PESQUISA E PRÁTICA: ELABORANDO E APLICANDO UMA ATIVIDADE
SOBRE TAXA DE VARIAÇÃO
Claudio Dall’Anese (PUC-SP [email protected])
Janete Bolite Frant (PUC-SP [email protected])
Introdução
Neste texto apresentamos uma atividade desenvolvida recentemente (2003) em
sala de aula para alunos de Cálculo Diferencial e Integral I numa universidade particular
da região metropolitana de São Paulo. São estudantes de um curso de Sistemas de
Informação, no período noturno.
A atividade aqui apresentada e discutida é a primeira daquelas que compõem o
corpus de atividades (no total são quatro) de nossa pesquisa de doutorado em Educação
Matemática da PUC-SP, que tem como objetivo analisar a produção de significados por
alunos para a noção de taxa de variação. Esta pesquisa faz parte de um projeto maior1
que objetiva discutir uma abordagem teórica sobre o papel da linguagem e da tecnologia
para subsidiar uma análise do processo de aprendizagem de idéias matemáticas
habitualmente tratadas nos cursos de Cálculo.
Sucintamente, apresentamos as bases teóricas da pesquisa, que articulam a teoria
de “embodiment cognition” (Lakoff & Johnson 1980; Lakoff & Núñez, 2000), a noção
de conhecimento (Lins, 1999; Bolite Frant, 2003) e o Modelo da Estratégia
Argumentativa (Castro e Frant, 2000). Em seguida, relatamos as etapas pelas quais
passamos para a efetiva aplicação, coleta de dados e fazemos uma análise preliminar de
como pesquisa e prática podem contribuir para uma mudança da prática pedagógica do
professor.
Nossas bases teóricas
Entendemos que investigar e analisar a produção de significados por alunos é
olhar para o como e o que eles falam sobre um determinado texto matemático (Lins,
1
coordenado pela Profa. Dra. Janete Bolite Frant
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1999). Isto quer dizer que não estamos preocupados com uma ‘resposta certa’ ou
‘reposta errada’ que o aluno dá. Tampouco nossa preocupação está em olhar para a fala
do aluno no sentido de que isto pode e aquilo e aquilo não pode ser dito. Nosso interesse
por esta fala está na medida em que ela informa os objetos matemáticos que são
constituídos pelo aluno enquanto trabalha numa dada atividade. Texto, para nós, é tudo
aquilo que é dito (na forma oral, gestual ou escrita) por outro e sobre o qual um sujeito
irá produzir um significado.
Adotamos o pressuposto de que os objetos matemáticos em sala de aula são
constituídos do mesmo jeito que objetos do cotidiano (Castro e Frant, 2002), através de
enunciações do sujeito, ou seja, não entendemos que o objeto está num lugar, o sujeito
está noutro e a partir daí o sujeito deve descobrir este objeto.
Esta noção está
diretamente ligada à linguagem, podendo ser oral, gestual e escrita. A linguagem a qual
nos referimos é aquela do cotidiano, que é usada pelas pessoas para expressarem suas
crenças-afirmações, aquela linguagem constituída a partir da práxis social dos
indivíduos. Entendemos práticas sociais como um sistema de relações que são
estabelecidas por processos lingüísticos que determina papéis, tarefas e hierarquias
diferenciadas. Diante disso, a linguagem não se reduz à comunicação, ela é um material
privilegiado para a compreensão desses processos sociais e, mais ainda, pode ser vista
como uma forma de investigação de aprendizagem. Assim, se um objeto matemático é
constituído pelo sujeito enquanto fala com outro ou com ele mesmo, a ação de um
sujeito sobre um objeto deve primeiramente passar pela relação entre sujeitos.
Para Lins (1999), o conhecimento é produto da enunciação do sujeito, definido
como o par crença-afirmação e justificação. Quando um sujeito enuncia alguma coisa,
esta enunciação está fundamentada em algo que ele acredita e suas justificativas são o
que permitem-no a dizer aquilo que diz, garantindo a legitimidade de sua enunciação.
Olhando para o conhecimento desta forma, se duas ou mais pessoas enunciam uma
mesma crença, mas com justificações diferentes, então elas produzem conhecimentos
distintos. Aqui estamos nos referindo à produção de conhecimento pelo sujeito, ou seja,
o conhecer é uma ação realizada por ele, o que ocorre numa atividade. Assim, não
entendemos que conhecimento é algo que existe fora do sujeito (visão de conhecimento
como uma caixa). Metaforicamente, o conhecimento é algo contínuo como uma faixa de
Möebius, em que não existe nem dentro e nem fora (Frant, 2002); é algo que vai sendo
produzindo pelo sujeito durante sua fala e que leva em conta o contexto no qual o
sujeito está inserido no momento de sua produção.
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Uma caixa em
que existe o
dentro e o fora
3
Faixas de
Möebius, em que
não faz sentido
falar de dentro e
fora.
Como buscamos identificar a produção de significados por alunos para a idéia de
taxa de variação, o que faremos é uma análise das falas desses alunos; análise esta
baseada nos argumentos por eles utilizados. Queremos conhecer e compreender os
processos argumentativos de que dispomos no dia a dia para explicar os processos
desenvolvidos por alunos para aprender. A idéia é estabelecer as estratégias
engendradas pelos alunos para falar das atividades matemáticas que lhe são propostas.
Para levantar os argumentos engendrados pelos alunos, argumentos estes que
irão compor o corpus da investigação, faremos uma análise baseada no Modelo da
Estratégia Argumentativa (MEA) de Castro e Frant (2000), onde serão estudados
processos discursivos, relacionando o como se diz, com o que se diz e o porque se diz2.
Lakoff & Johnson (1980), fazendo uma análise de enunciados da linguagem
cotidiana, afirmam que nossa linguagem revela um sistema conceitual3 metafórico que
rege o nosso pensamento e ação. Nestes termos, a metáfora não é apenas uma figura de
linguagem, mas também uma forma de pensar e agir quando nos comunicamos. Em
oposição à teoria cartesiana, corpo e mente não são mais vistos como separados, pois,
segundo eles, compreendemos o mundo por meio de metáforas construídas com base
em nossa experiência sensório-motora: “nosso sistema conceitual ordinário, em termos
do qual pensamos e agimos, é fundamentalmente de natureza metafórica”. Essas
metáforas, segundo Lakoff (2000), são apreendidas pelo sujeito de forma inconsciente
através de ações ordinárias do cotidiano desde a infância, pela linguagem do cotidiano,
que é um modo de conceituar o mundo.
2
Para maiores detalhes sobre o MEA, ver Castro e Frant, 2000; 2002.
Conceitos são estruturas neurais que nos permitem categorizar mentalmente nossas categorias e
raciocinar sobre as mesmas (Lakoff & Jhonson, 1999). Categorizar não é um ato puramente intelectual, é
uma ação que decorre de uma experiência, é parte do que nossos corpos e cérebro fazem
inconscientemente, conforme aponta Rosch, 1999: “Conceitos são a ponte natural entre a mente e o
mundo, numa extensão tal que requerem que mudemos o que pensamos como mente e o que pensamos
como mundo; conceitos ocorrem apenas em situações do momento nas quais eles funcionam mais como
partes participantes das situações do que representações ou como mecanismos para identificar objetos;
conceitos são sistemas abertos pelos quais as criaturas podem aprender e inventar novas coisas; e
conceitos existem num contexto mais amplo – eles não são a única forma na qual criaturas vivas agem e
conhecem”.
3
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Estando interessados em conhecer e compreender os processos argumentativos
de que dispomos no cotidiano para explicar processos de aprendizagem, não deixamos
de lado as metáforas conceituais, que são uma forma de argumentar (Lakoff & Jhonson,
1980; Lakoff & Núñez, 2000).
Elaborando e procurando uma inspiração para a atividade
Tendo em mente o objetivo e pressupostos teóricos acima elencados,
começamos a pensar na elaboração das atividades. A idéia era aplicá-las na época em
que estava previsto iniciar o tópico sobre derivadas para os alunos (início do 2o semestre
do ano letivo de 2003). Nossa questão era: devemos pensar numa atividade que force os
alunos a falarem, o que implica em conter questões que não sejam idênticas àquelas
habitualmente encontradas em livros didáticos da disciplina. Ao mesmo tempo, deve ser
uma atividade que envolva uma situação do cotidiano e que desperte o interesse dos
alunos – essa era nossa expectativa. Nossa idéia era de não apresentar logo de início
uma atividade que incluísse o uso do computador pois queríamos que, de alguma forma,
os alunos fizessem uso do corpo e que fosse possível resolvê-la dentro da sala de aula
(outras atividades estavam previstas para serem desenvolvidas com o uso de
computadores no laboratório de informática).
A inspiração de elaborar e aplicar a atividade (que reproduzimos em seguida)
sobre taxa de variação como a que estamos propondo surgiu da leitura do artigo de
Speiser, Walter & Maher (Representing motion: an experiment in learning, 2003), em
que os autores estão centrados na produção de significados pelos alunos para o
movimento. Para entender os desafios que os estudantes atualmente enfrentam, tais
autores focam em como os estudantes trabalham com modelos, representações e sua
experiência pessoal.
A tarefa proposta é a de se determinar como um gato se
movimenta quando ele está andando e passa a correr. Para isto, foi fornecido aos
estudantes uma seqüência de 24 fotografias, tiradas em um intervalo de 0,031segundos,
com um fundo marcado por uma grade de linhas distantes umas das outras de 5cm.
Nesse artigo, os autores documentam como os estudantes trabalham com diversas
representações gráficas, incluindo inscrições, gráficos dados por calculadoras gráficas,
desenhos e fotografias. Na descrição do raciocínio dos alunos para determinar a
velocidade instantânea do gato no momento em que ele começa a correr, constatou-se
que a solução do problema foi dada considerando, dentre outras coisas, a marcação da
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posição do gato em relação ao tempo com uma fita adesiva no chão do corredor da
escola, onde os estudantes poderiam encarnar a situação colocada.
O fato de ter sido apresentado aos sujeitos da investigação acima descrita uma
situação do cotidiano que envolve velocidade (idéia matemática que é a taxa de variação
e que está intimamente relacionada como a idéia de derivada) representada por
fotografias e que este tipo de apresentação de movimento tenha desencadeado nos
alunos o uso do corpo para resolver o problema, nos instigou a pensar em uma situação
do cotidiano que envolva movimento e, muito importante, que fosse possível que o
material de trabalho estivesse disponível para ser usado em sala de aula. Foi então, ao
pesquisar situações apresentadas em livros didáticos de Cálculo, que encontramos no
livro do Thomas, George B. um problema que tem como ilustração a figura abaixo, que
corresponde a uma apresentação parecida com aquela colocada por Speiser, Walter &
Maher. Do nosso ponto de vista até melhor, pois a própria situação e as medições, neste
caso, poderiam ser realizadas e dentro da sala.
O problema original é o seguinte (Thomas, G. B., pg. 164):
Duas bolas caindo. Na figura a seguir, a foto com múltiplas exposições mostra duas
bolas caindo a partir do repouso (as escalas verticais estão marcadas em centímetros).
Use a equação s= 490t2 (equação da queda livre, s em centímetros e t em segundos)
para responder às questões a seguir.
(a) Quanto tempo as bolas levaram para cair os primeiros 160cm? Qual a
velocidade média nesse intervalo?
(b) Qual a velocidade das bolas que estavam caindo quando atingiram a marca de
160 cm? Qual era a aceleração nesse momento?
(c) Qual era a velocidade aproximada dos flashes de luz (flashes por segundo)?
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Um outro aspecto considerado é o tempo, tendo em vista que a atividade será
aplicada em sala de aula - o tempo da aula é de 100minutos e podemos considerar como
tempo efetivo de atividade algo em torno de no máximo 60 minutos. A exemplo do
artigo citado, os sujeitos ficaram 13 horas resolvendo um problema parecido; entretanto,
estes alunos estavam na 7a série, não tinham ouvido falar em velocidade, por isso esse
tempo todo. Para nós isso é impossível. Por outro lado, poderíamos apresentar questões
que induzam os alunos a responder o problema, mas isso também não queremos, pois
isto não deixa claro a estratégia argumentativa dos alunos e sim de quem elabora tais
questões.
Com o intuito de não tornar o texto impessoal, como acontece com freqüência
nos livros didáticos, fizemos uma adaptação do problema original, o que resultou na
seguinte atividade (que foi a apresentada aos alunos):
Duas bolas caindo.
Na figura4 a seguir, nós temos uma foto com múltiplas exposições de duas bolas caindo
a partir do repouso. Observe que as escalas verticais estão marcadas em centímetros.
Usamos a equação s= 490t2, que é a equação da queda livre, onde s é a posição que está
dada em centímetros e t o tempo que está dado em segundos. Agora, responda as
seguintes questões:
(a) Quanto tempo as bolas levaram para cair os primeiros 160cm?
(b) Qual a velocidade média desde que as bolas saíram do repouso até os 160 cm?
(c) Qual a velocidade das bolas que estavam caindo quando atingiram a marca de
160 cm?
(d) Qual era a velocidade aproximada dos flashes de luz (flashes por segundo)?
(d) Esboce um gráfico d x t da situação dada na foto, onde d é a distancia e t o
tempo.
(e) Como você garante que cada resposta está correta?
Para o desenvolvimento desta atividade, foi colocado à disposição dos alunos o
seguinte material, cujo uso não era necessariamente obrigatório:
4
•
12 bolas de dois tamanhos diferentes
•
12 réguas
A figura fornecida aos alunos é uma cópia ampliada em papel tamanho A4 da foto anterior.
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•
barbante
•
12 trenas
•
8 cronômetros
•
fita adesiva
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Acreditamos que ao responderem essas questões, os alunos vão enunciar, vão
falar de coisas e nós vamos levantar essas coisas através dos argumentos que os alunos
utilizam para responder aos desafios colocados, tais como: qual a velocidade da bola
num dado instante de tempo ou qual a velocidade da bola depois de ter caído tantos
centímetros. Nossa intenção é levantar os objetos matemáticos por eles enunciados,
iremos identificar que relações, se existe alguma, eles fazem entre taxa de variação e
velocidade.
Convencendo os alunos e a Instituição de Ensino
Tendo elaborado a atividade e providenciado o material, bastava agora
convencer os alunos e a instituição de ensino da realização dela, já que esta não é uma
atividade habitual para uma aula de Cálculo. O que fizemos foi o seguinte:
aproximadamente 10 dias antes da aplicação, conversamos com a turma no sentido de
esclarecer que estamos envolvidos numa pesquisa de doutorado e que precisamos de
material para investigação. Explicamos o objetivo da pesquisa e da importância da
participação e empenho de todos para a conseguir tal material. Deixamos claro que as
atividades não valeriam nota, que seriam resolvidas em grupos de três pessoas e que
iríamos filmar 3 trios. Tanto a formação quanto a escolha dos trios a seriam filmados
ficaria por conta deles. Felizmente – e para nossa surpresa – a aceitação foi unânime.
Houve até uma disputa saudável entre os alunos
para eleger os trios que seriam
filmados. Na mesma oportunidade, 39 alunos assinaram em conjunto com a
coordenadora do projeto, o pesquisador e mais duas testemunhas, um termo de
compromisso cujo teor é o seguinte:
Este termo tem como objetivo esclarecer os procedimentos de nossa
pesquisa, principalmente no que tange a utilização dos dados nela
coletados.O material coletado -- as atividades realizadas, as gravações
de vídeo, as transcrições, os registros escritos -- servirá de base para
pesquisas que procuram entender melhor o processo de produção de
significados em sala de aula de cursos de Cálculo. O acesso aos
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registros em vídeos será exclusivo do grupo de pesquisa e só poderá ser
apresentado com autorização dos participantes, as transcrições e
registros escritos terão seus nomes trocados por pseudônimos
preservando a identidade dos sujeitos em sigilo. Nas pesquisas que
utilizarem o material coletado não será feita menção à Instituição onde o
curso foi realizado para a preservação da identidade do grupo.
As informações provenientes da análise desse material poderão ainda
ser utilizadas pelos pesquisadores em publicações e eventos científicos.
Com tudo acertado com os alunos, faltava apenas autorização da instituição para
filmar as atividades e conseguir com ela recursos tecnológicos, tais como câmeras de
vídeo, gravadores, tripés e microfones. Encaminhamos um ofício à coordenadoria de
cursos informando que os alunos estavam de acordo e tinham assinado o termo acima.
Obtivemos resposta positiva, com a ressalva de dispensar alunos que eventualmente não
se sentissem à vontade de participar das atividades – o que não houve nenhum caso.
Falando um pouco desta experiência
Um imprevisto na aplicação desta atividade foi que não conseguimos reserva
com o setor de áudio visual da instituição de ensino dos recursos de filmagem. Tivemos
então que recorrer ao empréstimo com amigos e familiares, de filmadoras, tripés e
comprar mini gravadores e fitas de vídeo. Conseguido o material, tivemos que aprender
a manusear os equipamentos em tempo reduzido e fazer testes de filmagem em horário
fora de aula, assim como aprender a posicionar as câmeras para um bom ângulo de
filmagem.
No dia da aplicação da atividade, tivemos alunos entusiasmados com a novidade
e notamos que o receio com as câmeras de vídeo é passageiro, em poucos minutos eles
parecem se esquecer de que estão sendo filmados. Aconselhamos gravar o som
separadamente do vídeo para edição futura pois, como as filmagens se deram numa sala
de aula com 39 alunos, ruído dos outros grupos interfere nas falas de um grupo
específico.
Algumas conclusões
A aplicação desta atividade, aliada com as teorias estudadas trouxe um impacto
em nossa prática pedagógica no seguinte sentido: notamos que atividades que
favorecem os alunos se expressarem usando uma linguagem no sentido amplo como o
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aqui colocado (oral, gestual e escrita), favorece a identificação de modos de raciocínio
por eles desenvolvidos ao resolverem uma problema proposto. Por exemplo, o fato de
não usarmos no enunciado da atividade a palavra função, os alunos não estabeleceram
relação entre a situação colocada com o conceito de função. Parece que a idéia de
velocidade média está fortemente ligada à fórmula da física: é alguma coisa que se
obtém pela divisão do espaço pelo tempo; entretanto, poucos tem incorporado que
velocidade é algo que relaciona uma dependência entre distância percorrida e o tempo.
Colocar um material auxiliar à disposição dos alunos, como a foto, evidenciou
que diversos alunos “vêem mas não enxergam”. Alguns deles tiveram dificuldades de
interpretar qual o lado da foto que indicava o ponto em que as bolas foram soltas: para
alguns estudantes, o lado da foto que mostra as bolas mais próximas umas das outras
representava a bola batendo no chão e voltando.
Os outros materiais tiveram utilidade, tendo em vista que vários grupos
procuraram experienciar a situação colocada na atividade, posicionado as bolas na altura
desejada e cronometrando o tempo de queda das bolas. O resultado experimental foi, em
alguns grupos, repetido várias vezes e comparado com o resultado encontrado em
cálculos numéricos. Isto evidencia que estes alunos, para resolverem um problema e
estarem convencidos da justificativa de suas respostas, procuram encarnar a situação
apresentada e, em suas discussões com os integrantes usam a mesma linguagem que
aquela do cotidiano.
De maneira geral, o que fica para nós é que estar atento aos resultados
apresentados por pesquisas da Educação Matemática fornece subsídios para o professor
em sala de aula no sentido de compreender melhor os processos de raciocínio dos
alunos, o que pode provocar uma transformação para melhor, da prática educativa.
PALAVRAS CHAVES: taxa de variação, significado, linguagem.
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