conhecer bastante de seus alunos. Foi um momento interessante, no qual ficou definido,
inclusive, que os professores iriam chamar estes alunos para uma conversa particular.
Logo depois do conselho de classe, que teve fim por volta das 10h:30min,
aconteceu um “chá de fraldas” na sala dos professores. O motivo é que um dos
professores da instituição será papai em breve, e os colegas de trabalho fizeram uma
rápida entrega de fraldas, com direito a “comes e bebes”.
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ANÁLISE DO QUESTIONÁRIO SOCIO-ECONÔMICO
Para conhecer um pouco mais do perfil dos alunos do 3º “A” do CIENB, foi
aplicado no dia 17 de maio um questionário socioeconômico. Lembrando que eu já
estava regendo desde o dia 25 de abril de 2011. De acordo com os dados obtidos,
apresentaremos aqui uma análise geral da turma.
1 - IDENTIFICAÇÃO
No momento da aplicação do questionário socioeconômico, estavam presentes
na sala 25 alunos: 18 do sexo feminino e 7 do sexo masculino. Estes alunos tem em
média 17 anos, com exceção de uma aluna que tem 29 anos, a única que também é
casada, tem 1 filho e não mora com os pais.
Conforme gráfico 1 observa-se que a maioria dos alunos que responderam ao
questionário não mora no bairro Brasil, local onde está situado o CIENB, talvez este
seja um dos motivos para o atraso em relação ao primeiro horário de aula na segunda
feira (aula de matemática).
Gráfico 1: Números de alunos por bairro.
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2 - ESCOLARIDADE DOS PAIS
No gráfico 2 podemos observar o grau de escolaridade dos pais desses alunos.
Gráfico 2: grau de escolaridade dos pais.
GRAU DE ESCOLARIDADE DOS PAIS
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
ESCOLARIDADE DO PAI
ESCOLARIDADE DA MÃE
Nota-se que em relação a escolaridade do pai, a maioria deles não concluiu o
ensino fundamental até a 8ª série (antigo 1º grau). Em relação ao grau de escolaridade
da mãe, percebe-se que a maioria delas possui o ensino fundamental até a 8ª série
(antigo 1º grau) completo. Sabe-se que a baixa escolaridade pode implicar diretamente
na renda salarial das pessoas.
De acordo com o gráfico a seguir, podemos notar que a maioria das famílias
sobrevivem com valores entre 1 e 2 salários mínimos. Uma das possíveis causas desse
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fato pode estar relacionada com a baixa escolaridade dos pais desses alunos, conforme
visto no gráfico 2.
Gráfico 3: renda mensal da família.
Quanto os alunos que trabalham, vejamos algumas informações sobre eles no quadro 1:
Quadro 1: Atividade desenvolvida pelos alunos que trabalham
Aluno 1
Trabalha como gerente comercial, 6 hs diárias, tem carteira assinada e
contribui com as despesas do lar.
Aluno 2
Trabalha como atendente, 4 horas diárias, não possui carteira assinada e
não contribui com as despesas do lar.
Aluno 3
Trabalha com ornamentação de festas, não tem uma carga horária prédefinida, não possui carteira assinada e contribui com as despesas do lar.
Aluno 4
Trabalha como auxiliar de escritório (estagiária), num período de 4 horas
diárias, possui carteira de trabalho assinada e não contribui com as
despesas do lar.
Percebe-se que é um número pequeno de alunos que exerce alguma atividade
remunerada.
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Em relação a chegar atrasado ao primeiro horário, o fato de trabalhar não é uma
das causas, pois todos seguem de casa para a escola. Outra hipótese para responder ao
motivo do atraso talvez pudesse estar relacionada ao transporte que eles usam para
chegar à escola, pois a maioria, representada por um total de 13 entre os 25 alunos, vem
de ônibus. No entanto, destes 13 alunos, apenas 4 reconheceram que não conseguem
chegar para a primeira aula devido os horários do transporte coletivo.
Embora, posso testemunhar que esse número de ausência na primeira aula de
matemática nas segundas feiras é bem maior. Mas por ora não é possível afirmar nada
sobre o motivo destes atrasos.
Quando foi perguntado aos alunos o que eles mais gostam de fazer nas horas
vagas, infelizmente, notou-se que estudar não é a prioridade dos alunos. Veja que a
maioria respondeu que prefere assistir televisão e fazer outras coisas além das opções
dadas.
Quadro 2: Atividade preferida nas horas vagas.
ATIVIDADE PREFERIDA NAS HORAS VAGAS
NÚMERO DE
ALUNOS
Assistir televisão
9
Ir ao cinema
1
Ler um romance
1
Ler revista ou jornal
0
Estudar e fazer as atividades da escola
2
Outras atividades (internet: redes sociais, sites de programas de
12
tv, revistas eletrônicas e sair com amigos)
3 – ASPECTOS REFERENTES À ESCOLARIDADE
Os alunos do terceiro ano “A” com exceção de 2 alunos, passaram grande parte
da vida escolar em instituições públicas. Dos pesquisados, a maioria, que corresponde
um total de 16 alunos, já passou por pelo menos outras 3 escolas antes de estudar no
CIENB. Dos 25 alunos, 24 disseram que gostam do CIENB e citaram os principais
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pontos positivos e também alguns fatores que precisam ser melhorados na escola, como
veremos respectivamente nos quadros 3 e 4:
Quadro 3: Pontos positivos no CIENB.
PONTOS POSITIVOS
NÚMERO DE ALUNOS
Bom ensino ou bons professores
16
Escola organizada ou boa direção
6
Não há pontos positivos
1
Não responderam
2
Quadro 4: Pontos negativos no CIENB.
PONTOS NEGATIVOS
NÚMERO DE ALUNOS
Professores ruins
3
Aparelhos quebrados (televisores e ventiladores)
7
Excesso de carga horária e/ou pouco horário de intervalo
3
Desorganização da escola ou falhas relacionadas à direção
1
Indisciplina de alguns alunos
3
Precariedade relacionada à alimentação/lanchonete
3
Não responderam
4
Não há pontos negativos
1
4 – OUTROS ASPECTOS
Sabe-se que estudar é essencial na vida de uma pessoa. Através dos estudos
adquirimos uma formação, nos preparamos para o mercado de trabalho e
consequentemente podemos conseguir um emprego melhor, que nos estabilize
financeiramente. Na pesquisa com os alunos do terceiro ano, turma A, não foi diferente,
todos consideram importante estudar e o porquê não foge desta linha de raciocínio,
vejamos as justificativas dadas por eles no quadro 5:
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Quadro 5: Importância do estudo para o aluno.
1. Porque é importante estudar
Número de alunos
Arrumar um bom emprego/Ter uma vida
13
financeira estável/Ter um futuro melhor
Para adquirir conhecimento
6
Não justificaram
6
Quando perguntado aos alunos que tipo de livros eles gostam de ler, obtiveramse os seguintes resultados: 9 alunos responderam que não gostam de ler e 16 alunos
responderam da seguinte forma:
Quadro 6: Preferência por tipos de livros.
2. Tipo de livro que gosta
Exemplos
Número de alunos
de ler
Aventuras/suspense
A Bíblia
Romance
Não responderam
A moreninha, Eclipse,
2
5
6
lua nova, Romeu e
Julieta, Um sonho no
caroço de abacate, etc.
Culinária
Não responderam
1
Não gosta de ler livros, prefere
Não responderam
2
revistas ou sites de
informativos.
Obtivemos ainda os seguintes dados sobre os alunos que gostam de ler:
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Quadro 7: Quantidade de livros lidos por ano.
2.1.
Quantidade de livros lidos
Número de alunos
por ano
Um
2
Dois ou três
8
Mais de três
4
Não sabe dizer
2
Como podemos notar no quadro 7, 16 dos 25 alunos que responderam o
questionário socioeconômico, costumam ler ao menos um livro por ano. Ao ler
acabamos adquirindo conhecimento, melhorando inclusive, a escrita do português, a
interpretação e consequentemente isso vem a somar em relação à aprendizagem das
disciplinas no geral.
Achei interessante a gostaria de ressaltar aqui sobre o quesito 3 do item IV:
3. Fale um pouco mais sobre si mesmo, de sua personalidade, do que você gosta,
do que não gosta, suas expectativas de vida, etc.
Apenas 7 alunos falaram sobre suas expectativas de vida:
 Aluna A: “(...) me qualificar para o mercado de trabalho, conquistar minha
independência financeira, ajudar a família e conseguir ajudar meus pais a
reformar nossa casa”;
 Aluno B: “fazer faculdade, trabalhar e fazer novos cursos”;
 Aluna C: quer “crescer na vida profissional.”
 Aluno D: “(...) espero me formar.”
 Aluna E: “minha expectativa de vida é uma faculdade, um bom futuro e um bom
marido.”
 Aluno F: “(...) pretendo ser engenheiro civil.”
 Aluno G: “(...) o que eu quero... é engenharia civil vai ser minha
especialização.”
Em relação aos gostos escolares obtivemos as seguintes respostas:
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Quadro 8: Preferencia dos alunos em relação ás disciplinas.
4. Disciplina
que
os
Por que
Número de alunos
alunos mais gostam
Biologia
Educação física
Gosta de pesquisar.
1
Descontraída (1); exercita
4
o
corpo
(1);
não
responderam (2).
Física
Gosta de fazer cálculos (2);
2
Física e Matemática
Gosta de contas (2)
2
Filosofia
Não respondeu.
1
Ajuda conhecer mais a
literatura do nosso país (1);
voltado
para
nossa
linguagem (1); ajuda ver os
erros gramaticais (2); gosta
Literatura, Língua portuguesa, de
Inglês ou Redação
escrever
(2);
disciplinas
são
9
menos
complicadas(1); gosta de
saber como se escreve as
palavras(1);
aprender
é
uma
bom
língua
estrangeira (1);
Matemática
Por
que
é
divertido
2
dependendo do professor
(1); tira boas notas (1);
Não tem matéria preferida
1
Não respondeu
1
Química
Por que o professor é
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maneiro.
1
Todas
1
Podemos perceber no quadro acima que os alunos têm mais afinidade com as
disciplinas da área de letras pelos diversos motivos citados. As disciplinas da área de
letras foram agrupadas porque mesmo perguntando qual a disciplina os alunos mais
gostam eles responderam sempre citando duas ou três.
Em relação a disciplina que os alunos menos gostam, observamos no quadro
abaixo que a disciplina Física recebeu o maior número de indicações. Segundo a
maioria, é uma disciplina difícil, de cálculos complicados.
Quadro 9: Disciplina que os alunos não se identificam.
5. Disciplina que os
Por que
Número de alunos
alunos menos gostam
Tem que falar dos filósofos
Filosofia
(1);
1
Cálculos complicados (4);
não entende e não se
Física
8
identifica (2); difícil (1); é
chato (1);
Matemática e Física
Tem muitas contas (1);
difícil (2);
Matemática
3
Às vezes não consegue
entender (1); difícil (1);
História
Não
consegue
2
aprender
(1); não compreende (1);
2
Porque há muitas regras de
Língua portuguesa
escrita
que
acaba
1
confundindo (1);
Química
Sente dificuldade (1),
1
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Redação
Não gosta de fazer texto
(1);
1
-
2
Não há disciplina que o aluno
não gosta
Tem
que
apresentar
trabalhos na frente da sala
Sociologia
(1); não sabe o porquê não
4
gosta (1); não respondeu
(1); sem “atração” (1);
Apresentamos agora, dados da área de nosso maior interesse. Como estagiários
de matemática, as respostas dos alunos nos faz conhecer um pouco mais sobre o que
eles acham das aulas de matemática, sobre os estagiários e sobre as eventuais mudanças
que podem vir a serem feitas, segundo eles.
Quadro 10: opinião dos alunos sobre as aulas de Matemática.
6. O que você acha das aulas de
Número de alunos
matemática?
Boas ou ótimas (8); Boas, mas tenho
dificuldade em aprender (2); Boas, mas
deveria melhorar (1); Boas, mas deveria
mudar o professor
ou depende do
16
professor (2); Boas, pois a estagiária
explica muito bem (4).
Difíceis
1
Interessantes, mas não gosto de contas (1);
Interessante, mas cansativa (2)
Interessante (3);
6
Não respondeu
1
Como podemos perceber no quadro 10, a maioria dos alunos gosta das aulas de matemática.
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No entanto, fizeram algumas sugestões que seguem no quadro 11:
Quadro 11: sugestões para melhorias nas aulas de Matemática.
7.
Número O
que acha que deve ser feito para melhorar as aulas de de alunos
matemática?
Ajudar mais os alunos, dar mais explicações, mais exemplos.
3
Aulas práticas, como medir área de um campo, de um prédio, etc.
1
Dinâmicas, atividades em grupo.
3
Mudar o professor Enoque
3
Não respondeu
3
Não soube dizer
4
Trazer aulas mais voltadas para o vestibular.
1
Quando perguntado se os alunos gostam de estagiários fiquei surpresa com as
respostas, 100% responderam que sim e ao que parece, em alguns momentos das falas,
pelos pronomes usados, pela colocação verbal, deram a entender que relacionaram esta
pergunta com o que eles acharam de mim como estagiária. Vejamos as respostas dos
alunos:
Quadro 12: Justificativa por gostar de estagiários.
Por quê gostam de estagiários?
Numero de alunos
Não se diferenciam dos professores.
1
São legais, mente mais aberta e parece que
tornam o assunto mais fácil.
4
Passam muitas dicas.
1
São atenciosos e/ou ensinam bem
5
Aprendemos
juntos,
eles
são
mais
5
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próximos dos alunos.
Ela é mais paciente
3
Não responderam
3
Pegam mais leve que o professor
2
Para matemática a minha resposta é sim,
mas em outras matérias já teve casos em
1
que os estagiários não explicam bem.
A seguir, no quadro 13, veremos o que os alunos pensam sobre como deve se
comportar um estagiário em sala de aula.
Quadro 13: Comportamento esperado dos estagiários pelos alunos.
9. Que comportamento você espera do
Número de alunos
estagiário em sala de aula?
Atitude de um professor
6
Competente e esforçado
4
Depende da matéria
1
Explique bem, tenha diálogo com a turma
e mantenha a autoridade.
6
Momentos de seriedade e momentos
descontraídos
2
Mudar a maneira de dar aula
1
Não respondeu
3
Paciente e/ou compreensivo.
2
Refletindo sobre o que os alunos disseram, faço aqui uma análise sobre mim
durante o tempo que estive como estagiária na turma do 3º A. Penso que me
comprometi, me esforcei, expliquei da melhor forma que pude, repetindo quando
necessário as explicações, auxiliei individualmente muitas vezes quando me solicitaram,
tivemos um diálogo bem legal, por vezes tivemos momentos bem descontraídos, mas
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também momentos sérios onde foi preciso chamar a tenção da turma para colaborar
com a aula, e sobretudo fui paciente, sempre. Fiz o que foi possível naquele momento.
Supondo que os alunos fossem professores de matemática, perguntamos a eles
como eles ensinariam. Vejamos o que eles disseram:
Quadro 14: Como os alunos ensinariam se fossem professores de Matemática.
10. Se você fosse professor (a) de
Número de alunos
Matemática como ensinaria aos alunos?
Com atividades divertidas de vez em
quando.
Depende da série.
2
Explicaria de forma clara.
11
Faria campeonatos de matemática com
1
1
prêmios para aqueles que ganharem.
Mostraria a importância da matemática.
1
Não respondeu
4
Não sei, não seria professor.
3
Não souberam responder.
2
Pelo que se pode perceber no quadro 14, a maioria explicaria o conteúdo de
forma clara, que seja acessível ao aluno, proporcionando um fácil entendimento. Creio
que isso seja o objetivo de qualquer professor, não só de matemática como de qualquer
outra disciplina.
Na pergunta seguinte, eles revelaram sobre seus planos em relação à
universidade. Como se pode verificar no quadro abaixo, a maior parte dos alunos
pretende seguir com os estudos.
Quadro 15: Expectativa em ingressar na Universidade.
11. Pretende ingressar na Número de alunos
Por quê
universidade?
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Porque quero ter uma
profissão (4); é preciso
Sim
20
estudar
para
viver
melhor
(5);
quero
alcançar minhas metas
(2); aprofundar meus
conhecimentos (5);
Não respondeu (4);
Não gosto de estudar
Não
2
(1); por enquanto não
me sinto preparada (1);
Está em dúvida
1
Não respondeu
2
Não respondeu (1)
Quadro 16: Curso Universitário pretendido pelos alunos.
12. Se pudesse ingressar na Por quê?
universidade,
vestibular,
sem
que
Número de alunos
fazer
curso
escolheria?
Administração
Gosto de administrar (1);
2
não respondeu (1);
Direito
A profissão tem certas
vantagens,
concursos
bons
(1);
tenho
3
interesse na área (1);
quero ser juíza (1);
Enfermagem
Profissão bonita, simples
e que ajuda os outros (1);
não respondeu o porquê
2
(1).
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Engenharia da computação
Não respondeu.
1
Engenharia civil
É o que mais quero pro
meu futuro (1); gosto da
4
área (3);
Medicina
Gosto
de
ajudar
os
1
outros (1).
Nutrição
Afinidade
2
Odontologia
Em minha opinião, é
1
bem remunerado.
Não sabem ainda
7
Não responderam
2
Psicologia
É uma boa profissão.
1
Nota-se no quadro 16, que 17 dos alunos têm em mente para que curso seguir
uma carreira profissional, e outros ainda não se decidiram. Percebi também que os
alunos que pretendem fazer engenharia civil tem muita afinidade com as disciplinas de
cálculos, enquanto os que optaram por direito preferem a área de letras. As demais
profissões não houve uma relação entre disciplina que gosta e curso.
No quadro 17, pôde se estabelecer uma relação com a pergunta do quadro 2.
Neste, eles responderam que preferem outras atividades nas horas vagas, que ao que
consta seria uma delas, acessar a internet, pois a maioria acessa diariamente.
Quadro 17: Acessibilidade à internet.
13. Você costuma acessar a internet?
Número de alunos
Não.
2
Sim, diariamente.
15
Sim, semanalmente.
7
Sim, mas raramente.
1
Quadro 17.
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No quadro 18, percebemos que o acesso se dá principalmente a sites de entretenimento,
de pesquisa e principalmente à redes sociais.
Quadro 18: Sites mais acessados pelos alunos.
14. Caso sua resposta anterior seja sim, Número de alunos
quais sites você acessa com frequência?
Redes sociais (Orkut, msn, face book,
twiter, etc.), sites de busca e/ou sites de
17
entretenimento.
Sites informativos
Sites
de
2
universidades
ou
de
pré-
4
vestibulares.
Não respondeu
2
O fato dos alunos optarem por outras atividades nas horas vagas, pode
influenciar diretamente no rendimento escolar, pois muitas vezes os alunos deixam de
estudar para ficar usando o computador para fins que fogem da linha de estudos. A
maioria afirma que estuda apenas de uma a duas horas por semana, excluindo as horas
em sala de aula, o que representa um número pequeno de horas, pois são em média 10
disciplinas que eles têm e isto representa uma média de (no máximo) 12 minutos para
cada disciplina.
Quadro 19: Dedicação semanal aos estudos, com exceção as horas em sala de aula.
15.
Quantas
horas
aproximadamente,
por
você
semana, Número de alunos
dedica
aos
estudos, excluindo as horas em sala de
aula?
Nenhuma, apenas assisto às aulas.
1
Uma a duas.
10
Duas a três.
4
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Três a cinco.
2
Só estudo em véspera de prova.
8
O reflexo da falta de estudos pode ser visto nos resultados da turma na avaliação
de matemática que segue na página seguinte.
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QUADRO DE NOTAS DA UNIDADE II
TURMA: 3º A
Alunos (Os nomes foram
preservados)
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
35.
36.
Teste
(3,0)
2,5
fv
2,1
2,5
2,3
1,8
0,5
fv
2,4
1,2
1,5
0,5
fv
1,0
1,1
1,8
1,2
1,6
2,8
1,0
2,3
3,0
1,5
1,0
2,5
fv
fv
1,8
1,5
1,1
1,0
2,0
1,6
0,5
2,0
2,0
1,5
Prova
(6,0)
1
fv
1,9
2,8
1,3
1
fv
fv
1
1,5
1
fv
2,0
1,0
1,2
1,0
2,0
2,4
1
1
1,5
1
1,0
2,5
fv
fv
1,2
2,0
1
fv
1
1,7
1
2
1,0
1,2
2ª UNIDADE
Vistos Projeto (1,0) (1,0)
extra
Média
1
1
5,5
fv
fv
Fv
1
fv
5
Transferido para o noturno
1
1
7,1
1
1
5,1
1
1
3,5
fv
fv
Fv
fv
fv
2,4
1
1
4,2
1,0
1,0
5
1,0
1,0
3,5
fv
fv
Fv
1
1
5
1
fv
3,1
1,0
1,0
5
1,0
1,0
4,2
1,0
1,0
5,6
1,0
fv
6,2
1,0
1,0
4
1,0
1,0
5,3
1,0
fv
5,5
1,0
fv
3,5
1,0
1,0
4
1,0
1,0
7
fv
fv
Fv
fv
fv
Fv
1
1,0
5
1
1,0
5,5
1,0
fv
3,1
1,0
fv
2
1,0
1
5
1,0
1
5,3
1,0
fv
2,5
1,0
1,0
6
1,0
1,0
1,0
fv
5
3,7
145
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37.
38.
fv
2,1
fv
3,2
fv
1,0
Aprovados: 19
Transferido: 1
Reprovados: 13
Desistentes ao longo da I unidade: 6
fv
fv
Fv
6,3
Como se pode notar a maioria dos alunos obteve uma nota acima da média. Dos
que não alcançaram a média 5,0 da escola na disciplina de matemática, que foi um total
de 13 alunos, um dos motivos foi o não cumprimento de todas as atividades propostas,
isto é faltaram verificação (fv). Sendo assim, não foi o resultado desejado, pois acho que
poderiam ter se saído melhor na prova, mas considero satisfatórios os resultados.
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CONCLUSÃO
A realização deste estágio foi de grande importância para mim, foi uma
experiência muito boa trabalhar com alunos de 3º ano. A sala na qual estagiei era
composta por 38 alunos, frequentada por 32, não é uma das melhores em relação a
desempenho, mas com certeza em simpatia, eles são. Como costuma acontecer, no 3º A
há alunos dedicados aos estudos e outros que nem tanto, simplesmente querem concluir
e nada mais.
A maior dificuldade que tive foi em relação a que tipo de metodologia usar para
trabalhar com polinômios, pois não há nada de muito novo ou de interessante em
relação a este conteúdo. Até mesmo encontrar problemas relacionados, foi algo difícil,
os livros trazem uma abordagem bem “seca” de forma que explica apenas as operações
e os métodos, não aprofundando na parte de aplicações.
A realização do trabalho com Análise combinatória, através de resolução de
problemas utilizando materiais palpáveis, foi muito enriquecedora e interessante.
Percebi que os alunos gostaram, eu também gostei e o objetivo de conduzir situações a
fim de promover aprendizagem, creio que foi atingido, pelo menos com a maioria dos
alunos.
As aulas que foram desenvolvidas sobre a disciplina estágio na UESB também
foram muito proveitosas. Discutimos teorias; compartilhamos as experiências de cada
colega durante o estágio; conhecemos os trabalhos desenvolvidos pelos colegas, que
apresentaram a forma com desenvolveram os projetos de ensino em suas turmas;
trabalhamos com aulas investigativas utilizando o computador; Enfim, foi de grande
valia e aprendizagem cada momento durante o Estágio Supervisionado III.
Estou consciente de que tentei fazer um bom trabalho dentro das circunstâncias.
Construí laços bem bacanas com alguns alunos e lembrarei com carinho da maioria
deles. Foi uma experiência única que vem a somar, podendo com base na vivência
obtida, tentar melhorar minhas próximas práticas pedagógicas. Sei que cada turma que
eu vier a ministrar a disciplina será uma nova aula mesmo que aplique o mesmo plano.
Estar em sala de aula exige dos professores constantemente estar aprendendo para/com
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as inúmeras situações que surgem e hão de surgir dentro do contexto do conteúdo, e
fora dele também.
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REFERÊNCIAS
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computador na construção do conceito de Taxa Média de Variação. Revista de
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ALMEIDA, Adriana Luziê de; FERREIRA, Ana Cristina. A Comunicação Matemática
como ferramenta para o ensino e a aprendizagem da Análise Combinatória no 2º ano do
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Disponível em:
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GIOVANI, José Ruy. BONJORNO, José Roberto. Vontade de saber matemática, vol.3.
Editora FTD, 1ª ed. São Paulo, 2001.
IEZZI, Gelson; DOLCE, Osvaldo; DEGENSZAJN, David; PÉRIGO, Roberto.
Matemática volume único: Ensino Médio, Editora Atual, São Paulo, 2007.
LIMA, Elon Lages. et. al. A matemática do Ensino Médio. Rio de Janeiro: Sociedade
Brasileira de Matemática, 1998.
NOVA Escola: Para professores do 1 grau. Ano X - n. 85, Junho, 1995, p. 22-25.
RAMOS, Agnelo Pires. et. al. Problemas matemáticos: caracterização, importância e
estratégias de resolução. São Paulo: IME- USP. 2001. Disponível em:
149
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www.esev.ipv.pt/.../mat450-2001242-seminario-8-resolucao_problemas.pdf. Acesso: 22
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VIERA, Fernanda Maria de Souza. Uma introdução á combinatória: Técnicas de
contagem Tese (Mestre em Matemática) – Universidade Portucalense, Porto, 2007.
Disponível em:
www.diaadiaeducacao.pr.gov.br/diaadia/diadia/modules/.../visit.php?cid... Acessado
em: 22 maio 2011.
150
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ANEXOS
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Anexo 1 – ofício de encaminhamento à escola
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Anexo 2: Fotos da oficina Análise Combinatória
Foto 1
Foto 3
Foto 2
Foto 4
Foto 6
Foto 5
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Foto 7
Foto 8
Foto 9
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Foto 11
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UNIVERSIDADE ESTADUAL DO SUDOESTE DA BAHIA – UESB
DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS – DCE
CURSO DE LICENCIATURA EM MATEMÁTICA
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Anexo 3: Questionário socioeconômico
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Anexo 4: Acompanhamento das etapas do período de estágio: observação;
coparticipação e regência
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