Fundamentos de
modelagem matemática e
técnicas de simulação
aplicados a sistemas
ambientais
CESET, Limeira
Março, 2005
... da matemática de
considerações ambientais
• Poluição de corpos aquáticos: lagos,
represas, rios, estuários, mares costeiros.
• Poluição do ar: efeitos aerossóis de
usinas, de concentrações de indústrias,
de centros urbanos.
• Poluição do solo: lixões, lençóis freáticos,
vazamentos em depósitos de produtos
tóxicos.
• Combinações dos anteriores.
Matemática e vida: isso combina?
• ... foi assim que começou
• É para isso que existe o campo da
matemática aplicada/aplicável
• Na escola, hoje, tem até nome: “temas
transversais”!
• e como acontece?
Problema Real
Hipóteses de
Simplificação
Problema Matemático
Resolução
(aproximada!)
do Problema
Matemático
Processos
decisórios
Validação
Social
da solução
Validação
Matemática
da solução
Muito trabalho por fazer
Estudando modelos prontos,
Usando-os em testes e simulações,
Modificando/melhorando modelos
existentes,
Criando modelagens novas:
Desafios enormes!
... e imediatos
Um exemplo desta roda viva:
a poluição, ou um acidente...
as prefeituras
Rios, lagos e
Represas.
–d.C(n)
C(n)
F
F
V
A figura é homeomorfa a uma represa qualquer
(esta é uma hipótese aceitável?)...
Degradação: d
o volume da represa: V unidades de volume
o fluxo do rio que entra (e sai):F unidades de volume
–d.C(n)
q(n)
C(n)
F
F
V
Ainda: além da degradação do poluente,
suposta proporcional à quantidade pode
haver um aporte semanal: q(n).
Avaliar a
contaminação
Meio homogêneo,
Instantaneamente,
e tudo regular
Progressão
Matemática
Resolução
do Problema
Matemático
(nem que seja
No Excel!)
Processos
decisórios
Validação
Social:
Essa resposta
serve?
Validação
Matemática
da solução
O (na verdade “um”) modelo:
A quantidade de poluente na semana que
vem =
= a quantidade de poluente desta semana –
– a quantidade que sai com o fluxo do rio –
– a quantidade que se degrada +
+ ( se houver) algum aporte semanal.
Literalmente, em outras palavras:
C( n+1 ) =
= C( n ) –
– F. C( n ) /V –
– d. C( n ) +
+ q( n )
... alguns casos
1. Não há rio  F = 0
2. Não há aporte semanal  q(n) = 0
3. Não há degradações  d = 0
1. Não há rio, nem degradação
F=0 e d=0
C( n+1 ) =
= C( n ) +
+ q( n )
ou seja,
C( n+1 ) = C( n ) + q( n )
é uma
Progressão Aritmética!
Outro caso, q(n) = 0: não há aporte
semanal
C( n+1 ) =
= C( n ) .( 1 – F/V – d )
ou
para  = 1 – F/V – d,
C( n+1 ) = .C( n ) ou seja, é
uma
Progressão Geométrica
Como é uma P.G.,
Tudo depende da razão,
 = 1 – F/V – d
 > 1  C( n ) cresce,
 < 1  C( n ) decresce, e
 = 1  C( n ) permanece.
Um caso, com V=1e+5, F=5e+2, d=0.0001
aporte semanal de 10 unidades
sem aporte semanal
2000
0.5
1800
0.45
1600
0.4
1400
0.35
1200
0.3
1000
0.25
800
0.2
600
0.15
400
0.1
200
0.05
0
0
200
400
600
800
1000
0
0
200
400
600
800
1000
E quando há de tudo
acontecendo: aporte, fluxo,
degradação etc?
... Nem P.Aritm. nem P.Geom., mas
uma mistura das duas coisas!
Modelagem matemática ... E usa-se a
equação de diferenças linear de
primeira ordem vista antes.
O modelo, então, é:
C( n+1 ) = C( n ) – F. C( n ) /V –
– d. C( n ) + q( n )
ou
C( n+1 ) = C( n ) .( 1 – F/V – d ) +
+ q( n )
Modelo com aporte semanal, com degradação e com
fluxo constante.
1000
c
o
n
t
a
m
i
n
a
n
t
e
900
800
700
600
500
400
300
200
100
0
0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
Tempo – em unidades escolhidas
1000
Além desta aula, isto serve para
alguma coisa?
Tentativas: como se comporta o
acúmulo de contaminante se o
aporte se der semana sim, semana
não?
... Matlab ou alguma planilha.
91
90.9
90.8
90.7
90.6
90.5
90.4
90.3
90.2
0
5
10
15
20
25
30
E se fosse duas semanas não, a outra
semana sim?
Em outras palavras, teríamos nessa
simulação:
C( n+1 ) = C( n ) – F. C( n ) /V –
– d. C( n ) + q( n )
Sendo q( n ) = q com n múltiplo
de três e q = 0 caso contrário
Aporte a cada três semanas
90.8
90.6
90.4
90.2
90
89.8
89.6
89.4
89.2
0
5
10
15
20
25
30
35
Nos ensaios, F<<V. O que aconteceria
se isto não fosse assim?
É o caso de um rio...
A(n)
B(n)
C(n)
D(n)
E(n)
O que temos, então, é um sistema, em que o que
sai de um compartimento entra no seguinte:
A(n+1) = A(n).(1 – F/V1 - d1) + q1
B(n+1) = A(n). F/V1 + B(n).(1 – F/V2 - d2) + q2
C(n+1) = B(n). F/V2 + C(n).(1 – F/V3 - d3) + q3
D(n+1) = C(n). F/V3 + D(n).(1 – F/V4 - d4) + q4
E(n+1) = D(n). F/V4 + E(n).(1 – F/V5 - d5) + q5
250
trecho 1
trecho 2
trecho 3
trecho 4
trecho 5
indices de contaminante
200
150
100
50
0
0
100
200
300
400
tempo
500
600
700
800
E, se em vez de um córrego, fosse um
rio de ‘verdade’?
Outra possibilidade: um
contaminante que “demora” para
começar a degradar-se: 1 semana
C( n+1 ) = C( n ) – F. C( n ) /V –
– d. C( n-1 ) + q( n )
uma equação de diferenças ainda
linear de segunda ordem:
envolve duas semanas.
Uma equação linear de diferenças
de segunda ordem
O que se pode fazer é testar para ver
se a solução geral da PG serve aqui.
E serve!
Fazendo Cn = A.n, e substituindo na
equação original, obtem-se:
Cn = A1. (1)n + A2. (2)n + q.V/(F+d.V)
contaminacion X tiempo
24
22
ind. de contam.
20
18
16
14
12
10
0
5
10
15
20
25
semanas
30
35
40
45
50
Estudo de impacto:
por estudar?
•Efeitos nas dinâmicas de populações
•Nas possibilidades epidemiológicas
•E as contribuições para efeitos globais
•Além da economia!
Ainda, poderíamos ter avaliação
instantânea dos fenômenos:
... daí, teríamos Equações Diferenciais,
sistemas de equações diferenciais
(ordinárias),
com variação no tempo: d.../dt